BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1
Matriks
2.1.1
Pengertian Matriks Definisi dari matriks adalah benda (bangun) matematika yang berisi objek-objek
(bisa berupa bilangan, fungsi, dll.) yang tersusun dalam baris-baris dan kolom-kolom yang memenuhi sifat bahwa setiap barisnya atau kolomnya berisi objek-objek yang sama banyaknya. Untuk menyatakan suatu matriks dapat dipakai huruf cetak besar atau miring seperti: A, B, atau Z. Susunan dari matriks A yang memiliki m buah baris dan n buah kolom adalah sebagai berikut. ⎛ a11 ⎜ ⎜a A = ⎜ 21 M ⎜ ⎜a ⎝ m1
a12 a 22 M am2
L a1n ⎞ ⎟ L a2n ⎟ O M ⎟ ⎟ L a mn ⎟⎠
Berikut adalah contoh sebuah matriks A yang memiliki tiga buah baris dan tiga buah kolom. Contoh 1: ⎛ 2 1 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 −1 2⎟ = A ⎜10 5 1 ⎟ ⎝ ⎠
Objek-objek pada matriks disebut unsur (elemen) dari matriks, biasa ditulis dengan huruf cetak kecil miring berindeks dua seperti: aij , bij, cij, dan lain-lain di mana i
6 adalah indeks yang menyatakan letak baris dan j adalah indeks yang menyatakan letak kolom dari matriks tersebut. Contoh 2: Pada matriks A contoh sebelumnya, angka 5 terdapat pada baris ketiga dan kolom kedua ditulis sebagai a32 . Indeks pertama menunjuk pada baris, dan indeks kedua menunjuk pada kolom. Kumpulan elemen-elemen dimulai dari elemen kiri atas dan secara diagonal ke elemen kanan bawah, disebut diagonal utama.
2.1.2
Ukuran dan Bentuk Matriks Ukuran dari matriks merupakan salah satu sifat penting dari matriks yang
menyatakan banyaknya baris dan kolom. Sebuah matriks dengan m baris dan n kolom disebut sebagai matriks m kali n, ditulis m × n . Bila dua buah matriks memiliki baris dan kolom yang sama banyaknya, maka kedua matriks tersebut memiliki ukuran yang sama (misalkan 3× 2 ). Contoh 3: Kedua matriks di bawah ini memiliki ukuran yang sama. ⎛ 1 6 ⎞ ⎛ π 10 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜6 2⎟ , ⎜ − 2 7 ⎟ ⎜ 1 7 ⎟ ⎜ 5 − 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Sifat penting lain dari sebuah matriks adalah bentuknya. Untuk matriks Mm x n: Jika m=n, matriks tersebut dikatakan matriks bujur sangkar. Matriks A pada Contoh 1 di atas, adalah contoh sebuah matriks bujur sangkar. Jika m=1 (satu) maka matriks disebut matriks baris. Jika n=1 maka matriks disebut matriks kolom.
7 ⎛ 5⎞ Contoh 4: (1 − 2 5) disebut matriks baris, sedangkan ⎜⎜ ⎟⎟ adalah matriks ⎝ 3⎠ kolom.
2.1.3
Jenis Matriks dan Operasi Aljabar pada Matriks Untuk dapat diterapkan pada penyelesaian masalah pada bidang pengetahuan
lainnya, maka perlu diberikan arti tentang kesamaan dua matriks, jumlah dua matriks, perkalian antar bilangan dengan matriks, perkalian dua matriks, dan lain-lain, yang akan diberikan pada bagian ini.
Kesamaan Dua Matriks Definisi: Dua matriks disebut sama, jika keduanya mempunyai ukuran sama dan dua elemen yang seletak pada kedua matriks nilainya sama. ⎛1 4⎞ ⎛1 4⎞ ⎟⎟ , dan C = ⎟⎟ , B = ⎜⎜ Contoh 5: Perhatikan matriks-matriks: A = ⎜⎜ ⎝3 2⎠ ⎝ 6 2⎠ ⎛1 2 0 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . Di antara ketiga matriks di atas tidak ada yang sama A ≠ C sebab ⎝ 3 4 −1⎠ ukurannya tidak sama, A ≠ B sebab ada unsur yang seletak (yaitu baris ke-2, kolom pertama) pada kedua matriks tersebut yang nilainya tidak sama.
Penjumlahan Dua Matriks Definisi: Jika A dan B dua matriks yang berukuran sama, maka A+B adalah matriks berukuran sama dengan ukuran A dan setiap unsurnya sama dengan jumlah dari dua unsur di A dan B yang seletak.
8 ⎛ 1 4 3⎞ ⎛2 7 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Contoh 6: A = ⎜ 6 2 3 ⎟ ,B = ⎜ 6 9 4 ⎟ ⎜ 2 5 1⎟ ⎜3 − 2 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1 2 ⎞ ⎜ ⎟ , C = ⎜ 9 − 1⎟ . Maka berlaku: ⎜5 3 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 1 4 3 ⎞ ⎛ 2 7 1 ⎞ ⎛ 1 + 2 4 + 7 3 + 1 ⎞ ⎛ 3 11 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A + B = ⎜ 6 2 3 ⎟ + ⎜ 6 9 4 ⎟ = ⎜ 6 + 6 2 + 9 3 + 4 ⎟ = ⎜12 11 7 ⎟ . Sedangkan ⎜ 2 5 1⎟ ⎜ 3 − 2 1 ⎟ ⎜ 2 + 3 5 − 2 1 + 1 ⎟ ⎜ 5 3 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ A + C dan B + C tidak terdefinisi.
Sifat: A+B=B+A
(hukum komutatif penjumlahan)
A+(B+C)=(A+B)+C (hukum assosiatif penjumlahan)
Perkalian antara Bilangan dengan Matriks Definisi: Jika A suatu matriks dan r suatu bilangan kompleks, maka perkalian rA adalah matriks yang ukurannya sama dengan ukuran A dan setiap unsurnya adalah unsur di A dikalikan dengan r. Contoh 7: 3 ×1 3× 3⎞ ⎛ 6 3 9⎞ ⎛ 2 1 3⎞ ⎛ 3× 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 3⎜ 4 − 1 2 ⎟ = ⎜ 3 × 4 3 × (−1) 3 × 2 ⎟ = ⎜ 12 − 3 6 ⎟ ⎜10 5 1 ⎟ ⎜ 3 × 10 3× 5 3 × 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 30 15 3 ⎟⎠ ⎠ ⎝ ⎝
Sifat: rA=Ar r(B+C)=rB+rC (r+s)C=rC+sC (rs)C=r(sC)=s(rC)
9
Pengurangan Dua Matriks Pengurangan dua matriks didefinisikan dengan menggunakan definisi dari penjumlahan dua matriks dan perkalian antara bilangan dengan matriks, yaitu: Jika A dan B dua matriks yang berukuran sama, maka A − B = A + (−1) B
Contoh 8: ⎛1 4 6⎞ ⎛ 5 0 1⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ Perhatikan matriks–matriks: A = ⎜⎜ ⎝ 7 2 3⎠ ⎝ − 2 3 2⎠ ⎛− 5 0 −1⎞ ⎟⎟ , Maka − B = ⎜⎜ ⎝ 2 − 3 − 2⎠ ⎛ 1 4 6⎞ ⎛ − 5 0 − 1 ⎞ ⎛ − 4 0 5⎞ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ dan selanjutnya A − B = ⎜⎜ ⎝ 7 2 3⎠ ⎝ 2 − 3 − 2⎠ ⎝ 9 − 1 1⎠
Perkalian Dua Matriks
Definisi: Jika A matriks berukuran m × k dan B berukuran k × n maka perkalian AB adalah matriks beruukuran m × n yang memenuhi syarat sebagai berikut: Untuk mendapatkan unsur dari AB yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j, perhatikan baris ke-i dari matriks A dan kolom ke-j dari matriks B, selanjutnya kalikan unsur-unsur yang seletak pada baris dan kolom tersebut, kemudian jumlahkan, hasilnya merupakan unsur dari matriks AB tersebut di atas. Dengan kata lain, bila C=AB maka untuk C ij = ∑ Aik Bkj semua i dan j. k
Walaupun ada beberapa matriks yang memiliki sifat AB=BA, secara umum sifat komutatif perkalian matriks tidak berlaku.
10 Contoh 9:
Perhatikan matriks-matriks:
⎛ 1× 3 + 2 × 1 + 3 × 8 AB = ⎜⎜ ⎝ 3 × 3 + 4 ×1 + 0 × 8 1 × 2 + 2 × 2 + 3 × 3 ⎞ ⎛ 29 ⎟=⎜ 3 × 2 + 4 × 2 + 0 × 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 13
⎛1 2 3⎞ ⎟⎟ , A = ⎜⎜ ⎝3 4 0⎠
⎛3 2 1 2⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ 1 − 1 5 2 ⎟ . Maka ⎜8 3 −1 3⎟ ⎝ ⎠
1 × 2 + 2 × (−1) + 3 × 3 1 × 1 + 2 × 5 + 3 × (−1) 3 × 2 + 4 × (−1) + 0 × 3 3 × 1 + 4 × 5 + 0 × (−1) 9 8 15 ⎞ ⎟ 2 23 14 ⎟⎠
Contoh 10: Perhatikan
matriks-matriks:
⎛1 4⎞ ⎛2 7⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ . A = ⎜⎜ ⎝6 2⎠ ⎝6 9⎠
⎛ 1 × 2 + 4 × 6 1 × 7 + 4 × 9 ⎞ ⎛ 26 43 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ AB = ⎜⎜ ⎝ 6 × 2 + 2 × 6 6 × 7 + 2 × 9 ⎠ ⎝ 24 60 ⎠
Maka
sedangkan
⎛ 2 × 1 + 7 × 6 2 × 4 + 7 × 2 ⎞ ⎛ 44 22 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ , berarti AB ≠ BA . BA = ⎜⎜ ⎝ 6 × 1 + 9 × 6 6 × 4 + 9 × 2 ⎠ ⎝ 60 42 ⎠ Sifat:
A(BC)=(AB)C
(hukum asosiatif perkalian)
A(B+C)=AB+AC
(hukum distributif)
(B+C) A =BA+CA
(hukum distributif)
r(BC)=(rB)C=B(rC) dengan r adalah bilangan skalar
Transpose Matriks
Definisi: Jika A matriks berukuran m × n , maka matriks transpose dari matriks A (ditulis C=AT) adalah matriks berukuran n × m yang unsur baris ke-i kolom ke-j nya
11 adalah unsur baris ke-j dan kolom ke-i dari matriks A untuk setiap i dari 1 sampai n dan
j dari 1 sampai m. Ketika kita melakukan transpose matriks, baris ke-i menjadi kolom ke-i, dan kolom ke-j menjadi baris ke-j. Setiap matriks dapat di-transpose. T
⎛1 6⎞ ⎟ ⎜ ⎛1 2 5⎞ ⎟⎟ Contoh 11 ⎜ 2 3 ⎟ = ⎜⎜ ⎝6 3 0⎠ ⎜ 5 0⎟ ⎠ ⎝ Sifat:
(A )
T T
=A
( A + B )T ( AB )T
= AT + B T
= B T AT
Bila AT=A maka A disebut matriks simetris dan Aij=Aji untuk semua i dan j. Jika AT = − A maka A disebut matriks skew-simetris dan Aij = − A ji untuk semua i dan j. Elemen diagonal utama dari matriks skew-simetris haruslah bernilai 0, karena
Aii = − Aii = 0.
Matriks Nol
Suatu matriks dengan semua unsurnya nol, disebut matriks nol, diberi notasi
Omxn ( m × n ukurannya).
12 Contoh 12
O2×2
⎛0 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎛0 0⎞ ⎛0 0 0⎞ ⎟⎟ , O2×3 = ⎜⎜ ⎟⎟ , O3×3 = ⎜ 0 0 0 ⎟ . = ⎜⎜ ⎝0 0⎠ ⎝0 0 0⎠ ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠
Misalkan A matriks berukuran m × n dan O adalah matriks nol berukuran m × n , maka berlaku A + O = O + A = A. Jadi matriks nol berperan mirip seperti bilangan real 0 untuk operasi penjumlahan.
Matriks Satuan (Identitas)
Matriks bujur sangkar I n×n yang diagonal utamanya hanya berisi 1 dan unsur lainnya yang tidak pada diagonal hanya bilangan 0, disebut sebagai matriks satuan/identitas n × n . Contoh 13
I 2×2
⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎛1 0⎞ ⎟⎟ , I 3×3 = ⎜ 0 1 0 ⎟ , dll. = ⎜⎜ ⎝0 1⎠ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
Misalkan A matriks berukuran n × n dan I adalah matriks satuan berukuran sama, maka berlaku I nxn ⋅ A = A = A ⋅ I nxn . Jadi matriks satuan berperan mirip seperti bilangan real 1 (satu) untuk operasi perkalian.
Invers Matriks
Misalkan A matriks bujur sangkar, matriks B yang memenuhi AB = BA = I , disebut sebagai invers dari A, sedangkan matriks A yang mempunyai invers disebut sebagai matriks tak singular atau invertibel.
13 Contoh 14
⎛ 4 3⎞ ⎛ 1 − 3⎞ ⎟⎟ merupakan invers dari matriks A = ⎜⎜ ⎟⎟ , sebab Matriks B = ⎜⎜ ⎝ 1 1⎠ ⎝−1 4 ⎠ ⎛ 4 3⎞ ⎛ 1 − 3⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 − 3⎞ ⎛ 4 3⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ , dan BA = ⎜⎜ ⎟⎟ . berlaku: AB = ⎜⎜ ⎝ 1 1⎠ ⎝ − 1 4 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ − 1 4 ⎠ ⎝ 1 1⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎛3 0⎞ ⎟⎟ tidak mempunyai invers. Sebab andaikan Sedangkan matriks C = ⎜⎜ ⎝5 0⎠ terdapat matriks ⎛ d11 ⎜⎜ ⎝ d 21
⎛d D = ⎜⎜ 11 ⎝ d 21
d12 ⎞ ⎟ d 22 ⎟⎠
d12 ⎞ ⎛ 3 0 ⎞ ⎛ 3d11 + 5d12 ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ d 22 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 3d 21 + 5d 22
adalah invers dari matriks C, maka D ⋅ C = 0⎞ ⎛1 0⎞ ⎟≠⎜ ⎟ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 ⎟⎠
tidak mungkin menjadi matriks
satuan. Dalil berikut menunjukkan bahwa setiap matriks tak singular mempunyai tepat satu invers. Dalil 1 (Ketunggalan Invers): Jika A dan B kedua-duanya matriks invers dari C, maka A=B. Bukti: Karena A invers dari C, maka AC = I. Kemudian kalikan kedua ruas persamaan tersebut dengan B, didapat:
( AC ) B = IB = B . Karena ( AC ) B = A(CB ) = AI = A , maka didapat bahwa A= B. Simbol lain untuk menyatakan invers dari matriks A adalah A −1 . Jadi didapat:
A ⋅ A −1 = I dan A −1 ⋅ A = I
14 Contoh 15
⎛a b ⎞ ⎟⎟, ad − bc ≠ 0 dan a, b, c, d ∈ ℜ . Tunjukan bahwa Diberikan matriks A = ⎜⎜ ⎝c d ⎠ ⎛ d ⎜ d b − ⎛ ⎞ 1 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ ad − bc A −1 = ad − bc ⎝ − c a ⎠ ⎜ − c ⎜ ⎝ ad − bc
−b ⎞ ⎟ ad − bc ⎟ . a ⎟ ⎟ ad − bc ⎠
Mudah ditunjukan bahwa
⎛a b ⎞ 1 ⎛ d − b⎞ 1 ⎛ a b ⎞⎛ d − b ⎞ ⎟⎟. ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ A ⋅ A −1 = ⎜⎜ ⎝ c d ⎠ ad − bc ⎝ − c a ⎠ ad − bc ⎝ c d ⎠⎝ − c a ⎠ =
0 ⎞ ⎛1 0⎞ 1 ⎛ ad − bc ⎜⎜ ⎟=I. ⎟ =⎜ ad − bc ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 ⎟⎠ ad − bc ⎝ 0
Juga
A −1 ⋅ A =
0 ⎞ ⎛1 0⎞ 1 ⎛ d − b ⎞⎛ a b ⎞ 1 ⎛ ad − bc ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟=⎜ ⎟=I. ad − bc ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 ⎟⎠ ad − bc ⎝ − c a ⎠⎝ c d ⎠ ad − bc ⎝ 0
Dengan
demikian,
maka
untuk
matriks
⎛a b ⎞ ⎟⎟, ad − bc ≠ 0 dan A = ⎜⎜ ⎝c d ⎠
⎛ d − d b ⎞ ⎜ ad − bc 1 ⎛ −1 ⎜ ⎟=⎜ a, b, c, d ∈ ℜ . Inversnya adalah A = ad − bc ⎜⎝ − c a ⎟⎠ ⎜ − c ⎜ ⎝ ad − bc
−b ⎞ ⎟ ad − bc ⎟ a ⎟ ⎟ ad − bc ⎠
Berikut ini diberikan dalil yang mengatakan bahwa perkalian dari dua matriks yang tak singular adalah juga matriks tak singular, dan cara untuk mendapatkan invers dari perkalian dua matriks.
15 Dalil 2: Jika A dan B dua matriks tak singular, maka AB tak singular dan
( AB )−1 = B −1 A −1 Bukti: Apabila kita dapat menunjukkan bahwa
( AB ) ⋅ (B −1 A −1 ) = (B −1 A −1 )⋅ ( AB ) = I ,
maka kita telah menunjukkan kedua hal tersebut di atas. Perhatikan bahwa karena A dan B tak singular, maka A −1 dan B −1 ada, juga:
AB ⋅ (B −1 A −1 ) = (( AB ) ⋅ B −1 ) ⋅ A −1 = A ⋅ (B ⋅ B −1 ) ⋅ A −1 = A ⋅ I ⋅ A −1 = A ⋅ A −1 = I Dengan cara yang sama,
(B
−1
A −1 ) ⋅ AB = ((B −1 A −1 ) ⋅ A) ⋅ B = B −1 ⋅ (A −1 ⋅ A) ⋅ B = B −1 ⋅ I ⋅ B = B −1 ⋅ B = I
Dalil di atas dapat diperluas untuk tiga (atau lebih) buath matriks. Jadi akan didapat hal berikut: Perkalian dari matriks-matriks tak singular akan menghasilkan matriks tak singular. Invers dari perkalian matriks sama dengan perkalian invers masing-masing matriks dengan urutannya dibalik. Contoh 16
⎛3 2⎞ ⎛8 5⎞ ⎛ 30 19 ⎞ ⎟⎟, B = ⎜⎜ ⎟⎟, AB = ⎜⎜ ⎟⎟ . Dengan memakai cara menentukan A = ⎜⎜ ⎝1 1 ⎠ ⎝3 2⎠ ⎝ 11 7 ⎠ invers
matriks
2× 2
seperti
⎛ 1 − 2 ⎞ −1 ⎛ 2 − 5 ⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ , A −1 = ⎜⎜ ⎝−1 3 ⎠ ⎝− 3 8 ⎠
pada
dan
contoh
sebelumnya,
7 − 19 ⎞ ⎟⎟ . ⎝ − 11 30 ⎠
( AB )−1 = ⎛⎜⎜
Juga
didapat:
didapat,
16 ⎛ 2 − 5 ⎞ ⎛ 1 − 2 ⎞ ⎛ 7 − 19 ⎞ −1 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ . Jadi tampak ( AB ) = B −1 ⋅ A −1 sesuai B −1 ⋅ A −1 = ⎜⎜ ⎝ − 3 8 ⎠ ⎝ − 1 3 ⎠ ⎝ − 11 30 ⎠
dengan dalil 2.
Matriks Berpangkat
Jika A matriks bujur sangkar dan n bilangan asli, maka A n = A ⋅ A ⋅ L ⋅ A sebanyak n buah, dan A 0 = I . Lagi, jika A matriks tak singular, maka
A − n = (A −1 ) = A −1 ⋅ A −1 ⋅ L ⋅ A −1 n
sebanyak n buah. Dalil 3: Jika A matriks tak singular, maka (i).
A −1 matriks tak singular, dan (A −1 ) = A
(ii).
A n matriks tak singular, (A n ) = (A −1 ) , berlaku untuk n = 0,1,2,L
(iii).
Untuk setiap bilangan real tak nol r, matriks rA tak singular; dan
−1
−1
n
(rA)−1 = 1 A −1 r
Bukti: Karena berlaku A −1 A = AA −1 = I , maka didapat bahwa A −1 tak singular
(i).
( )
dan A −1
−1
(ii).
=I Untuk n = 0,1 pembuktian nya adalah trivial. Untuk n = 2,3,... kita gunakan dalil 2 yang diperluas untuk n buah
matriks.
17 (iii).
Karena r bilangan real tak nol, maka berlaku
(rA) ⋅ ⎛⎜ 1 A −1 ⎞⎟ = ⎛⎜ r ⋅ 1 ⎞⎟ A ⋅ A −1 = 1 ⋅ I = I . ⎝r
⎠
⎝
r⎠
Juga
⎛ 1 −1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ −1 ⎜ A ⎟ ⋅ (rA) = ⎜ r ⎟ ⋅ A A = 1 ⋅ I = I , ⎝r ⎠ ⎝ r⎠
sehingga didapat rA matriks tak singular, dan (rA) = −1
1 −1 A r
Matriks Hessenberg
Sebuah matriks disebut matriks Hessenberg atas jika semua elemen di bawah subdiagonal hanya bilangan 0 atau aij = 0 untuk i > j + 1 , dan disebut matriks Hessenberg bawah jika semua elemen di atas superdiagonal berupa bilangan 0 atau
aij = 0 untuk i < j − 1 . Contoh 17
⎛1 ⎜ ⎜2 Matriks A = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝ ⎛3 5 ⎜ ⎜7 4 B=⎜ 9 −3 ⎜ ⎜0 2 ⎝
2.1.4
0 −5 7 13 5 9 0 4
3⎞ ⎟ 4⎟ merupakan matriks Hessenberg atas dan matriks 2⎟ ⎟ 6 ⎟⎠
0 0⎞ ⎟ 1 0⎟ adalah matriks Hessenberg bawah. 6 7⎟ ⎟ 8 10 ⎟⎠
Determinan
Jika A adalah matriks berukuran n × n , determinan dari A, ditulis det(A), adalah bilangan yang kita asosiasikan untuk matriks A. Determinan biasanya didefinisikan dengan cara kofaktor atau cara permutasi, dan kita akan mendefinisikannya dengan cara kofaktor. Kita akan mulai dengan definisi det(A) jika A adalah matriks berukuran 2 × 2 .
18
Definisi:
Jika
⎛a A = ⎜⎜ 11 ⎝ a 21
a12 ⎞ ⎟. a 22 ⎟⎠
Determinan
dari
matriks
A
adalah
det( A) = a11 a 22 − a12 a 21 .
Untuk memudahkan penulisan determinan biasanya ditulis dengan menggunakan garis vertikal: det( A) =
a11 a 21
a12 a 22
Contoh 18 Determinan
det( A) =
untuk
matriks
⎛ 1 2⎞ ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎝ −1 3⎠
adalah
1 2 ⎛ 3 4⎞ ⎟⎟ = 1 ⋅ 3 − 2(−1) = 5 . Sedangkan determinan untuk matriks B = ⎜⎜ −1 3 ⎝6 8⎠
adalah det( B) =
3 4 = 3⋅8 − 4⋅ 6 = 0 6 8
Sekarang kita akan mendefinisikan determinan dari matriks berukuran n × n sebagai jumlah berbobot (weighted sum) dari determinan matriks berukuran
[(n − 1) × (n − 1)] . Sebelumnya kita akan memberikan definisi untuk minor dan kofaktor. Definisi: Jika A matriks berukuran n × n , dan M rs menyatakan matriks berukuran
[(n − 1) × (n − 1)] yang didapat dengan menghapus baris ke-r dan kolom ke-s dari matriks A, maka M rs disebut matriks minor dari A, dan bilangan det( M rs ) disebut minor dari ars. Lagi, bilangan Aij = (− 1)
i+ j
det (M ij ) disebut kofaktor (atau minor bertanda).
19 Contoh 19 ⎛1 −1 2 ⎞ ⎟ ⎜ Untuk matriks A = ⎜ 2 3 − 3 ⎟ Tentukan matriks minor M 11 , M 23 , dan M 32 . ⎜4 5 1 ⎟⎠ ⎝
Juga hitung kofaktor A11 , A23 , dan A32 . Dengan menghapus baris pertama dan kolom pertama untuk matriks A, kita dapat
⎛ 3 − 3⎞ ⎟⎟ . Dengan cara yang sama, matriks minor M 23 dan M 32 adalah M 11 : M 11 = ⎜⎜ ⎝5 1 ⎠ ⎛ 1 − 1⎞ ⎛1 2 ⎞ ⎟⎟ dan M 32 = ⎜⎜ ⎟⎟ . M 23 = ⎜⎜ ⎝4 5 ⎠ ⎝ 2 − 3⎠ Kofaktor yang bersesuaian, Aij = (− 1)
i+ j
A11 = (− 1)
1+1
A23 = (− 1)
det (M ij ) didapat sebagai berikut:
3 −3 = 3 + 15 = 18 5 1
2+3
A32 = (−1) 3+ 2
1 −1 = −(5 + 4) = −9 4 5 1 2 = −(−3 − 4) = 7 2 −3
Kita akan menggunakan kofaktor untuk mendefinisikan determinan. Definisi: Jika A matriks berukuran n × n , maka determinan dari matriks A adalah det( A) = a11 A11 + a12 A12 + L + a1n A1n , dengan A1 j adalah kofaktor dari a1 j , 1 ≤ j ≤ n .
20 Contoh 20 2 0 ⎛ 1 ⎜ 3 ⎜ −1 2 Hitung det(A) , di mana A = ⎜ − 3 2 −1 ⎜ ⎜ 2 −3 −2 ⎝ Dengan
menggunakan
definisi
2⎞ ⎟ 1⎟ . 0⎟ ⎟ 1 ⎟⎠
determinan
di
atas,
maka
det( A) = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 + a14 A14 = A11 + 2 A12 + 2 A14 . Kofaktor A13 tidak perlu dihitung, karena a13 = 0. A11 = (− 1)
1+1
2
3
1
2
−1 0 = 2
−3 −2 1
A12 = (− 1)
1+ 2
−1 −3 2
A14 = (− 1)
1+ 4
−1 −3 2
3
−1 0 −2 1
−3
2
0
−3 1
+1
2
−1
−3 −2
= −15
1
⎛ −1 0 −3 0 − 3 −1 ⎞ ⎟ = −18 − 1 0 = −⎜⎜ − 1 −3 +1 ⎟ − − 2 1 2 1 2 2 ⎝ ⎠ −2 1 2
3
⎛ − 3 −1 −3 2 ⎞ 2 −1 ⎟ = −6 . − 1 = −⎜⎜ − 1 −2 +3 −3 −2 2 −2 2 − 3 ⎟⎠ ⎝ −3 −2 2
Maka det( A) = A11 + 2 A12 + 2 A14 = −15 − 36 − 12 = −63 . Catat bahwa dalam contoh ini, penghitungan determinan matriks berukuran 4 × 4 lebih sederhana karena adanya bilangan nol pada a13. Jelas, bila kita memiliki prosedur untuk menciptakan bilangan nol, kita dapat menyederhanakan penghitungan determinan karena kofaktor yang bersesuaian untuk bilangan tersebut tidak perlu dihitung.
2.1.5
Cara Mencari Invers Matriks
Ada beberapa cara untuk mencari invers matriks. Cara khusus untuk mencari invers matriks untuk matriks berukuran 2 × 2 telah dijelaskan di muka. Sedangkan untuk
21 matriks berukuran n × n , dapat dilakukan dengan melakukan eliminasi Gauss-Jordan atau dengan metode adjoint. Di bawah ini adalah cara mencari invers matriks dengan metode adjoint . Misalkan A adalah matriks n × n . Invers dari matriks A atau A −1 dapat dicari dengan rumus:
A −1 =
1 K T , dengan K adalah matriks kofaktor dari A. det( A)
sedangkan yang dimaksud dengan matriks adjoint adalah matriks KT Contoh 21 ⎛1 2 3⎞ ⎟ ⎜ Hitung invers dari matriks A, di mana A = ⎜ 0 4 5 ⎟ ⎜1 0 6⎟ ⎠ ⎝ 5 − 4⎞ ⎛ 24 ⎟ ⎜ Matriks kofaktor dari A adalah ⎜ − 12 3 2 ⎟ , dan determinan dari A adalah ⎜ −2 −5 4 ⎟ ⎠ ⎝
6 12 1 ⎛ 24 − 12 − 2 ⎞ ⎛⎜ 11 − 11 − 11 ⎞⎟ ⎜ ⎟ 1 3 22, maka A−1 = −5 ⎟ 3 − 5⎟ = ⎜ 5 ⎜ 5 22 22 22 ⎟ ⎜ 22 ⎜ ⎟ ⎜ 2 1 2 4 2 4 − ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ − 11 11 11 ⎠
2.2
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
2.2.1
Definisi
Definisi: Secara formal, kita mendefinisikan nilai eigen dan vektor eigen sebagai berikut: Misalkan A adalah matriks n × n .
22 Vektor v ∈ C n, v tidak nol, disebut suatu vektor eigen dari A apabila terdapat bilangan λ , λ ∈ C sehingga berlaku: Av = λv
Bilangan λ disebut nilai eigen (nilai karakteristik) dari A, vektor v disebut suatu vektor eigen (vektor karakteristik) yang berkorespondensi dengan λ . Spektrum A, dinotasikan σ ( A) , adalah kumpulan dari semua nilai eigen untuk matriks A. Kata eigen didapat dari bahasa Jerman eigen yang berarti “karakteristik”. Sebuah nilai eigen dari sebuah matriks biasanya direpresentasikan dengan huruf Yunani λ (dibaca lamda). Definisi: Suatu vektor eigen disebut vektor eigen dominan dari sebuah matriks jika vektor eigen itu bersesuaian dengan nilai eigen dengan modulus terbesar untuk matriks tersebut. Nilai eigen dengan modulus terbesar dari sebuah matriks disebut nilai eigen dominan.
2.2.2 Cara Menghitung Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Dari definisi di atas, maka
λv − Av = 0 (λI − A)v = 0 dengan I adalah matriks identitas. Tetapi (λI -A) adalah sebuah matriks, jadi kita berusaha menyelesaikan persamaan Bv=0 di mana B=(λI-A), dan karena v adalah sebuah vektor tak nol, maka hanya mempunyai solusi taknol jika |B| = det(B) adalah 0. Jadi untuk mencari nilai eigen, kita beri nilai |λI-A|=0 dan mencari solusi untuk λ. Persamaan |λI-A|=0 disebut
23 persamaan karakteristik, sedangkan suku banyak |λI-A| disebut suku banyak karakteristik. Akar-akar dari persamaan ini adalah nilai eigen.
Untuk mencari vektor eigen, kita mensubtitusi nilai eigen yang sudah didapat ke dalam persamaan Av = λv , atau kernel dari (λI − A) , yaitu (λI − A)v = 0 . Maka kita akan dapat mencari v yaitu vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ . Ruang jawab dari sistem persamaan linear (λI − A)v = 0 disebut ruang karakteristik dari A yang berkorespondensi dengan λ. Catat bahwa kita tidak memasukkan vektor nol( 0 ) kedalam vektor eigen, karena vektor nol adalah solusi trivial untuk Av = λv dan tidak terlalu penting untuk dibahas. Sebagai tambahan, jika vektor nol diikutkan, maka akan ada tidak berhingga banyak nilai eigen, karena setiap nilai λ memenuhi A0 = λ 0 . Contoh 22 Misalkan kita ingin mencari nilai eigen untuk matriks ⎛ 0 1 − 1⎞ ⎟ ⎜ A=⎜ 1 1 0 ⎟. ⎜−1 0 1 ⎟ ⎠ ⎝
Pertama kita hitung suku banyak karakteristik untuk matriks A: 1 ⎞ −1 ⎛λ ⎟ ⎜ p ( x) = det(λI − A) = det ⎜ − 1 λ − 1 0 ⎟ = λ 3 − 2λ 2 − λ + 2 ⎜1 λ − 1⎟⎠ 0 ⎝
Suku banyak tersebut dapat difaktorisasi menjadi p(λ) = (λ − 2)(λ − 1)(λ + 1). Maka nilai eigen dari A adalah 2,1, dan -1. ⎛1 − 3 3⎞ ⎟ ⎜ Contoh 23: Cari nilai eigen dan vektor eigen untuk matriks A = ⎜ 3 − 5 3 ⎟ ⎜ 6 − 6 4⎟ ⎠ ⎝
24 Dengan cara mengekspansi λI − A = 0 , kita dapat mencari nilai eigen: 3 −3 ⎞ ⎛λ 0 0 ⎞ ⎛1 − 3 3⎞ ⎛λ −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 λ 0 ⎟ − ⎜ 3 − 5 3⎟ = ⎜ − 3 λ + 5 − 3 ⎟ = ⎜ 0 0 λ ⎟ ⎜6 − 6 4⎟ ⎜ − 6 6 λ − 4 ⎟⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝
(λ + 2)2 (λ − 4) = 0 Maka, nilai eigen dari matriks A adalah -2 dan 4. Sekarang kita akan mencari vektor eigen untuk matriks A. ⎛ v1 ⎞ ⎜ ⎟ Misal v = ⎜ v 2 ⎟ adalah vektor eigen untuk matriks A yang berkorespondensi ⎜v ⎟ ⎝ 3⎠
dengan nilai eigen λ = −2 . Maka:
(λI − A)v = 0 3 − 3 ⎞⎛ v1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛λ −1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − 3 λ + 5 − 3 ⎟⎜ v 2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ , dan untuk λ = −2 menjadi: ⎜ −6 6 λ − 4 ⎟⎠⎜⎝ v3 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎝ ⎛ − 3 3 − 3 ⎞⎛ v1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎧ − 3v1 + 3v 2 − 3v3 = 0 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎜ − 3 3 − 3 ⎟⎜ v 2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ,atau ⎨ − 3v1 + 3v 2 − 3v3 = 0 ⎜ − 6 6 − 6 ⎟⎜ v ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎪ − 6v + 6v − 6v = 0 1 2 3 ⎝ ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎩
,atau v1 − v 2 + v3 = 0 , atau v1 = v 2 − v3 .
Himpunan jawab dari sistem persamaan linear homogen di atas, adalah:
25 ⎧⎛ v 2 − v3 ⎞ ⎫ ⎧ ⎛1⎞ ⎫ ⎛ − 1⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎜ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ H 1 = ⎨⎜ v 2 ⎟ v 2 , v3 real ⎬ = ⎨v 2 ⎜ 1 ⎟ + v3 ⎜ 0 ⎟ v 2 , v3 ∈ ℜ⎬ ⎜1⎟ ⎪⎜ v ⎟ ⎪ ⎪ ⎜0⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩⎝ 3 ⎠ ⎭ ⎩ ⎝ ⎠ ⎭ ⎛1⎞ ⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Jadi vektor: v = v 2 ⎜ 1 ⎟ + v3 ⎜ 0 ⎟ dengan sedikitnya satu di antara v 2 atau v3 tidak ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
nol, adalah vektor eigen dari A yang berkorespondensi dengan λ = −2 . ⎛ v1 ⎞ ⎜ ⎟ Misal v = ⎜ v 2 ⎟ adalah vektor eigen untuk matriks A yang berkorespondensi ⎜v ⎟ ⎝ 3⎠
dengan nilai eigen λ = 4 . Maka:
(λI − A)v = 0 3 − 3 ⎞⎛ v1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛λ −1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − 3 λ + 5 − 3 ⎟⎜ v 2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ , dan untuk λ = 4 menjadi: ⎜ −6 6 λ − 4 ⎟⎠⎜⎝ v3 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎝ ⎛ 3 3 − 3 ⎞⎛ v1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − 3 9 − 3 ⎟⎜ v 2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ , atau ⎜ − 6 6 6 ⎟⎜ v ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎧v + 3v 2 − v3 = 0 , atau ⎨ 1 , atau ⎩ 2v 2 − v 3 = 0
⎧ 3v1 + 3v 2 − 3v3 = 0 ⎪ ⎨ − 3v1 + 9v 2 − 3v3 = 0 ⎪ − 6v + 6v + 6v = 0 1 2 3 ⎩
⎧ v1 = v 2 ⎨ ⎩v3 = 2v 2
Himpunan jawab dari sistem persamaan linear homogen di atas, adalah:
26 ⎧⎛ v 2 ⎞ ⎫ ⎧ ⎛1⎞ ⎫ ⎟ ⎪⎜ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ H 2 = ⎨⎜ v 2 ⎟ v 2 ∈ ℜ⎬ = ⎨v 2 ⎜ 1 ⎟ v 2 ∈ ℜ⎬ ⎪⎜ 2v ⎟ ⎪ ⎪ ⎜ 2⎟ ⎪ ⎩⎝ 2 ⎠ ⎭ ⎩ ⎝ ⎠ ⎭
⎛1⎞ ⎜ ⎟ Jadi vektor: v = v 2 ⎜ 1 ⎟ , dengan v 2 ≠ 0 adalah vektor eigen dari A yang ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠
berkorespondensi dengan λ = 4 . ⎧ ⎛1⎞ ⎫ ⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ Himpunan H 1 = ⎨α ⎜ 1 ⎟ + β ⎜ 0 ⎟ α , β ∈ ℜ⎬ adalah ruang karakteristik dari A ⎜1⎟ ⎪ ⎜ 0⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ ⎝ ⎠ ⎭
yang berkorespondensi dengan λ = −2 .
Sementara
⎧ ⎛1⎞ ⎫ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ H 2 = ⎨α ⎜ 1 ⎟ α ∈ ℜ⎬ adalah ruang karakteristik dari A yang ⎪ ⎜ 2⎟ ⎪ ⎩ ⎝ ⎠ ⎭
berkorespondensi dengan λ = 4 .
Bila matriks yang ingin dihitung cukup kecil ukurannya, kita dapat menggunakan cara di atas (menyelesaikan persamaan karakteristik) untuk mencari nilai dan vektor eigen. Sayangnya, metode ini memiliki keterbatasan. Suku banyak secara umumnya, untuk orde n > 4 tak dapat diselesaikan dengan barisan terbatas (dibuktikan oleh teorema Abel-Ruffini). Terdapat algoritma mencari akar suku banyak yang efisien untuk suku banyak berorde tinggi. Namun, mencari akar dari karakter suku banyak ini mungkin ill-condition.walaupun nilai eigen yang dicari well-condition. Untuk alasan ini, maka metode ini jarang digunakan.
27 Dengan demikian, maka untuk matriks ukuran besar, kita harus menggunakan metode numerik, seperti metode Power atau metode QR.
2.3
Metode Power
Ide dasar dari metode ini adalah mencari vektor awal b (bisa saja merupakan perkiraan vektor eigen atau vektor acak) dan menghitung secara iteratif. Kecuali matriks nol yang digunakan sebagai vektor awal, hasilnya akan konvergen ke vektor eigen yang bersesuaian
dengan
nilai
eigen
dominan.
Dalam
praktiknya,
vektor
harus
dinormalisasikan setiap iterasi. Namun demikian, iterasi dengan Metode Power kurang begitu berguna. Konvergensinya lambat kecuali untuk matriks khusus, dan tanpa modifikasi, metode ini hanya dapat mencari nilai eigen dominan (juga vektor eigen yang bersesuaian). Namun demikian, kita dapat mengerti beberapa algoritma mencari nilai eigen yang lebih baik sebagai variasi atau berdasar dari Metode Power. Metode Power secara umum cukup lambat. Khususnya untuk nilai eigen yang besarnya cukup dekat dengan nilai eigen dominan.
2.4
Metode QR
Untuk menyelesaikan permasalahan mencari nilai eigen pada suatu matriks A, yang biasa dilakukan adalah dengan mereduksi matriks tersebut menjadi matriks segitiga T melalui serangkaian transformasi ortogonal, dan lalu mencari nilai eigen untuk matriks T. Transformasi yang dilakukan pada A memastikan bahwa nilai eigen pada matriks A
dan T adalah sama.
28 Teorema 1 Misalkan A,B,S adalah matriks berukuran n × n . Bila B = S −1 AS , maka nilai eigen dari matriks A dan B adalah sama. Bukti: Cukup dibuktikan bahwa A dan B memiliki suku banyak karakteristik yang sama. Untuk t sembarang, pB (t ) = det(tI − B) = det(tS −1S − S −1 AS ) = det S −1 (tI − A) S = det S −1 det(tI − A) det S = (det S ) −1 det S det(tI − A) = det(tI − A) = p A (t )
Teorema 2 Misalkan A,B,S adalah matriks berukuran n × n . Bila B = S −1 AS , dan x ∈ C
n
merupakan vektor eigen dari matriks B yang berkorespondensi dengan λ ∈ σ ( B) , maka Sx merupakan vektor eigen dari matriks A yang berkorespondensi dengan λ .
Bukti: Karena B = S −1 AS dan Bx = λx , maka S −1 ASx = λx atau ASx = λSx . Juga karena S tidak singular dan x ≠ 0 , Sx ≠ 0 , maka Sx merupakan vektor eigen dari matriks A.
Salah satu cara menyelesaikan masalah nilai eigen dengan transformasi seperti di atas adalah metode QR. Dasar dari metode QR untuk mencari nilai eigen dari matriks A adalah fakta bahwa matriks real n × n dapat ditulis menjadi: A = Q R , dengan QR adalah faktorisasi dari A
29 di mana Q adalah matriks ortogonal dan R adalah matriks segitiga atas. Metode ini efisien untuk menghitung semua nilai eigen untuk sebuah matriks. Konstruksi matriks Q dan R adalah sebagai berikut. Matriks-matriks P1,P2, …,Pn1
dikonstruksikan sedemikian sehingga Pn −1 Pn − 2 L P2 P1 A = R adalah matriks segitiga
atas. Matriks-matriks ini dapat dipilih sebagai matriks ortogonal dan disebut matriks householder. Bila kita memilih Q T = Pn −1 Pn − 2 L P2 P1
Maka kita memiliki QTA = R dan QQTA = QR IA = QR A = QR
Sedangkan cara mengkonstuksikan matriks P adalah sebagai berikut. Pertama kita mendefinisikan barisan matriks A1,A2,…,Am,…, Q1,Q2,…,Qm,…, dan R1,R2,…Rm,… dengan proses berikut:
Langkah pertama: Set A1 = A, Q1 = Q dan R1 = R
Langkah kedua: Pertama set A2 = R1Q1; lalu faktorkan A2 sebagai A2 = Q2R2 (faktorisasi QR dari A2)
30 Langkah ketiga: Pertama set A3 = R2Q2; lalu faktorkan A3 sebagai A3 = Q3R3 (faktorisasi QR dari A3)
Langkah ke-m: Set Am = Rm-1Qm-1; lalu faktorkan Am sebagai Am = QmRm (faktorisasi QR dari Am)
Pada langkah ke-k, matriks Ak kita dapat, pertama dengan menggunakan Qk-1 dan Rk-1 dari langkah sebelumnya; kedua, Ak difaktorkan menjadi QkRk. Jadi faktorisasi QR
terjadi di setiap langkah. Matriks Am akan condong menjadi matriks segitiga atau hampir segitiga. Jadi nilai eigen dari Am akan menjadi mudah dihitung. Teorema 3 Misalkan A adalah matriks segitiga atas/bawah berukuran n × n . Nilai eigen dari matriks A adalah elemen-elemen diagonal dari matriks A. Bukti: ⎛ a11 ⎜ ⎜ 0 Misalkan A = ⎜ 0 ⎜ ⎜ M ⎜ ⎝ 0
× a 22
× ×
0
a 33
M
M
0
0
persamaan karakteristiknya adalah
× ×
× ⎞ ⎟ × ⎟ × × ⎟ adalah matriks segitiga atas. Maka ⎟ O M ⎟ ⎟ L a nn ⎠
λ − a11
×
×
×
×
0
λ − a 22
×
×
×
0 M
0 M
λ − a33
× O
× M
0
0
0
M
L λ − a nn
menguraikan determinan, kita dapat (λ − a11 )(λ − a 22 ) L (λ − a nn ) = 0 .
= 0 . Dengan
31 Ide dari faktorisasi QR adalah mencari P1 yang, jika dikalikan dari sebelah kiri dengan matriks A, akan menghasilkan nol di bawah a11. Yang kita inginkan adalah, ⎛ a11 ⎜ ⎜a P1 ⎜ 21 M ⎜ ⎜a ⎝ n1
a12 a 22 M an2
L a1n ⎞ ⎟ L a2n ⎟ = O M ⎟ ⎟ L a nn ⎟⎠
⎛ a11 ⎜ ⎜ 0 ⎜ M ⎜ ⎜ 0 ⎝
a12 a 22 M an2
L a1n ⎞ ⎟ L a2n ⎟ O M ⎟ ⎟ L a nn ⎟⎠
Setelah didapat, kita mencari P2 yang akan menghasilkan: ⎛ a11 ⎜ ⎜ 0 P2 P1 A = P2 ⎜ M ⎜ ⎜ 0 ⎝
a12 a 22 M an2
⎛ aˆ L a1n ⎞ ⎜ 11 ⎟ ⎜ 0 L a2n ⎟ ⎜ = 0 O M ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ M L a nn ⎟⎠ ⎜ ⎝ 0
aˆ12 aˆ 22 0 M 0
aˆ13 L aˆ1n ⎞ ⎟ aˆ 23 L aˆ 2 n ⎟ aˆ 33 L aˆ 3n ⎟ ⎟ M O M ⎟ aˆ n 3 L aˆ nn ⎟⎠
Proses ini terus berlanjut sampai kita punya ⎛ a~11 ⎜ ⎜ 0 Pn −1 Pn − 2 L P2 P1 A = R = ⎜ 0 ⎜ ⎜ M ⎜ ⎝ 0
a~12 a~22 0
M 0
a~13 L a~1n ⎞ ⎟ a~23 L a~2 n ⎟ a~33 L a~3n ⎟ ⎟ M O M ⎟ ⎟ 0 L a~nn ⎠
Metode QR adalah algoritma iteratif yang diterapkan pada serangkaian transformasi ortogonal Qi pada matriks tridiagonal T sedemikian sehingga matriks T konvergen pada matriks diagonal D. Matriks D memiliki nilai eigen yang sama dengan matriks T, maka nilai eigen dari T adalah elemen diagonal dari D. Sebagai tambahan, perkalian dari transformasi Qi adalah matriks yang kolom-kolomnya adalah vektor eigen dari T. Metode ini disebut QR karena untuk setiap iterasi, dekomposisi QR pada matriks Ai (Ai = QR di mana QTQ = I dan R adalah matriks segitiga atas) dikerjakan. Pseudocode
dan flowchart untuk metode QR diberikan di bawah ini.
32 Pseudocode Algoritma QR(A)
1.
i=0
2.
A0 = A
3.
ULANGI
4.
Faktorkan Ai = QiRi
5.
Ai+1 = RiQi
6.
i=i+1
7.
SAMPAI konvergen
33
Gambar 2.1. Flowchart Algoritma QR
34 Setelah konvergen, matriks An adalah matriks segitiga dengan nilai eigen A adalah elemen diagonal, dan matriks Q = ∏ nj =1 Q j memiliki kolom-kolom yang merupakan vektor eigen untuk masing-masing nilai eigen.
2.5
Metode QR dengan Hessenberg
Ada cara yang lebih sederhana untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen dari sebuah matriks, yaitu dengan mengubah matriks tersebut menjadi bentuk Hessenberg, lalu dilakukan metode QR. Perubahan matriks menjadi bentuk Hessenberg harus dilakukan dengan transformasi similar untuk menjamin nilai eigen tetap sama dan vektor eigen dapat diketahui, yaitu mencari matriks H dimana H = Q −1 AQ , dengan H merupakan matriks Hessenberg dan A merupakan matriks yang ingin diketahui nilai eigen dan vektor eigennya.. Untuk memudahkan komputasi, akan digunakan transformasi householder untuk mencari matriks Q Definisi: Misalkan u ∈ ℜ n , u ≠ 0 dan I n×n merupakan matriks identitas. Matriks Q=I−
2 uu T disebut matriks householder. T u u
Setelah matriks H diketahui, maka akan digunakan metode QR untuk mencari nilai dan vektor eigen matriks H.
35 2.6
Dinamika Populasi
Dinamika populasi adalah ilmu yang mempelajari perubahan dalam jumlah, komposisi usia, berat, dan sebagainya dalam satu atau beberapa populasi. Pada awalnya dinamika populasi adalah cabang utama dari matematika biologi, dan didominasi oleh studi demografi yaitu ilmu yang mempelajari populasi manusia, struktur dan perubahannya. Namun pada perkembangan selanjutnya, dinamika populasi tidak hanya mempelajari manusia saja, tetapi juga hewan dan tumbuhan. Ukuran populasi biasanya dipengaruhi oleh tiga faktor utama , yaitu tingkat kelahiran/natality, tingkat pertumbuhan/growth rate, tingkat kematian/mortality. Tingkat perpindahan (imigrasi atau emigrasi) juga merupakan salah satu faktor, tetapi biasanya tidak diukur. Cara memodelkan dinamika populasi dapat dilakukan dengan sudut pandang individual (i-state) di mana kita menelusuri individual-individual dengan karakteristik yang berbeda (misalkan usia, strata, ukuran, dsb.) atau dapat dilakukan dengan sudut pandang populasi (p-state) di mana kita mencirikan populasi dengan fungsi kepadatan (misalkan distribusi usia, atau ukuran, dsb.). Model populasi dasar mencirikan populasi dengan sebuah variabel p-state
Salah satu contohnya adalah dengan memodelkan
pertumbuhan populasi dengan variabel usia. Model tersebut menjelaskan gambaran populasi yang ada, dan perkiraan gambaran populasi tersebut di masa yang akan datang.
2.7
Model Pertumbuhan Leslie
Model ini pertama dijelaskan oleh Lotka pada tahun 1920-an dan diformalisasikan pada 1940-an oleh Leslie. Model ini berdasar pada tingkat bertahan hidup (survival) dan kesuburan (fecundity) berdasarkan umur.
36
pi
Kemungkinan bertahan hidup(survive) dari umur i ke umur i+1
fi
Banyaknya anak per individual pada umur i
ni(t)
Banyaknya individual pada kelas umur i pada waktu t.
Kita mengambil n0 sebagai banyaknya individual yang baru lahir. Jadi: T
n0 (t + 1) = ∑ ni (t ) f i , i =0
di mana T adalah umur maksimum seorang individual dapat hidup. Banyaknya individu dalam kategori umur lainnya ditentukan oleh banyaknya individual yang bertahan hidup dari tahun sebelumnya. Khususnya, ni (t + 1) = pi −1 ni −1 (t ) Secara keseluruhan, hal ini menjelaskan demografi dari populasi, dengan asumsi untuk saat ini bahwa pi dan fi tidak bervariasi dari tahun ini ke tahun berikutnya. Ini dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai ⎛ no (t + 1) ⎞ ⎛ f 0 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ n1 (t + 1) ⎟ ⎜ p 0 ⎜ n (t + 1) ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎜ 2 M ⎟ ⎜ 0 ⎜ ⎜ n (t + 1) ⎟ ⎜ 0 ⎠ ⎝ ⎝ T
f1
f2
K
0
0
L
p1 0
0 p2
L O
0
0
pT −1
f T ⎞⎛ n0 (t ) ⎞ ⎟ ⎟⎜ 0 ⎟⎜ n1 (t ) ⎟ 0 ⎟⎜ n2 (t ) ⎟ ⎟ ⎟⎜ 0 ⎟⎜ M ⎟ 0 ⎟⎠⎜⎝ nT (t ) ⎟⎠
Singkatnya, n(t ) = An(t − 1) = A t n(0) Model inilah yang biasa disebut Model Matriks Leslie. Matriks Leslie memiliki tingkat kesuburan di baris pertama dan tingkat bertahan hidup di subdiagonal, sedangkan elemen lainnya adalah 0. Tetapi representasi matriks yang lebih umum untuk jenis ini
37 dapat memenuhi kebutuhan untuk model yang lebih luas di mana subpopulasi yang berubah-ubah sifatnya seiring waktu. Perlu dicatat bahwa tingkat bertahan hidup dalam contoh di atas memberikan informasi yang cukup banyak, bersama dengan interaksi yang mungkin terjadi di antara subpopulasi, dan antara subpopulasi dengan lingkungan. Ini mungkin dibutuhkan untuk kasus tertentu, tetapi tergantung pada bagaimana populasi global dibagi, kita dapat memliki parameter yang lebih spesifik mengenai hubungan antara satu subpopulasi dengan state sebelumnya atau antara state sebelumnya dengan subpopulasi lainnya Sifat-sifat yang penting dari matriks Leslie antara lain, adalah: 1.
Seluruh kelas umur diidentifikasi, masing-masing dengan tingkat kesuburan dan bertahan hidup mereka masing-masing.
2.
Setiap anggota dari kelas umur memiliki kemungkinan yang sama untuk bertahan hidup ke tahun berikutnya, dan memroduksi keturunan yang sama banyaknya.
3.
Linier – Populasi akan berkembang atau menyusut secara geometris.
4.
Seluruh kelas umur bertumbuh (atau menyusut) dalam tingkat yang sama.
5.
Pertumbuhan awal bergantung pada struktur umur dari populasi.
6.
Reproduksi awal memiliki kontribusi yang lebih banyak daripada tingkat pertumbuhan populasi daripada tingkat reproduksi akhir. Pada manusia, seorang wanita yang memiliki tiga orang anak dimulai dari umur 15 tahun memiliki kontribusi yang sama dengan wanita yang memiliki lima orang anak dimulai dari umur 30 tahun.
38 2.8
Analisis Nilai Eigen terhadap Model Pertumbuhan Leslie
Kita akan memperhatikan bagimana nilai eigen dan vektor eigen dari matriks transfomasi pada Model Pertumbuhan Leslie digunakan untuk mempermudah perhitungan. Ketika kita dapat memilih beberapa vektor sebagai vektor basis (satu untuk tiap dimensi dari ruang), kita tentu ingin agar kita dapat menulis vektor sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor basis tersebut. Dalam hal ini, sembarang vektor x dapat ditulis sebagai jumlah ‘bobot’ dari sembarang vektor (basis) b: n
x = ∑ wi bi , i
di mana nilai wi adalah skalar untuk setiap i. Walaupun kita dapat menuliskan sembarang vektor sebagai vektor basis (asal bukan kelipatan dari vektor basis lainnya), kita akan menuliskan vektor basis dengan vektor eigen. Salah satu alasan yang ingin difokuskan adalah, dengan menuliskan vektor eigen sebagai vektor basis akan menyederhanakan perhitungan untuk transformasi yang akan dilakukan secara berulangulang untuk sebuah vektor. Untuk memperjelas, ingat bahwa transformasi berulang n kali dalam bentuk Ax berarti Anx. Ini adalah apa yang akan kita cari apabila kita membaharui nilai secara berulang-ulang menggunakan persamaan diferensial, di mana xt+1=Axt. Tentu akan lebih sulit untuk menghitung secara langsung An; bahkan untuk mendapat nilai tersebut kita perlu melakukan seluruh perkalian matriks, yang terlebih sulit lagi untuk matriks berukuran besar. Tentu akan lebih mudah bila operasi pangkat yang dilakukan bukan untuk matriks yang mungkin berukuran besar, tetapi hanya untuk bilangan skalar. Ini adalah apa yang kita dapat apabila kita menggunakan vektor eigen sebagai vektor basis.
39 Tetapi sebuah matriks berorde n × n belum tentu memiliki tepat n buah vektor eigen. Kekurangan lainnya adalah adanya trade off pada beban perhitungan karena adanya fakta bahwa kita harus mengetahui bagaimana cara menulis ulang vektor awal dalam suku vektor eigen. Dengan kata lain, kita harus mengetahui nilai eigen dan vektor eigen yang beresuaian; lalu kita harus mencari bobot yang tepat untuk menyatakan vektor tersebut dalam suku-suku vektor eigen. Cara mencari nilai dan vektor eigen telah dijabarkan di muka, yaitu dengan menggunakan algoritma QR. Setelah kita mengetahui nilai dan vektor eigen, langkah terakhir adalah mencari bobot. Ingat bahwa sebuah vektor x dapat ditulis sebagai bobot dari vektor eigen, yang juga dapat ditulis sebagai:
x t = Ew t di mana E adalah matriks yang kolom-kolomnya adalah vektor eigen yang telah kita dapatkan, dan w adalah vektor yang mengandung bobot yang kita cari. Vektor w dapat dicari dengan mengalikan kedua ruas dengan E-1, yang berarti E −1 Ew t = Iw t = w t yang sama dengan E −1 x t , yang akan kita hitung. Dengan vektor eigen yang telah kita dapat, dan bobot telah kita dapatkan, kita dapat menyatakan vektor x yang ingin kita cari dalam suku-suku vektor eigen. Ada alasan lain mengapa kita ingin menghitung nilai eigen, terlepas dari kebutuhan untuk mencari vektor eigen, yaitu bahwa kita sedang berusaha menghitung Anx dengan cara yang lebih mudah. Untuk mendapat nilai ini, kita perlu tiga hal yang
40 telah kita dapat sebelumnya: vektor eigen, nilai eigen, dan bobot. Sekarang kita dapat membicarakan vektor x dalam suku-suku vektor eigen A. Karena: n
A n x = A n ∑ wi ei i
(dengan ei adalah vektor eigen ke-i dari A), dan juga A = λi untuk setiap ei (dari definisi nilai eigen), maka kita dapat menulis: n
n
i
i
A n x = ∑ A n wi ei = ∑ λi wi ei n
Persamaan terakhir adalah yang ingin kita cari selama ini. Ini adalah cara untuk menghitung vektor x setelah ditransformasi n-kali oleh A, tanpa melakukan perkalian dengan A. Dari sudut yang lain, akan menjadi lebih nyata bila kita mendapatkan nilai dan vektor eigen dari matriks transformasi, kita sebenarnya memiliki hal yang akan memberitahu kita tingkah laku ke depan dari sistem yang akan dijelaskan dari state awal x0 dan sebuah matriks transformasi A.
2.9
Rekayasa Piranti Lunak
2.9.1
Definisi Rekayasa Piranti Lunak
Menurut pendapat Pressman (1991, p.6), terdapat tiga macam pengertian piranti lunak , yaitu: 1.
Instruksi-instruksi (program komputer) yang ketika dijalankan
akan
menghasilkan fungsi dan performa yang diinginkan. 2.
Suatu kumpulan struktur data yang memungkinkan program untuk memanipulasi informasi.
41 3.
Suatu dokumen-dokumen yang menggambarkan operasi dan kegunaan dari program. Sedangkan rekayasa piranti lunak menurut Pressman (1991, p.20) merupakan
penggunaan prinsip-prinsip rekayasa untuk mendapatkan piranti lunak yang ekonomis, dapat diandalkan, dan dapat dijalankan dengan efisien pada mesin yang ada.
Gambar 2.2
Lapisan-lapisan Rekayasa Piranti Lunak
Rekayasa Piranti Lunak adalah teknologi yang berlapis. Dari gambar 2.2, setiap rekayasa piranti lunak harus berpijak pada kualitas. Dasar dari rekayasa piranti lunak adalah proses. Proses rekayasa piranti lunak merupakan perekat dari teknologi dan membuat pengembangan dari piranti lunak menjadi rasional. Metode rekayasa piranti lunak menyediakan teknis pembuatan sebuah piranti lunak seperti perancangan proyek dan estimasi, menganalisa kebutuhan sistem, perancangan struktur data, prosedur algoritma, arsitektur program, pengkodean, dan pemeliharaan. Alat (tools) rekayasa piranti lunak menyediakan layanan yang otomatis atau semi otomatis untuk proses dan metode.
42 2.9.2
Model Rekayasa Piranti Lunak
Model rekayasa piranti lunak yang digunakan adalah Linear Sequential Model Seringkali disebut sebagai siklus hidup klasik (Classic Life Cycle) atau waterfall model. Model ini memberikan pendekatan-pendekatan yang sistematik dan berurutan (sequential) dalam pengembangan suatu software. (Pressman, 2001, p28). Model ini merupakan model yang paling banyak digunakan.
Gambar 2.3
Model Sekuensial Linear
Tahapan-tahapan yang terdapat dalam Linear Sequential Model adalah sebagai berikut: •
System Engineering And analysis (Rekayasa dan analisa sistem). Karena software merupakan bagian dari sistem yang lebih besar, maka setiap pekerjaan dimulai dari penentuan kebutuhan untuk keseluruhan elemen sistem dan kemudian mengalokasikan beberapa dari kebutuhan tersebut pada software. Sistem Engineering dan analysis meliputi pengumpulan kebutuhan pada level sistem dengan jumlah yang sedikit dari desain top level dan analisa.
43 •
Software Requirement Analysis (Analisis kebutuhan piranti lunak). Analisis kebutuhan piranti lunak merupakan kebutuhan untuk memperoleh proses
yang intensif dan terfokus pada spesialisasi dari software. Untuk
mengerti karakteristik dari program yang akan dibuat, maka pengembang software harus mengerti dan memahami kebutuhan-kebutuhan software, seperti fungsi apa saja yang diperlukan, performa software dan antar muka software. •
Design (Perancangan) Perancangan software merupakan proses dengan langkah yang cukup banyak yang terfokuskan pada 4 atribut penting dari program, yaitu struktur data, arsitektur software, detil prosedur, dan karakteristik dari antarmuka.
•
Coding (Pengkodean) Coding merupakan langkah untuk menerjemahkan design ke dalam bentuk yang dapat dikenali oleh mesin (komputer). Jika pada tahap design difokuskan pada hal-hal yang detil, maka pada tahap coding difokuskan pada hal yang mekanik.
•
Testing (Pengujian) Testing merupakan langkah yang digunakan untuk menguji program yang telah dibuat apakah telah sesuai dengan analisis, kebutuhan dan desain seperti yang telah direncanakan sebelumnya. Testing juga dimaksudkan untuk mencari kesalahan-kesalahan yang mungkin ada.
•
Maintenance (Pemeliharaan) Maintenance merupakan suatu langkah yang digunakan untuk menjaga dan memelihara program yang telah dibuat agar tetap berfungsi dengan baik.
44 2.10
UML (Unified Modelling Language)
UML adalah suatu bahasa standar untuk menulis cetak biru (rancangan) piranti lunak. UML dapat digunakan untuk memvisualisasi (visualizing), menspesifikasikan (specifying), membentuk (constructing), dan mendokumentasikan (documenting) sistem piranti lunak (Booch et al, 1999, p13). Booch, Jacobson dan Rumbaugh menyatakan ada tiga tujuan dibentuknya UML, yaitu: Untuk memodelkan sistem, dari konsep menjadi suatu objek yang dapat
1.
dijalankan dengan menggunakan teknik berorientasi objek. Untuk menempatkan masalah yang sifatnya skalar ke dalam sistem yang rumit
2.
dan bertujuan kritis. Untuk membuat sebuah bahasa pemodelan yang bisa digunakan oleh manusia
3.
dan mesin. Berikut adalah beberapa diagram-diagram dalam UML: Class Diagram
1.
Class diagram mengambarkan kumpulan class, interfaces dan collaboration serta relationships ketiganya (Booch et al, 1999, p25). Beberapa komponen class diagram antara lain: •
Class Sebuah class adalah kumpulan objek yang mempunyai attributes, operations, relationships dan semantics yang sama (Booch et al, 1999, p49). Class dapat merepresentasikan hal fisik (seperti pelanggan, produk, buku), hal konseptual (seperti pesanan, pinjaman, pemesanan) atau hal organisasi (seperti perusahaan atau departemen).
45 Class digambarkan dengan sebuah kotak persegi panjang. Notasi class terdiri dari 3 bagian yaitu nama class, attribute dan operation.
Gambar 2.4 Notasi class •
Relationships i.
Generalization Menggambarkan hubungan class yang umum dengan class yang khusus yang dikenal dengan hubungan subclass/superclass atau child/parent.
ii.
Association Menggambarkan hubungan struktural antara class. Pada association, terdapat multiplicity dan aggregation. Multiplicity menggambarkan berapa banyak objek yang mungkin terhubung dari suatu hubungan association. Multiplicity dinotasikan dengan 1 atau 1..1, * atau 0..*, 0..1, 1..* atau bilangan tertentu di masingmasing ujung garis association. Misalkan:
Gambar 2.5 Contoh multiplicity Aggregation adalah association yang mempunyai hubungan “bagian dari”. Misalkan:
46
Gambar 2.6 Contoh aggregation 2.
Use Case Diagram Use case diagram menggambarkan sekumpulan use case dan actor serta
hubungan antara keduanya. Beberapa komponen dari use case diagram: •
Actor Actor mewakili peran pengguna dalam hubungannya dengan use case. Actor dapat saja berupa seorang manusia, alat perangkat keras atau sistem lain.
Gambar 2.7 Notasi actor •
Use case Use case menjelaskan sekumpulan urutan, di mana masing-masing urutan mewakili interaksi “benda” di luar sistem (actor) dengan sistem itu sendiri (Booch et al, 1999, p220). Sebuah use case mewakili sebuah functional
47 requirement dari sistem secara keseluruhan. Use case menggambarkan apa yang dilakukan oleh sistem, bukan bagaimana sistem melakukannya.
Gambar 2.8 Notasi use case •
Flow of events Flow of events menggambarkan perilaku sistem dengan kalimat yang jelas sehingga bisa dimengerti dengan mudah oleh orang di luar sistem.
•
Include Include relationship di antara use case-use case berarti sebuah use case dasar memasukkan perilaku dari use case lain secara eksplisit. Include relationship digunakan untuk menggambarkan use case yang berulang.
Gambar 2.9 Contoh include relationship •
Extend Extend relationship di antara use case-use case berarti use case dasar memasukkan perilaku dari use case lain secara tidak langsung. Extend relationship digunakan untuk menggambarkan variasi dari tingkah laku normal.
48
Gambar 2.10 Contoh extend relationship 3.
Activity Diagram Activity Diagram menggambarkan flow (aliran) dari sebuah aktivitas ke aktivitas
lainnya dalam sistem.
Komponen
Keterangan Initial state, yaitu menyertakan awal dimulainya suatu aktivitas. Final state, yaitu menyatakan berakhirnya suatu aktivitas. State, menggambarkan aktivitas yang merepresentasikan kinerja dari suatu operasi Pada transition dapat dituliskan ekspresi sebagai guard (kondisi yang menentukan aliran kontrol, ditandai dengan tanda “[ ]”). Decision, menggambarkan kontrol dari aliran yang bersifat kondisional. Forking dan joining dipergunakan untuk menggambarkan aliran kontrol yang berjalan secara paralel atau bersamaan. Tabel 2.1 Tabel notasi activity diagram
49 4.
Statechart Diagram Statechart Diagram menggambarkan sebuah state machine, yang terdiri dari
state, transition, event dan aktivitas (Booch et al, 1999, p25). Statechart diagram hampir sama dengan activity diagram. Keduanya sama-sama menggambarkan flow of control. Bedanya activity diagram menggambarkan flow of control dari suatu aktivitas ke aktivitas, sedangkan statechart diagram menggambarkan flow of control dari suatu state ke state lainnya.
