BAB 2
LANDASAN TEORI
Menunggu dalam suatu antrian adalah hal yang sering terjadi dalam kehidupan sehari-hari khususnya dalam sebuah sistem pelayanan tertentu. Dalam pelaksanaan pelayanan pelaku utama dalam hal ini adalah pelanggan dan pelayan.
2.1 Teori Antrian
Teori Antrian (Queueing Theory) merupakan studi matematika dari antrian atau kejadian garis tunggu (Waiting lines), yakni suatu garis tunggu dari pelanggan yang memerlukan layanan dari sistem pelayanan yang ada. Kejadian antrian sering kali terjadi pada banyak hal dalam kehidupan sehari-hari, seperti loket-loket pembayaran rekening, loket-loket stasiun bus, loket jalan tol, industri-industri dan sebagainya. Dimana langganannya berupa konsumen yang datang sedangkan loket merupakan stasiun pelayanan. Rata–rata lamanya untuk menunggu (waiting time) sangat bergantung kepada rata-rata tingkat kecepatan pelayanan ( rate of service ). Kejadian garis tunggu timbul disebabkan oleh kebutuhan akan pelayanan melebihi kemampuan (kapasitas) pelayanan yang ada akibatnya pelanggan yang tiba pada fasilitas pelayanan tidak bisa segera mendapat layanan.
2.2 Sistem Antrian
Pelanggan yang tiba dapat bersifat tetap atau tidak tetap untuk memperoleh pelayanan. Apabila pelanggan yang tiba dapat langsung masuk kedalam sistem pelayanan maka pelanggan tersebut akan langsung dilayani, sebaliknya jika harus menunggu maka mereka harus membentuk antrian hingga tiba waktu pelayanan. Berdasarkan uraian tersebut maka dalam sistem antrian terdapat komponen utama yakni: 1. Antrian yang memuat langganan atau satuan-satuan yang, memerlukan pelayanan (pembeli, orang sakit, mahasiswa, kapal dan lain-lain) 2. Fasilitas pelayanan yang memuat pelayanan dan saluran pelayanan (Pompa minyak dan pelayanannya, loket bioskop dan petugas jual karcis dan lain-lain).
Universitas Sumatera Utara
2.3 Disiplin Antrian
Disiplin antrian adalah konsep membahas mengenai kebijakan dalam mana para langganan dipilih dari antrian untuk dilayani, berdasarkan urutan kedatangan pelanggan. Ada 4 bentuk disiplin pelayanan yang biasa digunakan dalam praktek yaitu :
1. First Come First Served (FCFS) atau First In First out (FIFO) yaitu pelanggan yang datang lebih dulu akan dilayani lebih dulu. Misalanya: sistem antrian pada Bank, SPBU, dan lain – lain. 2. Last Come First Served (LCFS) atau Last In First Out (LIFO) yaitu sistem antrian pelanggan yang datang terakhir akan dilayani lebih dulu. Misalnya:sistem antrian dalam elevator lift untuk lantai yang sama. 3. Service in Random Order (SIRO) yaitu panggilan didasarkan pada peluang secara acak, biasanya timbul dalam keadaan praktis. 4. Priority Service (PS) yaitu pelayanan diberikan kepada mereka yang mempunyai prioritas lebih tinggi dibandingkan dengan mereka yang mempunyai prioritas lebih rendah. Kejadian seperti ini bisa disebabkan oleh beberapa hal, misalnya seseorang yang karena kedudukan atau jabatannya lebih tinggi menyebabkan dia dipanggil terlebih dahulu atau diberi prioritas lebih tinggi, atau seseorang yang keadaan penyakitnya lebih berat dibanding dengan orang lain dalam suatu tempat praktek dokter.
2.4 Elemen Dasar Antrian Elemen-elemen dasar model antrian bergantung kepada faktor-faktor berikut : 1. Distribusi Kedatangan Kedatangan langganan ke dalam sistem selalu menurut proses Poisson, yaitu banyaknya langganan yang datang sampai pada waktu tertentu mempunyai distribusi Poisson. Hal ini benar apabila kedatangan langganan secara random pada kecepatan kedatangan ratarata tertentu.
Universitas Sumatera Utara
2. Barisan Antri Suatu antrian selalu ditandai dari besarnya jumlah langganan yang ada di dalam sistem untuk mendapatkan pelayanan. Antrian disebut terbatas apabila jumlah langganan yang dibolehkan masuk ke dalam sistem dibatasi sampai jumlah tertentu, bila pembatasan yang demikian tidak diadakan, maka antrian dikatakan tidak terbatas.
3. Disiplin Pelayanan Disiplin pelayanan adalah suatu urutan yang dikenakan di dalam memilih langganan dari barisan antri untuk segera dilayani. Aturan yang biasa digunakan adalah “First In First Out ”(FIFO), yakni siapa yang lebih dahulu datang maka ia akan dilayani lebih dahulu. Aturan-aturan lain seperti, “Last In First Out ”(LIFO), yakni belakangan datang akan lebih dahulu dilayani, Random, Prioritas dan lain-lain. Disiplin pelayanan berdasarkan prioritas, pada umumnya ditemui pada pelayanan di rumah sakit, bahwa orang yang menderita penyakit lebih parah akan dilayani lebih dahulu walaupun belakangan datang.
4. Mekanisme Pelayanan Mekanisme pelayanan adalah jumlah susunan stasiun, yang terdiri dari satu atau lebih stasiun pelayanan disusun seri atau pararel, gabungan atau sirkuler. Suatu model dikatakan pelayanan tunggal apabila sistem hanya mempunyai satu stasiun pelayanan dan model dikatakan model pelayanan ganda bila stasiun pelayanan lebih dari satu. 5. Waktu Pelayanan Waktu yang diperlukan untuk pelayanan, sejak pelayanan dimulai hingga selesai disebut waktu pelayanan. Waktu pelayanan ini juga mempunyai suatu distribusi probabilitas, yakni ditentukan berdasarkan sample dari keadaan sebenarnya.
6. Sumber Masukan Sumber adalah kumpulan orang atau barang darimana satuan-satuan datang atau dipanggil untuk dilayani. Ukuran populasi dikatakan tidak terbatas apabila jumlah langganan cukup besar dan dikatakan terbatas apabila jumlah langganan kecil.
Universitas Sumatera Utara
2.4 Model – Model Antrian
Berdasarkan sifat pelayanannya dapat diklasifikasikan fasilitas-fasilitas pelayanan dalam susunan saluran dan phase yang akan membentuk suatu struktur antrian yang berbeda-beda. Istilah saluran menunjukkan jumlah jalur untuk memasuki sistem pelayanan. Sedangkan istilah phase berarti jumlah stasiun-stasiun pelayanan, dimana para langganan harus melaluinya sebelum pelayanan dinyatakan lengkap. Ada empat model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh sistem antrian:
1. Single Chanel - Single Phase Single Chanel berarti bahwa hanya ada satu jalur untuk memasuki sistem pelayanan atau ada satu pelayanan. Single phase menunjukkan bahwa hanya ada satu stasiun pelayanan sehingga yang telah menerima pelayanan dapat langsung keluar dari sistem antrian. Contohnya adalah pada pembelian tiket bus yang dilayani oleh satu loket, seorang pelayan toko dan lain-lain.
Sistem Antrian Sumber Pelanggan Pelanggan dilayani Pelanggan Datang
Pelayan
Pelanggan pergi
Antrian
Gambar 1. Single Chanel – Single Phase
2. Single Chanel - Multi Phase Multi phase berarti ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakn secara berurutan dalam phase-phase. Misalnya pada proses pencucian mobil, lini produksi massa dan lain-lain.
Universitas Sumatera Utara
Sistem antrian Sumber Pelanggan
Pelanggan Pelayan 1
Pelayan 2
Pelanggan pergi
Datang Antrian
Gambar 2. Single Chanel – Multi Phase
3. Multi Chanel - Single Phase Sistem multi chanel- single phase terjadi jika ada dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh suatu antrian tunggal. Sebagai contoh adalah pada pembelian tiket yang dilayani oleh lebih dari satu loket, pelayanan nasabah di Bank, dan lain-lain.
Sistem Antrian Sumber Pelanggan Pelayan 1 Pelanggan
Pelayan 2
Datang
Pelanggan pergi
Antrian Pelayan 3
Gambar 3. Multi Chanel – Single Phase
Universitas Sumatera Utara
4. Multi Chanel - Multi Phase Sistem ini terjadi jika ada dua atau lebih fasilitas pelayanan dengan pelayanan pada lebih dari satu phase.sebagai contoh adalah pada pelayanan kepada pasien di rumah sakit dari pendaftaran, diagnosa, tindakan medis sampai pembayaran. Setiap sistemsistem ini mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap, sehingga lebih dari satu individu dapat dilayani pada suatu waktu.
Sistem Antrian Sumber Pelanggan
Pelayan 1
Pelayan 2
Antrian 1
Pelanggan
Pelanggan pergi
Datang
Pelayan 1
Pelayan 2
Antrian 2
Gambar 4. Multi Chanel – Multi Phase
2.6 Terminologi dan Notasi Terminologi dan notasi yang biasa digunakan dalam sistem antrian adalah sebagai berikut : 1. Keadaan sistem ialah jumlah atau banyaknya aktivitas pelayanan yang melayani satuan langganan yang berada dalam sistem 2. Panjang antrian adalah banyaknya satuan yang berada dalam sistem dikurangi dengan jumlah satuan yang sedang dilayani.
Notasi yang digunakan sebagai berikut : n
=
Jumlah satuan nasabah dalam sistem antrian pada waktu t.
c
=
Jumlah satuan pelayanan.
P
=
Peluang bahwa ada n satuan nasabah yang masuk dalam antrian dalam waktu t.
Universitas Sumatera Utara
λ
=
Kecepatan pertibaan rata-rata.
λ∆t =
Peluang bahwa ada satu satuan nasabah yang masuk dalam antrian selama waktu t.
µ
=
Kecepatan pelayanan rata-rata.
µ∆t =
Peluang bahwa ada satu satuan nasabah yang selesai dilayani selama waktu t.
ρ
=
Intensitas lalu lintas.
cµ
=
Faktor utilitas untuk fasilitas pelayanan c.
L
=
Ekspektasi panjang garis.
Lq
=
Ekspektasi panjang antrian.
W
=
Ekspektasi waktu menunggu dalam sistem.
Wq
=
Ekspektasi waktu menunggu dalam antrian
Untuk kemudahan dalam memahami karakteristik suatu sistem antrian digunakan notasi Kendall Lee yaitu format umum, (a / b /c ) : (d / e /f ). Notasi ini dikenalkan pertama kali oleh DG Kendall dalam bentuk (a / b /c ) dan selanjutnya AM.Lee menambahkan symbol d, e dan f pada notasi kendall. Notasi tersebut mempunyai arti sebagai berikut : a
: Bentuk distribusi pertibaan, yaitu jumlah pertibaan pertambahan waktu
b
: Bentuk distribusi pelayanan, yaitu selang waktu antara satuan-satuan yang dilayani.
c
: Jumlah saluran pararel dalam sistem
d
: Disiplin pelayanan
e
: Jumlah maksimum yang diperkenankan berada dalam sistem
f
: Besarnya populasi masukan
Simbol a dan b untuk kedatangan dan kepergian digunakan kode-kode berikut sebagai pengganti : M
: Distribusi pertibaan Poisson atau distribusi pelayanan eksponensial
D
: Waktu pelayanan tetap
G
: Distribusi umum keberangkatan atau waktu pelayanan
Untuk huruf d digunakan kode-kode pengganti : FIFO atau FCFS LIFO atau LCFS SIRO
Universitas Sumatera Utara
Untuk huruf c, dipergunakan bilangan bulat positif yang menyatakan jumlah pelayanan pararel. Untuk huruf e dan f digunakan kode N atau menyatakan jumlah terbatas atau tak berhingga satu-satuan dalam sistem antrian dan populasi masukan. Misalnya kalau ditulis model (M/M/1) : (FIFO/~/~), ini berarti bahwa model menyatakan pertibaan didistribusikan secara Poisson, waktu pelayanan didistribusikan secara eksponensial, pelayanan adalah first in first out, tidak berhingga jumlah langganan yang boleh masuk dalam sistem antrian dan ukuran (besarnya) populasi masukan adalah tak berhingga.
2.6 Pola Kedatangan dan Lama Pelayanan a. Pola Kedatangan Fungsi peluang Poisson digunakan untuk menggambarkan tingkat kedatangan dengan asumsi bahwa jumlah kedatangan adalah acak. Dimana persamaannya fungsi Peluang Poisson adalah sebagai berikut : P(x-kedatangan) =
λ x .e − λ x!
dengan : P (x) = Peluang bahwa ada x pelanggan dalam sistem
λ
= Harga rata-rata kecepatan kedatangan
e
= Bilangan navier ( e = 2,71828 )
x
= Bilangan cacah ( 0,1,2,3,… )
Uji Kesesuaian Poisson Uji kesesuaian poisson dilakukan dengan uji x 2 . Untuk menghitung nilai x 2 dari data pengamatan pada H 1 ,H 2 sampai H 10 terlebih dahulu ditentukan nilai data yang diharapkan yang ditentukan dengan rumus: x2 =
∑
xi − x x
Kriteria keputusan dilakukan dengan terima pola kedatangan berdistribusi poisson apabila x 2
hitung
≤ x2
tabel
dalam hal lain keputusan ditolak.
Universitas Sumatera Utara
b. Lama Pelayanan Lama Pelayanan yang dihitung sejak kedatangan pelanggan dalam sistem antrian sampai selesai pelayanan mengikuti : a. Distribusi Eksponensial yang persamaannya sebagai berikut :
f (t ) = µ e dengan
-µt
:
µ
= Rata-rata lama pelayanan
e
= Bilangan navier ( e = 2,71828 )
t
= waktu lamanya pelayanan tiap unit.
Uji Kesesuaian Eksponensial Untuk menghitung nilai x 2 dari data pengamatan pada H 1 , H 2 , sampai H 10 terlebih dahulu ditentukan nilai waktu pelayanan
yang diharapkan dengan menggunakan
rumus distribusi Eksponensial. Untuk menentukan nilai x 2 maka digunakan rumus: 2
x =
∑
( µ i − µ i harapan ) 2
µ i harapan
Kriteria keputusan dilakukan dengan terima rata-rata pelayanan eksponensial apabila x 2
hitung
≤ x2
tabel
berdistribusi
dalam hal lain keputusan ditolak
Universitas Sumatera Utara
2.7 Analisis Formula yang digunakan Dalam melakukan perhitungan penulis mengambil acuan dengan formula yang digunakan dalam pemecahan persoalan yang ditemukan di loket Bank, yaitu:
ρ=
λ cµ
1. Menentukan peluang masa sibuk f(b) : Dalam sistem pelayanan tunggal peluang masa sibuk dinyatakan sebagai perbandingan kecepatan pertibaaan rata-rata dengan kecepatan pelayanan rata-rata. f (b) =
λ ρ
Secara umum P o merupakan peluang waktu menganggur berlaku untuk semua sistem pelayanan baik dalam sistem pelayanan tunggal maupun sistem pelayanan ganda. Bila seorang langganan berada dalam sistem, maka satu pelayan akan sibuk dan (c-1) pelayan akan menganggur. Apabila dua langganan berada dalam sistem pelayanan maka dua pelayan akan sibuk dan (c-2) pelayan akan menganggur demikian seterusnya hingga n ≥ c sehingga semua pelanggan akan sibuk. Dinyatakan dengan formula :
f (b) = P [ n ≥ c ]
ρ c µc f (b) = Po c!(µc − λ ) f (b) =
f (b) =
ρ c µc c! ( µc − ρ cµ )
ρc ρ c!1 − c
Po
Universitas Sumatera Utara
dengan: Po
=
1 c −1
∑
j =0
ρ
j
j!
ρc
+
c!(1 −
ρ c
)
Maka untuk pembahasan dalam tulisan ini dengan dua loket pelayanan ( c=2 ) diperoleh: Po
=
1 1
∑ j =0
ρ
c
j!
ρc
+
c!(1 −
ρ c
)
2. Ekspektasi panjang antrian ( L q ): Untuk sistem saluran tunggal ekspektasi panjang antrian dinyatakan dengan : λ λ λ2 = Lq = µ µ − λ µ (µ − λ ) Maka untuk sistem pelayanan ganda ekspektasi panjang antrian dinyatakan dengan: ρ L q = f (b) c−ρ
3. Ekspektasi panjang garis (L) : Untuk sistem saluran tunggal ekspektasi panjang garis dinyatakan dengan: L =
λ2 λ + µ (µ − λ ) µ
Karena dalam mekanisme pelayanan ganda, pelayanan dilakukan oleh lebih dari satu saluran dengan tiap saluran pelayanan mempunyai kecepatan pelayanan yang sama sebesar µ maka kecepatan pelayanan dalam sistem adalah µ dikalikan dengan banyaknya saluran pelayanan sehingga menjadi sebesar c µ .
Universitas Sumatera Utara
Jadi untuk sistem saluran ganda, ekspektasi panjang garis dinyatakan dengan: ρ + ρ L = f (b) c−ρ atau
L = Lq + ρ
4. Ekspektasi waktu menunggu dalam sistem ( W ) :
W =
L
λ
5. Ekspektasi waktu menunggu dalam antrian ( W q ) : Karena waktu menunggu rata-rata dalam antrian ditambah dengan waktu pelayanan merupakan waktu menunggu rata-rata dalam sistem, maka : Wq = W - µ
2.8 Uji Keacakan Dalam hal ini data-data yang diambil oleh pengamat akan diuji keacakannya dengan uji runtun. Runtun barisan huruf-huruf atau tanda-tanda yang identik yang didahului atau diikuti oleh sebuah huruf atau tanda yang berbeda. Panjang runtun ditentukan oleh banyak huruf atau tanda yang ada dalam setiap runtun. Dengan adanya runtun maka dapat diuji hipotesis tentang: a. Data pengamatan atau sampel yang diambil dari sebuah populasi adalah acak. b. Dua sampel acak berasal dari sampel yang sama.
Universitas Sumatera Utara
Pengujian dapat dilihat dari tabel batas kritis untuk runtun u dengan taraf nyata 0,05. Dari susunan runtun sampel yang diambil maka penentuan selanjutnya adalah: a. Tentukan nilai median dari data. b. Berikan tanda positif pada data yang nilainya diatas median dari sampel pertama dan sampel kedua kemudian anggap sebagai n1. c. Berikan tanda negatif pada data yang nilainya dibawah median dari sampel pertama dan sampel kedua kemudian anggap sebagai n2.
Pendekatan sebaran normal baku diawali dengan hipotesis sebagai berikut : H 0 : Data sample secara acak dari sebuah populasi H 1 : Data sample diambil tidak secara acak Statistik uji yang digunakan adalah :
Z =
(
r − 1+ n
2 n1n2 1+ n2
)
2 n1n2 ( 2 n1n2 − n1− n2 ) ( n1+ n2 ) 2 ( n1+ n2 −1 )
Dengan : r
= banyak runtun
n1
= jumlah data diatas median
n2
= jumlah data dibawah median
Kriteria keputusan yang digunakan adalah : Terima Ho jika -Z 12 (1−α ) < Z hit < Z
1
2 (1−α )
Dalam hal lainnya Ho ditolak. Untuk taraf nyata sebesar α nilai Z 12 (1−α ) dapat diperoleh dari tabel distribusi normal baku.
Universitas Sumatera Utara
