BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1
Distribusi Eksponensial
Fungsi eksponensial adalah salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(x) atau ex, di mana e adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama dengan 2.71828183.
Gambar 2.1 Fungsi Eksponensial Fungsi eksponensial (merah) terlihat hampir mendatar horizontal (naik secara sangat perlahan) untuk nilai x yang negatif, dan naik secara cepat untuk nilai x yang positif.
Sebagai fungsi variabel bilangan real x, grafik ex selalu positif (berada di atas sumbu x) dan nilainya bertambah (dilihat dari kiri ke kanan). Grafiknya tidak menyentuh sumbu x, namun mendekati sumbu tersebut secara asimptotik. Invers
Universitas Sumatera Utara
dari fungsi ini, logaritma natural, atau ln(x), didefinisikan untuk nilai x yang positif.
2.1.1
Distribusi Eksponensial Bivariat
Distribusi Eksponensial pertama kali diperkenalkan oleh Gupta dan Kundu pada tahun 1999. Distribusi ini diambil dari salah satu fungsi kepadatan kumulatif yang digunakan
pada
pertengahan
abad
19
(Gompertz-Verhulst)
untuk
membandingkan tabel kematian dan menghasilkan laju pertumbuhan penduduk, yang didefinisikan sebagai berikut:
G (t ) (1 e t )
(2.1)
Kemudian dengan menstandarisasikan ρ = 1 dan x = t, diperoleh distribusi ekponensial satu variabel (Univariate Exponential Distribution) dengan fungsi kepadatan kumulatif dan x > 0, adalah sebagai berikut:
FGE ( x; , ) (1 e x ) (2.2) dari turunan fungsi kepadatan kumulatif di atas, juga didapat fungsi kepadatan peluangnya (fkp) adalah sebagai berikut:
FGE ( x; , ) e x (1 e x ) 1 (2.3) Keterangan:
x
= peubah acak
= parameter skala
e
= 2,7183...
= parameter bentuk
Universitas Sumatera Utara
Untuk α > 0 dan λ > 0 masing–masing adalah parameter bentuk dan parameter skala. Ini jelas untuk α = 1, merupakan distribusi eksponensial. Pada kajian parameter α, dan λ = 1, sehingga distribusi eksponensial tergeneralisir dengan parameter bentuk di notasikan dengan GE(α). Jika terdapat dua peubah acak (X1,X2) yang berdistribusi eksponensial tergeneralisir dengan asumsi saling bebas, maka distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel (fungsi kepadatan peluang gabungan dari (X1,X2)), untuk x1 > 0, x2 > 0 adalah:
F ( x1 , x2 ) 1 2 (1 e
x1 1 1
)
(1 e x2 )2 1 e x1 x2
(2.4)
2.2
Estimasi
Menaksir ciri-ciri tertentu dari populasi atau memperkirakan nilai populasi (parameter) dengan memakai nilai sampel (statistik) diistilahkan dengan Estimasi. Dengan
statistika,
peneliti
berusaha
menyimpulkan
populasi.
Dalam
kenyataannya, memgingat berbagai faktor untuk keperluan tersebut diambil sebuah sampel yang representatif dan berdasarkan hasil analisis terhadap data sampel kesimpulan mengenai populasi dibuat. Cara pengambilan kesimpulan tentang parameter berhubungan dengan cara-cara menaksir harga parameter. Jadi, harga parameter sebenarnya yang tidak diketahui akan diestimasi berdasarkan statistik sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan. Sifat atau ciri estimator yang baik atau tidak bias, efisien dan konsisten: 1.
Estimator yang tidak bias
Universitas Sumatera Utara
Estimator dikatakan tidak bias apabila ia dapat menghasilkan estimasi yang maengandung nilai parameter yang diestimasikan. 2.
Estimator yang efisien
Estimator dikatakan efisien apabila hanya dengan rentang nilai estimasi yang kecil saja sudah cukup mengandung nilai parameter. 3.
Estimator yang konsisten
Estimator dikatakan konsisten apabila sampel yang diambil berapapun besarnya, pada rentangnya tetap mengandungnilai parameter yang sedang diestimasi. Estimasi nilai parameter memiliki dua cara, yaitu estimasi titik (point estimation) dan estimasi selang (interval estimation). a.
Estimasi titik (point estimation)
Estimasi titik adalah estimasi dengan menyebut satu nilai atau untuk menestimasi nilai parameter. b.
Estimati interval (interval estimation)
Estimasi interval dengan menyebut daerah pembatasan dimana peneliti menentukan batas minimum dan maksimum suatu estimator. Metode ini memuat niali-nilai estimator yang masih dianggap benar dalam tingkat kepercayaan tertentu (confidence interval).
2.3
Metode Maksimum Likelihood
Salah satu metode yang dapat digunakan dalam mengestimasi parameter pada distribusi eksponensial adalah Maximum Estimation Likelihood (MLE). Ide dasar dari metode maksimum likelihood adalah mencari nilai parameter yang memberi kemungkinan (likelihood) yang paling besar untuk mendapatkan data yang terobservasi sebagai estimator. Fungsi densitas bersama
Universitas Sumatera Utara
f(x1,…,xn; ) dari variabel-variabel acak X1, X2, …, Xn
dinamakan fungsi
likelihood. Untuk x1,…,xn yang tetap fungsi likelihood merupakan fungsi dari dan akan dinotasikan dengan L( ), yakni L( )= f(x1,…,xn; ). Jika X1, X2, …, Xn adalah sampel acak dari f(x,) maka: n
L( ) f ( xi , )
(2.5)
i 1
Misalkan L( )= f(x1,…,xn; ), , merupakan fungsi densitas bersama dari variabel-variabel acak X1, X2, …, Xn. Estimator maksimum likelihood (Maximum Likelihood Estimator / MLE) untuk , dinotasikan dengan ˆ adalah nilai yang memaksimumkan fungsi likelihood L( ). Jika merupakan interval terbuka dan jika L() terdiferensialkan dan mencapai nilai maksimum pada , maka MLE ˆ merupakan penyelesaian dari persamaan maksimum likelihood berikut:
d L( ) 0 d atau secara ekuivalen ˆ merupakan penyelesaian dari persamaan maksimum likelihood berikut: d ln L( ) 0 d
(2.6)
Persamaan (2.6) lebih sering digunakan karena lebih mudah untuk mencari estimator maksimum likelihood ˆ . Misalkan X1, X2, …, Xn, merupakan sampel acak dari distribusi Poisson, X~POI( ) dengan fungsi densitas sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
f ( x; )
x e x!
, x 0,1,2,...
(2.7)
fungsi likelihoodnya dapat dituliskan sebagai berikut: n
n
L( ) f ( xi , ) i 1
xi i 1
e n
(2.8)
n
x! i
i 1
Dari persamaan (2.8), akan menghasilkan fungsi log likelihood sebagai berikut : n n ln L( ) xi ln n ln xi ! i 1 i 1
Dalam penghitungan dengan menggunakan maksimum likelihood, terdapat kasus dimana estimator maksimum likelihood ada tetapi tidak dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan likelihood. Sebagai contoh, misalkan X1, X2, …, Xn, merupakan sampel acak dari distribusi eksponensial dengan dua parameter, X~EXP(1, ) dengan fungsi densitas sebagai berikut: x 0, f ( x; ) ( x ) , x e
(2.9)
Dari persamaan (2.9), diperoleh fungsi likelihood sebagai berikut: n L( ) exp ( xi ) , untuk x1:n i 1
(2.10)
dan L() = 0 untuk kasus selainnya. Di sini jelas bahwa MLE untuk adalah
ˆ X 1:n .
Universitas Sumatera Utara
Misalkan X berdistribusi normal dengan rata-rata tidak diketahui dan varian
2 diketahui. Fungsi likelihood sebuah sampel yang besarnya n adalah: n
1
i 1
2
L
e xi
2
/ 2 2
2 2 n e 1 / 2 i 1 xi
1
2
2 n/2
Dengan demikian diperoleh
n nL n 2 2 2 2 2
x 1
n
i 1
i
2
dan dnL 2 d
x n
1
i 1
i
Persamaan terakhir ini sama dengan nol dan penyelesaiannya untuk menghasilkan: n
ˆ
X i 1
i
n
X
Universitas Sumatera Utara
