BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Konsep Dasar Statistika Statistika merupakan cara-cara tertentu yang digunakan dalam megumpulkan, menyusun atau mengatur, menyajikan, menganalisa dan mmberi interpretasi terhadap sekumpulan data, sehingga kumpulan bahan keterangan dapat member pengertian dan makna tertentu. Seperti pengambilan kesimpulan, membuat estimasi dan juga prediksi yang akan dating. Ruang lingkup statistika meliputi statistic deduktif atau statistic deskriptif dan statistik induktif atau statistic inferensial. Statistic deskriptif terdiri dari menghimpun data, menyusun data, mengolah, menyajikan dan menganalisa data angka. Sedangkan statistik inferensial atau statistic induktif adalah meliputi teori probability, distribusi teoritis, distribusi samping, penaksiran, pengujian hipotesa, korelasi, komparasi, dan regresi. Sumber data statistic dapat dikumpulkan langsung oleh peneliti dari pihak yang bersangkutan dan biasanya disebut data primer. Dan data juga dapat diperoleh dari pihak lain atau data yang sudah ada disebut dengan data skunder.
2.2 Konsep Dasar Analisis Regresi
Perubahan nilai suatu variable dapat disebabkan karena adanya perubahan pada variabel-variabel lain yang mempengaruhi. Misalnya pada seorang karyawan terhadap perubahan tingkat produktivitas karena adanya perubahan upah yang diterimanya. Dalam artian bahwa karyawan tersebut semakin produktif sebagai akibat adanya tambahan upah yang diterimanya. Dalam hal ini berarti bahwa perubahan produktivitas disebabkan oleh adanya perubahan upah. Dalam fenomena alam banyak sekali kejadian yang saling berkaitan sehingga perubahan.
pada variable lain berakibat pada perubahan variable lainnya. Teknik yang digunakan untuk menganalisa hal-hal semacam ini disebut dengan analisa regresi.
Analisa regresi (regression analysis) merupakan suatu teknik untuk membangun persamaan dan menggunkan persamaan tersebut untuk membuat perkiraan (prediction). Dengan demikian, analisis regresi sering disebut sebagai analisis prediksi. Karena merupakan prediksi, maka nilai prediksi tidak terlalu tepat dengan nilai riilnya, maka semakin tepat persamaan regrsi yang kita bentuk.
Sehingga dapat didefenisikan bahwa, analisa regresi adalah metode statistika yang digunakan untuk menentukan kemungkinan benuk hubungan antara variabel-variabel, dengan tujuan pokok dalam penggunaan etode ini adlah untuk meramaikan atau memperkirakan nilai dari suatu variabel lain yang diketahui.
2.3 Persamaan Regresi Persamaan regresi (regression equation) adalah suatu persamaan matematis yang medefenisikan hubungan antara dua variabel. Persamaan regresi yang digunakan untuk membuat taksiran mengenai variabel dependen disebut persamaan regresi estimasi, yaitu suatu formula matematis yang menunjukkan hubungan keterkaitan antara satu atau beberapa variabel yang
lainya sudah diketahui dengan satu
variabel lainnya yang belum diketahui.
Sifat hubungan antar variabel dalam persamaan regresi merupakan hubungan sebab akibat (casual relationship). Oleh karena itu, sebelum menggunakan persamaan regresi dalam menjelaskan hubungan antara dua atau
lebih variabel, maka perlu diyakini terlebih dahulu bahwa secara teoritis atau perkiraan sebelumnya, dua atau lebih variabel tersebut memiliki hubungan sebab akibat. Variabel yang lainnya akan mempengaruhi nilai variabel lain disebut dengan variabel bebas (independent variabel), sedangkan variabel yang lainnya dipengaruhi oleh nilai variabel lain disebut variabel tergantung (independent variabel).
2.3.1 Persamaan Regresi Linier Sederhana Regresi linier sederhana merupakan suatu teknik untuk mendapatkan hubungan yang dinyatakan dalam bentuk persamaan matematis yang terdiri dari variabel bebas tunggal ( X ) dan variabel tak bebas tunggal ( Y ). Untuk keperluan analisis variabel bebas dapat dinyatakan dengan X1, X2, X3,…,XK ( k
1) sedangkan variabel tak bebas dinyatakan dengan Y.
Bentuk umum dari persamaan regresi linier untuk populasi adalah :
µy.x = β0 + β1
(2.1)
Dalam hal ini, parameternya adalah β0 dan β1. Untuk regresi sederhana jika β0 dan β1 ditaksir oleh b0 dan b1 maka bentuk regresi linier sederhana untuk sample adalah :
Ŷ = b0 + b1X
2.3.2 Persamaan Regresi Linier Berganda
(2.2)
Regresi linier berganda adalah analisis regresi yang menjelaskan hubungan antara peubah respon (variabel dependent) dengan factor-faktor yang mempengaruhi lebih dari satu predaktor (variabel dependent). Banyak persoalan penelitian/pengamatan yang terjadi sebagai akibat lebih dari dua variabel, atau dengan kata lain memerlukan lebih dari satu peubah bebas dalam membentuk model regresi. Sebagai slah satu contoh, IPK (Indeks Prestasi Kumulatif) seorang mahasiswa (Y) brgantung pada jumlah jam belajar (X1), banyaknya buku yang dibaca (X2), jumlah uang (X3) dan banyak faktor lainnya. Untuk memberikan gambaran tentang suatu permasalahan/persoalan, biasanya sangat sulit ditentukan sehingga diperlukan suatu model yang dapat memprediksi dan meramalkan respon yang penting terhadap persoalan tersebut, yaitu regresi linier berganda. Bentuk umum model regresi berganda untuk populasi adalah : µy.x= β0 + β1X1 + β2X2 + … + βkXk
(2.3)
Dimana : β0 , β1 , β2,…βk adalah koefisien atau parameter model. Model regresi linier berganda untuk populasi di atas dapat ditaksir berdasarkan sebuah sample acak yang berukuran n dengan model regresi linier berganda untuk sample, yaitu : Ŷ = b0 + b1X1 + b2X2 + … + bkXk Dengan : Ŷ
= nilai penduga bagi variabel Y
b0
= dugaan bagi parameter konstanta β0
b1, b2, …, bk
= dugaan bagi parameter konstanta β1, β2, …, βk
e
= galat dugaan (error)
(2.4)
Untuk mencari nilai b0, b1, b2,
…,
bk diperlukan n buah pasang data (X1,
X2,…., Xk, Y) yang akan dilolah disajikan pada tabel berikut :
Tabel 2.1 : Data Hasil Pengamatan Dari n Responden (X1, X2, …, Xk, Y) Nomor
Respon
Variabel Bebas
Observasi
(Y1)
X1i
X2i
…
Xki
1
Y1
X11
X21
…
Xk1
2
Y2
X12
X22
…
Xk2
.
.
.
.
…
.
.
.
.
.
…
.
N
Yn
Xn1
X2n
…
Xkn
∑
∑ Y1
∑ X1i
∑ X21
…
∑ Xkn
Dari tabel 2.1 dapat dilihat bahwa Y1 berpasangan dengan X11, X21, …, Xk1, data Y2 berpasangan dengan X12, X22, …, Xk2 dan umumnya data Yn berpasangan dengan X1n, X2n, …,Xkn. Persamaan regresi berganda dengan dua variabel bebas X1, X2 ditaksir oleh : Ŷ = b0 + b1X1 + b2X2
(2.5)
Dari diperoleh tiga persamaan normal yaitu : ∑Y1
= nb0
+
b1 ∑X1i
+
b2 ∑X2i
∑X1i Yi
= b0 ∑X1i
+
b1 ∑X1i2
+
b2 ∑X1i X2i
∑X2i Yi
= b0 ∑X2i
+
b1 ∑X1iX2i
+
b2 ∑ (X2i)2
Dalam pnelitian ini, penulis menggunakan regresi linier berganda dengan empat variabel, yaitu sat variabel tak bebas (dependent variabel) dan tiga variabel bebas (independent variabel). Untuk regresi linie berganda dengan empat variabel X1, X2, X3, ditaksir oleh : Ŷ = b0 + b1X1 + b2X2 + b3X3
(2.6)
Untuk rumus diatas harus diselesaikan dengan lima persamaan normal yaitu : ∑Y1
= nb0
+ b1 ∑X1i
+ b2∑X2i
+ b3∑X3i
∑X1iYi
= b0∑X1i + b1 ∑ (X1i)2 + b2 ∑X1i X2i + b3 ∑X2i X3i
(2.8)
∑X2iYi
= b0 ∑X2i + b1 ∑X1iX2i + b2 ∑ (X2i)2 + b3 ∑X2i ∑3i
(2.9)
∑X3iYi
= b0 ∑X3i + b1 ∑X1iX3i + b2 ∑X2iX3i + b3 ∑ (X3i)2
(2.10)
(2.7)
Dengan : Ŷ
= variabel terikat (nilai uga Y)
X1, X2, X3
= variabel bebas
b0, b1, b2, dan b3
= koefisien regresi linier berganda
b0
= nilai Y, apabila X1 = X2 = X3 = 0
b1
= besarnya kenaikan/persamaan Y dalam satuan, jika X1, naik /turun satu stuan dimana X2, X3 konstan.
b2
= besarnya kenaikan/penurunan Y dalam satuan, jika X2, naik/turun satu satuan dimana X1, X3 konstan.
b3
= besarnya kenaikan/penurunan Y dalam satuan, jika X3, naik/turun satu satuan dimana X1, X2 konstan.
= atau -
= tanda yang menunjukan arah hubungan antara Y dengan variabel bebas X
Harga
- harga b0, b1, b2, dan b3 adalah koefisien yang ditentukan
berdasarkan data hasil. Untuk x1 = X2 -
1,
x2 = X2 -
2,
x4 = X3 -
3, dan
y=Y-
, persamaan liniernya menjadi y = b1x1 + b2x2 + b3x3.
2.4 Koefisien Determinasi Koefisien determinasi yang dinyatakan dengan R2 untuk pengujian regresi linier berganda yang mencakup lebih dari dua variabel adalah untuk mengetahui proporsi keragaman total dalam variabel tak bebas (Y) yang dapat dijelaskan atau diterangkan oleh variabel – variabel bebas (X) yang ada didalam model persamaan regresi linier berganda secara bersama-sama. Maka R2 akan ditentukan dengan rumus, yaitu : R2 =
(2.12)
Dimana : JKreg = Jumlah Kuadrat Regresi ∑ yi2 = ∑ yi2 –
(2.13)
Harga R2 yang diperoleh sesuai dengan variansi yang dijelaskan masingmasing variabel yang tinggal dalam regresi. Hal ini mengakibatkan variansi yang dijelaskan penduga yang disebabkan oleh variabl yang berpengauh saja ( yang bersifat nyata ).
2.5 Koefisien Korelasi
Analisa korelasi adalah alat statistik yang dapat digunakan untuk mengetahui adanya derajat hubungan linier antara satu variabel dengan variabel yang lain. Hubungan antara satu variabel dengan variabel lainnya dapat merupakan hubungan yang kebetulan belaka, tetapi dapay juga merupakan hubungan sebab akibat. Dua variabel dikatakan berkorelasi apabila perubahan pada satu variabel akan diikuti oleh perubahan variabel lain, baik dengan arah yang sama maupun dengan arah yang berlawanan. Hubungan antar variabel dapat dikelompokkan menjadi tiga jenis hubungan sebagai berikut : 1. Korelasi Positif Terjadi korelasi positif apabila perubahan pada variabel yang satu diikuti dengan perubahan variabel yang lain dengan arah yang sama (berbanding lurus). Artinya, apabila yang satu meningkat, maka akan diikuti dengan peningkatan variabel lain. 2. Korelasi Negatif Korelasi negatif terjadi apabila perubahan pada variabel yang satu diikuti dengan perubahan variabel yang lain dengan arah yang berlawanan (berbandingan terbalik). Artinya, apabila variabel yang satu meningkatkan, maka akan diikuti dengan penurunan pada variabel yang lain dan sebaliknya. 3. Korelasi Nihil
Korelasi nihil terjadi apabila perubahan pada variabel yang satu diikuti perubahan pada variabel yang lain dengan arah yang tidak teratur (acak), artinya apabila variabel yang satu meningkat, kadang diikuti dengan peningkatan pada variabel yang lain dan kadang diikuti dengan penurunan pada variabel lain.
Besarnya hubungan antara variabel yang satu dengan variabel yang lain dinyatakan dengan koefisien-koefisien korelasi yang disimbolkan dengan “r”. Besarnya koefisien korelasi berkisar antara – 1 ≤ r ≤ + 1.
Untuk mencari korelasi antara variabel Y terhadap X1 atau ry. 1,2,…,k dapat dicari dengan rumus :
ry 1, 2,...k =
n∑ X iYi − (∑ X iYi )
(n∑ X i 2 − (∑ X i ) 2 ) − (n∑ Yi 2 − (∑ Yi ) 2 )
(2.14)
Sedangkan untuk mengetahui korelasi antar variabel bebas dengan tiga buah variabel bebas adalah : 1. Koefisien korelasi antara X1 dan X2
r12 =
n∑ X 1Y2 − (∑ X 1Y2 )
(n∑ X 12 − (∑ X 1 ) 2 ) − (n∑ X 2 2 − (∑ X 2 ) 2 )
(2.15)
2. Koefisien korelasi antara X1 dan X3
r13 =
n∑ X 1Y3 − (∑ X 1Y3 )
(n∑ X 112 − (∑ X 1 ) 2 ) − (n∑ X 32 − (∑ X 3 ) 2 )
(2.16)
3. Koefisien korelasi antara X2 dan X3
r23 =
n∑ X 2Y3 − (∑ X 2Y3 )
( n ∑ X 2 2 − (∑ X 2 ) 2 ) − ( n∑ X 3 2 − (∑ X 3 ) 2 )
(2.17)
Nilai koefisien korelasi adalah -1 ≤ r ≥ 1. Jika dua variabel berkorelasi negative maka nilai koefisien akan mendekati -1 ; jika dua variabel tidak berkorelasi maka koefisien-koefisien akan mendekati 0 ; sedangkan jika dua variabel berkorelasi ositif maka nilai koefiien akan mendekati +1. Untuk lebih memudahkan mengetahui seberapa jauh derajat keeratan antara variabel tersebut, dapat dilihat pada perumusan berikut : Interval nilai r
Arti hubungan
-1,000 ≤ r ≥ -0,800
Korelasi kuat
-0,790 ≤ r ≥ -0,500
Korelasi sedang
-0,490 ≤ r ≥ 0,490
Korelasi lemah
0,500 ≤ r ≥ 0,790
Korelasi sedang
0,800 ≤ r ≥ 1,000
Korelasi kuat
2.6 Uji Regresi Linier Berganda Pengujian hipoteasis bagi koefisien-koefisien regresi regresi linier berganda dapat dilakukan secara serentak atau keseluruhan. Pengujian regresi linier perlu dilakukan untuk mengetahu apakah variabel-variabel bebas secara bersamaan memiliki pengaruh terhadap variabel tak bebas.
Langkah-langkah pengujiannya adalah sebagai berikut : 1. Menentukan formulasi hipotesis H0 : b1 = b2 = b3 = … =bk = 0 (X1, X2, … Xk tidak mempengaruhi Y) H1 : minimal ada satu parameter koefisien regresi yang tidak sama dengan nol atau mempengaruhi Y. 2. Menentukan taraf nyata α dan nilai Ftabel dengan derajat kebebasan v1 = k dan v2 = n – k – 1. 3. Menentukan criteria pengujian H0 diterima bila Fhitung ≤ Ftabel H0 ditolak bila Fhitung ≥ Ftabel 4. Menentukan nilai statistic F dengan rumus :
F=
(2.18)
Dengan : JKreg
= jumlah kuadrat regesi
JKreg
= jumlah kuadrat residu (sisa)
(n-k-1)
= derajat kebebasan
JK
= b1∑ y1 x1i + b1∑ y1 x1i + …. + bk∑ y1 xki
Dengan :
x1i = X1i -
1
x2i = X2i -
2
xki = Xki -
k
JKres = ∑ ( Yt – Yi )2
(2.19)
5. Membuat kesimpulan apakah H0 diterima atau ditolak.
2.7 Uji Koefisien Regresi Berganda Keberartian adanya variabel-variabel bebas dalam regresi linier ganda perlu diuji untuk menunjukkan seberapa besar pengaruh yang diberikan pada variabel tak bebas. Dan cara yang tepat untuk mengujinya adalah dengan menggunakan uji statistik t ( t- student). Dimisalkan populasi mempunyai model regresi berganda sebagai berikut : µy,x = β0 + β1X1 β2X2 … + βkXk
(2.20)
yang akan ditaksir oleh regresi berbentuk :Ŷ = b0 + b1X1 + b2X2 + … + bkXk. Adanya kriteria bahwa variabel-variabel tersebut memberikan pengaruh yang berarti atau tidak terhadap variabel tak bebas akan diuji hipotesis H0 ,melawan hipotesis tandingan H1 dalam bentuk : H0 = βi = 0,i = 1,2,…,k H1 = βi ≠ 0,i = 1,2,…,k Untuk menguji hipoteis digunakan kekeliruan baku taksiran S2 y1,2,…,k. Jadi untuk melihat kekeliruan baku dari koefisien b1 adalah : Sb1=
(2.20)
Dengan : S2 y.1,2,…k =
∑
= ∑( Xij -
(2.21) ij
)
(2.22)
