BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1. Dasar Dari Transfer Panas Ilmu pengetahuan termodinamika yang berhubungan dengan jumlah transfer panas sebagai suatu sistem yang menjalankan suatu proses dari satu titik stabil ke titik stabil lainnya, dimana ilmu pengetahuan tentang transfer panas berhubungan dengan kecepatan dari transfer panas yang merupakan sesuatu yang penting dalam mendisain dan mengevaluasi dari peralatan transfer panas.
2.1.1. Mekanisme Transfer Panas Panas dapat ditransfer melalui tiga cara yaitu : konduksi, konveksi, dan radiasi. Semua cara tersebut memerlukan keberadaan dari perbedaan temperatur, dan semua cara berasal dari tempat yang bertemperatur tinggi ke tempat yang bertemperatur rendah.
2.1.2. Konduksi Konduksi adalah bentuk dari transfer energi dari pertikel – partikel yang mempunyai energi yang lebih banyak ke partikel – partikel yang mempunyai energi yang lebih rendah dan sebagai hasil dari interakasinya diantara partikel – partikel tersebut. Konduksi dapat terjadi pada benda padat, cair, atau gas. Di dalam benda cair dan gas, konduksi terjadi karena tabrakan dan difusi dari molekul – molekul selama pergerakan yang acak. Dalam benda padat, konduksi
7 terjadi karena kombinasi dari getaran dari molekul dalam kisi – kisi dan perpindahan energi oleh elektron bebas. Kecepatan dari konduksi panas dalam suatu medium bergantung pada geometri dari medium tersebut, ketebalannya, bahannya, dan juga perbedaan temperatur disepanjang medium tersebut.
Gambar 2.1 Konduksi panas melalui tembok besar Anggap konduksi panas stabil terjadi di sepanjang tembok yang mempunyai ketebalan Δx = L dan luas A. Perbedaan temperatur disepanjang tembok adalah •
ΔT = T2 − T1 . Percobaan menunjukkan bahwa kecepatan dari transfer panas Q
melalui tembok adalah dua kali ketika perbedaan temperatur ΔT sepanjang tembok atau luas A normal terhadap arah transfer panas adalah dua kalinya, tetapi setengahnya ketika ketebalan tembok L dua kalinya. Jadi kita mengambil kesimpulan bahwa kecepatan konduksi panas melalui bidang datar adalah sebanding dengan perbedaan temperatur disepanjang medium dan luas transfer
8 panas, tetapi berbanding terbalik dengan ketebalan medium. Atau dengan kata lain •
Q cond = kA
T1 − T2 ΔT = −kA Δx Δx
(W)
( 2.1 )
dimana k adalah suatu konstanta pembanding yang merupakan konduktifitas panas dari bahan, yang diukur dari kemampuan bahan untuk mengkonduksikan panas. Dalam kasus pembatasan Δx → 0 , persamaan diatas berubah menjadi bentuk turunan •
Q cond = −kA
dT dx
(W)
( 2.2 )
yang dinamakan dengan hukum Fourier dari konduksi panas setelah J. Fourier yang mengemukakan pertama kali dalam tulisan transfer panasnya tahun 1822. Disini dT/dx adalah gradien dari temperatur, yang merupakan kemiringan dari kurva T – x.
2.1.2.1. Difusi Panas Hasil dari ρC p yang sering muncul dalam transfer panas analisis, dinamakan kapasitas panas dari suatu bahan. Keduanya, panas yang spesifik C p dan kapasitas panas ρC p menggambarkan kapasitas penyimpanan panas dari bahan. Tetapi C p menggambarkannya per satuan massa dimana ρC p menggambarkannya per satuan volume, yang dapat dilihat dari satuannya yaitu J / kg • o C dan J / m 3 • o C
masing – masing.
9 Bagian dari bahan yang muncul dalam analisis konduksi panas sementara adalah difusi panas, yang menggambarkan seberapa cepat panas berdifusi melalui suatu bahan dan ditulis sebagai
α=
k ρC p
( m2/s )
( 2.3 )
Perhatikan bahwa konduktivitas panas k menggambarkan seberapa baik bahan mengkonduksi panas, dan kapasitas panas
ρC p
menggambarkan seberapa banyak energi dari satu bahan dapat menyimpan per satuan volume. Untuk itu, difusi panas dari suatu bahan dapat ditampilkan sebagai perbandingan dari konduksi panas melalui bahan dengan panas yang disimpan per satuan volume.
2.1.3. Konveksi Konveksi adalah salah satu cara perpindahan energi diantara permukaan padat dan cair atau gas yang besebelahan dalam pergerakan ini, dan melibatkan efek yang digabungkan dari konduksi dan pergerakan cairan. Konveksi dinamakan konveksi yang ditekan jika cairan di dorong untuk mengalir melalui permukaan dengan benda – benda luar seperti kipas angin, pompa, atau angin. Sebaliknya, konveksi dinamakan konveksi alami jika pergerakan cairan disebabkan oleh gaya mengapung yang diinduksi oleh perbedaan kepadatan selama perubahan temperatur dalam cairan. Disamping kekompleksitas dari konveksi, kecepatan dari konveksi transfer panas sebanding dengan perbedaan temperatur, dan dinyatakan dengan hukum Newton dalam pendinginan sebagai berikut
10 •
Q conv = hAs (Ts − T∞ )
(W)
( 2.4 )
dimana h adalah koefisien konveksi transfer panas dalam W / m 2 • o C atau Btu / h • ft 2 • o F , As adalah luas permukaan dimana konveksi transfer panas mengambil tempat, Ts adalah temperatur permukaan, dan T∞ adalah temperatur dalam cairan yang jauh dari permukaan. Perhatikan bahwa pada permukaan, temperatur cairan sama dengan permukaan temperatur dalam benda padat. Koefisien konveksi transfer panas h bukan merupakan bagian dari cairan. Itu secara percobaan ditentukan yang nilainya bergantung pada semua variabel yang mempengaruhi konveksi seperti geometri permukaan, pergerakan alami cairan, dan kecepatan curah cairan.
2.1.4. Radiasi Radiasi adalah energi yang dipancarkan dalam bentuk gelombang eloktromagnet ( atau photons ) dan sebagai hasil dari perubahan dalam konfigurasi elektronik dari atom atau molekul. Tidak seperti konduksi dan konveksi, perpindahan energi dengan radiasi tidak memerlukan suatu bahan penghubung. Bahkan, nyatanya transfer energi dengan radiasi adalah yang tercepat ( pada kecepatan cahaya ) dan dapat melewati ruang hampa. Ini merupakan cara dari energi matahari sampai ke bumi. Kecepatan maksimum dari radiasi yang dapat dipancarkan dari satu permukaan pada temperatur absolut Ts diberikan oleh hukum Stefan – Boltzman sebagai berikut
11 •
Q emit ,max = εσAs Ts4
(W)
( 2.5 )
dimana σ = 5,67 x10 −8 W / m 2 • K 4 atau 0,1714 x10 −8 Btu / h • ft 2 • R 4 adalah konstanta Stefan – Boltzman. Permukaan yang ideal yang memancarkan radiasi pada kecepatan maksimum ini dinamakan blackbody, dan radiasi yang dipancarkan oleh blackbody dinamakan radiasi blackbody. Radiasi yang dipancarkan oleh semua permukaan adalah lebih kecil daripada radiasi yang dipancarkan oleh blackbody pada temperatur yang sama, seperti dituliskan sebagai berikut •
Q emit = εσAs Ts4
(W)
( 2.6 )
dimana ε merupakan emisitivitas dari permukaan. Bagian dari emisivitas yang nilainya berada diantara 0 ≤ ε ≤ 1 , diukur dengan cara seberapa dekat suatu permukaan mendekati sebuah blackbody yang mempunyai ε = 1 . Bagian dari radiasi yang juga penting dari permukaan adalah tingkat penyerapannya α , yang merupakan pecahan dari tabrakan energi radiasi pada permukaan yang diserap oleh permukaan. Seperti emisivitas, nilai dari tingkat penyerapan juga berada diantara 0 ≤ α ≤ 1 . Sebuah blackbody menyerap semua radiasi yang menabrak kepadanya. Karena itu blackbody adalah penyerap radiasi yang paling baik, seperti juga pemancar radiasi yang baik. Secara umum, keduanya ε dan α dari suatu permukaan bergantung pada temperatur dan panjang gelombang dari radiasi. Hukum radiasi Kirchoff menyatakan bahwa emisivitas dan tingkat penyerapan dari permukaan pada temperatur yang diberikan dan panjang gelombang adalah sama. Tingkat dari satu permukaan menyerap radiasi ditentukan dari
12 •
•
Q absorbed = α Q incident
(W)
( 2.7 )
•
dimana Q incident adalah tingkat dimana radiasi bertabrakan pada permukaan dan
α
adalah tingkat penyerapan dari permukaan. Untuk permukaan yang
transparan, besar dari radiasi tabrakan yang tidak diserap oleh permukaan adalah dipantulkan kembali. Ketika suatu permukaan dengan emisivitas ε dan luas permukaan As dan pada temperatur absolut Ts adalah sepenuhnya terlampir oleh permukaan yang lebih besar pada temperatur absolut Tsurr yang dipisahkan oleh sebuah gas yang tidak berhubungan dengan radiasi, tingkat radiasi transfer panas diantara dua permukaan ini dituliskan sebagai •
(
4 Q rad = εσAs Ts4 − Tsurr
)
(W)
( 2.8 )
Dalam kasus spesial seperti ini, emisivitas dan luas permukaan dari permukaan disekitarnya yang tidak mempunyai efek terhadap jumlah radiasi transfer panas. Radiasi transfer panas ke dan dari permukaan disekitarnya oleh gas seperti udara muncul secara paralel ke konduksi diantara permukaan dan gas. Kemudian jumlah dari transfer panas ditentukan oleh penambahan kontribusi kedua mekanisme transfer panas. Untuk mudahnya biasanya dikerjakan dengan mendefinisikan koefisien transfer panas gabungan hcombinend
yang termasuk
dalam efek dari keduanya, konveksi dan radiasi. Kemudian, jumlah dari kecepatan transfer panas yang menuju atau dari permukaan dengan konveksi dan radiasi dituliskan sebagai berikut •
Q total = hcombined As (Ts − T∞ )
(W)
( 2.9 )
13 Perhatikan bahwa koefisien transfer panas gabungan secara esensial mengubah koefisien konveksi transfer panas menjadi termasuk dalam radiasi.
2.2. Persamaan Konduksi Panas 2.2.1. Persamaan Konduksi Panas Umum Kebanyakan permasalahan transfer panas yang ditemukan secara nyata terbentur
pada
pendekatan
satu
dimensi.
Bagaimanapun,
kita
harus
memperhitungkan transfer panas dalam arah yang lainnya. Dalam kasus seperti itu dinamakan multidimensi, dan pada bagian ini kita akan membahas persamaan diferensial dalam sistem koordinat kartesian, silinder, dan bola.
2.2.1.1. Koordinat Kartesian
Gambar 2.2 Konduksi panas 3 – D melalui elemen volume kartesian Anggap suatu elemen kartesian kecil dengan panjang Δx , lebar Δy , dan tinggi Δz . Diasumsikan bahwa kerapatan dari badan kartesian
tersebut adalah ρ dan panas yang diberikan adalah C. Suatu energi
14 penyeimbang selama selang waktu yang kecil x Δt dapat dituliskan sebagai berikut •
•
•
•
•
•
•
Q x + Q y + Q z − Q x + Δx − Q y + Δy − Q z + Δz + G element =
ΔE element ( 2.10 ) Δt
Tidak satupun bahwa volume dari elemen adalah Velement = ΔxΔyΔz , dan perubahan isi energi dalam elemen dan kecepatan pembangkitan panas didalam elemen dapat dituliskan sebagai berikut ΔE element = Et + Δt − Et = mC (Tt + Δt − Tt ) = ρCΔxΔyΔz (Tt + Δt − Tt ) •
•
•
G element = g Velement = g ΔxΔyΔz
Disbustitusikan kedalam persamaan ( 2.10 ) kita dapatkan •
•
•
•
•
•
•
Q x + Q y + Q z − Q x + Δx − Q y + Δy − Q z + Δz + g ΔxΔyΔz = ρCΔxΔyΔz
Tt + Δt − Tt Δt
Dibagi dengan ΔxΔyΔz memberikan hasil •
•
•
•
•
•
T − Tt 1 Q x + Δx − Q x 1 Q y + Δy − Q y 1 Q z + Δz − Q z • ( 2.11 ) − − − + g = ρC t + Δt ΔyΔz Δx ΔxΔz Δy ΔxΔy Δz Δt
Tidak satupun bahwa luasan transfer panas dari elemen untuk konduksi panas dalam arah x, y, dan z adalah A x = ΔyΔz , A y = ΔxΔz , dan A z = ΔxΔy secara berurutan dan mengambil limit sebagai Δx ,
Δy , Δz dan Δt → 0 menghasilkan ∂T ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ • ⎟⎟ + ⎜ k ⎟ + g = ρC ⎜k ⎟ + ⎜⎜ k ∂t ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠
( 2.12 )
dikarenakan definisi dari turunan dan hukum Fourier dari konduksi panas
15 •
•
•
•
•
•
1 Q x + Δx − Q x 1 ∂Q x 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ lim = = ⎜ − kΔyΔz ⎟ = − ⎜k ⎟ Δx → 0 ΔyΔz Δx ΔyΔz ∂x ΔyΔz ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x ⎝ ∂x ⎠
1 Q y + Δy − Q y 1 ∂Q y 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ⎜⎜ − kΔxΔz ⎟⎟ = − ⎜⎜ k ⎟ lim = = Δy →0 ΔxΔz Δy ΔxΔz ∂y ΔxΔz ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎟⎠ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ 1 Q z + Δz − Q z 1 ∂Q z 1 ∂ ⎛ = = lim ⎜ − kΔxΔy ⎟ = − ⎜k ⎟ Δz →0 ΔxΔy Δz ΔxΔy ∂z ΔxΔy ∂z ⎝ ∂z ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠
Persamaan ( 2.12 ) adalah persamaan umum konduksi panas dalam koordinat segiemat, dalam kasus konduktivitas panas konstan, persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi •
∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T g 1 ∂T + + + = ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 k α ∂t
( 2.13 )
dimana nilai dari α = k / ρC adalah sekali lagi difusi panas dari bahan.
2.2.1.2. Koordinat Silinder
Gambar 2.3 Turunan elemen volume dalam koordinat silinder Persamaan konduksi panas secara umum dalam koordinat silinder dapat diperoleh dari penyeimbang energi pada elemen volume dalam
16 koordinat silinder dengan mengikuti langkah – langkah seperti diatas. Persamaan tersebut juga dapat diperoleh secara langsung dari persamaan ( 2.12 ) dengan mentranformasikan koordinat menggunakan relasi berikut diantara koordinat dalam suatu titik dalam sistem koordinat kartesian dan silinder x = r. cos φ ,
y = r. sin φ ,
dan
z=z
dan dengan cara mentransformasikan persamaan – persamaan diatas, maka didapat
∂T 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ • ⎜⎜ kr ⎟⎟ + ⎜ k ⎜ kr ⎟+ 2 ⎟ + g = ρC r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r ∂φ ⎝ ∂φ ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ∂t
( 2.14 )
2.2.1.3. Koordinat Bola
Gambar 2.4 Turunan elemen volume dalam koordinat bola Persamaan konduksi panas secara umum dalam koordinat bola dapat diperoleh dari penyeimbang energi pada elemen volume dalam
17 koordinat bola dengan mengikuti langkah– langkah seperti diatas. Persamaan tersebut juga dapat diperoleh secara langsung dari persamaan ( 2.12 ) dengan mentranformasikan koordinat menggunakan relasi berikut diantara koordinat dalam suatu titik dalam sistem koordinat kartesian dan bola
x = r. cos φ sin θ ,
y = r. sin φ sin θ ,
dan
z = cos θ
sekali lagi setelah mentransformasikan persamaan – persamaan diatas, maka didapat
∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ • ∂T 1 ∂ ⎛ 2 ∂T ⎞ 1 1 ⎜ ⎟ + + kr k k sin θ ⎜ ⎟ ⎟ + g = ρC ⎜ ⎜ ⎟ 2 2 2 2 ∂r ⎠ r sin θ ∂φ ⎝ ∂φ ⎠ r sin θ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ∂t r ∂r ⎝
( 2.15 )
2.2.2. Masalah Syarat Awal dan Syarat Batas Persamaan konduksi panas diatas didapatkan dengan menggunakan penyeimbang energi pada elemen turunan dalam suatu bahan, dan nilainya tetap sama dengan tanpa melihat kondisi panas, dan permukaan dari bahan. Itu mengapa persamaan diferensial tidak menyertakan informasi apapun yang berhubungan dengan kondisi pada permukaan seperti suhu permukaan atau flux panas yang diberikan. Kemudian kita mengetahui bahwa flux panas dan distribusi panas dalam satu bahan bergantung pada kondisi di permukaan, dan deskripsi dari masalah heat transfer dalam satu bahan tidak akan selesai tanpa deskripsi penuh dari kondisi panas pada permukaan yang terbatas pada bahan. Persamaan matematika dari kondisi panas pada suatu batasan dinamakan kondisi syarat batas. Sedangkan kondisi yang biasanya pada waktu yang ditentukan t = 0 dinamakan kondisi syarat awal, dimana itu merupakan persamaan matematika untuk distribusi panas dari bahan untuk pertama kali.
18 Masalah syarat batasan yang biasanya muncul dalam prakteknya adalah masalah syarat batas panas yang ditentukan, flux panas yang ditentukan, konveksi, dan radiasi.
2.2.2.1. Masalah Syarat Batas Panas Yang Ditentukan Temperatur dari permukaan yang terbuka biasanya dapat diukur secara langsung dan mudah. Untuk itu, seseorang dengan cara yang mudah dapat mengetahui kondisi panas pada permukaan untuk mengetahui berapa panas yang ditentukan. Untuk heat transfer satu dimensi melalui kartesian dengan ketebalan L, sebagi contoh, maka kondisi syarat batas dari panas yang ditentukan dapat dituliskan sebagi berikut T (0, t ) = T1
T (L, t ) = T2
( 2.16 )
dimana T1 dan T2 merupakan panas yang diberikan pada permukaan pada x = 0 dan x = L secara berturut – turut. Panas yang diberikan dapat konstan, yang terdapat dalam kasus konduksi panas stabil atau berubah – ubah sesuai dengan waktu.
2.2.2.2. Masalah Syarat Batas Flux Panas Yang Ditentukan Ketika ada informasi cukup tentang interaksi energi pada permukaan, akan menjadi mungkin untuk menentukan kecepatan heat •
transfer dan juga flux panas q pada permukaan, dan informasi ini dapat digunakan sebagai satu dari kondisi syarat batas. Flux panas
19 dalam arah x positif kemana saja dalam bahan, termasuk dalam batasan, dapat dituliskan dengan hukum Fourier dari konduksi panas sebagai •
q = −k
∂T ∂x
( W/m2 )
( 2.17 )
Yang perlu diperhatikan adalah tanda yang tepat untuk flux panas yang diberikan karena tanda yang salah akan membalikkan arah dari heat
transfer dan menyebabkan pertambahan panas yang diinterpretasikan sebagai kehilangan panas.
2.2.2.3. Masalah Syarat Batas Konveksi
Konveksi mungkin merupakan masalah syarat batas yang sering ditemui dalam prakteknya karena kebanyakan permukaan heat transfer terbuka terhadap lingkungan pada temperatur yang diberikan. Kondisi syarat
batas
konveksi
didasarkan
pada
keseimbangan
energi
permukaan. Untuk heat transfer satu dimensi dalam arah x dalam suatu plat dengan ketebalan L, kondisi syarat batasan konveksi pada kedua permukaan dapat dituliskan sebagai
−k
∂T (0, t ) = h1 [T∞1 − T (0, t )] ∂x
( 2.18a )
−k
∂T (L, t ) = h2 [T (L, t ) − T∞ 2 ] ∂x
( 2.18b )
dan
dimana h1 dan h2 adalah koefisien heat trasnfer konveksi dan T∞1 dan T∞ 2 adalah temperatur dari bahan lingkungan pada kedua sisi dari plat.
20
2.2.2.4. Masalah Syarat Batas Radiasi Dalam beberapa kasus, permukaan heat transfer dikelilingi dengan ruang hampa dan tidak ada konveksi heat transfer diantara permukaan dan lingkungan. Dalam kasus seperti itu, radiasi menjadi hanya satu – satunya mekanisme dari heat transfer diantara permukaan dengan lingkungan. Untuk heat transfer dimensi satu dalam arah x dalam plat dengan ketebalan L, kondisi syarat batas radiasi pada kedua permukaan dapat dituliskan sebagai berikut −k
∂T (0, t ) 4 4 = ε 1σ Tsurr ,1 − T (0, t ) ∂x
−k
∂T (L, t ) 4 4 = ε 2σ T (L, t ) − Tsurr ,2 ∂x
[
]
( 2.19a )
dan
[
]
( 2.19b )
dimana ε 1 dan ε 2 adalah emisivitas pada batasan permukaan,
σ = 5,67 x10 −8 W / m 2 • K 4 adalah konstanta Stefan – Boltzman, dan 4 4 Tsurr ,1 dan Tsurr , 2 adalah suhu rata – rata pada lingkungan permukaan
dari dua sisi plat secara berurutan.
2.2.2.5. Masalah Syarat Batas Penghubung Beberapa sisi terbuat dari beberapa lapis yang terdiri atas bahan – bahan yang berbeda, dan solusi dari permasalahan heat transfer dalam bahan seperti itu memerlukan solusi masalah heat transfer pada setiap lapis. Ini membutuhkan spesifikasi dari kondisi syarat batas pada setiap penghubung.
21 Kondisi syarat batas pada penghubung didasarkan pada keperluan bahwa 1) dua sisi yang saling berhubungan harus memiliki suhu yang sama pada luasan yang berhubungan, 2) suatu penghubung tidak dapat menyimpan energi, dan kemudian flux panas pada dua sisi yang berhubungan harus sama. Masalah batas pada perhubungan antara sisi A dan B dengan persinggungan yang sempurna pada x = x0 dapat dituliskan T A ( x 0 , T ) = TB ( x 0 , t )
( 2.20 )
∂T A (x 0 , t ) ∂T ( x , t ) = −k B B 0 ∂x ∂x
( 2.21 )
dan − kA
dimana k A dan k B adalah konduktivitas panas dari lapis A dan B.
