5 BAB 2 LANDASAN TEORI
Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah ilmu yang mempelajari suatu sistem aljabar dengan satu atau lebih operasi biner yang diberlakukan pada sistem aljabar tersebut. Struktur aljabar merupakan salah satu cabang matematika abstrak, yang umumnya akan lebih rumit dibandingkan dengan cabang lain yang lebih konkret. Secara khusus, struktur aljabar adalah himpunan tertutup yang terdiri dari satu atau lebih operasi matematika.
Operasi Biner (Tertutup) Operasi biner adalah operasi dua elemen dari sebuah himpunan, yang menghasilkan elemen yang masih merupakan anggota himpunan tersebut (tertutup). Contoh: Himpunan A = { bilangan asli }, dengan operasi biner + A tertutup terhadap operasi ”+”, bila untuk setiap a,b ∈ A, maka ( a + b ) ∈ A. Dengan kata lain, hasil penjumlahan dua buah elemen sembarang dari himpunan A yang berisi bilangan asli, akan menghasilkan suatu bilangan asli yang juga merupakan suatu elemen tunggal dari himpunan A.
6 Operasi Asosiatif Operasi asosiatif adalah operasi biner “*” di mana untuk setiap a,b,c ∈ A maka : (a*b)*c=a*(b*c)
Unsur Kesatuan (Identitas) Unsur kesatuan atau identitas adalah suatu elemen yang jika dioperasikan terhadap suatu elemen tunggal dari sebuah himpunan akan menghasilkan elemen tunggal itu sendiri. Ada 2 jenis identitas yaitu: •
Identitas terhadap penjumlahan Identitas terhadap penjumlahan adalah suatu elemen yang jika dilakukan operasi penjumlahan terhadap suatu elemen tunggal dari sebuah himpunan akan menghasilkan elemen tunggal itu sendiri. Untuk setiap a ∈ A, jika memenuhi : a+e=e+a=a maka, e merupakan identitas terhadap penjumlahan (unsur kesatuan aditif).
•
Identitas terhadap perkalian Identitas terhadap perkalian adalah suatu elemen yang jika dilakukan operasi perkalian terhadap suatu elemen tunggal dari sebuah himpunan akan menghasilkan elemen tunggal itu sendiri.
7 Untuk setiap a ∈ A, jika memenuhi : a*e=e*a=a maka, e merupakan identitas terhadap perkalian (unsur kesatuan multiplikatif).
Invers Invers adalah suatu elemen yang jika dioperasikan terhadap suatu elemen tunggal dari sebuah himpunan akan menghasilkan suatu elemen yang merupakan identitas. Untuk setiap a, a’ ∈ A dan e adalah identitas untuk operasi biner “*” memenuhi : a * a’ = a’ * a = e maka a’ adalah invers dari a untuk operasi biner “*”.
Operasi Komutatif Operasi komutatif adalah operasi biner ”*” di mana untuk setiap a,b ∈ A berlaku : a*b=b*a
8 Operasi Distributif Operasi
biner # dikatakan distributif terhadap operasi biner * jika
memenuhi : •
Distributif Kiri Untuk setiap a,b,c ∈ A memenuhi : a#(b*c)=(a#b)*(a#c)
•
Distributif Kanan Untuk setiap a,b,c ∈ A memenuhi : ( a* b ) # c = ( a # c ) * ( b # c )
Himpunan Bagian Suatu himpunan B dikatakan merupakan himpunan bagian dari himpunan A, jika semua elemen dari himpunan B merupakan elemen dari himpunan A, yang dilambangkan dengan B ⊆ A.
Ring Ring adalah suatu struktur aljabar yang terdiri dari dua operasi biner yaitu penjumlahan dan perkalian, di mana terhadap penjumlahan struktur tersebut merupakan grup abelian, terhadap perkalian struktur tersebut merupakan semigrup dan operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi penjumlahan. Suatu ring (R,+,×) adalah suatu himpunan tak kosong R dengan operasi biner penjumlahan (+) dan perkalian (×) pada R yang memenuhi aksiomaaksioma berikut :
9 1.
Terhadap penjumlahan (+) Tertutup : Untuk setiap a,b ∈ R, maka a + b ∈ R. Asosiatif : Untuk setiap a,b,c ∈ R, maka (a + b) + c = a + (b + c). Mempunyai unsur kesatuan : Adanya elemen identitas 0 sedemikian hingga a + 0 = 0 + a = a. Mempunyai invers : Untuk setiap a ∈ R terdapat b sedemikian hingga a + b = b + a = 0. Komutatif : Untuk setiap a,b ∈ R, maka a + b = b + a.
2.
Terhadap perkalian (×) Tertutup : Untuk setiap a,b ∈ R, maka a × b ∈ R. Asosiatif : Untuk setiap a,b,c ∈ R, maka (a × b) × c = a × (b × c). Mempunyai unsur kesatuan : Adanya elemen identitas 1 sedemikian hingga a × 1 = 1 × a = a.
3.
Distributif perkalian (×) terhadap penjumlahan (+) Untuk setiap a,b,c ∈ R, jika memenuhi : •
Distributif Kiri Untuk setiap a,b,c ∈ R memenuhi : a×(b+c)=(a×b)+(a×c)
•
Distributif Kanan Untuk setiap a,b,c ∈ R memenuhi : (a+b)×c=(a×c)+(b×c)
maka R bersifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.
10 Ring Komutatif Ring komutatif atau gelanggang komutatif adalah suatu ring, di mana terhadap penjumlahan struktur tersebut merupakan grup abelian, terhadap perkalian struktur tersebut merupakan monoid komutatif dan operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi penjumlahan. Suatu ring komutatif (R,+,×) adalah suatu himpunan tak kosong R dengan operasi biner penjumlahan (+) dan perkalian (×) pada R yang memenuhi aksiomaaksioma berikut : 1.
Terhadap penjumlahan (+) Tertutup : Untuk setiap a,b ∈ R, maka a + b ∈ R. Asosiatif : Untuk setiap a,b,c ∈ R, maka (a + b) + c = a + (b + c). Mempunyai unsur kesatuan : Adanya elemen identitas 0 sedemikian hingga a + 0 = 0 + a = a. Mempunyai invers : Untuk setiap a ∈ R terdapat b sedemikian hingga a + b = b + a = 0. Komutatif : Untuk setiap a,b ∈ R, maka a + b = b + a.
2.
Terhadap perkalian (×) Tertutup : Untuk setiap a,b ∈ R, maka a × b ∈ R. Asosiatif : Untuk setiap a,b,c ∈ R, maka (a × b) × c = a × (b × c). Mempunyai unsur kesatuan : Adanya elemen identitas 1 sedemikian hingga a × 1 = 1 × a = a. Komutatif : Untuk setiap a,b ∈ R, maka a × b = b × a.
11 3. Distributif perkalian (×) terhadap penjumlahan (+) Untuk setiap a,b,c ∈ R, jika memenuhi : •
Distributif Kiri Untuk setiap a,b,c ∈ R memenuhi : a×(b+c)=(a×b)+(a×c)
•
Distributif Kanan Untuk setiap a,b,c ∈ R memenuhi : (a+b)×c=(a×c)+(b×c)
maka R bersifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.
Field Field adalah suatu struktur aljabar yang terdiri dari dua operasi biner yaitu penjumlahan dan perkalian, di mana terhadap penjumlahan dan perkalian, struktur tersebut merupakan grup abelian dan operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi penjumlahan. Suatu field (R,+,×) adalah suatu himpunan tak kosong R dengan operasi biner penjumlahan (+) dan perkalian (×) pada R yang memenuhi aksiomaaksioma berikut : 1.
Terhadap penjumlahan (+) Tertutup : Untuk setiap a,b ∈ R, maka a + b ∈ R. Asosiatif : Untuk setiap a,b,c ∈ R, maka (a + b) + c = a + (b + c). Mempunyai unsur kesatuan : Adanya elemen identitas 0 sedemikian hingga a + 0 = 0 + a = a.
12 Mempunyai invers : Untuk setiap a ∈ R terdapat b sedemikian hingga a + b = b + a = 0. Komutatif : Untuk setiap a,b ∈ R, maka a + b = b + a. 2.
Terhadap perkalian (×) Tertutup : Untuk setiap a,b ∈ R, maka a × b ∈ R. Asosiatif : Untuk setiap a,b,c ∈ R, maka (a × b) × c = a × (b × c). Mempunyai unsur kesatuan : Adanya elemen identitas 1 sedemikian hingga a × 1 = 1 × a = a. Mempunyai invers : Untuk setiap a ∈ R terdapat b sedemikian hingga a × b = b × a = 0. Komutatif : Untuk setiap a,b ∈ R, maka a × b = b × a.
3.
Distributif perkalian (×) terhadap penjumlahan (+) Untuk setiap a,b,c ∈ R, jika memenuhi : •
Distributif Kiri Untuk setiap a,b,c ∈ R memenuhi : a×(b+c)=(a×b)+(a×c)
•
Distributif Kanan Untuk setiap a,b,c ∈ R memenuhi : (a+b)×c=(a×c)+(b×c)
maka R bersifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.
13 Sub Ring Misalkan (R,+,×) adalah suatu Ring, S adalah merupakan himpunan tidak kosong yang merupakan bagian dari R (S ⊆ R). Bila dilakukan operasi yang sama dengan (R,+,×), yaitu (S,+,×) membentuk suatu ring maka himpunan S disebut sub ring dari himpunan R. Jadi (S,+,×) adalah subring dari (R,+,×) jika S memenuhi aksiomaaksioma berikut : 1.
S adalah himpunan tak kosong
2.
Untuk setiap a,b ∈ S, maka a – b ∈ S.
3.
Untuk setiap a,b ∈ S, maka a × b ∈ S.
4.
Untuk setiap a,b ∈ R dan b adalah invers a terhadap penjumlahan, maka b harus di dalam S.
5.
Adanya elemen identitas perkalian 1 di dalam S.
Ideal Ideal adalah sub ring khusus yang memiliki sifat istimewa yaitu tertutup terhadap perkalian unsur di luar sub ring. Suatu sub ring disebut ideal jika sub ring tersebut merupakan ideal kiri dan ideal kanan. Ideal kiri yaitu bila tertutup terhadap perkalian unsur di sebelah kiri. Ideal kanan yaitu bila tertutup terhadap perkalian unsur di sebelah kanan. Secara struktur aljabar, suatu subring disebut ideal jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:
14 1. Ideal kiri (S,+,×) adalah subring dari (R,+,×) Untuk setiap a ∈ S dan r ∈ R, maka r × a ∈ S. 2. Ideal kanan (S,+,×) adalah subring dari (R,+,×) Untuk setiap a ∈ S dan r ∈ R, maka a × r ∈ S.
Tabel Cayley Tabel Cayley adalah daftar yang dibuat untuk memperlihatkan operasi antar dua elemen pada himpunan terbatas. Contoh Tabel Cayley: Tabel 2.1 Tabel Cayley Penjumlahan Modulo 6 +6
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
0
2
2
3
4
5
0
1
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
0
1
2
3
5
5
0
1
2
3
4
Interaksi Manusia dan Komputer Interaksi Manusia dan Komputer adalah disiplin ilmu yang mempelajari hubungan antara manusia dan komputer yang meliputi perancangan, evaluasi, dan implementasi antarmuka pengguna komputer agar mudah digunakan oleh
15 manusia. Sedangkan interaksi manusia dan komputer sendiri adalah serangkaian proses, dialog dan kegiatan yang dilakukan oleh manusia untuk berinteraksi dengan komputer yang keduanya saling memberikan masukan dan umpan balik melalui sebuah antarmuka untuk memperoleh hasil akhir yang diharapkan. Beberapa aspek utama dalam perancangan sebuah antarmuka adalah : 1. Metodologi dan proses perancangan antarmuka. 2. Metode implementasi antarmuka. 3. Metode evaluasi dan perbandingan antarmuka. 4. Pengembangan antarmuka baru. 5. Mengembangkan sebuah deskripsi dan prediksi atau teori dari sebuah antarmuka baru. Menurut Shneiderman, seorang profesor dalam bidang Interaksi Manusia dan Komputer, terdapat 8 aturan emas dalam perancangan desain antarmuka, yaitu: 1. Konsistensi. Konsistensi dilakukan pada urutan tindakan, perintah, dan istilah yang digunakan pada prompt, menu, serta layar bantuan. 2. Memungkinkan pengguna untuk menggunakan shortcut. Ada kebutuhan dari pengguna yang sudah ahli untuk meningkatkan kecepatan interaksi, sehingga diperlukan singkatan, tombol fungsi, perintah tersembunyi, dan fasilitas makro. 3. Memberikan umpan balik yang informatif. Untuk setiap tindakan operator, sebaiknya disertakan suatu sistem umpan balik. Untuk tindakan yang sering dilakukan dan tidak terlalu
16 penting, dapat diberikan umpan balik yang sederhana. Tetapi ketika tindakan merupakan hal yang penting, maka umpan balik sebaiknya lebih substansial. Misalnya muncul suatu suara ketika salah menekan tombol pada waktu input data atau muncul pesan kesalahannya. 4. Merancang dialog untuk menghasilkan suatu penutupan. Urutan tindakan sebaiknya diorganisir dalam suatu kelompok dengan bagian awal, tengah, dan akhir. Umpan balik yang informatif akan meberikan indikasi bahwa cara yang dilakukan sudah benar dan dapat mempersiapkan kelompok tindakan berikutnya. 5. Memberikan penanganan kesalahan yang sederhana. Sedapat mungkin sistem dirancang sehingga pengguna tidak dapat melakukan kesalahan fatal. Jika kesalahan terjadi, sistem dapat mendeteksi kesalahan dengan cepat dan memberikan mekanisme yang sedehana dan mudah dipahami untuk penanganan kesalahan. 6. Mudah kembali ke tindakan sebelumnya. Hal ini dapat mengurangi kekuatiran pengguna karena pengguna mengetahui kesalahan yang dilakukan dapat dibatalkan; sehingga pengguna tidak takut untuk mengekplorasi pilihan-pilihan lain yang belum biasa digunakan. 7. Mendukung tempat pengendali internal (internal locus of control). Pengguna ingin menjadi pengontrol sistem dan sistem akan merespon tindakan yang dilakukan pengguna daripada pengguna merasa bahwa sistem mengontrol pengguna. Sebaiknya sistem dirancang sedemikan rupa sehingga pengguna menjadi inisiator daripada responden.
17 8. Mengurangi beban ingatan jangka pendek. Keterbatasan ingatan manusia membutuhkan tampilan yang sederhana atau banyak tampilan halaman yang sebaiknya disatukan, serta diberikan cukup waktu pelatihan untuk kode, mnemonic, dan urutan tindakan.
Waterfall Model Waterfall Model adalah sebuah metode pengembangan software yang bersifat sekuensial dan terdiri dari 6 tahap yang saling terkait dan mempengaruhi seperti terlihat pada gambar berikut.
Gambar 2.1 Metode Waterfall
18 Tahapan dalam Waterfall Model adalah sebagai berikut : 1.
Planning Tahap perencanaan merupakan tahap awal dimana semua yang akan dibuat direncanakan di dalam tahap ini, termasuk mengenai kebutuhan tenaga kerja, biaya, dsb.
2. Analysis Tahap analisis bertujuan untuk mencari kebutuhan pengguna dan organisasi serta menganalisa kondisi yang ada, sebelum diterapkan sistem informasi yang baru. 3.
Design Tahap desain bertujuan menentukan spesifikasi detil dari komponenkomponen sistem informasi (manusia, hardware, software, network dan data) dan produk-produk informasi yang sesuai dengan hasil tahap analisis.
4.
Coding Pada tahap ini dilakukan pengaplikasian dari desain ke dalam bentuk kode program.
5.
Implementation Tahap implementasi bertujuan untuk mengimplementasikan hasil program sekaligus menguji apakah program sesuai dengan kebutuhan dan desain yang telah dilaksanakan.
19 6.
Maintenance Tahapan perawatan (maintenance) dilakukan ketika sistem informasi sudah dioperasikan. Pada tahapan ini dilakukan monitoring proses, evaluasi dan perubahan (perbaikan) bila diperlukan.
Flowchart Flowchart merupakan sebuah diagram dengan symbol symbol symbol grafis yang menyatakan tipe operasi program yang berbeda.Sebagai representasi dari sebuah program, flowchart maupun algoritma dapat menjadi alat bantu untuk memudahkan perancangan alur urutan logika suatu program, memudahkan pelacakkan sumber kesalahan program, dan alat untuk menerangkan logika program. Tabel 2.2 Tabel Simbol Flowchart
