BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Penentuan Waktu Pengamatan Secara Acak Berulang kali telah disebutkan bahwa kunjungan-kunjungan untuk melakukan pengamatan dilakukan dalam waktu-waktu yang ditentukan secara acak. Untuk itu, biasanya satu hari kerja dibagi kedalam satu-satuan waktu yang besarnya ditentukan oleh pengukur. Biasanya panjang satu-satuan waktu tidak terlalu singkat dan juga tidak terlalu panjang. Berdasarkan satu-satuan waktu inilah, jam kunjungan dapat ditentukan dengan menggunakan tabel acak/random. Langkah-langkah yang harus dilakukan untuk menentukan waktu pengamatan adalah: •
Menentukan panjang satu-satuan waktu pengamatan yang diinginkan (artinya sekali pengamatan dilakukan selama selang waktu yang telah ditentukan tersebut), misalnya 5 menit.
•
Menghitung panjang satu-satuan waktu yang dibutuhkan selama satu hari kerja. Jika satu hari kerja selama tujuh jam, artinya dalam sehari ada
7 * 60 = 84satu − satuan _ waktu . Artinya, jumlah kunjungan per hari 5 tidak boleh lebih dari 84 kali kunjungan. •
Penentuan jumlah kunjungan per hari yang diinginkan oleh pengukur. Misalnya 36 kali kunjungan.
•
Lalu, dengan menggunakan tabel bilangan acak/random, dapat ditentukan jam-jam kunjungan. Cara melihat angka pada tabel bilangan acak/random adalah dengan mengikuti dua-dua sampai 36 kali dan harus memenuhi syarat bahwa pasangan-pasangan dua buah angka tersebut besarnya tidak lebih dari 84 dan tidak boleh terjadi pengulangan.
•
Misalkan angka yang didapat dari tabel bilangan acak/random adalah 39, 65,75,dst. Jika jam kerja dimulai pukul 8.00 dan berakhir pukul 16.00, maka untuk mendapatkan waktu/jam pastinya adalah dengan cara 39 x 5 menit (panjang satu-satuan waktu yang telah ditentukan) = 195 menit (3 jam 15 menit). Maka, kunjungan pertama adalah pada pukul 8.00 + 3 jam 15 menit = pukul 11.15. Begitu seterusnya sampai selesai jumlah pengamatan yang dibutuhkan.
2.2 Distribusi Probabilitas
Ada 2 jenis distribusi probabilitas yaitu: •
Continuous (untuk data variabel) Apabila karakteristik yang diukur dapat membicarakan berbagai nilai (ketepatan pengukuran proses), distribusi probabilitasnya disebut distribusi probabilitas continuous (continuous probability distribution). Ada berbagai bentuk distribusi probabilitas yang biasa digunakan, misalnya distribusi probabilitas
normal,
distribusi
probabilitas
eksponensial,
distribusi
probabilitas beta dan distribusi probabilitas weibull. Distribusi probabilitas ini menemukan hal-hal yang berkaitan dengan kejadian-kejadian dari nilai-nilai karakteristik yang sesungguhnya. Sedangkan distribusi probabilitas yang sama adalah t, F dan Chi Square yang digunakan dalam analisis data tetapi tidak membantu secara langsung dalam memprediksi probabilitas terjadinya nilainilai yang sesungguhnya. •
Discrete (untuk data atribut) Apabila karakteristik yang diukur hanya membicarakan nilai-nilai tertentu (misalnya 0,1,2,3), distribusi probabilitasnya disebut dengan distribusi probabilitas discrete (discrete probability distribution). Sebagai contoh, distribusi untuk banyaknya kesalahan pada sampel yang berisi 5 unit merupakan distribusi probabilitas discrete karena kesalahan hanya 0,1,2,3,4 atau 5. Distribusi probabilitas discrete ada 2 jenis yaitu distribusi poisson dan binomial.
Beberapa distribusi probabilitas yang sering digunakan yaitu: 1. Distribusi Seragam 1 ,a ≤ x ≤ b b−a X −a Fx ( X ) = ,0 ≤ X ≤ b b−a b+a mean = 2 (b − a) 2 var ians = 12 f ( x) =
2. Distribusi Eksponensial Negatif Distribusi probabilitas normal dan eksponensial memiliki bentuk yang berbeda. Pada distribusi probabilitas eksponensial, daerah yang berada di bawah rata-rata lebih besar daripada yang berada di atas rata-rata. Kurva eksponensial juga digunakan dalam penjelasan distribusi kegagalan waktu yang kompleks. Yang sangat menarik dari distribusi eksponensial adalah deviasi standar sama dengan rata-rata. f ( x) = µe − µx , x > 0, µ > 0 Fx ( X ) = 1 − e − µX , X > 0 mean =
1
µ
var ians =
1
µ2
3. Distribusi Erlang dan Gamma Jika parameter bentuk α adalah sebuah integer positif, distribusi ini disebut Erlang. Jika tidak, nilai-nilai noninteger dari α mendefinisikan distribusi
gamma yang umum. Distribusi gamma adalah penjumlahan α independen dan
merupakan eksponensial yang didistribusikan secara identik dengan mean 1/µ.. 4. Distribusi Normal Pada distribusi ini, nilai Fx(X) tidak memiliki bentuk tertutup. Oleh karena itulah, tabel normal biasanya diberikan untuk kasus standar dengan mean nol dan deviasi standar 1. Konversi dari setiap variabel acak normal x ke normal standar dilakukan dengan menggunakan rumus z =
x−µ
σ
. Konversi ini
memungkinkan penggunaan tabel normal standar dengan setiap variabel acak normal. Distribusi ini sering digunakan untuk melakukan perkiraan atau prediksi. Prediksi tersebut menghendaki adanya 2 perkiraan yaitu perkiraan µ adalah x dan perkiraan σ adalah s dan sebuah tabel. Ciri-ciri distribusi normal adalah: •
Kurvanya mempunyai puncak tunggal
•
Kurvanya berbentuk seperti lonceng
•
Rata-rata terletak di tengah distribusi dan distribusinya simetris di sekitar garis tegak lurus yang ditarik melalui rata-rata
•
Kedua ekor kurva memanjang tak terbatas dan tak pernah memotong sumbu horisontal
5. Distribusi Lognormal Sebuah variabel acak x dikatakan mengikuti fungsi kepadatan lognormal jika, dan hanya jika, Ln x mengikuti distribusi normal dengan mean µ dan varians σ². 6. Distribusi Weibull Fungsi kepadatan Weibull serupa dengan fungsi gamma untuk berbagai parameter α. Untuk α = 1, fungsi kepadatan Weibull menjadi fungsi eksponensial negatif. Distribusi ini mempunyai formula: y = αβ ( X − γ ) β −1 e −α ( X −γ ) β Di mana: α = parameter skala β = parameter bentuk γ = parameter lokasi kurva distribusi Weibull ini akan bervariasi tergantung pada nilai-nilai numerik parameter-parameternya. Yang terpenting adalah parameter bentuk β yang menunjukkan model kurva. Dalam praktik, β bervariasi dari sekitar 1/3 sampai 5. Sementara itu, skala parameter α berkaitan dengan puncak kurva. Apabila α berubah, maka kurva akan menjadi lebih datar atau lebih memuncak. Sedangkan parameter lokasi γ adalah nilai terkecil yang paling mungkin untuk X. Nilai ini sering diasumsikan dengan 0, karena akan menyederhanakan persamaan tersebut.
7. Distribusi Beta Variabel acak beta hanya didefinisikan dalam kisaran (0,1) saja. Transformasi di sepanjang kisaran (a,b) dapat diberlakukan dengan menggunakan hubungan
y = a + (b − a) x. Distribusi ini bersifat serba guna yang dapat memiliki berbagai bentuk. Setiap kegiatan diasumsikan memberikan tiga kemungkinan waktu penyelesaian, yaitu: •
Optimistic time (a) adalah waktu terpendek untuk menyelesaikan kegiatan. Probabilitas waktu penyelesaian lebih pendek dari waktu ini sangat kecil.
•
Most Likely Time (m) adalah waktu yang paling mungkin untuk menyelesaikan kegiatan. Jika kegiatan macam ini berulang kali terjadi, ini merupakan waktu yang paling sering terjadi.
•
Pessimistic time (b) adalah waktu terlama untuk menyelesaikan kegiatan. Probabilitas waktu penyelesaian lebih panjang dari waktu ini sangat kecil.
Ciri-ciri distribusi beta adalah bermodus (berpuncak) tunggal, kontinu dan dapat berbentuk simetrik maupun condong ke kiri atau ke kanan. 8. Distribusi Segitiga Distribusi segitiga didefinisikan setelah ketiga parameter a, b, c (a ≤ b ≤ c) diketahui. Hal ini membuat distribusi ini terutama berguna sebagai aproksimasi awal dari situasi di mana data yang andal tidak tersedia.
9. Distribusi Poisson Distribusi Poisson menggambarkan variabel acak diskrit. Oleh karena itu, kita menggunakan p(x) dan Px(X) sebagai pengganti f(x) dan Fx(X) yang digunakan dalam distribusi kontinu. Distribusi ini digunakan dalam model antrian
untuk
menjabarkan
jumlah
pemunculan
(kedatangan
atau
keberangkatan) dalam satu periode waktu tertentu, di mana λ akan mewakili jumlah pemunculan per unit waktu. Distribusi ini juga digunakan dalam menghitung probabilitas yang berkaitan dengan prosedur pengambilan sampel.
2.3 Antrian 2.3.1 Teori Antrian
Antrian adalah kejadian yang sering dijumpai dalam kehidupan seharihari. Antrian dapat dilihat dalam berbagi situasi yang terjadi sehari-hari, seperti : •
Kendaraan yang menunggu pada traffic light
•
Pelanggan menunggu pada checkout cashier di supermarket
•
Pasien yang menunggu di suatu klinik kesehatan
•
Pesawat terbang menunggu untuk take off di pelabuhan udara
•
Kapal laut menunggu untuk merapat ke dermaga
•
Mesin industri yang menunggu perbaikan dari montir ahli
•
Program software menunggu untuk diproses pada computer
•
Tumpukan surat yang menunggu untuk diketik sekretaris, dll. Analisis antrian pertama kali diperkenalkan oleh A.K. Erlang (1913)
yang mempelajari fluktuasi permintaan fasilitas telepon dan keterlambatan pelayanannya. Analisis antrian memberikan informasi probabilitas yang dinamakan Operating Characteristics, yang dapat membantu pengambil keputusan dalam merancang fasilitas pelayanan antrian untuk mengatasi permintaan pelayanan yang fluktuatif secara random dan menjaga keseimbangan antara biaya pelayanan dan biaya menunggu. Tujuan sebenarnya dari teori antrian adalah meneliti kegiatan dari fasilitas pelayanan dalam rangkaian kondisi random dari suatu sistem antrian yang terjadi. Untuk itu, pengukuran yang logis akan ditinjau dari 2 bagian yaitu: •
Berapa lama para pelanggan harus menunggu, yang dalam hal ini dapat diuraikan melalui waktu rata-rata yang dibutuhkan oleh pelanggan untuk menunggu hingga mendapatkan pelayanan.?
•
Berapa persenkah dari waktu yang disediakan untuk memberikan pelayanan itu fasilitas pelayanan dalam kondisi menganggur?
Sehingga dapat dibayangkan bahwa bila pelanggan membutuhkan waktu menunggu yang cukup lama maka akan diperoleh angka persentase
menganggur yang kecil, yang berarti sama sekali tidak ada waktu menganggur pada pelayanan tersebut. Proses antrian dimulai saat pelanggan-pelanggan yang memerlukan pelayanan mulai datang. Mereka berasal dari suatu populasi yang disebut Sumber Masukan. Sumber masukan dari suatu sistem antrian dapat terdiri
atas suatu populasi orang, barang, komponen atau kertas kerja yang datang pada sistem untuk dilayani. Proses antrian sendiri merupakan suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan pelanggan pada suatu fasilitas pelayanan, menunggu dalam baris antrian jika belum dapat dilayani, dilayani dan akhirnya meninggalkan fasilitas tersebut sesudah dilayani. Sebuah sistem antrian adalah suatu himpunan pelanggan, pelayan dan suatu aturan yang mengatur pelayanan kepada pelanggan. Sedangkan keadaan sistem menunjuk pada jumlah pelanggan yang berada dalam suatu fasilitas pelayanan, termasuk dalam antriannya. Salah satu populasi adalah jumlah pelanggan yang datang pada fasilitas pelayanan. Besarnya populasi merupakan jumlah pelanggan yang memerlukan pelayanan. Dalam proses antrian, banyaknya populasi dibedakan menjadi 2 yaitu populasi terbatas (finite) dan populasi tidak terbatas (unfinite). Populasi terbatas dapat ditemukan pada suatu perusahaan yang mempunyai sejumlah mesin yang memerlukan perawatan atau perbaikan pada periode tertentu. Populasi yang tidak terbatas merupakan pelanggan yang tidak terhingga
contohnya dapat dilihat pada suatu supermarket yang setiap hari melayani pelanggan yang datang secara random dan tidak dapat ditentukan dengan pasti.
2.3.2 Komponen Proses Antrian
Dalam sistem antrian, ada 5 komponen dasar yang harus diperhatikan agar penyedia fasilitas pelayanan dapat melayani para pelanggan yang berdatangan, yaitu: •
Bentuk kedatangan pelanggan (pola kedatangan) Cara dengan mana individu-individu dari populasi memasuki sistem disebut pola kedatangan (arrival pattern). Individu-individu mungkin datang dengan tingkat kedatangan (arrival rate) yang konstan ataupun acak/random (yaitu berapa banyak individu-individu per periode waktu). Bentuk kedatangan para pelanggan biasanya diperhitungkan melalui waktu antar kedatangan, yaitu waktu antara kedatangan dua pelanggan yang berurutan pada suatu fasilitas pelayanan. Bentuk ini dapat bergantung maupun tidak pada jumlah pelanggan yang berada dalam sistem. Distribusi probabilitas yang sering digunakan adalah distribusi Poisson, di mana kedatangan bersifat bebas, tidak terpengaruh oleh kedatangan sebelum ataupun sesudahnya. Asumsi distribusi Poisson
menunjukkan bahwa kedatangan pelanggan sifatnya acak dan mempunyai rata-rata kedatangan sebesar lamda (λ). Bila pola kedatangan individu-individu mengikuti suatu distribusi Poisson, maka waktu antarkedatangan atau interarrival time (yaitu waktu antar kedatangan setiap individu) adalah random dan mengikuti suatu distribusi eksponensial. •
Bentuk fasilitas pelayanan Bentuk pelayanan ditentukan oleh waktu pelayanan, yaitu waktu yang dibutuhkan untuk melayani pelanggan pada fasilitas pelayanan. Besaran ini dapat bergantung pada jumlah pelanggan yang telah berada di dalam fasilitas pelayanan ataupun tidak bergantung pada keadaan tersebut. Pelayanan dapat dilakukan dengan satu atau lebih fasilitas pelayanan yang masing-masing dapat mempunyai satu atau lebih saluran atau tempat pelayanan yang disebut dengan servers. Apabila terdapat lebih dari satu fasilitas pelayanan maka pelanggan dapat menerima pelayanan melalui suatu urutan tertentu atau fase tertentu. Bentuk pelayanan dapat konstan dari waktu ke waktu. Rerata pelayanan (mean server rate) diberi simbol µ merupakan jumlah pelanggan yang dapat dilayani dalam satuan waktu, sedangkan rerata
waktu yang digunakan untuk melayani setiap pelanggan diberi simbol 1/µ unit (satuan). •
Jumlah pelayan atau banyaknya tempat service
•
Kapasitas fasilitas pelayanan untuk menampung para pelanggan Kapasitas sistem adalah jumlah maksimum pelanggan, mencakup yang sedang dilayani dan yang berada dalam antrian, yang dapat ditampung oleh fasilitas pelayanan pada saat yang sama. Sebuah sistem yang tidak membatasi jumlah pelanggan di dalam fasilitas pelayanannya dikatakan memiliki kapasitas tak terhingga, sedangkan suatu sistem yang membatasi jumlah pelanggan yang ada di dalam fasilitas pelayanannya dikatakan memiliki kapasitas yang terbatas.
•
Disiplin antrian yang mengatur pelayanan kepada para pelanggan sejak pelanggan itu datang sampai pelanggan tersebut meninggalkan tempat pelayanan.
Inti dari analisis antrian adalah antri itu sendiri. Timbulnya antrian tergantung dari sifat kedatangan dan proses pelayanan. Penentu antrian lain yang penting adalah disiplin antri. Disiplin antrian adalah aturan dalam mana para pelanggan dilayani, atau disiplin pelayanan yang memuat urutan para pelanggan menerima layanan. Aturan pelayanan menurut urutan kedatangan ini dapat didasarkan pada :
1. Pertama Masuk Pertama Keluar (FIFO) FIFO (First In First Out) merupakan suatu peraturan di mana yang akan dilayani terlebih dahulu adalah pelanggan yang datang terlebih dahulu. FIFO ini sering juga disebut FCFS (First Come First Served). Contohnya dapat dilihat pada antrian di loket-loket penjualan karcis kereta api. 2. Yang Terakhir Masuk, Pertama Keluar (LIFO) LIFO (Last In First Out) merupakan antrian di mana yang datang paling akhir adalah yang dilayani paling awal atau terlebih dahulu. LIFO ini sering juga disebut LCFS (Last Come First Served). Contohnya adalah pada sistem bongkar muat di dalam truk, di mana barang yang masuk terakhir justru akan keluar terlebih dahulu. 3. Pelayanan dalam Urutan Acak (SIRO) SIRO (Service In Random Order) adalah pelayanan yang dilakukan secara acak. Sering juga dikenal sebagai RSS (Random Selection For Serviced). Contohnya adalah pada arisan, di mana pelayanan dilakukan berdasarkan undian (random). 4. Pelayanan Berdasarkan Prioritas (PRI) Adalah sebuah bentuk pelayanan di mana pelayanan yang dilakukan didasarkan pada prioritas khusus. Contohnya, dalam suatu pesta di
mana tamu-tamu yang dikategorikan VIP akan dilayani terlebih dahulu. 2.3.3 SISTEM DAN STRUKTUR ANTRIAN 2.3.3.1 Sistem-sistem antrian
Pada umumnya, sistem antrian dapat diklasifikasikan menjadi sistem yang berbeda-beda di mana teori antrian dan simulasi sering diterapkan secara luas. Klasifikasi menurut Hillier dan Lieberman adalah: •
Sistem pelayanan komersial Merupakan aplikasi yang sangat luas dari model-model antrian seperti restoran, cafeteria, toko-toko, butik, supermarket, dll.
•
Sistem pelayanan bisnis-industri Mencakup lini produksi, sistem material handling, sistem penggudangan dan sistem-sistem informasi komputer.
•
Sistem pelayanan transportasi
•
Sistem pelayanan sosial Merupakan sistem-sistem pelayanan yang dikelola oleh kantorkantor dan jawatan-jawatan lokal maupun nasional seperti kantor tenaga kerja, kantor registrasi SIM dan STNK, kantor pos, rumah sakit, puskesmas, dll.
2.3.3.2 Struktur Dasar Proses Antrian
Banyaknya saluran (channel) dalam proses antrian adalah jumlah pelayanan pararel yang tersedia/jumlah jalur untuk memasuki sistem pelayanan/jumlah fasilitas pelayanan, sedangkan banyaknya tahap (phase) menunjukkan jumlah pelayanan berurutan yang harus dilalui oleh setiap kedatangan. Proses antrian pada umumnya dikelompokkan ke dalam 4 struktur dasar menurut sifat-sifat fasilitas pelayanannya, yaitu: •
Satu Saluran Satu Tahap (Single Channel – Single Phase) Struktur antrian ini adalah struktur yang paling sederhana. Single Channel artinya hanya ada satu jalur untuk memasuki sistem pelayanan (ada satu fasilitas pelayanan), Single Phase menunjukkan bahwa hanya ada satu station pelayanan atau sekumpulan tunggal operasi yang dilaksanakan, setelah menerima pelayanan, individu-individu keluar dari sistem. Contoh struktur ini adalah seorang tukang cukur, pembelian tiket kereta api yang dilayani oleh 1 loket, seorang pelayan toko.
Gambar 2.1 Gambar Struktur Dasar Antrian Single Channel – Single Phase
•
Banyak Saluran Satu Tahap (Multi Channel – Single Phase) Sistem Multi Channel – Single Phase terjadi bila ada 2 atau lebih fasilitas pelayanan yang dialiri oleh antrian tunggal. Contohnya adalah pembelian tiket yang dilayani oleh lebih dari satu loket pelayanan, pelayanan pemotongan rambut oleh beberapa tukang potong, dll.
Gambar 2.2 Gambar Struktur Dasar Antrian Multi Channel – Single Phase
•
Satu Saluran Banyak Tahap (Single Channel – Multi Phase) Multi Phase menunjukkan adanya dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan. Contohnya lini produksi massa, pencucian mobil, tukang cat mobil, dll.
Gambar 2.3 Gambar Struktur Dasar Antrian Single Channel – Multi Phase •
Banyak Saluran Banyak Tahap (Multi Channel – Multi Phase) Setiap sistem ini mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap, sehingga lebih dari satu individu dapat dilayani pada suatu waktu. Contohnya, proses registrasi para mahasiswa di universitas, pelayanan kepada pasien di rumah sakit dari pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai pembayaran.
Gambar 2.4 Gambar Struktur Dasar Antrian Multi Channel – Multi Phase
2.3.4 Notasi Kendall
Dalam mengelompokkan model-model antrian yang berbeda-beda akan digunakan suatu notasi yang disebut Kendall’s Notation. Notasi ini sering digunakan karena beberapa alasan yaitu karena notasi merupakan alat yang efisien untuk mengidentifikasi model-model antrian dan asumsi-asumsi yang harus dipenuhi. Selain itu, hampir semua buku (literature) yang membahas teori antrian menggunakan notasi ini. Kendall’s Notation : (a/b/c):(d/e/f) Di mana: a = distribusi kedatangan (arrival distribution) b = distribusi tingkat pelayanan (distribusi keberangkatan atau waktu pelayanan) untuk a dan b, M menunjukkan distribusi Poisson Ek menunjukkan distribusi Erlang D menunjukkan konstanta atau deterministik atau konstan c = banyaknya atau jumlah pelayanan pararel dalam sistem d = disiplin antri pelayanan, seperti FCFS, LCFS, prioritas atau random e = jumlah maksimum pengantri dalam sistem f = jumlah sumber kedatangan (jumlah pelanggan yang ingin memasuki sistem sebagai sumber)
untuk notasi e dan f, hanya ada 2 kemungkinan yaitu terbatas (F) dan tidak terbatas (I) Dengan Notasi Kendall tersebut, ada empat model yang paling sering muncul yaitu: •
Model 1: M/M/1/FCFS/I/I 9
Probabilitas n pengantri dalam sistem Pn = (1 − R) R n , dim ana _ R = λ / µ ≤ 1 _ dan _ n = 0,1,2,...
9
Probabilitas k atau lebih pengantri dalam sistem
Pn ≥ k = R k 9
Rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem ∞
L = ∑ nPn = n=0
9
Rata-rata banyaknya pengantri yang sedang antri/dalam antrian Lq =
9
R2 1− R
Rata-rata waktu menunggu dalam sistem (antri + pelayanan) W =
9
R 1− R
1 µ −λ
Rata-rata waktu antri Wq =
λ µ (µ − λ )
9
Proporsi waktu nganggur pelayan (tidak ada pengantri) Pa _ atau _ I = 1 − R
•
Model 2: M/M/S/FCFS/I/I 9
Proporsi waktu nganggur pelayan (tidak ada pengantri) Po =
9
9
(λ / µ ) (λ / µ ) c + n! c!(1 − λ / cµ ) n=0
∑
Pn =
(λ / µ ) n Po , jika _ n ≤ c n!
Pn =
(λ / µ ) n Po , jika _ n > c c!c n − c
Rata-rata banyaknya pengantri yang sedang antri/dalam antrian Po (λ / µ ) c λ / cµ c!(1 − λ / cµ ) 2
Rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem L = Lq +
9
λ µ
Rata-rata waktu antri Wq =
9
n
Probabilitas n pengantri dalam sistem
Lq = 9
1 c −1
Lq
λ
Rata-rata waktu menunggu dalam sistem (antri + pelayanan) W = Wq +
1
µ
•
Model 3: M/M/1/FCFS/I/F 9
Probabilitas n pengantri dalam sistem ⎡ 1 − (λ / µ ) ⎤ Pn = ⎢ (λ / µ ) n Q +1 ⎥ ⎣1 − (λ / µ ) ⎦
9
Rata-rata banyaknya pengantri yang sedang antri/dalam antrian ⎡1 − Q(λ / µ )Q −1 + (Q − 1)(λ / µ )Q ⎤ Lq = (λ / µ ) 2 ⎢ ⎥ (1 − λ / µ ) 1 − (λ / µ )Q ⎣ ⎦
[
9
]
Rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem ⎡1 − Q(λ / µ ) Q −1 + (Q − 1)(λ / µ ) Q ⎤ Lq = ( λ / µ ) 2 ⎢ ⎥ Q +1 ⎣ [1 − (λ / µ )]1 − (λ / µ ) ⎦
[
•
]
Model 4: M/M/S/FCFS/F/I Model ini hampir sama dengan model 2, bedanya model ini memiliki sumber populasi yang terbatas. Contohnya, sejumlah mesin-mesin dalam suatu departemen produksi yang rusak atau memerlukan penyesuaian atau sejumlah pasien dalam suatu rumah sakit yang memerlukan tipetipe perawatan tertentu. Contoh ini merupakan sistem yang mempunyai jumlah individu terbatas yang memerlukan pelayanan. Karena formula antrian dengan populasi terbatas sulit untuk dipecahkan, maka dibutuhkan tabel-tabel antrian terbatas. Oleh karena itu, ada beberapa variabel yang perlu diketahui yaitu: U = waktu rata-rata antar kedatangan per unit
T = waktu rata-rata pelayanan per unit H = jumlah rata-rata yang sedang dilayani J = jumlah rata-rata unit yang sedang beroperasi N = jumlah unit dalam populasi M = jumlah channel pelayanan X = Faktor Pelayanan/proporsi waktu pelayanan yang diperlukan D = probabilitas bahwa suatu kedatangan harus menunggu F = faktor efisiensi menunggu dalam garis (antrian) 9
Faktor Pelayanan/proporsi waktu pelayanan yang diperlukan (X) T T +U
X = 9
Rata-rata waktu antri Wq = N (1 − F )
9
Rata-rata waktu menunggu dalam sistem (antri + pelayanan) W = N − J = Wq + H
9
Rata-rata banyaknya pengantri yang sedang antri/dalam antrian Lq =
9
Wq (T + U ) N − Wq
Rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem
L=
Wq (T + U ) N − Wq
+T
9
Jumlah rata-rata yang sedang dilayani (H) H = FNX
9
Jumlah rata-rata unit yang sedang beroperasi (J)
J = NF (1 − X )
2.3.5 Minimasi Biaya
Kebanyakan analisis masalah antrian akhirnya sampai pada pertanyaan bagaimana merancang fasilitas pelayanan atau berapa tingkat pelayanan yang seharusnya disediakan. Jika variabel keputusannya adalah tingkat pelayanan, maka model harus mengidentifikasi hubungan antara tingkat pelayanan dengan parameter dan variabel-variabel yang relevan. Kriteria evaluasi keputusan dari model ini adalah total expected cost, yang merupakan jumlah dari dua biaya yang berlainan yaitu biaya pelayanan dan biaya menunggu. Jadi jelas bahwa tingkat pelayanan yang disarankan adalah yang menyebabkan total expected cost terendah. Namun, tidak berarti analisis ini dapat menentukan biaya total terendah secara tepat sebab operating characteristics yang diperoleh hanya merupakan angka rata-rata sehingga tidak pasti. Dengan demikian, analisis antrian bukan suatu teknik optimasi melainkan hanya penyedia informasi. Umumnya terdapat hubungan terbalik antara tingkat pelayanan dan waktu menunggu. Walaupun biaya menunggu mungkin dapat dikurangi
dengan menambah fasilitas pelayanan, tetapi hal ini akan menaikkan biaya penyediaan pelayanan. Biaya pelayanan dapat mencakup biaya tetap investasi awal dalam peralatan atau fasilitas, biaya pemasangan dan latihan bagi karyawan, biaya-biaya variabel seperti gaji karyawan dan pengeluaran tambahan untuk pemeliharaan. Selain itu, jika tingkat pelayanan bertambah, waktu menganggur pelayan diperkirakan juga bertambah yang berarti suatu kenaikan dalam opportunity cost karena tidak mengalokasikan pelayan ke kegiatan produktif yang lain. Ternyata, dalam keadaan sebenarnya sulit menyatakan secara eksplisit biaya menunggu per unit waktu. Biaya menunggu dapat diduga secara sederhana sebagai biaya kehilangan keuntungan bagi pengusaha, atau biaya turunnya produktivitas bagi pekerja, biaya kehilangan penjualan, biaya kehilangan langganan, tingkat persediaan yang berlebihan, kehilangan kontrak, kemacetan sistem atau kehilangan kepercayaan dalam manajemen. Dalam kasus-kasus tertentu, seperti bila individu yang menunggu berasal dari sistem internal (misal, persediaan atau karyawan) biaya menunggu dapat langsung diukur. Tetapi dalam kasus-kasus lain, biaya menunggu dapat menjadi sangat sulit ditentukan (misal biaya langganan yang menunggu).
Rumus Total Expected Cost of Service per periode waktu → E (Cs ) adalah E (Cs ) = Scs . Di mana : S = jumlah server (fasilitas pelayanan) cs = biaya pelayanan/biaya menambah jumlah server yang digunakan (biaya pelayanan per satuan waktu per fasilitas pelayanan) Rumus Total Expected Waiting Cost per periode waktu → E (Cw ) adalah E (Cw ) = nt cw . Di mana : nt = jumlah pelanggan/individu yang mengantri dalam antrian yang diharapkan/dalam sistem. cw = biaya menunggu per satuan waktu per fasilitas pelayanan Rumus Total Expected Cost per periode waktu yang digunakan adalah: E (Ct ) = E (Cs ) + E (Cw ) = Scs + nt cw
Apabila Total Expected Cost of Service, Total Expected Waiting Cost dan Total Expected Cost digambarkan dalam satu buah grafik, maka ketiga biaya tersebut akan membentuk grafik seperti grafik ordering, carrying dan total costs yang merupakan fungsi dari jumlah order (grafik inventory) seperti di bawah ini :
Gambar 2.5 Grafik Ordering Cost, Carrying Cost dan Total Costs sebagai Fungsi Dari Jumlah Order (Grafik Inventory)
