BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1
Proses Stokhastik Definisi 1 (Poisson Process) Sebuah proses menghitung N (t ) disebut Poisson Process dengan koefisien rata-rata
λ
jika
peningkatannya
independent
dimana
untuk
h>0
sebarannya berlaku N ( h) ~ Poisson (λh) (Promislow, 2011:325)
Definisi 2 (Compound Poisson Process) Compound poisson process merupakan proses yang menggunakan distribusi poisson, dimana daripada menghitung satu persatu setiap kejadian, kita mengambil pengamatan dari sebuah distribusi. Jika kita memiliki poisson process N t dan random variable H maka: Nt
St = ∑ X k k =1
(Promislow, 2011:329)
Definisi 4 (Poisson Distribution) Sebuah random variable K dikatakan memiliki distribusi poisson jika diteruskan dari fungsi probabilitas binomial dengan rata-rata sebesar λ sehingga fungsi probabilitasnya bernilai: P(k ) =
λk e − λ k!
untuk k = 1,2,... (Promislow, 2011:267)
5
6
Definisi 5 Surplus Process Model surplus dinyatakan sebagai U (t ) = u + Ct − S t Dimana ketika U (t ) modal atau Capital Reserve bernilai dibawah 0 maka ruin terjadi (Klugman, 2012:225)
2.2
Model Ruin Definisi 6 Time of Ruin Time of Ruin (T) atau waktu terjadinya kebangkrutan terjadi ketika pertama kalinya surplus bernilai negatif. Time of Ruin secara formal dinyatakan sebagai: T = min{n : U n < 0} Kita menginginkan agar T tidak menyentuh nilai ∞ karena yang ingin dicari adalah peluang terjadinya kebangkrutan dan juga memiliki syarat surplus awal sebesar u , oleh karena itu:
ψ (u ) = P (T < ∞ | U 0 = u ) Tentunya tidak ada asuransi yang ingin menanggung tertanggung dalam waktu yang tidak terbatas. Oleh karena itu diberikan parameter yang jelas untuk jangka waktu tersebut dalam variabel t :
ψ (u, t ) = P(T ≤ t | U 0 = u )
7
Dalam kasus di sini hanya terdapat dua jenis kemungkinan yang ada, yaitu bangkrut (ruin) atau bertahan (survive). Oleh karena itu menurut hukum probabilitas: 1 = F ( x) + S ( x)
1 = ψ (u , t ) + ψ (u , t )
ψ (u , t ) = 1 −ψ (u , t ) (Promislow, 2011:332)
Definisi 7 Lundberg Inequality Jika t = κ > 0 , maka peluang kebangkrutan memenuhi pertidaksamaan Lundberg
ψ (u ) ≤ e −κu merupakan peluang kebangkrutan yang terjadi pada saat atau sesaat sebelum terjadinya klaim. Pertidaksamaan Lundberg memegang peranan penting karena digunakan untuk mengamati surplus dan premium loading yang nilainya merupakan kontrol pemberi asuransi. (Klugman, 2012:230-231)
Definisi 8 Premium Loading Premium loading nilai yang merupakan kontrol pemberi asuransi. Premium loading dirumuskan dalam:
ln α u E exp − X − 1 u −1 θ= − µ ln α
8
Dimana untuk
surplus
yang
diperlukan
sehingga peluang terjadinya
kebangkrutan tidak lembih dari α adalah: u=
− ln α
κ (Klugman, 2012:230-231)
Definisi 9 Koefisien Penyesuaian (Adjustment Coefficient) Untuk t = κ adalah solusi terkecil untuk persamaan 1+
c
λ
t = M X (t )
Dimana M X (t ) = E (e tX ) merupakan fungsi pembangkit momen dari peubah acak severity claim X, dan nilai c = (1 + θ )λE ( X ) (Klugman, 2012:226)
Definisi 10 Distribusi Eksponensial Distribusi eksponensial memenuhi fungsi probabilitas berikut:
f ( x) =
1
µ
−
e
x
µ
−x
F ( x) = 1 − e µ
(Finan, 2015:274-275)
9
2.3
Properti dari Variabel Acak Definisi 11 (Peubah Acak) Misalkan Ω adalah ruang sampel dari suatu percobaan acak. Fungsi X yang terdefinisi pada Ω yang memetakan setiap unsur ω ∈ Ω ke satu dan hanya satu bilangan real X(ω) = x disebut peubah acak. Ruang dari X adalah himpunan bagian bilangan real A = {x : x = X(ω), ω ∈ Ω}. Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya X, Y, Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z. (Hogg and Craig, 2012:32)
Definisi 12 (Peubah Acak Diskrit) Peubah acak X merupakan peubah acak diskrit jika semua himpunan nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan cacah. (Hogg and Craig, 2012:40)
Definisi 13 (Fungsi Sebaran) Misalkan X adalah peubah acak dengan ruang A dan kejadian A=(-∞,x] ⊂ A, maka peluang dari kejadian A adalah pX ( A) = Ρ ( X ≤ x ) = FX ( x ) . Fungsi FX disebut fungsi sebaran dari peubah acak X. (Hogg and Craig, 2012:42)
Definisi 14 (Fungsi Kerapatan Peluang) Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi p : [0,1] yang diberikan oleh:
→
10 Px ( x) = P ( X = x) (Hogg and Craig, 2012)
Definisi 15 Ekspektasi Harapan Expected value atau nilai tengah mean dari suatu fungsi probabilitas dinyatakan dengan: ∞
∫ xf ( x)dx
untuk kontinu
E ( X ) = ∑ xf ( x )
untuk diskrit
E( X ) =
−∞
x
(Freunds, 2004:130)
Definisi 16 Varians Varians menyatakan ketidakpastian yang terjadi dari tingkat frekuensi maupun keparahan suatu distribusi:
( )
Var ( X ) = E X 2 − E ( X )
2
(Promislow, 2011:264)
Fungsi Pembangkit Momen (FPM):
M x (t ) = E (e tX )
Umum
M x (t ) = ∑ e tx Pr( x )
Diskrit
x
11
∞
Mx(t ) = ∫ e tx f ( x ) dx
Kontinu
−∞
µ 'n =
d n M X (s) ds n n=0 (Finan, 2015:397-398)
2.4
Dasar-dasar Kalkulus Definisi 17 Limit Notasi x → ∞ digunakan untuk mendenotasikan nilai x yang naik tanpa batas menuju ke arah positif. Sedangkan x → −∞ menuju ke arah negatif. Notasi x → x0 menyatakan variabel x mendekati nilai x0 , tetapi tidak pernah mencapai nilai tersebut. Jika x dan x0 menyatakan bilangan real, maka x mendekati nilai x0 tapi tidak akan pernah sama dengan nilai x0 . Untuk ε > 0 yang menyatakan bilangan real dengan nilai sangat kecil:
N = {x | x − x0 < ε } dan
N 0 = {x | 0 < x − x0 < ε }
Gambar 2.1 Pendekatan Limit (Heinbockel, 2012:40-41)
12 Definisi 18 Integro-differential Equation G (u , y ) merupakan peluang dari terjadinya kebangkrutan dengan reserve awal
u dan defisit sesaat sesudah terjadinya kebangkrutan paling lama adalah y, dengan batasan u ≥ 0, y ≥ 0
ψ (u ) =
lim y→∞
G (u , y )
Untuk G (u , y ) = Pr (ruin terjadi dengan reserve awal u dan defisit sesaat setelah ruin terjadi paling banyak y), u ≥ 0, y ≥ 0 . Fungsi G (u , y ) memenuhi persamaan:
∂ λ λ λ G (u , y ) = G (u, y ) − ∫ G (u − x, y )dF ( x) − [ F (u + y ) − F (u )], u ≥ 0 ∂u c c0 c u
Fungsi G (0, y ) memenuhi persamaan
G (0, y ) =
λ c
y
∫ [1 − F ( x)]dx,
y≥0
0
Sehingga fungsi survival dengan reserve awal sebesar 0 memenuhi persamaan:
ψ ( 0) =
θ 1+θ
(Klugman, 2012:234)
Definisi 19 Lineear Differential Equations Persamaan differensial linear adalah persamaan diferensial apapun yang dapat ditulis dalam bentuk: y ( n ) + a1 ( x ) y ( n −1) + ... + a n −1 ( x ) y = k ( x )
(Gazali, 2007:1)
13
Untuk penyelesaian persamaan diferensial orde dua dengan bentuk umum: ay"+by '+ cy = 0
Dapat digunakan persamaan karakteristik dimana: ar 2 + br + c = 0
Untuk kasus pertama dimana akar-akarnya berbeda yakni r1 ≠ r2 , solusi penyelesaian umumnya adalah:
y (t ) = c1e r1t + c2 e r2t (Gazali, 2007:61)
Untuk kasus kedua dimana akar-akarnya adalah bilangan kompleks r1.2 = λ ± µi , solusi umumnya adalah: y (t ) = e λt (c1 cos( µt ) + c 2 sin( µt ) ) (Gazali, 2007:65)
Sedangkan untuk kasus ketiga jika akar yang sama r1 = r2 , solusi umumnya adalah: y (t ) = c1e rt + c2te rt (Gazali, 2007:63)
14 2.5
Waterfall Model Definisi 20 (Waterfall Model) Waterfall model adalah sebuah contoh dari proses perencanaan, dimana semua proses kegiatan harus terlebih dulu direncanakan dan dijadwalkan sebelum dikerjakan.
Gambar 2.2 Waterfall Model (Sommerville, 2011:30-31)
Model ini melakukan pendekatan secara sistematis dan berurutan. Disebut dengan waterfall karena tahap demi tahap yang dilalui harus menunggu selesainya tahap sebelumnya dan berjalan berurutan. Berikut fase-fase dalam model waterfall menurut referensi Sommerville: 1. Requirements Definition Pada tahapan ini, pelayanan, batasan, dan tujuan dari sistem dicari dengan cara melakukan konsultasi dengan pengguna sistem. Kemudian didefinisikan dengan rinci dan berfungsi sebagai spesifikasi sistem. 2.
System and Sofware Design Partisi dari proses desain sistem merupakan kebutuhan untuk perangkat lunak maupun perangkat keras. Tahap ini menetapkan sebuah arsitektur sistem secara keseluruhan. Desain software
15
melibatkan proses identifikasi dan mendeskripsikan fundamental dari sistem perangkat lunak dan relasinya 3. Implementation and Unit Testing Pada tahap ini, desain perangkat lunak direalisasikan dalam bentuk sebuah set program atau unit program. Unit testing melibatkan proses verifikasi dimana setia unit harus memenuhi spesifikasi. 4. Integration and System Testing Setiap satuan unit program atau program diintegrasikan dan diuji sebagai sebuah sistem yang lengkap untuk memastikan bahwa persyaratan perangkat lunak sudah dipenuhi. Setelah ujicoba, sistem perangkat lunak akan diserahkan kepada konsumen. 5.
Operation and Maintenance Tahapan ini biasanya (walaupun tidak selalu) merupakan fase yang paling lama. Sistem sudah berjalan dan digunakan untuk keperluan sehari-hari. Pemeliharaan mencakup adanya koreksi pada error yang tidak ditemukan pada tahap-tahap terdahulu, sehingga meningkatkan implementasi dari unit sistem dan menguatkan pelayanan sistem seandainya diberikan persyaratan atau kebutuhan yang baru. (Sommerville, 2011:65-68)
2.6
Eight Golden Rules Definisi 21 (Delapan Aturan Emas) Delapan aturan emas dalam desain interface sudah diterapkan selama bertahun-tahun dan terbukti efektif lebih dari tiga dekad, membutuhkan validasi dan menciptakan domain yang lebih spesifik. Ke delapan aturan emas tersebut adalah: 1. Strive for consistency Tindakan yang konsisten dibutuhkan untuk hampir semua situasi yang memiliki persamaan. Bahasa yang identik harus digunakan di petunjuk,
16 menu. Kemudian konsistensi dari warna, layout, background, huruf kapital, font, dan lainnya harus diberlakukan juga. Pengecualian, seperti pada perintah delete harus sesederhana mungkin agar mudah dimengerti dan inkonsistensi seperti ini harus ada dalam jumlah sesedikit mungkin. 2. Cater to universal usability Memperhatikan kebutuhan dari pengguna yang berbeda-beda dan buatlah opsi untuk memberi kebebasan kepada pengguna untuk memilih yang lebih mudah. Perbedaan tersebut dapat berupa perbedaan usia, kemampuan pengguna dari pemula hingga mahir, fisik yang tidak sempurna, dan diversifikasi teknologi dimana orang-orang banyak menggunakan teknologi yang berbeda. Perbedaan kemampuan tersebut dapat diatasi dengan penggunaan fitur yang universal atau semua orang mudah mengerti. Contohnya adalah penggunaan tombol submit dimana semua orang mengerti apa arti dari submit. 3. Offer informatif feedback Untuk setiap kegiatan yang dilakukan oleh pengguna, harus ada pilihan bagi pengguna untuk memberikan masukkan. Untuk kegiatan kecil namun frekuensinya sering, dapat dibuat sesederhana mungkin. Namun untuk kegiatan yang besar namun frekuensinya jarang, harus dibuat opsi masukkan sedetail mungkin. 4. Design dialogs to yield closure Urutan dari kegiatan yang dilakukan harus dikelompokkan menjadi permulaan, pertengahan, dan akhir. Dan pada setiap kegiatan yang penting harus diberikan informasi balasan, contohnya pada kegiatan pembelian harus diberikan konfirmasi. Perlakuan ini akan memberikan rasa tenang, rasa lega, dan lain sebagainya pada pengguna. 5. Prevent errors Sebisa mungkin, desainlah sebuah sistem yang dimana pengguna tidak dapat membuat kesalahan yang besar atau fatal. Contoh, berikan warna
17
abu-abu pada bagian yang tidak boleh diisi sebelum mengisi bagian lainnya (misalnya konfirmasi password), atau pengguna tidak dapat memasukkan huruf ke dalam nomor telepon, dan lain sebagainya. Seandainya pengguna melakukan kesalahan pun, sisem harus mengingatkan pengguna, serta memberikan insturksi yang mudah konstruktif, dan spesifik. 6. Permit easy reversal of actions Sebisa mungkin, aksi yang dilakukan oleh pengguna dapat dikembalikan ke bentuk semula. Fitur ini akan mengurangi ketegangan dari pengguna, dimana pengguna mengerti bahwa kesalahan yang mereka lakukan masih dapat diperbaiki. Sistem yang tidak dapat memperbaiki data yang sudah diupload merupakan contoh sistem yang buruk, karena pengguna harus benar-benar berhati-hati sebelum melakukan tindakan. 7. Support internal locus of control Pengguna yang sudah berpengalaman merasa bahwa mereka membutuhkan kontrol terhadap tindakan yang mereka lakukan pada sebuah sistem, dan sistem perlu merespon tindakan mereka dengan baik. Mereka tidak ingin kejutan atau perubahan yang drastis, dan mereka merasa terganggu dengan sistem data entry yang menjemukan, sulitnya mencari informasi, dan ketidakmampuan untuk menghasilkan hasil yang diinginkan. 8. Reduce short-term memory load Hal ini dapat dilakukan dengan menjaga tampilan layar agar tetap sederhana,
perancangan
menu
dan
sub-menu
yang
tidak
rumit,
menggabungkan beberapa halaman, mengurangi frekuensi pergerakan windows, membuat waktu pelatihan dan pembelajaran kode, singkatan dan urutan aksi yang secukupnya. (Shneiderman, 2010:88-89)
2.7 Flowchart
18 Definisi 22 (Flowchart) Flowchart
adalah
bagan-bagan
yang
mempunyai
arus
yang
menggambarkan langkah-langkah penyelesaian suatu masalah. Flowchart merupakan cara penyajian dari suatu algoritma.
Tujuan membuat flowchart : 1.
Menggambarkan suatu tahapan penyelesaian masalah secara sederhana, terurai, rapi, dan jelas.
2.
Menggunakan simbol-simbol standar.
Simbol-simbol yang dipakai dalam flowchart dibagi menjadi 3 kelompok : 1. Flow direction symbols •
Digunakan untuk menghubungkan simbol satu dengan simbol
yang
lain. •
Flow direction symbols disebut juga connecting line.
2. Processing symbols •
Menunjukkan
jenis
operasi
pengolahan
dalam
suatu
proses/prosedur. 3. •
Input / Output symbols Menunjukkan jenis peralatan yang digunakan sebagai media
atau output.
Tabel 2.1 Flow Direction Symbols Symbol arus / flow, yaitu menyatakan jalannya arus suatu proses.
input
19
Simbol communication link, yaitu menyatakan transmisi data dari satu lokasi ke lokasi lain. Simbol connector, berfungsi menyatakan sambungan dari proses ke proses lainnya dalam halaman yang sama. Simbol offline connector, menyatakan sambungan dari proses ke proses lainnya dalam halaman yang berbeda.
Tabel 2.2 Processing Symbols Simbol process, yaitu menyatakan suatu tindakan (proses) yang dilakukan oleh komputer.
Simbol manual, yaitu menyatakan suatu tindakan (proses) yang tidak dilakukan oleh komputer.
Simbol decision, yaitu menunjukkan suatu kondisi tertentu yang akan menghasilkan dua kemungkinan (ya/tidak).
20 Simbol preparation, yaitu menyatakan penyediaan tempat penyimpanan suatu pengolahan untuk memberi harga awal.
Simbol predefined process, untuk menyatakan sekumpulan langkah-langkah proses yang ditulis sebagai prosedur.
Simbol terminal, yaitu menyatakan permulaan atau akhir suatu program.
Simbol keying operation, menyatakan segala jenis operasi yang diproses menggunakan suatu mesin yang memiliki keyboard.
Simbol offline-storage, menyatakan bahwa data dalam simbol ini akan disimpan ke suatu media tertentu.
Tabel 2.3 Input/Output Symbols Simbol manual input, memasukan data secara manual dengan menggunakan online keyboard.
21
Simbol input/output, menyatakan proses input atau output tanpa tergantung jenis peralatannya.
Simbol punched card, menyatakan input berdasarkan dari kartu atau output ditulis ke kartu.
Simbol magnetic tape, menyatakan input berasal dari pita magnetis atau output disimpan ke pita magnetis.
Simbol disk storage, menyatakan input berasal dari disk atau output disimpan ke disk.
Simbol document, mencetak keluaran dalam bentuk dokumen (melalui printer)
Simbol display, mencetak keluaran dalam layar monitor.
(Garrido, 2012:87)
22 2.8
Teori UML Definisi 23 (UML) UML adalah sekumpulan set dari 13 tipe diagram yang memungkinkan untuk digunakan dalam permodelan sistem perangkat lunak. UML diterima secara universal sebagai pendekatan standard dalam pengembangan model sistem perangkat lunak. Beberapa varian sudah diajukan untuk sistem modeling yang lebih sederhana (Sommerville, 2011:121)
Definisi 24 (Use Case) Use case merupakan metode yang pertama kali diperkenalkan oleh Jacobson pada tahun 1993. Saat ini, use case menjadi fitur yang fundamental dalam UML. Dalam bentuk yang sederhana, use case menjelaskan peran aktor dalam sebuah interaksi serta nama interaksi tersebut. Hal
ini
kemudian
ditambah
dengan
informasi
yang
mendeskripsikan interaksi aktor dengan sistem. Informasi tambahan tersebut dapat berupa teks atau model-model bergambar seperti UML sequence. Berikut di bawah ini adalah contoh Use Case
23
Gambar 2.3 Use Case Diagram (Sommerville, 2011:107)
Dalam use case diagram terdapat tiga komponen utama yaitu actor, use case, dan hubungan, seperti dijelaskan dalam tabel berikut:
Tabel 2.4 Komponen Use Case Diagram No.
Simbol
Gambar
Keterangan
Aktor adalah segala sesuatu yang perlu berinteraksi dengan sistem untuk pertukaran informasi. 1.
Aktor Aktor
dapat
berupa
manusia,
organisasi, sistem informasi yang lain, dan perangkat eksternal.
24
Use case adalah aktivitas yang akan Use Case1
2.
Use case
dilakukan
dalam
sistem
berupa
interaksi antara sistem dan user untuk mencapai tujuan tertentu.
3.
Hubungan
Menggambarkan hubungan antara dua simbol pada use case diagram.
(Sommerville, 2011:107)
Definisi 26 (Sequence Diagram) Sequence diagram dalam UML utamanya digunakan sebagai model interaksi antara aktor dan objek dalam sebuah sistem, dan interaksi antar objek dengan objek. UML memiliki banyak sintaks untuk sequence diagram, dimana hal tersebut memungkinkan banyak jenis interaksi untuk dimodelkan. Sequence diagram sesuai namanya menunjukkan urutan dari interaksi. (Sommerville, 2011:126)
25
Notasi yang digunakan dalam sequence diagram adalah sebagai berikut:
Tabel 2.5 Notasi Sequence Diagram Notasi
Keterangan
Notasi ini menggambarkan user yang berinteraksi dengan system Actor
Notasi ini menggambarkan kelas-kelas yang ada pada class diagram System
Notasi ini menggambarkan hidup dari sequence Life Lines
Notasi ini menggambarkan waktu dimana user sedang aktif berinteraksi dengan system Activation Bars
26
Notasi ini menggambarkan pesan masuk yang dikirimkan yaitu berupa behavior Input Message
Notasi
ini
menggambarkan
pesan
yang
dikirimkan sebagai balasan pesan masuk Output Message
Notasi ini menggambarkan area pada sistem yang mengalami perulangan (loops), seleksi (alternate fragments), atau kondisi opsional (optional). Frame
27
Berikut ini adalah contoh sequence diagram:
Gambar 2.4 Contoh Sequence Diagram (Sommerville, 2011:126-127)
Definisi 27 (Class Diagram) Class Diagram digunakan ketika mengembangkan sistem berbasis objek untuk menunjukkan kelas dalam sistem dan asosiasi antar kelas
28 Berikut ini adalah contoh class diagram:
Gambar 2.5 Class Diagram
Setiap akhir dari asosiasi diberikan tanda 1. Tanda * untuk menunjukkan objek yang terlibat tidak tentu. Ketika menunjukkan asosiasi antar kelas, yang terbaik adalah merepresentasikan kelas-kelas ini dalam bentuk yang paling sederhana. Untuk mendefinisikan detail yang lebih, tambahkan informasi mengenai atribut (karakteristik dari sebuah objek) dan operasinya (sesuatu yang dapat diminta dari objek). Pada UML, attribut dan operasi ditunjukkan dengan kotak yang merepresentasikan kelas dimana: 1. Nama dari objek kelas berada di bagian atas 2. Atribut kelas berada di bagian tengah. Harus mengikutsertakan nama atribut, dan tipe (opsional) 3. Operasi (disebut methods di Java) memiliki asosiasi dengan objek kelas di bagian bawah kotak (Sommerville, 2011:129-130)
29
Definisi 27 (Web) Web adalah salah satu aplikasi yang berisikan dokumen-dokumen multimedia (teks, gambar, suara, animasi, video) di dalamnya yang menggunakan protokol HTTP (Hypertext Transfer Protocol) dan untuk mengaksesnya menggunakan perangkat lunak yang disebut browser. (Arief, 2011:7)
30
