BAB 2 LANDASAN TEORI
Pada dasarnya, bab ini berisi dua hal penting yaitu kerangka teori dan kerangka berfikir : 2.1 Kerangka Teori •
Disini disajikan teori yang relevan, lengkap, mutakhir dan urut sejalan dengan permasalahan.
•
Teori-teori yang dikemukakan berasal dari sumber-sumber teori dan dari hasil penelitian. Semen merupakan perekat anorganik hidrolik, yang berarti bahwa senyawa-
senyawa yang terkandung di dalam semen tersebut dapat bereaksi dengan air membentuk zat baru yang kuat dan kompak. Oksida silika yang terdapat di dalam komponen semen memberikan kekuatan dalam pemakaiannya. Dikutip dari CementData-Book Vol 1 : International Process Engineering in the Cement Industry Third edition karya Walter H. Duda. 2.1.1 Macam-macam Semen : 2.1.1.1 Semen Portland ( Portland Cement ); terdiri atas 5 tipe, yaitu : 1. Semen tipe I ( Ordinary Portland Cement ) Semen tipe I paling banyak di produksi. Pengerasan hingga kekuatan penuhnya selama 28 hari, dengan komposisi C3S 40 – 60 %, C2S 10 – 30 %, dan C3A 7 – 13 %. Kegunaann-nya untuk konstruksi umum yang tidak memerlukan sifat khusus dan pekerjaan beton.
7
2. Semen tipe II ( Moderate Heat of Handening ) Komposisi semen tipe II mengandung lebih banyak C2S dan sedikit C3S. Semen ini mempunyai panas hidrasi yang rendah dan kuat tekan yang tinggi. Kegunaannya untuk pembuatan jalan, bendungan, pelabuhan, dan pondasi raksasa. 3. Semen tipe III ( High Early Strength ) Semen ini memiliki ukuran partikel lebih halus, kadar C3S lebih tinggi, sehingga pengerasannya dapat dalam 3 hari saja. Kandungan C3S yang tinggi akan memberikan kekuatan awal yang besar. Kegunaan semen ini untuk pembuatan beton pada musim dingin, konstruksi darurat, pembangunan gedung-gedung besar, dan produksi beton tekan dalam pabrik. 4. Semen tipe IV ( Low Heat of Hidration ) Kandungan C3S dan C3A sangat rendah dan tahan terhadap sulfat. Semen ini membebaskan panas hidrasi yang rendah saat dicampur dengan air. Kegunaanya terutama untuk konstruksi yang massif. 5. Semen tipe V ( High Sulfate Resistance ) Semen tipe ini memiliki kadar C3A dan C4AF agak tinggi. Semen ini mempunyai ketahanan yang tinggi terhadap sulfat. Kegunaannya untuk konstruksi bawah tanah yang banyak mengandung senyawa sulfat, pengeboran minyak bumi, dan gas alam.
8
2.1.1.2 Semen Abu Terbang ( Fly Ash Cement ) Semen ini termasuk semen Portland pozzoland yang terdiri dari campuran semen Portland tipe I dan abu terbang yang dihasilkan dari pembakaran batu bara. Semen tipe ini mempunyai panas hidrasi rendah dan tahan terhadap sulfat sehingga cocok digunakan untuk konstruksi bawah laut dan daerah yang mengandung kadar sulfat tinggi. 2.1.1.3 Semen Putih ( White Cement ) Semen ini merupakan semen Portland dengan kadar besi oksida yang rendah ( 0.3 % ). Selama proses produksi berlangsung diperlukan pengawasan tambahan afar semen tidak terkontaminasi dengan Fe2O3. Penggunaan semen untuk beton cord an barang-barang seni. 2.1.1.4 Semen Sumur Minyak ( Oil Well Cement ) Penyemenan sumur minyak merupakan proses pencampuran dan pengisian adukkan lumpur semen ke dalam selongsong dan pipa serta dibiarkan mengikat sehingga membentuk sumur. Semen sumur minyak mempunyai waktu pengikatan pada temperature dan tekanan tinggi serta memiliki ketahanan terhadap sulfat. Kegunaan semen ini terutama dalam usaha pengeboran minyak bumi dan gas alam baik di pantai maupun lepas pantai. 2.1.1.5 Blended Cement Semen ini hanya sedikit diproduksi karena mutunya yang rendah. Pembuatan semen ini memerlukan energi per unit volume yang rendah sehingga harganya murah. Semen ini digunakan untuk bangunan sederhana.
9
2.1.2 Bahan Baku Pembuatan Semen Bahan baku yang digunakan dalam industri semen dibedakan menjadi tiga, yaitu bahan baku utama, bahan baku korektif, dan bahan tambahan. Bahan baku utama ialah batu kapur ( limestone ) dan tanah liat ( clay ). Gabungan batu kapur dan tanah liat mengandung empat senyawa yang dibutuhkan dalam pembuatan semen, yaitu kalsium oksida dalam bentuk kalsium karbonat, aluminat, silikat, dan ferrit. Keempat senyawa tersebut komposisinya tidak selalu tetap karena lokasi penambangan yang berpindah-pindah. Untuk itu digunakan bahan baku korektif untuk menutupi kekurangan ini. Bahan baku korektif yang digunakan adalah pasir silika, iron sand dan kaolin. Bahan-bahan tersebut berfungsi untuk mengatur kandungan silikat, ferrit, dan aluminat. Bahan tambahan yang digunakan gypsum. Gypsum ditambahkan pada klinker untuk memperlambat proses pengerasan semen. Mineral-mineral kristal dalam semen, yaitu tricalcium silicate, dicalcium silicate, tricalcium alumina, dan tetracalcium alumina ferrit.
2.1.3
Sifat-sifat Semen
2.1.3.1 Hidrasi Semen Kekuatan semen tergantung pada reaksi komponen-komponen penyusun semen dengan air. Reaksi ini disebut reaksi hidrasi. Reaksi hidrasi dipengaruhi oleh kehalusan semen, jumlah air, dan temperature. Reaksi hidrasi didominasi oleh hidrolisis komponen silikat membentuk kalsium silikat hidrat (tubermorite gel) dalam bentuk gel dan larutan lime, Ca(OH)2. 10
2.1.3.2 Panas Hidrasi Reaksi hidrasi membebaskan panas yang disebut panas hidrasi. Pada konstruksi beton, panas hidrasi tidak dapat dilepaskan ke udara karena konduktivitas beton yang kecil. Akumulasi panas dapat meretakkan konstruksi. 2.1.3.3 Setting dan Hardening Penambahan air pada semen mula-mula akan membentuk suatu pasta semen. Dalam jangka waktu tertentu pasta tersebut akan mengalami setting atau pengerasan. Ada dua teori yang menerangkan tentang sifat-sifat pengerasan semen, yaitu; a. Crystaline Theory. Teori ini menerangkan bahwa sifat mengerasnya semen ( pasta semen ) bergantung kepada pertumbuhan kristal-kristal yang terbentuk. b. Gel atau Colloidal Theory. Sifat pasta semen dapat dianggap larutan yang lewat jenuh dari persenyawaan
yang
terhidrasi,
lama-kelamaan
akan
mengumpal
membentuk massa yang amorphous, disebut gel. Setelah kering gel ini mengeras menjadi beton. 2.1.3.4 Hubungan antara kekuatan dan komposisi semen Kekuatan tekan adalah kemampuan untuk menahan suatu beban. Semen dengan kadar C3S tinggi akan memberikan kekuatan tekan awal yang besar sedangkan C2S akan memberikan kekuatan awal yang tinggi untuk waktu yang lama. Untuk selanjutnya C3A dan C4AF tidak begitu berpengaruh.
11
2.1.3.5 Kelembaban Sifat ini harus diperhatikan selama penyimpanan dan transportasi semen. Semen mudah menyerap air dan CO2 dari udara. Kelembaban akan menurunkan kualitas semen seperti berkurangnnya specific gravity, terbentuknya gumpalan-gumpalan, terjadinya false set, bertambahnya loss of ignition, berkurangnnya kekuatan, dan betambahnya setting time dan hardening. 2.1.3.6 Pengkerutan ( shrinkage ) Pengkerutan semen dibedakan menjadi tiga, yaitu hydration shrinkage, carbonation shrinkage, dan drying shrinkage. Drying shrinkage disebabkan oleh menguapnya air bebas, yaitu air yang terdapat diantara fasa cair, padat, dan pasta. Faktor yang mempengaruhi shrinkage yaitu komposisi semen, jumlah air pencampur, dan kandungan C3A tinggi. 2.1.3.7 Daya tahan terhadap sulfat Mineral C3A dalam semen dapat beraksi dengan senyawa sulfat membentuk high calcium sulfoaluminate hydrate (C3A, 3 CaSO4, 31 H2O ). Hal ini menyebabkan
jumlah
air
kristal
dalam
C3A
bertambah
sehingga
menyebabkan ekspansi volume dan akhirnya menyebabkan keretakan beton.
2.1.4
Raw Material Mineral sebagai bahan alami dan juga sebagai produk industri dapat digunakan untuk memproduksi semen. Materi dasar untuk pembuatan semen adalah komposisi mineral yang mengandung bahan dasar dari semen : lime, silica, alumina and iron oxide. Sangat jarang sekali komponem-komponem 12
ini ditemukan dalam kebutuhan proporsisi kecuali satu material dasar. Oleh karena itu adalah penting untuk memilih takaran campuran terhadap sebuah komponem lime dengan sebuah komponem dimana takaran yang rendah dalam lime, mengandung lebih banyak silica, alumina dan iron oxide ( clay component ). Kedua komponem dasar ini biasanya gabungan dari limestone dan clay atau limestone dan marl. 2.1.4.3 Komponem Lime 1. Limestone Calcium carbonate (CaCO3) banyak terdapat di alam. Calcium carbonate yang terbentuk secara alami terpilih sebagai bahan produksi Semen Portland. Peringkat terpercaya dari limestone adalah calcspar (calcite) dan aragonite. Calcite crystallizes hexagonally, dan aragonite is rhombic. Jenis marcroscopic-granular dari calcite adalah marble. Tidaklah menguntungkan menggunakan marble untuk pembuatan semen. Bentuk umum yang banyak dijumpai dari calcium carbonat, yang paling menyerupai marble, adalah limestone dan chalk. Limestone merupakan struktur crystal yang terdominan dan terbaik. Kekerasan dari limestone tergantung dari usia geologinya; biasanya, semakin tua formasi geologinya, semakin keras pula limestone tersebut. Kekerasan limestone berkisar antara 1.8 dan 3.0 pada skala Moh’s untuk kekerasan; lebih spesifik adalah 2.6 sampai 2.8. Hanya jenis-jenis tertentu dari limestone yang putih. Limestone biasanya mengandung campuran dari bahan clay atau takaran besi, dengan warna yang berbeda-beda pula. 13
2. Chalk Chalk merupakan batuan sedimen yang terbentuk sebelum zaman Cretaceous pada waktu geologi; secara geologi itu masih relatif muda. Dibandingkan dengan limestone, chalk dikategori sebagai texture bumi yang lembut; inilah yang membuat chalk terpilih sebagai raw material terutama pada process basah dalam pembuatan semen. Sejak pengguaan ledakan tidak diijinkan dalam penambangan chalk, dan proses penghancuran juga dapat diabaikan, materi dasar jenis ini sangat mengurangi biaya produksi semen. Dalam beberapa endapan, Calcium carbonate mengandung chalk sekitar 98 – 99 %, dengan sedikit campuran SiO2, Al2O3, dan MgCO3. Dalam material-material dasar semen komponem lime umumnya terkandung sekitar 76 – 80 % didalamnya. Oleh sebab itu, sifat kimia dan fisika dari komponem ini sebagai penentu pengaruh, ketika tiba saatnya untuk menentukan metode mana yang akan digunakan dalam proses produksi semen sama halnya seperti pada produksi mesin-mesin. 3. Marl Limestone dengan campuran silica, bahan clay, dan iron oxide dinamakan marls. Marl membentuk elemen transisi menuju ke clay. Dikarenakan marl mudah dijumpai, mereka sering digunakan sebagai material dasar untuk produksi semen. Secara geologi, marl merupakan batuan sedimen yang terbentuk secara pengendapan berkala dari calcium carbonate dan bahan clay. Tingkat kekerasan dari marl lebih rendah jika dibandingkan dengan limestone; 14
semakin tinggi kandungan bahan clay, semakin rendah pula tingkat kekerasannya. Kadang-kadang marl juga mengandung unsur batubara muda. Warna dari marl tergantung dari bahan clay dan dibagi dalam tingkatan kuning sampai hitam – keabu-abuan. Marl merupakan material dasar terunggul untuk membuat semen, karena mereka mengandung bahan komponem lime dan clay yang dalam kondisi siap dicampur. Marl jaman carcareous ditinjau dari komposisi kandungan kimianya setara dengan campuran material semen portland, digunakan untuk membuat apa yang kita sebut sebagai semen alami; bagaimanapun, endapan material dasar ini tidak umum. Seperti pada perbandingan banyaknya jumlah dari komponem lime dan clay dalam material dasar semen, dapat diklasifikasikan sebagai berikut: Tabel 2.1 Kandungan CaCO3 dalam berbagai jenis material High grade limestone Marlaceous limestone Marlstone or calcareous marl Marl Clayey marl Marlaceous clay Clay
Kandungan CaCO3 96 – 100 % 90 – 96 % 75 – 90 % 40 – 75 % 10 – 40 % 4 – 10 % 0–4%
Tabel dibawah ini menampilkan kandungan komposisi kimia dari jenis-jenis limestone dan marl yang berbeda-beda, digunakan untuk membuat semen portland.
15
Tabel 2.2 Kandungan bahan kimia dalam limestone Komponem % SiO2 Al2O3 Fe2O3 CaO MgO K2O Na2O SO3 LOI Total
1 Limestone 3.76 1.10 0.66 52.46 1.23 0.18 0.22 0.01 40.38 100.00
2 Limestone 6.75 0.71 1.47 49.80 1.48 Menyusut Menyusut 1.10 39.65 99.96
3 Limestone 4.91 1.28 0.66 51.55 0.63 Menyusut Menyusut 0.21 40.76 100.00
4 Limestone 4.74 2.00 0.36 51.30 0.30 0.16 0.28 40.86 100.00
5 Limestone 27.98 10.87 3.08 30.12 1.95 0.20 0.33 0.70 24.68 99.91
6 Limestone 33.20 8.22 4.90 27.30 1.02 0.12 0.18 0.37 24.59 99.90
7 Limestone 21.32 4.14 1.64 39.32 0.75 0.06 0.08 32.62 99.93
2.1.4.3 Komponen Clay Material dasar penting dari pembuatan semen adalah clay. Clay terbentuk dari weathering ( kerusakan akibat kena hujan dan angin ) alkali dan alkaline tanah yang mengandung aluminium silika dan kaidah produk kimia mereka, sebagian besar feldspar dan mica. Komponem utama dari clay terbentuk dari hydrous aluminium silika. Clay dapat dibagi dalam tingkatan mineral: Kaolin group Kaolinite
Al2O3 . 2 SiO2 . 2 H2O
Dickite
Al2O3 . 2 SiO2 . 2 H2O
Nacrite
Al2O3 . 2 SiO2 . 2 H2O
Halloysite
Al2O3 . 2 SiO2 . 2 H2O
Montmorillonite group Montmorillnite
Al2O3 . 4 SiO2 . H2O + nH2O
Beidellite
Al2O3 . 3 SiO2 . nH2O
16
Nontronite
(AL, Fe)2O3 . 3 SiO2 . nH2O
Saponite
2 MgO . 3 SiO2 . nH2O
Group of alkali bearing clays Clay mica including Illite
K2O-MgO-Al2O3-SiO2-H2O dalam jumlah yang Bervariasi
Mineral dari kaolin group bebeda dalam kandungan SiO2nya sama halnya jika ditampilkan dalam struktur kristal dan sifat optiknya. Penandaan kaolinite dihubungkan dengan kemurnian mineral kaolin. Berdasarkan susunan, clay sangat mudah berkembang; partikel clay biasanya dibawah 2 micron dalam diameter. Tabel 2.3 Komposisi kimiawi dari clay Komposisi kimiawi dari clay Komponem % Clay 1 Clay 2 Clay 3 LOI 7.19 8.67 10.40 SiO2 67.29 62.56 52.30 Al2O3 8.97 15.77 24.70 Fe2O3 4.28 4.47 6.10 CaO 7.27 4.80 4.40 MgO 1.97 1.38 0.10 SO3 0.32 1.10 K2O 1.20 } 2.35 } 0.80 Na2O 1.51 Total 100.00 100.00 99.90 Secara khusus laposan mineral clay terbagi atas: ( satuan dalam meter kuadrat per gram ) Kaolin
kurang lebih
15 m2/g
Halloysite
kurang lebih
43 m2/g
Illite
kurang lebih 100 m2/g
Montmorillnite
kurang lebih 800 m2/g
17
Clay 4 6.40 60.10 18.00 8.20 0.80 0.20 3.80 }
2.50 100.00
Berdasarkan berat secara khusus : ( gram per cm3 ) Kaolin
2.60 – 2.68
Halloysite
2.0 – 2.20
Illite
2.76 – 3.00
Titik peleburan dari clay sekitar 1150 °C sampai 1785 °C. Komposisi kimia dari clay mungkin berubah-ubah dari yang terdekat ke clay murni, bagi yang mengandung jumlah sesungguhnya dari campuran kimia seperti iron hydroxide, iron sulfide, pasir, calsium carbonat, dll. Iron hydroxide merupakan alat pewarna pokok dalam clay; juga masalah organik mungkin memberi warna yang berbeda pada clay. Clay yang tidak murni berwarna putih. Unsur utama dari alkali dalam semen ditemukan dalam komponem argillaceous pada raw mix. Pengolahan dibawah menunjukkan komposisi kimia dari berbagai jenis clay, digunakan untuk membuat semen portland. 2.1.4.3 Bahan / unsur perbaikan Jika sifat-sifat dasar komponem kimia yang dibutuhkan dalam pencampuran semen tidak ditampilkan dalam jumlah yang ditentukan, bahan perbaikan digunakan sebagai tambahan. Sebagai contoh, untuk penyempurnaan kandungan silica, pasir, high silica clay, diatomite, dll, digunakan sebagai bahan tambahan atau bahan perbaikan. Untuk mengimbangi kekurangan iron oxide, material perbaikan seperti pyrite cinders, iron ore, dll, ditambahkan.
18
Tabel 2.4 Komposisi Kimia dari bahan perbaikan Komposisi kimia dari bahan perbaikan Komponem Diatomite Bauxite Pyrites % cinders LOI 6.2 15 – 20 SiO2 77.0 16 – 22 6.6 – 25.0 Al2O3 } 9.6 44 – 58 2 – 16 Fe2O3 10 – 16 62 – 87 CaO 0.3 2–4 0.7 – 0.9 MgO 0.9 0.2 – 1.0 0.2 – 2 SO3 0.8 – 8 } 1.5 Na2O K2O -
Iron ore 5 - 12 20 – 25 3–9 45 – 60 0.5 – 2.5 1.5 – 7 0.3 – 0.6 -
Flue dust
Flue dust
5 - 15 11 – 22 5 – 14 54 – 69 1–9 0.5 – 2.5 0.2 – 2.5 -
0.2 – 4.0 26 – 36 6.5 – 9.5 5–8 42 – 50 3–4 2.5 – 3 0.8 – 3.5 -
2.1.4.4 Campuran Komponem dari Materi Dasar Semen Disini, beberapa komponem dibahas, kualitas mana dalam semen sebagai tiap batas dengan standar khusus atau pengalaman dalam pembuatan. 2.1.4.4.1
Magnesium Oxide Komponem ini dikombinasikan mencapai 2 % berdasarkan berat dengan tahapan cliker utama; dibalik jumlah tersebut ia muncul dalam clinker sebagai MgO (periclase) bebas. Periclase bereaksi dengan air menjadi Mg(OH)2 : MgO + H2O = Mg(OH)2, tetapi reaksi ini berlangsung lambat sekali, ketika reaksi keras lainnya telah berakhir. Sejak Mg(OH)2 bekerja dalam jumlah lebih besar dari MgO dan dibentuk dari tempat yang sama dimana partikel periclase berada, ia dapat membagi pinggiran secara terpisah dari pasta semen yang keras, hasil dalam perluasan cracks ( perluasan magnesia). MgO muncul dalam limestone umumnya sebagai dolomite (CaCO3 , MgCO3 ).
19
Sand 0.2 99.2 0.5 -
Juga tanur (tinggi) ampas bijih kadang mengandung kandungan MgO yang tinggi. Ketika penyeleksian seperti ampas bijih sebagai pengganti dari clay seperti komponem argillaceous pada raw mix, harus dilakukan ketelitian, untuk menjaga kandungan MgO pada clinker dalam batas yang diijinkan. 2.1.4.4.2
Alkalies K2O dan Na2O bermula dari material dasar seperti clay dan marl, dimana kandungan ini ditampilkan dalam peredaran felspar, mica, dan partikel illite yang baik, dan dalam jumlah kecil – ketika menggunakan batubara sebagai bahan bakar – dari debu batubara. Di Eropa tengah, kandungan K2O merepresentasikan kandungan Na2O yang berbeda-beda. Di daerah lain sebagai contoh USA, kandungan Na2O lah yang utama. Setelah process pembakaran dalam rotary kiln, sebagian dari alkali menguap dalam zona pembakaran, menghasilkan yang disebut sirkulasi alkali. Beberapa
kumpulan-kumpulan
fondasi,
muncul
sebagai
contoh
dibeberapa area USA, Denmark dan Jerman bagian utara, mengandung komponem alkali yang sensitif sebagai contoh opal (hydrated silica), bereaksi dengan alkali yang ada pada semen, dalam beberapa kondisi yang tidak menguntungkan dapat menghasilkan fenomena yang berkelanjutan (pemuaian alkali). Berdasarkan pengalaman, pemuaian alkali dapat dicegah dengan menggunakan semen dengan kandungan alkali rendah; dalam kasus ini total alkali, dapat dihitungkan Na2O (% berdasarkan berat Na2O + 0.659 % K2O) tidak boleh melebihi 0.6 % dari total berat. Dengan refrensi pembatasan ditambahkan di beberapa negara, 20
Jerman juga memutuskan 0.6 % Na2O sebagai batas, tetapati hanya untuk semen portland. Pengalaman praktek menunjukkan yakni dalam tanur ampas bijih semen, batas alkali yang dapat diterima dapat lebih tinggi; walau semen dengan kandungan alkali aktif yang rendah (NA-semen) dengan komponem ampas bijih paling sedikit 50 % mempunyai kandungan alkali maksimum 0.9 %. Selanjutnya, batas total maksimum alkali 2 % diperbolehkan untuk semen dengan komponem ampas bijih lebih kurang 65 %. Dalam kasus dimana ada NA-semen, tetapi kandungan alkali dalam pembakaran clinker dari material dasar yang tersedia melebihi batas yang ditentukan, beberapa bagian dari kiln yang menghasilkan gas harus dihindari sebelom masuk dalam tahap pemanasan, untuk memisahkan bagian dari alkali yang mudah menguap. Disini ia harus disebutkan bahwa syarat pemerintah SS-C-192 b, syarat AASHO, juga syarat ASTM memiliki pilihan batas alkali 0.6 % sebagai Na2O dalam semen portland. Ini berarti pelanggan harus menetapkan bahwa alkali yang dia inginkan dibawah batas ini, sebaliknya tidak ada batas untuk kandungan alkali. Batas ini bisa ditetapkan ketika semen itu digunakan untuk fondasi dengan jumlah-jumlah yang mungkin memberi reaksi yang mengganggu. Tetapi dikarenakan sulitnya pemisahan rendah dan tinggi-nya alkali pada semen, ia menjadi kebiasaan umum dibanyak areal di Amerika Serikat untuk semua semen untuk menyesuaikan diri pada ketentuan alkali rendah.
21
2.1.4.5 Komposisi Potensial Clinker Analisa secara kimia memberi gambaran dari posisi oxida-oxida dalam clinker atau semen. Borgue mengembangkan metode perhitungan, rumus bagi kandungan dari mineral-mineral clinker ( C3S, C2S, C3A dan C4AF ) dapat diperoleh dari analisis secara kimia. Seharusnya komposisi clinker dikarkulasikan berdasarkan metode yang ditunjuk Borgue sebagai kekuatan komposisi. Kekuatan berarti mungkin tetapi tidak aktual, ia juga nantinya dapat disebut bahwa kekuatan komposisi klinker yang ditetapkan oleh metode kalkulasi Borgue mungkin saja tidak sama dengan komposisi ilmu mineral yang aktual. Dikarenakan penyajian yang jelas dari komposisi clinker dan prediksi yang mungkin dari khasiat semen, metode kalkulasi Borgue digunakan secara umum. Metode perhitungan sudah muncul dalam standar semen Amerika Serikat, USSR, dan di negara-negara lain. Bagaimanapun, standar semen ASTM dari Amerika Serikat mengandung pembatasan yang mengatakan bahwa pernyataan batas kimia dari perhitungan senyawa-senyawa tidak berarti
penting bahwa oxida tersebut sesungguhnya atau sepenuhnya
dinyatakan sebagai senyawa-senyawa berikut Jika oxida-oxida CaO, SiO2, Al2O3, Fe2O3 a,
b,
c,
d
C3S, C2S, C3A, C4AF w,
x,
y,
ditunjukkan oleh dan senyawa-senyawa ditunjukkan oleh simbol
z
22
kemudian perhitungan berikutnya dapat ditampilkan: Dimulai dari, kita harus menyadari bahwa C3S mengandung 73.69 % CaO, dan 26.31 % SiO2, dan C2S mengandung 65.12 % CaO, dan 34.88 % SiO2. Tabel dibawah ini juga menunjukkan komposisi dari C3A dan C4AF. Sekarang kita dapat memperlihatkan perbandingannya dalam tabel berikut: Tabel 2.5 Komposisi clinker a CaO b SiO2 c Al2O3 d Fe2O3
C3S 0.7369 0.2631 -
C2S ( x ) 0.6512 0.3488 -
C3A ( y ) 0.6227 0.3773 -
C4AF ( z ) 0.4616 0.2098 0.3286
Karena itu, dalam banyak campuran dari keempat senyawa-senyawa, CaO dalam C3S sama dengan 0.7369 kali % dari C3S; CaO dalam C2S sama dengan 0.6512 kali % dari C2S, sebagai contoh. Total CaO adalah jumlah dari nilai berikut, atau: a = 0.7569 w + 0.6512 x + 0.6227 y + 0.4616 z b = 0.2631 w + 0.3488 x c = 0.3773 y + 0.2098 z d = 0.3286 z Solusi untuk w, x, y, dan z: w = 4.071 a – 7.600 b – 6.718 c – 1.430 d x = 8.602 b + 5.608 c – 3.071 a + 1.078 d y = 2.650 c + 1.692 d z = 3.043 d
23
Menambahkan keempat senyawa diatas C3S = 4.071 CaO – 7.600 SiO2 – 6.718 Al2O3 – 1.430 Fe2O3 C2S = 8.602 SiO2 + 5.068 Al2O3 + 1.078 Fe2O3 – 3.071 CaO = 2.867 SiO2 – 0.7544 C3S C3A = 2.650 Al2O3 – 1.692 Fe2O3 C4AF = 3.043 Fe2O3 2.1.4.6 Modul-modul Semen Telah lama sekali semen portland di produksi atas dasar praktik pengalaman diambil dari proses produksi. Ketika membandingkan analisa kimia pada semen portland, ditemukan bahwa sering adanya hubungan antara persentase dari lime disatu sisi dan kombinasi silica, alumina, dan iron oxida dan yang lainnya. Kemudian, ratio oxide memberi peningkatan kepada formula yang disebut 2.1.4.6.1
Hydraulic modulus Dimana memiliki rumus
HM =
CaO = 1.7 − 2.3 ( pers 1 ) SiO2 + Al 2 O3 + Fe2 O3
hydraulic modulus dengan kualitas semen yang bagus berkisar antara 2. Semen dengan HM < 1.7 sering menunjukkan kekuatan yang tidak cukup; semen dengan HM = 2.4 dan lebih memiliki volume stabilitas yang rendah. Jika formula tersebut didemonstrasikan, karakteristik hydraulic modulus semen dari ratio CaO, ke total dari faktor hydraulic, sebagai contoh SiO2, Al2O3, dan Fe2O3. HM umumnya dibatasi antara nilai 1.7 – 2.3. Ia
24
ditentukan dengan HM yang meningkat, lebih banyak panas dibutuhkan untuk pembakaran clinker; kekuatanya, terutama kekuatan tingkat pertama bertambah dan juga panas dari hidrasi meningkat; dan secara serentak daya tahan terhadap serangan kimia menurun. Saat ini hydraulic modulus masih digunakan. Kemudian, untuk evaluasi yang lebih baik terhadap semen, silica ratio dan alumina ratio di perkenalkan; untuk tingkatan khusus ratio ini sebagai penambah hydraulic modulus. 2.1.4.6.2
Silica ratio
Merepresentasikan perbandingan SiO2 dengan Al2O3 total dan Fe2O3 : SR =
SiO2 Al 2 O3 + Fe2 O3
( pers 2 )
umumnya, silica ratio berkisar antara 1.9 dan 3.2. Jumlah istimewa dari silica ratio antara 2.2 dan 2.6. Sekarang dan kemudian juga jumlah tertinggi untuk silica ratio dapat ditemukan sebagai contoh 3 sampai 5 dan kadang-kadang melebihinya, khususnya untuk semen yang kandungan silicanya tinggi dan untuk semen portland putih. Demikian juga, jumlah sedikit untuk silica ratio dapat diterima paling rendah 2 dan terendah sampai 1.5. Peningkatan silica ratio merusak kekuatan bakar dari clinker, dengan mengurangi kandungan tahap cairan dan kecenderungan terhadap pembentukan lapisan dalam kiln. Peningkatan silica ratio juga menyebabkan pembentukan dan pengerasan yang lambat pada semen. Dengan penurunan silica ratio kandungan dari tahap cairan meningkat; ini menigkatkan kekuatan membakar dari clinker dan pembentukan lapisan dalam kiln. 25
Silicic acid ratio
Mussgnug menamai ratio
SiO2 silicic acid ratio. Al 2 O3
Ketika pembakaran clinker dalam rotary kiln, kondisi pelapisan baik terbentuk dalam zona pembakaran ketika nilai dari hasil bagi ini dibatasi sampai 2.5 – 3.5, secara bersamaan menjaga nilai alumina ratio antara 1.8 – 2.3. Silicic acid ratio tidak seharusnya dibingunkan dengan silica ratio yang dibahas sebelumnya. 2.1.4.6.3
Alumina ratio
Alumina ratio mengkarakteristikkan semen dengan membandingkan alumina dan iron oxide : AR =
Al 2 O3 Fe2 O3
( pers 3 )
umumnya, nilai dari alumina ratio berkisar dari 1.5 sampai 2.5. Semen dengan kandungan alumina yang tinggi menunjukkan alumina ratio 2.5 atau lebih. Alumina ratio dari semen dengan kandungan alumnia rendah dibawah 1.5 ( disebut ferro cements ). Alumnia ratio menentukan komposisi cairan dalam clinker. Dimana alumina ratio adalah 0.637, kedua oksida dikenalkan dalam ratio molekul, dan oleh karena itu hanya tetracalcium alumino ferrite dapat dibentuk dalam clinker ( 4 CaO . Al2O3 . Fe2O3 ); sebagai akibat, clinker tidak dapat secara numerik mengandung tricalcium aluminate ( 3 CaO . Al2O3 ). Ini adalah kasus yang kita sebut Ferrari-cement dimana dikarakteristikkan oleh hydrasi panas yang rendah, pembentukan rendah, dan penyusutan rendah.
26
Alumina ratio tinggi bersamaan dengan silica ratio rendah dihasilkan antara benda-benda lain, dalam pembentukan yang cepat dari semen; ini membutuhkan penambahan tingkat gypsum yang tinggi untuk mengontrol waktu pembentukan. 2.1.4.7 Rumus-rumus Lime 2.1.4.7.1
Faktor saturasi lime
Untuk mencapai lime saturation yang komplit dalam clinker, total silica harus
dikombinasikan
C3S,
menjadi
semua
iron
oxide
harus
dikombinasikan dengan jumlah sama dari alumina menjadi C4AF, dan sisa alumina harus dikombinasikan menjadi C3A. Diekspresikan dalam bagian berdasarkan berat : 1 bagian SiO2 dalam C3S mengikat
3 × 56 = 2.8 bagian CaO 60
1 bagian Al2O3 dalam C3A mengikat
3 × 56 = 1.65 bagian CaO 100
1 bagian Al2O3 dalam C4AF mengikat
2 × 56 = 1.1 bagian CaO 102
1 bagian Fe2O3 dalam C4AF mengikat
2 × 56 = 0.7 bagian CaO 160
Untuk memasukkan total alumina dalam satu posisi satu harus di asumsikan
bahwa
C4AF
mengandung
C3A
+
CF.
Kemudian
CaO 56 = = 0.35 , sebagai contoh 1 bagian Fe2O3 mengikat hanya Fe2 O3 160
0.35 bagian CaO.
27
Kemudian jumlah maksimum dari lime adalah ( dalam alumina ratio > 0.64 )
CaOmax(TM >0.64 ) = 2.8SiO2 + 1.65 Al 2 O3 + 0.35Fe2 O3 Hasil yang sama dapat didapat jika C2S dlaam Bogue-formula sama dengan nol, atau, dalam Kind formula ( lihat bawah ) KSK =1 Kemudian level lime dalam clinker di karakteristikkan berdasarkan faktor saturasi lime (LSF), sebagai contoh berdasarkan ratio effektif kandungan lime sampai maksimum memungkinkan kandungan lime dalam clinker. KSG 100CaO = ( pers 4 ) LSF 2.8SiO2 + 1.65 Al 2 O3 + 0.35 Fe2 O3 Kind’s formula, yang digunakan di Uni Soviet berdasarkan asumsi bahwa hasil saturasi lime yang tidak komplit hanya dari derajat rendah dari pengikatan antara lime dan silica. CaO = KS K .2.8SiO2 + 1.65 Al 2 O3 + 0.35Fe2 O3 dan membentuk KSK =
CaO − (1.65 Al 2 O3 + 0.35 Fe2 O3 ) ( pers 5 ) 2.8SiO2
Untuk tujuan teknis, tingkatan faktor saturasi lime, menurut rumus pers 5, berfluktuasi antara 0.80 dan 0.95. Dalam clinker memperlihatkan kandungan iron oxide yang tinggi (alumina ratio, AR < 0.64), alumina mengikat hanya pada tahapan pencampuran kristal C2(A,F), dan kandungan maksimum lime seperti halnya faktor saturasi lime adalah: CaO
max TM ≤ 0.64 AR
= 2.8SiO2 + 1.1Al 2 O3 + 0.7 Fe2 O3
28
KSG TM 100CaO = ≤ 0 . 64 LSF AR 2.8SiO2 + 1.1Al 2 O3 + 0.7 Fe2 O3
Jadi juga, faktor rumus kind merubah AR ≤ 0.64. 2.1.4.7.2 Standar lime
Bagaimanapun juga, ini bukan kasus dengan clinker yang mengandung C3A. Pada sintering temperatur sekitar 1450 °C, mineral silica C3S dan C2S, dan kemungkinan tidak mengubah urutan lime dalam tahap yang tetap, dimana seperti C3A dan C3AF berada dalam tahap perpaduan. Bagaimanapun juga, tahap cairan lebih rendah dalam lime kemudian ia akan dihasilkan dari partisipasi dalam C3A; untuk membuat komplit C3A, kekurangan lime dapat ditambah dengan menyuling kekurangan lime seteleh proses kristalisasi dari lime tetap, dinamai lime bebas dan C3S. Bagaimanapun juga,
proses ini tidak dapat di selesaikan setelah
pendingingan cepat klinker secara teknis; secara praktek, cairan aluminate tidak dapat mengikat lebih banyak lime ketika dia sudah terlebih dahulu diserap pada sintering temperatur (“frozen equilibium”, menurut kühl). Pengalaman investigasi menunjukkan bahwa semakin banyak lime jenuh cairan aluminate mengikat dua molekul CaO per Al2O3. Oleh sebab itu, dibawah kondisi teknis, ini adalah batas lime yang bisa diterima, yang disebut “standar lime” CaOS tan d = 2.8SiO2 + 1.1Al 2 O3 + 0.7 Fe2 O3
29
Rumus ini menunjukkan koefisien yang sama seperti lime saturation factor dengan alumnina ratio AR ≤ 0.64. Dari sini kita dapat standar lime seperti ratio dari kandungan lime yang sebenarnya sebagai standard lime : KSt (Lime Standard) =
100CaO ( pers 6 ) 2.8SiO2 + 1.1Al 2 O3 + 0.7 Fe2 O3
Kemudian standar ini dikenal sebagai Lime Standard I (KSt I), untuk membedakan rumus ini dari investigasi seksama berdasarkan seperempat system CaO – SiO2 – Al2O3 – Fe2O3 dan dikenal sebagai Lime Standard II (KSt II) KSt II =
100CaO ( pers 7 ) 2.8SiO2 + 1.18 Al 2 O3 + 0.65Fe2 O3
Perbedaan hasil koefisien dari pemeriksaan yang tepat dimana yang menunjukkan dalam bentuk cair molekul CaO mengikat per Al2O3 dan berdasarkan perhitungan, untuk mengikat Fe2O3 hanya membutuhkan 4 – 2.15 = 1.85 molekul CaO. baru-baru
ini, kemurnian lebih lanjut dari rumus standar lime kühl
dikemukakan, sebagai pertimbangan kandungan MgO KSt III =
100(CaO + 0.75MgO ) 2.8SiO2 + 1.18 Al 2 O3 + 0.65Fe2 O3
Untuk rumus penyaringan, Kandungan MgO hanya sekitar 2 % saja yang dapat digunakan, sejak batasan ini, MgO muncul sebagai periclase. Umumnya, KSt II yang biasa digunakan. Nilai ini persis mengikuti “ Faktor saturasi lime “ Inggris. Ia sama dengan standar lime ( KSt )
30
Jerman, tetapi tidak sama dengan faktor saturasai lime ( KSG ) Jerman. Untuk TM ≤ 0.64, tidak ada perbedaan antara Kst dan KSG. “Faktor saturasi lime “ juga merupakan bagian standar perincian, dan wadah untuk kandungan lime yang dapat diterima. LSF =
CaO − 0.7 SO3 = ≤ 1.2 - ≥ 0.66 2.8SiO2 + 1.18 Al 2 O3 + 0.65 Fe2 O3
Dalam rumus ini LSF mengarah ke pencampuran akhir semen. Faktor 0.7 SO3 dalam perhitungan berarti kandungan CaO yang sama dengan penafsiran analys kandungan SO3, harus dikurangi dari total kandungan CaO. Dalam hubungan dengan ini diasumsikan bahwa total SO3 berasal dari tambahan gypsum dan bukan dari clinker. Standar lime yang tinggi biasanya menyebabkan kekuatan semen yang tinggi. Nilai standar lime yang terkandung di dalamnya merupakan karakteristik semen Portland:
Lime
yang
Strandar Semen Portland
90 – 95
Kekuatan tinggi awal semen
95 – 98
bebas
disebabkan
oleh
standar
lime
diatas
100.
Bagaimanapun, standar lime yang tinggi memerlukan komsumsi panas yang tinggi untuk pembakaran clinker.
31
2.1.4.8 Modul-modul Lain
Di Perancis kandungan lime dirata-ratakan berdasarkan index hydraulic; dibaca ( dalam mol ): SiO2 + Al 2 O3 = 0.42 – 0.48 CaO + MgO Bagaimanapun, standard Perancis yang diterima ( NFP 15-302,1964 ) tidak lagi mengandung unsur ini. Dibawah ini lebih banyak rumus yang dikutip: berikutnya merupakan percobaan untuk mengekspresikan silica ratio yang dikenal dalam bentuk lain: SM =
C3 S + C 2 S C 4 AF + C 3 A(+ C 2 F )
( pers 8 )
Peningkatan SM secara berkala meningkatkan daya tahan terhadap kimia dan serangan terhadap sesuatu yang berkaitan dengan atmosfir dan menyebabkan terutama kekuatan semen yang lebih tinggi.
Ratio Pengerasan : ME =
C3 S C2 S
Dengan peningkatan ME ada juga peningkatan dalam kekuatan awal dari semen, peningkatan dalam suhu hydrasi dan penurunan daya tahan terhadap serangan kimia. Standar semen ME diatas 0.5. Kekuatan awal semen yang tinggi memiliki ME sekitar 8; Semen dengan ME < 0.5 adalah semen belitic dan cenderung menghancurkan diri dalam clinker.
32
Kombinasi dari kedua modul, contoh MS dan ME menunjukkan hubungan yang lebih dekat antara modul ini dan C3S dan C2S berturut-turut : C3S =
M S .M E (M S + 1)(. M E + 1)
C2S =
MS (M S + 1)(. M E + 1)
Rumus Caloric : MK =
C3 S + C3 A C 2 S + C 4 AF
Peningkatan MK menyebabkan peningkatan suhu hydrasi semen. Kutipan nilai untuk MK berada dalam batas 0.3 dan 1.8.
2.2
Kerangka Berfikir
Dari hasil teori dan temuan yang dikemukakan pada sub baigan 2.1 diatas maka pada sub bagian 2.2 ini akan membahas teori-teori yang berisi defenisidefenisi yang lebih detail yang berhubungan dengn pemodelan dinamik proses pengumpanan material pada pabrik semen. Diharapkan dengan membaca ini maka hubungan antar permasalahan, data yang terkumpul dan teknik analisis serta hasil penelitian akan menjadi lebih jelas. 2.2.1
Motor servo
Motor servo adalah motor dc yang secara spesifik dirancang untuk digunakan pada system control simpal tertutup. Dengan rangkaian motor servo :
33
Lm
Rm
ea
J
em
B
θ, τ
Rangkaian armatur Beban mekanis
Gambar 2.1 Rangkaian motor servo dimana : ea (t) = tegangan jangkar (masukan) em (t) = back EMF ia (t) = arus jangkar τ (t) = torsa yang di bangkitkan θ (t) = sudut poros motor dθ (t) / dt = ω (t) = kecepatan poros (keluaran) Pada gambar ini ea (t) adalah tegangan armature, yang dianggap sebagai masukan system. Resistansi dan induktansi rangkaian armature adalah Rm dan Lm. Tegangan em (t) adalah tegangan yang timbul pada kumparan armature karena adanya pergerakan pada
kumparan didalam medan
magnetik motor, dan biasanya disebut sebagai EMF balik. Sehingga dapat ditulis : em (t) = k Φ
dθ dt
……………………….
(1)
sehingga k adalah parameter motor, Φ adalah fluks medan dan θ adalah poros motor. Jadi dθ / dt adalah kecepatan sudut poros. Diasumsikan fluks Φ konstan, maka :
34
em (t) = km
dθ dt
……………………….
(2)
perlu dicatat bahwa asumsi ini sangat penting. Jika fluks merupakan variabel system, persamaan ( 1 ) menjadi persamaan nonlinear, karena adanya perkalian dan 2 variabel. Kemudian analisa akan menjadi jauh lebih sulit, khususnya tranformasi laplace tidak dapat digunakan. Diingatkan kembali bahwa transformasi laplace dari perkalian untuk persamaan ( 2 ) tidak sama dengan perkalian transformasi Transformasi laplace untuk persamaan ( 2 ) menghasilkan : Em (s) = km S Θ (s)
………………
(3)
Untuk rangkaian armature dapat dituliskan Ea (s) = ( Lm S + Rm ) Ia (s) + Em (s)
……….…… ( 4 )
yang menyelesaikan Ia (s) Ia (s) =
Ea(s) − Em(s) LmS + Rm
…………………..…..
(5)
Persamaan untuk torsi adalah τ (t) = k1 Φ ia (t) = kτ ia (t)
………………….….. ( 6 )
karena fluks diasumsikan konstan. Persamaan dapat menjadi nonlinear jika fluks bervariasi dengan waktu. Transformasi laplace dari persamaan ini menghasilkan T (s) = kτ Ia (s)
…………………..…..
(7)
Persamaan akhir diturunkan dari penjumlahan torsi-torsi pada armature motor. Pada gambar diatas, momen inersia J meliputi semua inersia yang
35
diasumsikan ke poros motor, dan E meliputi gesekan udara dan gesekan bantalan poros. Maka persamaan torsi adalah : J
d 2θ dθ = τ (t) – E 2 dt dt
……………..……
(8)
Dan dapat ditulis T (s) = ( J S2 + E S ) Θ (s) ………………………. Ea
+
G1 =
1 SLm + Rm
Ia
Em
kτ
T
G2 =
1 JS + ES
(9)
Θ
2
H(s) = k mS
Ea
G (s)
Θ
Gambar 2.2 Diagram blok Motor Servo
Θ (s) =
T(s) ………………………… JS 2 + ES
( 10 )
Sekarang diagram blok dapat dibentuk dari keempat persamaan ( 3, 5, 7, 10 ) yang terlihat pada diagram blok diatas. Dari rumus Bati Mason dapat ditulis fungsi alih motor: G(s) =
G 1 (s)k τ G 2 (s) Θ(s) = Ea(s) 1 + k τ G 1 (s)G 2 (s)H(s)
36
……………. ( 11 )
Evaluasi ekspresi ini menghasilkan G(s) =
kτ JLmS + (ELm + JRm)S 2 + (ERm + k τ km)S 3
………
( 12 )
Pendekatan yang biasa dilakukan untuk motor servo adalah mengabaikan induktansi armature Lm. Untuk Lm yang cukup kecil untuk diabaikan, fungsi alih menjadi orde 2 yaitu G(s) =
kτ JRmS + (ERm + k τ km)S 2
x 1 (t) = ω(t) = d θ(t)/dt x 2 (t) = ia(t)
2.2.2 Komposisi
Salah satu bagian penting dalam analisa material feeder adalah disamping analisa cara kerja mesin adalah bahannya. Bahan pembuatannya cukup banyak. Namun yang akan dianalisa hanya 4 yaitu Limestone, shale, Silica dan Iron. Hal ini dikarenakan keempat bahan ini adalah yang dominan dan merupakan bahan utamanya. Sedangkan bahan yang lain persentasenya sangat kecil sehingga dalam analisa ini dapat diabaikan. Campuran-campuran yang diperlukan untuk membuat keempat bahan tersebut adalah CaO, SiO2, Al2O3 dan Fe2O3. Untuk persentase masingmasing keempat bahan akan dibahas berikut ini. Ada 3 variabel yang digunakan untuk menentukan sifat suatu semen, yaitu SM, AM dan LSF. Hubungan ketiga variabel tersebut dengan kandungan semen dapat dilihat sebagai berikut:
37
SM =
SiO2 Al 2 O3 + Fe2 O3
LSF =
CaO 2,8SiO2 + 1,65 Al 2 O3 + 0,35Fe2 O3
AM =
Al 2 O3 Fe2 O3
Pada databook, diperoleh nilai AM berkisar antara 1,5 s/d 2,5, nilai SM berkisar antara 1,6 s/d 3,2, serta nilai LSF berkisar antara 0,8 s/d 0,95. Maka nilai LSF, AM dan SM dapat diasumsikan sebagai berikut: AM = 2 LSF = 0,8 SM = 2,5 Maka perbandingan persentase tiap campuran dapat dihitung sebagai berikut: A = AM . F S = SM AM + SM C = 2,8.SM . AM .LSF + 1,65. AM .LSF + 0,35.LSF
Total = C + S + A + F %C =
C 100% Total
%S =
S 100% Total
%A =
A 100% Total
F=
F 100% Total
Total
= 100% 38
Maka kandungan Limestone, Shale, Silican dan Iron dapat dituliskan dalam bentuk matriksnya sebagai berikut: % C C LS % S S = LS % A A LS % F FLS
C SH
C Si
SSH
SSi
A SH FSH
A Si FSi
C Fe % L S S Fe % S H . A Fe % Si FFe % Fe
Nilai Limestone, shale, silica dan Iron tergantung pada C LS S LS ALS FLS
CSH
CSi
S SH
S Si
ASH FSH
ASi FSi
C Fe S Fe AFe FFe
Nilai masing-masingnya tergantung pada standarisasi pada masing-masing industri semen. Tentunya juga berdampak pada sifat semen yang dihasilkan. Nilai kandungan Limestone, shale, silica dan Iron akan dimasukkan ke persamaan state space putaran motor. Persamaan baku state space motor adalah: ωm' = A ωm + B U maka nilai kandungan material dimasukkan ke U, dalam hal ini u adalah tegangan masukan (ea).
2.2.3 State Space
Persamaan matriks dasar digunakan untuk menjelaskan konsep dari keadaan dan metode penulisan untuk menyelesaikan persamaan keadaan. Keadaan suatu sistem, dilihat secara struktur matematikanya berisi sejumlah variabel x1(t), x2(t),…,xi(t),…xn(t), yang dinamakan state variable. Nilai initial
39
x1(t0) dan input sistem uj(t) memenuhi persyaratan untuk menjelaskan respons sistem yang akan datang dari t ≥ t0. Sejumlah variabel keadaan x1(t) menjabarkan elemen-elemen atau komponen pada n-dimensional vector keadaan x(t). Nilai orde dari suatu persamaan karakteristik sistem adalah n dan persamaan keadaan yang menjabarkan suatu sistem meliputi n persamaan diferensial orde pertama. State space adalah n-dimensional space di mana setiap komponen dari vector keadaan menjabarkan koordinat axis. Bentuk persamaan state space orde pertama untuk multiple input multiple output sistem, dengan m input dan 1 output, persamaan umumnya adalah : •
X = AX + BU
Y = CX + DU Dimana: A adalah state matrix B adalah kontrol matrix C adalah output matrix D adalah feed forward matrix U adalah control vector Y adalah output vector
40
2.2.4 Runge Kutta Orde 4
Metode Runge Kutta orde 4 adalah akurat untuk perhitungan orde 4 pada pengembangan dari deret Taylor, dan arena itu, kesalahan pemotongan yang terjadi adalah 0(h5). Metode Runge Kutta orde 4 adalah paling sering digunakan. Ada beberapa versi metode dari Runge-Kutta dan di bawah ini adalah yang biasa dipakai dalam perhitungan. 2.2.4.1 Persamaan definisi yang dipakai
Persamaan umumnya adalah sebagai berikut: yi + 1 = yi +
h (k1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4) 6
dimana : k1 = f ( xi, yi ) 1 1 k 2 = f xi + h, yi + hk1 2 2 1 1 k 3 = f xi + h, yi + hk 2 2 2 k 4 = f (xi + h, yi + hk 3)
Metode Runge Kutta dipakai untuk membuat variable set point dari input suatu sistem menjadi variable yang aktual dan dipakai sebagai redaman pada suatu sistem.
41
2.2.4.2 Persamaan antar k11, k12, k21, k22, k31, k32, k41, k42
• a x•1 = x 2 c
b x1 b1 + u d x 2 b 2
•
x1 = f 1( x1, x 2, u ) = ax1 + bx 2 + b1u •
x 2 = f 2 ( x1, x 2, u ) = cx1 + dx 2 + b 2u k11 = f 1( x1(i ), x 2 (i ), u ) k12 = f 2 ( x1(i ), x 2 (i ), u ) 1 1 k 21 = f 1(( x1(i ) + h.k11), ( x 2 (i ) + h.k12 ), u ) 2 2 1 1 k 22 = f 2 (( x1(i ) + h.k11), ( x 2 (i ) + h.k12 ), u ) 2 2 1 1 k 31 = f 1(( x1(i ) + h.k 21), ( x 2 (i ) + h.k 22 ), u ) 2 2 1 1 k 32 = f 2 (( x1(i ) + h.k 21), ( x 2 (i ) + h.k 22 ), u ) 2 2 k 41 = f 1(( x1(i ) + h.k 31), ( x 2 (i ) + h.k 32 ), u ) …………………..(13) k 42 = f 2 (( x1(i ) + h.k 31), ( x 2 (i ) + h.k 32 ), u ) 2.2.4.3 Persamaan Solusi
h (k11 + 2k 21 + 2k 31 + k 41) 6 ………………(14) h x 2 (i + 1) = x 2 (i ) + (k12 + 2k 22 + 2k 32 + k 42) 6 x1 (i + 1) = x1 (i ) +
42
