BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1. Teori Antrian
Menunggu dalam suatu antrian adalah hal yang sering terjadi dalam kehidupan kita sehari-hari . Teori Antrian (Queueing Theory), meliputi studi matematika dari antrian atau garis tunggu (Waiting lines). Garis tunggu merupakan fenomena alam yang terjadi bilamana permintaan terhadap suatu pelayanan pada waktu-waktu tertentu melebihi kapasitas pelayanan. Secara umum dikatakan bahwa bila langganan yang datang melebihi daripada fasilitas pelayanan yang sedang sibuk maka akan terjadi antrian. Kejadian antrian sering kali terjadi pada banyak hal dalam kehidupan seharihari, seperti loket-loket pembayaran rekening, loket-loket stasiun bus dan sebagainya.Dimana langganannya berupa konsumen yang datang ,sedangkan loket merupakan stasiun pelayanan. Yang antri belum tentu orang tetapi juga biasa barang, misalnya bahan mentah yang akan diproses untuk dijadikan produksi, komoditi ekspor yang akan dimuat di pelabuhan, data yang akan diolah dipusat kompuetr, mobil akan di perbaiki dibengkel. Adakalanya langgananan terlalu lama menunggu untuk dilayanai, di lain pihak dapat terjadi fasilitas pelayanan banyak menganggur. Keadaan ini menimbulkan ongkos (suatu kerugian), yang perlu mendapatkan hasil optimum diatara dua hal yang bersangkutan tersebut antrian yang sangat panjang dan terlalu lama untuk memperoleh giliran pelayanan sangat menjengkelkan. Rata –rata lamanya untuk menunggu (waiting time) sangat bergantung kepada rata-rata tingkat kecepatan pelayanan ( rate of service ). Antrian terjadi karena kecepatan kedatangan pelanggan pada fasilitas pelayanan lebih dari kecepatan pelayanan yang diberikan oleh stasiun pelayanan, sehingga fasilitas pelayanan tidak mampu melayani arus kedatangan langgganan.
5
Barisan antrian yang terjadi ini semakin lama semakin berkurang, karena adanya proses layanan yang diberikan oleh stasiun palayanan, dan apabila telah melewati musim kedatangan permintaan, fasilitas pelayanan layanan akan menganggur kembali kedua hal ini dapat merugikan bagi pihak konsumen maupun bagi pihak produsen. Sebab dengan adanya antrian konsumen akan menunggu sehingga menyebabkan waktunya terluang untuk kegiatan lainnya. Sedangkan fasilitas pelayanan menganggur merupakan pemborosan bagi pihak pengusaha.
2.2 Sistem Antrian dan Disiplin Antrian
2.2.1 Sistem Antrian
Langganan tiba dengan laju tetap atau tidak untuk memperoleh pelayanan pada fasilitas pelayanan. Bila langganan yang tiba dapat masuk kedalam fasilitas pelayanan, maka itu akan segera ia lakukan. Tetapi kalau harus menunggu, maka mereka akan membentuk suatu antrian hingga tiba waktunya untuk dilayani. Mereka akan dilayani dengan laju tetap atau tidak tetap. Setelah selesai, mereka pun berangkat. Berdasarkan uraian diatas, maka sistem antrian dapat dibagi atas 2 (dua) komponen yaitu : 1. Antrian yang memuat langganan atau satuan-satuan yang memerlukan pelayanan (pembeli, orang sakit, mahasiswa, kapal dan lain-lain) 2. Fasilitas pelayanan yang memuat pelayanan dan saluran pelayanan (Pompa minyak dan pelayanannya, loket bioskop dan petugas penjual karcis dan lainlain )
Disiplin Antrian
Disiplin antrian adalah konsep membahas mengenai kebijakan dimana para langganan dipilih dari antrian untuk dilayani, berdasarkan urutan kedatangan pelanggan. Ada 4 bentuk disiplin pelayanan yang biasa digunakan dalam praktek yaitu :
6
1. First Come Served (FCFS) atau First In First out (FIFO) yaitu pelanggan yang datang lebih dulu akan dilayani lebih dulu, misalnya sistem antrian pada Bank, SPBU, Pembelian karcis bioskop, dan lain-lain. 2. Last Come First Served (LCFS) atau Last In First Out (LIFO) yaitu sistem antrian pelanggan yang datang terakhir akan dilayani lebih dulu. Misalnya sistem antrian dalam elevator lift untuk lantai yang sama. 3. Service in Random order (SIRO) yaitu panggilan didasarkan pada peluang secara acak, tidak soal siapa yang lebih dulu tiba, biasanya timbul dalam keadaan praktis. 4. Priority Service (PS) yaitu pelayanan diberikan kepada mereka yang mempunyai prioritas leih tinggi dibandingkan dengan mereka yang mempunyai prioritas lebih rendah, meskipun orang ini kemungkinannya sudah lebih dulu tiba dalam garis tunggu. Kejadian seperti ini bisa disebabkan oleh beberapa hal, misalnya seseorang yang karena kedudukan atau jabatannya lebih tinggi menyebabkan dia dipanggil terlebih dahulu atau diberi prioritas lebih tinggi, misalnya seseorang yang keadaan penyakitnya lebih berat dibanding dengan orang lain dalam suatu tempat praktek dokter.
2.3. Elemen-elemen dasar model antrian
Elemen-elemen dasar model antrian bergantung kepada faktor-faktor berikut : a. Distribusi Kedatangan Kedatangan langganan kedalam sistem selalu menurut proses Poisson, yaitu banyaknya langganan yang datang sampai pada waktu tertentu mempunyai distribusi Poisson. Hal ini benar apabila kedatangan langganan secara random pada kecepatan kedatangan rata-rata tertentu. b. Barisan Antri Suatu antrian selalu ditandai dari besarnya jumlah langganan yang ada didalam sistem untuk mendapatkan pelayanan. Antrian disebut terbatas apabila jumlah langganan yang dibolehkan masuk kedalam sistem, dibatasi sampai jumlah tertentu, bila pembatasan yang demikian tidak diadakan, maka antrian dikatakan tidak terbatas. c. DisiplinPelayanan
7
Disiplin pelayanan adalah suatu urutan yang dikenakan di dalam memilih langganan,dari barisan antri untuk segera dilayani.Aturan yang biasa digunakan adalah “First In First Out ”(FIFO), yakni siapa yang lebih dahulu datang, maka ia akan dilayani lebih dahulu. Aturan-aturan lain seperti, “Last In First Out ”(LIFO), yakni belakangan datang akan lebih dahulu dilayani, Random ,Prioritas dan lain-lain.Disipli pelayanan berdasarkan prioritas, pada umumnya ditemui pada pelayanan di rumh sakit, dimana orang yang mendapat penyakit lebih parah dilayani lebih dahulu, walaupun belakangan datang. d. Mekanisme Pelayanan Mekanisme pelayanan adalah jumlah susunan stasiun, yang terdiri dari satu atau lebih stasiun pelayanan disusun seri atau pararel, gabungan atau sirkuler. Suatu model pelayanan tunggal, apabila sistem hanya mempunyai satu stasiun pelayanan dan kalau dikatakan model pelayanan ganda bila stasiun pelayanan lebih dari satu. e. Waktu Pelayanan Waktu yang diperlukan untuk pelayanan, sejak pelayanan di mulai hingga selesai disebut waktu pelayanan. Waktu pelayanan ini juga mempunyai suatu distribusi probabilitas, yakni ditentukan berdasarkan sample dari keadaan sebenarnya. Dalam keadaan tertentu, dapat berupa distribusi Erlang(Gamma), Eksponensial, Uniform dan lain-lain. f. Sumber Masukan Sumber populasi jumlah langganan yang mempunyai kemungkinan memasuki sistem untuk mendapatkan pelayanan. Ukuran populasi dikatakan tidak terbatas, apabila jumlah langganan cukup besar dan dikatakan tidak terbatas, apabila jumlah langganan kecil.
2.4. Model-model Antrian
Atas dasar sifat pelayanannya, dapat diklasifikasikan fasilitas-fasilitas pelayanan dalam susunan saluran dan fase yang akan membentuk suatu struktur antrian yang berbeda-beda, istilah saluran menunjukkan jumlah jalur untuk memasuki sistem pelayanan. Sedangkan istilah fase berarti jumlah stasiun-stasiun pelayanan, dimana para langganan harus melaluinya sebelum pelayanan dinyatakan lengkap.
8
Ada empat model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh sistem antrian: 1.Single Chanel- single fase Sistem ini adalah yang paling sederhana. Single Chanel berarti bahwa hanya ada satu jalur untuk memasuki sistem pelayanan atau ada satu pelayanan. Single fase menunjukkan bahwa hanya ada satu stasiun pelayanan sehingga yang telah menerima pelayanan dapat langsung keluar dari sistem antrian. Contohnya adalah pada pembelian tiket kereta api antar kota yang dilayani oleh satu loket, seorang pelayan toko dan sebagainya. 2
Single Chanel- multi fase
Istilah multi fase berarti ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan dalam fase-fase. Misalnya pada proses pencucian mobil,lini produksi massa dan lain-lain. 3. Multi Chanel- single fase Sistem multi chanel- single fase terjadi jika ada dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh suatu antrian tunggal. Sebagai contoh adalah pada pembelian tiket yang dilayani oleh lebih dari satu loket, pelayanan potong rambut oleh beberapa tukang cukur dan sebagainya. 4.Multi Chanel- multi fase Sebagai contoh adalah pada pelayanan kepada pasien di rumah sakit dari pendaftaran, diagnosa, tindakan medis sampai pembayaran. Setiap sistem-sistem ini mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap, sehingga lebih dari satu individu dapat dilayani pada suatu waktu. Model-model ini dapat dilihat pada gambar Sistem antrain berikut : Sistem Antrian Sumber Pelanggan Pelanggan dilayani Pelanggan Datang
Pelayan Antrian
Gambar II-1 : Antrian Tunggal Pelayanan Tunggal
Pelayan Pergi
9
Sistem Antrian Sumber Pelanggan Pelayan 1 Pelanggan
Pelayan
Pelayan 2
Pergi
Datang Antrian Pelayan 3
Gambar II-2 : Antrian Tunggal Pelayanan Ganda Sistem Antrian Sumber Pelanggan Pelayan 1 Pelanggan
Antrian 1 Pelayan Pergi
Datang Pelayan 2 Antrian 2
Gambar II-3 : Antrian Ganda Pelayanan Ganda Sistem Antrian Sumber Pelanggan
Pelayan
Pelanggan Pelayan 1
Pelayan 2
Datang
Pergi
Antrian
Gambar II-4: Antrian Tunggal Pelayanan Seri 2.5Terminologi dan Notasi
Beberapa pengertian terminologi dan notasi yang biasa digunakan adalah : a.
Keadaan sistem ialah jumlah atau banyaknya aktivitas pelayanan yang melayani satuan langganan yang berada dalam sistem
b.
Panjang antrian adalah banyaknya satuan yang berada dalam sistem dikurangi dengan jumlah satuan yang sedang dilayani.
10
Notasi yang digunakan sebagai berikut : n = Jumlah satuan nasabah dalam sistem antrian P = Peluang bahwa ada n satuan nasabah yang masuk dalam antrian dalam waktu t
λ = Kecepatan pertibaan rata-rata
λ∆t = Peluang bahwa ada satu satuan nasabah yang masuk dalam antrian selama waktu t
µ = Kecepatan pelayanan rata-rata µ∆t = Peluang bahwa ada satu satuan nasabah yang selesai dilayani selama waktu t
ρ = Intensitas lalu lintas c µ = Faktor utilitas untuk fasilitas pelayanan c E (nw) = Jumlah rata-rata nasabah dalam garis tunggu E (nt) = Jumlah rata-rata nasabah dalam sistem antrian E (tw) = Waktu menunggu rata-rata nasabah E(tn)= Waktu rata-rata nasabah salam sisrem antrian Untuk kemudahan dalam memahami karakteristik suatu sistem antrian digunakan notasi Kendall Lee yaitu format umum, (a / b /c ) : (d / e /f ). Notasi ini dikenalkan pertama kali oleh DG Kendall dalam bentuk (a / b /c ) dan selanjutnya AM.Lee menambahkan symbol d,e dan f pada notasi kendall. Notasi tersebut mempunyai arti sebagai berikut : a : bentuk distribusi pertibaan, yaitu jumlah pertibaan pertambahan waktu b : Bentuk distribusi pelayanan, yaitu selang waktu antara satuan-satuan yang dilayani c : jumlah saluran pararel dalam sistem d : Disiplin pelayanan e : Jumlah maksimum yang diperkenankan berada dalam sistem f : Besarnya populasi masukan Simbol a dan b untuk kedatangan dan kepergian digunakan kode-kode berikut sebagai pengganti : M : Distribusi pertibaan Poisson atau distribusi pelayanan eksponensial D : Waktu pelayanan tetap G : Distribusi umum keberangkatan atau waktu pelayanan Untuk huruf d digunakan kode-kode pengganti : FIFO atau FCFS
11
LIFO atau LCFS SIRO Untuk huruf c, dipergunakan bilangan bulat positif yang menyatakan jumlah pelayanan pararel. Untuk huruf e dan f digunakan kode N atau menyatakan jumlah terbatas atau tak berhingga satu-satuan dalam sistem antrian dan populasi masukan. Misalnya kalau kita tulis model (M/M/1) : (FIFO/~/~), ini berarti bahwa model menyatakan pertibaan didistribusikan secara Poisson, waktu pelayanan didistribusikan secara eksponensial, pelayanan adalah first in first out, tidak berhingga jumlah langganan boleh masuk dalam sistem antrian dan ukuran (besarnya) populasi masukan adalah tak berhingga.
2.6. Pola Kedatangan dan Lama Pelayanan
2.6.1. Pola Kedatangan
Fungsi peluang Poisson diunakan untuk menggambarkan tingkat kedatangan dengan asumsi bahwa jumlah kedatangan adalah acak.Dimana persamaannya fungsi Peluang Poisson adalah sebagai berikut : P(x-kedatangan) = dengan :
2.6.2
λ x .e − λ x!
P (x) = Peluang bahwa ada x pelanggan dalam sistem
λ
= Harga rata-rata kecepatan kedatangan
e
= Bilangan navier ( e = 2,71828 )
x
= Bilangan bulat ( 0,1,2,3,… )
Lama Pelayanan
Lama Pelayanan yang dihitung sejak kedatangan pelanggan dalam sistem antrian sampai selesai pelayanan mengikuti : a. Distribusi Eksponensial yang persamaannya sebagai berikut :
f (t ) = µ e - µ t Dengan
µ e
= Rata-rata lama pelayanan = Bilangan navier ( e = 2,71828 )
12
t
= waktu lamanya pelayanan tiap unit
Untuk mengetahui suatu proses kedatangan berdistribusi Poisson atau tidak, dapat digunakan uji kesesuain dengan menggunakan pengujian Chi-Kuadrat,dengan rumus B
K
χ = ∑∑ (Oij − Eij ) 2 / Eij 2
i =1 j =1
Dengan O ij = Banyaknya nasabah yang diamati pada baris i kolom j E ij = Banyaknya nasabah yang diharapkan pada baris i kolom j B = Jumlah baris
K = Jumlah kolom
Jika χ 2 perhitungan ≤ χ 2 tabel distribusi dapat diterima.
2.6.3. Uji Keacakan
Uji keacakan didasarkan atas urutan skor. Skor dalam hal ini adalah jumlah pelanggan yang datang per 10 menit. Perhitungan ditampilkan berdasarkan pada banyaknya runtun. Runtun didefinisikan sebagai suatu urutan lambang yang sama. Jadi uji keacakan membagi dua jenis jumlah data (n 1 dan n 2 ) dengan pembanding yang ditentukan biasanya adalah nilai tengah (median). Jika n 1 atau n 2 lebih besar dari 20 di uji dengan pendekatan sebaran baku. Pendekatan sebaran normal baku diawali dengan hipotesis sebagai berikut : H 0 : Data sample secara acak dari sebuah populasi H 1 : Data sample diambil tidak secara acak Statistik uji yang digunakan adalah :
Z =
(
r − 1+ n
2 n1n2 1+ n2
)
2 n1n2 ( 2 n1n2 − n1− n2 ) ( n1+ n2 ) 2 ( n1+ n2 −1 )
Dengan : r
= banyak runtun
n1
= jumlah data pada minggu I
n2
= jumlah data pada minggu II
Kriteria keputusan yang digunakan adalah : Terima Ho jika -Z 12 (1−α ) < Z hit < Z
1
2 (1−α )
13
Dalam hal lainnya Ho ditolak. Untuk taraf nyata sebesar α nilai Z 12 (1−α ) dapat diperoleh dari tabel distribusi normal baku.
2.6.4. Uji Kesesuaian
Uji Kesesuaian atau kecocokan dari suatu sebaran empirik terhadap sebaran teoritis dilakukan dengan uji Chi-Kuadrat ( χ 2 ). Uji ini membandingkan kelompok frekuensi yang diamati dengan kelompok frekuensi yang diharapkan. Frekuensi yang diharapkan ternyata timbul dari suatu dugaan atau hipotesis. Teknik ( χ 2 ) menguji apakah frekuensi yang diamati cukup mendekati frekuensi yang diharapkan, maka pengujian Chi-Kuadrat diawali dengan hipotesis sebagai berikut: Ho : Data menyebar Poisson H 1 : Data tidak menyebar Poisson Statistik uji yang digunakan adalah : B
K
χ = ∑∑ (Oij − Eij ) 2 / Eij 2
i =1 j =1
Dengan O ij = Banyaknya nasabah yang diamati pada baris i kolom j E ij = Banyaknya nasabah yang diharapkan pada baris i kolom j B = Jumlah baris
K = Jumlah kolom
Kriteria keputusan yang digunakan dalm pengujian adalah : Tolak Ho jika χ 2 ≥ χ 2 (1−α )( B −1)( K −1) .Dalam hal lainnya Ho diterima. Untuk taraf nyata sebesar α nilai χ 2 (1−α )( B −1)( K −1) dapat diperoleh dari tabel distribusi Chi-Kuadrat.
2.6.5. Faktor Utilisasi
Perhitungan dalam teori antrian berdasarkan syarat bahwa sistem berada dalam kondisi tetap (Steady State). Dalam penerapan teori antrian harus diperhatikan apakah rata-rata pelayanan lebih besar dari rata-rata kedatangan.Ukuran kondisi tetap adalah :
u=
λ
cµ
maka
λ
cµ
<1
14
Dengan
λ = Pertibaan rata-rata
µ = Pelayanan rata-rata c = Banyak fasilitas pelayanan 2.7. Formula yang digunakan Dari model (a/b/c) : (d/e/f) ada beberapa kasus yang menyangkut model tersebut : n
c Dapat diartikan bahwa terdapat satuan yang menunggu untuk dilayani dan semua stasiun pelayan sibuk.
cµλ ≤ λ ( mekanisme pelayanan lebih kecil dari masukan ) Dapat diartikan bahwa akan membludak dan tidak dapat ditentukan antriannya. Sesuai dengan rumus (a / b /c ) : (d / e / f) yang dipakai untuk model penelitian ini, secara terperinci langkah demi langkah pengolahan datanya dilakukan sebagai berikut : Langkah I Penunjukan variable kedua jenis data
λ = Rata-rata Pertibaan dalam satuan waktu µ = Rata-rata Pelayanan dalam satuan waktu Menentukan intesitas lalu lintas
ρ=
λ
cµ
dengan
ρ = intensitas lalu lintas
Langkah II. Menentukan nilai Peluang masa sibuk F(b),
F (b) =
ρ c Po
( ) ρ
c! 1− c
Po = Dengan harga :
c −1
∑
n=0
1 ρn n!
+
ρc ρ c ! 1− c
15
Dengan
F(b)
= Peluang masa sibuk
ρ
= Intensitas lalu lintas
Po
= peluang menganggur
c
= Kapasitas pelayanan
Langkah III. Menentukan harga E(nw), yaitu jumlah rata-rata nasabah dalam garis tunggu.
E ( nw) = F (b)
(
λ
cµ − λ
) atau E
( nw )
= P(b)
( ) ρ c−ρ
Dengan E (nw) = Jumlah rata-rata nasabah dalam antrian F(b)
= Peluang masa sibuk
c
= kapasitas pelayanan
λ
= Rata-rata pertibaan dalam satuan waktu
ρ
= Intensitas lalu lintas
µ
= Rata-rata pelayanan dalam satuan wakru
Langkah IV. Menentukan harga E(tn), yaitu jumlah rata-rata nasabah berada dalam sistem.
E (tn) = F (b)(cµλ−λ ) + µλ E (tn) = F (b)
( )+ ρ ρ c−ρ
Dengan E (tn)
= jumlah rata-rata nasabah dalam sistem
F(b)
= peluang masa sibuk
c
= kapasitas pelayanan
λ
= Rata – rata pertibaan dalam satuan waktu
ρ
= Intensitas lalu lintas
µ
= Rata- rata pelayanan dalam satuan waktu
16
Langkah IV. Menentukan harag E (Tw) , yaitu waktu rata-rata nasabah dalam garis tunggu
E ( Tw)
( ) E( nw )
λ
Dengan E(Tw) = waktu rata-rata nasabah dalam antrian E(nw) = jumlah rata-rata nasabah dalam antrian
λ
= Rata-rata pertibaan dalam satuan waktu
Langkah VI. Menentukan harga E(Tt), yaitu waktu rata-rata nasabah dalam sistem E(Tt) = E (Tw) +
1 µ
Dengan E(Tt) = waktu rata-rata nasabah dalam sistem E(Tw) = waktu rata-rata nasabah dalam antrian
µ
= Rata-rata pelayanan dalam satuan waktu
