BAB 2 LANDASAN TEORI
Pada bagian ini diberikan beberapa konsep dasar yang menjadi landasan berpikir dalam penelitian ini, seperti fungsi nonlinier, fungsi smooth, fungsi nonsmooth, turunan fungsi smooth, turunan fungsi nonsmooth, dan metode Subgradien pada fungsi nonsmooth.
2.1 Fungsi Nonlinier
Definisi 2.1.1. Sebuah fungsi
dengan nilai real yang didefinisikan pada himpunan bilangan real
adalah aturan yang menyatakan setiap bilangan
yang berada dalam
bilangan real dinyatakan dengan ( ) . Himpunan bilangan di mana
yang beranggotakan seluruh
( ) didefinisikan disebut Domain atau daerah asal fungsi
Bilangan ( ) yang merupakan fungsi dari himpunan semua nilai
ke tepat satu
disebut nilai
( ) disebut Range (jelajah) dari Domain
.
pada titik , sedangkan (Razali dkk, 2010).
Range
( )
Gambar 2.1.1. Ilustrasi fungsi
Universitas Sumatera Utara
Fungsi nonlinier merupakan fungsi yang tidak linier, yakni grafiknya bukan berupa garis lurus melainkan berupa kurva atau garis zig-zag.
Bentuk umum dari fungsi nonlinier ( )
di mana
dan
merupakan koefisien.
Beberapa bentuk dari fungsi nonlinier adalah
1. Fungsi kuadrat Fungsi kuadrat adalah fungsi yang mempunyai pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua. Gambar fungsi kuadrat bisa berupa lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola. Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah
di mana
dan
.
Gambar 2.1.2. Fungsi kuadrat
Universitas Sumatera Utara
Diberikan beberapa ciri-ciri dari suatu fungsi kuadrat yaitu:
1. Jika
dan
2.
maka bentuk kurvanya lingkaran.
dan mempunyai tanda yang sama maka bentuk kurvanya elips.
3.
berlawanan tanda maka bentuk kurvanya hiperbola.
4.
dan jika salah satu
atau
maka bentuk kurvanya
parabola.
2. Fungsi kubik Fungsi kubik adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat tiga.
Bentuk umum dari fungsi kubik adalah
. di mana
.
Sebuah fungsi kubik setidak-tidaknya mempunyai sebuah titik belok (inflextion point), yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung atau sebaliknya. Selain titik belok, fungsi kubik memungkinkan mempunyai sebuah titik ekstrim (maksimum atau minimum) atau kedua titik ekstrim (maksimum dan minimum). Ada tidaknya titik ekstrim pada fungsi kubik bergantung dari besarnya nilai
di dalam persamaan.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.1.3. Fungsi kubik untuk
Gambar 2.1.4. Fungsi kubik untuk
3. Fungsi eksponensial Pada fungsi eksponensial kurvanya berada di kuadran I dan II pada sistem koordinat.
Bentuk sederhana dari fungsi eksponensial
di mana
Universitas Sumatera Utara
Bentuk umum dari fungsi eksponensial
di mana
dan
adalah konstanta
Kurva fungsi eksponensial asimtotik terhadap garis Titik potong kurva eksponensial
Gambar 2.1.5. Fungsi eksponensial untuk
Gambar 2.1.6. Fungsi eksponensial untuk
Universitas Sumatera Utara
4. Fungsi logaritmik Fungsi logaritmik merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial yang variabel bebasnya merupakan bilangan logaritma. Bentuk sederhana dari fungsi logaritmik
di mana Bentuk umum dari fungsi logaritmik y di mana Kurva fungsi logaritmik ada di sebelah kanan dan asimtotik terhadap garis
Titik potong dengan sumbu –
*
Titik potong dengan sumbu –
*
+ +
Gambar 2.1.7 Fungsi logaritmik
Universitas Sumatera Utara
2.1.1
Fungsi Smooth
Sebuah fungsi pada
dengan
( )
{
(
⁄)
Adalah smooth dan mempunyai turunan 0 pada
Sebuah fungsi
.
yang kontinu dan mempunyai turunan pada setiap titik
diberikan sebagai berikut:
( )
di mana
( ) {
( ) adalah polynomial dari derajat
Bukti: Dengan menggunakan induksi matematika, untuk semua bilangan asli termasuk 0 ( ⁄ )
di mana semua
adalah kontinu dan dapat didifferensialkan pada
, karena ( )
( ) ( )
( ⁄ )
Menurut Power Series Representation of The Exponential Function
Universitas Sumatera Utara
(
( )
)
∑
(
( )
)
Oleh karena untuk semua bilangan positif
( )
diikutsertakan,
maka digunakan persamaan fungsi pada fungsi eksponensial. ( ⁄ )
(
Akan dibuktikan rumus untuk turunan Untuk turunan pertama dari
)
ke
dengan induksi matematika.
untuk semua
dan
polynomial dari derajat 0 adalah benar. Akibatnya turunan dari untuk
( ) adalah adalah 0
. ( )
( )
( )
( ⁄ )
( ) ( )
Tahap induksi matematika dari
sampai
adalah sama. Untuk
diperoleh turunannya adalah
(
)
( )
( )
(
( ) ( ) (
)
( ) (
( ) ) ( )
) ( )
( )
( )
Universitas Sumatera Utara
( ) adalah polynomial dari derajat
di mana
turunan pertama ( pada
) dari
(
adalah 0 untuk semua
)
. Maka . Turunan
, adalah
( )
( )
( )
( ⁄ )
(Wikipedia, 2013).
2.1.2
Fungsi Nonsmooth
Definisi 2.1.2.1. Istilah nonsmooth mengacu pada situasi dimana terjadi smoothness (differensiabilitas). Sebuah fungsi yang nonsmooth dapat berupa fungsi patah namun tetap kontinu. (Clarke, 1983).
Contoh 2.1.2.1. ( )
.
Fungsi di atas dapat digambarkan sebagai berikut: y
-1
0
1
x
Universitas Sumatera Utara
( )
Fungsi
merupakan dua buah garis yang bertemu pada satu
titik, yaitu di titik
. Kedua garis memiliki turunan yang berbeda. adalah
Turunan dari sebelah kiri adalah
dan turunan dari sebelah kanan
. (Martono, 2002)
Berdasarkan contoh di atas fungsi nonsmooth dapat diartikan sebagai fungsi yang mempunyai turunan berarah.
2.2 Turunan Fungsi Nonlinier
Definisi 2.2.1 Untuk fungsi
( ) maka turunannya di titik (
( ) jika limit ini ada. Jika
didefinisikan oleh:
)
( )
( ) ada, maka dikatakan fungsi ( ) terdifferensialkan
(dapat diturunkan) di titik . (Razali dkk, 2010) Untuk menentukan turunan dari ( ), Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah 1. Tentukan (
)
2. Tentukan selisih (
3. Bagilah dengan
4. Ambil limit
)
( )
untuk mendapatkan
lalu hitung
( )
(
)
(
( )
)
( )
Universitas Sumatera Utara
Thomas, G.B (2012) memaparkan beberapa aturan pada turunan, yaitu:
Teorema 2.2.1. (Aturan Fungsi konstanta) Jika ( )
, di mana adalah konstanta, maka untuk sebarang
berlaku
( ) Bukti: ( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
Jadi, terbukti jika ( )
( )
maka
Teorema 2.2.2. (Aturan Pangkat) Jika ( )
di mana
sebarang bilangan rasional, maka turunannya adalah ( )
Bukti: Langkah 1 (
)
(
) (
)
Universitas Sumatera Utara
Langkah 2 (
)
( )
(
[ (
)
]
)
Langkah 3 (
)
(
( )
)
(
[
)
(
]
)
Langkah 4 Ambil limit ( )
( )
untuk hasil akhir langkah 3 diperoleh: (
)
( )
(
)
( )
Universitas Sumatera Utara
Teorema 2.2.3. (Aturan perkalian fungsi dengan konstanta) Misalkan
adalah sebarang bilangan real. Jika
fungsi ( )
( ) ada maka turunan dari
( ) adalah ( )
( ) dengan fungsi
Artinya turunan dari perkalian konstanta dengan perkalian konstanta
dengan turunan
( ) adalah sama
( ).
Bukti: ( )
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
Teorema 2.2.4. (Aturan jumlah – selisih) Jika
diberikan
fungsi
( )
( )
( ) di
mana
( ) dan
( )
terdifferensialkan, maka: ( )
( )
( )
Artinya turunan dari jumlah atau selisih dua fungsi adalah sama dengan jumlah atau selisih dari turunan keduanya. Aturan ini berlaku pada tiga fungsi atau lebih.
Universitas Sumatera Utara
Bukti: Ambil jumlah dua fungsi ( )
( )
( ). Dengan menggunakan definisi
turunan (
( )
Untuk ( )
( )
)
( )
( ), maka:
Langkah 1 (
)
(
)
( )
, (
(
)
Langkah 2 (
)
)
(
)-
, ( )
( )-
, (
)
( )-
, (
)
( )-
Langkah 3 (
)
( )
, (
)
( )-
, (
)
( )-
(
)
( )
, (
)
( )-
, (
)
( )-
Kemudian ambil limit
pero eh
Langkah 4 (
)
( )
, (
)
( )-
, (
)
( )-
Universitas Sumatera Utara
Teorema 2.2.5. ( Aturan perkalian ) ( )
( ) ( ) di mana ( ) dan ( ) dapat diturunkan, maka turunan dari
( ) adalah ( )
( )
( )
( ) ( )
Bukti: ( )
(
)
(
) (
)
( ) ( )
(
) (
)
(
* (
)
( ( )
( )
( )
(
( )
(
) ( )
)
) ( )
)
(
(
( ) ( )
) ( )
)
( )
( )
(
( ) ( )
+
)
( )
( ) ( )
Teorema 2.2.6. (Aturan pembagian) Jika diberikan
( )
( ) ( )
di mana
( ) dan
( ) terdifferensialkan maka
turunannya adalah ( )
( ) ( ) ( ) ( ) , ( )-
Universitas Sumatera Utara
Bukti: ( )
( )
( )
)
( )
( (
) )
( ) ( )
( ) (
( )
( )
(
)
( ) (
) ( ) (
*
( ) (
,* ( )
)
( ) ( )
( ) ( )
) ( ) (
) ( ) (
(
)
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) , ( )-
2.2.1
Turunan Fungsi Smooth
( )
(
)
( ) +
( ) (
)
-
Beberapa interpretasi penting mengenai turunan, yaitu:
1. Turunan
ditafsirkan sebagai gradien garis singgung kurva ( ) di
titik .
2. Turunan
ditafsirkan sebagai laju perubahan dari fungsi ( ) di titik
. 3. Turunan
ditafsirkan sebagai kecepatan sesaat dari sebuah
persamaan gerak ( ) di titik . Pada fungsi smooth, turunannya ditafsirkan sebagai gradien garis singgung kurva ( ) di titik .
Universitas Sumatera Utara
)
+
2.2.2
Turunan fungsi Nonsmooth
Andaikan di
adalah sebuah fungsi dan
merupakan sebuah titik
maka fungsi tersebut dikatakan Lipschitz terhadap dan bilangan positif ɛ sehingga:
sebuah skalar | ( )
jika terdapat
( )|
e
er
di mana B adalah sebuah unit ball yang terbuka di
, maka
ɛ
adalah open ball pada radius ɛ pada .
Andaikan
adalah Lipschitz terhadap
dan andaikan
pada X. Generalizad directional derivative pada (
disimbolkan
yang menuju ,
), dan didefinisikan sebagai berikut: (
di mana
di
vektor lain
)
(
)
( )
adalah vektor di X dan adalah sebuah skalar positif.
Proposisi 2.2.2 Andaikan
adalah Lipschitz pada rank K terhadap , maka: (
1. Fungsi
) adalah finite, positively homogeneous, dan
subadditive pada X, dan memenuhi
2.
(
(
)
‖ ‖.
) adalah upper semicontinuous sebagai fungsi dari (
hanya sebagai fungsi 3.
(
)
(
) (
) dan
saja, adalah Lipschitz dari rank K pada X. )
Universitas Sumatera Utara
Bukti: (
) pada
)
( )
Pada kondisi Lipschitz, nilai dari mendekati (
‖ ‖ dimana
dan mendekati 0 ) p
(
p (
)
(
)
p
(
)
( )
Dapat disimpulkan bahwa (
)
(
)
(
)
Andaikan * + dan * + berturut-turut konvergen pada terdapat
dalam X dan
sehingga ‖
(
‖
(
)
)
(
( )
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
berada di X, maka ( )
(
(
(
)
diperoleh p
dan
(
( )
Dengan mengambil limit
Andaikan
, maka
p
) (
)
( )
(
)
)
( )
‖
‖
‖
‖
Universitas Sumatera Utara
(
p
(
)(
) (
) (
)( )
di mana
)
(Clarke, 1983). Sebagai
sebuah
homogeneous,
fungsi
dan
(
dari
subadditive,
)
sehingga
adalah dapat
positively
didefinisikan
( ) adalah generalized gradien pada
himpunan tak kosong
di ,
sebagai berikut: ( )
*
(
)
〈
〉
Dengan mempertimbangkan sifat dari bagian tak kosong yang konveks pada (
Maka
)
sama dengan
*〈
+
, maka
( ) himpunan
, untuk setiap 〉
( )+
( ).
( ) dapat dikatakan subdifferential pada analisis konveks , dan himpunan dari vektor
yang berada di
dapat ditulis sebagai
berikut : (
)
( )
〈
〉 untuk semua
Yi Zhang (2013) menjelaskan bahwa sebuah vektor subgradien dari ( )
pada ( )
( ) (
jika )
Jika konveks dan terdifferensialkan maka dari
adalah
( ) adalah subgradien
pada .
Universitas Sumatera Utara
