BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2

LANDASAN TEORI

Pada bagian landasan teori ini akan dibahas materi-materi apa saja yang menunjang materi yang dibahas pada bab selanjutnya. Adapun materi-materi tersebut adalah analisis variansi, metode kuadrat terkecil, RAKL, distribusi normal, sisaan dan nilai harapan. Berikut penjabaran dari tiap materi-materi tersebut.

2.1

Analisis Variansi

analisis variansi adalah suatu teknik untuk menganalisis variabel tak bebas berdasarkan komponen keragaman dari faktor-faktor yang merupakan sumber variansi skor (Suryanto, 1989). Analisis variansi digunakan untuk menguji hipotesis tentang pengaruh faktor perlakuan terhadap keragaman data percobaan yang dilakukan berdasarkan distribusi F. Sehingga keputusan signifikan atau tidaknya ditentukan oleh perbandingan antara nilai F hitung dan nilai kritis F yang bersangkutan.

Analisis variansi dapat digunakan untuk data observasional (penelitian) maupun data experimental (percobaan). Dalam suatu percobaan akan didapatkan nilainilai hasil pengamatan. Nilai-nilai hasil pengamatan tersebut umumnya dinyatakan dalam suatu model matematika yang disebut model linier aditif.

2.2. Rancangan Acak Kelompok Lengkap

Rancangan acak kelompok lengkap merupakan salah satu rancangan yang banyak digunakan dalam suatu penelitian. Rancangan ini baik digunakan jika keheterogenan unit percobaan berasal dari suatu sumber keragaman. Salah satu hal yang

Universitas Sumatera Utara

membedakan rancangan ini dengan rancangan acak lengkap yaitu karena adanya pengelompokan unit percobaan.

Pengelompokan ini bertujuan untuk mengurangi tingkat galat percobaan. Salah satu contoh penelitian yang menggunakan Rancangan Acak Kelompok Lengkap yaitu mengenai percobaan untuk mengetahui potensi hasil panen dari lima varietas padi. Sawah yang digunakan sebagai media tanam padi tersebut diduga tidak homogen dalam hal tingkat kesuburan tanahnya. Sehingga perlu dilakukan pengelompokan. Pengelompokan tersebut bertujuan agar pengaruh ragam kesuburan tanah dalam tiap kelompok relatif kecil. Letak masing-masing kelompok diusahakan tegak lurus terhadap arah kesuburan dan bentuk kelompok persegi panjang. Hal tersebut dilakukan agar tingkat keheterogenan dalam tiap kelompok tersebut relatif kecil. Semua data hasil penelitian akan disusun dalam tabel RAKL sebagai berikut:

Perlakuan 1 2

1 Y11 Y21

:

:

p Jumlah Rata-Rata

Yi1 Y.1 𝑌�.1

Tabel 2.2.1. Susunan Data Hasil Penelitian RAKL Kelompok Jumlah Rata-Rata 2 ... k Y12 ... Y1j Y1. 𝑌�1. Y22 ... Y2j Y2. 𝑌�2. :

Yi2 Y.2 𝑌�.2

... ...

:

:

Yij Y.j 𝑌�.𝑗

Yi. Y..

Keterangan: 𝑌𝑖𝑗 = Pengamatan pada perlakuan ke-i dan kelompok ke-j

𝑌�𝑖. 𝑌�..

Y.. = Jumlah seluruh pengamatan

𝑌�.. = Rata-rata seluruh pengamatan

Y.j = Jumlah pengamatan kelompok ke-j Yi. = Jumlah pengamatan perlakuan ke-i 𝑌�.𝑗 = rata-rata pengamatan kelompok ke-j

𝑌�𝑖. = rata-rata pengamatan perlakuan ke-i

Berdasarkan data dalam tabel RAKL, kemudian dilakukan uji analisis variansi. Tapi sebelum dilakukan pengujian ada beberapa asumsi yang harus dipenuhi

Universitas Sumatera Utara

dalam analisis variansi. Adapun asumsi-asumsi yang harus dipenuhi adalah sebagai berikut:

1.

Keaditifan model

Analisis variansi dapat digunakan untuk data observasional (penelitian) maupun data experimental (percobaan). Dalam suatu percobaan akan didapatkan nilai-nilai hasil pengamatan. Nilai-nilai hasil pengamatan tersebut umumnya dinyatakan dalam suatu model matematika. Adapun model matematika RAKL adalah: 𝑌𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝛽𝑗 + 𝜀𝑖𝑗

(2.2.1)

i = 1,2,…,p j = 1,2,…,k Keterangan:

𝑌𝑖𝑗 = Pengamatan pada perlakuan ke-i dan kelompok ke-j µ = Rataan umum

𝜏𝑖 = Pengaruh perlakuan ke-i

𝛽𝑗 = Pengaruh kelompok ke-j

𝜀𝑖𝑗 = Pengaruh acak pada perlakuan ke-i dan kelompok ke-j Pada asumsi ini pengaruh perlakuan dan pengaruh lingkungan yang terdapat dalam suatu model linier RAKL harus dapat dijumlahkan. Dalam analisis variansi asumsi sifat aditif dari suatu model memang telah ditentukan. Akan tetapi jika hal tersebut diragukan, maka perlu dilakukan suatu pemeriksaan untuk memastikan asumsi ini telah terpenuhi oleh model linier tersebut. Gagalnya suatu model untuk mempunyai sifat aditif pada umumnya disebabkan oleh hal-hal seperti berikut (Sudjana, 1991:52) :

a. Model bersifat multiplikatif b. Adanya interaksi yang belum dimasukkan ke dalam model c. Terdapat observasi yang keliru

Universitas Sumatera Utara

Untuk menguji asumsi keaditifan model linier RAKL, dapat dilakukan dengan menggunakan uji formal yaitu uji Tukey. Adapun prosedur dari uji tukey adalah berikut:

a.

Hipotesis: 𝐻0 : Model linier bersifat aditif

b. c.

𝐻1 : Model linier tidak bersifat aditif

Taraf Signifikansi : 𝛼

Statistik Uji dan Perhitungan: Melengkapi tabel ANAVA

Tabel 2.2.2. Analisa Variansi Sumber Variansi Non-Aditivitas Tukey

db (derajat bebas) 1

JK

KT

Fhit

JKNAT

JKNAT/1

Perlakuan

p-1

JKP

JKP/(p-1)

Kelompok

k-1

JKK

JKK/(k-1)

Sisaan Total

(p-1)(k-1) 1+(p-1)(k-1)

JKS JKT

JKS/(p-1)(k-1)

𝐹hit =

𝐽𝐾𝑁𝐴𝑇 𝐽𝐾𝑆⁄(𝑝−1)(𝑘−1)

Dimana:

𝐹hit =

𝐽𝐾𝑁𝐴𝑇

𝐽𝐾𝑆 ⁄(𝑝−1)(𝑘−1)

𝐽𝐾𝑁𝐴𝑇 = �

𝑄2

� � 2 ∑𝑝 (𝑌� −𝑌�.. )2 ∑𝑘 𝑗=1(𝑌.𝑗 −𝑌..) 𝑖=1 𝑖. 𝑝

�

� � � � dengan 𝑄 = ∑𝑖=1 ∑𝑘 𝑗=1(𝑌𝑖. − 𝑌.. )(𝑌.𝑗 − 𝑌.. )𝑌𝑖𝑗 𝐽𝐾𝑆 = 𝐽𝐾𝑇 − 𝐽𝐾𝑃 − 𝐽𝐾𝐾 − 𝐽𝐾𝑁𝐴𝑇

dengan

𝑝

𝐽𝐾𝑇 = ∑𝑖=1 ∑𝑘𝑗=1 𝑌𝑖𝑗 2 − 𝐹𝐾 𝑝

𝐹𝐾 = (∑𝑖=1 ∑𝑘𝑗=1 𝑌𝑖𝑗 )2 /𝑝𝑘

Universitas Sumatera Utara

Ftab 1/(p-1)(k-1)

𝐽𝐾𝑃 =

𝐽𝐾𝐾 =

∑𝑝 𝑖=1 𝑌𝑖. 𝑘

∑𝑘 𝑖=1 𝑌.𝑗 𝑝

− 𝐹𝐾

− 𝐹𝐾

Keterangan : JKNAT = Jumlah kuadrat non aditifitas 𝑄

= Uji tukey

JKS = Jumlah kuadrat sisaan JKP = Jumlah kuadrat perlakuan JKK = Jumlah kuadrat kelompok JKT = Jumlah kuadrat total FK = Faktor koreksi p = Jumlah macam perlakuan k = Jumlah macam kelompok d. e.

Kriteria Keputusan: 𝐻0 ditolak jika 𝐹hit>𝐹𝛼(1,𝑑bsisaan)

Kesimpulan

2. Kehomogenan variansi galat Asumsi ini penting untuk dipenuhi sebelum dilakukan pengujian ANAVA dikarenakan keheterogenan variansi galat dapat mengakibatkan respons yang keliru dari beberapa perlakuan tertentu (Steel & Torrie.1991:208). Uji formal yang dapat digunakan untuk memeriksa asumsi kehomogenan variansi galat adalah uji Bartlett. Adapun langkah-langkah dari Uji Bartlett adalah sebagai berikut: a. Hipotesis: 𝐻0 : 𝜎1 2 = 𝜎2 2 = ⋯ = 𝜎𝑝 2 𝐻1 : 𝜎𝑖 2 ≠ 𝜎𝑗 2

untuk 𝑖 ≠ 𝑗

𝑖, 𝑗 = 1,2, … , 𝑝

(Minimal ada satu perlakuan yang variansiny tidak sama dengan yang lain) b. Taraf signifikansi : 𝛼 c. Statistik uji dan perhitungan:

Universitas Sumatera Utara

𝑝

𝑝

χ2 =(ln 10)��∑𝑖=1(𝑟𝑖 − 1)�𝑙𝑜𝑔(𝑆 2 ) − ∑𝑖=1(𝑟𝑖 − 1) 𝑙𝑜𝑔 (𝑆𝑖 2 )� 2

𝑆 =

𝑝

�∑𝑖=1 (𝑟𝑖−1)𝑆𝑖 2 � 𝑝

�∑𝑖=1 (𝑟𝑖−1)�

2 ∑𝑝𝑖=1(𝑌�𝑖𝑗 − 𝑌�𝑖. )2 𝑟𝑖 ∑𝑝𝑖=1 𝑌�𝑖𝑗 − (∑𝑝𝑖=1 𝑌�𝑖𝑗 )2 = 𝑆𝑖 = 𝑟𝑖 − 1 𝑟𝑖 (𝑟𝑖 − 1) 2

𝐹𝐾 = 1 + �

𝑝 1 1 1 � �� � �− 𝑝 � ∑𝑖=1(𝑟𝑖 − 1) 3(𝑝 − 1) 𝑖=1 𝑟𝑖 − 1

Keterangan : 𝑟𝑖

= Jumlah pengamatan dengan perlakuan ke-i

𝑆𝑖 2 = Varians perlakuan ke-i 𝑆 2 = Varians gabungan

ri = Jumlah pengamatan pada perlakuan ke-i

d. e.

3.

χ2 = Chi kuadrat

Kriteria keputusan : 𝐻0 ditolak jika �1�𝐹𝐾 � χ2 > χ2 ∝(𝑝−1)

Kesimpulan

Kebebasan galat percobaan

Galat-galat dari salah satu pengamatan yang mempunyai nilai tertentu harus tidak boleh bergantung dari nilai-nilai galat pengamatan yang lain (Gaspersz,1994:66). Pengujian terhadap asumsi kebebasan antar galat percobaan dilakukan dengan cara membuat plot antara nilai sisaan dengan nilai dugaan pengamatan. Apabila grafik yang terbentuk berfluktuasi secara acak di sekitar nol maka dapat dikatakan bahwa suku-suku galat percobaan saling bebas

4.

Kenormalan galat

Uji formal yang dapat digunakan untuk menguji apakah suatu data menyebar normal atau tidak adalah uji Lilliefors. Adapun langkah-langkah yang harus dilakukan untuk melakukan uji Lilliefors adalah sebagai berikut:

Universitas Sumatera Utara

a.

Hipotesis: 𝐻0 : Sampel berasal dari populasi yang berdistribusi normal

b. c.

𝐻1 : Sampel berasal dari populasi yang tidak berdistribusi normal

Taraf Signifikansi : 𝛼

Statistik uji dan perhitungan 𝐿0 = 𝑠𝑒𝑙𝑖𝑠𝑖ℎ 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑑𝑎𝑟𝑖 |𝐹 (𝑍𝑖 ) − 𝑆(𝑍𝑖 )|

𝐹 (𝑍𝑖 ) = 𝑃[𝑍 ≤ 𝑧𝑖 ]

𝑍𝑖 =

𝑆(𝑍𝑖 ) =

(𝑌𝑖 −𝑌� ) 𝑆𝑦

� )2 ∑𝑛𝑖=1(𝑌𝑖 − 𝑌 𝑛 ∑𝑛 𝑌𝑖 2 − (∑𝑛𝑖=1 𝑌𝑖 )2 � 𝑆𝑦 = = � 𝑖=1

𝑛−1

𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑧1, 𝑧2, …𝑧𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 ≤𝑍𝑖 𝑛

Keterangan :

𝑛(𝑛 − 1)

Lo = Uji lilliefors F(Zi) = probabilitas kumulatif normal baku S(Zi) = probabilitas kumulatif empiris baku Zi

= Tranformasi Yi dari angka ke notasi distribusi normal

Yi

= pengamatan ke-i

𝑌�

= Rata-rata semua data

n

= jumlah pengamatan

Sy = Varians gabungan

d.

e.

Kriteria keputusan : 𝐻0 ditolak jika 𝐿0 > L(𝑛) Kesimpulan

L(𝑛) merupakan nilai kritis untuk uji Lilliefors.

Empat asumsi tersebut harus dipenuhi oleh suatu data yang akan diuji mengunakan analisis variansi (ANAVA). Apabila terdapat data yang tidak memenuhi asumsi-asumsi tersebut maka terdapat metode yang dapat dilakukan agar uji ANAVA

Universitas Sumatera Utara

tetap bisa dilakukan. Metode tersebut adalah transformasi data. Menurut Sudjana (1989:52) ada beberapa transformasi yang sering digunakan untuk keadaan-keadaan tertentu, yaitu sebagai berikut:

a) Transformasi Logaritma ( log𝑌 atau log𝑌+1 ) Transformasi ini digunakan apabila terdapat sifat multiplikatif pada data atau pula bila simpangan baku sebanding dengan rataan tiap perlakuan. Menurut Steel & Torrie (1991:283) transformasi ini digunakan pada bilangan-bilangan positif , akan tetapi tidak dapat digunakan secara langsung pada nilai nol dan nilai-nilai pengamatan yang kurang dari 10. Oleh karena itu transformasi logaritma yang bisa digunakan untuk nilai-nilai yang kecil adalah log (Y+1). b) Transformasi Akar Kuadrat ( √𝑌 atau √𝑌 +1 )

Transformasi akar kuadrat digunakan jika variansi dari tiap perlakuan sebanding dengan rataannya. Transformasi akar dilakukan bila datanya berupa bilangan bulat positif. Misalnya banyaknya koloni bakteri,banyaknya tanaman atau serangga spesies tertentu di suatu daerah tertentu. Data tersebut dikatakan menyebar menurut sebaran Poisson (Steel & Torrie, 1993: 284) c) Transformasi Arc sinus ( arcsin √𝑌 atau sin-1 √𝑌)

Transformasi Arc sinus dilakukan jika rata-rata populasi dan varians berbanding lurus dengan 𝜇 (1−𝜇) . Transformasi ini biasanya diterapkan pada data binomial yang

dinyatakan sebagai pecahan desimal atau persentase. d) Transformasi Kebalikan (1/Y)

Transformasi ini digunakan jika simpangan baku sebanding dengan pangkat dua rataannya.

2.3. Metode Kuadrat Terkecil

Metode kuadrat terkecil adalah metode yang digunakan untuk menduga parameter dengan cara meminimumkan nilai ∑ 𝑒𝑖2 , dengan e adalah galat (Supramono, 1993:210). Metode kuadrat terkecil dapat digunakan untuk menduga parameter dari

Universitas Sumatera Utara

model linier yang ada dalam rancangan percobaan. Galat percobaan biasanya diasumsikan berdistribusi normal dengan nilai tengah nol dan ragam 𝜎 2 . Dari

persamaan (2.2.1) dibentuk menjadi persamaan berikut: 𝜀𝑖𝑗 = 𝑌𝑖𝑗 − 𝜇 − 𝜏𝑖 − 𝛽𝑗

(2.3.1)

Jika 𝜀 adalah galat percobaan yang terkecil, maka kuadrat dan jumlah

kuadratnya adalah yang paling kecil. Persamaan tersebut mempunyai parameter 𝜇, 𝜏𝑖 ,

dan 𝛽𝑗 yang belum diketahui. Maka dengan metode kuadrat terkecil akan ditentukan

penduga untuk parameter 𝜇, 𝜏𝑖 , dan 𝛽𝑗 . Persamaan 𝜀𝑖 kemudian dikuadratkan dan

dijumlahkan, sehingga diperoleh:

∑𝑝𝑖=1 ∑𝑘𝑗=1 𝑒𝑖𝑗 2 = ∑𝑝𝑖=1 ∑𝑘𝑗=1(𝑌𝑖𝑗 − 𝜇 − 𝜏𝑖 − 𝛽𝑗 )2 = 𝑅 Untuk menentukan penduga parameter 𝜇, 𝜏i, dan 𝛽j yang menghasilkan nilai

R yang minimum maka diselesaikan sistem persamaan berikut: 𝜕𝑅

= 2 ∑𝑖=1 ∑𝑘𝑗=1�𝑌𝑖𝑗 − 𝜇̂ − 𝜏𝑖 − 𝛽𝑗 �(−1) = 0

𝜕𝑅

= 2 ∑𝑖=1 ∑𝑘𝑗=1�𝑌𝑖𝑗 − 𝜇 − 𝜏̂𝑖 − 𝛽𝑗 �(−1) = 0

𝜕𝑅

= 2 ∑𝑖=1 ∑𝑘𝑗=1�𝑌𝑖𝑗 − 𝜇 − 𝜏𝑖 − 𝛽̂𝑗 �(−1) = 0

𝜕𝜇 𝜕𝜏

𝜕𝛽

𝑝

(2.3.2)

𝑝

(2.3.3)

𝑝

(2.3.4)

Diasumsikan bahwa 𝛴𝑖=1 𝜏𝑖 = 0 dan Σ𝑗=1 𝛽𝑗 = 0 sehingga dari ketiga

persamaan diatas diperoleh penduga parameter untuk 𝜇, 𝜏𝑖 , 𝛽𝑗 𝑑𝑎𝑛 𝜀𝑖𝑗 sebagai berikut: Pendugaan parameter 𝜇 dengan memakai persamaan 2.3.2 𝑝

2∑𝑖=1 ∑𝑘𝑗=1 �𝑌𝑖𝑗 − 𝜇̂ − 𝜏𝑖 − 𝛽𝑗 �(−1) = 0 ∑𝑝𝑖=1 ∑𝑘𝑗=1 �𝑌𝑖𝑗 − 𝜇̂ − 𝜏𝑖 − 𝛽𝑗 � = 0

∑𝑝𝑖=1 ∑𝑘𝑗=1 𝑌𝑖𝑗 − 𝑝𝑘𝜇̂ − 𝑘 ∑𝑝𝑖 𝜏𝑖 − 𝑝 ∑𝑘𝑗 𝛽𝑗 = 0

∑𝑝𝑖=1 ∑𝑘𝑗=1 𝑌𝑖𝑗 − 𝑝𝑘𝜇̂ = 0

𝑝

𝑝𝑘𝜇̂ = ∑𝑖=1 ∑𝑘𝑗=1 𝑌𝑖𝑗 𝜇 Universitas Sumatera Utara

𝜇̂ =

∑𝑝 ∑𝑘 𝑌 𝑖=1 𝑗=1 𝑖𝑗

�.. 𝜇̂ = 𝑌

𝑝𝑘

(2.3.5)

Setelah diperoleh penduga parameter untuk 𝜇 yaitu 𝜇̂ berikut akan dicari penduga parameter untuk 𝜏𝑖 dengan batasan ∑𝑗=1 𝛽𝑗 = 0 Pendugaan parameter 𝜏𝑖 dengan memakai persamaan 2.3.3

𝑝 2∑𝑖=1 ∑𝑘𝑗=1

�𝑌𝑖𝑗 − 𝜇 − 𝜏�𝚤 − 𝛽𝑗 �(−1) = 0

∑𝑝𝑖=1 ∑𝑘𝑗=1�𝑌𝑖𝑗 − 𝜇 − 𝜏�𝚤 − 𝛽𝑗 � = 0

∑𝑝𝑖=1 ∑𝑘𝑗=1 𝑌𝑖𝑗 − 𝑘𝜇 − 𝑘 � 𝜏𝚤 − ∑𝑘𝑗 𝛽 = 0 𝑗

∑𝑝𝑖=1 ∑𝑘𝑗=1 𝑌𝑖𝑗 − 𝑘𝜇 − 𝑘 � 𝜏𝚤 = 0

𝑝

𝑘� 𝜏𝚤 = ∑𝑖=1 ∑𝑘𝑗=1 𝑌𝑖𝑗 − 𝑘 𝜇 � 𝜏𝚤 =

∑𝑘 𝑗=1 𝑌𝑖𝑗 𝑘

−𝜇

𝜏�𝚤 = 𝑌�𝑖. − 𝑌�..

(2.3.6)

Setelah diperoleh penduga parameter untuk 𝜇 yaitu 𝜇̂ dan � 𝜏𝚤 untuk 𝜏𝑖 , berikut 𝑝 akan dicari penduga parameter untuk 𝛽𝑗 dengan batasan ∑𝑖=1 𝜏𝑖 = 0 Pendugaan parameter 𝛽𝑗 dengan memakai persamaan 2.3.4 𝑝

2∑𝑖=1 ∑𝑘𝑗=1 �𝑌𝑖𝑗 − 𝜇 − 𝜏𝑖 − 𝛽�𝚥 �(−1) = 0 ∑𝑝𝑖=1 ∑𝑘𝑗=1�𝑌𝑖𝑗 − 𝜇 − 𝜏𝑖 − 𝛽�𝚥 � = 0

∑𝑝𝑖=1 ∑𝑘𝑗=1 𝑌𝑖𝑗 − 𝑝𝜇 − ∑𝑝𝑖 𝜏𝑖 − 𝑝𝛽�𝚥 = 0 ∑𝑝𝑖=1 ∑𝑘𝑗=1 𝑌𝑖𝑗 − 𝑝𝜇 − 𝑝𝛽�𝚥 = 0

𝑝 𝑝𝛽�𝚥 = ∑𝑖=1 ∑𝑘𝑗=1 𝑌𝑖𝑗 − 𝑝𝜇

𝛽�𝚥 =

∑𝑝 ∑𝑘 𝑌 𝑖=1 𝑗=1 𝑖𝑗 𝑝

−𝜇

𝛽�𝚥 = 𝑌�.𝑗 − 𝑌�.. (2.3.7)

Universitas Sumatera Utara

2.4. Distribusi Normal

Distribusi normal merupakan salah satu jenis distribusi yang penting dalam statistika. Distribusi normal banyak digunakan dalam banyak kegiatan analisis dalam statistika. Distribusi normal sangat penting dalam prosedur pendugaan parameter dan pengujian hipotesis dari suatu populasi. Sebab peubah acak yang terkait dengan populasi harus mendekati distribusi normal, selain itu pada pendugaan parameter dengan metode kuadrat terkecil galat yang digunakan diasumsikan berdistribusi normal dengan nilai tengah nol dan ragam 𝜎 2 . Misalkan X suatu peubah acak maka fungsi kepadatan peluang dari distribusi normal dengan rataan 𝜇 dan variansi 𝜎 2 adalah

𝑓(𝑥) =

1

𝜎√2𝜋

untuk −∞ < 𝑥 < ∞, −∞ < 𝜇 < dan 𝜎 2 >0

1

2

𝑒 2𝜎2(𝑥−𝜇)

(2.4.1)

Suatu peubah acak X yang berdistribusi normal dengan rataan 𝜇 dan variansi

𝜎 2 sering disingkat dengan lambang 𝑋~(𝜇, 𝜎 2 ) (Walpole & Myers,1995: 180). Setiap

peubah acak normal X dapat ditransformasikan menjadi suatu peubah acak Z dengan rataan nol dan variansi bernilai 1. Distribusi hasil transformasi tersebut adalah distribusi normal baku, dengan lambang 𝑍~(0,1). Hal ini dapat dilakukan melalui transformasi.

Keterangan

𝑍=

Z = Data hasil tranformasi

𝑋−𝜇𝑥 𝜎𝑥

(2.4.2)

X = Data pengamatan 𝜇𝑥 = Rata-rata seluruh pengamatan 𝜎𝑥 = Standart deviasi pengamatan

Universitas Sumatera Utara

2.5. Sisaan

Sisaan adalah beda antara nilai yang teramati dengan nilai yang diramalkan (Neter,dkk (1985 : 109). Secara umum sisaan dijabarkan menurut persamaan sebagai berikut: 𝑒𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌�𝑖

(2.5.1)

Keterangan ei = Sisaan atau galat pengamatan ke-i 𝑌𝑖 = Data pengamatan ke-i

𝑌�𝑖 = Nilai harapan data pengamatan ke-i

Dalam analisis variansi, digunakan asumsi tertentu pada galat. Asumsi itu mengatakan bahwa galat-galat tersebut bebas satu sama lain, memiliki variansi konstan, dan mengikuti sebaran normal.

2.6. Nilai Harapan

Nilai harapan dari suatu variabel acak X dilambangkan dengan E(X) (Pollet & Nasrullah 1994:14). Jika X merupakan suatu variabel acak diskrit, maka nilai harapan dari X adalah: (𝑋)=Σ𝑥 f(x)

(2.6.1)

Tetapi, jika X merupakan suatu variabel acak kontinu dengan fungsi kepadatan peluang f(x) maka nilai harapan dari X didefinisikan sebagai: ∞

(𝑋)=∫−∞ 𝑥𝑓(𝑥 )𝑑𝑥

(2.6.2)

Beberapa sifat-sifat yang dimiliki oleh nilai harapan adalah sebagai berikut: 1. (𝑘)=𝑘 dengan k merupakan suatu konstanta 2. E(𝑎+𝑏𝑋)=𝑎+𝑏 𝐸 (𝑋) dengan 𝑎 dan 𝑏 merupakan konstanta

3. E(𝑋±𝑌)=𝐸(𝑋)±𝐸(𝑌)

4. E(𝑋𝑌)=𝐸(𝑋)𝐸(𝑌) jika 𝑋 dan 𝑌 merupakan dua variabel acak yang saling bebas Universitas Sumatera Utara