Bab 2 LANDASAN TEORI

9

Bab 2

LANDASAN TEORI

2.1. Uji Kecukupan Sampel

Dalam melakukan penelitian yang berhubungan dengan kecukupan sampel maka langkah awal yang harus dilakukan adalah pengujian terhadap jumlah sampel. Pengujian ini dimaksudkan untuk mengetahui apakah data yang diperoleh dapat diterima sebagai sampel. Hipotesis yang diuji adalah : H0

: Ukuran sampel telah memenuhi syarat

H1

: Ukuran sampel belum memenuhi syarat Rumus yang digunakan untuk menentukan jumlah sampel adalah :

N

Dengan :

20 N ∑ Y

∑Y

∑Y

N’ = ukuran sampel yang dibutuhkan N = ukuran sampel percobaan Yt = data aktual t

= 1,2,3,…, n

Universitas Sumatera Utara

10

Kriteria pengujian : H0 diterima jika

: N` < N

H0 ditolak jika

: N` ≥ N

2.2. Pengertian Regresi Linier

Regresi linier adalah regresi yang variabel bebasnya (variabel X) berpangkat paling tinggi satu, Dalam regresi linier sederhana terdapat hanya satu variabel bebas X yang dihubungkan dengan satu variabel Y = a + bX1 + ε Sedangkan dalam regresi linier ganda terdapat sejumlah k buah variabel bebas (k≥2) yang dihubungkan dengan Y linier atau pangkat satu dalam semua variabel bebas sehingga terbentuk model: Y=a+b1X1+b2X2+…+bkXk+εi Analisa regresi mempelajari hubungan kausal antara variabel tak bebas dan variabel bebas.

2.3. Model Regresi Linier Ganda

Bentuk umum persamaan regresi linier ganda adalah Y

b

b X

b X

⋯

b X

ε

Dimana: Yi

= Variabel tak bebas

Xik

= Varibel bebas ke-k dan pengamatan ke-i k = 1, 2, 3, …, j i = 1, 2, 3, …, n


11

bo

= konstanta yang merupakan intersep (titik potong) antara garis dengan sumbu tegak Y

bk

= Parameter atau koefisien regresi yang akan ditaksir

εi

= Suatu bagian kesalahan taksiran untuk pengamatan ke-i

Bentuk data yang akan diolah dari hasil pengamatan adalah sebagai berikut : TABEL 2.1 BENTUK PENGOLAHAN DATA No Observasi

Variabel Tak Bebas (Y)

1

Variabel Bebas X1

X2

X3

…

Xk

Y1

X11

X12

X13

X1k

2

Y2

X21

X22

X23

X2k

3

Y3

X31

X32

X33

X3k

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

N

Yn

Xn1

Xn2

Xn3

…

Xnk

Untuk memperkirakan parameter b0, b1, b2, …, bk ditentukan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil biasa , sehingga ∑ ε = minimum (terkecil). Hal ini diperoleh dengan jalan menurunkan secara parsial terhadap b0, b1, b2, …, bk dan menyamakan nol. Dirumuskan sebagai berikut: ε

Y

Y

ε

Y

b

b X

b X

⋯

b X


12

Mencari turunan parsial untuk b0, b1, b2, …, bk ∂∑ ε ∂b

2

Y

b

b X

b X

⋯

b X

1

∂∑ ε ∂b

2

Y

b

b X

b X

⋯

b X

X

0

∂∑ ε ∂b

2

Y

b

b X

b X

⋯

b X

X

0

0

Sehingga diperoleh persamaan normal sebagai berikut : nb

b

X

b

X

⋯

b

X

b

X

b

X X

b

X

b

X X

b

b

X X

X

⋯

Y

b

⋯

X X

b

X

X Y

X Y ……….. 1


13

2.4 Model Regresi Linier Dengan Pendekatan Matriks Matriks adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Bentuk matriks : A Secara Umum, invers dari matriks persegi A atau ditulis A-1 adalah sebagai berikut : A-1 =

1 adj ( A) det( A)

dengan : det (A)

= determinan matriks A dan Adj (A) adalah adjoin matriks A

Adjoin matriks A = transpose dari matriks kofaktor A. Invers matriks digunakan untuk menyelesaikan persamaan matriks dan sistem persamaan linear. Seperti pada persamaan 1 akan lebih sederhana dengan menggunakan matriks: Y= Xb + ε Dimana: Y Y ,X ⋮ Y

Y

1 X 1 X ⋮ ⋮ 1 X

X X

… … ⋮ … … X

X X ⋮ X

,b

b b ,ε ⋮ b

e e ⋮ e

Maka untuk mendapatkan penaksir kuadrat terkecil bagi b yang minimum ε

= Y

ε′ ε

Xb

′

Y

Xb


14

YY ′

b′ X ′ Y

Y ′ Xb

b′ X ′ Xb … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 2

Berdasarkan sifat dari transpose matriks yaitu Xb

′

X ′ b′ karena b′ X ′ Y adalah

suatu scalar (bilangan nyata = real number) maka sama dengan transposenya b′ X ′ Y

Y′Xb

Sehingga persamaan (2) menjadi : ε

YY ′

Y ′ Xb

Y ′ Xb

ε

YY ′

2Y ′ Xb

b′X′Xb

b′X′Xb

Dengan penurunan terhadap elemen-elemen: ∂∑ ε ∂b

2X ′ Y

2X′Xb

Kemudian disamakan dengan nol, maka diperoleh X′X b b

X′Y

XX

(persamaan normal)………………………………………(3)

X′Y , dengan syarat ada invers

Bentuk penulisan persamaan (3) dalam matriks adalah n ∑X ∑X ⋮ ∑X 1 X X ⋮ X

∑X ∑X ∑ X X ⋮ ∑X X 1 X X ⋮ X

∑X … ∑ X … ∑ X X ∑ X X ∑X … ∑ X X ⋮ ⋮ … ∑X ∑X X

1 … X … … X … ⋮ X …

1 X X X

⋮

b b b ⋮ b

∑Y ∑Y ∑ Y …..(4) ⋮ ∑Y

Koefisien regresi b0, b1, b2, …, bk adalah


15

b b b ⋮ b

n ∑X ∑X ⋮ ∑X

∑X ∑X ∑ X X ⋮ ∑X X

∑ X … ∑ X ∑ X X … ∑ X X ∑ X ∑ X X ⋮ ⋮ ∑ X X … ∑ X

∑Y ∑X Y ∑X Y ⋮ ∑X Y

…………………………….(5)

2.5 Metode Regresi Stepwise

Metode yang digunakan adalah Metode bertatar (Stepwise Forward). Metode ini digunakan untuk menentukan suatu persamaan regresi linier variabel respon (Y) terhadap variabel-variabel bebas (X) adalah dengan cara menyusupkan peubah satu demi satu sampai diperoleh persamaan regresi yang memuaskan. Urutan penyisipannya ditentukan dengan menggunakan koefisien korelasi parsial sebagai ukuran pentingnya peubah yang masih diluar persamaan. Prosedur dasarnya ,langkah pertama adalah memilih X yang paling berkorelasi dengan Y (misalkan X3) kemudian dihitung persamaan regresi linier antara Y dengan X3. Setelah itu diuji apakah peubah tersebut nyata atau tidak. Jika tidak nyata proses berhenti dengan mengambil model Y = Y sebagai yang terbaik. Jika peubah tersebut nyata, dicari peubah peramal kedua untuk dimasukkan kedalam peubah persamaan regresi. Untuk mencarinya, diperiksa koefisien korelasi parsial semua peubah peramal yang berada diluar persamaan regresi. Peubah X yang mempunyai koefisien korelasi parsial tertinggi dengan Y yang dipilih (misalkan X8) dan selanjutnya persamaan regresi kedua antara Y, X3, dan X8 dihitung. Kemudian persamaan regresi tersebut diuji. Dan nilai F parsial untuk kedua peubah yang ada dalam persamaan diuji. Nilai F parsial terendah (misalkan X8) kemudian dibandingkan dengan nilai F tabel. Jika peubah tersebut nyata, dicari peubah peramal selanjutnya untuk dimasukkan kedalam peubah persamaan regresi. Namun jika tidak nyata proses diberhentikan dengan mengambil model regresi antara Y dengan X3 sebagai persamaan regresi terbaik.


16

2.5.1 Membentuk Matriks Koefisien Korelasi

Koefisien korelasi yang dicari adalah koefisien korelasi linier sederhana antara Y dengan Xi, dengan rumus: ∑ X

r

∑ X

X X

Y ∑ Y

Y Y

Dengan : Y

X

∑Y n ∑X n

i = 1, 2, 3, …, n j = 1, 2, 3, …, k Bentuk matriks koefisien korelasi linier sederhana antara Y dan Xi :

r

X X X ⋮ X

r r r r

⋮

2.5.2 Membentuk Regresi Pertama (Persamaan Regresi Linier)

Variabel pertama yang diregresikan adalah variabel yang mempunyai harga mutlak koefisien korelasi yang terbesar antara Y dengan Xi, misalkan Xh. Dari variabel ini dibuat persamaan regresi linier Y=b0+b1Xh+εi , dengan cara sebagai berikut:


17

1 1 ⋮ 1

X

X X X

n

X ′ X

⋮

Y

Y Y X ′ Y ⋮ Y

β

X′X

X

X

X

∑Y ∑X Y

b b

. X′Y

Keberartian regresi diuji dengan tabel analisa variansi (Anava) Perhitungan untuk membuat Anava adalah sebagai berikut: SSR

SST

Y ′ . J. Y n

β′ X ′ Y

′

YY

Y ′ JY n

β

Y

XY

∑Y n

∑Y n

Dengan : SSR

=Sum Square Regresion (Jumlah Kuadrat Regresi)

SST

=Sum Square Total (Jumlah Kuadrat Total)

J

1 1 1 ⋮ 1

J

SSE

1 1 1 ⋮ 1

… … … … …

1 1 1 nxn ⋮ 1

=Matriks berordo n x n dengan semua nilai adalah 1 SSE

SST – SSR

MSR

MSE

SSE n p

SSR p 1

= Sum Square Error (Jumlah Kuadrat kesalahan)

MSE = Mean Square Error (Rata-rata kuadrat Kesalahan)


18

Sehingga didapat harga standard error dari b, dengan rumus S β

MSE X ′ X

S b

S b

TABEL 2.2 ANALISA VARIANSI UNTUK UJI KEBERARTIAN REGRESI Source

DF

SS

MS

Regresi (Xh)

p-1

SSR

MSR

Residu

n-p

SSE

MSE

Total

Fuji

MSR/MSE

SST

Uji Hipotesa: H0

: Regresi antara Y dengan Xh tidak signifikan

H1

: Regresi antara Y dengan Xh signifikan

Keputusan: Bila Fhitung < Ftabel maka terima H0 Bila Fhitung ≥ Ftabel maka tolak H0 Dengan : Ftabel=F(p-1,n-p,0,5)

2.5.3 Seleksi Variabel Kedua Diregresikan

Cara menyeleksi variabel yang kedua diregresikan adalah memilih parsial korelasi variabel sisa yang terbesar. Untuk menghitung harga masing-masing korelasi parsial bisa digunakan rumus: r

SSR X , X SSR X SSE X

Dimana:


19

Xk merupakan variabel sisa SSR X

B′ X ′ Y

SSE X

SST

SSR X , X

∑Y /n SSR

diperoleh dengan cara:

i.

Mencari (X’X)-1(xh,xk) , dan X’Y(xh,xk)

ii.

Mencari harga B(xh,xk) , sehingga didapat B’(xh,xk)

iii.

SSR (Xh,Xk) = B’(xh,xk) . X’Y(xh,xk) –

∑

2.5.4 Membentuk Regresi Kedua

Dengan memilih parsial korelasi variabel sisa terbesar untuk variabel tersebut masuk dalam regresi kedua dibuat Y = b0+ bhXk+bkXk+εi Dengan cara sebagai berikut :

X

Y

β

1 1 ⋮ 1

X X

X X ⋮ ⋮ X X

n X ′ X

Y Y ⋮ Y

X′X

′

XY

.X Y

X

X

X

X

X X

X

X X

X

∑Y ∑X Y ∑X Y

b b b


20

Uji keberartian regresi dengan tabel anava sama dengan langkah kedua yaitu dengan menggunakan tabel 2.2. Berikutnya dicek apakah koefisien regresi bk signifikan, dengan hipotesa: H0

: bk

=

0

H1

: bk

≠

0

b S b

F

Sedangkan Ftabel=F(1,n-p,0,05) Keputusan : Bila Fhitung < Ftabel terima H0 artinya bk dianggap sama dengan nol, maka proses distop dan persamaan yang terbaik Y=b0 + bhXh + ei. Bila Fhitung ≥ Ftabel tolak H0 artinya bk tidak sama dengan nol, maka variabel Xk tetap di dalam penduga.

2.5.5. Seleksi Variabel Ketiga Diregresikan

Dipilih kembali harga parsial korelasi variabel sisa terbesar. Menghitung harga masing-masing parsial korelasi variabel sisa menggunakan langkah 3, dengan rumus : r

X X

SSR X , X SSR X , X , X SSE X , X

2.5.6. Membentuk Persamaan Regresi Ketiga ( Regresi Ganda )

Dengan memilih parsial korelasi terbesar, persamaan regresi dibuat: Y

b

b X

b X

b X

e

Dimana X1 adalah variabel sisa yang mempunyai parsial korelasi terbesar, dengan cara sebagai berikut:


21

1 1 ⋮ 1

X

X X X X ⋮ ⋮ X X

X X ⋮ X

n XX

X

X

X

X X

X

X

X X

X X

X X

X

X X

X X

X X

X

Y XY

X Y X Y X Y

Untuk proses selanjutnya , dilakukan dengan cara yang sama seperti di atas.

2.5.7. Pembentukan Persamaan Penduga

Persamaan penduga Y

b

b X dimana

adalah

masuk kedalam penduga (Faktor penduga) dan

adalah semua variabel X yang

adalah koefisien regresi untuk

.

2.5.8. Pertimbangan Terhadap Penduga

Sebagai pembahasan suatu penduga,untuk menanggapi kecocokan penduga yang diperoleh ada dua hal yang dipertimbangkan yakni: a. Pertimbangan berdasarkan R2 Suatu penduga sangat baik digunakan apabila persentase variabel yang dijelaskan sangat besar atau bila R2 → 1.


22

b. Analisa Residu Suatu regresi adalah berarti dan model regresinya cocok (sesuai berdasarkan nilai observasi) apabila asumsi dibawah ini dipenuhi: ej ≈ N (0, σ2) berarti residu (ej) mengikuti distribusi normal dengan mean (e) = 0 dan varian (σ2) = konstanta Asumsi ini dibuktikan dengan analisa residu. Untuk langkah ini pertama-tama dihitung residu (sisa) dari penduga, yaitu selisih dari respon observasi terhadap hasil keluaran oleh penduga berdasarkan prediktor observasi. Dengan rumus :

dimana tabelnya seperti dibawah ini :

TABEL 2.3. RESIDU No. Observasi

Respon (Y)

Penduga (Y

Residu (e

1

Y1

Y

Y1-Y

2

Y2

Y

Y2-Y

3

Y3

Y

Y3-Y

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

N

Y

Y

Yn-Y

Jumlah

∑e

Rata-rata

∑ e /n

Asumsi a. Rata-rata residu sama dengan nol (e

0

b. Varian (ej) = varian (ek ) = σ2 Keadaan ini dibuktikan dengan uji statistik dengan menggunakan uji korelasi Rank Spearman (Spearman’s Rank Correlation Test) . Uji Spearman merupakan salah satu uji statistik non paramateris. Digunakan apabila ingin mengetahui kesesuaian antara 2 subjek dimana skala datanya adalah ordinal. Karena uji kesesuaian, maka jelas sifat


23

hubungan kedua variabel adalah simetris, bukan resiprocal. Skala data jelas adalah nominal (2 subjek) dengan interval yang diubah menjadi peringkat . Langkah-Langkah yang dilakukan dalam analisis korelasi Rank Spearman adalah sebagai berikut : 1.Hipotesis H0

: tidak ada hubungan antara variabel faktor-faktor yang mempengaruhi kriminalitas dengan jumlah kriminalitas

H1

: ada hubungan antara variabel faktor-faktor yang mempengaruhi kriminalitas dengan jumlah kriminalitas

2. Kriteria Pengujian Hipotesis H0 ditolak bila harga r

hitung

H0 diterima bila harga r

> dari r

hitung

tabel

≤ dari r

tabel

Untuk uji ini, data yang diperlukan adalah Rank (ej) dan Rank (Yj), dimana : dj = Rank (Yj) – Rank (ej). hal ini ditunjukkan dengan tabel berikut:

TABEL 2.4 RANK SPEARMAN Rank (e)

d (ry-re)

d2

ry1

re1

d1

d12

e2

ry2

re2

d2

d22

Y3

e3

ry3

re3

d3

d32

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Yn

Yn

en

ryn

ren

dn

dn2

No.

Penduga

Residu

Rank

Observasi

(Yj)

(e)

(Y)

1

Y1

e1

2

Y2

3

Jumlah

∑d

Koefisien korelasi Rank Spearman (rs) :


24

r

1

6

∑d n n

1

r

= koefisien korelasi Rank Spearman

dj

= beda antara dua pengamatan berpasangan

N

= total pengamatan

1.Tentukan nilai estimasi Y terhadap X untuk mendapat nilai residu εn 2.Susun nilai nilai εn

dari X, menurut susunan menaik atau menurun (tanpa

memperhatikan nilai (+) atau (-) dari εn karena kita mengambil nilai absolut εn untuk menghitung koefisien korelasi Rank Spearman. Untuk nilai ini data yang diperlukan adalah rank (εn) dan Rank (Ŷn). 3.Lakukan pengujian koefisien rank spearman rs dengan uji t : t

r √n 1

2 r

n = Banyaknya data observasi/ banyaknya individu atau pengamatan yang di rank-kan t-tabel

=t

,

α

; n-2 adalah derajat kebebasan dan α adalah taraf nyata hipotesa

Dengan membandingkan test terhadap tabel, bila thitung < ttabel maka, varian (ej) = varian (ek) dengan kata lain bila ttest < ttabel , maka varian seluruh residu adalah sama. Bila terbukti varian (ej) = varian (ek) maka model yang digunakan yakni model linier adalah cocok.


Bab 2 LANDASAN TEORI

Recommend Documents