BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1
Pengertian Antrian Siapapun yang pernah pergi berbelanja ke supermarket atau ke bioskop
mengalami ketidaknyamanan dalam mengantri. Dalam hal mengantri, tidak hanya manusia saja yang mengalaminya, tetapi komponen dan produk pun terkadang harus menunggu dalam sebuah proses manufaktur untuk diproses ke tahap selanjutnya. Antrian sudah menjadi bagian dalam sebuah proses atau pelayanan. Dalam hal mengantri, waktu merupakan komponen/aspek yang sangat penting dan berharga, oleh karena itu sedapat mungkin sistem yang ada dapat mereduksi penggunaan waktu yang berlebihan, sehingga tercapainya keefektifan dan keefisienan dalam hal penggunaan waktu tersebut. Waktu mengantri juga telah menjadi komponen yang lebih penting, hal ini dikarenakan berhubungan dengan peningkatan kualitas dari pelayanan itu sendiri. Ketika seorang nasabah pergi ke bank untuk menabung, menarik uang atau pergi berbelanja ke supermarket, mereka membutuhkan suatu pelayanan yang dapat melayani mereka dengan cepat dan baik. Waktu mengantri dapat di reduksi dengan cara meningkatkan kapasitas pelayanan, seperti menambah jumlah server (jika dalam
8
hal ini bank, maka yang ditambahkan adalah jumlah teller). Namun, walau bagaimanapun, penambahan kapasitas pelayanan memerlukan biaya yang tidaklah sedikit. Oleh karena itu, ada semacam dilemma, antara biaya untuk pengoptimalan pelayanan dan biaya waktu mengantri (tunggu) itu sendiri. Analisis antrian pertama kali diperkenalkan oleh A.K Erlang (1913) yang mempelajari fluktuasi permintaan telepon dan keterlambatan pelayanannya. Saat ini analisis antrian banyak diterapkan dibidang bisnis (bank, supermarket), industri (pelayanan mesin otomatis), transportasi (pelabuhan udara, pelabuhan laut, jasa-jasa pos) dan lain-lain. Seperti halnya analisis Markov, analisis antrian memberikan informasi probabilitas yang dinamakan operating characteristic, yang dapat membantu mengambil keputusan dalam merancang fasilitas pelayanan antrian untuk mengatasi permintaan pelayanan yang fluktuatif secara random. Terdapat banyak model antrian untuk setiap sistem (struktur) antrian. Namun penulis hanya akan memusatkan pada dua sistem yang populer, yaitu sistem saluran tunggal dan banyak saluran, keduanya dengan satu tahap. Selain itu variasi model dan sistem antrian akan dibahas sepintas. 2.2
Komponen Proses Antrian Komponen dasar proses antrian adalah: kedatangan, pelayanan, dan antri.
Komponen-komponen ini disajikan pada gambar 2.1 di halaman berikut.
9
Sumber kedatangan Antrian
Fasilitas pelayanan
Keluar
Gambar 2.1 Komponen proses antrian
2.3
Kedatangan Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan, misalnya orang, mobil, atau
panggilan telepon untuk dilayani. Unsur ini sering dinamakan proses input. Proses input meliputi sumber kedatangan atau biasa dinamakan calling population, dan cara terjadinya kedatangan yang umumnya merupakan proses random. 2.3.1
Pelayanan Pelayanan atau mekanisme pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan,
atau satu atau lebih fasilitas pelayanan. Contohnya, pada sebuah check out counter dari suatu supermarket terkadang hanya ada seorang pelayan, tetapi bisa juga diisi seorang kasir dengan pembantunya untuk memasukan barang-barang ke kantong plastik. Sebuah bank dapat mempekerjakan seorang atau banyak teller. Disamping itu, perlu diketahui cara pelayanan dirampungkan, yang kadang-kadang merupakan proses random.
10
2.3.2
Antrian Timbulnya antrian terutama tergantung dari sifat kedatangan dan proses
pelayanan. Penentu antrian lain yang penting adalah disiplin antri. Disiplin antri adalah aturan keputusan yang menjelaskan cara melayani pengantri. Misalnya, datang awal dilayani dulu yang lebih dikenal dengan singkatan FCFS, datang terakhir dilayani dulu LCFS, berdasar prioritas, berdasar abjad, berdasar janji-janji, dan lainlain. Jika tak ada antrian berarti terdapat pelayanan yang menganggur atau kelebihan fasilitas pelayanan. 2.4
Struktur Dasar Proses Antrian Proses antrian pada umumnya dikelompokan kedalam empat struktur dasar
menurut sifat-sifat fasilitas pelayanan, yaitu : a. Satu saluran satu tahap. b. Banyak saluran satu tahap. c. Satu saluran banyak tahap. d. Banyak saluran banyak tahap. Keempat kelompok ini ditunjukan pada gambar 2.2 berikut a)
11
b)
Antrian Pelayanan
c)
d)
Antrian Pelayanan
Gambar 2.2. Struktur Dasar Proses Antrian Pada gambar 2.2.a adalah Single-channel, single phase yang merupakan model sistem antrian paling sederhana dan penyelesaian untuk struktur seperti ini dapat diselesaikan secara langsung dengan menggunakan distribusi standar berdasarkan kedatangan dan pelayanannya. Contoh dari struktur ini adalah tukang potong rambut, dimana satu orang dilayani oleh seorang tukang potong rambut.
12
Gambar 2.2.b adalah Multiple-channel, single phase. Contoh dari model ini adalah antrian pada bank. Gambar 2.2.c adalah Single-channel, multiple-phase. Contoh dari model ini adalah pencucian mobil. Proses dari pencucian mobil melalui beberapa tahap, seperti vacuum, dibasahi dengan air, cuci dengan sabun, dikeringkan dan pembersihan jendela. Gambar 2.2.d adalah Multiple-channel, multiple-phase. Contoh dari model ini adalah pendaftaran pasien di rumah sakit yang biasanya mengikuti langkah-langkah: menuju meja resepsionis, mengisi formulir, mendapatkan kamar, menemani pasien ke kamar, dan sebagainya Banyaknya saluran dalam proses antrian adalah jumlah pelayanan paralel yang tersedia. Banyaknya tahap menunjukan jumlah pelayanan berurutan yang harus dilalui oleh setiap kedatangan. Ini berarti gambar 2.2.b menunjukan struktur antrian dengan tiga saluran satu tahap. Empat kategori yang disajikan diatas merupakan kategori dasar. 2.5
Kerangka Keputusan Masalah Antrian Kebanyakan
literatur
teori
antrian
menekankan
penemuan
operating
characteristic atau ciri-ciri operasi sistem antrian. Ciri-ciri operasi menjelaskan bekerjanya sistem dalam bentuk ukuran-ukuran, misalnya rata-rata waktu menunggu, waktu menganggur pelayanan dan lain-lain. Namun, ukuran prestasi sistem
13
sesungguhnya hanya input dalam suatu kerangka konsep yang lebih luas. Ciri ciri operasi yang akan dipelajari adalah : Pn
: probabilita n pengantri dalam sistem
L
: rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem
Lq
: rata-rata banyaknya pengantri dalam antrian
W
: rata-rata waktu menunggu dalam sistem (antri+pelayanan)
Wq
: rata-rata waktu antrian
P0
: probabilitas pelayan atau server tidak bekerja (tidak ada pengantri).
Kebanyakan analisis masalah antrian akhirnya sampai pada pertanyaan bagaimana merancang fasilitas pelayanan atau berapa tingkat pelayanan yang seharusnya disediakan. Jika variabel keputusannya adalah tingkat pelayanan, maka model harus mengidentifikasi hubungan antara tingkat pelayanan dengan parameter dan variabelvariabel yang relevan. 2.6
Notasi Kendall Terdapat banyak variasi yang mungkin dari model antrian. Ciri-ciri dari
masing-masing model akan diringkas dalam notasi Kendall yang diperluas. Notasi itu dituliskan : [a / b / c / d / e / f ] Notasi Kendall yang asli adalah : [ a / b / c ] Keterangan : a : distribusi kedatangan
14
b : distribusi keberangkatan atau waktu pelayanan, untuk a dan b, M menunjukkan Poisson, Ek menunjukkan Erlang, dan D berarti deterministik atau konstan. c : banyaknya pelayanan paralel d : disiplin antri, seperti FCFS, LCFS, prioritas, dan random e : jumlah maksimum pengantri dalam sistem (antri dan dilayani) f : jumlah sumber kedatangan Jika tiga dari notasi Kendall yang diperluas tak disebutkan berarti : [. / . / . / FCFS / ∞ / ∞ ] artinya disiplin antri FCFS, jumlah maksimum pengantri dalam sistem tak terbatas, dan jumlah sumber kedatangan tak terbatas. 2.7
Distribusi Waktu Kedatangan Model antrian adalah model probabilistik (sthochastic) karena unsur-unsur
tertentu proses antrian yang dimasukan dalam model adalah variabel random. Variabel random ini sering digambarkan dengan distribusi probabilistik. Baik kedatangan maupun waktu pelayanan dalam suatu proses antrian pada umumnya dinyatakan sebagai variabel random. Asumsi yang biasa digunakan dalam kaitannya dengan distribusi poisson. Rumus umum distribusi probabilitas poisson adalah : P ( x) =
e −λ λx x!
15
Keterangan : e
: dasar logaritma natural,yaitu 2,71828
λ
: rata-rata tingkat kedatangan.
x
: banyaknya kedatangan, yang merupakan variabel random diskrit. Distribusi poisson adalah distribusi diskrit dengan rata-rata sama dengan varians.
Suatu ciri menarik dari proses poisson adalah bahwa jika banyaknya kedatangan per satuan waktu mengikuti distribusi poisson dengan rata-rata tingkat kedatangan λ, maka waktu antar kedatangan (interval arrival time) akan mengikuti distribusi eksponensial negatif dengan rata-rata1\λ. 2.8
Distribusi Waktu Pelayanan Waktu pelayanan dalam proses antrian dapat juga sesuai atau pas dengan salah
satu bentuk distribusi probabilitas. Asumsi yang biasa digunakan bagi distribusi waktu pelayanan adalah distribusi eksponensial negatif. Sehingga jka waktu pelayanan mengikuti distribusi eksponensial negatif, maka tingkat pelayanan mengikuti distribusi poisson. Rumus umum density function probabilitas eksponensial negatif adalah : f (t ) = μe − μt Keterangan : t
: waktu pelayanan
f(t)
: probabilitas yang berhubungan dengan t
μ
: rata-rata tingkat pelayanan sehingga 1/ μ = rata-rata waktu pelayanan.
16
Pelayanan empiris menunjukan bahwa asumsi distribusi eksponensial negatif maupun poisson sering kali tidak absah. Karena itu asumsi ini harus diperiksa sebelum mencoba menggunakan suatu model. 2.9
Sistem Antri Steady State dan Transient Suatu asumsi yang sangat penting dalam teori antrian adalah apakah sistem
mencapai suatu keadaan keseimbangan atau dinamakan steady state.Ini berarti diasumsikan bahwa ciri-ciri operasi setelah panjang antrian dan rata-rata waktu menunggu akan memiliki nilai konstan setelah sistem berjalan selama satu periode waktu. Hampir semua model antrian dasar mengasumsikan keadaaan steady state. Namun, beberapa sistem antrian tidak pernah dapat diharapkan berjalan cukup lama dalam keadaan steady state. Model terakhir ini dinamakan keadaan transient. Dalam analisis sistem antrian transient solusinya tergantung pada waktu yang telah dilewati sejak sistem mulai beroperasi. 2.10 Model Antrian Banyak Saluran Satu Tahap [M/M/c] Jika traffic intensity (R = λ μ ) mendekati satu, rata-rata waktu antri menjadi makin lama dan pengantri dapat menjadi frustasi. Dalam menghadapi kasus ini, dapat diatasi dengan menambah saluran pelayanan. Ada beberapa cara menambah saluran seperti diilustrasikan pada gambar 2.3 (a) dan (b) di halaman berikut.
17
(a)
(b)
Antrian Pelayanan
Gambar 2.3 Struktur Antrian Dengan Satu Saluran Serentak dan Banyak Saluran Stuktur proses antrian seperti ditunjukan pada gambar 2.3 (a) tidak dapat dikatakan dengan struktur antrian banyak saluran, melainkan suatu struktur antrian dengan beberapa saluran tunggal satu tahap yang bekerja secara serentak. Jadi untuk struktur ini dapat dianalisis dengan menerapkan model saluran tunggal. Struktur antrian banyak saluran satu tahap ditunjukan pada gambar 2.3b ciri struktur ini adalah bahwa hanya ada sebuah antrian didepan fasilitas pelayanan yang
18
berisi banyak saluran atau pelayan. Pengantri akan dilayani jika pelayan siap atas dasar FCFS. Rumusan operating characteristic pada model antrian banyak saluran satu tahap berikut ini didasarkan pada beberapa asumsi, antara lain kedatangan mengikuti distribusi poisson, waktu pelayanan mengikuti distribusi eksponensial negatif, infinite calling population, panjang antrian tak terbatas, disiplin antri FCFS, rata-rata tingkat pelayanan efektif adalah c μ dimana c adalah banyaknya saluran dan c μ lebih besar dari rata-rata tingkat kedatangan, λ, serta distribusi waktu pelayanan adalah sama untuk semua pelayan. Jika steady state tercapai, operating characteristics itu adalah :
Probabilitas tidak ada pengantri dalam sistem (Po)
P0 =
1 (λ / μ ) (λ / μ ) c + ∑n=0 n! c!(1 − λ / cμ ) c −1
n
Rata – rata banyaknya pengantri yang sedang mengantri dalam antrian (Lq) P0 (λ / μ ) c λ / cμ Lq = c!(1 − λ / cμ ) 2
Rata – rata banyaknya pengantri yang mengantri dalam sistem (L)
L = Lq +
λ μ
19
Rata – rata waktu menunggu sebelum dilayani (Wq)
Wq =
Lq
λ
Rata – rata waktu menunggu dalam sistem (W)
W = Wq +
1
μ
Jika c = 1 (artinya hanya ada satu saluran), maka rumus operating characteristics itu sama dengan yang ditemui pada model antrian satu saluran – satu tahap [M/M/1]. 2.11 Model Antrian Satu Saluran Satu Tahap [M/M/1] Pada model ini kedatangan dan keberangkatan mengikuti distribusi poisson dengan tingkat 1 dan μ , terdapat satu pelayanan, kapasitas pelayanan dan sumber kedatangan tak terbatas. Ini merupakan model antri yang paling sederhana dan merupakan salah satu dari dua model yang akan dibahas. Untuk menentukan operating characteristic atau ciri-ciri operasi, dapat dilakukan dengan mudah setelah diperoleh probabilitas n pengantri dalam sistem, Pn. Melalui penurunan matematik yang cukup panjang, dalam kondisi steady state dapat ditunjukan bahwa Pn = ( 1 – R ) Rn , dimana R = λ
μ ≤ 1 dan n = 0, 1, 2, ...
Bertolak dari rumus itu dapat diperoleh ciri-ciri operasi lain, seperti :
20
1) Probabilitas terdapat k atau lebih pengantri dalam sistem adalah
Pn≥ k = R k 2) Rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem ∞
L = Σ nPn = n =0
R 1− R
3) Rata-rata banyaknya pengantri yang sedang antri
R2 1− R
Lq =
4) Rata-rata waktu menunggu dalam sistem
W =
1 μ −λ
5) Rata-rata waktu antri
Wq =
λ μ (μ − λ )
6) Proporsi waktu menganggur pelayan
P0 = 1 – R
