BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1.
Regresi
2.1.1. Pengertian Persamaan Regresi Persamaan regresi adalah persamaan matematik yang memungkinkan kita meramalkan nilai-nilai suatu peubah tak bebas dari nilai-nilai satu atau lebih peubah bebas (Walpole, 1995, p340 ).
2.1.2. Pengertian Regresi Linier dan Regresi Non Linier Secara umum, regresi adalah suatu metode untuk meramalkan nilai harapan yang bersyarat. Regresi dikatakan linear apabila hubungan antara peubah bebas dan peubah tak bebas adalah linear, sedangkan apabila hubungan antara peubah bebas dan peubah tak bebas tidak linear, maka regresi dikatakan regresi non linear. Hubungan antara peubah bebas dan peubah tak bebas dapat dikatakan linear apabila diagram pencar data dari peubah-peubah tersebut mendekati pola garis lurus.
2.1.3. Regresi Linier Sederhana 2.1.3.1.Pengertian Regresi Linier Sederhana Regresi Linear Sederhana adalah suatu persamaan regresi di mana peubah bebasnya berbentuk skalar.
9 2.1.3.2.Persamaan Regresi Linier Sederhana Model Regresi Linear Sederhana dapat dinyatakan dalam persamaan : Yi = β 0 + β 1 X i + ε i Keterangan Yi
(2.1)
:
: nilai peubah tak bebas pada percobaan ke-i
β0, β1 : koefisien regresi Xi
: nilai
peubah bebas pada percobaan ke - i
єi
: error
dengan mean E{єi}=0 dan varians σ2{єi}= σ2
, єi & єj tidak berkorelasi. i
: 1,…,n
2.1.3.3.Pendugaan Koefisien Regresi Metode kuadrat terkecil adalah suatu metode untuk menghitung koefisien regresi sampel (b0 & b1) sebagai penduga koefisien regresi populasi (β0 & β1), sedemikian rupa sehingga jumlah kesalahan kuadrat memiliki nilai terkecil. Dengan bahasa matematik, dapat dinyatakan sebagai berikut : Model sebenarnya
:
Yi = β0 + β1Xi + εi
Model perkiraan
:
Ŷi = b0 + b1Xi
Kesalahan error i
:
ei = Yi – (b0 + b1Xi)
Jumlah kesalahan kuadrat :
∑ei2 = ∑ [Yi – ( b0+ b1Xi)] 2
Jadi metode kuadrat terkecil adalah metode menghitung b0 dan b1 sedemikian rupa sehingga ∑ei2 minimum. Caranya adalah dengan membuat turunan parsial
10 ∑ei2 mula-mula terhadap b0 kemudian terhadap b1 dan menyamakannya dengan nol, sehingga kita dapat memperoleh rumus : b0 = y − b1 x b1 =
(2.2.)
n∑ XiYi − ∑ Xi ∑ Yi n∑ Xi 2 − (∑ Xi ) 2
(2.3)
2.1.4. Regresi Linier Berganda 2.1.4.1.Pengertian Regresi Linier Berganda Regresi Linear Berganda adalah regresi yang mempunyai hubungan antara satu peubah tidak bebas Y dengan beberapa peubah lain yang bebas X1, X2,... ,Xk.
2.1.4.2.Persamaan Regresi Linier Berganda Untuk meramalkan Y, apabila semua nilai peubah bebas diketahui, dipergunakan model persamaan regresi linear berganda. Hubungan Y dan X1, X2,... ,Xk
yang sebenarnya adalah sebagai berikut : Yi = β 0 + β1 Xi1 + β 2 Xi2 + ... + β k Xik + ε i
(2.4)
Keterangan : β0, β1, β2, βk
: parameter / koefisien yang akan ditaksir
εi
: nilai peubah gangguan yang berkaitan dengan pengamatan ke-i
i
: 1, 2, 3, ..., n
11 Apabila b0, b1, b2, .... bk adalah penduga atas β0, β1, β2, .... βk maka persamaan penaksir yang sebenarnya adalah : Yˆi = b0 + b1 Xi1 + b2 Xi2 + ... + bk Xik + ei
(2.5)
Apabila dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks, sebagai berikut :
Y = Xβ + ε
(2.6)
Keterangan : Y, β, ε
: vector
X
: matriks x
2.1.5. Pendugaan Koefisien Regresi Berganda Koefisien β harus diestimasi berdasarkan data hasil penelitian sampel acak. Prosedur estimasi tergantung mengenai variabel X dan kesalahan pengganggu µ. Beberapa asumsi yang penting adalah sebagai berikut : 1.
Nilai harapan setiap kesalahan pengganggu sama dengan nol E(µi) = 0 untuk semua i.
2.
Kesalahan pengganggu yang satu tidak berkorelasi terhadap kesalahan pengganggu lainnya E(µiµj) = 0 untuk i ≠ j, akan tetapi mempunyai varians yang sama E(µi2) = σ2 untuk semua i.
3.
X1, X2,... ,Xk merupakan bilangan riil, tanpa mengandung kesalahan.
4.
Matriks X mempunyai rank k < n. Banyaknya observasi n harus lebih banyak dari banyaknya peubah, atau lebih banyak dari koefisien regresi parsial yang akan diestimasi.
12 Apabila asumsi di atas dapat dipenuhi, maka penggunaan metode kuadrat terkecil akan menghasilkan Best Linear Unbiased Estimator terhadap koefisien β. Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil maka b0 dan b1 merupakan penduga tidak bias dan mempunyai varians minimum diantara semua penduga linear tak bias. Berikut adalah rumusan penduga koefisien b : Misalkan b sebagai penduga β : Y = Xb + e e = Y - Xb ei = Yi - b1Xi1 - b2Xi2 - ... – bkXik Maka jumlah pangkat dua simpangan yang harus diminimumkan : ∑ ei2 = ∑ ( Yi - b1Xi1 - b2Xi2 - ... - bkXik)2 Estimasi vektor β dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, ialah vektor b sedemikian rupa sehingga jumlah kuadrat kesalahan pengganggu : e T e = ∑ ei 2 = min
(2.7)
Caranya ialah dengan menurunkan penurunan parsial ∑ ei2 terhadap setiap komponen vektor b dan menyamakannya dengan 0. δ∑ei2/ δb1 = 2 ∑ ( Yi - - b1Xi1 - b2Xi2 - ... – bkXik ) (-X1i) = 0 δ∑ei2/ δb2 = 2 ∑ ( Yi - - b1Xi1 - b2Xi2 - ... – bkXik ) (-X2i) = 0 .
.
.
.
δ∑ei2/ δbk = 2 ∑ ( Yi - - b1Xi1 - b2Xi2 - ... – bkXik ) (-Xki) = 0
(2.8)
13 Persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi : b1∑Xi12
+ b2∑Xi1Xi2 + ... + bk∑Xi1Xik = ∑Xi1Yi
b2 ∑Xi2Xi1 + b2∑Xi12
.bk
+ … + bk∑Xi2Xik = ∑Xi2Yi
.
.
.
.
∑XikXi1 + b2∑XikXi2 + ... + bk∑Xik 2
= ∑XikYi (2.9)
Apabila dinyatakan di dalam bentuk matriks, persamaan normal di atas akan menjadi :
X T Xb = X T Y
(2.10)
Dengan demikian b sebagai penduga β dapat diperoleh melalui rumus : b = ( X T X ) −1 X T Y
(2.11)
2.1.6. Koefisien Korelasi Koefisien
korelasi
merupakan
suatu
ukuran
kuantitatif
yang
menggambarkan kekuatan hubungan linear di antara 2 variabel. Koefisien korelasi (r) mempunyai nilai di antara –1.0 dan +1.0. Suatu korelasi yang mempunyai nilai +1.0 menunjukkan hubungan linear yang sempurna. Dan apabila nilai korelasi adalah 0 berarti kedua peubah tidak mempunyai hubungan linear.
14 Berikut adalah rumus untuk menghitung korelasi antara peubah bebas dan peubah tak bebas :
r=
∑ ( x − x)( y − y) ∑ ( x − x) ∑ ( y − y ) 2
(2.12)
2
Sedangkan untuk menghitung korelasi di antara dua peubah bebas menggunakan rumus : n
∑ (x
r=
1i
i =1
n
∑ (x i =1
1i
− x 1 )( x 2i − x 2 )
− x1 )
2
2
n
∑ (x i =1
2i
− x2 )
(2.13)
2.1.7. Koefisien Determinasi Koefisien determinasi adalah ukuran variasi total pada peubah tak bebas yang dapat dijelaskan oleh hubungannya dengan peubah bebas. Koefisien determinasi juga disebut sebagai R2. Nilai dari R2 antara 0 dan 1.0. Apabila terdapat suatu hubungan linear yang sempurna di antara dua peubah maka koefisien determinasi akan bernilai 1.0 ( di mana garis regresi kuadrat terkecil akan melalui setiap titik pada scatter plot ). R2 sering digunakan sebagai ukuran untuk mengindikasikan seberapa baik garis regresi linear terhadap data. Semakin baik maka R2 akan mendekati nilai +1.0 dan apabila terdapat hubungan linear yang lemah maka R2 akan mendekati 0.
15 Untuk menghitung koefisien determinasi digunakan rumus sebagai berikut: R2 =
SSR TSS
(2.14)
SSE ( Sum of Squares Error ) menunjukkan jumlah total kuadrat peubah tak bebas yang tidak dijelaskan oleh garis regresi kuadrat terkecil. Sedangkan SSR ( Sum of Squares Regression ) merupakan jumlah total kuadrat yang dapat dijelaskan oleh garis regresi. Dan TSS ( Total Sum of Squares ) merupakan jumlah dari SSE dan SSR. SSR = ∑ ( yˆ − y ) 2
(2.15)
TSS = ∑ ( y − y ) 2
(2.16)
SSE = ∑ ( y − yˆ ) 2
(2.17)
TSS = SSE + SSR
(2.18)
Setelah menghitung koefisien determinasi, maka kita akan dapat mengetahui seberapa besar variasi peubah tak bebas yang dapat dijelaskan oleh model regresi.
2.1.8. Masalah Regresi Linier Berganda Di dalam regresi linier berganda dapat terjadi beberapa keadaan yang dapat menyebabkan estimasi koefisien regresi dengan menggunakan metode kuadrat terkecil tidak lagi menjadi penduga koefisien tak bias terbaik. Beberapa
16 masalah / kondisi yang dapat terjadi pada regresi linier berganda adalah sebagai berikut :
2.1.8.1.Otokorelasi Di dalam suatu model regresi, dianggap bahwa kesalahan pengganggu εi ,di mana i = 1,2,3,…,n merupakan variabel acak yang bebas. Dengan kata lain bahwa kesalahan observasi yang berikutnya diperoleh secara bebas terhadap kesalahan sebelumnya. Artinya E(εi,εi+r ) = 0, untuk semua i dan semua r ≠ 0. Apabila asumsi tersebut tidak berlaku, maka akan terdapat banyak kesukaran di dalam analisis ekonomi. Jika terjadi suatu otokorelasi, maka apabila metode kuadrat terkecil diterapkan untuk memperkirakan parameter / koefisien regresi, maka penduga penduga yang dihasilkan bukan lagi penduga tak bias yang terbaik. Selain itu, apabila terjadi otokorelasi di antara kesalahan pengganggu maka pengujian nyata berdasarkan statistik uji t dan F sebetulnya tidak berlaku lagi. Solusi untuk masalah otokorelasi adalah data asli harus ditransformasikan terlebih dahulu untuk menghilangkan otokorelasi di antara kesalahan pengganggu tersebut. Untuk menguji ada tidaknya otokorelasi dapat menggunakan Statistik d Durbin-Watson (The Durbin-Watson d Statistics). Statistik d Durbin-Watson adalah sebagai berikut : n
d=
∑ (e i =2
i
− ei −1 ) 2
n
∑e i =2
2 i
(2.19)
17 Keterangan : d
: statistik d Durbin dan Watson
ei
: residu ( kesalahan penggangu)
Durbin dan Watson
sudah membuat tabel yang disebut Statistik d Durbin-
Watson pada tingkat nyata 5% dan 1%. Di dalam tabel, dimuat nilai batas atas (du) dan nilai batas bawah (d1) untuk berbagai nilai n dan k (banyaknya variable bebas). Statistik d Durbin-Watson tersebut digunakan untuk menguji hipotesis : Ho
: tak ada korelasi serial (otokorelasi) yang positif
H1
: ada korelasi serial ( otokorelasi) yang positif
2.1.8.2.Heterokedastisitas Apabila matriks ragam (variance) kesalahan adalah sebagai berikut :
(2.20)
Dan apabila beberapa elemen pada diagonal utama tidak sama dengan satu (Vii≠1), maka kesalahan pengganggu tersebut disebut heteroskedastis. Dengan kata lain kesalahan pengganggu merupakan variabel bebas, tetapi kesalahan pengganggu tersebut mempunyai varians yang berbeda untuk setiap nilai X yang berbeda, di mana X merupakan variabel bebas. Cara untuk mengatasi masalah heterokedastisitas adalah mengubah matrik kovarian menjadi matrik yang memenuhi homokedastisitas Untuk mendapatkan
18 penduga b dengan metode kuadrat terkecil, mula-mula kita cari matrik T sedemikian rupa sehingga : E (Tεε T T T ) = σ 2 In
(2.21)
Matrik T adalah sebagai berikut :
T=
1/x1
0
…
0
0
1/x2
…
0
0
0
…
1/xn
Jika Y = XB + ε kalikan dengan T, maka diperoleh TY =TXB + T ε. Kemudian dapat kita peroleh rumus b sebagai penduga B dengan metode kuadrat terkecil adalah sebagai berikut :
b* = ( X T T T TX ) −1 X T T T TY
(2.22)
2.1.8.3.Multikolinieritas Multikolinieritas adalah masalah yang timbul pada regresi linier apabila terdapat suatu hubungan atau ketergantungan linier di antara beberapa semua
atau
dari peubah-peubah bebas. Jika peubah-peubah bebas tersebut saling
berkorelasi, maka akan sangat sulit untuk memisahkan pengaruh mereka masingmasing terhadap peubah tak bebas dan untuk mendapatkan penaksir yang baik bagi koefisien-koefisien regresi. Masalah multikolinieritas sering terjadi pada bidang economy, agriculture, chemometrics, sociology.
19 Masalah multikolinieritas seperti ini mungkin juga terdapat dalam analisis regresi sederhana. Masalah kolinieritas
yang sempurna pada regresi linear
sederhana terjadi jika nilai Xi yang diamati itu sama dengan X rata-rata. Apabila kita mempunyai persamaan hubungan linear sebagai berikut : Yi = β0 + β1Xi 1 + β2Xi 2 + εi Secara ekstrim, ada kemungkinan terjadi
2 peubah bebas atau lebih yang
mempunyai hubungan yang sangat kuat sehingga pengaruh masing-masing peubah tersebut terhadap Y sukar untuk dibedakan. Dari persamaan diatas peubah X1 dan X2 mempunyai hubungan sedemikian rupa sehingga X2i = kX1i, dimana k adalah bilangan konstan. Untuk memperkirakan β0, β1, β2, kita harus menggunakan data hasil observasi sebanyak n, untuk variabel X1 dan X2 sebagai berikut : X1 X2 Y
X11 X21 Y1
X12 X22 Y2
… … …
X1n X2n Yn
Dalam hal ini, metode kuadrat terkecil tidak dapat menghasilkan penduga b0, b1, b2,…, bk dengan variansi kecil, karena r(X’X)= 2
XTX =
n
ΣX1i
ΣX2i
ΣX1i
ΣX1i2
ΣX1iX2i
ΣX2i
ΣX2iX1i ΣX2i2
karena X2i = kX1i, maka
20
XTX =
n
ΣX1i
kΣX1i
ΣX1i
ΣX1i2
kΣX1i2
kΣX1i
kΣX1i2
k2ΣX1i2
Berdasarkan teori matriks, nilai determinan suatu matriks tidak berubah kalau suatu kolom/ baris dikalikan dengan suatu bilangan konstan, kemudian baris/kolom lain dikurangi dengan baris/kolom tersebut. Dalam hal ini, Jika matrik korelasi yang kita peroleh dikalikan baris 2 dengan k kemudian baris 3 dikurangi dengan baris 2, maka kita memperoleh matrik sebagai berikut :
XTX =
n
ΣX1i
kΣX1i
ΣX1i
ΣX1i2
kΣX1i2
0
0
0
Menurut teori matriks, apabila semua elemen dari suatu baris / kolom matriks tersebut bernilai nol maka determinan yang bersangkutan adalah nol. Oleh karena itu det(XTX) = 0 maka XTX adalah matrik singular dan karena (XTX)-1 tidak ada, maka metode kuadrat terkecil tidak dapat digunakan untuk menduga b0, b1, b2,…, bk . Nilai eigenvalues λ1 ≤λ2≤…≤ λ1 dari matriks X’X juga dapat digunakan sebagai indikasi multikolinieritas. Apabila nilai λ1 terkecil adalah 0 berarti matriks adalah singular dan data merupakan data multikolinier. Akibat dari multikolinieritas adalah : a.
Apabila hubungan tersebut sempurna, maka koefisien regresi parsial tak akan dapat diestimasi.
21 b.
Apabila hubungan tersebut tidak sempurna, maka koefisien regresi parsial masih dapat diestimasi, tetapi kesalahan baku dari penduga koefisien regresi parsial sangat besar. Hal ini menyebabkan pendugaan/ramalan nilai Y dengan menggunakan X1 dan X2 kurang teliti. Cara menghadapi masalah multikolinieritas antara lain :
a.
Menggunakan a priori extraneous information Metode ini dilakukan dengan menggantikan variabel-variabel bebas yang saling berkorelasi ke variabel baru. Namun penggunaan a priori extraneous information sangat bergantung pada beberapa hal misalnya jenis informasi yang ada, tujuan analisis, dan daya kaya khayal/ imajinasi peneliti karena tidak ada aturan yang tetap untuk hal tersebut.
b.
Melakukan transformasi bentuk linier ke bentuk tak linier (model regresi polinomial).
c.
Menggunakan model Ridge Regression Metode tersebut dilakukan dengan cara mengembangkan metode kuadrat terkecil yang biasa dengan menambahkan parameter k untuk menentukan penaksir bias.
2.2.
Variance Inflation Factor Salah satu cara sederhana untuk mendeteksi multikolinieritas adalah mengamati apakah korelasi antara peubah bebas X cukup besar. Cara lain yang lebih peka dan lebih formal untuk mendeteksi adanya multikolinieritas adalah variance
inflation
factor
yang
biasa
disingkat
22 VIF. VIF digunakan untuk mengukur seberapa besar perubahan varians koefisien apabila peubah bebas tidak saling berkorelasi. Elemen diagonal (VIF)k disebut variance inflation factor untuk bk. Dapat dibuktikan bahwa variance inflation factor sama dengan :
(VIF ) k =
1 1 − Rk
2
(2.23)
Keterangan : k
= 1, 2, 3, …, k
Rk2
= koefisien determinasi berganda bila Xk diregresikan terhadap p-1 peubah X yang lain dalam model regresi tersebut. (VIF)k =1 bila Rk2 = 0, yaitu bila Xk tidak berkorelasi dengan peubah X
yang lain. Apabila Rk2 > 0, maka (VIF)k <1 yang menunjukkan adanya antar korelasi di antara peubah X. Jika peubah X saling berkorelasi sempura maka Rk2 = 1 dan (VIF)k = ~.
2.3.
Ridge Regression Pada teorema umum, teorema Gauss-Markov akan menghasilkan penduga tidak bias yang mempunyai varians minimum. Teorema estimasi Gauss-Markov bagus digunakan apabila X’X adalah matriks unit dan apabila X’X bukan matriks unit, maka penggunaan teorema ini akan mengakibatkan beberapa kesulitan. Menurut RE. Walpole dan R.H. Myers (1985), dengan adanya multikolinieritas, penggunaan teorema Gauss-Markov dapat mengakibatkan penduga koefisien
23 regresi sangat tidak stabil dan sensitif terhadap perubahan data selain itu dapat menyebabkan perbedaan penduga koefisien βj di mana j = 1, 2, .., p untuk data sampel yang berbeda cenderung besar. Oleh karena itu diperlukan suatu metode penaksiran alternatif yang memberi hasil penaksiran lebih baik yang menghasilkan penduga koefisien regresi yang bias tetapi cenderung mempunyai ketepatan yang lebih baik daripada teorema Gauss-Markov. Prosedur ridge regression diusulkan pertama kali oleh A.E. Hoerl pada tahun 1962 dan dibahas secara mendalam dalam dua tulisan Hoerl dan Kennard. Prosedur tersebut ditujukan untuk mengatasi situasi multikolinieritas dan kolom matriks dari X tidak bebas linier yang menyebabkan matriks X’X hampir singular. Pada metode ridge regression, penduga koefisien regresi yang dihasilkan adalah penduga bias. Penaksiran metode alternatif tidak sebaik metode kuadrat terkecil karena jumlah kuadrat residual tidak terlalu kecil dan koefisien korelasi ganda tidak terlalu besar tetapi lebih berpotensial untuk ketepatan yang lebih baik.
2.3.1. Standarized Regression Model Untuk pengukuran dampak dari multikolinieritas akan lebih mudah bila kita menggunakan model regresi yang dibakukan (standardized regression model). Apabila semua peubah ditransformasi oleh transformasi korelasi, maka bentuk persamaan regresi sebagai berikut : Yi' = β ' 0 + β '1 X ' i1 + β ' 2 X ' i2 + ... + β ' k X ' ik + εi
(2.24)
24 Transformasi korelasi untuk peubah yang dibakukan adalah :
xik ' =
1 xik − x k n − 1 sk
y ik ' =
yi − y n − 1 sy
( k = 1, … , k ) (2.25)
1
(2.26)
di mana :
sk =
sy =
∑ (x
− xk
ik
)
2
( k = 1, … , k ) (2.27)
i
n −1
∑ (y
i
−y
)
2
(2.28)
i
n −1
Hubungan antara model regresi yang dibakukan dengan model regresi semula adalah sebagai berikut :
βk = (
sy )β ' k sk
β 0 = Y − β 1 X 1 + β 2 X 2 + ... β k X
(2.29)
k
(2.30)
25 Bentuk matriks X’X untuk model regresi yang dibakukan adalah matriks korelasi antara peubah X yang mempunyai elemen semua pasangan korelasi peubah X : 1 r12 .......r1, p −1 r 1..........r 21 2,k X ' X → R xx = ... ............. kxk rk ,1 rk , 2 ......1
(2.31)
Bentuk matriks korelasi antara peubah Y dengan setiap peubah X : r y1 ry 2 X ' Y → R yx = ry 3 kx1 ... ry ,k
(2.32)
Dan persamaan di atas maka diperoleh persamaan regresi yang dibakukan yaitu : X’X b = X’Y (Rxx) b = Ryx
b = ( Rxx ) −1 R yx b1' b2' b = b3' kx1 ... bk
(2.33)
(2.34)
26 Penduga regresi ridge diperoleh dengan menambahkan ke dalam persamaan normal metode kuadrat terkecil suatu konstan yang bias k ≥ 0 dalam bentuk sebagai berikut : ( R xx + kI )b R = R yx
(2.35)
Di mana I adalah matrks identitas k x k. Solusi terhadap persamaan memberikan koefisien regresi ridge yang dibakukan : b R = ( R xx + kI ) −1 R yx
(2.36)
Konstanta k merupakan besarnya bias dari penduga. Bila k = 0, persamaan akan menjadi persamaan koefisien regresi biasa. Bila k > 0, koefisien regresi ridge bersifat bias tetapi cenderung lebih stabil.
2.3.2. Keakuratan Ridge Regression
Untuk mengukur keakuratan ridge regression dapat diketahui dari ratarata kuadrat residualnya (mean squared error). Taksiran ridge regression cenderung mempunyai rata-rata kuadrat residual yang lebih kecil daripada taksiran kuadrat terkecil. Dua fungsi yang umum diaplikasikan
untuk mengukur kedekatan
penduga b dengan parameter β yang tidak diketahui didefinisikan sebagai berikut: 1.
mean squared estimation error p
M 1(b ) = E (b − β ) T (b − β ) = ∑ E (bi −β i ) 2 i =1
(2.37)
27 2.
mean squared prediction error p
M 2 (b) = E (b − β ) X X (b − β ) = ∑ λi E (ci − α i ) 2 T
T
i =1
(2.38)
Di mana :
λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λ p = eig ( X T X )
(2.39) (2.40)
c = QT b
α = QT β
(2.41)
Q T X T XQ = diag (λ1 , λ 2 ., , ,.λ p )
(2.42)
Telah dibuktikan oleh Hoerl and Kennard (1970a) bahwa: p
f M 1 (k ) = M 1 ( β * (k )) = ∑ (λiσ 2 + k 2α i ) /(λi + k ) 2 2
i =1
p
f M 2 (k ) = M 2 ( β * (k )) = ∑ λi (λiσ 2 + k 2α i ) /(λi + k ) 2
(2.43)
2
i =1
(2.44)
di mana 2
σ 2 = y − X β /(n − p ) Dengan mengganti αi dan σ 2 dengan αˆi dan σˆ 2
(2.45) maka diperoleh
persamaan baru yaitu : p
2 fˆM 1 (k ) = ∑ (λiσˆ 2 + k 2αˆ i ) /(λi + k ) 2 i =1
(2.46)
28 p
2 fˆM 2 (k ) = ∑ λi (λiσˆ 2 + k 2αˆ i ) /(λi + k ) 2 i =1
(2.47)
di mana : 2
σˆ 2 = y − X βˆ /(n − p ) (2.48) (2.49)
αˆ = Q T βˆ 2.3.3. Ridge Trace
Cara yang biasa dilakukan untuk menentukan konstanta k adalah berdasarkan ridge trace. Ridge trace adalah plot dari p nilai dugaan koefisien regresi yang dibakukan bkR dan nilai k yang berbeda-beda antara 0 dan 1. Pilih nilai k terkecil dan koefisien regresi bkR menjadi stabil pertama kali pada ridge
trace plot. Berikut adalah contoh Ridge Trace :
Gambar 2.1. Contoh Ridge Trace
29 2.4.
Metode Newton Rhapson
Untuk menentukan nilai parameter ridge regression k yang optimum dapat dilakukan dengan cara meminimumkan fungsi mean squared estimation error (2.51) dan mean squared prediction error (2.52). Untuk meminimumkan fungsi tersebut dapat dilakukan dengan algoritma yang berdasarkan metode NewtonRhapson. Metode Newton-Rhapson adalah suatu metode yang terkenal dan sangat handal untuk menemukan akar dari persamaan f ( x) = 0 . Metode Newton dapat diturunkan dari Taylor’s series :
1 f ( x) = f ( x1 ) + ( x − x1 ) f ' ( x1 ) + ( x − x1 ) 2 f ' ' ( x1 ) + ... 2!
(2.50)
Metode Newton-Raphson adalah metode yang berdasarkan ide bahwa f(x) pada x=b dapat dihitung apabila nilai dari f(a), f’(a), dan f’’(a) diketahui. Apabila x=x0 maka kita dapat menghitung x=x1 :
f(x1) = f(x0) + f'(x0)(x1- x0) Jika x1=0 maka
0= f(x0) + f '(x0)(x1- x0) x1= x0-(f(x0)/f’(x0)) Atau secara umum persamaan Newton Rhapson adalah :
x n +1 = x n − ( f ( x n ) / f ' ( x n ))
(2.51)
30 Iterasi berulang sehingga abs(( x n +1 − x n ) / x n ) < e
(2.52)
Di mana e adalah suatu angka yang bernilai kecil misalnya 0.0001 2.5.
R Language
R
Language
merupakan
implementasi
dari
S
Language
yang
dikembangkan oleh Bell Laboratories oleh Rick Becker, John Chambers dan Allan Wilks. R Language adalah suatu paket software yang mempunyai fasilitas untuk manipulasi data, kalkulasi dan tampilan grafik. Paket software tersebut sangat cocok digunakan pada lingkungan windowing systems seperti Unix, Macintosh, dan lain-lain. R Language telah banyak dikembangkan untuk analisis data interaktif ke dalam paket-paket yang dapat diperoleh secara cuma-cuma. Bahasa pemrograman ini merupakan high level language sehingga cukup mudah untuk dipahami dan dipelajari. 2.6.
Penelitian Relevan
Perancangan Program Aplikasi Peramalan Biaya Pemasaran dengan Model Regresi Ridge (Studi Kasus: PD. Daichi Mas) merupakan penelitian yang telah dilakukan oleh Chandra Suyanto, mahasiswa Universitas Bina Nusantara (2005). Penelitian ini dilakukan untuk memprediksi biaya pemasaran sebelum dilakukan proses pemasaran berdasarkan volume penjualan dan biaya ekspedisi dan pembungkusan.
31
