BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Analisis Regresi Salah satu tujuan analisis data adalah untuk memperkirakan/memperhitungkan besarnya efek kuantitatif dari perubahan suatu kejadian terhadap kejadian lainnya. Setiap kebijakan (policy), baik dari pemerintah maupun swasta, selalu dimaksudkan untuk mengadakan perubahan (change). Sebagai contoh, Pemerintah menambah jumlah pupuk agar produksi padi meningkat, Pemerintah menaikkan gaji pegawai negeri agar prestasi kerja mereka meningkat dan lain sebagainya. Untuk keperluan evaluasi/penilaian suatu kebijaksanaan mungkin ingin diketahui besarnya efek kuantitatif dari perubahan suatu kejadian terhadap kejadian lainnya. Kejadian-kejadian tersebut untuk keperluan analisis bisa dinyatakan didalam perubahan nilai variabel. Untuk analisis kedua kejadian (events) digunakan dua variabel X dan Y. Teknik Statistika untuk memeriksa dan memodelkan hubungan diantara variabel-variabel disebut Analisis Regresi.

2.1.1 Regresi Linier Sederhana Regresi linier sederhana adalah suatu prosedur untuk mendapatkan hubungan matematis dalam bentuk suatu persamaan antara variabel dependen tunggal dengan variabel independen tunggal. Hubungan antara dua variabel dependen dan variabel independen ini dapat dirumuskan ke dalam suatu bentuk hubungan fungsional sebagai berikut: untuk i = 1,2 …, n

Universitas Sumatera Utara

Dengan: Yi = variabel terikat ke-i Xi = variabel bebas ke-i a = intersep (titik potong kurva terhadap sumbu Y) b = kemiringan (slope) kurva linear Dalam membuat keputusan, selalu ada resiko yang disebabkan oleh adanya kesalahan (error). Resiko hanya bisa diperkecil dengan memperkecil kesalahan (minimized error →minimized risk). Dengan memperhitungkan kesalahan pengganggu

,

maka bentuk persamaan linear menjadi sebagai berikut: Dengan: a dan b adalah konstanta yang diestimasi adalah kesalahan pengganggu (disturbance’s error) =

disebut juga sisa yang terkandung galat yang sifatnya acak dan penyimpangan model dari keadaan sesungguhnya.

Dalam praktik, untuk melihat hubungan antara X dan Y, dikumpulkan pasangan data (X,Y) sebagai suatu observasi, misalnya sebagai berikut : X1,X2,…,Xi,…,Xn Y1,Y2,…Y1,…,Yn Digambar pada sistem koordinat tegak lurus hasilnya disebut diagram titik atau diagram pencar. Dapat dilihat pada gambar 2.1.


Garis lurus yang terdapat pada diagram pencar pada gambar 2.1 yang memperlihatkan adanya hubungan antara kedua variable disebut garis regresi atau garis perkiraan, dan persamaan yang digunakan untuk mendapatkan garis regresi pada data diagram pencar disebut persamaan regresi yang merupakan suatu variable matematika yang mendefenisikan hubungan antara dua variable.

2.1.2 Metode Kuadrat Terkecil Untuk mendapatkan garis regresi yang paling baik yaitu garis regresi yang memiliki deviasi atau kesalahan terkecil, maka digunakan metode kuadrat terkecil. Metode kuadrat terkecil ialah suatu metode untuk menghitung

dan

, sedemikian sehingga kesalahan

kuadrat memiliki nilai terkecil. Dengan bahasa matematika, dinyatakan sebagai berikut: Yi =

i = 1,2, …, n

=

–( =

= kesalahan pengganggu = jumlah kesalahan kuadrat

Jadi metode kuadrat terkecil adalah metode untuk menghitung

sedemikian rupa sehingga

dan

= terkecil (minimum). Caranya ialah dengan membuat


turunan parsial (partial differential) dari terhadap

mula-mula terhadap

kemudian

kemudian menyamakannya dengan nol.

=2

=0

=2

…. (2.1)

=0

….

(2.2) Persamaan (2.1) dibagi dengan

Sehingga

Masukkan

ke persamaan (2.2)

  Yi  (Y   1 X ) X i   1  X 12   X i Yi    1  n  ( X i )  X iYi  X i Yi  n  1 n  1  X i2

X Y

i i

 ( X i ) 2 X  n 

X n

i

  X i   1  X i2  

  X i  Yi    1   X i Yi  n 

2 i

Sehingga

1 

 X Y  X  ( X i

2 1

n

i

2

i

) n



n X i  Yi  X i  Yi n X 12  ( X i ) 2

2.1.3 Uji Kelinearan Keberartian Regresi


Setelah menaksir persamaan regresi, masalah berikutnya adalah menilai baik buruknya model regresi dengan data. Jadi diperlukan ukuran tentang kecocokan data. Analisis regresi adalah alat statistik yang digunakan untuk mengetahui derajat hubungan linear antara satu variable dengan variabel lain. Umumnya analisis korelasi digunakan dalam hubungannya dengan analisis regresi untuk mengukur ketetapan garis regresi dalam menjelaskan (explaining) variasi nilai variabel dependen.

Untuk statistik yang dapat menggambarkan hubungan antara suatu variabel dengan variabel lain adalah koefisien determinasi (R2) dan koefisien korelasi (r). koefisien determinasi adalah salah satu nilai statistik yang dapat digunakan untuk mengetahui apakah ada hubungan pengaruh antara dua variabel. Perhatikan kesamaan berikut:

( y i  y )  ( yˆ i  y )  y i  yˆ i ) Bila ruas kiri dan kanan dikuadratkan dan kemudian dijumlahkan maka diperoleh n

n

i 1

i 1

2

 ( yi  y ) 2   ( yˆ i  y )  ( yi  yˆ i )



n

n

n

i 1

i 1

i 1

 ( yˆ i  y ) 2   ( yi  yˆ i ) 2  2 ( yˆ i  y )( yi  yˆ i ). …(2.3)

Perkalian yang terakhir pada persamaan (2.3) penulisan I = 1 dan n pada ∑ dihilangkan sehingga menjadi

 ( yˆ

i

 y )( y i  yˆ i )   yˆ i ( y i  yˆ i )  y  ( y i  yˆ i ).

Bagian kedua ruas kanan sama dengan nol karena menurut (2.1)

(y

i

 yˆ i )   ( y i  a  bxi )  0

Jadi persamaan dapat ditulis kemabali sebagai berikut


 yˆ ( y

i

 yˆ i )   (a  bx i )( y i  yˆ i )

 ( y  yˆ )  b ( y  yˆ ) x = 0  b ( y  a  bx ) x

=a

i

i

i

i

i

i

i

i

=0 Jadi persamaan dapat ditulis kembali sebagai berikut n

n

n

i 1

i 1

i 1

 ( yi  y ) 2   ( yˆ i  y ) 2   ( y i  yˆ i )

JKT

JKR

(2.4)

JKS

Persamaan (2.4) adalah persamaan dasar dalam Analisis Regresi dan Analaisis variansi. Ruas kiri disebut jumlah kuadrat total (JKT) atau jumlah variasi total dan menyatakan jumlah penyimpangan y disekitar nilai rata-ratanya. Bagian pertama ruas kanan disebut jumlah kuadrat regresi (JKR) dan ini adalah variansi respons disekitar rataratanya ( ). Bagian kedua ruas kanan disebut jumlah kuadrat galat (sisa) dan singkat JKS. Bagian ini mengukur sisa dari variasi total (JKT) yang tidak dapat diterangkan oleh x, atau bagian yang sifatnya acak. Jadi dengan demikian dapat pula ditulis sebagai berikut: JKT = JKR + JKS Variasi Total = Variasi karena Regresi + Variasi karena Sisa. Sifat penjumlahan (aditing) seperti ini banyak dijumpai dalam statistika, dan ini tidak hanya berlaku untuk bentuk kuadrat tapi juga untuk derajat kebebasannya. Jika pengaruh X terhadap Y besar maka diharapkan JKR cukup besar dibandingkan dengan JKS. Bila JKR besar maka JKS kecil dan sebaliknya, sedangkan JKT tetap. Dengan demikian JKT dapat dijadikan pembanding untuk menentukan besar kecilnya JKR atau JKS.

Dari defenisi R

2

 ( yˆ  (y

i

 y) 2

i

 y)

2



JKR JKS


Dengan:

R2 disebut koefisien korelasi dua arah atau koefesien penentu (determinasi). Karena 0< JKR< JKT, maka tentunya 0 < R2< 1. Jadi R2 dapat mengukur kecocokan data dengan model makin dekat R2 dengan 1 makin baik kecocokan data dengan model dan sebaliknya, makin dekat R2 dengan 0 makin jelek kecocokan tersebut.

2.1.1 Pendekatan Melalui Analisis Variansi Dari persamaan (2.4) dapat dilihat penguraian jumlah kudrat total atas kedua komponennya, jumlah kuadrat regresi dan jumlah kuadrat galat. Tujuan utama penguraian bukanlah untuk menghitung R2, tetapi merupakan langkah awal yang sangat penting dalam menelaah komponen jumlah kudrat total. Untuk menentukan apakah pengaruh suatu peubah bebas X besar atau kecil terhadap respon Y diperlukan pambanding yang baku, yang tidak dipengaruhi baik buruknya model yang digunakan. Pembanding baku tersebut adalah penaksir tak bias dari

, variansi

.

Disamping JKT dapat diuraikan atas kedua komponennya, derajat kebebasannya dapat diuraikan juga. Sifat penjumlahan (aditing) ini merupakan salah satu keunggulan dari metode kuadrat terkecil.


Tabel 2.1 Tabel Analisis Variansi Regresi Sederhana Sumber JK (Jumlah Kuadrat) Variasi

dk (Derajat

RK(Rataan

F

Kebebasan)

Kuadrat)

Hitung s12 s 22

Regresi

JKR =

 (Yˆ

i

 Y )2

1

s12  JKR/1

Sisa

JKS =

 (Y

i

 Yˆi ) 2

n-2

s 22  JKS/(n-2)

Total

JKT =

 (Y

 Y )2

n-1

i

Tabel 2.1 Memperlihatkan bentuk umum table analisis variansi (ANAVA) untuk regresi linear sederhana. Kolom keempat menunjukkan jumlah kuadrat dibagi dengan derajat kebebasannya, untuk regresi dan sisa. Andaikan hipotesis yang akan diuji adalah H0 : β = 0 H1 : β ≠ 0 Yang pada dasarnya hipotesis nol ini mengatakan bahwa variansi dalam Y diakibatkan oleh fluktuasi acak yang tidak tergantung pada nilai X dengan kata lain X tidak mempengaruhi respons Y. bila hipotesis nol ditolak yaitu bila nilai Statistik F hitungan melebihi nilai kritis Fα (1, n-2) maka disimpulkan bahwa terdapat jumlah variasi yang berarti dalam respon Y yang disebabkan atau diterangkan oleh model yang dipandang benar, yaitu fungsi linear. Bila statistic F berasal dalam daerah penerimaan maka disimpulkan bahwa data tidak memberikan cukup dukungan kepada model yang dianggap benar.

2.2 Pengertian Dasar Penyimpangan Atau Ragam


Sebagai contoh misalkan dilakukan penelitian lapangan melalui survei sehingga hasil sampel yang diperoleh meliputi N individu. Individu tersebut dapat berupa perorangan, rumah tangga, industry kecil, atau wilayah dan lainnya. Masing-masing individu dinyatakan dengan huruf I yang menunjukkan individu ke-i dalam sampel. Informasi yang diperoleh dari setiap individu memberikan nilai-nilai pengamatan Y adalah: Y1, Y2 , Y3 …, Yn. dapat dilihat gambar 2.3 yaitu suatu contoh mengenai berbagai hasil pengamatan yang diperoleh dari individu pertama sampai dengan ke-N. y

  

 

Gambar 2.3 Contoh Pengamatan dalam bentuk nilai rata-rata Langkah pertama yang harus dilakukan yaitu memilih model apa yang akan digunakan. Model tersebut bisa berupa nilai rata-rata, median, modus dan lainnya ataupun yang lebih rumit mengikuti suatu pola tertentu secara linear ataupun nonlinear. Pada gambar 2.3 diambil suatu contoh dalam bentuk nilai rata-rata hitung,

, dari seluruh

pengamatan. Model ini akan menggambarkan dengan sempurna pola yang terdapat dalam kenyataan bila masing-masing individu dalam sampel memberikan nilai yang persis sama besarnya dengan nilai rata-rata tersebut.


Dengan demikian seberapa besar penyimpangan yang terjadi diantara nilai pengamatan dan nilai yang terkandung dalam model hitung dari nilai rata-rata digambarkan dengan menguraikan setiap nilai pengamatan menjadi

Yi  Y  (Yi  Y ) Dimana

= 1,2,3,…,N

memberikan besaran nilai penyimpangan sehingga menggambarkan

naik turunnya (fluktuasi) hasil pengamatan terhadap model dan menunjukkan seberapa jauh model yang dipakai tidak mampu menjelaskan kenyataan yang ada. Arah panah ke bawah berarti penyimpangan yang negatif sedangkan arah ke atas menunjukkan penyimpangan yang positif.

Persamaan (2.5) mempergunakan suatu model yang sederhana nilai rata-rata Dalam bentuk umumnya persamaan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:

Yi  Yˆ  (Yi  Yˆ )

= 1,2,3,…,N

Pengamatan = Cocokan + Residual merupakan model yang menggambarkan prediksi atau dugaan (estimasi) yang disebut juga dengan fitted values. Nilai Sedangkan

dapat berupa suatu titik fungai linier atau nonlinear,

menunjukkan besarnya penyimpangan atau residual.

Berdasarkan definisi dapat dilihat dengan jelas bahwa residual merupakan sisa dari hasil pengamatan yang belum dapat dijelaskan oleh suatu model tertentu. Dalam Analisis Regresi, yang menjadi tujuan utama adalah membuat jumlah kuadrat sisa atau residu, JKS =

sekecil mungkin agar dicapai suatu pemecahan

persoalan dalam bentuk besaran dan arah pengaruh peubah bebas terhadap peubah tak bebas. Semakin banyak peubah bebas dalam suatu persamaan regresi, JKS akan cederung


mengecil dengan kata lain semakin besar kemampuan model dalam menjelaskan keragaman peubah tak bebas.

2.3 Analisis variansi (ANAVA)

Analisis variansi (Analysis of Variance) merupakan metode yang digunakan untuk menganalisis atau menguraikan keragaman total data menjadi komponen-komponen sumber keragaman. Dalam analisis variansi yang paling sederhana, dipergunakan satu peubah tak bebas. Persyaratan utama yang harus dipenuhi berkaitan erat dengan skala pengukuran. Peubah tak bebas paling tidak harus dapat diukur dalam bentuk skala interval. Sedangkan peubah bebas dapat berupa peubah nonmetrik (peubah yang tidak dapat diukur) atau sebagai gabungan antara peubah nonmetrik dengan peubah metrik (peubah yang dapat diukur). Peubah bebas yang nonmetrik lebih dikenal sebagai faktor, sementara peubah metric disebut sebagai kofaktor. Bila keseluruhan peubah bebas tersebut hanya terdiri atas kofaktor, maka analisa yang dipakai adalah Analisa Regresi. Analisa Regresi sederhana memecahkan permasalahan yang hanya mengandung satu kofaktor saja. Bila lebih dari satu kofaktor, pemecahan tersebut ditangani oleh Analisa Regresi Ganda (Multiple Regression Analysis). Akan tetapi bila keseluruhan peubah bebas adalah factor, maka analisa yang digunakan pada dasarnya adalah Analisa Variansi (Analysis of Variance). Jika yang menjadi perhatian utama terletak pada apakah ada kemungkinan pengaruh satu factor terhadap peubah tak bebas, maka pembahasan ini disebut dengan Analisa Variansi Satu Arah (One - Way Classification Analysis of Variance), jika pada dua


faktor analisanya dilakukan dengan Analisa Variansi Dua Arah (Two - Way Classification Analysis of Variance). 2.3.1 Analisis Variansi Klasifikasi Satu Arah Di dalam klasifikasi satu arah melibatkan sebuah factor penentu. Populasi yang berbeda ini diklasifikasikan menurut perlakuan atau grup yang berbeda dan dianggap saling bebas dan berdistribusi normal dengan rataan

=

=…=

dan variansi

. Istilah

perlakuan digunakan secara umum dengan arti bebagai klasifikasi, apakah itu kelompok, adukan, penganalisis, pupuk yang berbeda, atau berbagai daerah disuatu negara, dan variansi Ingin dicari metode yang sesuai untuk menguji hipotesis: H0 :

=

=…=

H1 :

≠

≠…≠

Misalkan

menyatakan pengamatan ke j dalam perlakuan ke i dan Ti

menyatakan jumlah semua pengamatan dalam sampel dari perlakuan ke i,

menyatakan

rataan semua pengamatan dalam sampel dari perlakuan ke i, T.. jumlah semua nI pengamatan, dan

..

rataan semua nI pengamatan. Tiap pengamatan dapat ditulis dalam

bentuk =

(2.6) Tabel 2.2 k sampel acak Perlakuan 1

2

y11 y12

… …

I y I1


y12

y 22

…

yI 2

  

y1n

y 2n

y In

T2.

TI.

T…

y .I .

y ..

…

Jumlah

T1.

Rataan

y1 .

Dengan

y 2. .

…

…

menyatakan penyimpangan ke j pada sampel ke i dari rataan perlakuan

padanannya. Suku

menyatakan galak acak yang peranannya sama dengan suku galat

dala model regresi. Bentuk lain dari persamaan (2.6) diperoleh dengan mengganti , dengan kendala

I

 i 1

i

= 0 dipenuhi.

Jadi dapat ditulis : =

Bila

menyatakan rataan keseluruhan dari semua

; yakni

Dengan: disebut sebagai efek atau pengaruh perlakuan ke i. Hipotesis nol bahwa rataan populasi sama dan lawan tandingan bahwa paling sedikit dua dari rataan ini tidak sama diganti dengan hipotesis yang setara,


Uji yang dipakai didasarkan pada perbandingan dua taksiran bebas dari kesamaan variasi populasi

. Kedua taksiran tersebut diperoleh dengan menguraikan total variasi

 y I

data, diusahakan oleh penjumlahan ganda

2

n

i 1 i 1

ij

 y.. menjadi dua komponen.

Teorema 2.1 Identitas Jumlah Kuadrat

 y I

2

n

i 1 j 1

ij

2

 y.. = n  yi .  y.. + I

n

i 1 j 1

 y I

2

n

i 1 j 1

ij

 yi .

Bukti

 y I

i 1 j 1 I

=

2

n

ij

 y.. =

I

n

[ y .  y.. + (yij -

2 i.)]

i

i 1 j 1

2

n

[ yi .  y.. + 2 ( i.–

)2(yij -

i.)

+ (yij -

i.)

2

i 1 j 1 I

=

2

n

[ y .  y.. + 2 ( i

i 1 j 1

i

–

 y I

2

) (yij -

i.)

+

2

n

i 1 j 1

ij

 yi .

Suku yang ditengah sama dengan nol, karena n

n

y j 1

ij

n

n

j 1

j 1

 y i .)   y ij  ny i .   y ij  n

y j 1

n

ij

0

Jumlah yang pertama tidak mengandung indeks, jadi dapat ditulis I

n

I

  yi .  y..2  n yi .  y..) 2 . i 1 j 1

i 1

Sehingga


2 2   yi .  y..  n yi .  y..) 2 +  yij  y. I

n

I

i 1 j 1

I

i 1

n

i 1 j 1

Agar memudahkan penggunaannya maka suku identitas jumlah kuadrat akan ditandai dengan lambang berikut: JKT =

 y I

n

i 1 j 1

 y. = jumlah kuadrat total 2

ij

I

JKA = n y i .  y..) 2 = jumlah kuadrat perlakuan i 1

JKG =

 y I

n

i 1 j 1

 y. = jumlah kuadrat galat 2

ij

Identitas jumlah kuadrat dapat dituliskan: JKT = JKA + JKG Identitas jumlah kuadrat menyatakan bahwa variasi antar perlakuan dan dalam perlakuan dijumlahkan menjadi jumlah kuadrat total. Akan tetapi, pemahaman lebih mendalam dapat diperoleh dengan menyelidiki nilai harapan dari JKA dan JKG. Kemudian akan diturunkan taksiran variasi yang merumuskan rasio yang akan digunakan untuk menguji kesamaan dari rataan populasi. Perlu dibandingkan ukuran variansi antara perlakuan yang sesuai dengan variasi dalam perlakuan agar dapat ditemukan perbedaan yang berarti dalam pengamatan akibat pengaruh perlakuan. Perhatikan nilai harapan jumlah kuadrat perlakuan. I

Teorema 2.2 E(JKA) = (I-1) σ2 + n 12 i 1

Bukti Bila JKA dipandang sebagai peubah acak yang nilai-nilainya berubah bila percobaan diulang beberapa kali, maka dapat ditulis: I

JKA =  ( y i .  y..) 2 . i 1


Dari model : y ij =  + αi + Eij Diperoleh y i =  + αi + E i . I

y i =  + E .. karena n  i  0. Jadi i 1

I

JKA = n   i  E i .  E ..) 2 i 1

I

I

I

i 1

i 1

i 1

dan E(JKA) = n  i2  n  E ( E i2 .)  nIE ( E 2 ..)  2n  i E ( E i .) karena Eij merupakan peubah bebas dengan rataan nol dan variansi σ2, maka diperolah E ( E i2 .) 

2 n

,

E ( E i2 ..) 

2 nI

,

E ( E i .)  0

I

sehingga E(JKA) = n  i2  I 2   2 ) i 1

= (I-I)  2  n

I

 i 1

2 i

Salah satu taksiran σ2 yang didasarkan pada I-1 derajat kebebasan diberikan oleh Rataan Kuadrat Perlakuan s12 

JKA I 1

Bila H0 benar dan tiap αi pada teorema 2.2. sama dengan nol, maka  JKA  2 E     I 1

dan s12 merupakan menaksir σ2 yang tak bias. Akan tetapi, bila H1 yang benar, maka I

n  i2

 JKA  2 E      i 1 I 1  I 1


Dan s12 menaksir σ2 ditambah suatu suku tambahan mengukur variasi akibat pengaruh yang sistematik. Taksiran σ2 yang kedua dan bebas dari hipotesis, didasarkan pada I(n-1) derajat kebebasan, ialah rumus yang dikenal, yaitu Rataan Kuadrat Galat S 2 

JKG I (n  1)

Identitas jumlah kuadrat tidak saja menguraikan keragaman total data, tetapi juga jumlah semua derajat kebebasan. Dengan perkataan lain n (I-1) = nI - n1 bila H0 benar, rasio f=

S12 S2

merupakan suatu nilai peubah acak F yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan I-1 dan I(n-1). Karena S12 menaksir lebih σ2 bila H0 salah, maka diperoleh uji ekasisi dengan daerah kritis seutuhnya terletak disebelah ujung kanan fuangsi distribusi. Hipotesis nol ditolak pada taraf keberartian α bila f > fα[I-1,I(n-1)] Perhitungan masalah analisis variansi diringkas dalam bentuk tabel seperti pada tabel 2.3. Tabel 2.3. Analisis Variansi untuk Klasifikasi Satu Arah Sumber

Jumlah

Derajat

Rataan

f

Variasi

Kuadrat

Kebebasan

Kuadrat

Hitungan

Perlakuan

JKA

I-1

Galat

JKG

I(n-1)

S2 

S2 

JKA I 1

S12 S2

JKG I (n  1)


Total

JKT

nI-1

2.3.2. Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah Analisis Variansi klasifikasi dua arah merupakan pengembangan atau perluasan dari analisa dengan satu arah. Anava klasifikasi dua arah membahas tentang keragaman dalam satu peubah tidak bebas Y yang ditimbulkan oleh keragaman dua faktor. Seperti digambarkan dalam tabel 2.4. Tabel 2.4. Klasifikasi Dua Arah

Blok Perlakuan

Jumlah

Rataan

T1.

y1

T2.

y2

1 2 … J 1

y11

2

y 21

y12

y 22

…

y1 j

…

y2 j



  





y I1 y I 2

I Jumlah

T.1 T.2

Rataan

y.1

y. 2

…

y Ij

TI

… T.j

…

y. j

yI

T..

y..

Dengan:


y i . = rataan pengamatan untuk perlakuan ke i y. j = rataan pengamatan dalam blok ke j

y.. = rataan keseluruhan ij pengamatan Ti. = jumlah pengamatan untuk perlakuan ke i T.j = jumlah pengamatan dalam blok ke j

T .. = jumlah keseluruhan ij pengamatan Rata-rata rataan populasi perlakuan ke i, i, didefinisikan sebagai J

j 

 j 1

ij

J

Rata-rata rataan populasi blok ke j,  . j , didefinisikan sebagai

I

. j 

 i 1

ij

I

Dan rata-rata rataan keseluruhan , didefinisikan sebagai I

. j 

J

 i 1 j 1

ij

IJ

Untuk menentukan apakah ada bagian variasi dalam pengamatan yang diakibatkan oleh perbedaan dalam perlakuan, dilakukan uji H0 : 1. = 2. = … = I =  H1 : tidak semua 1 = 0


dan untuk menentukan apakah ada variasi yang diakibatkan oleh perbedaan blok dilakukan uji H0 : .1 = .2 = … = .j =  H1 : tidak semua j = 0 Tiap pengamatan dapat dituliskan dalam bentuk yij = ij + εij dengan εij mengukur penyimpangan nilai amatan yij dari rataan populasi ij. Bentuk persamaan yang lebih disukai dilperoleh dengan penggantian

ij =  + α1 + βj Dengan α1 menyatakan pengaruh perlakuan ke i dan βj menyatakan pengaruh blok ke j. dianggap bahwa pengaruh perlakuan dan blok aditif. Jadi dapat ditulis yij =  + α1 + βj + εij Model ini mirip dengan klasifikasi satu arah, perbedaan utamanya adalah adanya pengaruh blok βj. Konsep dasarnya mirip sekali dengan klasifikasi satu arah kecuali disini pengaruh tambahan akibat blok harus diperhitungkan dalam analisis karena sekarang variasi dikendalikan secara sistematis dalam dua arah.

Bila sekarang dikenakan pembatasan bahwa J

I



i 1

i

 0 dan   j  0 j 1

Maka, J

i . 

 (   i   j ) j 1

J

I

    1 dan  . j 

 (   i 1

I

i

j)

   1

Hipotesis nol bahwa i rataan perlakuan i. sama, dan area itu sama dengan  dengan menguji hipotesis :


H0 : α1 = α2 = … = αI = 0, Hi : tidak semua αi = 0 Begitu juga hipotesis nol bahwa j rataan blok .j sama, serta dengan menguji hipotesis H0 : β1 = β2 = … = βJ = 0, H1 : tidak semua βJ = 0 Tiap uji pada perlakuan akan didasarkan pada perbandingan takisran-taksiran bebas untuk variasi populasi bersama σ2. Taksiran ini diperoleh dengan memisahkan jumlah kuadrat total data menjadi tiga bagian dengan menggunakan identitas berikut.

Teorema 2.3 Identitas Jumlah Kuadrat

 y .  y.. I

J

2

ij

i 1 j 1

I

J

I

i 1

j 1

J

 J  ( yi .  y..) 2  I  ( y. j  y..) 2   ( yij  yi .  y. j  y..) 2 i 1 j 1

Bukti

 y I

J

i 1 j 1

2 ij .  y..   [( y i .  y..)  ( y. j  y..)  ( y ij  y i .  y. j  y..)] I

2

J

i 1 j 1



I

J

I

J

  y .  y..   [(y. 2

i

i 1 j 1 I

i 1 j 1

j

I

J

 y..)   ( y ij  y i .  y. j  y..) 2 2

i 1 j 1

J

 2  y i .  y..( y. j  y..) i 1 j 1 I

J

 2  y i .  y..( y ij  y i .  y. j  y..) i 1 j 1

 2  y. j  y..( yij  yi .  y. j  y..) I

J

i 1 j 1

Suku perkalian silang semuanya sama dengan nol. Jadi


 y I

J

i 1 j 1

2 2 ij .  y..  J  ( y i .  y..)  I  ( y. j  y..) I

J

i 1

j 1

2

I

J

  ( y ij  y i .  y. j  y..) 2 i 1 j 1

Identitas jumlah kuadrat dapat dituliskan dengan lambang persamaan JKT = JKA + JKB + JKG

Dengan : JKT =

 y I

J

i 1 j 1

.  y.. = jumlah kuadrat total 2

ij

I

JKA = J  ( y i .  y..) 2 = jumlah kuadrat perlakuan i 1

J

JKB = I  ( y. j  y..) 2 = jumlah kuadrat blok j 1

JKG =

I

J

 ( y i 1 j 1

ij

 yi .  y. j  y..) 2 = jumlah kuadrat galat

Dengan mengikuti cara kerja seperti diuraikan pada teorema 2.2 yaitu bila jumlah kuadrat tersebut ditafsirkan sebagai fungsi peubah acak bebas, maka dapat y11, y12, …., yIJ ditunjukkan bahwa nilai harapan jumlah kuadrat perlakuan, blok, dan galat adalah, I

E(JKA) = (I-1) σ2 + J   i2 i 1

J

E(JKB) = (J-1) σ2 + I   j2 j 1

E(JKG) = (I-1)(J-1) σ2.


Salah satu taksiran σ2 didasarkan pada I-1 derajat kebebasan, adalah s12 

JKA I 1

Bila pengaruh perlakuan α1 = α2 = …= αI = 0, maka s12 merupakan taksiran tak bias dari σ2. Akan tetapi, bila pengaruh perlakuan tidak semuanya nol, maka I

J   i2

 JKA  2 E      i 1  I 1 I 1  

dan s12 akan secara berlebihan menaksir σ2, taksiran kedua σ2, didasarkan atas J-1 derajat kebebasan, diberikan oleh

s 22 

JKB J 1

Taksiran s 22 merupakan taksiran tak bias dari σ2 bila pengaruh blok β1 = β2 =…= βj = 0. Bila pengaruh blok tidak semuanya nol, maka: J

I   j2

 JKB  j 1 2 E     J 1 J 1   

Dan s 22 akan secara berlebohan menaksir σ2. Taksiran ketiga dari σ2, didasarkan pada (I1)(J-1) derajat kebebasan dan bebas dari s2, diberikan oleh s2 

JKG , ( I  1)( J  1)

Yang tidak bias, terlepas apakah kedua hipotesis nol benar atau salah. Untuk menguji hipotesis nol bahwa pengaruh perlakuan semuanya sama dengan nol, dengan menghitung rasio: s12 f1  2 , s


Yang merupakan nilai peubah acak F1 yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan I-1 dan (I-1)(J-1) bila hipotesis nol benar. Hipotesis nol ditolak pada taraf keberartian α bila f1 > fα [I-1,(I-1)(J-1)]. Untuk menguji hipotesis nol bahwa pengaruh blok semuanya sama dengan nol, dengan menghitung rasio:

f2 

s 22 , s2

Yang merupakan nilai peubah acak F2 yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan J-1 dan (I-1)(J-1) bila hipotesis nol benar. Perhitungan Anava untuk klasifikasi dua arah disajikan dalam tabel 2.5.

Tabel 2.5. Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah

Sumber

Jumlah

Derajat

Rataan

f

Variasi

Kuadrat

Kebebasan

Kuadrat

Hitungan

Perlakuan

JKA

I-1

Blok

JKB

J-1

S2 

JKA I 1

S12 f1  2 S

S2 

JKB J 1

f2 

S2 

Galat

JKG

(I-1)(J-1)

Total

JKT

IJ-1

S 22 S2

JKG ( I  1)( J  1)


2.3.3 Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah dengan Interaksi Klasifikasi dua arah dengan interaksi mencakup uji hipotesa tentang pengaruh baris, kolom dan interaksi antara baris dan kolom. Untuk menentukan rumus klasifikasi dua arah dengan pengamatan yang berulang dalam rancangan acak lengkap, pandang K sebagai replikasi pada tiap kombinasi perlakuan faktor A diamati pada I taraf dan faktor B pada J taraf. Pengamatan dapat disajikan dalam suatu matriks yang barisnya menyatakan taraf faktor A sedangkan kolomnya menyatakan faktor B. Tiap kombinasi perlakuan menentukan suatu sel dalam matriks. Jadi terdapat IJ sel, masing-masing berisi K pengamatan. Seluruh IJK pengamatan diperlihatkan pada tabel 2.6. Tabel 2.6 Klasifikasi Dua Arah dengan Interaksi

Faktor A (baris) 1

Faktor B (kolom) 1

Jumlah

Rataan

y1 ..

y1 ..

y2 ..

y2 ..

2 … J

y111 y121 … y1J 1 y112 y122 … y1J 2   

y11k y12k … y1JK 2

y211 y221 … y2 J 1 y212 y222 … y 2 J 2   

y21k y22k … y 2 JK




I

y I 11 y I 21 … y IJ 1





y I 12 y I 22 … y IJ 2

  

  

y1 ..

y1 ..

y I 1k y I 2 k … y IJK Jumlah

y.1 y.2. … y. J .

Rataan

y.1 y.2. … y. J .

y...

y...

Pengamatan pada sel ij membentuk sampel acak berukuran n dari populasi yang dianggap berdistribusi normal dengan rataan ij dan variansi σ2. Semua populasi yang banyaknya IJ dianggap mempunyai variansi yang sama. Tiap pengamatan dalam tabel 2.6 dapat ditulis dalam bentuk y ijk   ij   ijk ,

Dengan  ijk mengukur penyimpangan pengamatan nilai yijk pada sel ke ij dari rataan populasi  ij . Bila y ij menyatakan pengaruh interaksi antara faktor A taraf ke I dan faktor B taraf ke j, α1 pengaruh faktor A, βj pengaruh faktor B dan  rataan keseluruhan, maka dapat ditulis

 ij     1   j  ( ) ij Sehingga y ijk     i   j  ( ) ij  ijk Yang akan dikenakan pembatasan

I

J

J

i 1

j 1

j 1

  i  0,  ( j ) ij  0,  ( ) ij  0


Ketiga hipotesis yang akan diuji adalah: H0 : α1 = α2 = … = αI = 0 Hi : tidak semua αi = 0 H0 : β1 = β2 = … = βJ = 0 H1 : tidak semua βJ = 0 H0 : (γ)11 = (γ)12 = … = (γ)IJ = 0 H1 : tidak semua (γ)ij = 0 Tiap uji akan didasarkan pada perbandingan taksiran σ2 yang bebas diperoleh dengan menguraikan jumlah kuadrat data menjadi empat bagian dengan menggunakan kesamaan (identitas) berikut. Teorema 2.4 Identitas Jumlah Kuadrat

  y I

J

K

i 1 j 1 k 1

2 2 ijk .  y..  JK  ( y i ..  y...)  IK  ( y. j .  y...) 2

 K

I

J

i 1

j 1

 y I

J

i 1 j 1 I

J

.  y i ..  y. j .  y...

2

ij

K

 2 ( y ijk  y ij .) 2 . i 1 j 1 k 1

Identitas jumlah kuadrat dapat dituliskan dengan lambang persamaan JKT = JKA + JKB + JK(AB) + JKG Derajat kebebasaanya menurut kesamaan IJK-1 = (I-1) + (J-1) + (I-1)(J-1) + IJ(K-1) Bila tiap jumlah kuadrat pada sebelah kanan kesamaan jumlah kuadrat dibagi dengan derajat kebebasannya, maka diperoleh keempat statistic yaitu s12 

JKA 2 JKB 2 JK ( AB) JKG , s2  , s3  , s2  I 1 J 1 ( I  1)( J  1) IJ ( K  1)


Semua taksiran variansi ini adalah taksiran σ2 yang bebas dengan syarat bahwa tidak ada pengaruh αi, βj, (γ)ij. Bila jumlah kuadrat dipandang sebagai fungsi dari peubah acak bebas Y111, Y112, …,Yijk maka I

 JKA  2 E ( s12 )  E      I 1  

JK   12 i 1

I 1

J

 JKB  2  E ( s 22 )  E    J  1

JK   12 j 1

J 1

I

I

K   12

 JK ( AB )  i 1 i 1 2  E ( s 32 )  E   ( I  1)( J  1)  ( I  1)( J !) 

 JKG  E (s 2 )  E  2   IJ ( K  1) 

Dari rumus dengan mudah dapat dsimpulkan bahwa keempat taksiran  2 tidak bias bila H0 (Hipotesin nol) benar.

Untuk menguji hipotesis nol bahwa pengaruh perlakuan semuanya sama dengan nol, dengan menghitung rasio: f1 

s12 s2


Yang merupkan nilai peubah acak F1 yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan I-1 dan IJ(K-1) bila hipotesis nol benar. Hipotesis nol ditolak pada taraf keberartian α bila f1 > fα [I-1,IJ(K-1)], Untuk menguji hipotesis nol bahwa pengaruh blok semuanya sama dengan nol, dengan menghitung rasio: f2 

s 22 s2

Yang merupkan nilai peubah acak F2 yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan J-1 dan IJ(K-1) bila hipotesis nol benar. Hipotesis nol ditolak pada taraf keberartian α bila f2 > fα [J-1,IJ(K-1)]. Untuk menguji hipotesis H0 bahwa pengaruh interaksi semuanya nol, maka:

f3 

s 32 s2

Yang merupkan nilai peubah acak F3 yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan (I-1) (J-1) dan IJ (K-1) bila H0 benar. Adanya interaksi bila f3 > fα [I-1,(J-1),IJ(K-1)]. Perhitungan mengenai masalah anava untuk klasifikasi dua arah dengan interaksi disajikan dalam tabel 2.7 Tabel 2.7. Analisis Variansi untuk Klasifikasi Dua Arah dengan Interkasi

Sumber

Jumlah

Derajat

Rataan

f

Variasi

Kuadrat

Kebebasan

Kuadrat

Hitung

Pengaruh


Utama

A (baris)

Interaksi

JK(AB)

JKA I 1

f1 

S12 S2

S 22 

JKB J 1

f2 

S 22 S2

J-1

JKB

B (kolom)

S 12 

I-1

JKA

(I-1)(J-1)

AB

S 32 

JK ( AB) ( I  1)( J  1)

f3 

S 32 S2

S2 

Sisa

JKG

IJ(K-1)

Jumlah

JKT

IJK-1

JKG IJ ( K  1)

Jumlah kuadrat diperoleh dengan membentuk tabel jumlah kuadrat berikut: Tabel 2.8

A

1

B 1

2 … J

y11. y12 . … y1 j .

2

 I

y 21. y 22 . … y 2 j .   

Jumlah

y1 .. y 2 .. 


y I 1 . y I 1 . … y IJ y1 ..

Jumlah

y.1. y.2. … y. J .

y...


BAB 2 LANDASAN TEORI

Recommend Documents