BAB 2 LANDASAN TEORI

6

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Teori Antrian Sistim ekonomi dan dunia usaha (bisnis) sebagian besar beroperasi dengan sumber daya yang relatif terbatas.Sering terjadi pada orang, barang, dan komponen harus menunggu untuk mendapatkan jasa pelayanan.Garis-garis tunggu sering disebut antrian (queuning atau waiting line).Mengantri kadang memang harus dilakukan bilamana sedang menunggu giliran, misalnya untuk membeli karcis bioskop, mengambil atau menyetor uang pada bank, dan lainnya. Antrian juga dapat terjadi pada barang, misalnya antrian bahan mentah yang akan diproses untuk dijadikan suatu produk tertentu, atau data yang akan diolah dipusat komputer dan sebagainya. Disiplin antrian tampak pada pelanggan (barang ataupun orang) akan dilayani berdasarkan yang lebih dahulu datang, prioritas, dan lainnya. Pelanggan dapat datang dalam jarak waktu yang sama atau dapat pula secara random, dengan jarak waktu kedatangan yang tidak lama atau cukup lama. Rata-rata waktu menunggu (waiting time) sangat bergantung pada rata-rata kecepatan pelayanan (rate of service).Antrian terjadi karena kecepatan kedatangan pelanggan pada fasilitas pelayanan lebih cepat dari kecepatan pelayanan yang diberikan oleh stasiun pelayanan, sehingga fasilitas pelayanan tidak mampu melayani arus kedatangan pelanggan.

2.2 Elemen Pokok Sistim Antrian Elemen-elemen dasar model antrian bergantung kepada faktor-faktor berikut: 1. Distribusi Kedatangan Individu-individu dari populasi memasuki sistim disebut pola kedatangan (arrival pattern).Individu-individu datang dengan tingkat kedatangan (arrival

7

rate) yang konstan ataupun acak, bersifat bebas dan tidak terpengaruh oleh kedatangan sebelum atau sesudahnya.Tingkat kedatangan sangat sering mengikuti suatu Distribusi Poisson karena menggambarkan jumlah kedatangan per unit waktu. 2. Barisan Antri Suatu antrian selalu ditandai dari besarnya jumlah langganan yang ada di dalam sistim untuk mendapatkan pelayanan.Antrian disebut terbatas apabila jumlah langganan yang dibolehkan masuk ke dalam sistim dibatasi sampai jumlah tertentu, bila pembatasan yang demikian tidak diadakan, maka antrian dikatakan tidak terbatas. 3. Displin Pelayanan Disiplin pelayanan adalah suatu urutan yang dikenakan di dalam memilih langganan dari barisan antri untuk segera dilayani. Aturan yang digunakan antara lain: a. FIFO (First In First Out), adalah pelanggan yang pertama datang yang dilayani lebih dahulu.FIFO sering disebut juga FCFS (First Come First Served) contohnya, loket-loket penjualan karcis kereta api. b. LIFO (Last In First Out), adalah pelanggan yang terakhir datangadalah yang dilayani terlebih dahulu yang dikenal juga LCFS (Last Come First Served) contohnya, sistim muat bongkar di dalam truk. c.

SIRO

(Service

In

Random

Order),adalah

pelayanan

dilakukan

secaraacak,sering dikenal RSS (Random Selection For Service) contohnya, pelayanan dilakukan berdasarkan undian. d. PRI (Pelayanan Berdasarkan Prioritas), adalah pelayanan dilakukan secara prioritascontohnya. pesta tamu VIP dilayani terlebih dahulu. 4. Mekanisme Pelayanan Mekanisme pelayanan adalah jumlah susunan stasiun yang terdiri dari satu atau lebih stasiun pelayanan disusun secara seri atau paralel.Suatu model pelayanan

8

tunggal jika stasiun memiliki satu stasiun pelayanan dan model pelayanan ganda bila stasiun pelayanan lebih dari satu stasiun pelayanan. 5. WaktuPelayanan Waktu yang digunakan untuk melayani pelanggan dalam suatu sistim disebut waktu pelayanan.Waktu ini mungkin konstan atau acak. Waktu pelayanan mengikuti Distribusi Eksponensial atau distribusinya acak

2.3 Struktur Antrian Sifat proses pelayanannya dapat diklasifikasikan berdasarkan fasilitas-fasilitas pelayanan dalam susunan saluran dan fase yang membentuk satu struktur antrian yang berbeda-beda. Istilah saluran menunjukan jumlah tempat untuk memasuki sistim pelayanan, dan menunjukkan jumlah fasilitas pelayananan.Fase berarti jumlah stasiun-stasiun pelayanan dan para pelanggan harus melaluinya sebelum pelayanan dinyatakan lengkap. Ada 4 model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh sistim antrian: 1. Single Channel-Single Phase Single

Channel

berarti

hanya

satu

jalur

untuk

memasuki

sistim

pelayanan.Single Phase berarti hanya satu stasiun pelayanan atau sekumpulan tunggal operasi yang dilaksanakan.Gambar Single Channel-Single Phase ditampilkan pada Gambar 2.1.Contoh Single Channel-Single Phase adalah seorang pelayan toko, seorang supir bus, dan sebagainya.

Gambar 2.1 Single Channel-Single Phase

9

2. Single Channel-Multi Phase Multi Phase berarti ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan dalam fase-fase.Gambar Single Channel-Multi Phase ditampilkan pada Gambar 2.2. Contoh Single Channel-Multi Phase adalah proses pencucian mobil, tukang cat mobil, dan lain-lain.

Gambar 2.2 Single Channel-Multi Phase 3. Multi Channel-Single Phase Multi Channel-Single Phase terjadi jika ada dua atau lebih fasilitas pelayanann oleh antrian tunggal.Gambar Multi Channel-Single Phase dapat diperhatikan pada Gambar 2.3.Contoh dari Multi Channel-Single Phase adalah pembelian tiket yang dilayani oleh lebih dari satu loket, pelayanan potong rambut oleh beberapa tukang cukur, dan sebagainya.

Gambar 2.3 Multi Channel-Single Phase 4. Multi Channel-Multi Phase Multi Channel-Multi Phase terjadi ketika beberapa antrian dengan beberapa pelayanan paralel gambar Multi Channel-Multi Phase dapat diperhatikan pada Gambar 2.4. Contoh dari Multi Channel-Multi Phase adalah

10

herregistrasi mahasiswa di universitas, pelayanan pasien dari pendafaran, diagnosa, penyembuhan sampai pembayaran di rumah sakit, dan sebagainya.

Gambar 2.4 Multi Channel-Multi Phase

2.4 Uji Kecukupan Data Menurut Ralph M. Barnesdalam melakukanobservasi dan pengumpulan data hendaknya melakukan evaluasi terhadaperror dari data yang dikumpulkan.Untuk itu perlu untuk diketahui nilai N −1 yaitu jumlah observasi yang dibutuhkan untuk memprediksikan kebenarandata pada tingkat ketelitian dan tingkat kepercayaan yang sudah ditentukan.Pada pengujian data ini dipakai tingkat ketelitian ( s = 0,1 ) yang berarti tingkat kepercayaan ( k = 2).

N −1

k  s =    

   2 N .∑ ( xi ) −  ∑ xi   i =1  i =1   N  xi ∑  i =1   N

N

2

2

dengan: N −1

= banyak data yang dibutuhkan

N

= jumlah data yang telah diambil

xi

= data ke- i

Ketika N −1 < N maka data yang telah diambil tercukupi untuk perhitungan selanjutnya.

11

2.5 Uji Keacakan Pengujian ini dimaksudkan untuk membuktikan bahwa sampel kedatangan adalah acak. Alat bantu untuk pengujian ini menggunakan Uji Runtun dengan tingkat signifikasi ( α = 0,05 ). Tahapannya perhitungan uji keacakan antara lain: 1. Hitung nilai median. Data yang lebih kecil dari median diberi tanda minus ( n1 ) dan data yang lebih besar atau sama dengan median diberi tanda tambah ( n2 ). 2. Hitung banyak runtun ( u ). Misalkan, data dengan pola (+) (-) mempunyai nilai runtun adalah 2. 3. Hitung nilai rata-rata ( µ 0 ) dan simpangan baku ( σ 0 ) dengan rumus:

µ0 = 1 +

2 ⋅ n1 n 2 ⋅ (2n1 n 2 − n1 − n 2 ) (n1 + n 2 ) 2 ⋅ (n1 + n 2 − 1)

2 ⋅ n1 ⋅ n2 dan σ 0 = n1 + n2

u − µ0 σ0 Dengan ketentuan: Keacakan data dapat diterima jika − Z tabel < Z hitung < Z tabel 4. Hitung nilai normal baku atau Z hitung =

2.6 Uji Kolmogorov Smirnov ( QS-KS ) Pengujian QS-KS digunakan sebagai alat bantu untuk menguji pola kedatangan yang diasumsikan Distribusi Poisson dan pola pelayanan yang juga diasumsikan DistribusiEksponensial. Tingkat signifikasi yang digunakan pada Uji Kolmogorov Smirnov adalah α = 0,05. Langkah-langkah dalam Pengujian QS-KS antara lain: 1. Menyusun data hasil pengamatan dari nilai terkecil sampai terbesar 2. Hitung frekuensi kumulatif relatif atau Fa (x) 3. Hitung nilai normal baku Z = n∑ ( xi ) 2 − (∑ xi )

xi − µ x  dengan µ = ∑  i  dan σ n

2

σ=

n(n − 1)

dengan: Z = nilai normal baku

xi = nilai pengamtan ke- i

12

µ = nilai rata-rata

σ = nilai standar deviasi n = jumlah pengamatan. 4.

Hitung distribusi frekuensi kumulatif teoritis (area kurva normal atau Fe (x) ). Luas area kurva normal dapat dilihat pada lampiran 1.

5.

Menghitung selisih antara Fa (x) dengan Fe (x) .

6.

Menghitung D maksimum yaitu Dmaks =| Fa ( x) − Fe ( x) |

7.

Bandingkan nilai Dmaks dengan Dα dengan ketentuan asumsi tidak benar jika Dmaks lebih besar dari Dα .

Jika n lebih besar dari 35 dengan α = 0,05 maka Dα =

1,36 n

2.7 Pola Kedatangan Distribusi Poisson adalah salah satu dari pola kedatangan yang paling sering digunakan jika penyebarannya dilakukan secara acak, hal ini terjadi karena Distribusi Poisson menggambarkan jumlah kedatangan per unit waktu sehingga waktu antar kedatangan adalah acak. Pola pertibaan dari banyak individu secara acak dalam antrian pada satu waktu, yaitu: P( x) =

(λ) x .e − λ x!

; x≥0

dengan:

x

= jumlah individu dalam antrian

P (x) = peluang bahwa n individu dalam antrian

λ

= kecepatan kedatangan rata-rata pada satu satuan waktu

e

= bilangan natural (e = 2,718)

2.8 Perhitungan Teori Antrian

13

Bentuk kombinasi proses kedatangan dengan pelayanan pada umumnya di kenal sebagai standar universal atau disebut juga Notasi Kendalls (Kendall’s Notation), yaitu: (a/b/c) : (d/e/f) dengan: a

= distribusi kedatangan

b

= distribusi waktu pelayanan atau keberangkatan

c

= jumlah pelayan dalam paralel

d

= disiplin pelayanan

e

= jumlah maksimum yang diizinkan dalam sistim

f

= jumlah pelanggan yang masuk sistim sebagai sumber

Notasi ini dapat diganti dengan kode-kode dari distribusi yang terjadi, yaitu: 1. Simbol a dan b dapat diganti dengan kode-kode sebagai berikut: a. M

= Distribusi kedatangan Poisson / pelayanan Eksponensial

b. D

= Waktu pelayanan tetap

c.

= Menunjukkan Erlang

EK

2. Huruf c, dipergunakan bilangan bulat positif yang menyatakan jumlah pelayanan parallel. 3. Simbol d, dapat diganti dengan kode-kode sebagai berikut: a. FIFO atau FCFS b. LIFO atau LCFS c. SIRO d. PS 4. Simbol e dan f digunakan kode N atau menyatakan jumlah terbatas atau tak berhingga satuan-satuan dalam sistim antrian dan populasi masukan.

2.8.1 Sistim Saluran Tunggal – Model (M/M/1) : (FIFO/∞/∞)

14

Model ini mempunyai arti pola kedatangan yang mengikuti Distribusi Poisson dengan pola pelayanan yang mengikuti Distribusi Eksponensial dengan jumlah stasiun pelayanan dalam sistim adalah satu pelayan dan disiplin pelayanannya adalah First In First Out dengan jumlah maksimum yang diperkenankan berada dalam sistim dan besarnya populasi masukan adalah tak terbatas. Beberapa karakteristik perhitungan dasar teori antrian dalam bentuk µ dan λ adalah sebagai berikut: 1. Tingkat Kegunaan Fasilitas Dalam sistim pelayanan tunggal tingkat kegunaan fasilitas dapat juga dikatakan sebagai tingkat kegunaan fasilitas yang dirumuskan dengan: ρ=

λ n 1 dengan λ = dan µ = l s µ

dengan: ρ

= tingkat kegunaan fasilitas

λ

= tingkat kedatangan rata-rata

µ

= tingkat pelayanan rata-rata

n

= jumlah individu dalam sistim pada suatu waktu

l

= lama penelitian per satuan satuan

s

= waktu layanan rata-rata

Untuk meningkatkan kegunaan fasilitas yang harus diperhatikan adalah tingkat kedatangan rata-rata ( λ ) harus lebih kecil dari tingkat pelayanan ratarata ( µ ). 2. Ekspektasi Jumlah Rata-rata Individu dalam Antrian Misalkan Lq adalah ekspektasi jumlah rata-rata individu dalam antrian, maka:

Lq =

λ2 µ.(µ − λ)

dengan: λ


µ


15

3. Ekspektasi Jumlah Individu dalam Sistim Misalkan Ls adalah ekspektasi jumlah individu dalam sistim, maka: Ls =

λ2 µ.(µ − λ)

dengan: λ


µ


4. Waktu Rata-rata dalam Sistim Misalkan Ws adalah ekspektasi waktu individu dalam sistim, maka:

λ 1 µ−λ Ws = = λ µ−λ dengan: λ


µ


5. Waktu Rata-rata dalam Antrian Misalkan Wq adalah ekspektasi waktu individu dalam antrian, maka:

Wq =

λ 1    µ  µ − λ 

dengan: λ


µ


2.8.2 Sistim Saluran Ganda – Model (M/M/C) : (FIFO/∞/∞) Perbedaan dari sistim saluran tunggal hanya pada jumlah stasiun yang beroperasi, pada sistim ini jumlah stasiun yang beroperasi lebih dari satu dengan jumlah maksimum yang diperkenankan dalam sistim adalah tidak terbatas dan populasi

16

masukan yang tidak terbatas.Parameter-parameter dari sistim ini adalah pelayan atau saluran ganda, pola kedatangan mengikuti Distribusi Poisson, waktu pelayanan mengikuti Distribusi Eksponensial dan antrian tak berhingga. 1. Tingkat Kegunaan Fasilitas Sistim saluran dengan banyak stasiun pelayanan yang dioperasikan lebih dari satu atau c ≥ 2, Tingkat kegunaan fasilitas yaitu: ρ=

λ cμ

dengan:

ρ


λ


c

= banyak stasiun pelayanan

μ


2. Peluang Masa Sibuk Misalkan P (b) adalah peluang masa sibuk, maka: c

λ   ⋅ Po µ 1 dan Po = P(b) =   c  λ  λ    λ c!1 −    n    c−1   μ    cµ  μ +   ∑    λ n=0  n!   c!1 − cμ       dengan: P (b) = peluang pada kondisi sibuk

Po

= peluang tidak ada individu dalam sistim

λ


c

= banyak stasiun pelayanan

µ


17

3. Ekspektasi Jumlah Individu Menunggu dalam Antrian Dimisalkan Lq adalah ekspektasi jumlah individu rata-rata dalam antrian, maka: c +1

λ   ⋅ Po µ Lq =   (c ) ⋅ c!⋅(1 − ρ)2 dengan: Lq

= ekpektasi individu menunggu dalam antrian

Po

= peluang tidak ada individu dalam sistim

c

= banyaknya stasiun pelayanan

ρ


4. Ekspektasi Jumlah Individu dalam Sistim Misalkan Ls adalah ekspektasi jumlah individu rata-rata yang berada dalam sistim total, maka: L s = Lq +

λ µ

dengan: Lq

= jumlah individu rata-rata dalam sistim = ekspektasi jumlah rata-rata yang menunggu dalam antrian

λ

= rata-rata kedatangan

µ

= rata-rata waktu pelayanan

Ls

5. Ekspektasi Waktu Rata-rata dalam Antrian Waktu rata-rata dalam antrian dapat dirumuskan sebagai: Wq =

Lq λ

dengan: Wq

= ekspektasi waktu rata-rata dalam antrian

Lq

= ekspektasi jumlah rata-rata yang menunggu dalam antrian

λ

= tingkat kedatangan rata–rata

18

6. Ekspektasi Waktu Rata-rata dalam Sistim Waktu rata-rata dalam sistim adalah dirumuskan sebagai berikut:

Ws =

Ls λ

dengan: Ws Ls λ

= ekspektasi waktu rata-rata dalam sistim = jumlah individu rata-rata dalam sistim = tingkat kedatangan rata–rata

BAB 2 LANDASAN TEORI

Recommend Documents