BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Nilai Matematika
Nilai matematika dalam penelitian ini adalah hasil belajar siswa yang telah diberi nilai atau bobot. Penilaian hasil belajar merupakan kegiatan atau cara yang ditujukan untuk mengetahui tercapainya atau tidaknya tujuan pembelajaran dan juga proses pembelajaran yang telah dilakukan (Tiur Asi, 2002. Hal:1).
Ada beberapa jenis
penilaian yang dilakukan oleh Guru untuk melihat hasil belajar siswa diantaranya adalah Penilaian formatif, penilaian sumatif, penilaian diagnostik, penilaian selektif, dan penilaian penempatan.
Penilaian formatif adalah penilaian yang dilaksanakan pada akhir program belajar-mengajar untuk melihat tingkat keberhasilan proses belajar mengajar itu sendiri. Penilaian sumatif adalah penilaian yang dilaksanakan pada akhir unit program, yaitu akhir catur wulan, akhir semester, dan akhir tahun. Tujuannya adalah untuk melihat hasil yang dicapai oleh para siswa, yakni seberapa jauh tujuan-tujuan kurikuler dikuasai oleh para siswa. (Nana Sudjana,1989.hal:5).
2.2 Sikap
Menurut D.G Myers, sikap adalah suatu reaksi evaluatif suka atau tidak suka terhadap sesuatu atau seseorang, yang ditujukan dengan keyakinan, perasaan ataupun tingkah laku seseorang. Ada tiga komponen sikap yaitu Kognisi, afeksi dan konasi. Konisi berkenaan dengan pengetahuan seseorang tentang objek atau stimulus yang dihadapinya, Afeksi berkenaan dengan perasaan dalam menanggapi objek tersebut,
Universitas Sumatera Utara
sedangkan konasi berkenaan dengan kecenderungan berbuat terhadap objek tersebut. Oleh sebab itu, sikap selalu bermakna bila dihadapkan pada objek tertentu, misalnya sikap seseorang terhadap mata pelajaran (Nana Sudjana, 1989).
Dalam Sikap selalu terdapat hubungan subjek-objek. Tidak ada sikap yang tanpa objek. Objek sikap dapat berupa benda, orang, kelompok orang, nilai-nilai sosial, pandangan hidup dan lain sebagainya. Sikap bukan bakat atau bawaan sejak lahir, melainkan dipelajari dan dibentuk melalui pengalaman-pengalaman.
Sikap dapat diukur yaitu dengan skala sikap. Skala sikap dinyatakan dalam bentuk pernyataan untuk dinilai oleh responden, apakah pernyataan itu didukung atau ditolaknya, melalui rentangan nilai tertentu. Oleh sebab itu pernyataan yang diajukan dibagi atas dua kategori yaitu pernyataan positif dan pernyataan negatif. Skala sikap yang digunakan adalah skala Likert.
2.3 Kemampuan Numerik
Kemampuan numerik yaitu kemampuan khusus dalam menghitung. Kemampuan numerik merupakan kemampuan memahami hubungan angka dan memecahkan masalah yang berhubungan dengan konsep-konsep bilangan. Tes kemampuan numerik berfungsi untuk menilai kemampuan siswa untuk menggunakan angka-angka dengan cara yang logis dan rasional (Dwi Sunar Prasetyono,2010). Tes kemampuan numerik ini dirancang untuk mengukur kekuatan logika dan kemampuan menangani masalah secara terstruktur dan analitis.
2.4 Variabel Dummy
Variabel Dummy disebut juga variabel indikator, biner, kategorik, kualitatif, boneka atau variabel dikotomi. Dalam analisis regresi seringkali dijumpai variabel dalam persamaan yang sifatnya kualitatif. Untuk itu harus diubah kebentuk lain yaitu dengan mengkuantifikasi (bentuk angka) dari data kualitatif (tidak berbentuk angka) dengan
Universitas Sumatera Utara
memberikan nilai 0 dan 1 untuk setiap kategori. Kedua nilai yang diberikan tidak menunjukkan bilangan ( Numerik ) tetapi sebagai identifikasi kelas atau kategorinya.
Adanya variabel dummy pada model regresi maka model regresi dapat digunakan sebagai fungsi yang lain yaitu untuk membandingkan dua regresi.
2.5 Uji Validitas
Uji validitas digunakan untuk mengukur valid atau tidak validnya suatu kuesioner. Suatu kuesioner dikatakan valid jika pertanyaan kueioner mampu mengungkapkan sesuatu yang akan diukur oleh kuesioner tersebut ( Imam Ghazali,2005).
Dalam uji validitas dapat dihitung dengan bantuan SPSS ( Statistical product and service solutions) atau dapat dihitung dengan teknik korelasi Product Moment yaitu dengan rumus sebagai berikut.
(2.1) Dengan : Koefisien Korelasi Jumlah Responden Skor Pertanyaan skor total Jika nilai hitung lebih besar dari tabel maka kuesioner dinyatakan valid.
2.6 Uji Reabilitas
Reabilitas (kepercayaan) menunjuk pada pengertian apakah sebuah instrumen dapat mengukur sesuatu yang diukur secara konsisten dari waktu ke waktu.
Universitas Sumatera Utara
Uji reabilitas dapat dilakukan dengan mengggunakan koefisien Alpha Cronbach. Adapun rumus dari Alpha Cronbach adalah : (2.2) Dengan : r
: Koefisien reabilitas yang dicari
k
: Jumlah Butir Pertanyaan (soal) : Varians butir-butir pertanyaan (soal) ke-i : Varians skor tes
Untuk mencari varians butir digunakan rumus sebagai berikut : (2.3)
Dengan : : jumlah skor jawaban subjek untuk pertanyaan ke –n N
: Jumlah soal
Dengan bantuan SPSS perhitungan uji reabilitas dapat dilihat dari Cronbach’s Alpha if item deleted, dan jika nilai Cronbach’s Alpha >0,60 maka tiap butir soal dinyatakan reliabel.
2.7 Analisis Regresi
Hubungan antara variabel terikat Y dengan Variabel bebas X biasanya dilukiskan dalam sebuah garis, yang disebut dengan garis regresi. Garis regresi ada yang berbentuk linear (lurus) dan juga berbentuk Nonlinear( Tidak lurus).
Analisis Regresi Berkenaan dengan studi ketergantungan satu variabel tak bebas pada satu atau lebih variabel bebas ( explanatory variable), dengan maksud manaksir atau meramalkan nilai rata-rata variabel tak bebas.
Universitas Sumatera Utara
Regresi pertama kali diperkenalkan pada tahun 1877 oleh Sir Francis Galton, pada penelitiannya terhadap manusia. Penelitian tersebut membandingkan antara tinggi anak laki-laki dan tinggi badan orang tuanya. Istilah regresi pada mulanya bertujuan untuk membuat perkiraan nilai suatu variabel (tinggi badan anak) terhadap suatu variabel yang lain (tinggi orangtua). Pada perkembangan selanjutnya, analisa regresi digunakan sebagai alat untuk membuat perkiraan nilai suatu variabel dengan menggunakan beberapa variabel lain yang berhubungan dengan variabel tersebut (Algifari,2000).
Secara umum, model regresi sederhana dapat dituliskan dalam bentuk : (2.4) Model regresi sederhana (2.4) untuk populasi di atas dapat ditaksir berdasarkan sampel acak yang berukuran n dengan model regresi untuk sampel yaitu: (2.5) Dengan : Variabel Tak bebas Variabel bebas (explanatory variable ) Nilai intercept koefisien Regresi penduga parameter sisaan
2.7.1
Analisis Regresi Berganda
Dalam analisis regresi berganda terdapat satu variabel tak bebas dan dua atau lebih variabel bebas. Secara umum, persamaan regresi berganda dapat dibuat dalam bentuk berikut: (untuk populasi) (untuk sampel)
(2.6) (2.7)
Universitas Sumatera Utara
2.7.2
Metode Matriks
2.7.2.1 Konsep Dasar dan Definisi Matriks
(Pangeran Sianipar, 2008. Aljabar Linier) Matriks ialah susunan berbentuk empat persegi panjang dari elemen-elemen ( bilangan-bilangan ) yang terdiri dari beberapa baris dan kolom dibatasi dengan tanda kurung, seperti bentuk :
Atau disingkat dengan :
Disebut matriks tingkat
, karena terdiri dari
disebut unsur (elemen) dari matriks, sedangkan baris dan kolom. Jadi elemen bilangan
baris dan dan
kolom. Setiap
berturut-turut menyatakan
terdapat pada baris ke- dan kolom ke- . Pasangan
disebut (ukuran atau bentuk) dari matriks .
2.7.2.2 Transpos Suatu Matriks
Jika baris-baris dan kolom-kolom dari suatu matriks
dipertukarkan ( baris
pertama menjadi kolom pertama dan seterusnya ), maka diperoleh suatu matriks yang disebut transpos matriks. Transpos suatu matriks A, dilambangkan dengan
, ialah matriks yang diperoleh
dari A dengan mempertukarkan baris dengan lajurnya. Jadi bila
Universitas Sumatera Utara
A=
maka
=
2.7.2.3 Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Dua matriks yang berukuran sama dapat dijumlahkan maupun dikurangkan dengan menambahkan ataupun mengurangkan unsur yang sesuai. sebagai contoh bila A=
dan B=
Maka
Sedangakan
2.7.2.4 Perkalian Matriks
Perkalian dua matriks hanya dapat dikerjakan bila keduanya memenuhi sifat tertentu dan perkalian itu dikerjakan dengan cara yang tertentu pula. Dua matriks bujur sangkar yang berukuran sama selalu dapat diperkalikan. Sedangkan perkalian AB hanya memenuhi arti bila banyaknya lajur A sama dengan banyaknya baris B. Jadi bila A dinyatakan dengan aij dan unsur B dinyatakan dengan bjk maka unsur C=AB adalah
Perhatikan bahwa pada umumnya AB≠BA Bila A=
dan B=
Maka AB =
Universitas Sumatera Utara
Dalam perkalian ini, BA tidak dapat dilakukan (tidak terdefenisi) . akan tetapi bila A dan B setangkup dan perkalian AB terdefenisi maka AB=BA. Perkalian suatu matriks dengan matriks satuan akan menghasilkan matriks itu sendiri.
2.7.2.5 Invers Suatu Matriks
Misalkan A suatu matriks bujur sangkar p×p. Suatu matriks B ukuran p×p disebut inversi (balikan) dari A bila dipenuhi untuk inversi
adalah
, jadi
. Lambang yang biasa digunakan .
Tidak mudah menghitung inversi suatu matriks kecuali bila ukurannya kecil seperti 2×2, atau bila bentuknya amat sederhana. Untuk matriks dengan ukuran yang lebih besar dan bentuknya tidak sederhana biasanya perhitungan inversnya dikerjakan dengan komputer.
2.7.2.6 Determinan Matriks
Determinan adalah suatu skalar (angka) yang diperoleh dari suatu matriks bujur sangkar selalui operasi khusus. Disebut operasi khusus karena dalam proses penurunan determinan dilakukan perkalian-perkalian. Determinan dinotasikan dengan tanda | |. Salah satu cara dalam perhitungan determinan, adalah dengan menggunakan metode Pivot.
Bila A=
Maka
Dengan
banyakny kolom
Universitas Sumatera Utara
2.7.2.7 Minor dan Kofaktor suatu Determinan
Diketahui suatu determinan dari suatu matriks A tingkat n. Jika elemen-elemen dari baris ke- dan kolom ke- semuanya dikeluarkan akan terdapat suatu determinan dari matriks tingkat dengan elemen
, yang disebut minor pertama dari matriks A yang ditulis
. Harga dari minor ditulis dengan
, disingkat dengan
dari
, jadi :
Contoh.
Bila A=
Minor dari A adalah
dan seterusnya sampai
Sehingga kofaktornya adalah
dan seterusnya sampai
Universitas Sumatera Utara
2.7.3
Penaksiran Parameter
Untuk mendapatkan taksiran parameter dari sampel dapat dilakukan dengan taksiran OLS (ordinary least square), yaitu dengan cara meminimumkan nilai sisaan ( ). Persamaan (2.6) ditulis kembali yaitu (2.8) (2.9)
Untuk mencari
dilakukan dengan meminimumkan jumlah kuadrat
galat
Dengan menurunkan S secara parsial terhadap
dan samakan dengan
nol maka:
(2.10)
Setelah disusun kembali dan mengganti semua parameter dengan penaksirnya, sistem persamaan ini dapat ditulis dalam persamaan normal yaitu:
Universitas Sumatera Utara
(2.11)
Jika persamaan normal dibentuk dalam bentuk matriks maka persamaan (2.11) menjadi : (2.12) Dengan menyelesaikan persamaan (2.12) diperoleh :
Dalam bentuk matriks dapat dituliskan
Dalam persamaan regresi linear jika terdapat selisih Y dan
maka selisih
tersebut disebut dengan kesalahan penggangu atau kekeliruan yaitu kesalahan yang disebabkan oleh faktor-faktor lain selain Xi yang mempengaruhi Y akan tetapi belum
Universitas Sumatera Utara
diperhitungkan ( tidak dimasukkan dalam persamaan) ukuran tersebut dapat dihitung , yang dapat ditentukan dengan rumus :
oleh kekeliruan baku taksiran
(2.13 )
Dengan : nilai data hasil pengamatan nilai hasil regresi banyak sampel banyak variabel bebas
2.7.4
Regresi dengan Variabel Dummy
Dalam analisis regresi, seringkali variabel penjelas tidak hanya dipengaruhi oleh variabel yang bersifat kuantitaf, tetapi bisa juga dipengaruhi oleh variabel yang bersifat kualitatif. Variabel yang bersifat seperti : jenis kelamin, suku, agama, kejadian politik dan lain-lain tersebut perlu dibuat kuantitatif dengan membentuk variabel baru yang bernilai 0 dan 1. Dimana 0 menunjukkan ketidakhadiran ciri tersebut, sedangkan 1 menunjukkan adanya ciri tersebut. sedangkan untuk pemberian 0 dan 1 untuk setiap kategori diberikan sembarang (arbitrary).
Variabel dummy dapat digunakan dalam model regresi semudah variabel kuantitatif. Dalam sebuah model regresi, bisa saja semua variabel prediktor merupakan variabel dummy , atau gabungan dari variabel kuantitatif dan dummy, sebagaimana dituliskan dalam persamaan regresi berikut:
Dengan mengasumsikan bahwa variabel respon untuk masing-masing
, maka diperoleh nilai ekspektasi dari sebagai berikut :
untuk D=0 dan
Universitas Sumatera Utara
untuk D=1
Dengan kata lain bahwa fungsi kemiringan yang sama (
dalam hubungannya dengan
mempunyai
) tetapi intersep berbeda untuk tiap-tiap
Dalam regresi dengan variabel dummy, jika suatu variabel kualitatif mempunyai m kategori, maka digunakan hanya ( m-1 ) variabel dummy. Jika tidak dipenuhi, maka akan terjadi multikolinearitas (perfect multicolinearity).
2.7.5
Membandingkan Dua Regresi
Seringkali model regresi dengan variabel dummy mengasumsikan bahwa variabel kualitatif hanya mempengaruhi intersep tetapi tidak mempengaruhi koefisien kemiringan dari berbagai regresi subkelompok. Tetapi asumsi kekonstanan keofisien kemiringan antar kelompok dapat diuji dengan variabel dummy. Sebagai contoh sebuah sekolah ingin melihat ada atau tidaknya
perbandingan prestasi belajar
Matematika murid pria dengan murid wanita. Tentunya prestasi belajar dipengaruhi oleh banyak hal, seperti Inteligensi murid, motivasi belajar, guru, dan lain-lain.
Misalkan regresi dilakukan pada dua data terpisah berdasarkan kelompok dummynya sebagai berikut : Murid Pria :
(2.14)
Murid Wanita:
(2.15)
Kemungkinan –kemungkinan yang akan didapat dari perbandingan kedua model regresi tersebut adalah : Kasus 1 : Kasus 2 : Kasus 3 : Kasus 4 :
Universitas Sumatera Utara
Semua kemungkinan setiap kasus di atas dapat diuji jika mengelompokan semua observasi n dan N bersama-sama dan menaksir regresi berikut. (2.16)
Dengan variabel tambahan
, dengan mengamsusikan
Sehingga, rata-
rata Nilai matematika (Y) pada : Murid Pria. D=1
(2.17)
Murid Wanita. D=0
(2.18)
Keuntungan dari penaksiran (2.16) dibandingkan dengan penaksiran kedua regresi (2.14) dan (2.15) secara individual adalah bahwa model regresi (2.16) dapat digunakan untuk menguji berbagai hipotesis. Jadi, jika koefisien
tidak signifikan
secara statistik , maka hipotesis nol diterima bahwa kedua regresi (2.17) dan (2.18) mempunyai intersep yang sama. dan jika
tidak signifikan secara statistik maka
hipotesis nol diterima bahwa kedua regresi (2.17) dan (2.18) mempunyai slope yang sama. pengujian hipotesis bahwa
secara simultan dapat dilakukan
dengan uji analisis ragam (uji F).
2.8 Penyimpangan Asumsi Model Klasik
2.8.1
Multikolinearitas
Istilah multikolinearitas mula-mula ditemukan oleh Ragnar Frisch. Multikolinearitas adalah adanya hubungan yang linear yang sempurna atau pasti diantara beberapa atau semuan variabel yang menjelaskan dari model regresi. Apabila ada kolinearitas sempurna diantara X, koefisien regresinya tak tertentu dan kesalahan standarnya tak terhingga. Jika kolinearitasnya tinggi tapi tidak sempurna, penaksiran koefisien regresi adalah mungkin, tetapi kesalahan standarnya cenderung besar. Sehingga nilai populasi dari koefisien regresi tidak dapat ditaksir dengan tepat.
Ada beberapa indikator untuk mendeteksi multikolinearitas
Universitas Sumatera Utara
1. Ketika R2 sangat tinggi tetapi tak satupun koefisien regresi signifikan secara statistik berdasarkan uji-t. 2. model yang hanya memiliki 2 variabel bebas dapat dilihat dari korelasi sederhananya.bila korelasinya tinggi
(r>0,7) maka antara variabel tersebut
terjadi kolinearitas. Adanya multikolinearitas dapat dilihat dari tolerance value atau nilai Variance Inflation Factor (VIF), yaitu dengan rumus :
Dengan koefisien determinasi ( variabel-variabel
) berganda ketika
diregresikan dengan dengan
lainnya. Dan batas VIF adalah 5.
2.8.2 Heteroskedastisitas
Gangguan
yang muncul dalam fungsi regresi populasi adalah homoskedastik, yaitu
semua gangguan
mempunyai varians yang sama, namun jika variansnya tidak sama
maka terjadi heterokedastisitas.
Adanya heterokedastisitas dapat dideteksi dengan uji heterokedastisitas yaitu salah satunya adalah uji Park. Tujuannya adalah untuk menguji apakah dalam model regresi terdapat ketidaksamaan variansi dari residual satu pengamatan kepengatan lainnya. Model yang baik adalah tidak terjadi heteroskedastisitas. Rumus uji park untuk regresi sederhana adalah (2.19)
Dengan
adalah unsur gangguan yang stokastik. Jika
signifikan secara statistik
maka terjadi heterokedastisitas begitu juga sebaliknya, bila
tidak sinifikan secara
statistik maka tidak terjadi heteroskedastisitas. Dengan menggunakan SPSS 17 persamaan (2.17) dan signifikansi koefisien secara parsial dapat dicari.
Universitas Sumatera Utara
2.8.3
Uji Normalitas
Tujuan uji normalitas adalah untuk mengetahui apakah distribusi sebuah data mengikuti atau mendekati distribusi normal. Distribusi normal merupakan sebaran datanya berbentuk lonceng. Data yang baik adalah data yang mempunyai pola seperti distribusi normal yaitu tidak menceng ke kiri atau menceng ke kanan.
Untuk menguji normalitas data dapat digunakan dengan uji KolmogorvSmirnov dengan melihat data residualnya. Uji kolmogorv-smirnov dihitung dengan bantuan SPSS 17.
2.9
Uji Koefisien Regresi secara Parsial
Untuk menguji koefisien regresi secara parsial dilakukan dengan uji-t. Uji-t digunakan untuk melihat signifikansi (tingkat penting) dari setiap variabel bebas apakah berpengaruh secara parsial terhadap variabel terikat secara statistik. Secara umum pengujian hipotesisnya adalah ( koefisien (koefisien
tidak signifikan ) signifikan )
Untuk menghitung thitung digunakan rumus:
Dengan variansi dari variabel bebas
dengan koefisien
koefisien Setelah
diperoleh selanjutnya dibandingkan dengan
, jika
maka maka
ditolak.
dengan
diterima begitu juga sebaliknya, jika dihitung dengan bantuan SPSS 17.
Universitas Sumatera Utara
2.10
Uji Koefisien Regresi secara Simultan
Pengujian keterandalan model Regresi dengan menggunakan ANOVA dilakukan dengan menguji koefisien regresi secara simultan atau keseluruhan. Artinya apakah model yang didapat cocok digunakan atau tidak. Langkah-langkah pengujiannya adalah sebagai berikut : 1. Menentukan formulasi hipotesis
2. Menentukan taraf nyata
dari nilai
dengan derajat kebebasan
3. Menentukan kriteria pengujian diterima bila ditolak bila 4. Menentukan nilai statistik
dengan rumus
Dengan : Jumlah kuadrat regresi Jumlah kuadrat residu (sisa)
Dengan :
5. Membuat Kesimpulan apakah
ditolak atau diterima
Tabel 2.1 Daftar ANOVA
Universitas Sumatera Utara
Sumber Variasi Total Koefisien (b0) Total dikoresi Regresi (reg) Sisaan (res )
Keterandalan
Dk N 1 n-1 k n-k-1
model
apakah
ditolak
atau
diterima
adalah
membandingkan nilai tabel ANOVA ( Fhitung) dengan Ftabel . Jika model regresi tidak bisa diandalkan, dan jika
dengan
diterima maka
ditolak maka berarti Model regresi
yang didapat bisa diandalkan. Dengan bantuan SPSS tabel ANOVA dapat dicari.
2.11
Koefisien Determinasi
Koefisien determinasi (Goodness of it ) dinotasikan dengan determinasi
ini mencerminkan seberapa besar variasi dari variabel tak bebas
diterangkan oleh variabel bebas memberikan kontribusi terhadap tak bebas
. Nilai koefisien
, atau dengan kata lain seberapa besar . jika koefiien
, berarti variasi dari variabel
tidak dapat diterangkan oleh variabel bebas
. Dan bila
, maka
semua titik berada tepat pada garis regresi. Dengan demikian baik atau buruknya suatu persamaan regresi ditentukan oleh
nya.
ditentukan oleh rumus :
Dengan : jumlah kuadrat dari
Universitas Sumatera Utara
