BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks

2.1.1 Sistem Persamaan Linier

Salah satu masalah yang selalu dihadapi dalam mempelajari atau memecahkan problem dalam bidang matematika adalah menyelesaikan sistem persamaan linier. Bentuk umum persamaan linier adalah:

a1 x 1 + a2 x2 + a3 x 3 + . . . + an xn = b

(2.1)

dimana b merupakan faktor yang menghubungkan peubah-peubah x 1 , x 2 , x 3 , . . ., x n dan a 1 , a 2 , a 3 , . . ., a n merupakan koefisien peubah dari persamaan (2.1). Kejadian yang mungkin terjadi dari persamaan (2.1) adalah sebagai berikut: 1. Salah satu koefisien a i ≠ 0 (i = 1, 2, 3, . . ., n) misalnya a i ≠ 0, sehingga persamaan dapat ditulis dengan: x 1 = a 1 -1b – a 1 -1 a 2 x 2 – a 1 -1 a 3 x 3 – a 1 -1 a 4 x 4 – . . . – a 1 -1 a n x n . Dengan memberikan harga-harga sembarang untuk x 2 , x 3 , x 4 , . . ., x n , maka harga x i dapat diketahui yang merupakan penyelesaian dari persamaan itu. Kejadian khusus dari persamaan ini adalah: ax = b, a ≠ 0 dengan penyelesaian: x = a-1 b (unique solution). 2. Semua koefisien a i = 0 (i = 1, 2, 3, . . ., n) sedangkan koefisien b ≠ 0. Dengan demikian persamaan (2.1) menjadi: 0 = b, b ≠ 0. Dalam hal ini persamaan tidak mempunyai penyelesaian (no solution). 3. Semua koefisien a i = 0 (i = 1, 2, 3, . . ., n) dan b = 0. Dengan demikian persamaan mula-mula menjadi 0 = 0. Artinya n buah bilangan di dalam R merupakan penyelesaian dari sistem persamaan (infinite number of solution).

Universitas Sumatera Utara

Contoh di bawah ini menunjukkan bahwa sistem persamaan linier dapat mempunyai unique solution, no solution, infinite number of solution. Pandang sistem persamaan linier dengan dua persamaan dengan dua peubah di bawah ini: a11 x1 + a12 x2 = b1   a21 x1 + a22 x2 = b2 

(2.2)

x2

unique solution

x1 a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2

Gambar 2.1 Garis berpotongan pada sebuah titik persekutuan

x2

no solution

x1 a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2

Gambar 2.2 Garis sejajar; tidak ada titik persekutuan


x2

infinite number of solution

x1 a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2

Gambar 2.3 Garis berimpit; tidak dapat ditentukan banyaknya jumlah titik persekutuan

Sistem persamaan (2.2) diselesaikan dengan mengalikan persamaan pertama dengan a 22 dan persamaan kedua dengan a 12 , sehingga diperoleh: a11 a22 x1 + a12 a22 x2 = a22 b1   a12 a21 x1 + a12 a22 x2 = a12 b2 

(2.3)

Bila persamaan pertama dikurang persamaan kedua, maka diperoleh: a11 a22 x1 − a12 a21 x1 = a22 b1− a12 b2   (a11 a22 − a12 a21 ) x1 = a22 b1 − a12 b2 

(2.4)

Jika a 11 a 22 – a 12 a 21 ≠ 0, maka harga x 1 dapat ditentukan yaitu:

x1 =

a22 b1 − a12 b2 a11 a22 − a12 a21

(2.5)

Dengan diperolehnya nilai x 1 dapat ditentukan nilai x 2 dari persamaan (2.2) yang merupakan unique solution. Determinan persamaan (2.2) didefinisikan dengan: a 11 a 22 – a 12 a 21

(2.6)

Dari hasil ini dapat ditentukan solusi persamaan (2.2) sebagai berikut: 1. Mempunyai unique solution jika dan hanya jika determinan≠ 0. 2. Tidak mempunyai penyelesaian atau mempunyai banyak penyelesaian jika dan hanya jika determinan = 0.


Suatu sistem persamaan linier (m x n) adalah kumpulan dari m buah sistem persamaan dengan n peubah yang disajikan secara serentak. Secara umum sistem persamaan linier tersebut berbentuk: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 +  + a1n xn = b1  a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 +  + a2 n xn = b2   a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 +  + a3n xn = b3         am1 x1 + am 2 x2 + am 3 x3 +  + amn xn = bm 

(2.7)

dimana: a 11 , a 12 , a 13 , . . ., a ij , . . ., a mn merupakan konstanta dari sistem persamaan, sedangkan x 1 , x 2 , x 3 , . . ., x n merupakan peubah dan b 1 , b 2 , b 3 , . . ., b m merupakan nilai masing-masing sistem persamaan dengan i = 1, 2, 3, . . ., m dan j = 1, 2, 3, . . ., n. Contoh: 2 x1 + x2 − 3 x3 = 5   3 x1 − 2 x2 + 2 x3 = 5  5 x1 − 3 x2 − x3 =16

(2.7)

Jika semua konstanta b i = 0, (i = 1, 2, 3, . . ., m), maka sistem persamaan disebut sistem persamaan linier homogen. Andaikan x i = k i , (i = 1, 2, 3, . . ., n) memenuhi sistem persamaan (2.7), maka himpunan harga x i = k i , ditulis dengan x = (x 1 , x 2 , x 3 , . . ., x n ) disebut penyelesaian partikulir dari sistem persamaan itu. Himpunan dari semua penyelesaian disebut dengan penyelesaian umum.

Suatu sistem persamaan linier homogen dengan orde m x n, bentuk umumnya dapat ditulis sebagai berikut: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 +  + a1n xn = 0  a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 +  + a2 n xn = 0   a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 +  + a3n xn = 0         am1 x1 + am 2 x2 + am 3 x3 +  + amn xn = 0 

(2.8)

dimana: a ij merupakan konstanta dengan 1≤

i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n sedangkan x i sebagai

peubah (1 ≤ i ≤ n).


Contoh: 2 x1 + x2 − 3x3 = 0  3 x1 − 2 x2 + 2 x3 = 0 5 x1 − 3 x2 − x3 = 0 

(2.8)

Bila sistem persamaan linier disajikan secara serentak dimana jumlah peubah sama dengan jumlah persamaan, maka bentuk umumnya adalah: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 +  + a1n xn = b1  a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 +  + a2 n xn = b2   a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 +  + a3n xn = b3         an1 x1 + an 2 x2 + an 3 x3 +  + ann xn = bn 

(2.9)

dimana: a ij sebagai koefisien dan b i konstanta dari sistem persamaan linier dengan peubah x j, i = j = 1, 2, 3, . . ., n. Dalam bentuk lain sistem persamaan linier ini dapat disajikan sebagai berikut:

n

∑a j =1

ij

x j = bi ,

i =1, 2, 3, ..., n.

2.1.2 Matriks

Penggunaan operasi matriks memberikan proses yang teratur dan logis yang dapat diterima untuk penyelesaian komputer dalam sistem persamaan-persamaan simultan.

Pandang sistem persamaan linier dengan tiga persamaan, tiga peubah sebagai berikut: x1 + x2 − 3 x3 = 4   2 x1 − 2 x2 + 2 x3 =1  5 x1 − 3 x2 − x3 = 3 

(2.9)


Jika koefisien sistem persamaan linier tersebut ditulis dalam bentuk array empat persegi panjang (rectangular array), maka diperoleh: 1 1 − 3 2 − 2 2    5 − 3 − 1 

yang menggambarkan tentang informasi sebelah kiri ketiga persamaan tersebut. Suatu array empat persegi panjang yang diurutkan disebut matriks. Secara umum perhatikan matriks m buah persamaan linier dengan n peubah di bawah ini: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 +  + a1n xn = b1  a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 +  + a2 n xn = b2   a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 +  + a3n xn = b3         am1 x1 + am 2 x2 + am 3 x3 +  + amn xn = bm 

(2.7)

Sistem persamaan linier di atas dapat ditulis dalam bentuk array empat persegi panjang dan dinamakan matriks A yaitu: a11 a  21  A = a31    am1 

a12 a13  a1n  a22 a23  a2 n  a32 a33  a3n       am 2 am 3  amn 

Susunan array yang berbentuk persegi panjang yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut matriks m x n atau matriks berorde m x n. Komponen ke-ij matriks A dinotasikan dengan a ij , yang merupakan baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A. Dalam bentuk lain, matriks A dapat ditulis A = (a ij ).

Bila A adalah matriks m x n dimana m = n, maka matriks A disebut matriks bujur sangkar (square matriks).


Definisi 1 Andaikan A = (a ij ) matriks berorde m x n. Transpose dari A ditulis At, adalah matriks berorde n x m yang diperoleh dengan mempertukarkan baris dan kolom dari A. Jelasnya dapat ditulis: At = (a ij). Dalam bentuk lain: a11 a  21 Jika A = a31    am1 


a11 a  12 maka At = a13    a1n 

a21 a31  am1  a22 a32  am 2  a23 a33  am 3       a2 n a3n  amn 

Jelasnya, letak baris ke-i dari A adalah kolom ke-i pada At dan kolom ke-j dari A adalah baris ke-j pada At.

Definisi 2 Matriks bujursangkar A beorde n x n disebut simetrik jika At = A. Suatu matriks bujursangkar disebut upper triangular bila semua komponen di bawah diagonal nol dalam bentuk lain ditulis: A = (a ij) upper triangular jika a ij = 0, i > j. Suatu matriks bujursangkar disebut lower triangular bila semua elemen di atas diagonal nol dalam bentuk lain ditulis: A = (a ij) jika a ij = 0, i < j. A = (a ij) matriks diagonal jika a ij = 0, i ≠ j.

Definisi 3 Andaikan A = (a ij ) dan B = (b ij ) adalah matriks berorde m x n. Jumlah A dan B adalah matriks A + B dengan orde m x n yang dinyatakan dengan:  a11 + b11 a12 + b12  a1n + b1n   a +b a +b  a +b  2n 2n  A + B = (aij + bij ) =  21 21 22 22        am1 + bm1 am 2 + bm 2  amn + bmn 


Definisi 4 Jika A = (a ij ) matriks berorde m x n dan jika α adalah saklar, maka matriks αA berorde m x n yang dinyatakan dengan: αa11 αa12  αa1n  αa αa  αa  22 2n  αA = α (aij ) =  21        αam1 αam 2  αamn 

Definisi 5 Andaikan A = (a ij ) matriks berorde m x n dengan elemen baris ke-i dinotasikan dengan a i . Andaikan B = (b ij ) matriks berorde n x p dimana elemen kolom ke-j dinotasikan dengan b j . Maka product (perkalian) A dan B adalah matriks C = (c ij ) dengan orde m x p dimana c ij = a i b j . Elemen ke-ij dan AB adalah perkalian saklar baris ke-i dari A(a i ) dan kolom ke-j dari B(b j ). Hal ini dinyatakan dengan: Cij = ai1 b1 j + ai 2 b2 j + ... + ain bnj

Contoh: Jika A = [a ij ] koefisien matriks berorde m x n dan x = (x 1 , x 2 , x 3 , . . ., x n ) adalah matriks kolom berorde n x 1, sehingga product matriks Ax adalah matriks berorde m x 1 yaitu: a11 a  21 Ax = a31    am1 


 x1  x   2  x3      xn   

a11 x1 + a12 x2 +  a1n xn  a x + a x +  a x  2n n   21 1 22 2 Ax = a31 x1 + a32 x2 +  a3n xn         am1 x1 + am 2 x2 +  amn xn   


Bila sistem persamaan di atas disamakan dengan b yang merupakan vektor kolom, maka Ax = b yang dinyatakan dengan: a11 x1 + a12 x2 +  a1n xn  b1  a x + a x +  a x  b  2n n   21 1 22 2  2 a31 x1 + a32 x2 +  a3n xn  = b3               bm    am1 x1 + am 2 x2 +  amn xn 

Definisi 6 Identitas matriks bujursangkar berorde n x n adalah matriks berorde n x n dimana semua elemen diagonal adalah 1 (satu) dan elemen yang lain 0 (nol) dan dapat dinotasikan dengan: 1 jika i = j I n = (b ij) dimana bij =  0 jika i ≠ j

; i = j = 1, 2, 3, . . ., n

(2.10)

Teorema 1 Andaikan A matriks bujursangkar berukuran n x n, maka: A In = In A = A Catatan: Fungsi I n pada matriks n x n sama dengan fungsi bilangan 1 (satu) dalam bilangan riel (sebab: 1 . a = a . 1 = a, ∀ a ε R).

Bukti: Andaikan c ij elemen ke-ij dari A I n , maka dapat ditulis: c ij = a i1 b i1 + a i2 b i2 + . . . + a ij b ij + . . . + a in b in dari persamaan (2.10) jumlah c ij = a ij , sehingga A I n = A. Dengan cara yang sama dapat diperlihatkan A I n A = A. Jelas terbukti.

Notasi: Untuk lebih singkatnya identitas ditulis I.

Definisi 7 Misalkan A dan B matriks berukuran n x n. Andaikan bahwa: A B = B A = I. B disebut invers dari mariks A dinotasikan dengan A-1, untuk lebih jelasnya ditulis: AA-1 = A-1A =


I. Jika matriks A mempunyai invers maka matriks A disebut invertible. Dari definisi di atas diperoleh bahwa (A-1)-1 = A bila A invertible. Teorema 2 Bila matriks A invertible, maka inversnya unique (tunggal)

Bukti: Andaikan B dan C invers dari matriks A. Akan diperlihatkan B = C. Dari definisi diketahui bahwa AB = BA = I dan AC = CA = I. Maka B(AC) = BI = B dan B(AC) = IC = C. B(AC) = (BA)C sebab berlaku hukum assosiatif dalam perkalian matriks. Dengan demikian B = C, sehingga pernyataan diatas terbukti.

Teorema 3 Andaikan A dan B matriks berorde n x n yang invertible. Maka AB invertible dan (AB)-1 = B-1 A-1.

Bukti: Untuk membuktikannya, akan diarahkan ke definisi 7. B-1A-1 = (AB)-1 jika dan hanya jika B-1A-1(AB) = (AB)(B-1A-1) = I. (B-1A-1)(AB) = B-1(A-1A)B = B-1IB = B-1B = I dan (AB)(B-1A-1) = A (BB-1)A-1 = AIA-1 = AA-1 = I

Pandang sistem persamaan (2.9) dengan n persamaan dan n peubah, dapat dinyatakan dengan: AX = b dan andaikan A invertible. Maka persamaan dapat ditulis dalam bentuk: A-1AX = A-1b (kedua ruas persamaan dikali dengan A-1) IX = A-1b

; A-1A = I

X = A-1b

; IX = X

Sehingga dapat disimpulkan, bila A invertible, sistem pesamaan AX = b mempunyai unique solution: X = A-1 b


2.2 Metode Cramer

Sebelum diuraikan bagaimana metode cramer digunakan dalam meyelesaikan sistem persamaan linier non-homogen, maka akan diuraikan terlebih dahulu faktor-faktor yang mendukung metode cramer.

Teorema 4 Jika A invertible det A ≠ 0, maka det A-1 =

1 det A

Bukti: Dari sifat-sifat aljabar diketahui bahwa: 1 = det I = det A A-1 = det A det A-1 dimana hal ini ekivalen dengan: det A-1 =

1 det A

Sebelum digunakan determinan untuk menghitung invers, akan didefinisikan tentang adjoint matriks A = (a ij). Misalkan B = (A ij ) matriks kofaktor dari A sehingga:  A11 A  21 B =  A31     A1n 

A12 A13  A1n  A22 A23  A2 n  A32 A33  A3n       A2 n A3n  Ann 

Definisi 8 Andaikan A matriks berorde n x n dan B matriks kofaktor. Adjoint A ditulis adj A adalah transpose matriks B berorde n x n yaitu:  A11 A  12 t adj A = B =  A13     An1 

A21 A31  An1  A22 A32  An 2  A23 A33  An 3       An 2 An 3  Ann 


Contoh: 2 4 3  Misalkan: A = 0 1 − 1 3 5 7 

Dari matriks di atas diperoleh: A 11 = 12, A 12 = 3, A 13 = -3, A 21 = -13, A 22 = 5, A 23 = 2, A 31 = -7, A 32 = 2, A 33 = 2. maka:  12 3 − 3  B = − 13 5 2  dan Adj A = Bt =   − 7 2 2

 12 − 13 − 7   3 5 2   − 3 2 2 

Teorema 5 Andaikan A matriks berorde n x n. A invertible jika dan hanya jika det A ≠ 0. Jika det A ≠ 0 maka: A-1 =

1 adj A det A

Bukti:  1  1 Karena A ≠ 0, maka: (A)  ( A (adj A) ) = 1 (det A) I = I . adj A = det A  det A  det A

Sebab diketahui bahwa jika A B = I maka B = A-1. Dengan demikian:

1 adj A = A−1 det A

Pandang sistem persamaan linier non-homogen dengan n persamaan dan n peubah dibawah ini: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 +  + a1n xn = b1  a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 +  + a2 n xn = b2   a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 +  + a3n xn = b3         an1 x1 + an 2 x2 + an 3 x3 +  + ann xn = bn 

(2.9)


Sistem persamaan linier di atas dapat ditulis dalam bentuk: Ax = b

(2.11)

dimana: a11 a  21 A = a31     an1

a12 a13  a1n   x1  b1    b   a22 a23  a2 n   x2   2 a32 a33  a3n  , x =  x3  , b = b3               bn  an 2 an 3  ann   xn   

Jika det A ≠ 0 maka persamaan (2.11) mempunyai unique solution yang ditentukan oleh: x = A-1 b.

Misalkan D = det A. Didefinisikan matriks baru yaitu: b1 b  2 A1 = b3   bn  a11 a  21 An = a31    an1 

a12 a22 a32  an 2 a12 a22 a32  an 2

a13  a1n  a11  a a23  a2 n   21  a33  a3n , A2 = a31        an1 an 3  ann  

b1 a13  a1n  b2 a23  a2 n  b3 a33  a3n  , . . .,      bn an 3  ann 

a13  b1  a23  b2  a33  b3      an 3  bn 

A i adalah matriks yang diperoleh dengan menempatkan pada kolom ke-i dari A dengan matriks kolom b. Misalkan D 1 = det A 1 , D 2 = det A 2 , . . ., D n = det A n .

Teorema 6 (Cramer’s Rule) Andaikan A matriks berorde n x n dan det A ≠ 0. Penyelesaian tunggal (unique solution) dari sistem persamaan Ax = b ditentukan oleh:


x1 =

D1 D D D , x2 = 2 , x3 = 3 , . . . , xn = n D D D D

Bukti: Penyelesaian dari Ax = b adalah x = A-1 b dimana:  A11 A 12 1 1  −1  A13 A b = (adj A) b = D D     A1n 

A21 A22 A23  A2 n

A31  An1  A32  An 2  A33  An 3      A3n  Ann 

b1  b   2 b3     bn   

Sehingga (adj A)b adalah merupakan n-vektor yaitu:

(A

1j

A2 j

b1  b   2 A3 j  Anj ) . b3  = b1 A1 j + b2 A2 j + b3 A3 j +  + bn Anj    bn   

Pandang matriks A j : a11 a  21 a j = a31    an1 

a12  b1  a1n  a22  b2  a2 n  a32  b3  a3n       an 2  bn  ann 

kolom ke-j Bila ditentukan determinan dari A j pada kolom ke-j, diperoleh: 1. D j = b 1 (kofaktor dari b 1 ) + b 2 (kofaktor dari b 2 ) + b 3 (kofaktor dari b 3 ) + . . . + b n (kofaktor dari b n ). 2. Kofaktor dari b j diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari A j (sebab b i berada pada kolom ke-j di A j). Tetapi kolom ke-j dari A j adalah b, sehingga diperoleh minor ij, M ij dari A. maka kofaktor dari b i pada A j = A ij sehingga: D j = b 1 A 1j + b 2 A 2j + b 3 A 3j + . . . +b n A nj .


Komponen ke-i dari (adj A)b adalah D i dan diperoleh:  D1   D1 / D   x1  D  D / D x  2 2   2 1    −1      x = x3 = A b = D3 = D3 / D  D               Dn   Dn / D   xn       

2.3 Metode Eliminasi Gauss-Jordan

Pandang sistem persamaan linier non-homogen di bawah ini: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 +  + a1n xn = b1  a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 +  + a2 n xn = b2   a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 +  + a3n xn = b3         an1 x1 + an 2 x2 + an 3 x3 +  + ann xn = bn 

(2.9)

Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk koefisien matriks sebagai berikut: a11 a  21 a31    an1 

a12 a22 a32  an 2

a13  a1n  a23  a2 n  a33  a3n      an 3  ann 

b1   x1  b  x   2  2  x3  = b3        bn   xn     

Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks yang diperbesar (augmented matrix) yang bentuknya seperti di bawah ini:


a11 a  21 a31    an1 

a12

a13  a1n

a22

a23  a2 n

a32

a33  a3n

 an 2





an 3  ann

b1  b2  b3     bn 

Untuk menentukan nilai-nilai x 1 , x 2 , x 3 , . . ., x n , maka matriks yang diperbesar (augmented matrix) di atas harus diubah kedalam bentuk echelon dengan proses pengerjaan sebagai berikut: 1. Gunakan a 11 sebagai pivot pertama untuk mengeliminasi elemen-elemen a 21 , a 31 , a 41 , . . ., a n1 menjadi 0 (nol). Proses sebagai berikut: a. M 21 (-a 21 /a 11 ): kalikan baris pertama dengan (-a 21 /a 11 ) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris kedua. b. M 31 (-a 31 /a 11 ): kalikan baris pertama dengan (-a 31 /a 11 ) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris ketiga. c. M 41 (-a 41 /a 11 ): kalikan baris pertama dengan (-a 41 /a 11 ) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris keempat. Hal ini dilakukan hingga elemen ke-n. d. M n1 (-a n1 /a 11 ): kalikan baris pertama dengan (-a n1 /a 11 ) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris ke-n.

maka diperoleh matriks di bawah ini: a11 0  0    0 

a12

a13  a1n

a22

a23  a2 n

a32

a33  a3n

 an 2

  an 3  ann

b1  b2  b3     bn 

2. a 22 digunakan sebagai elemen pivot untuk mengeliminasi elemen-elemen a 12 , a 32 , a 42 , . . ., a n2 menjadi 0 (nol), dengan operasi: a. M 12 (-a 12 /a 22 ): kalikan baris kedua dengan (-a 12 /a 22 ) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris pertama.


b. M 32 (-a 32 /a 22 ): kalikan baris kedua dengan (-a 32 /a 22 ) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris ketiga. c. M 42 (-a 42 /a 22 ): kalikan baris kedua dengan (-a 42 /a 22 ) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris keempat. d. M n2 (-a n2 /a 22 ): kalikan baris kedua dengan (-a n2 /a 22 ) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris ke-n. maka diperoleh matriks di bawah ini : a11 0 0 a 22  0 0     0 0 

a13  a1n a23  a2 n a33  a3n   an 3  ann

b1  b2  b3     bn 

3. a 33 digunakan sebagai elemen pivot untuk mengeliminasi elemen-elemen a 13 , a 23 , a 43 , . . ., a n3 menjadi 0 (nol) dengan operasi; a. M 13 (-a 13 /a 33 ): kalikan baris ketiga dengan (-a 13 /a 33 ) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris pertama. b. M 23 (-a 23 /a 33 ): kalikan baris ketiga dengan (-a 23 /a 33 ) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris ketiga. c. M 43 (-a 43 /a 33 ): kalikan baris ketiga dengan (-a 43 /a 33 ) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris keempat. d. M n3 (-a n3 /a 33 ): kalikan baris ketiga dengan (-a n3 /a 33 ) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris ke-n.

maka diperoleh matriks di bawah ini: a11 0 0 a 22  0 0     0 0 

0  a1n 0  a2 n a33  a3n 

 0  ann

b1  b2  b3     bn 

Operasi di atas terus dilakukan hingga a nn sebagai elemen pivot ke-n, untuk mengeliminasi a 1n , a 2n , a 3n , . . ., a (n-1)n menjadi 0 (nol) dengan operasi:


a. M 1n (-a 1n /a nn ): kalikan baris ke-n dengan (-a 1n /a nn ) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris pertama. b. M 2n (-a 2n /a nn ): kalikan baris ke-n dengan (-a 2n /a nn ) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris kedua. c. M 3n (-a 3n /a nn ): kalikan baris ke-n dengan (-a 3n /a nn ) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris ketiga. d. M (n-1)n (-a (n-1)n /a nn ): kalikan baris ke-n dengan (-a (n-1)n /a nn ) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris ke-(n – 1).

sehingga diperoleh bentuk matriks di bawah ini: a11( n −1) 0 0  0  ( n −1) 0  0  0 a22  0 ( n −1) a33  a3( nn −1) 0        ( n −1) 0 0  ann  0

b1( n −1)   b2( n −1)  b3( n −1)     bn( n −1)  

dari matriks di atas ini nilai-nilai x 1 , x 2 , x 3 , . . ., x n dinyatakan dengan: x1 = b1( n −1) / a11( n −1) , ( n −1) , x2 = b2( n −1) / a22 ( n −1) , x3 = b3( n −1) / a33

( n −1) , . . ., x4 = b4( n −1) / a44 ( n −1) . xn = bn( n −1) / ann

2.4 Bahasa C

Bahasa C merupakan perkembangan dari bahasa BCPL yang dikembangkan oleh Martin Richards pada tahun 1967. Selanjutnya bahasa ini memberikan ide kepada Ken Thompson yang kemudian mengembangkan bahasa yang disebut bahasa B pada tahun 1970. Perkembangan selanjutnya dari bahasa B adalah bahasa C oleh Dennis Ricthie sekitar tahun 1970-an di Bell Telephone Laboratories Inc. (sekarang adalah AT&T Bell Laboratories). Bahasa C pertama kali digunakan di komputer Digital Equipment


Corporation PDP-11 yang menggunakan system operasi UNIX. Hingga saat ini penggunaan bahasa C telah merata di seluruh dunia. Selain itu, banyak bahasa pemrograman populer seperti PHP dan Java menggunakan sintaks dasar yang mirip bahasa C.

2.4.1 Struktur Program Bahasa C

Setiap bahasa komputer mempunyai struktur program yang berbeda. Jika struktur dari program tidak diketahui, maka akan sulit untuk memulai menulis suatu program dengan bahasa yang bersangkutan. Struktur dari program memberikan gambaran secara luas dari bentuk program.

Struktur dari program Bahasa C dapat dilihat dari kumpulan sebuah atau lebih fungsi-fungsi. Fungsi pertama yang harus ada dalam program Bahasa C sudah ditentukan namanya, yaitu bernama main(). Suatu fungsi dalam program Bahasa C dibuka dengan kurung kurawal ({) dan di tutup dengan kurung kurawal (}). Di antara kurung-kurung kurawal dapat dituliskan statemen-statemen program Bahasa C. Berikut ini adalah struktur program Bahasa C.

a. Struktur Program Bahasa C main() {

fungsi utama

statemen-statemen; }

Fungsi_Fungsi_Lain() { statemen-statemen;

fungsi-fungsi lain yang ditulis oleh pemrogram

}


b. Program Bahasa C yang Sederhana statemen-statemen dalam program Bahasa C berbentuk kata kunci komentar

/* Program Bahasa C Yang Sederhana */ #include<stdio.h> main()

nama fungsi

{ float Celcius, Fahrenheit;

printf(“Masukkan Nilai Celcius ?”);

pendeklarasian variabel

scanf(“%f”,&Celcius);

/* Menghitung Konversi */ Fahrenheit = Celcius * 1.8 + 32;

printf(“%f celcius adalah %f fahrenheit\n”, Celcius, Fahrenheit); } bagian suatu fungsi

contoh perintah

Jika program ini dijalankan akan didapatkan hasil: Masukkan Nilai Celcius ? 10 10.000000 celcius adalah 50.000000 fahrenheit

2.4.2 Fungsi Input/Output

a. printf()


Fungsi

: Mencetak output ke layar

Include

: #include<stdio.h>

Hasil

: Menghasilkan jumlah byte dari output tersebut, bila gagal print menghasilkan end of file

Contoh

: printf(“SUKSES SELALU”); Tabel 2.1 Kode-Kode Format untuk Fungsi printf() Kode Format

Kegunaan

%c

Menampilkan sebuah karakter

%s

Menampilkan nilai string

%d

Menampilkan nilai desimal integer

%i

Menampilkan nilai desimal integer

%f

Menampilkan nilai pecahan

b. scanf() Fungsi

: Membaca data dari stdin

Include

: #include<stdio.h>

Hasil

: Data tersebut, bila salah atau menjumpai end of file maka hasilnya adalah NULL

Contoh

: printf(“Jari-Jari Lingkaran: “); scanf(“%f”, & jari);

c. getch() Fungsi

: Membaca karakter dari keyboard, hasilnya tidak ditampilkan dilayar

Include

: #include

Hasil

: Karakter yang diketikkan

Contoh

: printf(“Ketikkan suatu huruf (A-Z)“); getch();

d. getche() Fungsi

: Membaca karakter dari keyboard, hasilnya tidak ditampilkan dilayar


Include

: #include

Hasil

: Karakter yang dibaca dari layar

Contoh

: printf(“Tekan Sembarang Tombol“); x = getche();

e. putch() Fungsi

: Mencetak karakter di layar

Include

: #include

Hasil

: Karakter yang dicetak, bila terjadi kesalahan fungsi ini memberi nilai end of file

Contoh

: putch(karakter);

f. puts() Fungsi

: Mencetak string ke stdout

Include

: #include<stdio.h>

Hasil

: Bila berhasil akan memberikan nilai non-negatif, bila gagal akan menghasilkan end of file

Contoh

: char teks[ ] = “Selamat”; puts(teks);

2.4.3 Jenis-Jenis Variabel dalam Bahasa C

Variabel-variabel dalam Bahasa C digolongkan menjadi dua bagian yaitu variabel numerik dan variabel teks.

1. Variabel numerik digolongkan atas: a. Bilangan Bulat atau Integer Integer mampu menampung bilangan bulat yang berkisar antara -32.786 sampai dengan 32.786.


b. Floating Point Dalam bentuk bilangan berpangkat, floating point dapat menampung data dari 10

-38

sampai dengan 1038, sedang dalam bentuk desimal dapat menampung hingga

enam desimal. Contoh : nilai_max = 102.234567 hasil

= 1.34566e – 20

c. Double Precision Dalam bentuk bilangan berpangkat, double precision dapat mengolah angka berkisar 10-308 sampai dengan 10308, sedang dalam bentuk desimal dapat menampung 15 digit. Contoh : teliti

= 1234.5678901234

std_dev

= 1.34567e – 100

2. Variabel teks dibedakan atas: a. Karakter (Tunggal) Variabel ini digunakan untuk menampung sebuah karakter ataupun variabel yang dikonversikan dalam bentuk bilangan (ASCII code).

b. String String merupakan rangkaian dari beberapa karakter yang diakhiri dengan karakter NULL (‘\0’). Untuk menggunakan variabel-variabel di atas dalam Bahasa C maka variabel haruslah diperkenalkan kepada Bahasa C yang dikenal dengan istilah deklarasi variabel. Contoh: int gaji nama variabel type variabel

Bila dideklarasikan variabel total sebagai integer, variabel nilai_akhir sebagai floating point, variabel jumlah sebagai double precision, ini dinyatakan dengan: int total; float nilai_akhir; double jumlah; Tabel 2.2 Tipe Variabel


Tipe Variabel

Simbol Deklarasi

Format Specifier

Integer

int

%d

Floating Point

float

%f

Double Precision

double

% lf

Karakter

char

%c


BAB 2 LANDASAN TEORI

Recommend Documents