BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Teori Antrian
Teori antrian adalah teori yang menyangkut studi sistematis dari antrian atau baris-baris penungguan. Formasi baris-baris penungguan ini tentu saja merupakan suatu fenomena yang biasa terjadi apabila kebutuhan akan suatu pelayanan melebihi kapasitas yang tersedia untuk menyelenggarakan pelayanan itu. Keputusan-keputusan yang berkenaan dengan jumlah kapasitas ini harus dapat ditentukan, walaupun sebenarnya tidak mungkin dapat dibuat suatu prediksi yang tepat mengenai kapan unit-unit yang membutuhkan pelayanan akan datang dan atau berapa lama waktu yang diperlukan untuk menyelenggarakan pelayanan itu.
Suatu proses antrian (queueing process) adalah suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan seorang pelanggan pada suatu fasilitas pelayanan, kemudian menunggu dalam suatu baris (antrian).
Sebuah sistem antrian adalah suatu proses kelahiran-kematian dengan suatu populasi yang terdiri atas pelanggan yang sedang menunggu mendapatkan pelayanan atau pelanggan yang sedang dilayani. Suatu kelahiran terjadi apabila seorang pelanggan tiba di suatu fasilitas pelayanan, sedangkan apabila pelanggannya meninggalkan fasilitas tersebut maka terjadi suatu kematian. Keadaan sistem adalah jumlah pelanggan dalam suatu fasilitas pelayanan.
Universitas Sumatera Utara
2.2 Sistem Antrian dan Disiplin Antrian 2.2.1 Sistem Antrian
Sebuah sistem antrian adalah suatu himpunan pelanggan, pelayanan dan suatu aturan yang mengatur kedatangan pada pelanggan dan pemrosesan masalahnya. Pelanggan yang tiba dapat bersifat tetap atau tidak dapat untuk memperoleh pelayanan. Apabila pelanggan yang tiba dapat langsung masuk ke dalam sistem pelayanan maka pelayanan tersebut langsung dilayani, sebaliknya jika harus menunggu maka mereka harus membentuk antrian hingga tiba waktu pelanggan.
Berdasarkan uraian di atas, maka sistem antrian dapat dibagi menjadi 2 komponen, yaitu : 1. Antrian yang memuat langganan atau satuan-satuan yang membutuhkan pelayanan (pembeli, nasabah, pasien dan lain-lain) 2. Fasilitas pelayanan yang memuat pelayanan dan saluran pelayanan (loket bioskop dan penjual karcis, bank dan teller, dan lain-lain)
2.2.2 Disiplin Antrian
Disiplin antrian adalah aturan di mana para pelanggan dilayani, atau disiplin pelayanan (service discipline) yang memuat urutan (order) para pelanggan menerima layanan. Aturan pelayanan menurut urutan kedatangan dapat didasarkan pada :
1. Pertama datang pertama dilayani atau First Come First Served (FCFS) merupakan suatu peraturan pelanggan yang pertama datang itulah yang pertama dilayani. Contohnya dapat dilihat pada antrian di loket penjualan karcis kereta api. 2. Terakhir datang pertama dilayani atau Last Come First Served (LCFS) merupakan antrian yang datang paling akhir adalah yang dilayani paling awal. Contohnya pada sistem bongkar muat mobil di dalam kapal.
Universitas Sumatera Utara
3. Pelayanan dalam urutan acak atau Service In Random Order (SIRO) merupakan pelayanan dilakukan secara acak, tidak dipersoalkan siapa yang lebih dulu tiba. Contohnya pada arisan, di mana pelayanan dilakukan berdasarkan undian (random). 4. Pelayanan berdasarkan prioritas atau Priority Service (PR) yaitu pelayanan didasarkan pada prioritas khusus. Contohnya dalam suatu pesta di mana tamu-tamu yang dikategorikan VIP akan dilayani lebih awal.
2.3 Komponen Dasar Model Antrian
Komponen dasar antrian bergantung pada faktor-faktor berikut : a. Distribusi Kedatangan Kedatangan pelanggan ke dalam sistem selalu menurut proses Poisson, yaitu banyaknya pelanggan yang datang sampai pada waktu tertentu mempunyai distribusi Poisson. Hal ini benar apabila kedatangan langganan secara random pada kecepatan kedatangan rata-rata. b. Mekanisme Pelayanan Mekanisme pelayanan adalah jumlah susunan stasiun yang terdiri dari satu atau lebih stasiun pelayanan disusun seri atau parallel, gabungan atau sirkuler. Suatu model pelayanan disebut tunggal apabila sistem hanya mempunyai satu stasiun pelayanan dan model pelayanan disebut ganda apabila stasiun pelayanan lebih dari satu. c. Kapasitas Sistem Kapasitas sistem adalah jumlah maksimum pelanggan, mencakup yang sedang dilayani dan yang berada dalam antrian yang dapat ditampung oleh fasilitas pelayanan pada saat yang sama. Sebuah sistem yang tidak membatasi jumlah pelanggan di dalam fasilitas pelayanannya memiliki kapasitas tak terhingga, sedangkan suatu sistem yang membatasi jumlah pelanggan memiliki kapasitas berhingga. d. Sumber Pemanggil Dalam fasilitas pelayanan, yang berperan sebagai sumber pemanggilan dapat berupa mesin maupun manusia. Bila ada sejumlah mesin yang rusak maka sumber pemanggilan akan berkurang dan tidak dapat melayani pelanggan. Sumber pemanggilan terbatas (finite
Universitas Sumatera Utara
calling source) apabila jumlah pelanggan kecil dan sumber pemanggilan tidak terbatas (infinite calling source) di mana jumlah pelanggan cukup besar.
2.4 Struktur Dasar Model Antrian
Unit-unit (langganan) yang memerlukan pelayanan diturunkan dari suatu sumber input memasuki sistem antrian dan ikut dalam antrian. Dalam waktu-waktu tertentu, anggota antrian ini dipilih untuk dilayani. Pemilihan ini didasarkan pada suatu aturan tertentu yang disebut disiplin pelayanan.
Berdasarkan sifat penelitiannya dapat diklasifikasikan fasilitas-fasilitas pelayanan dalam susunan saluran dan tahapan yang akan membentuk suatu struktur antrian yang berbedabeda. Istilah saluran menunjukkan jumlah jalur untuk memasuki sistem pelayanan. Sedangkan istilah tahapan berarti jumlah stasiun-stasiun pelayanan, di mana para pelanggan harus melaluinya sebelum pelayanannya dikatakan lengkap.
Ada empat model struktur antrian dasar yang terjadi dalam sistem antrian, yaitu :
1. Single channel single phase kedatangan pelanggan antrian
pelayanan
Gambar 2.1 Single channel single phase
2. Single channel multiple phase kedatangan pelanggan antrian
pelayanan
Gambar 2.2 Single channel multiple phase
Universitas Sumatera Utara
3. Multiple channel single phase
kedatangan pelanggan antrian pelayanan
Gambar 2.3 Multiple channel single phase
4. Multiple channel multiple phase
kedatangan pelanggan antrian pelayanan
Gambar 2.4 Multiple channel multiple phase
2.5 Pola Kedatangan dan Lama Pelayanan 2.5.1 Pola Kedatangan
Salah satu cara menentukan distribusi probabilitas adalah memberikan sebuah variabel untuk menguji hasil out-comenya. Distribusi probabilitas harus dicatat, tidak selalu menjadi basis dalam pengamatan. Seringkali managerial mengestimasi berdasarkan keputusan dan pengalaman yang digunakan untuk membuat sebuah distribusi dari variabel tersebut. Dan distribusi itu sendiri dapat berupa data empiris atau berdasarkan bentuk yang diketahui seperti Uniform, Normal, Binomial, Poisson atau Eksponensial.
Fungsi peluang Poisson digunakan untuk menggambarkan tingkat kedatangan dengan asumsi bahwa jumlah kedatangan adalah acak dan kedatangan pelanggan antar interval waktu
Universitas Sumatera Utara
tidak saling mempengaruhi. Probabilitas tepat terjadinya x kedatangan dalam distribusi Poisson dapat diketahui dengan menggunakan rumus :
keterangan : : peluang bahwa ada x kedatangan : variabel acak diskrit menyatakan banyaknya kedatangan per satuan waktu λ
: rata-rata kedatangan per satuan waktu
e
: bilangan Navier (e = 2,71828)
2.5.2 Lama Pelayanan
Lama pelayanan dihitung sejak kedatangan pelanggan dalam sistem antrian sampai selesai pelayanan yang bisa berupa konstan maupun acak. Apabila waktu pelayanan didistribusikan secara acak, maka harus didapat distribusi probabilitas yang paling sesuai untuk menggambarkan perilakunya. Biasanya jika pelayanan acak, analisis antrian menggunakan distribusi Eksponensial. Ini bisa dilakukan dengan membandingkan sampel waktu pelayanan yang sebenarnya dengan waktu pelayanan yang diharapkan berdasarkan rumus Eksponensial berikut :
(2)
keterangan : P(t) : probabilitas waktu antar kedatangan yang berurutan t
: waktu lamanya pelayanan per satuan waktu : rata-rata tingkat pelayanan per satuan waktu
Universitas Sumatera Utara
2.6 Uji Kesesuaian
Uji kesesuaian atau kecocokan dari distribusi empirik terhadap distribusi teoritis dilakukan dengan uji Chi Square. Uji ini membandingkan kelompok frekuensi yang diamati dengan kelompok frekuensi yang diharapkan. Frekuensi yang diharapkan ternyata timbul dari suatu dugaan atau hipotesis. Hipotesis yang digunakan dalam pengujian ini adalah : : Ada hubungan antara distribusi teoritis dengan distribusi aktual : Tidak ada hubungan antara distribusi teoritis dengan distribusi aktual
Terima
jika
dan dalam hal lain
dan nilai Degree of Freedom
ditolak, dengan taraf nyata
) yang dapat diperoleh dari table
Chi Square.
Nilai statistik uji (
) digunakan rumus:
dengan : : banyaknya pasien yang diamati pada baris i kolom j : banyaknya pasien yang diharapkan pada baris i kolom j b
: jumlah baris
k
: jumlah kolom
Nilai
dapat dicari dengan rumus :
dengan : : jumlah baris ke-i : jumlah kolom ke-j
Universitas Sumatera Utara
Demikian misalnya didapat :
dan seterusnya. Jelas bahwa
2.7 Terminologi dan Notasi
Terminologi dan notasi yang digunakan dalam sistem adalah sebagai berikut : a.
Keadaan sistem adalah banyaknya pelanggan pada sistem
b.
Panjang antrian adalah jumlah pelanggan yang menunggu pelayanan
Notasi yang digunakan adalah sebagai berikut : n
= jumlah pelanggan dalam sistem antrian = probabilitas bahwa tepat n pelanggan dalam sistem antrian pada saat t
s
= jumlah pelayanan pada sistem antrian
λ
= rata-rata kedatangan dalam satuan waktu = rata-rata pelayanan dalam satuan waktu = probabilitas masa sibuk = rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem = rata-rata jumlah pelanggan dalam antrian = rata-rata waktu yang dihabiskan seorang pelanggan dalam sistem = rata-rata waktu yang dihabiskan seorang pelanggan dalam antrian
Untuk kemudahan dalam memahami karakteristik suatu sistem antrian digunakan notasi Kendal Lee, notasi standar yang digunakan ditulis: ( a / b /c ) ; ( d / e / f ) Notasi tersebut adalah unsur-unsur dasar dari model antrian sebagai berikut : a = distribusi kedatangan
Universitas Sumatera Utara
b = distribusi pelayanan c = jumlah fasilitas pelayanan (s = 1, 2, …,∞ ) d = disiplin pelayanan e = jumlah pelanggan maksimum dalam sistem f = ukuran sumber pemanggilan
Notasi a dan b untuk distribusi kedatangan dan keberangkatan mempunyai kode sebagai berikut : M = Distribusi kedatangan Poisson atau distribusi pelayanan Eksponensial D = Waktu pelayanan konstan = Distribusi waktu pelayanan Erlang dengan parameter k.
Notasi d digunakan untuk aturan pelayanan dengan kode : - FCFS - LCFS - SIRO dan - PR
2.8 Analisis Rumus yang Digunakan
Dalam melakukan perhitungan, penulis mengambil acuan dengan rumus yang digunakan dalam pemecahan persoalan yang ditemukan pada Puskesmas Rantang Medan, antara lain sebagai berikut :
1. Menentukan probabilitas masa sibuk Ketika λ menyatakan tingkat rata-rata kedatangan per satuan waktu dan µ menyatakan tingkat rata-rata pelayanan per satuan waktu di mana λ > µ menyertai sebagai asumsi maka tingkat kesibukan sistem dapat dinyatakan :
Universitas Sumatera Utara
2.
Menentukan probabilitas semua pelayan menganggur Tingkat kesibukan sistem paling sibuk adalah 100 % dan jika tingkat kedatangan λ dan semakin kecil pada tingkat pelayanan µ yang tidak berubah maka tingkat kesibukan akan menurun. Dengan demikian, peluang sistem yang sedang kosong sangat tergantung pada penggunaan fasilitas pelayanannya. Secara matematik dituliskan :
Secara umum
merupakan peluang waktu menganggur berlaku untuk semua sistem
pelayanan baik dalam sistem pelayanan tunggal maupun sistem pelayanan ganda. Bila seorang yang berada dalam sistem, maka suatu pelayanan akan sibuk maka dinyatakan dengan rumus:
3. Rata-rata jumlah pasien dalam antrian
4. Rata-rata jumlah pasien dalam sistem
5. Rata-rata waktu menunggu dalam antrian
6. Rata-rata waktu menunggu dalam sistem
Universitas Sumatera Utara
