BAB 2 LANDASAN TEORI

10

BAB 2 LANDASAN TEORI

2.1 Kemiskinan Menurut Badan Pusat Statistik (BPS) dan Departemen Sosial kemiskinan adalah ketidakmampuan individu untuk memenuhi kebutuhan dasar minimal untuk hidup layak (baik makanan maupun nonmakanan. Garis kemiskinan yang ditetapkan oleh BPS adalah jumlah pengeluaran yang dibutuhkan oleh setiap individu untuk dapat memenuhi kebutuhan makanan setara dengan 2100 kalori per orang per hari dan kebutuhan nonmakanan yang terdiri dari perumahan, pakaian, kesehatan, pendidikan, transfortasi serta aneka barang dan jasa lainnya. Kemiskinan dipandang sebagai kondisi seseorang ata sekelompok orang yang tidak terpenuhi hak-hak dasarnya secara layak untuk menempuh dan mengembangkan kehidupan yang bermartabat. Dengan demikian, kemiskinan tidak lagi dipahami hanya sebatas ketidakmampuan ekonomi dalam memenuhi kebutuhan standar hidup akan tetapi juga kegagalan dalam pemenuhan hak-hak dasar dan perbedaan perlakuan bagi seseorang atau sekelompok orang. Menurut Badan Pusat Statistik (2014) terdapat dua kondisi yang menyebabkan terjadinya kemiskinan, yaitu: a.

Kemiskinan kultural yaitu kemiskinan yang disebabkan oleh adanya faktor-faktor adat atau budaya suatu daerah tertentu yang membelenggu seseorang atau sekelompok masyarakat tertentu sehingga membuatnya tetap melekat dengan kemiskinan. Kemiskinan seperti ini bisa dihilangkan atau sedikitnya bisa dikurangi dengan mengabaikan factor-faktor yang menghalangi untuk melakukan perubahan kearah tingkat kehidupan yang lebih baik.

b.

Kemiskinan struktural yaitu kemiskinan yang terjadi sebgai akibat ketidakberdayaan seseorang atau sekelompok masyarakat tertentu terhadap system atau tatanan social yang tidak adil, karenanya mereka berada pada

10 Universitas Sumatera Utara

11

posisi tawar yang sangat lemah dan tidak memiliki akses untuk mengembangkan dan membebaskan diri mereka sendiri dari perangkap. Sedangkan bentuk kemiskinan secara konseptual menurut Badan Pusat Statistik (2014) dibedakan menjadi dua macam, yaitu: a.

Kemiskinan relative merupakan kondisi miskin karena pengaruh kebijakan pembangunan yang belum mampu menjangkau seluruh lapisan mesyarakat sehingga menyebabkan ketimpangan distribusi pendapatan. Standar penilaian relative merupakan standar kehidupan yang ditentukan dan ditetapkan secara subjektif oleh masyarakat setempat dan bersifat local serta mereka yang berada dibawah standar penilaian tersebut dikategorikan sebagai miskin secara relative.

b.

Kemiskinan absolute ditentukan berdasarkan ketidakmampuan untuk mencukupi kebutuhan pokok minimum seperti pangan, sandang, kesehatan, perumahan dan pendidikan yang diperlukan untuk bias hidup dan bekerja. Standar penilaian kemiskinan secara absolute merupakan standar kehidupan minimum yang dibutuhkan untuk memenuhi kebutuhan dasar yang diperlukan, baik makanan maupun non makanan.

2.2 Rumah Tangga Miskin Rumah tangga miskin didefenisikan sebagai rumah tangga yang pendapatannya (didekati dengan pengeluaran) lebih kecil dari pendapatan yang dibutuhkan untuk hidup secara layak di wilayah tempat tinggalnya. Kebutuhan hidup layak diartikan sebagai suatu jumlah rupiah yang dapat memenuhi kebutuhan konsumsi makanan setara dengan 2100 kalori sehari, perumahan, pakaian, kesehatan dan pendidikan (BPS, 2009). Ukuran kemiskinan pada tingkat makro dapat memberikan gambaran kemiskinan rumah tangga menurut wilayah regional, provinsi, dan kota-desa. Namun untuk menetapkan rumah tangga sebagai kelompok sasaran program seperti intevensi dalam mengurangi dampak krisis, kriteria-kriteria lain sebaiknya


12

diperhatikan. Barbagai faktor seperti perbedaan ketersediaan infrastruktur, pelayanan pemerintah dan fasilitas umum lainnya menurut karakteristik wilayah dan rumah tangga sangat penting untuk diperhatikan. Beberapa indicator untuk mengidentifikasi rumah tangga miskin dapat dikembangkan berdasarkan karakteristik rumah tangga, termasuk indicator demografi, social, ekonomi dan indicator lainnya. Indicator-indikator ini pada umumnya cocok untuk digunakan tetapi beberapa diamtaranya hanya sesuai untuk kota atau desa. Pada tahun 2000 BPS melakukan Studi Penentuan Kriteria Penduduk Miskin (SPKM 2000) sebagai penyempurnaan untuk mengukur jumlah rumah tangga miskin. Studi ini dilakukan untuk mengetahui karakteristik-karakteristik rumah tangga yang mencirikan kemiskinan secara konseptual (pendekatan dasar/ garis kemiskinan). Hal ini menjadi sangat penting karena pengukuran makro (pendekatan Basic needs) tidak cocok digunakan untik mengidentifikasi rumah tangga/ penduduk miskin di lapangan. Cakupan wilayah studi meliputi 7 provinsi, yaitu Sumatera Selatan, DKI Jakarta, DIY Yogyakarta, Jawa Timur, Nusa Tenggara Barat, Kalimantan Barat serta Sulawesi Selatan. Berdasarkan Studi tersebut diperoleh 8 variabel yang digunakan dalam penentuan kriteria penduduk/ rumah tangga miskin yaitu: 1. Luas lantai perkapita 2. Jenis lantai 3. Fasilitas air minum/ air bersih 4. Fasilitas jamban/WC 5. Kepemilikan asset produktif maupun non produktif 6. Variasi dalam mengkonsumsi lauk pauk dalam seminggu 7. Pengeluaran total perbulan 8. Persentase pengeluaran untuk makanan Karakteristik rumah tangga lain yang berkaitan erat dengan tingkat kemiskinan adalah jumlah anggota rumah tangga. Makin besar jumlah anggota rumah tangga akan makin besarpula resiko untuk menjadi iskin apabila pendapatannya tidak meningkat.


13

Dalam buku Penghitungan dan Analisis Kemiskinan Makro Indonesia (BPS, 2014) diuraikan karakteristik rumah tangga dan individu yang berkaitan dengan kemiskinan yang digolongkan menjadi empat kelompok, yaitu: 1. Karakteristik Demografi Karakteristik sosial demografi berkaitan dengan jumlah anggota rumah tangga. Rumah tangga miskin cenderung mempunyai anggota rumah tangga yang lebih banyak. Tingkat kematian anak pada rumah tangga miskin juga relative tinggi akibat pendapatan yang rendah dan akses terhadap sarana-prasarana kesehatan yang masih terbatas. Salah satu dampak jumlah anggota rumah tangga yang besar

adalah

terhambatnya peningkatan sumber daya manusia masa depan. Ratarata jumlah anggota rumah tangga miskin lebih tinggi dibandingkan dengan rumah tangga tidak miskin. 2. Karakteristik Pendidikan Tingkat pendidikan juga berperan dalam mempengaruhi angka kemiskinan. Orang yang berpendidikan lebih baik biasanya akan mempunyai peluang lebih rendah menjadi miskin. Karakteristik pendidikan yang diuraikan disini adalah kepala rumah tangga yang pendidikannya ≤ SD. 3. Karakteristik Ketenagakerjaan Sumber penghasilan rumah tangga menjadi salah satu indikator tingkat kesejahteraan yang diharapkan dapat mencerminkan kondisi social ekonomi suatu rumah tangga. Karakteristik ketenagakerjaan yang dapat menggambarkan adanya perbedaan antara rumah tangga miskin dan tidak miskin adalah lapangan usaha atau sektor yang menjadi sumber penghasilan utama rumah tangga. Profil orang miskin seringkali melekat dengan mereka yang bekerja disektor pertanian, seperti petani gurem, nelayan, buruh tani dan perkebunan. 4. Karakteristik Tempat Tinggal a. Luas Lantai


14

Salah

satu

indikator

perumahan

yang

digunakan

untuk

menunjukkan tingkat kesejahteraan suatu rumah tangga adalah keleluasaan pribadi (Privacy) dalam tempat tinggal. Keleluasaan pribadi tercermin dari luas lantai rumah perkapita (m 2). Menurut kementrian kesehatan salah satu syarat rumah dikatakan sehat adalah luas lantai rumah perkapitanya minimal 20m2 (BPS, 2001). b. Jenis lantai Rumah tangga dengan jenis lantai rumahnya tanah cenderung lebih miskin dibandingkan dengan rumah yang jenis lantainya bukan tanah. c. Jenis Atap Salah satu profil rumah tangga miskin adalah jenis atap rumahnya ijuk/rumbia. d. Jenis Dinding Rumah tangga miskin umumnya menggunakan kayu/ bambu sebagai dinding rumahnya. e. Jenis Penerangan Indikator perumahan lainnya adalah jenis penerangan rumah yang dibedakan atas listrik dan bukan listrik. Rumah tangga miskin umumnya menggunakan sumber penerangan bukan listrik seperti petromak/ aladin, pelita/sentir/obor dan lainnya. f. Sumber Air Ketersediaan fasilitas air bersih sebagai sumber air minum untuk kebutuhan

sehari-hari

rumah

tangga

merupakan

indikator

perumahan yang juga dapat mencirikan sehat atau tidaknya suatu rumah. Ketidaktersediaan air bersih dirumah tangga adalah salah satu indikasi dari kemiskinan. g. Fasilitas Jamban Ketersediaan jamban menjadi salah satu fasilitas rumah sehat yang sangat penting dalam mendukung pola hidup sehat. Disamping ada tidaknya jamban, indikator penggunaan fasilitas jamban juga penting yang dibedakan atas jamban sendiri, jamban bersama dan


15

jamban umum/tidak ada. Rumah tangga miskin memiliki keterbatasan dalam penyediaan fasilitas jamban sendiri sebagai salah satu fasilitas penting untuk dapat dikategorikan sebagai rumah sehat. h. Status Pemilikan Rumah Tempat Tinggal Status pemilikan rumah tempat tinggal akan dibedakan atas tiga kelompok, yaitu rumah sendiri, kontrak/sewa dan lainnya (rumah dinas, family, bebas sewa, dan lain-lain). Rumah tangga miskin umumnya status pemilikan rumahnya adalah kontrak/sewa karena rendahnya kemampuan ekonominya. i. Pendapatan perkapita Pendapatan perkapita adalah besarnya pendapatan rata-rata penduduk disuatu daerah. Pendapatan perkapita didapatkan dari hasil pembagian pendapatan total suatu daerah dibagi dengan jumlah penduduk daerah tersebut. Semakin tinggi pendapatan perkapita suatu daerah maka semakin rendah angka kemiskinan dan sebaliknya semakin rendah pendapatan perkapita suatu daerah maka semakin tinggi angka kemiskinan daerah tersebut. Hal inilah yang menjadikan pendapatan perkapita dimasukkan sebagai salah satu karakteristik rumah tangga miskin pada penelitian ini.

2.3 Matriks 2.3.1 Defenisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka (sering disebut elemen-elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk empat persegi panjang, dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom-kolom dan baris-baris. Apabila suatu matriks A terdiri dari m baris dan n kolom, maka matriks A bisa ditulis sebagai berikut:


16

𝐴𝑚𝑥𝑛

Dimana:

𝑎11 𝑎21 ⋮ = 𝑎 𝑖1 ⋮ 𝑎𝑚1

𝑎12 … 𝑎1𝑗 𝑎22 … 𝑎2𝑗 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑖2 … 𝑎𝑖𝑗 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑗

𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎𝑖𝑛 ⋮ 𝑎𝑚𝑛

i = 1, 2, …, m j = 1, 2, …, n

2.3.2 Matriks Baris dan Matriks Kolom Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris matriks ini sering disebut dengan vector baris. Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom matriks ini sering disebut dengan vector kolom.

2.3.3 Jenis – Jenis Matriks 1. Matriks Bujur Sangkar Matriks bujur sangkar adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya. Dalam matriks bujur sangkar ini dikenal diagonal utama yaitu entri-entri yang mempunyai nomor baris yang sama dengan nomor kolom. Sebagai contoh: 𝑎11 𝐴 = 𝑎21 𝑎31

𝑎12 𝑎22 𝑎32

𝑎13 𝑎23 𝑎33

3. Matrisk Diagonal Matriks diagonal adalah suatu matriks dimana semua elemen diluar diagonal pokok mempunyai nilai 0 dan paling tidak satu elemen pada diagonal pokok ≠ 0, biasanya diberi symbol D.


17

𝑎𝑖𝑗 𝐷= 0 0

0 𝑎𝑖𝑗 0

0 0 𝑎𝑖𝑗

; (i = j) ≠ 0

4. Matriks Simetris Apabila matriks A = (aij) dimana i,j = 1, 2, …, n dan aij = aji maka disebut matriks simetris (symmetric matrix). 2 3 1 −3 3 0 6 −2 𝐴= 1 6 −4 8 −3 −2 8 5 5. Matriks Identitas Matriks identitas ialah suatu matriks dimana elemen-elemennya mempunyai nilai satu pada diagonal pokok dan 0 pada diluar diagonal pokok (diagonal dari kiri atas ke kanan bawah). Jadi jika matriks A = aij ;

i = j = 1, 2, …, n maka:

aij = 1 untuk i = j aij = 0 untuk i ≠ j 1 0 0 𝐴= 0 1 0 0 0 1 Maka matriks A disebut identity matriks dan biasanya diberi symbol In. 6. Matriks Nol Matriks nol adalah matriks yang semua entrinya adalah bilangan nol. Matriks ini dilambangkan dengan 0. Jika ordo dipentingkan matriks nol ini dapat ditulis beserta jumlah baris dan kolomnya. 7. Matriks Segitiga Atas Matriks Segitiga Atas atas adalah matriks bujur sangkar yang elemenelemen dibawah diagonal utama bernilai nol. Jadi yang tidak sama


18

dengan nol adalah elemen-elemen pada segitiga atasnya dan paling tidak satu elemen pada diagonal utama tidak sama dengan nol. Contoh: 𝑎11 0 𝑈= 0 0

𝑎12 𝑎22 0 0

𝑎13 𝑎23 𝑎33 0

𝑎14 𝑎24 𝑎34 𝑎44

8. Matriks Segitiga Bawah Matriks segitiga bawah adalah matriks bujur sangkar yang elemenelemen diatas diagonal utama bernilai nol. Jadi yang tidak sama dengan nol adalah elemen-elemen pada segitiga bawahnya, dan paling tidak satu elemen pada diagonal utama tidak sama dengan nol. Contoh: 𝑎11 𝑎21 𝐿= 𝑎 31 𝑎41

0 𝑎22 𝑎32 𝑎42

0 0 𝑎33 𝑎43

0 0 0 𝑎44

9. Matriks Singular Matriks bujur sangkar 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 dikatakan singular jika semua elemen pada salah satu baris atau kolom adalah nol. Untuk melihat kesingularan suatu matriks adalah dengan menghitung determinan matriks tersebut. Apabila determinanya sama dengan nol, maka matriks tersebut singular.

10. Matriks Orthogonal Matriks Orthogonal adalah matriks bujur sangkar yang inversnya sama dengan transposnya. sehingga: 𝐴−1 = 𝐴𝑇


19

2.3.4 Operasi Matriks 1. Perkalian Matriks dengan Skalar Apabila matriks A dikalikan dengan suatu skalar k, ini berarti bahwa semua elemen dari matriks A harus dikalikan dengan k. jadi apabila A = (aij) maka kA = k(aij) = (aij)k = Ak. 2. Perkalian Matriks dengan Matriks Apabila Amxn = (aij) yaitu matriks dengan m baris dan n kolom, Bnxp = (bij) matriks dengan n baris dan p kolom, kemudian dengan perkalian matriks A X B = A.B = AB (tanpa tanda hasil kali), kita maksudkan suatu matriks Cmxp ; (AB=C), yaitu matriks dengan m baris dan p kolom dimana elemen C dari baris ke-i dan kolom ke-j diperoleh dengan rumus: cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj cij =

𝑛 𝑡=1 𝑎𝑖𝑡 𝑏𝑡𝑗

dimana: i = 1, 2, …, m j = 1, 2, …, p

3. Penjumlahan Matriks Jika matriks A = (aij), dengan m baris dan n kolom, dan matriks B = (bij) juga dengan m baris dan n kolom, dijumlahkan (dikurangkan)

maka

diperoleh matriks yang ketiga yaitu matriks C=(cij) dengan m baris dan n kolom dimana elemen-elemennya diperoleh dengan menjumlahkan (mengurangkan) elemen-elemen matriks A dengan elemen-elemen matriks B yaitu: cij=aij + bij, untuk semua i dan j, dimana cij merupakan elemen dari baris ke-i dan kolom ke-j. 4. Transpose Suatu Matriks Transpose suatu matriks A = (aij) ialah suatu matriks baru yang mana elemen-elemennya diperoleh dari elemen-elemen matriks A dengan syarat bahwa baris-baris dan kolom-kolom matriks menjadi kolomkolom dan baris-baris dari matriks yang baru ini, dengan kata lain baris


20

ke-i dari matriks A menjadi kolom ke-i dari matriks baru. Biasanya transpose matriks A diberi symbol AT (baca A transpose) dan ditulis: AT = (aTij = aij) 5. Determinan Matriks Determinan dari matriks bujur sangkar Anxn, ditulis 𝐴 , didefenisikan sebagai bilangan yang dihitung dari penjumlahan: 𝐴 =

± 𝑎1𝑖 𝑎2𝑗 … 𝑎𝑛𝑟

Dimana penjumlahannya meliputi semua permutasi dari (i, j, …, r). Tandanya adalah positif jika (i, j, …, r) adalah permutasi genap dan negative jika permutasinya ganjil. Karena banyaknya permutasi (i, j, …, r) dari bilanganbilangan (1, 2, 3, …, n) adalah n! maka dalam penjumlahan diatas terdapat n! suku.

6. Invers Matriks Misalkan A merupakan suatu matriks bujur sangkar dengan n baris dan k kolom dan In suatu identity matriks. Apabila ada matriks bujur sangkar A-1 sedemikian rupa sehingga berlaku hubungan sebagai berikut: AA-1=A-1A = I, maka ini disebut invers matriks A. Secara umum invers matriks A adalah: 𝐴−1 =

1 𝐴𝑑𝑗 (𝐴) det⁡ (𝐴)

Adjoint matriks A adalah suatu matriks yang elemen-elemennya terdiri dari transpose semua kofaktor dari elemen-elemen matriks A, yaitu apabila: K = (Kij) dimana Kij ialah kofaktor dari elemen aij maka adjoint matriks A yaitu: Adj(A) = KT = (KT = Kji). Jadi, jelasnya Adj (A) ialah transpose dari matriks kofaktor K yaitu:


21

𝐾11 𝐾 𝐴𝑑𝑗 𝐴 = 𝐾 𝑇 = 12 ⋮ 𝐾1𝑛

𝐾21 𝐾22 ⋮ 𝐾2𝑛

… 𝐾𝑛1 … 𝐾𝑛2 ⋱ ⋮ … 𝐾 𝑛𝑛

Dengan: 𝐾𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 det⁡(𝐴𝑖𝑗 ) atau 𝐾𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 det⁡ (𝑀𝑖𝑗 ) Dimana: Mij = Aij = sisa matriks A kalau baris i dan kolom j dihapus atau dihilangkan.

2.3.5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Jika A adalah matriks n x n, maka vektor tak nol X di dalam 𝑅𝑛 dinamakan vektor eigen (eigen vektor) dari A jika AX adalah kelipatan scalar dari X, yakni: 𝐴𝑋 = 𝜆𝑋

(2.1)

Untuk suatu skalar λ. Skalar λ ini dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A dan X dinamakan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ. Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran n x n, dari persamaan (2.1) dapat ditulis kembali sebagai suatu persamaan homogen: 𝐴 − 𝜆𝐼 𝑋 = 0

(2.2)

Dengan I adalah matriks Identitas yang berordo sama dengan matriks A. Jika :

𝐴𝑛𝑥𝑛

𝑎11 𝑎21 = ⋮ 𝑎𝑚1

𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑚2

… 𝑎1𝑛 1 0 … 𝑎2𝑛 0 1 ⋱ ⋮ , 𝐼𝑛𝑥𝑛 = ⋮ ⋮ … 𝑎𝑚𝑛 0 0

𝑥1 … 0 𝑥2 … 0 ⋱ ⋮ ,𝑋 = ⋮ … 1 𝑥𝑛

𝐴𝑋 = 𝜆𝑋, 𝑋 ≠ 0 𝐴𝑋 = 𝜆𝐼𝑋


22

𝐴𝑋 − 𝜆𝐼𝑋 = 0 (𝐴 − 𝜆𝐼)𝑋 = 0 𝑋 ≠ 0 → 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0 Untuk memperoleh nilai λ, 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0

(2.3)

Jika nilai eigen 𝜆𝑛 disubstitusi pada persamaan (𝐴 − 𝜆𝐼)𝑋 = 0, maka solusi dari vektor eigen 𝑋𝑛 adalah: (𝐴 − 𝜆𝑛 𝐼)𝑋𝑛 = 0 .

(2.4)

Jadi apabila matriks 𝐴𝑚𝑥𝑛 mempunyai akar karakteristik 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 dan ada kemungkinan bahwa diantaranya mempunyai nilai yang sama, bersesuaian dengan akar-akar karakteristik ini adalah himpunan vektor-vektor karakteristik yang ortogonal (artinya masing-masing nilai akar karakteristik akan memberikan nilai vektor karakteristik yaitu 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 ).

2.3.6 Matriks Korelasi Matriks korelasi adalah matriks yang di dalamnya terdapat korelasi-korelasi.

𝐴𝑛𝑥𝑛

𝑟𝑖𝑘 𝑟𝑖𝑘 = ⋮ 𝑟𝑖𝑘

𝑟𝑖𝑘 𝑟𝑖𝑘 ⋮ 𝑟𝑖𝑘

… … ⋱ …

𝑟𝑖𝑘 𝑟𝑖𝑘 ⋮ 𝑟𝑖𝑘

Dimana: rik = Korelasi antara peubah ke-i dan ke-k


23

2.4 Analisis Komponen Utama Analisis komponen utama merupakan suatu teknik analisis statistik untuk mentransformasi peubah-peubah asli yang masih saling berkorelasi satu dengan yang lain menjadi satu set peubah baru yang tidak berkorelasi lagi (Johnson dan Wichern, 2002). Analisis komponen utama adalah teknik penyusun data (data reduction) dimana tujuan utamanya untuk mengurangi banyaknya dimensi peubah yang saling berkorelasi menjadi peubah-peubah baru yang tidak berkorelasi dengan mempertahankan sebanyak mungkin keragaman dalam himpunan data tersebut (Dillon dan Goldstein, 1984). Dengan kata lain, melalui analisis komponen utama diharapkan banyaknya dimensi dapat disusutkan, sehingga dengan dimensi yang lebih kecil diharapkan lebih mudah melakukan penafsiran tanpa kehilangan banyak informasi tentang data, bahkan informasi yang didapat lebih padat dan bermakna. Peubah-peubah baru itu disebut sebagai komponen utama (principal component). Secara aljabar komponen utama adalah kombinasi linear khusus dari p variabel

acak

X1,

X2,…,XP.

Secara

geometris,

kombinasi

linear

ini

menggambarkan pemilihan dari system koordinat yang diperoleh dengan merotasikan sistem awal dengan X1, X2,…,XP sebagai sumbu koordinat. Komponen utama hanya bergantung pada matriks kovarians Σ (atau matriks korelasi р) dari X1, X2,…,XP.. dalam perkembangannya tidak membutuhkan asumsi multivariate normal. Misalkan vektor acak X’= [X1, X2,…,Xp] memiliki matriks kovarians Σ dengan nilai eigen λ1 ≥ λ2 ≥…≥ λp ≥ 0. Perhatikan kombinasi linear Y1 = 𝑎1𝑖 𝑋′ = 𝑎11 𝑋1 + 𝑎12 𝑋2 +... + 𝑎1𝑝 𝑋𝑝 Y2 =𝑎2𝑖 𝑋′ = 𝑎21 𝑋1 + 𝑎22 𝑋2 +... + 𝑎2𝑝 𝑋𝑝 ⋮ Yp =𝑎𝑝𝑖 𝑋′ = 𝑎𝑝1 𝑋1 + 𝑎𝑝2 𝑋2 +... + 𝑎𝑝𝑝 𝑋𝑝

(2.9)


24

Besarnya proporsi dari keragaman total populasi yang dapat diterangkan oleh komponen utama ke- j adalah: 𝜆𝑘 𝜆 1 +𝜆 2 +⋯+𝜆 𝑝

;

k = 1,2,...,p

Sehingga nilai proporsi dari keragaman total yang dapat diterangkan oleh komponen utama pertama, kedua, atau sampai sejumlah komponen utama secara bersama-sama adalah semaksimal mungkin dengan meminimalkan informasi yang hilang. Meskipun jumlah komponen utama berkurang dari peubah asal tetapi informasi yang diberikan tidak berubah. Banyaknya komponen utama yang dipilih sudah cukup memadai jika komponen-komponen tersebut memiliki persentase keragaman kumulatif tidak kurang dari 75% dari total keragaman data (Morrison, 1990). Prosedur lain adalah pendekatan yang diberikan oleh Kaiser (1958) yaitu pengambilan komponen utama yang mempunyai akar ciri yang lebih besar dari satu. Adapun urutan langkah-langkah dalam analisis komponen utama adalah: 1. Pembakuan data Analisis komponen utama sangat bergantung pada data asal yang digunakan. Jika satuan peubah yang digunakan tidak sama, maka peubah asal perlu dibakukan terlebih dahulu kedalam bentuk baku. Pembakuan digunakan dengan menggunakan rumus: Pembakuan dilakukan dengan rumus:

𝑍𝑗𝑘 =

𝑥 𝑗𝑘 −x 𝑘

(2.10)

s 𝑘𝑘

Dimana: Zjk = nilai peubah baku untuk pengamatan baris ke-j dan kolom ke-k 𝑥𝑗𝑘 = pengamatan baris ke- j dan kolom ke-k x𝑘 = nilai rata-rata peubah ke-k s𝑘𝑘 = simpangan baku peubah ke-k (Johnson dan Wichern, 2007) 24 Universitas Sumatera Utara

25

2. Menyusun matriks korelasi Sebelum analisis komponen utama dilakukan, terlebih dahulu dilihat hubungan antar peubah. Jika terdapat korelasi yang kuat antar peubah, maka dilakukan transformasi terhadap data awal dengan menggunakan analisis komponen utama. Korelasi antar peubah ke-i dan peubah ke-j dinotasikan dengan rij dan didefenisikan sebagai berikut:

𝑟𝑖𝑗 =

S 𝑖𝑗 s 𝑖𝑖

(2.11)

S jj

Dimana: rij = korelasi antara peubah ke-i dan peubah ke-j Sij = kovariansi sampel peubah ke-i dengan peubah ke-j Sii = variansi peubah ke-i Sjj = variansi peubah ke-j Priyanto (2008) menyatakan bahwa “nilai koefisien korelasi antar peubah ke-i dan peubah ke-j dikatakan memiliki hubungan yang kuat apabila nilai koefiien korelasi mendekati +1 dan -1. Sebaliknya apabila nilai koefisien korelasi mendekati 0, maka kedua peubah memiliki hubungan yang lemah”. Selain itu Supranto (2004) menyatakan bahwa hubungan antar variabel dikatakan cukup kuat ditunjukkan dengan angka koefiien korelasi yang umumnya lebih besar dari 0,5. 3. Melalui matriks korelasi diperoleh nilai akar ciri (eigen values) sebanyak jumlah peubah (p peubah), dengan perhitungan: 𝑅 − 𝜆𝐼 = 0

(2.12)

Dimana: R= matriks korelasi λ= akar ciri I = matriks identitas Jumlah seluruh akar ciri sama dengan banyaknya peubah yang dianalisis, dituliskan dengan persamaan:


26

𝑝

𝜆𝑗 = 𝜆1 + 𝜆2 + ⋯ + 𝜆𝑝 = 𝑝 𝑗 =1

Persentase

keragaman

yang

diterangkan

oleh

masing-masing

komponen adalah: 𝜆𝑗 𝑝 𝑗 =1 𝜆 𝑗

x 100% =

𝜆𝑗 𝑝

x 100%,

(2.13)

Sehingga jika jumlah komponen yang diambil sebagai m komponen, m ≤ p, maka persentase keragaman kumulativ yang diterangkan oleh m komponen adalah: 𝜆 1 + 𝜆 2 +𝜆 3 +⋯+𝜆 𝑚 𝑝 𝑗 =1 𝜆 𝑗

x 100%

(2.14)

Karakteristik dari akar cirinya adalah beberapa komponen utama pertama adalah: λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λp ≥ 0, sehingga komponen utama yang diambil adalah beberapa komponen utama pertama karena mampu menerangkan keragaman data lebih banyak.

4. Mencari vektor ciri (eigen vector) Vector ciri (eij) diperoleh dari persamaan ciri: 𝑅 − λ𝐼 𝑒𝑖𝑗 = 0

(2.15)

Dimana: R= matriks korelasi λ= akar ciri I = matriks identitas eij = vector eigen observasi ke-i dan peubah ke-j Masing-masing akar ciri mempunyai vektor ciri sebanyak p akar ciri.

5. Vektor ciri tersebut merupakan koefisien dari kombinasi linear atau disebut juga sebagai koefisien dari persamaan komponen utama, yaitu: Yi =𝑒𝑖 𝑋′ = 𝑒𝑖1 𝑋1 + 𝑒𝑖2 𝑋2 +... + 𝑒𝑖𝑝 𝑋𝑝

; i = 1, 2, …, p


27

Jika data yang digunakan adalah data yang sudah dibakukan maka persamaan komponen utamanya menjadi: Yi =𝑒𝑖 𝑍′ = 𝑒𝑖1 𝑍1 + 𝑒𝑖2 𝑍2 +... + 𝑒𝑖𝑝 𝑍𝑝

(2.16)

2.5 Analisis Cluster Menurut Dillon dan Goldstein (1984) analisis cluster adalah analisis statistik peubah ganda yang digunakan apabila ada n buah individu atau objek yang mempunyai p peubah dan n objek tersebut ingin dikelompokkan kedalam k kelompok berdasarkan sifat-sifat yang diamati, sehingga individu atau objek yang terletak dalam satu cluster memiliki kemiripan sifat yang lebih besar dibandingkan dengan indvidu yang terletak dalam cluster lain. Analisis cluster bertujuan untuk memisahkan objek menjadi beberapa kelompok yang mempunyai sifat berbeda antar kelompok yang satu dengan yang lain. Pada awalnya individu-individu atau objek penelitian belum dikelompokkan, kemudian dikelompokkan kedalam cluster-cluster yang bersifat homogeny berdasarkan pengukuran peubah-peubah yang diamati. Pengclusteran didasarkan pada ukuran kedekatan masing-masing individu yang disebut jarak. Dalam penghitungan jarak diperlukan adanya kesamaan satuan untuk semua peubah, jika tidak maka akan dilakukan transformasi menjadi skor baru yang berfungsi untuk menghilangkan pengaruh keragaman data atau dengan kata lain semua peubah memberikan kontribusi yang sama untuk jarak. Ukuran jarak yang digunakan dalam penelitian ini adalah jarak Euclidean. Jarak Euclid antara dua pengamatan dituliskan dengan persamaan: dij =

𝑝 𝑘=1

𝑥𝑖𝑘 − 𝑥𝑗𝑘

2

; i,j = 1,2,3, … n

(2.17)

Dimana: dij adalah jarak euclidan dari individu i dan j xik adalah nilai observasi ke-i pada variabel ke-k xjk adalah nilai observasi ke-j pada variabel ke-k


28

Metode yang digunakan untuk melakukan pengclusteran adalah sebagai berikut: 1. Berhierarki Metode ini digunakan untuk individu yang tidak terlalu banyak dan jumlah cluster yang hendak dibentuk belum diketahui. Dalam metode ini terdapat dua teknik yaitu: a. Teknik Penggabungan (Agglomerative) Pada awalnya masing-masing objek merupakan satu cluster tersendiri, lalu dua cluster yang mempunyai kesamaan terdekat digabungkan dan begitu seterusnya sehingga akhirnya diperoleh satu cluster yang berunsur semua objek. Objek yang telah diclusterkan pada suatu cluster tidak dapat pindah lagi ke cluster lainnya. Untuk menggabungkan dua cluster diperlkan ukuran ketidakmiripan (dissimilarity) antar cluster yang dinyatakan dalam fungsi jarak (distance), misalnya jarak euclidan. jarak antar cluster tersebut disajikan

dalam matriks proximity. Jarak euclidan digunakan jika

tidak ada korelasi antar peubah yang diamati. Jika terdapat korelasi yang nyata antar peubah maka data awal perlu ditransformasi terlebih dahulu melalui Analisis Komponen Utama (AKU). Cluster-cluster dengan

ukuran

ketidakmiripan

terkecil

yang

nantinya

akan

digabungkan nenjadi cluster baru. Dengan teknik ini kita dapat menelusuri kenapa objek yang bersangkutan menyatu kesuatu kelompok. Dalam teknik penggabungan ini, ukuran ketidakmirian antar cluster adalah sebagai berikut: 1. Pautan tunggal (Single linkage/furthest nighbour) Metode ini didasarkan pada jarak minimum. Dimulai dengan dua objek yang dipisahkan dengan jarak paling pendek maka keduanya akan ditempatkan pada cluster pertama, dan seterusnya. Metode ini dikenal pula dengan nama pendekatan tetangga terdekat. dituliskan dengan persamaan:


29

dk(ij) = min (dki.dkj) Dimana: dki adalah jarak antara cluster k dan cluster i dkj adalah jarak antara cluster k dan cluster j dk(ij) adalah jarak antara cluster k dengan cluster ij

(2.18)

2. Pautan lengkap (complete linkage/furthest neighbor) Disebut juga pendekatan tetangga terjauh. Dasarnya adalah jarak maksimum. Dalam metode ini seluruh objek dalam suatu cluster dikaitkan satu sama lain pada suatu jarak maksimum atau

dengan

kesamaan

minimum.

Dituliskan

dengan

persamaan: dk(ij) = max (dki.dkj) Dimana: dki adalah jarak antara cluster k dan cluster i dkj adalah jarak antara cluster k dan cluster j dk(ij) adalah jarak antara cluster k dengan cluster ij

(2.19)

3. Rataan group (group average) Dasarnya

adalah

jarak

rata-rata

antar

observasi.

pengelompokan dimulai dari tengan atau pasangan observasi dengan jarak paling mendekati jarak rata-rata. Dituliskan dengan persamaan: 𝑑𝑘

𝑖𝑗

=𝑛

𝑛𝑖 𝑖 +𝑛 𝑗

𝑑𝑘𝑖 + 𝑛

𝑛𝑗 𝑖 +𝑛 𝑖

𝑑𝑘𝑗

(2.20)

Dimana: ni adalah jumlah individu pada kelompok X nj adalah jumlah individu dalam kelompok Y dki adalah jarak antara cluster k dan cluster i dkj adalah jarak antara cluster k dan cluster j dk(ij) adalah jarak antara cluster k dengan cluster ij


30

4. Metode Wards Dalam metode ini

jarak antara dua cluster adalah jumlah

kuadrat antara dua cluster untuk seluruh variabel. Metode ini cenderung digunakan untuk mengkombinasi cluster-cluster dengan jumlah kecil. Dituliskan dengan persamaan: 𝑑

𝑥𝑦 𝑧

=

𝑛 𝑥 +𝑛 𝑧 𝑑 𝑥𝑧 + 𝑛 𝑦 +𝑛 𝑧 𝑑 𝑦𝑧 −𝑛 𝑧 𝑑 𝑥𝑦 𝑛 𝑥 +𝑛 𝑦 +𝑛 𝑧

(2.21)

5. Centroid Jarak antara dua kelompok merupakan jarak centroids (rata-rata seluruh variabel dalam suatu kelompok) yang dihitung dengan rumus: 𝑑

𝑥𝑦 𝑧

=𝑛

𝑛𝑥 𝑥 +𝑛 𝑦

𝑑𝑥𝑧 + 𝑛

𝑛𝑦 𝑥 +𝑛 𝑦

𝑑𝑦𝑧 −

𝑛𝑥 𝑛𝑦 𝑛 𝑥 +𝑛 𝑦

(2.22)

b. Teknik pembagian (divisive) Bermula dari satu cluster yang berunsur semua objek yang ada. Cluster ini kemudian dibagi lagi menjadi dua cluster, dan seterusnya. Bila ada n objek maka pembagian menjadi dua cluster ini juga dapat dilakukan berdasarkan peubah biner, yaitu peubah yang hanya mempunyai dua kategori.

2. Tidak berhierarki Teknik ini dimulai dengan menentukan terlebih dahulu jumlah cluster yang diinginkan. Setelah jumlah cluster diketahui, beberapa proses pengclusteran dilakukan tanpa mengikuti proses hirarki. Yang termasuk dalam teknik ini antara lain teknik penyekatan (partitioning) dan penggunaan grafik. Metode yang sering digunakan adalah K-Means yang bertujuan mengelompokkan data sedemikian sehingga jarak tiap-tiap data kepusat kelompok dalam satu kelompok minimum. Pada teknik penyekatan seperti K-Rataan (K-Means), objek dapat berpindah cluster ada setiap tahap pengclusteran.


31

Prosedur pengelompokan sangat sederhana yaitu dengan langkahlangkah sebagai berikut: 1. Menentukan banyaknya kelompok yang akan dibentuk, misal sebanyak k kelompok. 2. Tentukan pusat cluster (dapat ditentukan secara sembarang). Hal ini merupakan salah satu kelemahan metode non Hierarki. 3. Mengalokasikan individu ke kelompok yang terdekat dengan pusat cluster. 4. Pusat cluster dihitung kembali, yang merupakan rata-rata dari individu didalam kelompok itu sendiri. 5. Alokasikan kembali individu. 6. Proses ini dilakukan terus – menerus hingga tidak ada lagi individu yang berpindah kelompok. Dalam penelitian ini analisis cluster yang digunakan adalah metode hierarki dengan pautan lengkap (complete linkage).


BAB 2 LANDASAN TEORI

Recommend Documents