BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI

2.1. Optimasi 2.1.1. Pengertian Optimasi Optimasi (Optimization) adalah aktivitas untuk mendapatkan hasil terbaik di bawah keadaan yang diberikan. Tujuan akhir dari semua aktivitas tersebut adalah meminimumkan usaha (effort) atau memaksimumkan manfaat (benefit) yang diinginkan. Karena usaha yang diperlukan atau manfaat yang diinginkan dapat dinyatakan sebagai fungsi dari variabel keputusan, maka optimasi dapat didefinisikan sebagai proses untuk menemukan kondisi yang memberikan nilai minimum atau maksimum dari sebuah fungsi. Optimasi dapat diartikan sebagai aktivitas untuk mendapatkan nilai minimum suatu fungsi karena untuk mendapatkan nilai maksimum suatu fungsi dapat dilakukan dengan mencari minimum dari negatif fungsi yang sama. Tidak ada metode tunggal yang dapat dipakai untuk menyelesaikan semua masalah optimasi. Banyak metode optimasi telah dikembangkan untuk menyelesaikan tipe optimasi yang berbeda-beda seperti metode Lagrange. Dalam optimasi diselidiki masalah penentuan suatu titik minimum suatu fungsi pada subset ruang bilangan riil tak kosong. Untuk lebih spesifik dirumuskan sebagai berikut: Misalkan 𝑹 ruang bilangan riil dan 𝑆 subset tak kosong dari 𝑹, dan misalkan 𝑓: 𝑆 → 𝑹 sebuah fungsi yang diberikan. Kita akan mencari titik minimum 𝑓 pada 𝑆. Sebuah elemen 𝑥̅ ∈ 𝑆 dikatakan titik minimum 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑥̅ ) ≤ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 ∈ 𝑆 Himpunan 𝑆 dinamakan himpunan pembatas (constraint set) dan fungsi 𝑓 dinamakan fungsi objektif.

Universitas Sumatera Utara

13

Metode pencari titik optimum juga dikenal sebagai teknik pemrograman matematikal dan menjadi bagian dari penelitian operasional (operations research). Penelitian operasional adalah suatu cabang matematika yang menekankan kepada aplikasi teknik dan metode saintifik untuk masalah-masalah pengambilan keputusan dan pencarian solusi terbaik atau optimal. Teknik pemrograman matematikal sangat berguna dalam pencarian minimum suatu fungsi beberapa variabel di bawa kendala yang ada. Teknik proses stokastik dapat digunakan untuk menganalisis masalah yang didiskripsikan dengan sekumpulan variabel acak dimana distribusi probabilitasnya diketahui. Metode statistikal dapat digunakan untuk menganalisis data eksperimen dan untuk membangun model secara empirik untuk memperoleh representasi yang lebih akurat mengenai situasi fiskal.


14

2.1.2. Perumusan Masalah Optimasi Optimasi atau masalah pemrograman matematika dapat dinyatakan sebagai berikut. Tabel 2.1. Metode Penelitian Operasional

Teknik Pemrograman

Teknik Proses Stokastik

Metode Statistikal

Metode Kalkulus

Teori Keputusan

Analisis Regresi

Pemrograman Geometrik

Proses Markov

Analisis Kluster, Pattern

Pemrograman Nonlinier

Teori Antrian

Recognition

Pemrograman Kuadrati k

Renewal Theory

Rancangan Eksperimen

Pemrograman Linier

Simulasi

Analisis Diskriminan

Matematikal

Pemrograman Dinamik Pemrograman Integer

Reliability Theory

Pemrograman Stokastik Pemrograman Seperable Pemrograman Multiobyektif Metode Jaringan : CPM & PERT Teori Permainan Simulated Annealing Genetic Algorithm Neural Networks


15

Optimasi Tanpa Kendala Masalah optimasi yang tidak melibatkan sebarang kendala dinamakan optimasi tanpa kendala dan dinyatakan sebagai: Minimumkan 𝑓 = 𝑓(𝑋)

(2.1)

𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 )𝑇 Optimasi Dengan Kendala Masalah optimasi yang melibatkan sebarang kendala dinamakan optimasi terkendala dan dinyatakan sebagai: Minimumkan 𝑓 = 𝑓(𝑋)

(2.2)

𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 )𝑇 dengan kendala: 𝑔𝑖 (𝑋) ≤ 0

𝑖 = 1,2, … , 𝑚

𝑙𝑗 (𝑋) = 0

𝑗 = 1,2, … , 𝑝

dimana 𝑋 adalah sebuah vektor berdimensi- 𝑛 yang dinamakan vektor disain atau variabel keputusan, 𝑓(𝑋) disebut fungsi obyektif, 𝑔𝑖 (𝑋) dan 𝑙𝑗 (𝑋) dikenal sebagai kendala ketaksamaan dan kendala kesamaan.

2.1.3. Klasifikasi Masalah Optimasi Masalah optimasi dapat diklasifikasikan dalam 6 (enam) cara, seperti diuraikan berikut. 1. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Keberadaan Kendala

Seperti dinyatakan sebelumnya, sebarang masalah optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah optimasi tanpa kendala dan masalah


16

optimasi terkendala, tergantung kepada ada tidaknya kendala dalam masalah optimasi. 2. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Bentuk Persamaan Fungsi yang Terlibat

Masalah optimasi dapat juga diklasifikasikan berdasarkan kepada bentuk fungsi obyektif dan fungsi kendala. Menurut klasifikasi ini, masalah optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah pemrograman linier, nonlinier, geometrik, dan kuadratik. 

Masalah Pemrograman Linier

Jika fungsi obyektif dan semua kendala adalah fungsi linier dari variabel keputusan, maka masalah pemrograman matematika tersebut dinamakan pemrograman linier (LP). Masalah pemrograman linier dapat dinyatakan dalam bentuk standar berikut: Minimumkan 𝑓(𝑋) = ∑𝑛𝑖=1 𝑐𝑖 𝑥𝑖

(2.3)

𝑥1 𝑥2 𝑋=( ) ⋮ 𝑥𝑛 dengan kendala 𝑛

∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 ≤ 𝑏𝑗 ,

𝑗 = 1,2, … , 𝑚

(2.4)

𝑖=1

𝑥𝑖 ≥ 0,

𝑖 = 1,2, … , 𝑛

dimana 𝑐𝑖 , 𝑎𝑖𝑗 dan 𝑏𝑗 adalah konstanta (yang selanjutnya dinamakan sebagai parameter). 

Masalah Pemrograman Nonlinier

Jika terdapat fungsi nonlinier di antara fungsi obyektif dan fungsi-fungsi kendala, maka masalah tersebut dinamakan masalah pemrograman nonlinier (nonlinier programming).


17



Masalah Pemrograman Kuadratik

Suatu masalah pemrograman kuadratik adalah suatu masalah pemrograman nonlinier dimana fungsi obyektif berbentuk kuadratik dan fungsi kendala berbentuk linier. Masalah pemrograman kuadratik dapat dinyatakan sebagai berikut: 𝑛

𝑛

𝑛

𝐹(𝑋) = 𝑐 + ∑ 𝑞𝑖 𝑥𝑖 + ∑ ∑ 𝑄𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 𝑖=1

(2.5)

𝑖=1 𝑗=1

dengan kendala 𝑛

∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 = 𝑏𝑗 , 𝑗 = 1,2, … , 𝑚

(2.6)

𝑖=1

𝑥𝑖 ≥ 0,

𝑖 = 1,2, … , 𝑛

dimana 𝑐𝑖 , 𝑎𝑖𝑗 dan 𝑏𝑗 adalah konstanta.



Masalah Pemrograman Geometrik

Sebuah fungsi ℎ(𝑋) dinamakan posynomial 𝑛 suku jika ℎ dapat dituliskan 𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

sebagai ℎ(𝑋) = 𝑐1 𝑥1 11 𝑥2 12 … 𝑥𝑛 1𝑛 + ⋯ + 𝑐𝑁 𝑥1 𝑁1 𝑥2 𝑁2 … 𝑥𝑛 𝑁𝑚 dimana 𝑐𝑖 dan 𝑎𝑖𝑗 adalah konstanta dengan 𝑐𝑖 > 0 dan 𝑥𝑖 > 0. Suatu masalah pemrograman geometric (GMP) adalah masalah pemrograman nonlinier dimana fungsi obyektif dan fungsi kendala dinyatakan sebagai posynomial dalam variabel keputusan. Jadi masalah GMP dapat dituliskan sebagai: 𝑁0

𝑛 𝑝

𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚𝑘𝑎𝑛 𝑓(𝑋) = ∑ 𝑐𝑖 (∏ 𝑥𝑗 𝑖𝑗 ), 𝑖=1

𝑐𝑖 > 0, 𝑥𝑖 > 0 (2.7)

𝑗=1

𝑥1 𝑥2 𝑋=( ⋮ ) 𝑥𝑛


18

dengan kendala 𝑁𝑘

𝑛 𝑞

𝑔𝑘 (𝑋) = ∑ 𝑎𝑖𝑘 (∏ 𝑥𝑗 𝑖𝑗𝑘 ) > 0, 𝑖=1

𝑎𝑖𝑘 > 0, 𝑥𝑖 > 0

(2.8)

𝑖=1

dimana 𝑁0 dan 𝑁𝑘 berturut-turut menyatakan banyaknya suku posynomial dari fungsi obyektif dan fungsi kendala ke-k. 3. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Nilai Variabel Keputusan yang Diperbolehkan

Berdasarkan kepada nilai variabel keputusan yang diperbolehkan, masalah optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah pemrograman bilangan bulat (integer) dan pemrograman bilangan riil. 

Masalah Pemrograman Bilangan Bulat (Integer)

Jika beberapa atau semua variabel keputusan 𝑥𝑖 ( 𝑖 = 1,2, … , 𝑛) dari suatu masalah optimasi dibatasi hanya bernilai bilangan bulat (integer) atau diskrit, masalah optimasi tersebut dinamakan pemrograman bilangan bulat. 

Masalah Pemrograman Bilangan Riil

Jika semua variabel keputusan bernilai bilangan riil maka masalah optimasi dinamakan masalah pemrograman riil. 4. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Nilai Parameter yang Diperbolehkan

Berdasarkan kepada nilai parameter yang diperbolehkan, masalah optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah pemrograman stokastik dan masalah pemrograman deterministik. 

Masalah Pemrograman Stokastik

Suatu masalah pemrograman stokastik adalah masalah optimasi dimana beberapa atau semua parameter dalam optimasi bersifat probabilistik (non deterministik atau stokastik).


19



Masalah Pemrograman Deterministik

Jika semua parameter dalam optimasi bersifat deterministik, masalah optimasi tersebut dinamakan masalah pemrograman deterministik. 5. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Separabilitas Fungsi

Masalah optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah pemrograman separabel atau nonseparabel berdasarkan kepada separabilitas fungsi obyektif dan fungsi kendala. 

Masalah Pemrograman Separabel

Suatu fungsi 𝑓(𝑋) dikatakan separabel jika dapat dituliskan sebagai jumlah dari 𝑛 fungsi tunggal 𝑓1 (𝑥1 ), … , 𝑓𝑛 (𝑥𝑛 ) yaitu 𝑛

𝑓(𝑋) = ∑ 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 )

(2.9)

𝑖=1

Masalah pemrograman separabel adalah masalah optimasi dimana fungsi obyektif dan fungsi kendala adalah separabel dan dapat dituliskan dalam bentuk standar: Minimumkan 𝑓(𝑋) = ∑𝑛𝑖=1 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 )

(2.10)

𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 )𝑇 dengan kendala 𝑛

𝑔𝑗 (𝑋) = ∑ 𝑔𝑖𝑗 (𝑥𝑖 ) ≤ 𝑏𝑗 ,

𝑗 = 1,2, … , 𝑚

(2.11)

𝑖=1

dimana 𝑏𝑗 konstanta. 

Masalah Pemrograman Nonseparabel

Jika fungsi obyektif atau fungsi kendala dari masalah optimasi non separabel,

masalah

tersebut

dinamakan

masalah

pemrograman

nonseparabel.


20

6. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Banyaknya Fungsi Obyektif

Bergantung kepada banyaknya fungsi obyektif yang diminimumkan, masalah optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah pemrograman obyektif-tunggal dan multi obyektif. 

Masalah Pemrograman Obyektif-Tunggal

Masalah optimasi yang hanya melibatkan sebuah fungsi obyektif dinamakan pemrograman obyektif-tunggal. Pemrograman linier merupakan salah satu contoh dari masalah pemrograman obyektif-tunggal. 

Masalah Pemrograman Multiobyektif

Suatu masalah pemrograman multiobyektif dapat dinyatakan sebagai berikut: Minimumkan 𝑓1 (𝑋), 𝑓2 (𝑋), … , 𝑓𝑘 (𝑋)

(2.12)

𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 )𝑇 dengan kendala 𝑔𝑗 (𝑋) ≤ 0,

𝑗 = 1,2, … , 𝑚

(2.13)

dimana 𝑓1 , 𝑓2 , … , 𝑓𝑘 adalah fungsi-fungsi obyektif yang diminimumkan secara simultan.

2.1.4. Teknik Optimasi Metode klasik kalkulus diferensial dapat digunakan untuk mendapatkan maksima dan minima suatu fungsi multi variabel tanpa kendala. Metode ini mengasumsikan bahwa fungsi tersebut dapat didiferensialkan dua kali terhadap variabel keputusan dan turunannya kontinu. Untuk masalah optimasi dengan kendala kesamaan, metode pengali Lagrange (Lagrangian multiplier method) dapat digunakan. Jika masalah optimasi melibatkan kendala kesamaan, syarat Kuhn-Tucker dapat digunakan untuk mengidentifikan titik optimum. Akan tetapi metode ini melibatkan


21

sekumpulan persamaan non linier secara simultan yang boleh jadi sukar untuk diselesaikan (Parwadi Moengin, 2011). Penerapan perhitungan penurunan parsial penting sekali dalam bidang ekonomi, terutama di dalam menentukan nilai optimum suatu fungsi multivariat. Nilai optimum yang dimaksud ialah nilai yang diperoleh dari proses penentuan pemecahan yang paling terbaik dari pemecahan-pemecahan dalam suatu kendala yang ada. Nilai yang diperoleh ini bias maksimum atau minimum.

2.2. Maksimum Dan Minimum 2.2.1. Teorema keberadaan Maksimum-Minimum

B E C

G

A

F D

Gambar 2.1. Fungsi Maksimum-Minimum

Nilai ektrem suatu fungsi bisa nilai maksimum atau nilai minimum. Disini dibedakan antara nilai maksimum global atau absolut dengan maksimum lokal atau relatif dan nilai minimum global atau absolut dengan maksimum lokal atau relatif. Dari gambar diketahui bahwa titik B adalah titik maksimum global sedangkan titik E adalah titik maksimum lokal. Titik D adalah minimum global sedangkan titik F adalah titik minimum lokal. Titik C bukanlah titik maksimum atau minimum suatu fungsi, titik ini disebut titik belok suatu fungsi. Titik maksimum terjadi jika koefisien arah dari garis singgung pada garis tersebut adalah nol dan kurva terbuka kebawah, sedangkan titik minimum terjadi jika koefisien arah dari garis singgung pada titik tersebut adalah nol dan kurva terbuka ke atas (Legowo, 1984).


22

Jika 𝑓 kontinu pada sebuah himpunan 𝑆 tertutup terbatas, maka 𝑓 mencapai nilai maksimum (global) dan nilai minimum (global) di himpunan tersebut. Misalkan 𝑓 adalah fungsi dengan daerah asal 𝑆, dan misalkan 𝒑0 adalah sebuah titik di 𝑆. 1. 𝑓(𝒑0 ) adalah nilai maksimum global dari 𝑓 di 𝑆 jika 𝑓(𝒑0 ) ≥ 𝑓(𝒑) untuk seluruh 𝒑 di 𝑆. 2. 𝑓(𝒑0 ) adalah nilai minimum global dari 𝑓 di 𝑆 jika 𝑓(𝒑0 ) ≤ 𝑓(𝒑) untuk seluruh 𝒑 di 𝑆. 3. 𝑓(𝒑0 ) adalah nilai ekstrem global dari 𝑓 di 𝑆 jika 𝑓(𝒑0 ) bukan nilai maksimum global dan bukan nilai minimum global.

Untuk menentukan nilai ekstrem fungsi adalah dengan menentukan titik di daerah asal fungsi, sedemikian sehingga 𝑓 mencapai nilai maksimum atau minimum. Titik-titik demikian disebut dengan titik kritis. Masalah mencari nilai maksimum atau minimum akan sangat sulit jika bentuk umum daripada kurva belum diketahui. Di dalam hal ini sangatlah sukar menentukan apakah titik kritisnya adalah titik maksimum, titik minimum, atau titik lainnya. Cara yang paling mudah ialah dengan mencari turunan pertama atau turunan kedua yang dekat nilai kritisnya.

2.2.2. Teorema Titik Kritis Misalkan 𝑓 didefinisikan pada sebuah himpunan 𝑆 yang mengandung 𝒑0 . Jika 𝒇(𝒑0 ) adalah sebuah nilai ekstrem, maka 𝒑0 harus merupakan sebuah titik kritis, yaitu 𝒑0 adalah (i)

Sebuah titik batas di 𝑆

(ii)

Sebuah titik stasioner dari 𝑓

(iii) Sebuah titik tunggal dari 𝑓 Dari definisi di atas, menyatakan bahwa syarat perlu agar fungsi dua variabel mempunyai nilai ekstrim adalah adanya titik kritis. Titik kritis yang


23

dibahas dalam hal ini adalah titik stasioner. Ada kemungkinan bahwa fungsi tidak mempunyai titik stasioner, akan tetapi mempunyai nilai ekstrem. Pengertian titik stasioner didefinisikan dengan menggunakan turunan parsial pertama (Edwin J. Purcell, 2003).

2.2.3. Titik Stasioner - Uji Turunan Pertama Titik (𝑥0 , 𝑦0 ) dikatakan sebagai titik stasioner pada daerah asal fungsi 𝑓 bilamana, 𝑓𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 ) = 0 dan 𝑓𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 ) = 0

(2.14)

Definisi di atas, menyatakan bahwa syarat perlu adanya nilai ekstrem fungsi dua variabel adalah fungsi 𝑓 mempunyai turunan parsial pertama, dan adanya titik yang memenuhi turunan pertama sedemikian sehingga nilainya nol. Jika 𝑥 = 𝑎 adalah titik kritis maka: 

Jika 𝑓′(𝑥) merubah tanda dari positif ke negatif ketika 𝑥 nilainya bertambah, di dalam suatu jangka yang mengandung 𝑎, maka 𝑓(𝑎) adalah nilai maksimum dari fungsi tersebut.



Jika 𝑓′(𝑥) merubah tanda dari negatif ke positif ketika 𝑥 nilainya bertambah, di dalam suatu jangka yang mengandung 𝑎, maka 𝑓(𝑎) adalah nilai minimum dari fungsi tersebut.



Jika 𝑓′(𝑥) tidak merubah tanda ketika 𝑥 nilainya bertambah, di dalam suatu jangka yang mengandung 𝑎, maka 𝑓(𝑎) adalah bukan nilai maksimum atau minimum dari fungsi tersebut.

Cara yang lebih mudah bisa diperoleh dengan melalui turunan kedua. Jika turunan kedua hasilnya negatif pada suatu titik menunjukkan bahwa kurvanya pada titik tersebut terbuka ke bawah (concave down ward) dan jika hasil turunan keduanya positif pada suatu titik menunjukkan kurvanya terbuka ke atas (concave up ward) pada titik tersebut. 2.2.4. Uji Turunan Kedua


24

Untuk menentukan nilai ekstrem fungsi, di samping dipersyaratkan adanya titik kritis diperlukan penyelidikan lanjutan untuk mengetahui apakah titik kritis tersebut memberikan nilai ekstrem. Penyelidikan pada titik kritis demikian disebut pengujian syarat kecukupan nilai ekstrem. Uji syarat cukup yang digunakan adalah uji turunan kedua, khususnya bilamana titik kritisnya adalah titik stasioner. Andaikan 𝑓(𝑥, 𝑦) mempunyai turunan parsial kedua kontinu dalam lingkungan (𝑥0 , 𝑦0 ) dimana 𝑓𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 ) = 0 dan 𝑓𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 ) = 0. Misalkan, 𝐷 = 𝐷(𝑥0 , 𝑦0 ) = 𝑓𝑥𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 )𝑓𝑦𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 ) − [𝑓𝑥𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 )]2

(2.15)

Maka (i)

Jika 𝐷 > 0 dan 𝑓𝑥𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 ) < 0, 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) adalah sebuah nilai maksimum lokal;

(ii)

Jika 𝐷 > 0 dan 𝑓𝑥𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 ) > 0, 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) adalah sebuah nilai minimum lokal;

(iii) Jika 𝐷 < 0 dan 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) bukan sebuah nilai ekstrem ((𝑥0 , 𝑦0 ) adalah sebuah titik pelana); (iv) Jika 𝐷 = 0, uji yang dilakukan tidak mempunyai hasil/tidak dapat disimpulkan. Untuk menentukan nilai ekstrem fungsi dua variabel, langkah-langkah yang harus dilakukan adalah, 1.

Tentukanlah turunan-turunan parsial pertama dan kedua dari 𝑓, yakni 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦), 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦), 𝑓𝑥𝑥 (𝑥, 𝑦), 𝑓𝑦𝑦 (𝑥, 𝑦) dan 𝑓𝑥𝑦 (𝑥, 𝑦) atau 𝑓𝑦𝑥 (𝑥, 𝑦)

2.

Tentukanlah titik kritis (stasioner) fungsi yakni dengan menetapkan, 𝑓𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 ) = 0 dan 𝑓𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 ) = 0

3.

Bentuklah persamaan pembantu, 𝐷 = 𝐷(𝑥0 , 𝑦0 ) = 𝑓𝑥𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 )𝑓𝑦𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 ) − [𝑓𝑥𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 )]2

(2.16)

Dan selanjutnya selidikilah jenis nilai ekstrem pada titik kritis dengan menggunakan uji turunan ke dua (Prayudi, 2009).


25

Turunan kedua juga bisa digunakan mencari titik-titik belok dari fungsi tersebut jika ada, yaitu suatu titik pada mana suatu fungsi berubah bentuknya dari terbuka ke atas ke terbuka ke bawah. Suatu titik belok dapat terjadi jika turunan keduanya sama dengan nol. Tidak semua titik-titik dimana turunan keduanya sama dengan nol, adalah titik belok. Titik belok bisa juga terjadi pada nilai 𝑥 = 𝑎 dimana 𝑓′′(𝑎) tidak tentu. Dengan demikian suatu titik belok suatu fungsi pada 𝑥 = 𝑎 bisa terjadi: 1. 𝑓 ′′ (𝑎) = 0 2. 𝑓′′(𝑎) tidak tentu.

2.3. Metode Pengali Lagrange Andaikan akan dicari nilai ekstrem relatif fungsi dari 𝑓(𝑋) dengan 𝑛 variabel dan 𝑚 kendala kesamaan seperti berikut: Minimumkan

𝑓(𝑋)

(2.17)

𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) dengan kendala 𝑔𝑗 (𝑋) = 0,

𝑗 = 1,2, … , 𝑚

Ada suatu ketentuan bahwa 𝑚 ≤ 𝑛, hal ini dikarenakan jika 𝑚 > 𝑛 maka persamaan tersebut tidak bias diselesaikan. Fungsi Lagrange 𝐿 untuk kasus ini didefinisikan dengan memperkenalkan pengali Lagrange 𝜆𝑗 untuk setiap kendala 𝑔𝑗 (𝑋) sebagai 𝑚

𝐿(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑚 ) = 𝑓(𝑋) + ∑ 𝜆𝑗 𝑔𝑗 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 )

(2.18)

𝑗=1

Dengan memperlakukan 𝐿 sebagai sebuah fungsi 𝑛 + 𝑚 variabel 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑚 , maka syarat perlu untuk ekstrimum dari 𝐿 yang juga merupakan solusi masalah asal, diberikan oleh 𝑚

𝜕𝑔𝑗 𝜕𝐿 𝜕𝑓 = + ∑ 𝜆𝑗 = 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑖

(2.19)

𝑗=1


26

𝜕𝐿 = 𝑔𝑗 (𝑋) = 0, 𝜕𝜆𝑗

𝑗 = 1,2, … , 𝑚

(2.20)

Persamaan di atas melibatkan 𝑛 + 𝑚 persamaan dalam 𝑛 + 𝑚 variabel tak diketahui

𝑥𝑖

dan

𝜆𝑗 .

Penyelesaian

dari

persamaan

di

atas

adalah

𝑋 ∗ = (𝑥1∗ , 𝑥2∗ , … , 𝑥𝑛∗ )𝑇 dan 𝜆∗ = (𝜆1∗ , 𝜆∗2 , … , 𝜆∗𝑚 )𝑇 (Djoko Luknanto, 2000).


BAB 2 LANDASAN TEORI

Recommend Documents