Bab 2
LANDASAN TEORI
2.1 Himpunan Fuzzy Tidak semua himpunan yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari terdefinisi secara jelas, misalnya himpunan orang miskin, himpunan orang pandai, himpunan orang tinggi, dan sebagainya. Misalnya, pada himpunan orang tinggi, tidak dapat ditentukan secara tegas apakah seseorang adalah tinggi atau tidak tinggi. Anggap bahwa definisi “orang tinggi” adalah orang yang tingginya lebih besar atau sama dengan 1.75 meter, maka orang yang tingginya 1.74 meter menurut definisi tersebut termasuk orang yang tidak tinggi. Sulit diterima bahwa orang yang tingginya 1.74 meter itu tidak termasuk orang tinggi. Hal ini menunjukkan bahwa batas antara kelompok orang tinggi dan kelompok orang yang tidak tinggi tidak dapat ditentukan secara tegas.
Untuk mengatasi permasalahan himpunan dengan batas yang tidak tegas itu, L.A. Zadeh mengaitkan himpunan tersebut dengan suatu fungsi yang menyatakan nilai keanggotaan pada suatu himpunan tak kosong sebarang dengan mengaitkan pada interval [0,1]. Himpunan tersebut disebut himpunan fuzzy dan fungsi ini disebut fungsi keanggotaan (membership function) dan nilai fungsi itu disebut derajat keanggotaan.
2.2 Fungsi Keanggotaan pada Himpunan Fuzzy
Ketika A adalah sebuah himpunan tegas (crisp), fungsi keanggotaannya hanya terdapat 2 nilai kemungkinan, yaitu 0 dan 1, dengan f A (x) = 1 atau 0 tergantung pada x termasuk anggota atau tidak termasuk anggota dalam A. Satu (1) berarti suatu item
Universitas Sumatera Utara
7
menjadi anggota dalam suatu himpunan. Nol (0) berarti suatu item tidak menjadi anggota dalam suatu himpunan.
Sebuah himpunan fuzzy A pada X ditandai oleh fungsi keanggotaan f A (x) yang berhubungan dengan setiap titik di X, sebuah bilangan real pada interval [0,1] dengan nilai dari f A (x) pada x mewakili derajat keanggotaan x pada A. Maka, semakin dekat nilai
f A (x) ke semesta pembicaraan, semakin tinggi derajat
keanggotaan x pada A.
Semesta pembicaraan adalah keseluruhan nilai yang diperbolehkan untuk dioperasikan dalam suatu variabel fuzzy. Semesta pembicaraan merupakan himpunan bilangan real yang senantiasa naik (bertambah) secara monoton dari kiri ke kanan dan nilai semesta pembicaraan dapat berupa bilangan positif atau negatif.
Domain himpunan fuzzy adalah keseluruhan nilai yang diizinkan dalam semesta pembicaraan dan boleh dioperasikan dalam suatu himpunan fuzzy. Fungsi keanggotaan (membership function) adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan titik – titik input data ke dalam nilai keanggotaan yang mempunyai interval antara 0 sampai 1.
Gambar 2.1 Fungsi Keanggotaan dari Sebuah Himpunan Fuzzy
Universitas Sumatera Utara
8
Keterangan gambar: Classical (crisp) set A = himpunan tegas A ~ ~ Fuzzy set A = himpunan fuzzy A membership function = fungsi keanggotaan µ (x)
Definisi 2.1:
X adalah sebuah himpunan tak kosong. Sebuah himpunan fuzzy A pada X ditandai oleh fungsi keanggotaannya: A : X → [0,1]
dan A(x) diinterpretasikan sebagai derajat keanggotaan dari elemen x pada himpunan fuzzy A untuk setiap x ∈ X . Nilai 0 digunakan untuk mewakili bukan anggota, nilai 1 digunakan untuk mewakili keanggotaan penuh, dan nilai – nilai di antaranya digunakan untuk mewakili derajat keanggotaan menengah. Pemetaan A juga disebut sebagai fungsi keanggotaan dari himpunan fuzzy A.
Definisi 2.2: Sebuah himpunan fuzzy adalah kosong jika dan hanya jika fungsi keanggotaannya sama dengan 0 pada X.
Definisi 2.3: Dua himpunan fuzzy A dan B adalah sama, ditulis A = B, jika dan hanya jika f A ( x) = f B ( x) untuk semua x pada X.
2.3 Bilangan Fuzzy
Sebuah bilangan fuzzy merupakan perluasan dari bilangan biasa, dalam arti bahwa hal itu tidak mengacu pada suatu nilai tunggal melainkan pada suatu himpunan nilai – nilai yang mungkin berhubungan, dimana setiap nilai kemungkinan memiliki bobot sendiri antara 0 dan 1. Bobot ini disebut sebagai fungsi keanggotaan. Dengan demikian, sebuah bilangan fuzzy adalah sebuah kasus khusus dari himpunan fuzzy konveks. Sama seperti Logika Fuzzy yang merupakan perluasan dari Logika Boolean (di mana hanya menggunakan ”ya” dan ”tidak” dan tidak ada di antaranya), bilangan
Universitas Sumatera Utara
9
fuzzy merupakan perluasan dari bilangan real. Perhitungan dengan menggunakan bilangan fuzzy memungkinkan penggabungan ketidakpastian parameter, sifat, geometri, kondisi awal, dan sebagainya.
Sebelum menjelaskan tentang bilangan fuzzy, berikut beberapa hal dan definisi yang penting dalam teori himpunan fuzzy: (Hadi Nasseri, 2008, hal: 1778) 1. Sebuah himpunan fuzzy A pada R (barisan bilangan real) didefinisikan sebagai himpunan pasangan terurut A = {( x, µ A ( x)) | x ∈ R} , di mana µ A~ ( x) disebut sebagai fungsi keanggotaan untuk himpunan fuzzy. 2. Sebuah himpunan fuzzy A disebut normal jika terdapat paling sedikit satu titik x ∈ R dengan µ A~ ( x) = 1 .
3. Sebuah himpunan fuzzy A pada R adalah konveks jika untuk setiap x, y ∈ R setiap λ ∈ [0,1] sehingga µ A (λx + (1 − λ ) y ≥ min{µ A ( x), µ A ( y)}. 4. Sebuah bilangan fuzzy adalah sebuah himpunan fuzzy pada barisan bilangan real yang memenuhi kondisi normalitas dan konveksitas.
Definisi 2.4:
~ Bilangan fuzzy A adalah sebuah normalisasi himpunan fuzzy konveks pada barisan bilangan R sehingga: 1.
Terdapat paling sedikit satu xo ∈ R dengan µ A~ ( x0 ) = 1 .
2.
µ A~ ( x) setidaknya kontinu sebagian.
~ Diasumsikan fungsi keanggotaan dari sebarang bilangan fuzzy A adalah sebagai berikut:
mA − x , mA −α A ≤ x ≤ mA 1 − A α x − mA µ A~ ( x) = 1 − , mA ≤ x ≤ mA + β A A β untuk yang lainnya 0,
~ di mana m A adalah nilai rata – rata dari A dan α A dan β A adalah penyebaran kiri dan kanan berturut – turut, ini disebut sebagai bilangan fuzzy triangular. Sebuah
Universitas Sumatera Utara
10
~ bilangan fuzzy triangular ditunjukkan dengan A = (m A , α A , β A ) dan F(R) adalah himpunan dari bilangan fuzzy triangular.
~ Definisi 2.5: Sebuah bilangan fuzzy A = {(x, µ A~ ( x) ) x ∈ R} adalah non negatif jika dan hanya jika µ A~ ( x) = 0 untuk semua x < 0 . Jadi sebuah bilangan fuzzy
triangular
~ A = (m A , α A , β A )
adalah
non
negatif
jika
~ A = (m A , α A , β A )
dan
mA −α A ≥ 0 .
Definisi 2.6: Dua
buah
bilangan
fuzzy
triangular
~ B = (m B , α B , β B ) dikatakan sama jika dan hanya jika m A = m B ,
α A = α B , dan β A = β B .
Definisi 2.7: Sebuah bilangan fuzzy
~ A = ( m A , α A , β A ) dikatakan simetris jika
α A = β A.
2.4 Aritmatika pada Bilangan Fuzzy Triangular ~ ~ Asumsikan A = (m A , α A , β A ) dan B = (m B , α B , β B ) adalah dua buah bilangan fuzzy
triangular, aritmatika pada pada kedua bilangan fuzzy tersebut adalah sebagai berikut: (S.H. Nasseri, 2008, hal: 2475)
a. Penjumlahan
~ ~ : A + B = (m A + m B , α A + α B , β A + β B )
~ b. Perkalian skalar: λ A
c. Pengurangan
(λm A , λα A , λβ A ), jika λ ≥ 0 = λ (m A , α A , β A ) = A A A (λm , λβ , λα ), jika λ ≤ 0
~ ~ : A − B = (m A − m B , α A + β B , β A + α B )
Universitas Sumatera Utara
11
2.5 Matriks Non Negatif dan Vektor Fuzzy Non Negatif Definisi 2.8: Sebuah matriks A disebut non negatif dan dinotasikan A ≥ 0 jika setiap elemen dari A adalah bilangan non negatif. ~ ~ Definisi 2.9: Sebuah vektor fuzzy b = (bi ) m×1 disebut non negatif dan dinotasikan ~ ~ b ≥ 0 jika setiap elemen dari b adalah fuzzy non negatif, dengan kata ~ lain bi ≥ 0 .
2.6 Sistem Persamaan Linear Fuzzy
Sistem persamaan linear n variabel dan n persamaan ditulis dalam bentuk matriks:
Ax = y
(1)
dengan A matriks persegi yang entri-entrinya merupakan bilangan real dan x, y adalah vektor – vektor di dalam R n . Diberikan u1 , u2 , L , u n , v1 , v2 , L , vn ∈ F dan ai , j ∈ R untuk 1 ≤ i , j ≤ n , maka sistem persamaan linear fuzzy: a1,1u1 + a1, 2u 2 + L + a1,n u n = v1 a 2,1u1 + a 2, 2u 2 + L + a 2,n u n = v2 M M M M
(2)
a n ,1u1 + a n , 2u 2 + L + a n,n u n = v n Sistem persamaan (2) dapat ditulis dalam bentuk matriks AU = V dengan
a1,1 a 2 ,1 A= M a n,1
a1, 2 a 2,2 M an, 2
L a1,n u1 v1 v L a 2, n u2 ,U= , dan V = 2 O M M M L a n ,n u n vn
Universitas Sumatera Utara
12
Model sistem persamaan linear (2) mempunyai solusi fuzzy jika terdapat
x1 x n n vektor X = 2 di dalam F n sedemikian hingga ∑ a j ,k x j = v j dan ∑ a j ,k x j = v j , M k =1 k =1 xn untuk setiap j = 1,2,L, n .
Mengingat Definisi 2.6 dan aritmatika pada bilangan fuzzy, fungsi-fungsi v j dan v j dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari x j dan x j . Sistem persamaan (2) diubah ke bentuk 2n variabel dan 2n persamaan menjadi:
BX ∗ = V ∗
dengan
b1,1 b1,2 b b2, 2 2 ,1 B= M M b2 n,1 b2 n, 2
[
]
V ∗ = v 1 , L , v n , −v 1 , L ,− v n
b1, 2 n L b2, 2n O M L b2 n, 2n
(3)
L
T
,
[
X ∗ = x 1 , L , x n , − x 1 , L, − x n
]
T
dan
.
Entri-entri bi , j ditentukan sebagai berikut: 1. jika a i , j ≥ 0, maka bi , j = a i , j dan bi + n , j + n = a i , j 2. jika ai , j < 0, maka bi , j + n = −ai , j dan bi + n, j = −ai , j 3. bi , j = 0, untuk yang lainnya.
Persamaan (3) bukan sistem persamaan linear fuzzy. Persamaan (3) merupakan persamaan linear biasa yang nilai variabelnya berada dalam ruang fungsi. Dengan menggunakan persamaan (3), dimungkinkan sistem persamaan linear fuzzy dapat diselesaikan melalui penyelesaian sistem persamaan linear biasa. Lebih lanjut, matriks B B pada persamaan (3) dapat ditulis dalam bentuk matriks blok B = 1 B2
B2 , B1
sehingga matriks koefesien A pada persamaan (2) adalah A = B1 − B2 .
Universitas Sumatera Utara
13
Contoh 1: Diberikan sistem persamaan linear fuzzy: x1 − x2 = v1 x1 + x2 = v2 1 − 1 Matriks A seperti dalam persamaan (2) adalah . Oleh karena itu, diperoleh 1 1 1 1 matriks B dengan persamaan (3) adalah B = 0 0
0 0 1 1 0 0 . 1 1 0 0 1 1
Contoh 2 : Diberikan sistem persamaan linear fuzzy: x1 − x2 = v1 x1 + 3 x2 = v2 Jika sistem persamaan ini diubah menjadi persamaan (3), maka:
x1 +
(− x 2 )
x 1 + 3x 2
= v2
x 2 + (− x1 )
= −v 1
(− x1 ) + 3(− x 2 )
B Teorema 2.1: Diberikan B = 1 B2
= v1
= −v 2
B2 adalah matriks koefesien pada persamaan (3). B1
Matriks B non singular jika dan hanya jika matriks-matriks A = B1 − B2 dan B1 + B2 keduanya non singular.
Bukti : (⇒)
Dengan
B B= 1 B2
menggunakan operasi elementer
B2 B + B2 , didapat matriks C = 1 B1 B2
baris/ kolom pada
matriks
B1 + B2 . Jika matriks C dikenai B1
B + B2 operasi elementer jumlahan dua kolom, didapat D = 1 B2
. Matriks C B1 − B2 0
Universitas Sumatera Utara
14
adalah matriks yang dihasilkan dari operasi elementer jumlahan dua baris/ kolom dari matriks B. Sedangkan matriks D adalah matriks yang dihasilkan dari operasi elementer jumlahan dua baris/ kolom dari matriks C. Hal ini berakibat: det(B) = det(C) = det(D), sehingga det(B) = det(D) = det(B1 + B2) · det(B1 B2) Karena B non singular maka det(B) ≠ 0 dan det(B1 + B2) · det(B1
B2) = det(B) ≠ 0.
Hal ini mengakibatkan det(B1 + B2) ≠ 0 dan det (B1 B2) ≠ 0. Jadi matriks A = B1 − B2 dan B1 + B2 keduanya non singular. (⇐) Diketahui matriks A = B1 − B2 dan B1 + B2 keduanya non singular. Jadi det(B1 + B2) ≠ 0 dan det(B1 B2) ≠ 0. Dengan cara yang sama seperti pada bagian sebelumnya, didapat: det(B) = det(C) = det(D)
B + B2 dengan C = 1 B2
B1 + B2 B + B2 dan D = 1 B1 B2
. B1 − B2 0
Hal ini berakibat: det(B)= det(D) = det(B1 + B2) · det(B1 B2) ≠ 0 Karena nilai det(B1 + B 2) ≠ 0 dan nilai det(B1 B2) ≠ 0. Sehingga B adalah matriks non singular.
B Teorema 2.2:Diberikan B = 1 B2
B2 adalah matriks koefisien pada persamaan (3). B1
M Jika invers matriks B ada, maka inversnya berbentuk B −1 = N
N . M
Bukti : Misalkan bi , j dan b ∗ i , j berturut-turut menyatakan entri matriks B dan B −1 pada baris ke-i dan kolom ke-j. Karena B −1 =
1 adj( B) , maka: det( B)
Universitas Sumatera Utara
15
(−1) i+ j det( B j ,i )
(4) det(B) sub matriks yang diperoleh dengan cara mengeliminasi baris ke-j dan b
dengan B j ,i
∗
i, j
=
kolom ke-i dari matriks B .
Perhatikan sub matriks B j + n,i dan B j ,i + n . Matriks B j + n,i dapat diperoleh melalui operasi elementer pertukaran baris dan kolom dari B j ,i + n sebanyak p kali, dengan p bilangan genap. Oleh karenanya, det( B j + n,i ) = (-1)p det( B j ,i + n ) = det( B j ,i + n ).
Dari persamaan (4) dan mengingat det( B j + n,i ) = det( B j ,i + n ), maka: b
∗
i +n , j
=
=
(−1) i + n+ j det( B j ,i + n ) det(B) (−1) i + n+ j det( B j + n,i ) det(B)
= b∗i , j+ n
∗ untuk setiap 1 ≤ i, j ≤ n . Sampai di sini, didapat B −1 = N
N ∗
Perhatikan juga sub matriks B j ,i dan B j +n ,i +n , untuk 1 ≤ i, j ≤ n . Karena B B= 1 B2
B2 maka B j +n ,i +n dapat diperoleh menggunakan operasi elementer B1
pertukaran baris dan kolom dari B j ,i sebanyak q kali, dengan q bilangan genap. Oleh karenanya, det( B j ,i ) = (-1)q det( B j + n ,i + n ) = det( B j + n ,i + n ). Hal ini berakibat:
b
∗
i, j
=
=
( −1) i+ j det( B j ,i ) det( B ) ( −1) i + j ( −1) 2n det( B j + n ,i + n ) det( B )
Universitas Sumatera Utara
16
=
(−1) (i + n )+ ( j + n) det(B j + n,i+ n ) det(B)
= b ∗ i + n, j + n untuk setiap 1 ≤ i, j ≤ n . M Terbukti bahwa B −1 = N
N . M
Persamaan (3) merupakan perubahan bentuk dari sistem persamaan linear fuzzy. Walaupun persamaan (3) mempunyai solusi tunggal, tidak berarti sistem persamaan linear fuzzy langsung diperoleh solusinya. Jika B dalam (3) non singular, tidak ada jaminan bahwa X = B −1 V ∈ F , untuk setiap V∈F.
Contoh berikut memperlihatkan bahwa persamaan (3) mempunyai solusi tunggal tetapi permasalahan sistem persamaan linear fuzzy tidak mempunyai solusi tunggal.
Contoh 3: Diberikan permasalahan sistem persamaan linear fuzzy:
x1 + x2 − x3 = (r ,2 − r ) x1 − 2 x2 + x3 = ( 2 + r ,3) 2 x1 + x2 + 3 x3 = ( −2,−1 − r )
Jika diubah dalam bentuk persamaan (3), maka diperoleh matriks-matriks : 1 1 2 A= 0 0 0
1 0 0 0 1 r 2 + r 0 1 0 2 0 −2 1 3 0 0 0 ,X = , dan 0 1 1 1 0 r − 2 −3 2 0 1 0 1 0 0 2 1 3 1 + r
Universitas Sumatera Utara
17
1 1 2 B= 0 0 0
1 0 0 0 1 0 1 0 2 0 1 3 0 0 0 mempunyai invers, sehingga solusi persamaan (3) adalah: 0 1 1 1 0 2 0 1 0 1 0 0 2 1 3
X = [−2.31 + 3.62r ,−0.62 − 0.77r ,1.08 − 2.15r ,−4.69 + 3.38r ,1.62 − 0.32r ,2.92 − 1.85r ]T Misalkan:
x1 = [− 2.31 + 3.62r ,4.69 − 3.38r ] , T
x2 = [− 0.62 − 0.77r ,−1.62 + 0.23r ]
T
x3 = [1.08 − 2.15r , −2.92 + 1.85r ]
T
Vektor ( x1 , x2 , x3 ) bukan solusi sistem persamaan linear fuzzy ini, karena x1 dan x2 bukan bilangan fuzzy.
Teorema berikut memperlihatkan syarat cukup dan syarat perlu agar solusi persamaan (3) juga menjadi solusi untuk sistem persamaan linear fuzzy semula. Sebelumnya, didefinisikan pengertian sifat non negatif yang dimiliki suatu matriks.
[ ]
Matriks Q = qi, j dikatakan non negatif jika untuk setiap i dan setiap j berlaku qi , j ≥ 0 . Sebagai contoh, matriks koefisien pada persamaan (3) di atas adalah matriks
non negatif. Teorema 2.3: Diberikan sistem persamaan linear fuzzy AU = V dengan n variabel dan n persamaan. Persamaan BX ∗ = V ∗ seperti persamaan (3), dengan B non singular. Solusi BX ∗ = V ∗ menjadi solusi sistem persamaan linear fuzzy AU = V jika dan hanya jika matriks B −1 non negatif.
Bukti :
[
(⇒) Misalkan B −1 = [ b∗i , j ] dan X ∗ = x 1 ,L , x n ,− x1 ,L,− x n
] . Karena X T
∗
= B −1V ∗ ,
maka diperoleh:
Universitas Sumatera Utara
18
n
x i = ∑ b ∗i , j v i − j =1
n
∑
b∗i , j + n v i
(5)
j =1
n
− x i = ∑ b∗i+ n, j v i − j =1
n
∑
b∗i+ n, j+ n v i
(6)
j =1
untuk 1 ≤ i, j ≤ n . M Selanjutnya karena B −1 = N n
− x i = ∑ b ∗ i , j +n v i − j =1
n
∑b
∗
i, j
N maka persamaan (6) menjadi: M
v i , sehingga x i =
j =1
n
∑ j =1
n
b ∗ i , j v i − ∑ b ∗ i , j +n v i
(7)
j =1
Jika persamaan (7) dikurangi dengan persamaan (5), maka diperoleh: n
n
n
j =1
j =1
j =1
x i − x i = ( ∑ b ∗ i , j v i − ∑ b ∗ i , j +n v i ) − ( ∑ b ∗ i , j v i −
n
∑
b ∗ i , j +n v i )
j =1
n
n
n
n
j =1
j =1
j =1
j =1
= ( ∑ b ∗ i , j v i − ∑ b ∗ i , j v i − ) + ( ∑ b ∗ i , j +n v i − ∑ b ∗ i , j +n v i ) n
= ( ∑ b ∗ i , j (v i − v i ) + j =1
n
∑ j =1
b ∗ i , j + n (v i − v i ) )
(8)
Diketahui V∈Fn maka v1 , v2 ,L , vn ∈ F , sehingga (v i − v i ) ≥ 0 untuk setiap
1≤ i ≤ n. Diketahui pula bahwa x i − x i ≥ 0. Hal ini berakibat b ∗i , j ≥ 0 untuk setiap i dan j. Dengan kata lain matriks B −1 = [ b∗i , j ] non negatif.
(⇐) Misalkan B −1 = [ b ∗i , j ] matriks non negatif. Jadi b ∗i , j ≥ 0 untuk setiap i dan j. Dengan cara yang sama seperti pada bagian sebelumnya, didapat persamaan (8): n
x i − x i = ( ∑ b ∗ i , j (v i − v i ) + j =1
n
∑ j =1
b ∗i , j + n (v i − v i ) ).
[
Selain itu, diketahui pula V ∗ = v1 ,L, v n ,−v1 , L,−v n
]
T
solusi persamaan (3)
dan v1 , v2 ,L , vn ∈ F , maka (v i − v i ) ≥ 0 untuk setiap 1 ≤ i ≤ n . Akibatnya:
Universitas Sumatera Utara
19
x i − xi = (
n
∑ j =1
b ∗ i , j (v i − v i ) +
n
∑ j =1
b ∗i , j + n (v i − v i ) ) ≥ 0, untuk 1 ≤ i ≤ n sehingga
x1 , x2 ,L , xn ∈ F atau [ x1 , x2 ,L , xn ] ∈ F n . Dengan demikian, solusi ini menjadi solusi sistem persamaan linear fuzzy.
Dalam Contoh 3, matriks B adalah matriks non negatif. Tetapi invers matriks B, yakni B −1 adalah: 2.7692 -0.4615 -1.6923 2.2308 -0.5385 -1.3077
-0.8462 -0.4615 2.2308 -1.1538 -0.5385 0.3077 0.0769 -0.5385 0.6923 -0.0769 0.4615 0.6154 -1.3077 0.5385 0.3846 -1.1538 -0.5385 2.7692 -0.8462 -0.4615 0.6923 -0.0769 -0.4615 0.3077 0.0769 0.5385 0.3846 -1.6923 0.4615 0.6154
jelas bukan matriks non-negatif. Sebab terdapat entri matriks B −1 yang bernilai negatif. Mengingat Teorema 2.3, solusi persamaan linearnya tidak langsung menjadi solusi persamaan linear fuzzy.
Sebuah sistem persamaan linear fuzzy dapat diubah menjadi bentuk sistem persamaan linear biasa. Dari sistem n variabel dan n persamaan diubah menjadi sistem 2n variabel dan 2n persamaan. Solusi sistem persamaan baru tidak secara langsung menjadi solusi sistem persamaan semula. Contoh 3 memperlihatkan bahwa solusi sistem persamaan baru tidak menjadi sistem persamaan semula. Jika matriks koefisien dari sistem persamaan bersifat non negatif, maka solusinya menjadi sistem persamaan semula. Hal ini ditulis dalam Teorema 2.2. Definisi 2.10: Tinjau sistem persamaan linear m × n sebagai berikut: ~ A~ x =b
(9)
di mana A adalah sebuah matriks crisp non negatif dan ~ x = (~ xj ) ,
~ ~ ~ x j , bi ∈ F ( R) b = (bi ) adalah vektor – vektor fuzzy non negatif dan ~ untuk semua 1 ≤ j ≤ n , 1 ≤ i ≤ m , disebut sebagai sebuah sistem persamaan linear fuzzy dengan bilangan triangular non negatif.
Universitas Sumatera Utara
20
~ Definisi 2.11: Sebuah vektor fuzzy non negatif ~ x merupakan solusi dari A~ x = b jika ~ ~ x memenuhi sistem persamaan tersebut, di mana A dan b seperti yang didefinisikan pada (9).
Adapun
karena
~ x ∈ F n ( R)
~ b ∈ F m (R)
dan
,
dapat
diasumsikan
~ ~ x = ( x m , x α , x β ) dan b = (b m , bα , b β ) di mana x m , x α , x β ∈ R n dan b m , b α , b β ∈ R m . ~ Maka, sistem A~ x = b dapat ditulis sebagai berikut:
A( x m , x α , x β ) = (b m , bα , b β ), x m − x α ≥ 0
(10)
~ Di samping itu, b dan ~ x adalah dua buah vektor fuzzy non negatif, maka dengan
menggunakan Definisi 2.6 dan aritmatika pada bilangan fuzzy triangular non negatif, dapat diselesaikan sistem crisp berikut:
Ax m = b m , Ax α = b α , Ax β = b β
(11)
Ingat bahwa jika menggunakan bilangan fuzzy triangular yang simetris (Definisi 2.7), maka sistem Ax β = b β tidak perlu diselesaikan karena sama dengan sistem Ax α = b α .
2.7 Metode Penyelesaian Program Linear
Dalam tulisan ini, setelah permasalahan dalam bentuk Fuzzy Linear Programming ditransformasi ke bentuk Linear Programming, akan dicari solusi yang optimal dari model tersebut dan solusi itu juga digunakan sebagai solusi yang optimal dari Fuzzy Linear Programming.
Linear Programming adalah sebuah metode matematika yang digunakan untuk mencari hasil paling optimal (seperti keuntungan maksimal atau biaya terendah) dalam
suatu
model
matematika
dengan
beberapa
daftar
kendala
yang
direpresentasikan dalam persamaan linear. Sebuah permasalahan Linear Programming dapat didefinisikan sebagai berikut: Maks : z s.t
: Ax
= cx b x ≥0
Universitas Sumatera Utara
21
di mana : x = (x1,
, xn)T, c = (c1,
, cn), b = (b1,
, bm)T, dan A = [aij]m × n.
Ada beberapa cara untuk menyelesaikan persoalan Linear Programming, diantaranya dengan menggunakan metode grafik dan metode simplex. Metode grafik tidak dapat digunakan menyelesaikan persoalan program linear yang memiliki variabel keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua, jadi untuk menyelesaikannya digunakan metode simplex.
Langkah – langkah penyelesaian program linear dengan metode grafik: 1. Bentuk model matematika dari persoalan untuk: a. Fungsi tujuan (objective function) b. Fungsi kendala (constraint) 2. Ubah bentuk pertidaksamaan pada kendala menjadi persamaan. 3. Gambarkan grafik pada langkah ke -2 dan tentukan daerah layak. 4. Uji titik – titik ekstrim yang diperoleh dengan mensubstitusikan nilai titik ke fungsi tujuan.
Langkah – langkah penyelesaian program linear dengan metode simplex: 1. Formulasikan dan standarisasikan persoalan ke model linear. 2. Tambahkan variabel slack pada masing – masing constraint (pembatas) untuk memperoleh bentuk standar. Model ini digunakan untuk identifikasi solusi feasible awal dari pembatas bernilai lebih kecil atau sama dengan. 3. Buat tabel simplex awal. 4. Pilih kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai (cj - zj) yang paling positif untuk kasus maksimasi atau yang memiliki nilai (cj - zj) yang paling negatif untuk kasus minimasi. 5. Pilih baris kunci yang memiliki nilai indeks terkecil. Nilai indeks adalah perbandingan nilai kanan dengan kolom kunci. 6. Menentukan nilai elemen cell, yaitu nilai perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci. 7. Lakukan iterasi dengan menentukan baris kunci baru, baris z baru, dan baris variabel – variabel slack baru.
Universitas Sumatera Utara
22
a. Baris kunci baru ditentukan dengan membagi baris kunci lama dengan elemen cell. b. Baris z baru dan baris – baris lainnya ditentukan dengan cara: Baris lama – (nilai kolom kunci baris yang sesuai × baris kunci baru) c. Letakkan nilai – nilai baris yang baru diperoleh ke dalam tabel 8. Lakukan uji optimalitas. Jika semua koefisien pada baris (cj - zj) sudah tidak ada lagi yang bernilai positif (untuk kasus maksimasi) atau sudah tidak ada lagi bernilai negatif (untuk kasus minimasi) berarti sudah optimal. Jika kriteria belum terpenuhi, diulangi dari langkah ke - 4.
Universitas Sumatera Utara
