BAB 2
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas beberapa definisi dan teorema dengan atau tanpa bukti yang akan digunakan untuk menentukan regularisasi sistem singular linier. Untuk itu akan diberikan terlebih dahulu pengertian-pengertian dasar berikut:
2.1 Matriks
Definisi 2.1: Anggap
menyatakan baris dan
menyatakan kolom maka matriks adalah susunan
segiempat angka-angka berdasarkan baris dan kolom yang dibatasi oleh kurung siku maupun kurung biasa dan Selanjutnya akan dibahas tipe-tipe matriks dan operasi aljabarnya.
2.1.1 Matriks Bujursangkar
Definisi 2.1: Matriks bujursangkar adalah matriks yang memiliki baris dan kolom yang sama disimbolkan sebagai
. Anggap matriks
bujursangkar maka
.
2.1.2 Matriks Transpos
Definisi 2.2: Anggap matriks
berukuran
adalah matriks berukuran
, maka transpose matriks .
disimbolkan dengan
6
Teorema 2.1: Anggap
dan B adalah matriks-matriks dan
adalah suatu skalar. Maka,
penjumlahan dan perkalian matriks-matriks ini selalu didefinisikan sebagai berikut: a) b) c) d)
2.1.3 Matriks Simetris
Definisi 2.3: Jika matriks
sama dengan matriks transposenya atau disimbolkan dengan
maka matriks
simetris. Demikian juga,
dikatakan simetris jika elemen-
elemen simetrisnya (elemen-elemen cermin terhadap diagonal) sama, yaitu, jika setiap .
2.1.4 Determinan
Algoritma mereduksi penghitungan determinan berorde determinan berorde
menjadi penghitungan
.
Algoritma 2.1: (Reduksi orde determinan). Inputnya adalah matriks bujursangkardengan
bukan-nol,
.
Langkah . Memilih elemen Langkah . Dengan menggunakan
atau, jika tidak ada,
sebagai pivot, lakukan operasi baris (kolom)
elementer sehingga diperoleh (baris) yang mengandung
.
di semua posisi selain posisi kolom
.
Langkah . Memperluas determinan dengan kolom (baris) yang mengandung
.
7
Contoh 2.1: Gunakan algoritma di atas untuk menentukan determinan dari
Gunakan
sebagai pivot sehingga diperoleh bilangan-bilangan
di
posisi-posisi selain kolom ke- , yaitu dengan melakukan operasi baris (b) “Mengganti ”, “Mengganti
dengan
dengan
”, Menurut Teorema “Anggap
diperoleh dari
(kolom) elementer. Jika kelipatan suatu baris (kolom) yang lain dari
”, dan “Mengganti
dengan
melalui operasi baris
ditambahkan ke baris (kolom)
”, nilai determinan tidak berubah oleh operasi-
, maka
operasi ini. Jadi
Selanjutnya sederhanakan dengan menggunakan kolom ketiga. Secara spesifik, abaikan semua suku yang mengandung adalah
dan gunakan fakta bahwa tanda dari minor
. Jadi
2.1.5 Matriks yang Dapat-Dibalik (Non-Singular)
Definisi 2.4: Matriks bujursangkar terdapat matriks
dikatakan dapat-dibalik (invertible) atau non-singular jika
sedemikian rupa sehingga
8
di mana adalah matriks identitas yaitu matriks bujursangkarpada diagonalnya dan
pada entri-entri lainnya. Matriks
Yaitu, jika
dan
dengan bilangan
seperti ini bersifat unik.
, maka .
Dari hubungan di atas dinamakan matriks invers dari matriks invers , maka
ditulis
sebagai invers dari matriks
dan
dan hubungan di atas bersifat simetris; yaitu, jika
invers .
2.1.6 Matriks Invers
Algoritma menentukan invers dari sebuah matriks. Algoritma 2.2: Inputnya adalah matriks bujursangkar
. Outputnya adalah invers dari
atau tidak
ada invers. Langkah . Membentuk matriks (blok) stengah kiri dari
,
dan matriks identitas
, di mana
adalah
adalah setengah kanan dari
. Langkah . Mereduksi-baris sebuah baris nol di (Jika tidak,
menjadi bentuk eselon. Jika proses ini menghasilkan setengah dari
lebih jauh lagi menjadi bentuk kanonis barisnya,
, di mana matriks identitas
menggantikan
di setengah kiri
.
Langkah . Menetapkan dari
tidak mempunyai invers.
berbentuk segitiga).
Langkah . Mereduksi-baris
dari
, maka
.
Contoh 2.2: Menentukan invers dari matriks
, matriks yang sekarang berada di setengah kanan
9
Membentuk matriks (blok)
dan mereduksi-baris
menjadi bentuk eselon:
Matriks identitas berada di setengah kiri dari matriks akhir, sehingga setengah kanannya adalah
atau dengan perkataan lain:
2.1.7 Matriks Eselon
Definisi 2.5: Matriks
disebut matriks eselon, atau dikatakan berbentuk eselon, jika dua syarat
berikut berlaku (dimana elemen bukan-nol utama (leading non-zero element) dari suatu baris pada matriks
adalah elemen bukan-nol pertama pada baris tersebut):
1) Suatu baris nol, jika ada, terletak di bagian bawah matriks. 2) Setiap entri bukan-nol utama pada suatu baris berada di sebelah kanan entri bukan-nol utama pada baris sebelumnya. Yaitu,
adalah matriks eselon jika terdapat entri-entri bukan-nol dimana
dengan sifat untuk Entri-entri
, yang merupakan elemen-elemen bukan-nol utama
pada masing-masing barisnya, disebut pivot-pivot dari matriks eselon.
Contoh 2.3: Matriks eselon yang pivot-pivotnya dicetak tebal:
10
2.1.8 Bebas Linier
Kolom matriks ;
Juga, baris matriks
dapat ditulis sebagai
dapat di tulis sebagai
vektor kolom.
vektor baris.
Vektor kolom adalah bebas linier jika persamaan
memenuhi hanya untuk semua
. Sama halnya dengan
vektor baris adalah bebas linier jika hanya nilai nol untuk skalar memenuhi persamaan
Jika beberapa
memenuhi
beberapa
memenuhi
, vektor kolom adalah bebas linier. Jika
, vektor baris adalah bebas linier. Hal ini mungkin
menunjukkan satu atau lebih vektor kolom (vektor baris) sebagai kombinasi linier lainnya. Jika vektor kolom (vektor baris) matriks determinan
adalah bebas linier, maka
adalah nol.
2.1.9 Rank Matriks
Definisi 2.6: Rank matriks linier
;
adalah sama pada maksimum bilangan kolom tidak bebas
atau maksimum bilangan baris tidak linier
. Bentuknya disebut rank kolom
dan selanjutnya rank baris. Rank kolom adalah sama dengan rank baris. Rank matriks adalah sama dengan order determinan non-vanishing terbesar di Abiad, 1968).
, (Stagg dan El-
11
Contoh 2.4: Anggap matriks
Baris adalah bebas linier karena persamaan
memenuhi untuk
Sama halnya dengan kolom adalah bebas linier karena persamaan
memenuhi untuk
Bagaimanapun, tidak dua kolom adalah bebas linier dan, oleh karena itu, rank matriks adalah .
Rank dari matriks , ditulis rank
, juga dapat diselesaikan dengan metode matriks
eselon yaitu sama dengan banyaknya pivot pada bentuk eselon dari .
Contoh 2.5: Sesuai dengan Contoh
maka diperoleh rank
.2
12
2.1.10 Aplikasi pada Teorema Eksistensi dan Keunikan
Subbagian ini membahas mengenai syarat-syarat teoretis bagi eksistensi dan keunikan dari solusi sistem persamaan linier dengan menggunakan pengertian rank dari suatu matriks.
Teorema 2.2: Diberikan sistem persamaan linier dengan diperbesar
variabel tidak diketahui dan matriks yang
. Maka:
a) Sistem memiliki solusi jika dan hanya jika rank b) Solusinya unik jika dan hanya jika rank
rank
rank
. .
Bukti: a) Sistem memiliki solusi jika dan hanya jika bentuk eselon dari tidak memiliki baris berbentuk Jika bentuk eselon dari
, dengan
memiliki baris, maka
adalah pivot dari
bukan pivot dari , dan oleh karena itu rank bentuk eselon dari itu rank
rank
dan
rank
tetapi
. Jika sebaliknya,
memiliki pivot-pivot yang sama, dan oleh karena
. Ini membuktikan kebenaran
.
b) Sistem memiliki solusi unik jika dan hanya jika bentuk eselon tidak memiliki variabel bebas. Ini berarti bahwa ada satu pivot untuk setiap variabel tidak diketahui. Sehingga
rank
rank
. Ini membuktikan kebenaran
.
2.1.11 Persamaan Matriks dari Sistem Persamaan Linier Bujursangkar
Sistem persamaan linier
adalah bujursangkar jika dan hanya jika matriks
yang terdiri dari koefisien-koefisien adalah matriks bujursangkar.
Teorema 2.3: Sistem persamaan linier bujursangkar hanya jika matriks
dapat-dibalik.
memiliki suatu solusi unik, jika dan adalah suatu solusi unik dari sistem tersebut.
13
Bukti: Jika
dapat-dibalik, maka
dan sehingga solusi, maka
Jadi, solusi
adalah suatu solusi unik. Jika
dapat-dibalik, maka
adalah sebuah solusi. Selanjutnya, anggap
adalah sebarang
. Maka
unik.
2.1.12 Matriks Definit Positif
Teorema 2.4: Anggap a)
adalah suatu matriks simetrik berorde
ekuivalen dengan:
adalah definit positif.
b) Submatriks utama
semuanya mempunyai determinan-determinan
positif. c)
dapat direduksi menjadi matriks segitiga atas dengan hanya menggunakan operasi baris dan semua elemen poros akan positif.
d)
mempunyai suatu faktorisasi Cholesky
(di mana
adalah matriks
segitiga bawah, dengan entri-entri diagonal positif). e)
dapat difaktorkan ke dalam hasil kali
untuk suatu matriks tak singular
.
Bukti: Dari yang telah diketahui bahwa (a) mengakibatkan (b), (b) mengakibatkan (c), dan (c) mengakibatkan (d). Untuk melihat bahwa (d) mengakibatkan (e), asumsikan bahwa . Jika ditetapkan
, maka
Akhirnya, untuk menunjukkan bahwa (e) taksingular. Misalkan . Karena
Jadi
(a), asumsikan bahwa
adalah sembarang vektor taknol dalam
taksingular,
adalah definit positif.
taksingular dan
akan menyebabkan
, di mana dan tetapkan
14
Terbukti.
Hasil-hasil analog terhadap Teroema 6.6.1 tidak berlaku untuk keadaan semidefinit positif.
Contoh 2.5:
Submatriks utama semuanya mempunyai determinan taknegatif.
namun
bukan semidefinit positif karena
Sebenarnya,
mempunyai nilai eigen negative
adalah suatu vektor eigen dari
.
dan
Sistem Waktu Diskrit
Definisi 2.7: Sistem adalah suatu alat atau algoritma yang beroperasi pada sinyal waktu kontinu/diskrit (input), menurut beberapa aturan yang dibuat, untuk menghasilkan sinyal waktu kontinu/diskrit dengan bentuk lain (output) sistem tersebut. Secara umum dinyatakan:
,
Definisi 2.8: Sistem waktu diskrit pada dasarnya (A. Abdurrochman, 2010) adalah algoritma matematik dengan deretan masukan,
, yang menghasilkan deretan keluaran,
.
Ciri sistem diskrit yang linier: Jika masukan Jika masukan
menghasilkan menghasilkan
Sistem waktu diskrit dikatakan statik (memoryless) jika output pada tiap tergantung pada sampel input pada waktu yang sama yaitu
.
hanya
15
Sistem Singular
Sistem singular adalah sistem dinamik yang prosesnya ditentukan dengan kedua persamaan differensial dan persamaan aljabar. Sistem seperti itu muncul dalam jaringan listrik, sistem power, dan sebagainya. Akhir dua dekade ini, ada mempelajari sistem singular secara luas seperti mencakup persoalan sebagai solvability, controllability dan observability, penyelesaian pole dan eliminasi proses impuls, kontrol geometri kuadratik linier, regulasi output, dan decoupling input-output, (Jie Huang dan Ji-Feng Zhang, 1998).
Anggap sistem singular diskrit berikut:
dimana
adalah vektor keadaan, adalah output sistem.
adalah input kontrol, dan
adalah matriks konstanta yang berdimensi
telah ditentukan. Seluruh pembahasan ini diasumsikan bahwa rank dengan lengkap dan
singular. Hal ini bertujuan bahwa sistem
adalah pasangan regular, yaitu
dan
tampak secara . Diturunkan
secara teratur sehingga menjamin memiliki adanya dan keunikan solusi, (Dianhui Wang dan C. B. Soh, 1999). Dengan asumsi regulariti bahwa terdapat dua matriks non-singular hingga sistem
dimana
adalah ekuivalen sistem terbatas pada
, sedemikian
16
dan
adalah matriks nilpotent.
Definisi 2.9: 1. Sistem disebut
controllable (
observable) jika rank
, terbatas ( rank
terbatas ).
2. Sistem disebut controllable (observable) jika kedua (
observable) dan rank
3. Sistem disebut
controllable (
(rank
controllable ).
observable) jika terdapat sebuah matriks
sedemikian hingga deg sebuah sini deg
rank
sedemikian hingga deg
( atau ada rank
). Di
menunjukkan degree dari suatu polinomial.
Anggap kontrol umpan-balik keadaan:
dimana
input baru. Menggunakan
pada sistem
menghasilkan sistem
loop tertutup
Menjamin bahwa sistem loop-tertutup setiap
, selanjutnya menggunakan hanya
memiliki solusi yang unik untuk yang membuat
regular. Berikut
tiga lemma akan dibutuhkan untuk selanjutnya.
Lemma 1: Terdapat matriks
sedemikian hingga sistem loop tertutup
terbatas, atau dengan perkataan lain:
tidak memiliki pole
17
dimana
adalah konstanta, jika dan hanya jika sistem
controllable dan
atau
adalah
.
Bukti: Perlu: Dengan asumsi sebelumnya bahwa sistem matriks non-singular pada
sedemikian hingga
adalah regular, terdapat dua adalah ekuivalen sistem terbatas
. Akibat teori sistem linier juga menunjukkan bahwa terdapat non-singular sedemikian hingga
dimana
, dan
adalah controllable. Untuk setiap matriks
, sistem loop tertutup
memiliki
polinimial karakteristik dari
dengan .
Telah diasumsikan bahwa sistem loop tertutup deg
deg
. Jika terdapat
harus ditarik kesimpulan bahwa deg ada. Ini berarti bahwa adalah
adalah regular, sehingga memenuhi
. Oleh sebab itu
, maka dapat tidak
adalah controllable, atau dengan perkataan lain sistem
controllable. Jelas bahwa
atau
.
18
Cukup: Bukti cukup adalah berguna. Dengan tidak menghilangkan secara umum bahwa
adalah controllable (sebaliknya, dapat membiarkannya pada bentuk
controllability standard an melanjutkan pembahasan subsistem controllable). Oleh karena itu, sistem
adalah
deg
rank
non-singular
controllable.
dapat dipilih sedemikian hingga
. Hal itu dapat ditarik kesimpulan bahwa matriks
ada, sedemikian hingga sistem loop tertutup
adalah ekuivalen sistem terbatas pada
dimana
diag
Karena sistem
,
adalah controllable,
memiliki rank baris penuh , dan rank memilih
sedemikian hingga
Anggap
Maka sistem
menjadi
diag
,
adalah controllable dan rank
. Oleh karena itu, dapat
19
dan
adalah controllable. Diskusi berikut dibagi menjadi dua bagian.
1. Assumsikan bahwa terdapat bilangan ,
rank , kolom ke
dari
tidak nol. Dalam kasus ini, tanpa menghilangkan secara umum, menunjukkan bahwa matriks
. Maka dapat diketahui dengan segera bahwa ada sedemikian hingga
Maka sistem loop tertutup dari
Pemberitahuan fakta bahwa non-singular
adalah controllable. Anggap
dan
digambarkan dengan
adalah controllable, terdapat matriks
sedemikian hingga
Menunjukkan
Hal itu mengikuti bahwa sistem
Anggap
adalah ekuivalen sistem terbatas pada
20
Maka secara langsung komputasi memberikan bahwa sistem loop tertutup dibentuk dengan
dan
memiliki polinomial karakteristik: konstanta,
dimana
. Dan sekarang
dipilih sebagai suatu cara akan memenuhi persamaan
2. Pada bagian yang lain, membiarkan
rank
.
kolom dari , adalah nol.
Menunjukkan
dimana kolom pertama dari sistem
tidak vektor nol. Anggap
,
menjadi
Jadi, hal itu ditukar pada kasus
Akibat 2.1: Jika sistem hingga
adalah controllable dan
, terdapat
sedemikian
ada.
Akibat 2.2: Jika sistem
adalah observable dan konstanta,
.
, terdapat
sedemikian hingga
21
Lemma 2.2: Menunjukkan sistem
menjadi controllable dan
keduanya memenuhi deg
rank . Maka lanjutan subsistem dari dua sistem berikut:
memiliki indeks observabiliti yang sama.
Bukti: Pertama, terdapat matriks non-singular dan
sedemikian hingga sistem
adalah, berturut-turut, ekuivalen sistem terbatas pada
dimana
diag
diag
Pada bagian lain, anggap transformasi
Karena deg
sistem
, dengan matriks
adalah ekuivalen sistem terbatas pada
rank
ada. Anggap
22
Sistem
menjadi
dimana
Karena
dan
adalah keduanya dekomposisi standar dari sistem
maka diketahui bahwa terdapat matriks non-singular
Jika
adalah indeks observabiliti dari
komputasi secara langsung memberikan bahwa
,
sedemikian hingga
berturut-turut. Dari definisi .
