BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Pendugaan Area Kecil

Secara umum metode pendugaan area kecil dibagi menjadi dua bagian yaitu metode penduga langsung (direct estimation) dan metode penduga tak langsung (indirect estimation). Metode-metode pendugaan selama ini yang sering digunakan adalah metode pendugaan langsung.

Pendugaan langsung merupakan pendugaan yang didasarkan pada desain penarikan yang menjadi perhatian (jumlah pemakai Jamkesmas). Dalam kasus pendugaan area kecil, penduga langsung bagi parameter pada area kecil yang menjadi perhatian relatif akan menghasilkan galat baku yang besar karena masalah jumlah yang memakai kartu Jamkesmas.

Suatu pendekatan tidak langsung mampu meningkatkan efektifitas ukuran jumlah pemakai Jamkesmas. Pada pendugaan tak langsung terdapat dua model penghubung yang digunakan untuk menghubungkan area kecil dengan area kecil lainnya yaitu model penghubung implisit dan eksplisit.

Universitas Sumatera Utara

Penduga tak langsung dengan menggunakan model penghubung implisit adalah model yang didasarkan pada desain penarikan jumlah yang menjadi perhatian (design based). Penduga yang dihasilkan mempunyai ragam desain yang relatif kecil dibandingkan dengan ragam desain dari penduga langsung. Model penghubung implisit mempunyai tiga metode yaitu, metode sintetik, komposit, dan James-Stein. Metode sintetik adalah merupakan suatu metode dari penduga langsung untuk area besar, yang memiliki galat baku kecil digunakan untuk memperoleh penduga tak langsung untuk area kecil tertentu. Metode ini mengasumsikan bahwa area kecil tersebut memiliki karateristik yang sama dengan area besar. Metode komposit merupakan rata-rata terboboti dari penduga langsung dan penduga tak langsung. Metode James-Stein adalah penduga komposit yang menggunakan pembobot umum dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat.

Model penghubung eksplisit adalah model yang didasarkan pada pengaruh acak area kecil untuk mendapatkan keragaman antar area dan informasi peubah penyerta, yang selanjutnya dikenal dengan model area kecil. Menurut Rao (2005) peubah penyerta yang baik adalah peubah yang berhubungan erat dengan peubah yang menjadi perhatian dan berasal dari data sensus atau data administratif. Suatu peubah respons yang menyatakan “sukses” atau “gagal” disebut sebagai peubah biner. Pada pendugaan area kecil untuk kasus biner, peubah yang menjadi perhatian berupa proporsi. Penduga langsung bagi proporsi merupakan penduga kemungkinan maksimum yaitu 𝑝̂ 𝑖 =

𝑦𝑖 𝑛𝑖

, dengan mengasumsikan peubah pengamatan

diasumsikan menyebar binomial, 𝑦𝑖 𝑖𝑖𝑑 ~ Binomial ( 𝑛𝑖 , 𝑝𝑖 ). Penduga langsung ini mempunyai ragam yang besar karena hanya berdasarkan jumlah objek survei yang terdapat pada area tersebut. Suatu pendugaan lain dikembangkan untuk mengatasi permasalahan ini, yaitu pendugaan tak langsung. Pendugaan tak langsung bagi proporsi diperoleh dari model Beta-Binomial. Model ini mempunyai dua tahap, yaitu pada tahap pertama diasumsikan bahwa peubah yang menjadi perhatian

𝑦𝑖 𝑖𝑖𝑑 ~

Binomial (𝑛𝑖 ,𝑝𝑖 ) = 0,…,𝑛𝑖 , 0 < 𝑝𝑖 < 1, 𝑖 = 1, … , 𝑚 . Sedangkan pada tahap kedua diasumsikan bahwa 𝑝𝑖 𝑖𝑖𝑑 ~ beta( 𝛼, 𝛽 ) sebagai prior, dengan fungsi kepadatan peluangnya adalah:


ƒ(𝑝𝑖 ⃒ 𝛼, 𝛽) =

𝛤(𝛼+𝛽) 𝛤(∝)𝛤(𝛽)

𝑝𝑖 𝛼−1 (1-𝑝𝑖 )𝛽−1 ;𝛼 > 0, 𝛽 > 0

(Robert V. Hogg)

(2.1)

Berdasarkan teorema Bayes maka penduga Bayes dan ragam posterior bagi 𝑝𝑖 adalah:

𝑝̂ 𝑖𝐵 (𝛼, 𝛽 ) = 𝐸 (𝑝𝑖 𝑦𝑖 , 𝛼, 𝛽 ) =

𝑦𝑖 + 𝛼 𝑛𝑖 + 𝛼 + 𝛽

(2.2)

dan

Var(𝑝𝑖 ⃒ 𝑦𝑖, 𝛼, 𝛽) = 𝑔1𝑖 (𝛼, 𝛽, 𝑦𝑖 ) =

(𝑦𝑖 + 𝛼 )(𝑛𝑖 − 𝑦𝑖 + 𝛽 ) (𝑛𝑖 + 𝛼 + 𝛽 + 1)(𝑛𝑖 + 𝛼 + 𝛽)2

(2.3)

Bila penduga Bayes ini akan digunakan maka harus diketahui terlebih dahulu nilai parameter sebaran priornya. Namun seringkali informasi mengenai parameter prior belum diketahui. Pendekatan lain yang dapat digunakan adalah Bayes empirik, yaitu pendekatan yang dilakukan untuk mendapatkan

informasi parameter prior

berdasarkan datanya. Informasi parameter prior diperoleh dengan memaksimumkan fungsi sebaran marjinal 𝑦𝑖 ⎹ 𝛼, 𝛽~𝑖𝑛𝑑 Beta-Binomial, namun bentuk tertutup untuk 𝛼̂𝑀𝐿 dan 𝛽̂𝑀𝐿 tidak ada (McCulloch & Searle, 2001). Pada tulisan ini bertujuan untuk menilai kinerja penduga langsung dan penduga Bayes empirik pada pendugaan area kecil untuk kasus biner.


2.2 Metode Bayes Empirik

Metode Bayes yang ditemukan oleh Thomas Bayes dan kemudian dikembangkan oleh Richard Price (1763) dua tahun setelah wafatnya Bayes, kemudian Laplace pada tahun 1774 dan 1781 yang memberikan analisis secara rinci, merupakan metode yang lebih baik untuk statistik Bayes sekarang (Gill, 2002).

Model statistik Bayes merupakan perpaduan antara sebaran prior dan posterior, yaitu jika dimisalkan dengan sebaran percontohan 𝑋⃒ 𝜃~𝑓(𝑥⃒ 𝜃) dan sebaran prior 𝜃~𝜋(𝜃 ) diketahui maka sebaran posterior dari θ adalah:

𝜋(𝜃⃒ 𝑥

=

)

𝑓(𝑥,𝜃) 𝑚(𝑥)

=

𝑓(𝑥⎹ 𝜃)𝜋(𝜃) 𝑚(𝑥)

dengan

𝑚 (𝑥 ) = ∫ 𝑓(𝑥⃒ 𝜃)𝜋(𝜃)𝑑𝜃

(2.4)

Suatu sebaran prior dinamakan konjugate bila menghasilkan sebaran posterior yang sama dengan dirinya. Sebaran yang masih dalam keluarga eksponensial mempunyai prior konjugate. Seperti sebaran Poisson memiliki prior konjugate Gamma dan sebaran Binomial memiliki prior konjugate Beta.


Metode Bayes empirik merupakan suatu metode yang menggunakan data pengamatan untuk menduga parameter prior. Pertama kali model ini diperkenalkan oleh Fay-Herriot (1970), untuk menduga rata-rata pendapatan area kecil di Amerika Serikat. Metode ini sesuai untuk menangani data-data biner dan cacahan pada pendugaan area kecil. Pendekatan Bayes Empirik dalam pendugaan area kecil mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:

a) Memperoleh fungsi kepekatan posterior dari parameter area kecil yang teramati. b) Pendugaan parameter model dari fungsi kepekatan marginal. c) Menggunakan pendugaan fungsi kepekatan posterior untuk membuat inferensi parameter area kecil.

2.3 Model Beta Binomial

Model ini merupakan suatu model yang berawal dari model Bernoulli dengan model peluang untuk data biner yang dinyatakan dengan 𝑦𝑖 𝑖𝑖𝑑 ~ Binomial (𝑛𝑖 ,𝑝𝑖 ) = 0,…,𝑛𝑖 , 0< 𝑝𝑖 < 1, 𝑖 = 1, … , 𝑚

(2.5)

dengan model dasar

𝑖𝑖𝑑 ( ) 𝑦𝑖 ⃒ 𝑝𝑖 𝑖𝑖𝑑 ~ 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖 𝑝𝑖 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦𝑖 ⎹ 𝑝𝑖 ~ 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 (𝑛𝑖 , 𝑝𝑖 )

(2.6)

( ) 𝑝𝑖 𝑖𝑖𝑑 ~ 𝐵𝑒𝑡𝑎 𝛼, 𝛽

(2.7)

dan 𝛼>0 𝛽>0


dengan 𝐵𝑒𝑡𝑎 (𝛼, 𝛽 ) menyatakan sebaran beta dengan parameter 𝛼 dan 𝛽 serta fungsi kepekatan untuk 𝑝𝑖 adalah:

ƒ(𝑝𝑖 ⃒ 𝛼, 𝛽) =

𝛤(𝛼+𝛽) 𝛤(∝)𝛤(𝛽)

𝑝𝑖 𝛼−1 (1-𝑝𝑖 )𝛽−1 ;𝛼 > 0, 𝛽 > 0 (Robert V. Hogg)

(2.8)

dan, 𝛤 = fungsi gama untuk menyederhanakan 𝑦𝑖 = (𝑦𝑖1 , … , 𝑦𝑖𝑛𝑖 )𝑇 menjadi total contoh 𝑦𝑖 = ∑𝑗 𝑦𝑖𝑗 , 𝑦𝑖 merupakan statistik cukup minimal untuk model tahap pertama. Diketahui bahwa 𝑝𝑖 𝑖𝑖𝑑 ~ 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 (𝑛𝑖 , 𝑝𝑖 ) yang mempunyai fungsi kepekatan sebagai berikut: 𝑛𝑖 𝑦 𝑓(𝑦𝑖 ⃒ 𝑝𝑖 ) = (𝑦 ) 𝑝𝑖 𝑖 (1 − 𝑝𝑖 )𝑛𝑖−𝑦𝑖 𝑖

(2.9)

Berdasarkan fungsi kepekatan 𝑝𝑖 dan fungsi kepekatan 𝑦𝑖 maka:

𝑝𝑖 ⃒ 𝑦𝑖 , 𝛼, 𝛽~𝑖𝑛𝑑 (𝑦𝑖 + 𝛼, 𝑛𝑖 − 𝑦𝑖 + 𝛽)

(2.10)

Oleh karena itu, penduga Bayes bagi 𝑝𝑖 adalah:

𝑝̂ 𝑖𝐵 (𝛼, 𝛽 ) = 𝐸 (𝑝𝑖 ⎹ 𝑦𝑖 , 𝛼, 𝛽) =

𝑦𝑖 + 𝛼 𝑛𝑖 + 𝛼 + 𝛽

(2.11)

dan ragam posterior bagi 𝑝𝑖 adalah:

𝑉 (𝑝𝑖 ⃒ 𝑦𝑖 , 𝛼, 𝛽) = (𝑛

(𝑦𝑖 +𝛼)(𝑛𝑖 −𝑦𝑖 +𝛽) 2 𝑖 +𝛼+𝛽+1)(𝑛𝑖 +𝛼+𝛽)

(2.12)


Sebaran penghubung 𝑓(𝑝𝑖 , 𝛼, 𝛽 ) dinamakan prior konjugate pada sebaran posterior, 𝑓(𝑝𝑖 ⎹ 𝑦𝑖 , 𝛼, 𝛽) mempunyai bentuk yang sama dengan sebaran priornya. Dari sebaran penghubung tersebut, maka digunakan model Beta-Binomial dengan sebaran peluang marginal: 𝑛𝑖 𝛤(𝛼+𝑦𝑖)𝛤(𝛽+𝑛𝑖−𝑦𝑖) 𝑓 (𝑦𝑖 ⃒ 𝑛𝑖 , 𝛼, 𝛽) = (𝑦 ) ) 𝛤(𝛼,𝛽,𝑛𝑖

𝑖

𝛤(𝛼+𝛽) 𝛤(𝛼)𝛤(𝛽)

𝑛𝑖 𝐵(𝛼+𝑦𝑖 ,𝛽+𝑛𝑖−𝑦𝑖) = (𝑦 ) 𝐵(𝛼,𝛽) 𝑖

(2.13)

Untuk menduga parameter 𝛼 dan 𝛽 digunakan dengan metode momen Kleinman: ̂ 𝛼 ̂ ̂ +𝛽 𝛼

= 𝑝̂

(2.14)

dan 1 ̂ +1 ̂ +𝛽 𝛼

=

𝑛𝑇 𝑠𝑝2 −𝑝̂(1−𝑝̂)(𝑚−1) 𝑝̂(1−𝑝̂)[𝑛𝑇 −∑𝑖 (𝑛2𝑖 /𝑛𝑇 )−(𝑚−1)]

(2.15)

𝑛

Dengan rataan berbobot 𝑝̂ = ∑𝑖 ( 𝑖 ) 𝑝̂ 𝑖 , ragam terboboti. 𝑛𝑇

𝑛

𝑠𝑝2 = ∑𝑖 ( 𝑖 ) (𝑝̂ 𝑖 − 𝑝̂ )2 𝑑𝑎𝑛 𝑛 𝑇 = ∑𝑖 𝑛𝑖 . 𝑛𝑇

(2.16)

Ekspresi untuk dugaan parameter 𝛼̂ dan 𝛽̂ dinyatakan dengan rumus berikut dan diperoleh:

𝛼̂ = 𝑝̂ [

1 − 𝑝̂ [𝑛 𝑇 − ∑𝑖 (𝑛𝑖2 /𝑛 𝑇 ) − (𝑚 − 1)] − 1] 𝑛 𝑇 𝑠𝑝2 − 𝑝̂ (1 − 𝑝̂ )(𝑚 − 1)

(2.17)


dan 2

𝑝̂(1−𝑝̂)[𝑛𝑇 −∑𝑖 (𝑛𝑖 /𝑛𝑇 )−(𝑚−1)] 1 𝛽̂ = 𝑝̂ [ − 1] [ − 1] 2 ̂(1−𝑝 ̂)(𝑚−1) ̂ 𝑛𝑇 𝑠𝑝 −𝑝

𝑝

(2.18)

di mana 𝛼̂ dan 𝛽̂ dugaan parameter sebaran Beta-Binomial Pensubstitusian parameter 𝛼̂ dan 𝛽̂ dari metode Kleinman ke penduga EB bagi 𝑝̂ 𝑖𝐸𝐵 diperoleh: 𝑝̂ 𝑖𝐸𝐵 = 𝑝̂ 𝑖𝐵 (𝛼̂, 𝛽̂ ) = 𝛾̂𝑖 𝑝̂𝑖 + (1 − 𝛾̂𝑖 )𝑝̂ dengan 𝛾̂𝑖 =

𝑛𝑖 ̂ ̂ +𝛽 𝑛𝑖 +𝛼

(2.19)

𝑑𝑎𝑛 𝑝̂ 𝑖𝐸𝐵 merupakan rataan berbobot dari penduga langsung 𝑝̂ 𝑖

dan penduga sintetik 𝑝̂ ( Rao, 2003).

2.4 Penduga Bayes Empirik Bagi Proporsi

Langkah awal pada pendugaan Bayes empirik dari model Beta-Binomial oleh Kleinman (Rao, 2003) adalah dengan membuat dugaan parameter prior dengan menyamakan rataan contoh terboboti. 𝑛

𝑝̂ = ∑𝑖 ( 𝑖 ) 𝑝̂ 𝑖 𝑛𝑇

(2.20)

Keterangan: 𝑝̂ = dugaan parameter prior 𝑛𝑖 = banyaknya individu pada subpopulasi ke-i 𝑛 𝑇 = jumlah seluruh individu 𝑝̂ 𝑖 = penduga proporsi


dan ragam contoh terboboti. 𝑛

𝑠𝑝2 = ∑𝑖 ( 𝑖 )(𝑝̂ 𝑖 − 𝑝̂ )2

(2.21)

𝑛𝑇

dengan nilai harapan masing-masing dan kemudian diselesaikan persamaan momen untuk 𝛼 dan 𝛽 , dengan 𝑛 𝑇 = ∑𝑖 𝑛𝑖 . Penduga momen 𝛼̂ dan 𝛽̂ , diberikan sebagai berikut: ̂ 𝛼 ̂ ̂ +𝛽 𝛼

= 𝑝̂

(2.22)

dan 1 ̂ +1 ̂ +𝛽 𝛼

=

𝑛𝑇 𝑠𝑝2 −𝑝̂(1−𝑝̂)(𝑚−1)

(2.23)

𝑝̂(1−𝑝̂)[𝑛𝑇 −∑𝑖 𝑛2𝑖 /𝑛𝑇 − (𝑚−1)]

Lalu substitusikan penduga momen 𝛼̂ dan 𝛽̂ ke dalam rumus:

𝑝̂ 𝑖𝐵 (𝛼, 𝛽) = 𝐸 (𝑝𝑖 ⃒ 𝑦𝑖 , 𝛼, 𝛽) =

𝑦𝑖 +𝛼 𝑛𝑖 +𝛼+𝛽

(2.24)

untuk memperoleh penduga Bayes empirik bagi 𝑝𝑖 yaitu: 𝑝̂ 𝑖𝐸𝐵 = 𝑝̂ 𝑖𝐵 (𝛼̂, 𝛽̂ ) = 𝛾̂𝑖 𝑝̂𝑖 + (1 − 𝛾̂𝑖 )𝑝̂ dengan 𝛾̂𝑖 =

𝑛𝑖 ̂ ̂ +𝛽 𝑛𝑖 +𝛼

, 𝑝̂ 𝑖 =

𝑦𝑖 𝑛𝑖

(2.25)

sebagai penduga langsung dari 𝑝𝑖 , 𝑦𝑖 dan 𝑛𝑖 masing -

masing menyatakan banyaknya pengamatan dan banyaknya suatu kasus, 𝑝̂ adalah penduga sintetik atau sebagai penduga tak langsung.


2.5 Prosedur Pendugaan Proporsi Dengan Metode Bayes Empirik

Prosedur yang digunakan dalam menduga proporsi ada dua cara yaitu berdasarkan penduga langsung dan penduga Bayes empirik dari model Beta-Binomial yang diuraikan sebagai berikut:

2.5.1 Penduga Langsung

5. Menentukan penduga proporsi 𝑝̂ 𝑖 =

𝑦𝑖

(2.26)

𝑛𝑖

Dengan 𝑦𝑖 menyatakan banyaknya pengamatan suatu kasus pada subpopulasi ke-i, 𝑛𝑖 menyatakan banyaknya individu pada subpopulasi ke-i. Subpopulasi ini dapat berupa kecamatan.

6. Menentukan dugaan kuadrat tengah galat (ktg) yaitu ktg(𝜃̂𝑖 )= 𝑛𝑖 𝑝̂ 𝑖 (1 − 𝑝̂ 𝑖 )

(2.27)

7. Menentukan galat baku 8. Proses hitungan dilakukan dengan Microsoft Office Excel.

2.5.2 Penduga Bayes Empirik Berdasarkan Model Beta-Binomial 6. Menentukan nilai dugaan parameter 𝛼̂ dan 𝛽̂ dari sebaran prior 𝑝𝑖 𝒊𝒊𝒅 ~ 𝐵𝑒𝑡𝑎(𝛼, 𝛽)

(2.28)

7. Menentukan penduga Bayes empirik 𝑝̂ 𝑖𝐸𝐵


8. Menentukan kuadrat tengah galat dengan menggunakan metode Jacknife yaitu: 𝐸𝐵 a) Anggap bahwa 𝑝̂ 𝑖𝐸𝐵 = 𝑘𝑖 (𝑝̂ 𝑖 , 𝛼̂, 𝛽̂), 𝑝̂ 𝑖,−𝑙 = 𝑘𝑖 (𝑝̂ 𝑖 , 𝛼̂−𝑙 , 𝛽̂−𝑙 ), lalu

𝑚

̂2𝑖 = 𝑀

𝑚−1 𝐸𝐵 ∑ = 1 (𝑝̂𝑖,−𝑙 – 𝑝̂𝑖𝐸𝐵 )2 𝑚

(2.29)

𝑙=1

b) Dengan mencari 𝛼̂−𝑙 dan 𝛽̂−𝑙 yang merupakan penduga momen yang diperoleh dari data ke -1 yang dihapus maka dihitung ̂1𝑖 = 𝑔1𝑖 (𝛼̂, 𝛽̂ , 𝑦𝑖 )− 𝑚−1 ∑𝑚 𝑀 ̂−𝑙, 𝛽̂−𝑙, 𝑦𝑖 ) − 𝑔1𝑖 (𝛼̂, 𝛽̂ , 𝑦𝑖 )] (2.30) 𝑙=1[𝑔1𝑖 (𝛼 𝑚

c) Penduga Jacknife bagi kuadrat tengah galat penduga Bayes empirik diberikan oleh ̂1𝑖 + 𝑀 ̂2𝑖 𝐾𝑡𝑔𝑗 (𝜃̂𝑖𝐸𝐵 ) = 𝑀

(2.31)

9. Menentukan galat baku. 10. Proses hitungan dilakukan dengan Microsoft Office Excel. Perbandingan kebaikan dari kedua penduga proporsi (penduga langsung dan Bayes empirik dari model Beta-Binomial dengan melihat nilai galat baku.


BAB 2 LANDASAN TEORI

Recommend Documents