BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1
Teori Antrian 2.1.1 Pendahuluan Suatu antrian adalah suatu garis tunggu dari langganan ( seseorang ) yang memerlukan pelayanan. Studi matematikal mengenai kejadian atau gejala garis tunggu ini disebut teori antrian. Kejadian tersebut timbul oleh karena kebutuhan atas pelayanan yang melebihi kemampuan (kapasitas) pelayanan itu sendiri. Sehingga langganan tidak bisa segera terlayani yang disebabkan kesibukan pelayanan. Dalam kehidupan sehari-hari, kejadian ini sering kita temukan misalnya pada loket bioskop, loket kereta api, loket jalan tol, tempat praktek dokter, dan lainnya. Umumnya tiap orang pernah mengalami hal seperti ini, oleh karena itu bisa dikatakan bahwa antrian sudah menjadi bagian kehidupan kita. Dalam banyak hal, tambahan fasilitas pelayanan dapat diberikan untuk mengurangi antrian atau untuk mencegah timbulnya antrian yang panjang. Akan tetapi, biaya tambahan yang dikeluarkan akan menimbulkan pengurangan keuntungan, sebaliknya sering timbulnya antrian yang panjang akan mengakibatkan kerugian. Jadi, masalah yang kita hadapi adalah bagaimana mengusahakan keseimbangan antara antrian terhadap biaya dalam mencegah antrian yang terlalu panjang.
6
7 2.1.2
Sistem Antrian Langganan dapat tiba dengan laju tetap atau tidak tetap untuk memperoleh
pelayanan pada fasilitas yang tersedia. Bila langganan yang tiba dapat masuk ke dalam fasilitas maka akan segera terlayani, tetapi kalau harus menunggu, maka mereka akan membentuk suatu antrian hingga tiba waktunya untuk dilayani baik dengan laju yang tetap maupun tidak tetap. Sistem antrian dapat dibagi menjadi dua komponen, yaitu: 1. Antrian yang memuat langganan dan memerlukan pelayanan 2. Fasilitas pelayanan yang memuat pelayan dan saluran pelayanan 2.1.3
Sumber Sumber adalah kumpulan orang atau sesuatu yang datang untuk menerima
pelayanan. Dalam prakteknya sumber adalah berhingga, akan tetapi dalam suatu populasi yang besar sumber dianggap tidak berhingga, karena untuk keperluan analisis labih mudah menggunakan sumber tidak berhingga sebagai dasar perhitungan. 2.1.4
Proses Masukkan Proses masukkan adalah suatu proses pembentukkan antrian akibat pertibaan
satu satuan langganan. Secara teori, waktu antar kedatangan (waktu tiba langganan yang satu dengan langganan berikutnya) dianggap acak atau bebas. Bentuk umum dari proses ini sering digunakan dalam model-model antrian yang dikenal dengan nama proses poisson. 2.1.5
Mekanisme Pelayanan Tiga aspek yang harus diperhatikan, yaitu:
8 a.
Tersedianya pelayanan Mekanisme pelayanan tak selalu tersedia setiap saat. Misalnya dalam
pertunjukkan bioskop, loket penjualan karcis masuk hanya dibuka pada waktu tertentu antara satu pertunjukkan dengan pertunjukkan berikutnya. Sehingga pada saat loket ditutup, mekanisme pelayanan terhenti dan petugas pelayanan istirahat. b.
Kapasitas pelayanan Kapasitas dari mekanisme pelayanan diukur berdasarkan jumlah
langganan yang dapat dilayani secara bersama-sama. Kapasitas pelayanan tidak selalu sama untuk setiap saat, bisa saja berubah-ubah. Karena itu, fasilitas pelayanan dapat memiliki satu atau lebih saluran. Fasilitas yang mempunyai satu saluran disebut sistem layanan tunggal, dan fasilitas yang mempunyai layanan lebih dari satu disebut sistem layanan ganda. c.
Lama berlangsungnya pelayanan Lamanya pelayanan adalah waktu yang dibutuhkan untuk melayani
seorang langganan. Waktu pelayanan boleh tetap dari waktu ke waktu untuk semua langganan atau boleh juga berupa variabel acak. Umumnya untuk keperluan analisis, waktu pelayanan dianggap sebagai variabel acak yang terdistribusi bebas dan tidak tergantung pada waktu kedatangan. 2.1.6 Disiplin Pelayanan Kebiasaan atau kebijakan dalam melayani para langganan disebut disiplin pelayanan dan dikelompokkan dalam empat bentuk. 1.
First-come, first-served (FCFS) atau first-in first-out (FIFO) contohnya, antrian loket tiket bioskop.
9 2.
Last-come, first-served (LCFS) atau last-in first-out (LIFO) contohnya, antrian dalam elevator (lift).
3.
Service in random order (SIRO) pemilihan pelayanan langganan secara
acak, tidak perduli siapa yang datang
pertama dalam antrian. 4.
Priority service (PS) pemilihan pelayanan dengan melihat tingkat kepentingan
langganan,
mendahulukan prioritas tertinggi. 2.1.7
Analisis Pola Pertibaan Sebelum meneliti pola dari pertibaan, ada baiknya diketahui notasi berikut:
n
: jumlah langganan dalam antrian pada waktu t.
Pn(t)
: peluang adanya n- satuan langganan dalam antrian pada waktu t
λ
: kecepatan pertibaan rata rata dalam satu satuan waktu.
λ∆t
: peluang adanya langganan baru yang tiba dalam selang waktu ∆t.
μ
: kecepatan pelayanan rata rata dalam satu satuan waktu.
μ∆t
: peluang adanya langganan yang selesai dilayani dalam selang waktu ∆t.
Selanjutnya diasumsikan bahwa kecepatan pelayanan ( μ ) tidak mempengaruhi jumlah satuan dalam antrian ( n ) dan disiplin yang dilakukan adalah FIFO maka peluang adanya n-satuan ( n>0 ) pada waktu ( t + ∆t ) ditentukan oleh empat kemungkinan berikut: 1. a. Ada n-satuan dalam antrian pad waktu t
= Pn(t)
b. Tidak ada pertibaan selama waktu ∆t
= 1 - λ∆t
c. Tidak ada satuan yang dilayani selama ∆t
= 1 - μ∆t
10 2. 2.
a. Ada n+1 satuan dalam antrian pada waktu t
= Pn+1(t)
b. Tidak ada pertibaan selama waktu ∆t
= 1 - λ∆t
c. Ada satu satuan yang dilayani selama ∆t
= μ∆t
3. a. Ada n-1 satuan dalam antrian pada waktu t
= Pn-1(t)
b. Ada pertibaan selama selang waktu ∆t
= λ∆t
c. Tidak ada satuan yang dilayani selama ∆t
= 1 - μ∆t
4. a. Ada n satuan dalam antrian pada waktu t
= Pn(t)
b. Ada pertibaan selama selang waktu ∆t
= λ∆t
c. Ada satu satuan yang dilayani selama ∆t
= μ∆t
Berdasarkan empat kemungkinan diatas, maka peluang adanya n-satuan dalam antrian pada waktu t+∆t adalah Pn(t+∆t), dengan asumsi bahwa peluang pertibaan dan peluang pelayanan untuk lebih dari satu satuan dalam waktu ∆t dianggap sama dengan nol. Pn(t+∆t) = Pn(t) ( 1 - λ∆t ) ( 1 - μ∆t ) + Pn-1(t) ( λ∆t ) ( 1 - μ∆t ) +
Pn+1(t) ( 1 - λ∆t ) ( μ∆t )
Pn(t) ( λ∆t ) ( μ∆t )
Pn(t+∆t) = Pn(t) ( 1 – (λ + μ) ∆t + λ μ ∆t2 ) + Pn-1(t) ( λ∆t - μ λ ∆t2 )
+
+
+
Pn+1(t) ( μ∆t - μ λ ∆t2 )
Pn(t) ( λ μ ∆t2 )
Pn(t + Δt) - Pn(t) = - (λ + μ) Pn(t) + λ μ ∆t Pn(t) + μ Pn+1(t) - μ λ ∆t Pn+1(t) Δt + λ Pn-1(t) - μ λ ∆t Pn-1(t) + λ μ ∆t Pn(t) Untuk limit ∆t → 0 maka, Lim Pn(t + Δt) - Pn(t) = - (λ + μ) Pn(t) + μ Pn+1(t) + λ Pn-1(t) Δt → 0 Δt dPn(t) = λ Pn-1(t) - (λ + μ) Pn(t) + μ Pn+1(t) , n > 0 dt
(2-1)
11 Dalam keadaan n = 0 atau dengan kata lain peluang bahwa tak ada n-satuan dalam antrian pada waktu t+∆t adalah Po(t+∆t) dan dapat diambil 2 kemungkinan sebagai berikut:: 1. Tidak ada satu satuan dalam antrian dan tak ada yang masuk antrian dalam waktu ∆t 2. Ada 1-satuan dalam antrian pada waktu t, ada yang dilayani dan tak ada yang tiba dalam waktu ∆t Po(t+∆t) = Po(t) ( 1 - λ∆t ) + P1(t) ( 1 - λ∆t ) ( μ∆t ) = Po(t) - λ ∆t Po(t) + μ ∆t P1(t) - μ λ ∆t2 P1(t) Po(t + Δt) - Po(t) = μ P1(t) - λ Po(t) - μ λ ∆t P1(t) Δt dPo(t) = μ P1(t) - λ Po(t) dt
(2-2)
Oleh karena kita berusaha menganalisis pola pertibaan, maka kita menganggap tak ada pelayanan yang terjadi (μ = 0), sehingga dari (2-1) dapat diperoleh: dPo(t) = λ Pn-1(t) - λ Pn(t) dt
,n>0
(2-3)
Dan dari (2-2) diperoleh: dPo(t) = - λ Po(t) dt
(2-4)
dPo(t) = - λ dt Po(t)
ln Po(t) = - λt + C Po(t) = e- λt
+ C
= A. e – λ t
Karena Po(0) = 1, maka A = 1 sehingga Po(t) = e - λ t
(2-5)
12 Dari (2-5) subtitusi ke (2-3) untuk n = 1, maka diperoleh: dP1(t) = e - λ t - λ P1(t) dt dP1(t) + λ P1(t) = e - λ t dt d [ e λ t P1(t) ] = λ dt
e λ t P1(t) = ∫ λ dt = λt + C P1(t) = λt e λ t + C e λ t Oleh karena P1(0) = 0 maka C = 0 sehingga membentuk P1(t) = λt
e
-λ t
1!
Dengan menggunakan induksi, akhirnya kita peroleh pola pertibaan dari –satuan secara acak dalam antrian pada waktu t, yaitu: Pn (t)
(λ t ) n . e = n!
-λ t
, n ≥0, t ≥0
(2-6)
Suatu distribusi poisson, dan jumlah rata rata langganan dalam antrian pada waktu t : E [ n(t) ] = λt , t ≥ 0 Akibatnya ialah, apabila t berupa variabel acak yang menyatakan waktu antara pertibaan berurutan, maka t akan memenuhi suatu distribusi eksponensial dengan λ sebagai parameter : f (t) = λ. e - λ t , t ≥ 0 Dimana f
(2-7)
disebut fungsi kepadatan dalam selang waktu t antara dua pertibaan
(t)
berurutan. Oleh karena itu, peluang pertibaan pertama yang terjadi setelah waktu T dimana t ≥ T ialah : ∞
P[T≤t]=
∫
T
∞
f (t ) dt = ∫ λ e −λ t dt = e − λ T T
(2-8)
13 Ini juga berarti bahwa peluang tidak ada pertibaan antara selang waktu t = 0 hingga t = T sama dengan peluang pertibaan pertama sesudah waktu T. Peluang bahwa tak ada pertibaan dalam selang waktu [ 0 , T+h ] dengan diketahuinya bahwa tak terjadi pertibaan dalam selang waktu [ 0 , T ] ∞
P [ T ≤ t ≤ T+h ] =
∫ λe
T +h ∞
∫ λe
−λ t
dt =
−λ t
dt
e −λ ( T +h ) = e −λ h −λ T e
(2-9)
T
( hanya tergantung pada nilai h ) Sesuai dengan (2-9) maka tidak jadi soal apakah ada atau tidak pertibaan dalam selang waktu [ 0 , T ]. Dalam keadaan stasioner, Pn(t) = Pn untuk semua nilai t (tak terikat pada t) sehingga:
dPn(t) = 0 , untuk n > 0. dt
λ Pn-1(t) - (λ + μ) Pn(t) + μ Pn+1(t) = 0
,n>0
maka dari (2-1) dan (2-2) : (2-10)
dan μ P1(t) - λ Po(t) = 0 Karena :
∞
∑ Pi
,n=0
= 1, maka:
i=0
Po = Po P1 =
λ Po μ
.....................dari (2-11)
2 ⎛λ⎞ P2 = ⎜⎜ ⎟⎟ Po ....................dari (2-10) ⎝μ⎠
M M M M
(2-11)
14 n ⎛λ⎞ Pn = ⎜⎜ ⎟⎟ Pn ⎝μ⎠ ∞
∑ Pi
i =0
∞ ⎛ λ ⎞n = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ Po μ n=0 ⎝ ⎠ ∞
Karena
Maka:
∑ Pi = 1 dan i =0 1 1−
λ
∞ ⎛ λ ⎞n 1 ∑ ⎜⎜ μ ⎟⎟ = λ 1− n=0 ⎝ ⎠
Po = 1 →
( jumlah deret ukur )
μ
Po = 1 – ρ
( misalkan ρ = λ / μ)
μ
Karena Pn = ρn Po
maka: Pn = ρn ( 1 – ρ ) , ρ < 1
(2-12)
Dimana ρ disebut intensitas lalu lintas ( traffic intensity ) dan Pn sebagai peluang adanya n-satuan dalam antrian yang tidak dipengaruhi oleh waktu t. Nilai ρ < 1, artinya bahwa kecepatan pertibaan rata rata lebih kecil daripada kecepatan pelayanan rata rata dan ini adalah syarat utama agar pertumbuhan panjang antrian tidak menjadi tak terhingga. 2.1.8
Analisis Pola Pelayanan
Dalam analisis ini, kita beranggapan bahwa selama pelayanan berlangsung tidak terjadi pertibaan ( λ = 0 ) sehingga rumus (2-2) menjadi dPo(t) = μ P1(t) dt
, n=0
(2-13)
dan rumus (2-1) menjadi: dPn(t) = - μ Pn(t) + μ Pn+1(t) dt
,n>0
Apabila jumlah satuan dalam antrian pada waktu t sebanyak n = N, maka: Untuk n ≥ N+1
terdapat Pn(t) = 0
(2-14)
15
Untuk 1 ≤ n ≤ N-1 terdapat
Untuk n = 0 terdapat
dPn(t) = - μ Pn(t) + μ Pn+1(t) dt
dPn(t) = - μ Pn(t) dt
(2-15)
dPn(t) = - μ dt Pn
sehingga: Pn(t) = A. e – μ t
,t>0
Karena PN(0) = 1, maka A = 1 dan didapat:
Pn(t) = e – μ t , t > 0
(2-16)
Ini adalah peluang bahwa n-satuan berada di antrian pada waktu t, selanjutnya apabila n = N – 1 maka terdapat: dPN -1 (t) = - μ PN-1(t) + μ PN(t) dt
.............dari (2-14)
dPN -1 (t) = - μ PN-1(t) + μ e – μ t dt
............ dari (2-16)
d [ e μ t P N-1(t) ] = μ dt
[ e μ t P N-1(t) ] = μ t + C P N-1(t) = μ t. e -μ t + C. e -μ t Untuk t = 0,
P N-1(t) = 0
sehingga terdapat: C. e -μ t = 0
Karena itu : PN-1(t) = μ t
e
-μ t
1!
Dengan menggunakan induksi, dapat diperoleh: Pn (t) =
( μ t ) N -n . e - μ t ( N − n )!
, 1 ≤ n ≤ N-1 , t ≥ 0
Kalau (2-17) disubtitusikan kedalam (2-13), maka:
(2-17)
16 ( μ t ) N-1 . e - μ t dPo(t) = μ dt ( N − 1 )!
atau: ( μ x ) N-1 . e - μ x dx = ∫ +C ( N − 1 )! t
Po(t)
0
, karena untuk t = 0 terdapat Po(0) = 0 maka C = 0. ( μ x ) N-1 . e - μ x dx ∫ ( N − 1 )! t
Po(t) =
(2-18)
0
Dengan cara yang lain, Po(t) dapat kita cari sebagai berikut Karena :
∞
∑ Pn(t ) = 1
,
maka:
n =0
Po(t) = 1 -
∑ Pn(t )
=
n =1
N −1
=
1-
( μ t ) N -n . e - μ t 1- ∑ ( N − n )! n =1 N
N
(μ t ) n . e ∑ n! n =0
-μ t
,n=0,t≥0
(2-19)
Dengan jumlah rata rata satuan dalam antrian sebanyak: ⎡n⎤ E ⎢ ⎥ = ⎣t ⎦
N
∑
n =1
( μ t ) N -n . e - μ t ( N − n )!
Apabila t adalah sebanyak variabel acak untuk memperlihatkan lamanya waktu melayani tiap satuan atau langganan, maka g(t) = fungsi kepadatan panjang waktu t untuk melayani tiap langganan dimana t ≥ 0. dan g(t) merupakan distribusi waktu pelayanan berbentuk eksponensial, yaitu: g(t) = μ. e -μ t
, t≥0
17 ∞
oleh karena itu, rata rata waktu pelayanan =
∫ t. g (t ) dt =
t =0
∞
∫ t. μ e
−μ t
t =0
dt =
1
μ
Bila seorang langganan sedang dilayani pada waktu t kemudian sistem kita periksa pada waktu t+h, maka P(layanan tidak siap dalam selang waktu sepanjang h) = e -μ h = ∞
(− μh) n n! n =0
∑
, dan untuk h → 0, terdapat:
P (layanan tidak siap dalam selang waktu sepanjang h) = 1 – μh dan P (layanan siap dalam selang waktu sepanjang h) = μh bersama sama dengan distribusi waktu pelayanan eksponensial: g(t) = μ. e -μ t , t ≥ 0 dan Pn (t) =
( μ t ) N -n . e - μ t ( N − n )!
, 1 ≤ n ≤ N-1 , t ≥ 0
, semuanya merupakan karakter
atau pola pelayanan dari poisson. 2.1.9
Model model Antrian
Format umum (a/b/c) (d/e/f), dimana a : bentuk distribusi pertibaan (jumlah pertibaan pertambahan waktu) b : bentuk distribusi waktu pelayanan (selang waktu antara satuan yang dilayani) c : jumlah saluran pelayanan paralel dalam sistem d : disiplin pelayanan e : jumlah maksimum yang diperkenankan berada dalam sistem (yang antri + yang dilayani) f : besarnya populasi masukan Untuk huruf a dan b, kita gunakan kode kode berikut : M = Distribusi pertibaan poisson / eksponensial dan distribusi pelayanan poisson / eksponensial.
18 D = Antarpertibaan atau waktu pelayanan tetap. G = Distribusi umum pertibaan atau pelayanan. Untuk c, digunakan bilangan bulat positif Untuk d, digunakan kode FIFO, LIFO, SIRO, atau GD (General Service Discipline) Untuk e dan f, digunakan kode N bila jumlahnya terbatas dan ∞ bila tak terbatas jumlahnya. 2.1.10 Model (M/M/I) : (FIFO/∞/∞) Intensitas Lalu Lintas
ρ=
λ μ
( hasil bagi laju pertibaan dengan laju pelayanan )
Peluang adanya n-satuan dalam antrian
Po = 1 – ρ Karena : Pn = ρn . Po , maka Pn = ρn ( 1 – ρ ) Jumlah rata rata dalam sistem
Mencakup langganan yang menunggu dan yang sedang dilayani ( E [nt] = n =
λ μ −λ
=
ρ 1− ρ
Jumlah rata rata dalam antrian
Panjang antrian = jumlah dalam sistem – 1 untuk pelayanan tunggal dan n > 0 Oleh karena itu:
E [nw] = 0. Po +
∞
∑ (n − 1) Pn n =1
=
∞
∞
n =0
n =1
∑ n Pn − ∑ Pn
= E [nt] - ( 1 - Po ) =
⎛ λ ⎞ λ ⎜ ⎟− ⎝μ −λ⎠ μ
19
E [nw]
⎛ ρ ⎞ = ⎜ ⎟−ρ = ⎝1− ρ ⎠
⎛ ρ2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜1− ρ ⎟ ⎝ ⎠
Jumlah rata rata yang menerima layanan
E [ns] = E [nt] - E [nw] = ρ Panjang rata rata masa sibuk
Distribusi panjang masa menganggur sama dengan distribusi waktu antar pertibaan, yaitu proporsional dengan panjang rata rata ( 1 ). Kalau T merupakan panjang masa
λ
menganggur, maka pelayan akan menganggur selama TPo = T(1 - ρ) satuan waktu dan jumlah masa menganggur secara terpisah selama T adalah
T (1 − ρ ) = λ.T (1 − ρ ) . 1
λ Karena masa menganggur bergantian dengan masa sibuk maka jumlah masa sibuk secara terpisah selama T adalah λ T(1 - ρ) juga. Dan lamanya seluruh masa sibuk adalah ρT. Oleh karena itu, bila E [Lb] adalah panjang rata rata masa sibuk, maka E [Lb] =
ρ .T λ.T (1 − ρ )
=.
1 μ −λ
Dan bila E [nb] adalah jumlah rata rata langganan yang dilayani pada tiap masa sibuk, maka: E [nb] = μ. E [Lb] = .
1 1− ρ
Waktu rata rata dalam sistem
Misalkan N merupakan jumlah langganan dalam satu tahap tertentu dari sistem antrian dan T merupakan waktu yang diperlukan seorang langganan untuk
20
menyelesaikan tahap tersebut maka: E [T] =
=
1
λ
. E [N] dimana
E [Tt] =
1
λ
. E [nt]
1 μ −λ
Waktu rata rata dalam antrian
Misalkan E [Tw] merupakan panjang rata rata dari waktu yang dihabiskan oleh seorang langganan dalam antrian, maka : E [Tw] =
⎛ 1 ⎞ . E [Nw] = ρ ⎜ ⎟ λ ⎝μ −λ⎠ 1
Waktu pelayanan rata rata
Misalkan E [Ts] =
2.2
⎛1⎞ . E [Ns] = ⎜ ⎟ λ ⎝μ⎠ 1
Teori Jaringan 2.2.1 Jaringan (Network)
Jaringan sendiri mempunyai banyak pengertian tergantung dari ruang lingkup yang diinginkan. Kata jaringan yang dimaksud disini berada dalam lingkup studi teknologi informasi dimana memiliki pengertian sekumpulan dua atau lebih komputer yang masing-masing terhubung satu dengan lainnya melalui suatu perangkat dan hubungan antar komputer tersebut tidak terbatas pada kabel tembaga saja, namun juga bisa melalui kabel serat optik, gelombang microwave, infrared, bahkan melalui satelit. Manfaat dari jaringan dalam teknologi informasi sangatlah banyak, mulai dari aplikasi sederhana seperti pertukaran data (data sharing) hingga videoconference yang mampu menghadirkan gambar dan suara dari interaksi lebih dari dua pengguna pada waktu yang bersamaan. Menurut Tanenbaum (1996), jaringan dapat dibagi menjadi dua berdasarkan proses transmisinya: broadcast dan point-to-point. Dalam
21 broadcast network, paket data diduplikasi dan dikirim ke semua terminal perantara
hingga ke komputer tujuan (tiap komputer yang menerima akan memeriksa apakah paket data tersebut ditujukan pada dirinya dan bila tidak, akan diteruskan ke komputer yang lain). Bila ada paket yang selesai dikirim ke tujuan maka paket duplikasi yang lain akan ditolak. Keuntungannya adalah waktu transmisi yang cepat tetapi tidak efisien dalam penggunaan utilitas jaringan. Lain halnya dengan point-topoint network, paket hanya dikirim melalui satu rute jaringan untuk ke komputer
tujuan. Keuntungannya adalah efektif dalam penggunaan jaringan namun kendala dalam menentukan rute tercepat ke tujuan. Berdasarkan skalanya (Tanenbaum, 1996) network dapat diklasifikasikan menjadi lima macam, yaitu Personal Area Network
(PAN), Local Area Network (LAN), Metropolitan Area Network (MAN), Wide Area Network (WAN), dan Internet. PAN merupakan jaringan yang ditujukan untuk satu
orang saja, contohnya keyboard yang terhubung dengan komputer. LAN merupakan jaringan yang hanya mencakup beberapa meter saja seperti jaringan dalam perusahaan atau jaringan dalam rumah. MAN mencakup suatu area yang luas dalam satu kota seperti penyedia layanan telekomunikasi telkomsel, indosat, dan lainnya. WAN merupakan jaringan yang memiliki luas jangkauan yang sangat besar biasanya meliputi sebuah negara atau benua. Sedangkan Internet merupakan kumpulan dari berbagai macam WAN yang membentuk satu kesatuan integritas yang baik sehingga jangkauannya dapat dikatakan mencakup satu dunia.
22 2.2.2
Bandwidth
Menurut Computer Desktop Encyclopedia, bandwidth adalah kapasitas transmisi dalam menyalurkan paket paket data dari suatu media komunikasi pada jaringan komputer yang menentukan berapa banyak informasi dapat ditransmisikan dalam satu satuan waktu. Pada sinyal digital, diukur dengan satuan bit per detik (bps) atau Byte perdetik (Bps) dimana 1 byte = 8 bit. Sedangkan dalam sinyal analog, bandwidth diartikan sebagai rentang antara frekuensi tertinggi dan frekuensi terendah
dan diukur dalam satuan Hertz (Hz). Menurut Tanenbaum ( 1996 ) bandwidth adalah banyaknya data dalam satuan bits per second yang dapat ditransmisikan lewat sebuah medium jaringan dalam satu satuan waktu. Secara umum bandwidth dapat diilustrasikan sebagai sebuah pipa air yang memiliki diameter tertentu, semakin besar bandwidth semakin besar pula luas penampang pipa tersebut sehingga volume air
yang dialirkan menjadi lebih banyak. Manajemen bandwidth adalah sebuah proses penentuan besarnya bandwidth kepada tiap pemakai dalam jaringan, termasuk didalamnya menentukan prioritas terhadap jenis data yang akan dialirkan berdasarkan seberapa penting atau seringnya permintaan akan data tersebut. Hal ini memungkinkan penggunaan bandwidth secara efisien, dan apabila sewaktu-waktu lalu lintas jaringan menjadi padat (congested), aliran data yang memiliki prioritas yang rendah dapat dihentikan sementara, sehingga data yang penting dapat tetap berjalan dengan lancar. Hal tersebut dapat diilustrasikan dengan jalan raya protokol seperti Sudirman umumnya lebih diperhatikan daripada jalan raya biasa, atau pada saat seorang kepala negara hendak melalui suatu jalan raya
23 tertentu umumnya kendaraan biasa akan dihentikan untuk sementara guna kelancaran lalu lintas kendaraan kepala negara tersebut.
Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam menangani bandwidth: 1. Bandwidth berdampak langsung pada kinerja sebuah jaringan Besarnya saluran atau bandwidth akan berdampak pada kecepatan transmisi. Data dalam jumlah besar akan menempuh saluran yang memiliki bandwidth kecil lebih lama dibandingkan melewati saluran yang memiliki bandwidth yang besar. Kecepatan transmisi yang tepat sangat dibutuhkan untuk aplikasi yang bersifat real-time seperti instant messaging, videoconference, dan lainnya.
2. Bandwidth memiliki keterbatasan Umumnya dipakai satuan Megabit perdetik (Mbps) atau Kilobit perdetik (Kbps) dalam pemakaian bandwidth saat ini dan akan terus bertambah di tahun depan hingga Gigabit perdeik (Gbps) atau bahkan Terrabit perdetik (Tbps). Hal ini menunjukan bahwa adanya pemakaian maksimal suatu bandwidth tergantung dari kombinasi teknologi LAN / WAN yang diterapkan dan medium yang digunakan. Untuk mediumnya tersedia twisted-pair, coaxial, dan fibreoptic. Perbedaan fisik inilah yang mengakibatkan perbedaan kecepatan dalam menghantarkan informasi. Namun perbedaan fisik inipun ditunjang dengan teknologi yang digunakan. ( Lihat tabel 2.1 ) 3. Bandwidth tidak didapatkan dengan gratis
Seperti dikatakan pada nomor dua bahwa bandwidth maksimal yang diberikan tergantung dari teknologi dan medium yang digunakan, sayangnya semua itu
24 tidaklah gratis dimana semakin besar bandwidth yang ditawarkan, semakin mahal pula biaya yang dikeluarkan. Penggunaan bandwidth untuk LAN bergantung pada jenis medium yang digunakan, sedangkan pada WAN tergantung dari teknologi yang ditawarkan oleh ISP (internet service provider). ( lihat tabel 2.2 ) 3. Kebutuhan akan bandwidth akan selalu meningkat. Setiap tahun orang terus menerus berusaha untuk meningkatkan kinerja dari teknologi jaringan yang sudah ada sehingga data dapat terkirim lebih cepat, lebih aman dan lebih efisien, dalam hal perkembangan teknologi ini secara langsung akan berdampak pada peningkatan konsumsi / pemakaian bandwidth. Salah satu contoh teknologi yang terus dikembangkan di Indonesia adalah VoIP (Voice over IP) oleh karena tarifnya murah dan jangkauannya luas .
Connection Type
Bandwidth
Estimated Cost Per Month
T1 line
1.5 Mbps
$1000 to $1500
DSL or ADSL
250 kbps - 1.5 Mbps $100 to $300
Frame relay
250 Kbps - 1.5 Mbps $300 to $1000
Cable modem
1.5 Mbps - 10 Mbps
ISDN
64 Kbps – 128 Kbps $200 to $300
Dial-up modem
28 Kbps - 56 Kbps
$30 to $60 $30 or less
Tabel 2.2 Tabel perbandingan tarif dari komunikasi jaringan (http://www.hpac.com)
25
Tabel 2.1 Tabel perbandingan teknologi jaringan komputer (Computer Desktop Encyclopedia @2001 The Computer Language.Co.Inc)
26 2.2.3
OSI layer (Open System Interconnection)
Dahulu, komunikasi antar komputer dari vendor / merek yang berbeda sangat sulit dilakukan, karena mereka mengunakan protocol dan format data yang berbedabeda. Sehingga International Organization for Standardization (ISO) membuat suatu arsitektur komunikasi yang dikenal sebagai Open System Interconnection (OSI) model yang mendefinisikan standar untuk menghubungkan komputer-komputer dari vendor-vendor yang berbeda. Tujuan dari OSI adalah menyediakan kerangka dasar untuk proses pembangunan standar sistem interkoneksi komputer dalam jaringan.. Model-OSI terbagi atas 7 layer, dan layer kedua juga memiliki sejumlah sub-layer (dibagi oleh Institute of Electrical and Electronic Engineers (IEEE). Layer-layer tersebut disusun sedemikian sehingga perubahan pada satu layer tidak membutuhkan perubahan pada layer lain (tiap layer bersifat independen dan mempunyai fungsi masing masing). 7 layer.yang dimaksud adalah: 1. Layer Physical
Ini adalah layer yang paling sederhana; koneksi antar peralatan. Data biner dikodekan dalam bentuk bit bit yang dapat ditransmisikan ke komputer lain melalui media fisik jaringan sesuai dengan bentuk hubungannya (point-to-point / broadcast), sebagai contoh kabel, receiver dan peralatan seperti repeater, hub dan network card berada pada layer ini.
2. Layer Data-link
•
Mengatur hubungan antara pengirim dan penerima agar keduanya saling mengenal dan berhubungan
27 •
Menjamin agar data atau informasi sampai di tujuan dalam keadaan baik
•
Menyediakan cara untuk menyambungkan media fisik (Link Handler atau Link Control Procedure).
•
Menyediakan fungsi untuk pengontrolan aliran data (Flow Control)
•
Menyediakan fungsi untuk melacak dan memperbaiki kesalahan (Error Control)
•
Mengusahakan sinkronisasi data antar terminal
3. Layer Network
•
Mencari rute/jalan yang harus ditempuh oleh data/informasi yang dikirim (routing).
•
Mengirimkan data ke arah yang sesuai dengan hasil pencarian rute/jalan (switching)
•
Menjamin agar data dikirimkan ke alamat yang benar.
•
Menjamin agar data melalui rute yang paling baik
4. Layer Transport
•
Mengatur data dan informasi dibawa ke tempat tujuan termasuk menjamin kualitas dan service pengiriman
•
Memotong aplikasi dari lapisan diatasnya menjadi segmen-segmen
•
Menjamin integritas data.
5. Layer Session
•
Mengkoordinir permintaan dan respon jika aplikasi berkomunikasi antar komputer yang berlainan
28 •
Menyediakan layanan untuk memulai, mengatur, dan mengakhiri sesi antar aplikasi
•
Memastikan agar hubungan antar aplikasi (pada dua host yang berbeda) berlangsung secara efisien
•
Implementasi dari lapisan ini salah satunya SQL (Structured Query Language)
6. Layer Presentation
•
Menerjemahkan berbagai tipe pada syntax sistem.
•
Mendefinisikan format data yang paling efisien untuk digunakan antar aplikasi (compression
•
Mendefinisikan format data yang paling aman untuk digunakan antar aplikasi (encryption)
•
Memastikan bahwa data yang dikirim hanya bisa dipahami oleh pihak yang dituju
•
Salah satu contoh: file JPEG yang terkirim dienkripsi dan didekripsi dengan format yang sama
7. Layer Application
•
Menyediakan tempat bagi program-program aplikasi yang digunakan oleh user
•
Menjadi interface antara user dengan jaringan.
29 Lapisan OSI ini dapat dilihat dalam gambar dibawah ini Destination
Source User
Application Presentation Session Transport Network Data Link Physical
Application Presentation Session Transport Network Data Link Physical
User
Gambar 2.1 Aliran informasi dari sumber ke tujuan dengan protokol OSI.
2.2.4
TCP/IP
.
Pada tahun 1970, bagian militer US mengadakan suatu penelitian untuk
membangun jaringan intranet yang berfungsi untuk penyampaian informasi penting negara tanpa diketahui pihak musuh dan dikenal dengan proyek DARPA (Development of Defense Advanced Research Project Agency) dan melahirkan suatu protokol yang mengatur bagaimana masing masing komputer yang berbeda jenisnya dapat berkomunikasi satu dengan yang lainya, TCP/IP (Transmission Control Protocol / Internet Protocol). Sejak saat itulah TCP/IP menjadi suatu model standar
yang
digunakan
dalam
berkomunikasi
antar
device
dalam
jaringan.
TCP/IP terus berkembang hingga sekarang dikarenakan kemudahan kemudahannya seperti berikut •
Merupakan open protocol standard, tersedia secara bebas dan dikembangkan terlepas dari perangkat keras komputer dan sistem operasi. Karena dukungan yang luas inilah, TCP/IP sangat ideal untuk menyatukan berbagai perangkat keras dan lunak komputer yang beraneka ragam
30 •
Independen dari perangkat keras jaringan yang khusus. Hal ini memungkinkan penyatuan dari berbagai macam jenis jaringan. TCP/IP dapat dipakai diatas Ethernet, koneksi DSL, dial-up line, dan semua jenis medium transmisi fisik
lainnya •
Memiliki skema pengalamatan yang memungkinkan setiap TCP/IP device dapat dikenali secara spesifik walaupun berada dalam jaringan yang sangat besar seperti internet
Setiap network device memiliki alamat yang unik dikenal dengan IP address, panjangnya 32 bit dan terbagi dalam 4 bagian. Tiap bagian berisi 8 bit (oktet) dan antar bagian terpisah oleh tanda ’.’ dengan format x.x.x.x (nilai x berkisar 0 s/d 255) alamat IP yang unik ini digunakan sebagai identitas tiap device. 2.2.5 Fasilitator jaringan
Dalam membangin suatu jaringan yang baik, dibutuhkan adanya peralatan device yang berfungsi memfasilitasi hubungan antar komputer dalam jaringan yang
antara lain: 1. Repeater Berfungsi menguatkan sinyal untuk jarak yang jauh. Berupa penghubung 2 kabel LAN yang berbeda sehingga jangkauannya bisa lebih jauh. 2. Hub Mempunyai fungsi yang sama dengan repeater yaitu untuk menguatkan sinyal, hanya saja hub mempunyai port lebih dari satu sehingga dapat menghubungkan lebih dari 2 kabel dan umumnya dikenal dengan multiport repeater.
31 3. Bridge Alat yang berfungsi menghubungkan dua LAN yang berbeda. Dengan adanya fungsi filstrasi terhadap data yang dikirim, bridge mampu melihat alamat tujuan dari data dan bila tujuan masih berada dalam LAN yang sama maka tak perlu mengirim ke LAN yang lain. 4. Switch Berfungsi sebagai penghubung lebih dari dua LAN yang berbeda, hal ini dikarenakan switch memiliki lebih dari 1 port. Selain adanya filtrasi, Switch juga mampu melaksanakan komunikasi lebih dari satu pada waktu yang bersamaan, hal ini tak dapat dilakukan pada hub yang hanya mampu melakukan satu komunikasi antar dua komputer pada suatu waktu. 5. Router Router dapat menentukan jalur terbaik yang akan dilalui sebuah paket data dari sumber hingga ketujuan berdasarkan pada alamat IP nya. 2.2.6 Manajemen Jaringan
Menurut standar ISO, ada lima fungsi dasar dari manajemen jaringan yakni: 1. Manajemen kegagalan (Fault Management) Manajemen kegagalan bertujuan untuk memulihkan layanan dari kerusakan, mengidentifikasi penyebab kegagalan, mengumpulkan dan menganalisa ukuran efektifitas manajemen kegagalan karena terputusnya layanan dan besarnya biaya perbaikan. 2. Manajemen Accounting (Accounting Management)
32 Manajemen accounting bertujuan untuk mengatur fasilitas dengan kemampuan untuk menarik biaya atas penggunaan sumber daya jaringan. 3. Manajemen konfigurasi (Configuration Management) Manajemen konfigurasi memiliki beberapa macam fungsi antara lain : mencatat konfigurasi saat ini, mencatat perubahan konfigurasi, mengidentifikasi komponen jaringan, inisialisasi sistem dan mengubah parameter jaringan. 4. Manajemen kinerja (Performance Management) Manajemen kinerja bertujuan untuk mengukur beberapa komponen dari jaringan. Komponen yang diukur tersebut adalah throughput, workload, delay, wait time, response time, dan Quality of Service. Pada level yang lebih luas, performance management diorganisasikan atas beberapa fungsi yakni:
•
Monitoring throughput, digunakan untuk mengukur throughput (besar
bandwidth sebenarnya tanpa distorsi) pada sebuah jaringan •
Monitoring response time, digunakan untuk mengukur response time dari
sebuah jaringan •
Statistical analysis, digunakan untuk memantau dan menentukan performance
dari sebuah node di dalam jaringan 5. Manajemen keamanan (Security Management) Manajemen keamanan bertujuan untuk melakukan pendeteksian dan pencegahan terhadap usaha untuk mengacaukan keamanan jaringan
33 2.3 Teori trafik 2.3.1
Definisi Trafik
Trafik menurut D.Bear dalam bukunya Principles of telecommunication traffic engineering adalah perpindahan informasi dari satu tempat ke tempat yang lain dengan menggunakan media jaringan telekomunikasi (jasa telekomunikasi). Ada pula definisi lain yang menyebutkan trafik sebagai sejumlah permintaan penyambungan (call) dalam suatu kelompok rangkaian (trunk) dengan memperhatikan lamanya pendudukan panggilan / lamanya paket data di dalam jaringan mulai dari sumber trafik hingga ke tujuan (holding time). Sumber trafik adalah pengguna layanan. Rekayasa trafik adalah penerapan suatu ilmu pengetahuan dalam mengelola manajemen trafik telekomunikasi guna meningkatkan jasa pelayanan. Besaran trafik adalah lamanya suatu pendudukan yang diproses oleh suatu sirkuit dengan satuan Erlang ( diambil dari nama ilmuwan Denmark, A.K.Erlang ).
h1
h2
h3
hn
sibuk bebas
0
T Gambar 2.2 Pendudukan sirkuit pada selang T
Gambar 2.2 menunjukan bagaimana pada suatu selang waktu T sebuah sirkuit diduduki oleh berbagai panggilan dengan lama waktu pendudukan ( h1,h2,.. ) yang berbeda beda.
34 2.3.2
Karakteristik Trafik
1. Intensitas Trafik ( traffic density )
Kepadatan arus trafik yang melalui sirkuit yang telah disediakan. Umumnya yang sering dihitung adalah intensitas trafik pada saat jam sibuk di tiap sirkuit (route) karena berguna untuk perencanaan penyediaan fasilitas. Intensitas ini dapat ditentukan dari jumlah server, kecepatan pelayanan server dan kecepatan panggilan yang datang lamanya rata rata trafik tersebut dilayani (average holding time). A = C. ρ = C.
λ μ
A = Intensitas Trafik ; C = Jumlah Server ; ρ = Intensitas Antrian Cara termudah untuk menghitungnya adalah dengan memantau alat pencatat trafik pada suatu interval tertentu (contohnya MRTG / Multi Router Traffic Grapher), kemudian bandingkan lamanya server sibuk dengan lamanya pengamatan. 2. Variansi Trafik : Jam Sibuk ( busy hour )
Biasanya pola dari trafik akan turun pada malam hari, naik pada jam kerja / bisnis dan fluktuasi dari trafik ini akan mencapai puncaknya pada suatu saat dalam satu hari. Periode selama 60 menit berurutan pada suatu selang waktu dimana terjadi intensitas trafik terpadat. Untuk mengamati jam sibuk ada 2 cara: a. Time Consistent Busy Hour Method ( TCBH ) Mengambil 1 jam pada waktu yang sama tiap kali pengamatan dilakukan dimana waktunya didasarkan pada 1 jam terpadat pada pengamatan sebelumnya. b. Post selected Busy Hour Method ( BBH ) Mengambil 1 jam terpadat pada tiap kali pengamatan, kemudian dirata ratakan.
35 3. Kongesti ( congestion )
Keadaan dimana semua sirkuit sedang dalam keadaan trafik yang padat dalam waktu yang bersamaan. Secara teoritis, penanganan masalah kongesti ini sangat mudah, cukup menyediakan jumlah bandwidth yang sama dengan jumlah trafik yang datang, namun dalam kenyataannya pola kedatangan trafik mengikuti distribusi poisson (acak dan independen) sehingga sulit ditebak dan penambahan bandwidth yang memadai mempunyai pertimbangan ekonomis tersendiri. Pelayanan terhadap panggilan baru yang datang saat kongesti terjadi ada bermacam macam, yaitu: a. Sistem hilang ( loss system )
Panggilan yang datang pada saat kongesti akan ditolak dan hilang dari sistem.
Incoming Traffic
SISTEM
Outgoing Traffic
Rejected Call Lost
Gambar 2.3
Proses dalam loss system
Incoming Traffic = total semua panggilan yang masuk kedalam sistem Rejected call = total panggilan yang hilang akibat sistem dalam keadaan padat. Outgoing Traffic = total panggilan yang berhasil dilayani dan kembali ke pemanggil.
Ada 2 jenis kongesti dalam loss system ini: •
Call congestion = Probabilitas panggilan yang datang dan menemui kongesti ( perbandingan antara jumlah rejected call dan jumlah incoming traffic ).
36 •
Time congestion = Probabilitas lamanya kongesti terjadi dalam satu satuan waktu
b. Sistem Tunda ( Delay system )
Panggilan yang datang pada saat terjadi kongesti akan masuk kedalam daftar antrian dan menunggu hingga terdapat bandwidth yang mencukupi. Dimana waktu penundaan ( delay time ) = waktu tunggu ( waiting time ) + waktu servis ( service time )
Waktu penundaan adalah lama panggilan tersebut berada dalam sistem. Waktu tunggu adalah lamanya panggilan berada dalam antrian. Waktu servis adalah lamanya panggilan tersebut dilayani.
Incoming Traffic Waiting Call
SISTEM
Outgoing Traffic
Rejected Call Queuing line
Gambar 2.4 Proses dalam Delay system
. 4. Tingkat Pelayanan ( Grade of Service )
GoS adalah probabilitas dari panggilan yang hilang akibat menunggu terlalu lama karena melebihi batas interval ( batas toleransi ) tertentu, dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal. GoS ini juga menunjukan tingkat kongesti trafik dalam suatu grup sirkuit dalam jam sibuk yang juga memperlihatkan tingkat pelayanan dalam menangani panggilan koneksi yang datang, sehingga bisa dikatakan Tingkat
37 Pelayanan adalah perbandingan antara jumlah panggilan yang tidak dapat segera terlayani dengan jumlah semua panggilan yang masuk ke penyedia layanan (server). Untuk menghitung GoS dari suatu grup sirkuit tertentu, A.K.Erlang telah mengembangkan suatu formula yang dikenal dengan ‘Erlang-B’, namun dengan asumsi : •
Semua trafik yang melalui jaringan mengikuti pola yang acak dan independen (tak dipengaruhi faktor apapun). Contohnya pola kedatangan panggilan.
•
Terdapat suatu titik kesetimbangan secara statistik. Contohnya jumlah panggilan yang datang rata rata secara statistik akan naik terus hingga mencapai suatu titik kesetimbangan dan bergerak dengan variansi tertentu.
•
Semua panggilan yang menemui kongesti akan segera hilang.
5.
Pengukuran Trafik (traffic measurement)
Berbagai karakteristik trafik dapat dihitung secara manual namun saat ini telah dikembangkan alat penghitung secara otomatis, sehingga dapat diketahui panggilan yang terlayani (Outgoing Traffic) dalam bentuk grafik.
2.3.3 ERLANG
Erlang adalah unit satuan dari intensitas trafik yang diambil dari Agner Krarup Erlang (1878 - 1929), ilmuwan Denmark yang menemukan teori tentang trafik dan penemu dari teori antrian. 1E sama dengan satu panggilan (call) dalam suatu pendudukan selama 3600 detik. A.K.Erlang telah mengembangkan berbagai formula dan metode dalam masalah trafik. Diantaranya adalah:
38 1. Distribusi Erlang – B
Dikembangkan untuk menganalisa trafik untuk sumber tidak terbatas tanpa antrian (loss system).
Grade of Service =
⎛ (C.ρ )C ⎜ ⎜ C! ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝
C
∑
N =0
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
(C.ρ )N N!
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
( juga disebut Erlang’s lost call formula )
C = Jumlah Server , ρ = Intensitas Antrian Trafik 2. Distribusi Erlang – C
Umumnya digunakan untuk menganalisa trafik untuk pola kedatangan poisson dengan adanya sistem antrian (delay system).
Grade of Service =
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
C −1
∑
N =0
⎛ (Cρ )C ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ C ! (1 − ρ ) ⎟ ⎠ ⎝ N ⎞ ⎛ (Cρ ) ⎟ + ⎜ (Cρ )C ⎞⎟ N ! ⎟ ⎜ C ! (1 − ρ ) ⎟ ⎠ ⎠ ⎝
biasa dikenal sebagai Erlang’s delayed call formula . persamaan diatas juga dapat disamakan dengan P (x > 0), probabilitas kongesti dengan jumlah delayed call lebih dari 0.
2.3.4
Metode Peramalan Trafik (traffic prediction)
Metode metode yang umumnya digunakan dalam peramalan trafik adalah: a. Intutive forecasting
Penaksiran secara langsung terhadap survei yang disurvei. Misalnya: untuk mengetahui kebutuhan jasa tertentu dalam 5 tahun mendatang, dilakukan survei
39 terhadap sampel yang dipilih secara acak, untuk ditanyakan mengenai kebutuhannya dalam jasa tersebut untuk 5 tahun mendatang. b. Iterative forecasting
Prediksi dengan cara menyeimbangkan matrik trafik dari suatu jaringan, dimana matrik trafik adalah besarnya intensitas trafik antar sentral. Matrik( a x b ) adalah nilai trafik dari sentral a ke b. Contoh dari ramalan ini adalah Kruithof. Bila dalam suatu wilayah.terdapat N-sentral, maka: •
Total outgoing trafik dari sentral a adalah N
O ( a ) = ∑ M ( a, b) b =1
•
Total incoming trafik ke sentral a adalah N
T (a ) = ∑ M (b, a ) b =1
c. Comparasion forecasting
Menganggap bahwa pola trafik pada suatu daerah sama dengan daerah yang lain. Model ini sangat baik dalam memprediksi pola trafik suatu daerah dengan faktor faktor yang sama dengan daerah lain yang telah mempunyai pola trafik tertentu. d. Trend forecasting
Menganggap pola trafik di masa depan sangat terkait / mempunyai hubungan yang dapat diprediksi dengan pola dimasa lalu. Prosedurnya adalah: •
Kumpulkan data data dimasa lalu.
•
Tentukan fungsi waktu yang cocok dengan tipe data
•
Gunakan analisis regresi untuk menentukan hubungan antar variabel data. Dapat digunakan metode kuadrat terkecil untuk memperkecil kesalahan.
