BAB 2 LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori – teori yang digunakan dalam penulisan penelitian ini dari aspek Teknologi Informatika dan dari aspek Matematika.
2.1
Interaksi Manusia dan Komputer (IMK) Menurut (Schneiderman & Plaisant, 2010), interaksi manusia dan komputer
merupakan cabang ilmu yang mempelajari bagaimana hubungan antara manusia dengan komputer yang di dalamnya mencakup perancangan, evaluasi, dan implementasi antarmuka pengguna sehingga mudah digunakan oleh manusia. Menurut (Schneiderman & Plaisant, 2010), terdapat delapan aturan emas yang digunakan untuk merancang sebuah antarmuka, yaitu: 1. Mencoba untuk konsisten Konsisten dalam antarmuka pengguna, pada warna, tampilan, kapitalisasi, huruf dan lainnya yang digunakan. Konsistensi ini sangat bermanfaat ketika digunakan oleh pengguna, dimana pengguna akan merasa tetap berada pada aplikasi yang sama walaupun telah berpindah halaman. 2. Memenuhi kebutuhan umum Memenuhi kebutuhan umum artinya memahami kebutuhan dari berbagai macam pengguna dan membuat suatu desain yang fleksibel yang mendukung perubahan dalam konten. Beberapa pertimbangan antara lain berbagai macam pengguna, dari pemula sampai ahli, perbedaan umur, kecacatan fisik harus diperhatikan dalam membuat suatu desain antarmuka pengguna. 3. Umpan balik yang informatif Umpan balik harus diberikan oleh sistem terhadap setiap aksi yang dilakukan oleh pengguna. Untuk aksi yang sederhana bisa diberikan umpan balik yang sederhana, sedangkan untuk aksi besar yang biasanya jarang dilakukan oleh pengguna, harus dibuat lebih tegas. Setiap umpan balik yang diberikan harus jelas
dan
dapat
dengan
mudah
5
dimengerti
oleh
pengguna.
6 4. Dialog untuk keadaan akhir Urutan aksi hendaknya disusun menjadi kategori awal, tengah, dan akhir. Untuk memberikan kepuasan pencapaian, kelegaan, dan sebagai tanda untuk mempersiapkan diri memasuki kategori aksi selanjutnya, dibuatlah umpan balik yang informatif pada penyelesaian salah satu kategori aksi. 5. Pencegahan kesalahan Sistem harus didesain sedemikian rupa sehingga pengguna tidak dapat membuat kesalahan yang fatal. Jika pengguna membuat kesalahan, antarmuka harus mendeteksi kesalahan dan memberikan umpan balik yang sederhana dan spesifik. 6. Pembalikan aksi yang sederhana Sebisa mungkin aksi yang dilakukan oleh pengguna harus dapat dibalikan. Fitur ini dapat memperkecil terjadinya kesalahan, karena pengguna tahu bahwa aksi dapat dibatalkan. Pembalikan bisa saja pada suatu aksi seperti pada saat memasukkan data, atau dalam rangkaian aksi seperti memasukkan nama dan alamat di kotak pengisian. 7. Mendukung pusat kendali internal Pengguna harus memiliki kendali penuh atas antarmuka dan mendapatkan tanggapan dalam setiap aksi yang dilakukannya. Pada saat pengguna sudah terbiasa dengan suatu aplikasi, biasanya mereka ingin memiliki kendali penuh terhadap antarmuka dan tanggapan pada aksinya. Aksi antarmuka yang tidak seperti biasanya, rangkaian pemasukan data yang membosankan, tidak bisa atau sulit mendapatkan informasi yang diperlukan, dan tidak bisa menghasilkan aksi yang diinginkan dapat menimbulkan ketidakpuasan pada pengguna. 8. Mengurangi beban ingatan jangka pendek Pada umumnya, manusia memiliki keterbatasan dalam memproses informasi dalam jangka pendek, maka itu sistem harus didesain dengan tampilan yang ringan, penggabungan halaman-halaman, pengurangan frekuensi windowmotion, pemberian waktu latihan yang cukup untuk kode-kode, hafalan, dan rangkaian aksi. Oleh karena itu, dalam setiap perancangan aplikasi dibutuhkan alur aplikasi yang mudah diingat oleh pengguna.
7 2.2
Rekayasa Piranti Lunak Piranti lunak adalah kumpulan instruksi (program komputer) yang apabila
dieksekusi, akan menghasilkan fitur-fitur, fungsi, dan performa yang diinginkan (Pressman, 2010, p. 4). Piranti lunak adalah suatu struktur data yang memungkinkan program untuk memanipulasi informasi (Pressman, 2010, p. 4). Menurut Roger S. Pressman (Pressman, 2010, p. 14), dalam mengembangkan suatu piranti lunak, rekayasa piranti lunak dibagi menjadi beberapa lapisan sebagai berikut:
Gambar 2. 1 Contoh Software Engineering Layers
Pada gambar 2.1, lapisan quality focus adalah fondasi dari suatu rekayasa piranti lunak, dimana dalam setiap proses yang dikerjakan, selalu mengacu pada kualitas akhir dari piranti lunak yang akan dihasilkan. Lapisan process merupakan dasar dari manajemen dalam mengendalikan suatu proyek piranti lunak secara rasional dan teratur. Lapisan method memberikan teknik untuk membangun suatu piranti lunak. Pada lapisan ini, metode yang digunakan antara lain, analisis kebutuhan, perancangan model piranti lunak, konstruksi program, uji coba, dan perawatan. Lapisan tools menyediakan bantuan bagi proses dan metode sehingga ketika lapisan tools terintegrasikan dengan lapisan lainnya, informasi dapat dihasilkan untuk digunakan oleh yang lain. Sistem pendukung pengembangan piranti lunak disebut computer-aided software engineering. (Pressman, 2010, pp. 13-14).
2.2.1
Process Model Proses model mendeskripsikan masalah yang berhubungan dengan proses
yang ditemui dalam pembuatan suatu piranti lunak, mengidentifikasi lingkungan dimana masalah ditemukan, dan memberikan sebuah atau lebih solusi untuk masalah
8 yang dihadapi (Pressman, 2010). Seperti sistem kompleks kebanyakan, piranti lunak berevolusi seiring dengan berjalannya waktu. Kebutuhan dalam aspek bisnis dan produk yang berubah sejalan dengan proses pengembangan, membuat jalan menuju hasil akhir dari program menjadi tidak realistik, proses model ini disebut Proses Model Evolusioner yang memiliki sifat iteratif. Prototyping merupakan jenis proses model yang biasa digunakan untuk membuat piranti lunak yang terus berevolusi kebutuhannya. Klien mendefinisikan sekumpulan tujuan dasar untuk piranti lunak namun tidak mendefinisikan secara detail yang dibutuhkan untuk fungsi dan fitur (Pressman, 2010). Paradigma prototipe yang bisa dilihat pada gambar 2.2, dimulai dari komunikasi dengan klien untuk mendefinisikan sejumlah kebutuhan dalam piranti lunak, mengidentifikasi apa saja kebutuhan yang diketahui. Iterasi prototyping dilakukan dengan rencana yang cepat dan modeling dibuat. Quick design terfokus pada representasi aspek yang nantinya akan terlihat oleh pengguna (seperti tampilan antarmuka atau tampilan akhir). Dari quick design, proses berlanjut ke construction of prototype. Prototipe akan dievaluasi oleh klien, yang akan memberikan umpan balik untuk digunakan sebagai acuan pembuatan program ke depannya.
Gambar 2. 2 Contoh Prototyping Process Model
2.3
Flowchart Flowchart adalah penggambaran secara grafik dari langkah-langkah dan urut-urutan prosedur dari suatu program. Flowchart menolong analis dan programmer untuk memecahkan masalah kedalam segmen-segmen yang lebih
9 kecil dan menolong dalam menganalisis alternatif-alternatif lain dalam pengoperasian. Flowchart
biasanya
mempermudah
penyelesaian
suatu
masalah
khususnya masalah yang perlu dipelajari dan dievaluasi lebih lanjut. Flowchart terbagi atas lima jenis, yaitu : 1. Flowchart Sistem (System Flowchart) Flowchart Sistem merupakan bagan yang menunjukkan alur kerja atau apa yang sedang dikerjakan di dalam sistem secara keseluruhan. 2. Flowchart Paperwork / Flowchart Dokumen (Dokumen Flowchart) Flowchart paperwork menelusurialur dari data yang ditulis melalui sistem, memiliki kegunaan utama untuk menelusuri alur form dan laporan sistem dari satu bagian ke bagian lain baik dari bagaimana alur form dan laporan diproses, dicatat dan disimpan. 3. Flowchart Skematik (Schematic Flowchart) Flowchart skematik mirip dengan flowchart sistem, tetapi flowchart ini juga menggunakan gambar-gambar computer, peripheral, atau peralatan lain yang digunakan dalam sistem. 4. Flowchart Program (Program Flowchart) Flowchart program merupakan keterangan yang lebih rinci tentang bagaimana setiap langkah program atau proseudr sesungguhnya dilaksanakan. 5. Flowchart Proses (Process Flowchart) Flowchart proses merupakan teknik penggambaran rekayasa industrial yang memecah dan menganalisis langkah-langkah selanjutnya dalam suatu prosedur atau sistem. Simbol-simbol flowchart yang biasanya dipakai adalah simbol-simbol flowchart standar yang dikeluarkan oleh ANSI dan ISO. (Subrata, 2010) Simbol-simbol ini dapat dilihat pada Tabel 2.1 – Simbol Flowchart Standar (Subrata, 2010) berikut ini :
10
Tabel 2. 1 Simbol Flowchart Standar
Nama
Simbol
Arti Merepresentasikan Input
Input/Output
data atau Output data yang diproses atau Informasi
Proses
Mempresentasikan operasi Keluar ke atau masuk dari
Penghubung
bagian lain flowchart khususnya halaman yang sama
Anak Panah
Penjelasan
Keputusan
Predefined Process
Merepresentasikan alur kerja Digunakan untuk komentar tambahan
Keputusan dalam program
Rincian operasi berada di tempat lain
Preparation
Pemberian harga awal
Terminal Points
Awal.akhir flowchart
Punched Card
Dokumen
Input/Output yang menggunakan kartu berlubang
I/O dalam format yang dicetak
11 Nama Magnetic Tape
Magnetic Disk
Magnetic Drum
Simbol
Arti I/O yang menggunakan pita magnetik
I/O yang menggunakan disk magnetik
I/O yang menggunakan drum magnetik I/O yang menggunakan
Online Storage
penyimpanan akses langsung
Punched Tape
I/O yang menggunakan pita kertas berlubang Input yang dimasukkan
Manual Input
secara manual dari keyboard
Display
Manual Operation
Communication Link
Output yang ditampilkan pada terminal Operasi Manual Transmisi data melalui channel komunikasi Penyimpanan yang tidak
Offline Storage
dapat diakses oleh komputer secara langsung
12 2.4
UML Menurut (Whitten & Bentley, 2007, p. 371), UML versi 2.0 adalah
sekumpulan model konvensional yang digunakan untuk mendeskripsikan sebuah sistem piranti lunak berkaitan dengan objek. UML dapat dibagi menjadi empat kelompok ketika memodelkan suatu sistem, yaitu: diagram kasus (use case diagram), diagram aktifitas (activity diagram), diagram kelas (class diagram), dan diagram urutan (sequence diagram).
2.4.1
Diagram Kasus (Use Case Diagram) Menurut (Whitten & Bentley, 2007, p. 246), diagram kasus (gambar 2.3)
adalah sebuah grafik yang menggambarkan sekumpulan kasus penggunaan, aktor (actor), dan hubungan antara keduanya. Diagram kasus mendeskripsikan fungsi sistem dari perspektif eksternal pengguna dan dalam terminologi yang mereka pahami. Aktor adalah semua hal yang berinteraksi dengan sistem untuk memberikan atau mendapatkan informasi. Skenario adalah urutan langkah-langkah yang menjelaskan tentang interaksi antara aktor atau pengguna dengan sistem.
Gambar 2. 3 Contoh Diagram Kasus
Hubungan yang terdapat dalam sebuah diagram kasus adalah (Whitten & Bentley, 2007): 1.
Associations Sebuah hubungan antara satu aktor dan use case dimana terjadi suatu
interaksi antara mereka. Hubungan ini direpresentasikan dengan sebuah garis
13 lurus yang menghubungkan antara aktor dengan use case dengan panah pada ujung garis menunjuk ke use case yang berinteraksi dapat dilihat pada gambar 2.3. Hubungan association dapat dibagi menjadi dua, yaitu bidirectional dan unidirectional association. Bidirectional association adalah association yang bersifat dua arah yang dilambangkan dengan sebuah garis lurus tanpa anak panah pada ujungnya, sedangkan unidirectional association adalah association yang bersifat satu arah, dilambangkan dengan garis lurus dan anak panah di ujung garis.
Gambar 2. 4 Contoh Asosiasi
2.
Extends Extends digunakan apabila suatu use case kompleks, rumit dan
terdapat beberapa tahap sehingga agak sulit untuk dimengerti. Extends menghasilkan use case baru yang mewakilkan suatu fungsi dari use case original. Use case ini disebut sebagai extension use case. Pada gambar 2.4, hubungan extends direpresentasikan dengan sebuah garis lurus / garis putusputus dengan anak panah yang dimulai dari use case original menuju ke extension use case lalu diberi nama <<extends>>.
Gambar 2. 5 Contoh Extends
14
3.
Uses (or Include) Uses / include digunakan apabila terdapat dua atau lebih use case
yang melakukan hal yang sama. Hal tersebut dipisahkan menjadi sebuah use case yang disebut abstract use case (Gambar 2.5). Tujuannya adalah untuk mengurangi redundansi pada use case.
Gambar 2. 6 Contoh Uses / Include
4.
Depends On Depends On merupakan hubungan antara sebuah use case dimana
sebuah use case baru bisa dijalankan apabila use case yang lain sudah dilakukan.
Gambar 2. 7 Contoh Depends On
15 5.
Pewarisan (Inheritance) Pewarisan adalah use case dengan keadaan dimana terdapat dua atau
lebih aktor melakukan satu hal yang sama. Untuk menanggulangi hal ini maka akan dibuat satu aktor abstrak dengan tujuan untuk mengurangi redundansi komunikasi pada sistem.
Gambar 2. 8 Contoh Pewarisan
2.4.2
Diagram aktifitas (Activity Diagram) Diagram
aktifitas
adalah
diagram
yang
dapat
digunakan
untuk
menggambarkan alur dari proses, langkah-langkah dari sebuah use case, atau logika dari perilaku suatu objek (Whitten & Bentley, 2007, p. 390).
16
Gambar 2. 9 Contoh Diagram Aktivitas
Dalam sebuah activity diagram, terdapat beberapa notasi yang digunakan sebagai berikut (Whitten & Bentley, 2007, p. 391), 1.
Initial node Dilambangkan dengan sebuah lingkaran yang merepresentasikan awal
dari suatu proses. 2.
Actions Dilambangkan dengan kotak yang memiliki sudut melengkung yang
menggambarkan langkah individu. 3.
Aliran (Flow) Memiliki lambing sebuah anak panah dalam diagram, yang
menandakan adanya perkembangan dalam suatu aksi. 4.
Keputusan (Decisions) Berbentuk permata / belah ketupat, menggambarkan adanya suatu
aliran yang masuk dan dua atau lebih aliran keluar. 5.
Merge Dilambangkan dengan sebuah permata dengan dua atau lebih aliran
yang masuk dan satu aliran yang keluar. Merge menggabungkan dua atau lebih aliran keluar yang dipisahkan oleh decisions kemudian diproses menjadi satu aliran.
17 6.
Percabangan (Fork) Dilambangkan dengan sebuah balok hitam dengan satu aliran masuk
dan dua atau lebih aliran keluar. Aliran parallel di bawah fork bisa terjadi dalam urutan yang tidak sama maupun bersamaan 7.
Gabungan (Join) Dilambangkan dengan kotak hitam dengan dua atau lebih aliran yang
masuk dengan astu aliran yang keluar. Setiap langkah yang masuk ke dalam join harus selesai sebelum proses berlanjut. 8.
Aktifitas Akhir (Activity Final) Dilambangkan dengan lingkaran dengan warna utuh di dalam sebuah
lingkaran kosong yang menandakan akhir dari sebuah proses.
2.4.3
Diagram Urutan (Sequence Diagram) Diagram urutan menggambarkan bagaimana suatu objek berinteraksi dengan
satu sama lain melalui pesan. Diagram ini memeberi gambaran bagaimana pesan dikirim dan diterima antar objek dan dalam sekuen seperti apa (Whitten & Bentley, 2007, p. 394)
Gambar 2. 10 Contoh Diagram Urutan
18 Dalam sebuah diagram urutan, terdapat beberapa notasi yang digunakan antara lain, 1.
Actor Actor merupakan pengguna yang berinteraksi dengan objek.
2.
Interface class Interface class adalah kotak yang mengidentifikasikan kode kelas dari
tampilan antarmuka 3.
Controller class Setiap use case memiliki satu atau lebih controller classes, yang
digambarkan dengan notasi yang sama dengan interface class dan diberi tanda <
>. 4.
Entity classes Entity classes adalah kotak tambahan untuk setiap kesatuan yang
membutuhkan kolaborasi di dalam tahap sequential. 5.
Messages Messages digunakan untuk menyampaikan metode dari satu objek ke
objek lain. 6.
Activation bars Activation bars digambarkan dengan bentuk kotak yang berfungsi
untuk mengidentifikasi waktu keberadaan dari setiap objek yang ada. 7.
Return messages Return messages adalah jawaban atas pesan yang dikirimkan oleh
suatu objek. 8.
Self-call Self-call adalah sebuah objek yang dapat mengirimkan pesan ke
dirinya sendiri. 9.
Frame Frame digunakan untuk menandakan area / lokasi pada diagram yang
mengalami pengulangan (looping), mengalami seleksi (alternative), atau memiliki sebuah ketentuan khusus (optional).
2.4.4
Diagram Kelas (Class Diagram) Diagram kelas menyediakan sebuah struktur yang statis tentang sebuah
sistem. Komponen utama dalam diagram kelas adalah kotak, yang merupakan ikon
19 untuk merepresentasikan kelas dan antarmuka. Setiap kotak dibagi menjadi bagianbagian horizontal, dengan bagian paling atas menunjukkan nama dari kelas, bagian tengah menunjukkan atribut dari kelas. Atribut merujuk pada sesuatu yang objek dalam kelas itu tahu atau dapat menyediakannya setiap saat.
Gambar 2. 11 Contoh Diagram Kelas
2.5
Python Python merupakan bahasa pemrograman tingkat tinggi yang bersifat
interpreter, interaktif, dan berorientasi objek yang dikembangkan pada tahun 1980-an (Kiusalaas, 2010). Bahasa Python dapat digunakan di semua sistem operasi seperti Linux, Unix, Windows, Mac OS. Bahasa Python lebih mudah untuk dipelajari dan menghasilkan hasil kode yang lebih dapat dibaca dibandingkan dengan bahasa lain. Kode dalam Python, tidak disusun dan dijalankan ke dalam bahasa mesin, melainkan dijalankan dengan sebuah interpreter. Interpreter membaca kode secara baris per baris, berbeda dengan penyusun yang membaca keseluruhan program lalu menjalankannya. Hal ini menyebabkan interpreter lebih cepat dalam hal waktu untuk menjalakan suatu kode dibandingkan dengan penyusun yang membaca keseluruhan program terlebih dahulu baru menjalankannya. Beberapa kelebihan bahasa Python menurut (Kiusalaas, 2010), yaitu: 1. Pyhton merupakan piranti lunak open-source. 2. Python dapat digunakan di hampir seluruh system operasi seperti Linux, Unix, Windows, Mac OS, dll. 3. Bahasa yang mudah digunakan dan dimengerti. 4. Tersedia banyak library standar 5. Python dan extension-nya mudah untuk di install
20 Dalam penyusunan program, versi Python yang digunakan adalah Python 2.7.9.0 Beberapa library dalam Python yang digunakan dalam penelitian ini untuk membuat aplikasi adalah sebagai berikut ini:
2.5.1
NumPy NumPy adalah ekstensi dari bahasa pemrograman Python yang mencakup
array dan matriks yang multi-dimensional dan besar, bersama dengan library yang luas untuk fungsi matematika tingkat tinggi untuk mengoperasikan array dan matriks tersebut. Dalam penyusunan program, versi NumPy yang digunakan adalah versi 1.8.2-7.
2.5.2
Matplotlib Matplotlib adalah library untuk melakukan plot dua dimensi di dalam bahasa
pemrograman Python. Matplotlib menyediakan API berorientasi objek untuk memasukkan gambar / plot ke dalam aplikasi dengan menggunakan general-purpose GUI toolkits seperti wxPython, Qt, atau GTK+. Dalam penyusunan program, Matplotlib yang digunakan adalah versi 1.4.2-6.
2.5.3
PyQt PyQt adalah sekumpulan binding Python v2 dan v3 untuk perusahaan Qt,
yang bergerak di kerangka aplikasi dan bisa berjalan di segala platform yang didukung oleh Qt termasuk Windows, MaxOS/X dan LINUX (Riverbank Computing, 2015). Qt lebih dari sekedar sebuah alat untuk membuat suatu GUI. Termasuk di dalamnya threads, Unicode, ekspresi regular, basis data SQL, SVG, OpenGL, XML dan sekumpulan GUI widget yang bermacam-macam. Kelas pada Qt menggunakan mekanisme sinyal dan slot untuk berkomunikasi antar objek yang aman tetapi berpasangan secara longgar sehingga membuat komponen piranti lunak yang sering dipakai mudah untuk dibuat. Qt juga mencakup Qt Designer, sebuah desainer untuk merancang suatu antarmuka. PyQt dapat membuat kode Python dari Qt Designer dan memungkinkan untuk menambahkan control antarmuka yang ditulis dalam Python ke dalam Qt Designer. Berikut tampilan Qt Designer pada gambar 2.11.
21
Gambar 2. 12 Tampilan Qt Designer
PyQt menggabungkan semua kelebihan dari Qt dan Python. Dalam penyusunan program, digunakan PyQt4 versi 4.9.6-4 dan Qt Designer 4.8.4.
2.6
IDE (Integrated Developer Environment) Integrated Developer Environment (IDE) merupakan salah satu editor yang
telah terintegrasi dengan interpreter bahasa python pada umumnya. Dengan adanya IDE, mempermudah pengembang piranti lunak dalam mengembangkan aplikasi berbasis python.
22 2.7
Deret Taylor Definisi dari deret Taylor (Tryphonas & Hill): Polinomial Taylor orde ke – n dari fungsi sembarang f(x) pada x = a adalah (2.1)
dan
merupakan turunan ke – k dari fungsi
pada x = a.
Teorema Taylor : memiliki
Asumsikan fungsi sembarang interval I yang mengandung a. Misalkan sedemikian sehingga untuk setiap
turunan dalam sebuah
adalah sebuah konstanta yang dipilih
berlaku, (2.2)
Maka, (2.3) dengan
adalah kesalahan / error dari
Dengan demikian: (2.4)
disebut sebagai deret Taylor. Berdasarkan persamaan (2.4), maka diperoleh: (2.5) (2.6)
Hampiran turunan pertama dapat diperoleh melalui persamaan (2.5) dan (2.6), yaitu: Beda Maju (Forward difference): (2.7)
Beda Mundur (Backward difference):
23 (2.8)
Beda Pusat (Central difference): (2.9)
Turunan kedua untuk central difference didapatkan dengan cara melakukan operasi penjumlahan pada persamaan (2.5) dan (2.6) dengan memotong deret sampai suku yang mengandung turunan kedua sebagai berikut:
+
(2.10)
2.8
Persamaan Diferensial Parsial Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial bagi fungsi
peubah banyak
. Orde dari persamaan diferensial parsial adalah turunan
tertinggi yang terdapat pada persamaan diferensial parsial tersebut. Solusi dari PDP merupakan fungsi
yang memenuhi persamaan diferensial tersebut untuk
suatu daerah pada bidang xy (Pudjaprasetya, 2012). Beberapa persamaan diferensial yang penting adalah sebagai berikut: 1. 2. 3. 4.
, adalah bentuk persamaan transport , adalah bentuk persamaan panas, persamaan difusi , adalah bentuk persamaan gelombang , adalah bentuk persamaan Laplace
Persamaan diferensial parsial dapat dikalsifikasikan berdasarkan tipenya. Dengan bentuk umum persamaan diferensial orde dua berikut, (2.11)
maka, tipe persamaan diferensial parsial adalah sebagai berikut:
24
2.9
1.
Eliptik, sebuah PDP dikatakan sebagai pdp eliptik jika,
2.
Parabolik, sebuah PDP dikatakan sebagai pdp parabolik jika,
3.
Hiperbolik, sebuah PDP dikatakan sebagai pdp hiperbolik jika,
Persamaan Difusi
f(u)
f(u)
u(x,t)
x
x + ∆x Gambar 2. 13 Ilustrasi Fick's Law
Perhatikan Gambar 2.13, dimisalkan saat t, fungsi
menyatakan suhu pada posisi x
dimisalkan sebagai fluks aliran panas. Persamaan difusi
(Pudjaprasetya, 2012) adalah persamaan tipe parabolik. Persamaan difusi berasal dari penurunan persamaan pada hukum Fick’s. Hukum Fick’s yang pertama menyatakan bahwa fluks energi berbanding lurus dengan gradien temperatur, yaitu: fluks = -KUx, sehingga persamaan difusi dapat ditulis menjadi Ut = KUxx dengan difusi
(2.12)
adalah heat conductivities dan U menyatakan temperatur. Konstanta k > 0 menyatakan koefisien penghantar panas. Dengan alternatif lain, persamaan difusi juga bisa didapat melalui formulasi
integral. Internal energi dari elemen batang adalah
, (2.13)
: rapat massa batang,
: Fluks
: specific heat
Batas kiri ( x ) dan batas kanan ( x + ∆x ) tidak bergerak sehingga,
25 (2.14)
(2.15)
Jika dilanjutkan dengan permisalan berlaku hukum Fick’s : f(u) = -KUx, dengan K > 0, maka u(x,t) memenuhi persamaan difusi Ut = KUxx
(2.16)
Selain sebagai pengatur masalah distribusi panas, persamaan panas juga merupakan persamaan pengatur proses melarutnya tinta dalam zat pelarut tertentu.
2.9.1
Persamaan Panas Kondisi Tunak (Steady State) Persamaan panas Steady state merupakan persamaan panas yang tidak
bergantung pada variabel waktu (
). Pada persamaan panas dua dimensi,
persamaan panas steady state (Mitra) adalah (2.17) dimana T menyatakan suhu yang dicari nilainya. Persamaan panas dalam kondisi steady ini disebut juga dengan persamaan Laplace. Dalam penelitian ini akan digunakan hanya persamaan panas untuk dua dimensi.
2.9.2
Persamaan Panas Transient (Unsteady State) Persamaan panas transient (Bloomberg) atau sering disebut kondisi unsteady
adalah persamaan panas yang terpengaruh pada variabel waktu (
). Persamaan
panas transient memiliki formula sebagai berikut (2.18) Dalam penelitian ini akan digunakan persamaan panas untuk kondisi transient dua dimensi. Persamaan panas untuk kondisi transient adalah sebagai berikut (2.19)
dengan α =
, dimana ρ adalah massa jenis, c adalah kapasitas kalor, dan k adalah
thermal conductivity.
26
2.10
Metode Ghost Point Untuk Domain Sembarang Domain sembarang adalah sebuah domain yang tidak beraturan. Pada domain
ini, skema untuk finite difference agak sedikit berbeda dibandingkan dengan domain yang teratur seperti bentuk segi empat. Pendekatan pada domain sembarang ini dikenal dengan metode Ghost-point (Albaiz, 2014), karena menggunakan titik diluar domain sebagai alat bantu untuk menghitung nilai di dalam domain sembarang.
Gambar 2. 14 Ghost-point pada skema beda pusat satu dimensi
Pada gambar 2.14, titik yang akan dicari nilainya dilambangkan dengan titik
dan titik
,
merupakan titik-titik yang masuk ke dalam skema central
difference satu dimensi, titik yang berada tepat pada garis batas (boundary) dilambangkan dengan
, sedangkan titik yang berada diluar batas disebut sebagai
ghost-point yang dilambangkan dengan
dan
.
Gambar 2. 15 Ghost-point pada skema beda pusat dua dimensi
Pada gambar 2.15, titik berwarna biru tua adalah titik yang akan dicari nilainya yang bergantung pada empat titik ghost-point yang berwarna abu-abu dan empat titik berwarna biru muda yang masuk ke dalam skema central difference dua dimensi.
27 Dalam mencari nilai pada titik yang kita tinjau, dibutuhkan juga nilai pada ghost-point yang tidak diketahui nilainya. Untuk mencari nilai dari ghost-point yang diperlukan, digunakan cara pendekatan ekstrapolasi. Terdapat empat macam pendekatan ekstrapolasi, yaitu: 1. Ekstrapolasi Konstan (Constant Extrapolation): Pada ekstrapolasi ini semua titik di luar domain memiliki nilai yang sama dengan nilai batas (boundary).
2. Ekstrapolasi Linear (Linear Extrapolation): Untuk mencari koefisien a dan b menggunakan sistem persamaan sebagai berikut (2.20)
,
3. Ekstrapolasi Quadratik (Quadratic Extrapolation): Koefisien a, b, dan c dapat dicari dengan mencari solusi dari sistem persamaan berikut ,
(2.21)
,
4. Ekstrapolasi Kubik (Cubic Extrapolation): Koefisien didapat dengan menyelesaikan sistem persamaan sebagai berikut ,
,
Dengan diketahuinya fungsi ekstrapolasi, maka dengan
dan
(2.22)
,
dan
dihampiri
. Kemudian nilai ini digunakan dalam
skema persamaan panas satu dan dua dimensi.
28
