BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Pengertian Regresi Istilah regresi pertama kali digunakan oleh Francis Galton. Dalam papernya yang terkenal
Galton
menemukan
bahwa
meskipun
terdapat
tendensi
atau
kecenderungan bahwa orang tua yang tinggi akan mempunyai anak yang tinggi dan orang tua yang pendek akan mempunyai anak yang pendek juga, tetapi ratarata tinggi badan anak yang lahir dari orang tua dengan tinggi badan tertentu cenderung bergerak atau regress ke arah rata-rata tinggi badan anak seluruh populasi tersebut (Hakim Abdul, 2004). Menurut Mason (1996, Hal 490), pengertian dari analisis regresi adalah suatu model matematis yang dapat digunakan untuk mengetahui pola hubungan antara dua variabel atau lebih yaitu variabel bebas dan variabel terikat. Variabel bebas adalah variabel yang nilai-nilainya tidak bergantung pada variabel lainnya, biasanya disimbolkan dengan X. Variabel ini digunakan untuk meramalkan atau menerangkan nilai dari variabel yang lain. Variabel terikat adalah variabel yang nilai-nilainya bergantung pada variabel lainnya, biasanya disimbolkan dengan Y. Variabel itu merupakan variabel yang diramalkan atau menerangkan nilainya (Hasan, 1999).
2.2 Pengertian Analisis Regresi Linier Dalam ilmu statistika, teknik yang umum digunakan untuk menganalisis hubungan antara dua atau lebih variabel adalah analisa regresi.Model matematis dalam menjelaskan hubungan antara variabel dalam analisis regresi menggunakan persamaan regresi.
Prinsip dasar yang harus dipenuhi dalam membangun suatu persamaan regresi adalah bahwa antara variabel terikat dengan variabel bebas mempunyai sifat hubungan sebab akibat.Analisis regresi linier digunakan untuk: 1. Menentukan hubungan fungsional antar variabel terikat dengan bebas. Hubungan fungsional ini dapat disebut sebagai persamaan garis regresi yang berbentuk linier. 2. Meramalkan atau menduga nilai dari satu variabel dalam hubungannya dengan variabel lain yang diketahui melalui persamaan garis regresinya. Analisis regresi terdiri dari dua bentuk yaitu: 1. Analisis Regresi Linier Sederhana 2. Analisis Regresi Linier Berganda Analisis regresi linier sederhana adalah bentuk regresi dengan model yang bertujuan untuk mempelajari hubungan antara dua variabel, yakni variabel terikat dan variabel bebas.Sedangkan analisis regresi linier berganda adalah bentuk regresi dengan model yang memiliki hubungan antara satu variabel terikat dengan dua atau lebih variabel bebas.
Variabel terikat yaitu variabel yang disebabkan atau dipengaruhi oleh adanya variabel bebas.Besarnya perubahan pada variabel terikat ini tergantung dari besaran variabel bebas. Variabel bebasakan memberi peluang kepada perubahan variabel terikat yaitu sebesar koefisien (besaran) perubahan dalam variabel bebas. Maksudnya, setiap kali terjadi perubahan sekian satuan pada variabel bebas, maka diharapkan akan mengakibatkan perubahan variabel terikat sekian satuan juga.
Jika X 1 , X 2 ,..., X n adalah variabel-variabel bebas dan Y adalah variabel terikat maka terdapat hubungan fungsional antar X dan Y. Jika dibuat secara matematis hubungan ini dapat dijabarkan sebagai berikut: di mana:
Y = Variabel terikat X = Variabel bebas e = Variabel residu (disturbance’s error)
Berkaitan dengan analisi regresi ini, setidaknya ada empat kegiatan yang lazim dilaksanakan yakni: 1. Mengadakan estimasi terhadap parameter berdasarkan data empiris. 2. Menguji seberapa besar variasi variabel terikat dapat diterangkan oleh variasi bebas. 3. Menguji apakah estimasi parameter tersebut signifikan atau tidak. 4. Melihat apakah tanda magnitude dari estimasi parameter cocok dengan teori.
2.2.1 Analisis Regresi Linier Sederhana Regresi linier sederhana digunakan untuk memperkirakan hubungan antara dua variabel di mana hanya terdapat satu variabel bebas dan satu variabel terikat. Dalam bentuk persamaan, model regresi sederhana adalah:
Y=a+bX
(2.1)
di mana:
Y
= variabel terikat
X
= variabel bebas
a
= konstanta atau penduga bagi intersep
b
= penduga bagi koefisien regresi
Penggunaan regresi linier sederhana didasarkan pada asumsi diantaranya sebagai berikut: 1. Model regresi harus linier dalam parameter. 2. Variabel bebas tidak berkorelasi dengan disturbance’s error. 3. Nilai disturbance’s errorterbesar 0 atau dengan simbol (E(U/ X )) = 0. 4. Varian untuk masing-masing error term (kesalahan) konstan. 5. Tidak terjadi auto korelasi.
6. Model regresi dispesifikasi secara benar dan tidak terdapat bias spesifik dalam model. 7. Jika variabel bebas lebih dari satu maka antara variabel tidak ada hubungan linier yang nyata. 2.2.2 Analisis Regresi Linier Berganda Untukmemperkirakan nilai variabel terikatakan lebih baik apabila ikut memperhitungkan variabel-variabel bebas lain yang ikut mempengaruhi nilai Y. Dengan demikian hubungan antara satu variabel terikat Y dengan beberapa variabel bebas X 1 , X 2 ,..., X n untuk itulah digunakan regresi linier berganda. Dalam pembahasan mengenai regresi sederhana, simbol yang digunakan untuk variabel bebasnyaadalah X . Dalam persamaan regresinya memiliki lebih dari satu variabel bebas maka perlu menambah tanda bilangan pada setiap variabel tersebut.
Dalam penelitian ini digunakan empat variabel yang terdiri dari satu variabel terikat Y dan tiga variabel bebas X yaitu X 1 , X 2 , X 3 . Maka persamaan regresi linier bergandanya adalah: Λ
Y= bo + b1 X 1 + b2 X 2 + b3 X 3 (2.2)
Maka persamaan di atas dapat diselesaikan dengan:
ΣY = bo n + b1ΣX 1 + b2 ΣX 2 + b3ΣX 3
(2.3)
∑ YX 1 = b0 ∑ X 1 + b1 ∑ X + b2 ∑ X 1 X 2 + b3 ∑ X 1 X 3 2 1
∑ YX 2 = b0 ∑ X 2 + b1 ∑ X 1 X 2 + b2 ∑ X 22 + b3 ∑ X 2 X 3 ∑ YX 3 = b0 ∑ X 3 + b1 ∑ X 1 X 3 + b2 ∑ X 2 X 3 + b3 ∑ X 32
(2.4)
(2.5) (2.6)
2.3 Pengertian Uji Keberartian Regresi Sebelum persamaan regresi digunakan terlebih dahulu diperiksa setidak-tidaknya mengenai kelinearan dan keberartiannya.Pemeriksaan ini ditempuh melalui pengujian hipotesis.Uji keberartian dilakukan untuk menyakinkan diri apakah
regresi yang didapat berdasarkan penelitian ada artinya bila dipakai untuk mengetahui hubungan antara variabel terikat dengan variabel bebas.
Untuk itu diperlukan dua macam jumlah kuadrat (JK) yaitu jumlah kuadrat untuk regresi yang ditulis JKreg dan jumlah kuadrat untuk sisa (residu) yang ditulis dengan JKres. Jika x1 = X 1 − X 1 , x2 = X 2 − X 2 , ... , xn = X n − X n dan y = Y − Y Maka secara umum jumlah kuadrat-kuadrat tersebut dapat dihitung dari: JK reg = b1 ∑ yx1 + b2 ∑ y x2 + b3 ∑ y x3
(2.7)
Dengan derajat kebebasan dk = (n-k-1) untuk sampel berukuran n. Dengan demikian uji keberartian regresi linier berganda dapat dihitung dengan: JK reg Fhitung =
k JK res (n − k − 1)
(2.8)
di mana statistika F yang menyebar mengikuti distribusi F dengan derajat kebebasan pembilang V1 = k dan penyebut V2 = n-k-1
2.4 Pengujian Hipotesis Pengujian hipotesis dapat didasarkan dengan menggunakan dua hal yaitu: tingkat signifikansi atau probabilitas (α) dan tingkat kepercayaan. Tingkat signifikansi pada umumnya orang menggunakan 0,05. Kisaran tingkat signifikansi mulai dari 0,01 sampai dengan 0,1. Tingkat kepercayaan pada umumnya sebesar 95% di mana nilai sampel akan mewakili nilai populasi. Dalam melakukan hipotesis terdapat dua jenis hipotesis yaitu: H o (hipotesis nol) dan H a (hipotesis alternative). H o bertujuan memberikan usulan dugaan kemungkinan tidak adanya perbedaan antara perkiraan penelitian dengan keadaan sesungguhnya. H a bertujuan memberikan usulan adanya perbedaan antara perkiraan penelitian dengan keadaan sesungguhnya.
Pembentukan suatu hipotesis memerlukan teori-teori maupun hasil penelitian terlebih dahulu sebagai pendukung pernyataan hipotesis yang diusulkan.Dalam membentuk hipotesis ada beberapa hal yang dipertimbangkan: 1. Hipotesis nol dan hipotesis alternative yang diusulkan 2. Daerah penerimaan dan penolakan serta teknik arah pengujian (one tailed or two tailed) 3. Penentuan nilai hitung statistik 4. Menarik kesimpulan apakah menerima atau menolak hipotesis yang diusulkan dalam uji keberartian regresi. Langkah-langkah yang dibutuhkan untuk pengujian hipotesis antara lain: H o= β o= β1= ...= β n= 0 Tidak terdapat hubungan fungsional yang signifikan antara variabel bebas dengan variabel terikat H a : Minimal satu parameter koefisien regresi β n yang ≠ 0 terdapat hubungan fungsional yang signifikan antara variabel bebas dengan vaiabel terikat 1) Pilih taraf α yang diinginkan 2) Hitung statistik Fhitungdengan menggunakan persamaan 3) Nilai Ftabel menggunakan tabel daftar F dengan taraf signifikan α 4) Kriteria pengujian: Jika Fhitung > Ftabel maka H o ditolak dan H a diterima Jika Fhitung ≤ Ftabel maka H o diterima dan H a ditolak
2.5 Pengertian Koefisien Determinasi Koefisien determinasi yang disimbolkan dengan R2 bertujuan untuk mengetahui seberapa besar kemampuan variabel bebas menjelaskan variabel terikat. Nilai R2 dikatakan baik jika berada diatas 0,5 karena nilai R2 berkisar 0 sampai 1. Pada umumnya nilai regresi linier berganda dapat dikatakan layak dipakai untuk
penelitian, karena sebagian besar variabel terikatdijelaskan oleh variabel bebas yang digunakan dalam model.Koefisien determinasi dapat dihitung dari: R 2 = b1 ∑ y x1 + b2 ∑ y x2 + ... + bn ∑ yX n Sehingga rumus umum koefisien deteminasi yaitu: R2 =
JK reg ∑in=1 y 2
(2.9)
Harga R 2 diperoleh sesuai dengan variasi yang dijelaskan oleh masing-masing variabel yang tinggal dalam regresi.Hal ini mengakibatkan variasi yang dijelaskan penduga hanya disebabkan oleh variabel yang berpengaruh saja.
2.6Uji Korelasi Ujikorelasi bertujuan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang tidak menunjukkan hubungan fungsional (berhubungan bukan berarti disebabkan).Uji korelasi tidak membedakan jenis variabel (tidak ada variabel terikat maupun variabel bebas).Keeratan hubungan ini dinyatakan dalam bentuk koefisien korelasi. Uji koefisien terdiri dari Pearson, Spearman, dan Kendall. Jika sampel data lebih dari 30 (sampel besar) dan kondisi data normal, sebaiknya menggunakan korelasi Pearson (karena memenuhi asumsi parametrik).Jika jumlah sampel kurang dari 30 (sampel kecil) dan kondisi data tidak normal maka sebaiknya menggunakan korelasi Spearman atau Kendall (karena memenuhi asumsi non-parametrik).
2.6.1 Pengertian Koefisien Korelasi Nilai koefisien korelasi merupakan nilai yang digunakan untuk mengukur keeratan suatu hubungan antar variabel. Koefisien korelasi biasanya disimbolkan dengan r.Koefisien korelasi antar variabel bebas dan terikat dapat dirumuskan sebagai berikut:
ryxi =
n∑ X iY − (∑ X i )(∑ Y )
{n∑ X i2 − (∑ X i ) 2 }{n∑ Y 2 − (∑ Y ) 2 }
(2.10)
Untuk menghitug koefisien korelasi antara variabel terikat Y dengan variabelbebas X 1 , X 2 , X 3 yaitu: 1. Koefisien korelasi antara Y dengan X1 ry1 =
n∑ X 1Y − (∑ X 1 )(∑ Y )
{n∑ X 12 − (∑ X 1 ) 2 }{n∑ Y 2 − (∑ Y ) 2 }
(2.11)
2. Koefisien korelasi antara Y dengan X2 ry 2 =
n∑ X 2Y − (∑ X 2 )(∑ Y )
{n∑ X 22 − (∑ X 2 ) 2 }{n∑ Y 2 − (∑ Y ) 2 }
(2.12)
3. Koefisien korelasi antara Y dengan X3 ry 3 =
n∑ X 3Y − (∑ X 3 )(∑ Y )
{n∑ X 32 − (∑ X 3 ) 2 }{n∑ Y 2 − (∑ Y ) 2 }
(2.13)
Koefisien korelasi antar variabel bebas dapat dirumuskan sebagai berikut: rxi xi =
n∑ X i X i − (∑ X i )(∑ X i )
{n∑ X i2 − (∑ X i ) 2 }{n∑ X i2 − (∑ X i ) 2 }
(2.14)
Untuk menghitug koefisien korelasi antara variabel bebas X1, X2, X3yaitu: 1. Koefisien korelasi antara X1dengan X2 r12 =
n∑ X 1 X 2 − (∑ X 1 )(∑ X 2 )
{n∑ X 12 − (∑ X 1 ) 2 }{n∑ X 22 − (∑ X 2 ) 2 }
2. Koefisien korelasi antara X1 dengan X3
(2.15)
r13 =
n∑ X 1 X 3 − (∑ X 1 )(∑ X 3 )
{n∑ X 12 − (∑ X 1 ) 2 }{n∑ X 32 − (∑ X 3 ) 2 }
(2.16)
3. Koefisien korelasi antara X2 dengan X3 r23 =
n∑ X 2 X 3 − (∑ X 2 )(∑ X 3 )
{n∑ X 22 − (∑ X 2 ) 2 }{n∑ X 32 − (∑ X 3 ) 2 }
(2.17)
Koefisien korelasi memiliki nilai antara -1 hingga +1. Sifat nilai koefisien korelasi adalah plus (+) atau minus (-) yang menunjukkan arah korelasi. Makna sifat korelasi: 1) Tanda positif (+) pada koefisien korelasi menunjukkan hubungan yang searah (korelasi positif). Artinya jika suatu nilai variabel mengalami kenaikan maka nilai variabel yang lain juga mengalami kenaikan dan demikian juga sebaliknya. 2) Tanda negatif (-) pada koefisien korelasi menunjukkan hubungan yang berlawan arah (korelasi negatif). Artinya jika suatu nilai variabel mengalami kenaikan maka nilai variabel yang lain mengalami penurunan dan demikian juga sebaliknya. Untuk memudahkan mengetahui bagaimana sebenarnya derajat keeratan antara variabel-variabel tersebut, dapat dikelompokan sebagai berikut: R
Interpretasi
0
Tidak berkorelasi
0,01 – 0,20
Sangat lemah
0,21 – 0,40
Lemah
0,41 – 0,60
Cukup
0,61 – 0,80
Kuat
0,81 – 0,99
Sangat Kuat
1
Sempurna
2.7 Pengertian Uji Koefisien Regresi Linier Berganda Untuk mengetahui bagaimana keberartian setiap variabel bebas dalam regresi, perlu diadakan pengujian tersendiri mengenai koefisien-koefisien regresi. Misalkan populasi memiliki model regresi linier berganda:
µ y, X , X 1
2 ,..., X n
= β 0 + β1 X 1 + β 2 X 2 + ... + β n X n
Yang berdasarkan rumus (2.2) sebuah sampel acak berukuran n ditaksir oleh regresi berbentuk:
Yˆ = b0 + b1 X 1 + b2 X 2 + ... + bn X n
Akan dilakukan pengujian hipotesis dalam bentuk: H o : β1 = 0 ; i = 1, 2,..., n H a : β1 ≠ 0 ; i = 1, 2,..., n Untuk menguji hipotesis ini digunakan kekeliruan baku taksiran Sy 1,2,...,n jumlah kuadrat-kuadrat Σxi2 dengan xi = X i − X i dan koefisien korelasi ganda antara masing-masing variabel bebas X dengan variabel terikat Y dalam regresi yaitu R.Dengan besaran-besaran ini dibentuk kekeliruan baku koefisien b yakni: Sbi =
s y2.1,2,...,n (Σxi2 )(1 − Ri2 )
di mana:
s y2.1,2,...,n =
Σ(Yi − Y ) 2 n − k −1
Σxi2 = X i − X i
R2 =
JK reg ∑in=1 y 2
(2.18)
Selanjutnya dihitung statistik: thitung =
bi (2.19) sbi
Dengan kriteria pengujian: Jika thitung > ttabel maka H o ditolak dan H a diterima Jika thitung ≤ ttabel maka H o diterima dan H a ditolak yang berdistribusi t dengan derajat kebebasan dk = (n-k-1) dan ttabel = tn − k −1,α /2
