BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1
Matriks
2.1.1 Pengertian Matriks
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan bilangan. Bilangan-bilangan dalalm susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks (Anton, 1988: 22). Jika sebuah matriks, maka akan meggunakan dalam baris
dan kolom
adalah
untuk menyatakan entri yang terdapat di
dari matriks
. Secara umum matriks dituliskan sebagai
berikut:
Matriks di atas disebut matriks berukuran baris dan
kali
(ditulis
) karena memiliki
kolom.
Contoh: , matriks
berukuran
.
Universitas Sumatera Utara
7
2.1.2 Penjumlahan Matriks
Jika
dan
adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah
adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat dijumlahkan (Howard Anton, 1988 : 23).
Contoh : Misalkan
dan
Maka
2.1.3 Perkalian Matriks
Jika
adalah matriks
matriks
dan
adalah matriks
, maka hasil kali
adalah
yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam
baris- dan kolom- dari
, pilihlah baris- dari matriks
dan kolom- dari matriks
.
Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan (Anton, 1988 :25).
Contoh : Diketahui
, dan
Tinjaulah perkalian matriks adalah matriks berukuran
dan
. Karena
maka hasil kali
adalah matriks berukuran adalah matriks
dan
. Perhitungan-
perhitungan untuk hasil kali adalah:
Universitas Sumatera Utara
8
Jadi, diperoleh
.
2.1.4 Perkalian Matriks Dengan Bilangan
Jika
adalah suatu matriks dan
adalah suatu bilangan, maka hasil kali (product)
adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing entri dari Dalam hal ini ditulis
. Khususnya dengan
diartikan matriks yang diperoleh dari
oleh .
yang disebut negatif dari ,
dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan
atau cukup dengan mengubah tanda semua elemennya.
Contoh : Diketahui matriks
Maka
2.2
dan
Masalah Transportasi
Model transportasi merupakan kasus khusus dari persoalan program linear dengan tujuan untuk mengangkut barang tunggal dari berbagai asal (origin) ke berbagai tujuan (destination) dengan biaya angkut serendah mungkin (Taha, 1996). Adanya informasi tentang besar kapasitas tiap tiap asal, permintaan total masing-masing tempat tujuan, dan biaya pengiriman per unit barang untuk lintasan yang dimungkinkan, maka model
Universitas Sumatera Utara
9
transportasi digunakan untuk menentukan program pengiriman optimal yang melibatkan biaya pengiriman total yang minimum.
Model transportasi adalah suatu kasus khusus dari persoalan program linear, berarti model transportasi memiliki ciri khas yang dimiliki pula oleh masalah program linear, yaitu: 1. Fungsi objektif (tujuan) yang linear
Struktur persyaratan linear Setiap persoalan program linear memiliki sekumpulan persyaratan linear,yaitu:
2. Persyaratan tidak negatif Variabel struktur dan variabel slack masalah program linear terbatas pada nilai tidak negative, ditulis:
Koefisien
bernilai 1 atau 0
ialah koefisien variabel struktur.
Dalam arti sederhana, model transportasi berusaha menentukan rencana transportasi sebuah barang dari sejumlah sumber ke sejumlah tujuan. Data dalam model ini mencakup: 1. Tingkat penawaran di setiap sumber dan jumlah permintaan di setiap tujuan. 2. Biaya transportasi per unit barang dari setiap sumber ke setiap tujuan.
Karena hanya
terdapat
suatu barang, sebuah
tujuan dapat menerima
permintaannya dari suatu sumber atau lebih. Tujuan dari model ini adalah menentukan
Universitas Sumatera Utara
10
jumlah yang harus dikirim dari setia sumber ke setiap tujuan sedemikian rupa sehingga biaya transportasi total diminimumkan. Asumsi dasar dari model ini adalah bahwa biaya transportasi di sebuah rute tertentu adalah proporsional secara langsung dengan jumlah unit yang dikirimkan. Defenisi “unit transportasi” akan bervariasi bergantung pada jenis “barang” yang dikirimkan.
Gambar dibawah ini memperlihatkan sebuah model transportasi dari sebuah jaringan dengan
sumber dan
tujuan. Sebuah sumber dan tujuan diwakili dengan
sebuah node. Busur yang menghubungkan sebuah sumber dan sebuah tujuan mewakili rute pengiriman barang tersebut. Jumlah penawaran di sumber di tujuan adalah
Anggap
adala
dan permintaan
. Biaya unit transportasi antara sumber dan adalah
.
mewakili jumlah barang yang dikirimkan dari sumber
ke tujuan ,
maka model LP yang mewakili masalah transportasi ini diketahui secara umum sebagai berikut:
Sumber
Tujuan : 1 1
Unit penawaran
2
2
m
unit permintaan
n :
Minimumkan:
Dengan batasan:
Universitas Sumatera Utara
11
Kelompok batasan pertama menetapkan bahwa jumlah pengiriman dari sebuah sumber tidak dapat melebihi penawarannya. Demikian pula kelompok batasan kedua mengharuskan bahwa jumlah pengiriman ke sebuah tujuan harus memenuhi permintaannya. Model yang baru digambarkan diatas menyiratkan bahwa penawaran total harus setidaknya sama dengan permintaan total sama dengan permintaan total (
=
. Ketika penawaran total
), formulasi yang dihasilkan disebut
Model Transportasi Berimbang (balanced transportation model). Model ini berbeda dengan model di atas hanya dalam fakta bahwa semua batasan adalah persamaan yaitu:
Dalam kehidupan nyata tidak selalu dapat dipastikan bahwa penawaran sama dengan permintaan atau melebihinya. Tetapi sebuah model transportasi dapat selalu berimbang. Pengimbangan ini disamping kegunaanya dalam pemodelan situasi praktis tertentu, penting untuk pengembangan sebuah metode pemecahan sepenuhnya memanfaatkan struktur khusus dari model transportasi ini.
Untuk mendapat gambaran yang jelas tentang model transportasi akan ditampilkan contoh persoalan berikut. Sebuah perusahaan memiliki tiga pabrik di luar kota dan menghasilkan barang yang sama. Produksi ketiga pabrik ini di sebarkan ke empat toko penjualan. Tiga pabrik ditandai dengan tempat penyaluran barang ini ditandai dengan
. Sedangkan toko . Data relevan tentang
kapasitas pabrik maupun permintaan pelanggan dan biaya pengiriman tiap rute ditampilkan dalam tabel berikut.
Universitas Sumatera Utara
12
Tabel 2.1 Model Transportasi Destination (Tujuan) Asal
Kapasitas Asal
Permintaan Tujuan
Matriks persoalan transportasi ini memiliki 3 baris dan 4 kolom.
Dalam menyelesaikan permasalahan transportasi dibutuhkan persyaratan sebagai berikut:
, yang merupakan persyaratan yang
harus dipenuhi. Dalam tabel perlu diperhatikan bahwa subskrip pertama disetiap simbol menunjukkan asal tertentu dan subkrip kedua menunjukkan tujuan tertentu. Misalkan adalah biaya pengangkutan 1 unit barang dari unit barang yang diangkut
Jika
ke
ke
, dan variabel
ialah banyak
.
adalah banyak baris dan
adalah banyak kolom dalam persoalan
transportasi, maka dapat dinyatakan persoalan secara lengkap dengan persamaan. Jika persyaratan
dipenuhi, maka selalu mungkin untuk menyusun
penyelesaian dasar awal. Ini berarti banyak sel yang terisi dalam program transportasi kurang dari banyaknya baris dan kolom dalam matriks transportasi. Jika banyaknya sel terisi kurang dari
, maka persoalan transportasi mengalami kemerosotan
(Soemartojo, 1994: 295)
Universitas Sumatera Utara
