BAB 2 LANDASAN TEORI

15

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Ruang Sampel dan Kejadian

2.1.1 Definisi Ruang Sampel Himpunan semua hasil semua hasil (outcome) yang mungkin muncul pada suatu percobaan disebut ruang sampel dan dinotasikan dengan S. Tiap – tiap hasil yang mungkin dalam ruang sampel disebut unsur atau anggota ruang sampel tersebut atau disebut juga dengan istilah titik sampel. Contoh: Pada percobaan melempar dua mata uang, diperoleh S = {AA, AG, GA, GG}, dengan AA adalah kejadian muncul angka pada lemparan pertama, dan muncul angka pada lemparan kedua; AG adalah kejadian muncul angka pada lemparan pertama, dan muncul gambar pada lemparan kedua; GA adalah kejadian muncul gambar pada lemparan pertama, dan muncul angka pada lemparan kedua; GG adalah kejadian muncul gambar pada lemparan pertama, dan muncul gambar pada lemparan kedua. Titik sampelnya adalah AA, AG, GA, dan GG.

2.1.2 Definisi Kejadian Kejadian atau peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel.

Contoh : Suatu percobaan yang dilakukan dengan melantunkan sebuah dadu, maka ruang sampelnya: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Misalkan A menyatakan suatu kejadian bahwa bilangan genap muncul, maka kejadian A = { 2, 4, 6}, sehingga A merupakan himpunan bagian ruang sampel S, dinotasikan sebagai A ⊂ S.

Universitas Sumatera Utara

16

2.2 Definisi Peluang Suatu Kejadian Teori peluang mempelajari tentang peluang terjadinya suatu kejadian atau peristiwa. Peluang dinyatakan dalam pecahan atau desimal antara 0 dan 1. bila peluang suatu kejadian bernilai 0, maka kejadian tersebut tidak akan terjadi. Sedangkan bila peluang suatu kejadian bernilai 1, maka kejadian tersebut pasti terjadi. Dalam teori peluang suatu kejadian adalah satu atau beberapa kemungkinan hasil dari suatu tindakan. Tujuan teori peluang adalah menggambarkan dan menaksir rata – rata sedemikian itu dalam bentuk peluang kejadian.

Untuk menentukan Peluang suatu kejadian A, semua bobot titik sampel dalam A dijumlahkan. Jumlah ini dinamakan ukuran A atau peluang A dan dinyatakan dengan P(A). jadi ukuran himpunan ∅ adalah 0 dan ukuran S adalah 1. Peluang didefinisikan dengan menggunakan tiga pendekatan yang berbeda. Ketiga definisi pendekatan tersebut adalah sebagai berikut.

a. Definisi Aksiomatik Pendekatan aksiomatik peluang berdasar pada tiga postulat sebagai berikut. Peluang P(A) kejadian A adalah bilangan non negatif yang ditetapkan pada kejadian ini yaitu P(A) ≥ 0. Peluang P(B) kejadian B pasti sama dengan 1, yaitu P(B) = 1. Dan bila kejadian – kejadian A dan B saling asing maka P(A+B) = P(A) + P(B)

b. Definisi Frekuensi Relatif Pendekatan frekuensi relatif berdasar pada definisi beikut. Peluang P(A) kejadian A adalah limit dari perbandingan n(A) dengan N, dimana n mendekati tak hingga , sehingga dapat ditulis sebagai berikut. 𝑛(𝐴) 𝑛 → 𝑁

𝑃 𝐴 = lim

dimana n(A) adalah jumlah terjadinya suatu kejadian A dan N adalah jumlah


17

c. Definisi Klasik Menurut definisi klasik, Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang kejadian A adalah n(A) P(A) =  N

2.2.1 Definisi Peluang Suatu Kejadian A Peluang suatu kejadian A adalah jumlah semua titik sampel yang termasuk A. Jadi dinyatakan dengan: 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(∅)=0, P(S)=1.

2.2.2 Definisi Peluang Bersyarat Misalkan A dan B menyatakan dua kejadian dalam koleksi kejadian dalam ruang sampel S, maka peluang bersyarat dari kejadian A bila diberikan kejadian B dinotasikan dengan P AB P AB =  dengan PB  0 P B

2.3 Variabel Random dan Distribusi Peluang 2.3.1 Defenisi Variabel Random Suatu fungsi bernilai real yang harganya ditentukan oleh tiap anggota dalam ruang sampel disebut suatu variabel random

Ada dua macam variabel random, yaitu variabel random diskrit dan variabel random kontinu.


18

2.3.2 Definisi Variabel Random Diskrit Jika semua himpunan nilai yang mungkin dari suatu variabel random X merupakan himpunan terbilang (countable set), yaitu { x , x ,, ..., x } atau { x , x ,, ...}, maka X 1

2

n

1

2

disebut variabel random diskrit.

2.3.3 Definisi Variabel Random Kontinu Jika himpunan semua nilai yang mungkin dari suatu variabel random X merupakan selang bilangan real, maka X disebut variabel random kontinu. 2.4 Distribusi Peluang Diskrit dan Kontinu 2.4.1 Defenisi Distribusi Peluang Diskrit Fungsi f(x) adalah suatu fungsi peluang atau distribusi peluang suatu peubah acak diskrit X bila, untuk setiap hasil x yang mungkin a. f(x) ≥ 0 b.

𝑓 𝑥 =1 𝑥

c.P(X = x)

Distribus kumulatif F(x) yaitu suatu variabel random diskrit X dengan distribusi peluang f(x) dinyatakan oleh

𝐹 𝑥 =𝑃 𝑋≤𝑥 =

𝑓(𝑡) 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 − ∞ < 𝑥 < ∞ 𝑡≤𝑥

2.4.2 Defenisi Distribusi Peluang Kontinu Fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X, yang didefenisikan atas himpunan semua bilangan real R, bila

a. f(x) ≥ 0, untuk semua x di R


19

∞

b.

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 −∞ 𝑏

𝑐. 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 =

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎

dinamakan fungsi densitas probabilitas dari variabel random kontinu X. Jika variabel random kontinu X memiliki fungsi densitas probabilitas f(x), maka peluang suatu kejadian atau peristiwa A, diberikan oleh

𝑃 𝐴 =

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑖𝐴

2.4.3 Definisi Fungsi densitas probabilitas kontinu Fungsi densitas probabilitas kontinu adalah Suatu fungsi f(x) yang didefinisikan pada selang nilai variabel random X. sehingga fungsi distribusi kumulatifnya dapat dinyatakan sebagai. 𝑥

𝐹 𝑥 =

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 −∞

2.5 Konsep Dasar Distribusi waktu Hidup Fungsi-fungsi pada distribusi tahan hidup merupakan suatu fungsi yang menggunakan variable random. Waktu hidup adalah interval waktu yang diamati dari suatu individu saat pertama kali masuk kedalam pengamatan hingga keluar dari pengamatan. Misalnya interval waktu sampai rusaknya suatu barang produksi, matinya suatu makhluk hidup, kambuhnya suatu penyakit, dan lain-lain. Variable random nonnegative waktu hidup biasanya dinotasikan dengan huruf “T’’, dan akan membentuk suatu distribusi.

Distribusi dari waktu hidup dapat disajikan oleh tiga fungsi berikut:


20

2.5.1.Fungsi Kepadatan Peluang Fungsi Kepadatan Peluang adalah probabilitas suatu individu mati atau gagal dalam interval waktu dari t sampai t + t, dengan waktu T merupakan variabel random. Fungsi densitas Probabilitas dinyatakan dengan.

𝑓 𝑡 = lim

∆𝑡→0

𝑃 𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡 ∆𝑡

… (2.1)

Waktu hidup merupakan variabel random non negatif, sehingga waktu hidup hanya diukur untuk nilai t yang positif, maka diperoleh

∞

𝑓 𝑡 = 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑡 < 0 𝑑𝑎𝑛

𝑓 𝑡 𝑑 𝑡 =1 0

2.5.2. Fungsi Tahan Hidup (Survival)

Fungsi tahan hidup (Survival) adalah probabilitas suatu individu yang masih dapat bertahan hidup sampai dengan waktu t (t > 0). Jika T merupakan variabel random dari waktu hidup suatu individu dalam interval [0,∞), maka fungsi distribusi kumulatif F(t) untuk distribusi kontinu dengan fungsi densitas probabilitas f(t) dinyatakan sebagai berikut 𝑓 𝑡 = 𝑃(𝑇 ≤ 𝑡) atau 𝑡

𝐹 𝑡 =

𝑓 𝑥 𝑑𝑥, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑡 > 0

(2.2)

0

Oleh karena itu diperoleh fungsi tahan hidup (Survival) yang didefinisikan dengan S(t) = P (T t) = 1- P (T t) = 1- F(t)

(2.3)


21

Dalam beberapa hal, khususnya yang mencakup tahan hidup dari komponenkomponen industri, S(t) ditentukan sebagai fungsi Survival. Jadi hubungan fungsi densitas probabilitas dengan fungsi tahan hidup (Survival) adalah

𝑓 𝑡 = lim

∆𝑡→0

𝑃 𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡 ∆𝑡

= 𝐹 , 𝑡 = −𝑆 , 𝑡

(2.4)

Dalam hal ini fungsi tahan hidup S(t) merupakan fungsi monoton turun yang mempunyai sifat

(i). S(0) =1, artinya peluang suatu individu bertahan hidup lebih lama dari waktu nol adalah 1 (ii). S(∞) = 0 , artinya peluang suatu individu bertahan hidup pada waktu yang tak terhingga adalah 0.

2.5.3. Fungsi Kegagalan (Hazard Function) Fungsi Kegagalan adalah probabilitas suatu individu mati dalam interval waktu dari t sampai t+Δt, jika diketahui individu tersebut masih dapat bertahan hidup sampai dengan waktu t. fungsi hazard secara matematika dinyatakan sebagai:

ℎ 𝑡 = lim

∆𝑡→0

𝑃(𝑡 ≤ 𝑇 < (𝑡 + ∆𝑡)𝑇 ≥ 𝑡) ∆𝑡

(2.5)

Misalkan f(t) adalah fungsi densitas probabilitas pada waktu t, maka dari persamaan (2.5) diperoleh:

ℎ 𝑡 = lim

∆𝑡→0

= lim

∆𝑡→0

𝑃 𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡 𝑇 ≥ 𝑡 ∆𝑡 𝑃 𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡 ∩ (𝑇 ≥ 𝑡) 𝑃 𝑇 ≥ 𝑡 . ∆𝑡


22

= lim

𝑃(𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡 ) 𝑃 𝑇 ≥ 𝑡 . ∆𝑡

= lim

1 𝐹 𝑡 + ∆𝑡 − 𝐹(𝑡) ∆𝑡 1 − 𝐹(𝑡)

= lim

𝐹 𝑡 + ∆𝑡 − 𝐹(𝑡) 1 . ∆𝑡 𝑆(𝑡)

∆𝑡→0

∆𝑡→0

∆𝑡→0

𝐹 , (𝑡) = 𝑆(𝑡) ℎ 𝑡 =

𝑓(𝑡) 𝑆(𝑡)

(2.6)

Dari persamaan (2.4) dan (2.6) diperoleh h(t) sebagai berikut:

ℎ 𝑡 =−

𝑆 ′ (𝑡) 𝑆(𝑡)

= −𝑆 ′ 𝑡 .

=−

ℎ 𝑡 =−

𝑑 ln 𝑆(𝑡) 𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑆(𝑡) 𝑑 ln𝑆(𝑡) . 𝑑𝑡 𝑑𝑆(𝑡) 𝑑 ln𝑆 𝑡 𝑑𝑡

(2.7)

Dari persamaan (2.7) diperoleh 𝑡

𝑡

ℎ 𝑥 𝑑𝑥 = 0

− 𝑜

𝑑 ln𝑆 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑡

−

𝑡

ℎ 𝑥 𝑑𝑥 = 0

0

𝑑 𝑙𝑛 𝑆 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥


23

𝑡

ℎ 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑆(𝑥)𝐭𝟎

⇔− 0

Karena S(0)=1, maka diperoleh 𝑡

−

ℎ 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑆 𝑡 0 t

⟺ 𝑆 𝑡 = 𝑒𝑥𝑝 −

ℎ 𝑥 𝑑𝑥 0

Dari uraian di atas diperoleh hubungan antara f(t), S(t), dan h(t) sebagai berikut:

i)

ii)

𝑓 𝑡 = −𝑆 ′ 𝑡

ℎ 𝑡 =

(2.8)

𝑓(𝑡) 𝑆(𝑡) t

iii)

𝑆 𝑡 = 𝑒𝑥𝑝 −

ℎ 𝑥 𝑑𝑥 0

Dengan demikian jika fungsi hazard h(t) dari suatu distribusi dalam tahan hidup diketahui, maka f(t), F(t) dan S(t) dapat dicari. Sedangkan fungsi hazard kumulatif didefinisikan dengan 𝑡

H 𝑡 =

ℎ 𝑥 𝑑𝑥

(2.9)

0

melalui persamaan (2.8) fungsi hazard kumulatif yang dihubungkan dengan fungsi tahan hidup diperoleh 𝑆 𝑡 = 𝑒𝑥𝑝 −𝐻(𝑡)

Dan dari persamaan (2.6) dan (2.8) diperoleh


24

t

𝑓 𝑡 = ℎ 𝑡 𝑒𝑥𝑝 −

ℎ 𝑥 𝑑𝑥

(2.10)

0

2.6 Statistik Terurut Himpunan variabel random 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 disebut sampel random yang berukuran n dari suatu populasi denga fungsi densitas f(x) maka fungsi densitas probabilitas bersama dari variabel random independen akan diberikan sebagai 𝑓 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥2 … 𝑓(𝑥𝑛 ) Jika sampel random yang berukuran n tersebut diurutkan dalam suatu urutan naik maka disebut statistik terurut atau order statistik dari 𝑋1 , 𝑋2, … , 𝑋𝑛 dan dinyatakan dengan 𝑋1.𝑛 , 𝑋2.𝑛, … , 𝑋𝑛 .𝑛 atau 𝑌1, 𝑌2, … , 𝑌𝑛 dengan 𝑋𝑖𝑛 = 𝑌𝑖 , i = 1, 2, … , n. dan misalkan 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛

adalah sampel random yang berukuran n dari fungsi

densitas probabilitas, f(x), dimana untuk f(x) kontinu dan f(x) > 0; a < x < b, maka fungsi densitas probabilitas dari statistik terurut ke-k, 𝑌𝑘 adalah ℊ𝑘 𝑦𝑘 =

𝑛! 𝐹 𝑦𝑘 𝑘−1 ! 𝑛−𝑘 !

𝑘−1

1 − 𝐹(𝑦𝑘

𝑛−𝑘

𝑓 𝑦𝑘 jika 𝑎 < 𝑦𝑘 < 𝑏

2.7 Sistem keandalan

Dalam konsep keandalan, juga terdapat beberapa sistem yang dinyatakan untuk membantu memutuskan apakah sistem gagal secara total atau tidak.

Dalam suatu proses, tidaklah selalu mudah untuk memutuskan kriteria-kriteria kegagalan dalam sitem tersebut. Sebagai contoh, kita perhatikan criteria kegagalan dalam sistem sebuah mobil. Jika tidak dapat bergerak dengan tenaganya sendiri, maka mobil tersebut dinyatakan telah rusak atau sistemnya. Namun haruskah rusaknya penghapus kaca pada mobil tersebut juga dihitung sebagai suatu kegagalan total, walaupun mobil tersebut dapat digunakan pada cuaca cerah, mungkin tidak akan dapat digunakan secara total pada waktu hujan lebat, yang berarti terjadinya kerusakan sistem. Oleh karena itu, kerusakan sisten sering diakibatkan oleh kegagalan atau kerusakan dari komponen-komponenya.


25

Untuk itulah dibwah ini akandiberikan tiga system yang dapat dikatakan sebagai sistem dasar dari keandalan sistem. Yaitu sitem seri, parallel dan gabungan dari seri dengan paralel. 2.7.1 Sistem keandalan seri

Suatu sistem dapat dimodelkan dengan susunan seri jika kompenen-komponen yang ada didalam sistem itu harus bekerja seluruhnya agar sistem tersebut sukses dalam menjalankan fungsinya. Atau denga kata lain bila ada satu komponen saja tidak bekerja, maka akan mengakibatkan system itu gagal menjalankan fungsinya. Secara diagram, system keandalan seri dapat dilihat pada gambar 2.1

1

2

n

Gambar 2.1 Diagram pada gambar diatas sering disebut Diagram Blok Keandalan / Reliability Block Diagram (RDB). Perlu diperhatikan bahwa diagram ini tidak mewakili setiap komponen yang dihubungkan secara seri, tetapi menunjukkan bagaimana komponen-komponen itu diperlakukan dari sudut pandang keandalan.

Jika ada n buah komponen dalam susunan seri dan masing-masing memiliki indeks keandalan 𝑅1, 𝑅2,…, 𝑅𝑛, seperti terlihat pada gambar 2.1, maka secara umum system keandalan seri dirumuskan sebagai berikut: 𝑛

𝑅𝑠 = 𝑅1 . 𝑅2 .… . 𝑅𝑛 =

𝑅𝑖

(2.11)

𝑖=1

Sedangkan ekspresi ketidakandalan dari system dengan susunan seri dari n buah komponen adalah 𝑛

𝑄𝑠 = 1 − 𝑅𝑠 = 1 −

𝑅𝑖

(2.12)

𝑖=1


26

Contoh 2.1 Sebuah sistem control terdiri dari lima buah unit dimana semua unit pendukungnya bekerja seluruhnya agar system control tersebut dapat berfungsi. Jika indeks keandalan dari kelima unit masing-masing adalah 0,90; 0,95; 0,87; 0,93; dan 0,90 tentukan indeks keandalan dari sistem kontrol tersebut. Penyelesaian : Blok diagram keandalan yang paling mewakili dari system control tersebut adalah blok diagram keandalan dengan susunan seri. Jika keandalan dari masing-masing unit disimbolkan dengan 𝑅𝑖 maka keandalan dari system control itu adalah 5

𝑅𝑠 =

𝑅𝑖 = 0,90 0,95 0,87 0,93 0,90 = 0,622602 𝑖 =1

Jadi keandalan dari sistem control tersebut adalah 0,622602

2.7.2 Sistem Keandalan Paralel

Pada sistem ini setiap komponen yang mungkin mengalami kerusakan tidak akan mengakibatkan kerusakan sistem secara keseluruhan, dan sering dinamakan fault tolerant( kerusakan yang dapat ditolerir).

Ada dua jenis dari system kendalan paralel ini, yakni kelebihan redundant aktif dan kelebihan pasif.

Pada kelebihan aktif, dua atau lebih unit diletakkan dalam system keandalan paralel dimana secara normal pembagian fungsi dilakukan tetapi unit-unit atersebaut diatur sedemikian hingga jika satu unit atau lebih mengalami kerusakan, maka sisanya dapat menggantikan possisinya. Sebagai contoh adalah dua mesin pesawat terbang yang diaktifkan tetapi tidak menutup kemungkinan pesawat untuk terbang dengan satu mesin, apabila mesin yang satunya mengalami kerusakan.

Pada kelebihan pasif, satu unit secara normal memegang fungsi secara penuh tetapi jika unit tersebut mengalami kerusakan, maka unit yang lain akan diaktifkan untuk mengambil alih perannya.


27

2.7.2.1 Sistem Keandalan Paralel Kelebihan Aktif

Misalkan ada dua unit (1) dan (2) dihubungkan dalam system parallel seperti gambar dibawah ini.

1

2

Gambar 2.2

Sistem akan rusak apabila kedua-duanya mengalami kerusakan. Keandalan system dikalkulasikan sebagai berikut, jika didefenisikan bahwa 𝑄𝑠 = ketidakandalan sistem Maka 𝑄𝑠 = 𝑃 𝐸1 ∩ 𝐸2 Dimana 𝐸 adalah kejadian komplemen bebas sehingga diperoleh 𝑛

𝑄𝑠 =

1 − 𝑅𝑖

(2.13)

𝑖 =1

Jika peluang dari kegagalan adalah independent, maka fungsi system keandalannya adalah 𝑛

𝑅𝑠 = 1 −

(1 − 𝑅1 )

(2.14)

𝑖=1

2.7.2.2 Sistem Keandalan Paralel Kelebihan Pasif


28

Pada sistem redundan pasif, unit utama(1) secara normal membawa fungsi secara penuh dan unit siaga (2) dibawa untuk digunakan ketika unit utama mengalami kegagalan.

Secara sederhana, redundan pasif dapat ditunjukkan pada gambar berikut:

1

2

Gambar 2.3

Cara untuk menganalisa sistem ini adalah harus mempertimbangkan bahwa system kegagalan waktu adalah variable acak yang mengandung jumlah dari dua variable acak, yakni kegagalan waktu (1) dan kegagalan waktu (2). Jika 𝑅1 𝑡 = 𝑅2 𝑡 = exp⁡ (−𝜆𝑡) Maka dapat dituliskan : 𝑅𝑠 𝑡 = 1 + 𝜆𝑡 exp⁡ (−𝜆𝑡)

2.7.3 Kombinasi Sistem Seri dan Paralel Kombinasi dari system seri dan paralel dapat di selesaikan dengan menggabungkan masing-masing subsistem ke dalam komponen seri maupun paralel terlebih dahulu.

Untuk lebih memahami sistem kombinasi seri dan paralel, akan diberikan contoh gambar seperti berikut ini:


29

A

C

B

D Gambar 2.4 sistem seri-paralel

A

C

B

D Gambar 2.5 sistem paralel -seri

Dari kedua gambar diatas, gambar (2.4) menunjukkan system kombinasi seri dan paralel. Untuk menyelesaikan sistem gabungan ini pertama-tamakita gabungkan subsistem parelel kedalam bentuk yang sama dengan komponen seri. Misalkan: 𝑅𝐴 = 0.9, 𝑅𝐵 = 0.8, 𝑅𝐶 = 0.7, dan 𝑅𝐷 = 0.6 Maka penyelesaian dapat dituliskan 𝑅𝐴𝐵 = 1 − 0.1 0.2 = 1 − 0.02 = 0.98 Dan 𝑅𝐶𝐷 = 1 − 0.3 0.4 = 1 − 0.12 = 0.88 Maka keandalan sistem secara keseluruhan adalah 𝑅𝑆 = 0.98 0.88 = 0.8624


30

Untuk gambar (2.5) seperti yang ditunjukkan, merupakan system kombinasi paralelseri. Untuk menyelasaikannya, pertama-tama kita gabungkan subsistem seri ke dalam bentuk yang sama dengan komponen paralel. Untuk pemisalan yang sama dengan diatas, maka diperoleh penyelesaiannya sebagi berikut:

𝑅𝐴𝐶 = 0.9 0.7 = 0.63

Dan 𝑅𝐵𝐷 = 0.8 0.6 = 0.48

Sehingga keandalan sistem secara keseluruhan adalah 𝑅𝑆 = 1 − 1 − 𝑅𝐴𝐶 (1 − 𝑅𝐵𝐷 ) = 1 − 1 − 0.63 (1 − 0.48) = 1 − 0.37 (0.52) = 1 − 0.1924 = 0.8076

2.8 Data Tersensor Dalam penyensoran sering terjadi individu yang diamati tersensor. Masalah penyensoran ini merupakan suatu hal yang membedakan antara uji hidup dengan bidang ilmu statistik yang lain. Data tersensor adalah data yang diperoleh sebelum hasil yang diinginkan dari pengamatan terjadi, sedangkan waktu pengamatan telah berakhir atau oleh sebab lain. Data yang mengalami penyensoran hanya memuat sebagian informasi mengenai variabel random yang diperhatikan, namun berpengaruh terhadap pengertian-pengertian dan perhitungan statistik.

Ada tiga macam metode yang sering digunakan dalam eksperimen uji hidup, yaitu sebagai berikut:


31

1. Sampel lengkap, dalam uji sampel lengkap eksperimen akan dihentikan jika semua komponen yang diuji telah mati atau gagal. Cara seperti ini mempunyai keuntungan yaitu dapat dihasilkan observasi terurut dari semua komponen yang diuji. 2. Sensor tipe I, semua objek yang diteliti (n) masuk pengujian dalam waktu yang bersamaan, dan pengujian dihentikan setelah batas waktu 𝑡0 yang ditentukan. Kelemahan dari sensor tipe I ini bias terjadi sampai batas waktu 𝑡0 yang ditentukan semua objek masih hidup sehingga tidak diperoleh data tahan hidup dari objek yang diuji. 3. Sensor tipe II, bila uji dihentikan setelah diperoleh sejumlah kegagalan tertentu. data tersensor tipe II merupakan data kematian atau kegagalan yang tidak lengkap (incomplete mortality data) yaitu data waktu kematian atau kegagalan dari r observasi terkecil dalam sampel random yang berukuran n dengan 1 ≤ r ≤ n. Dalam eksperimen menunjukkan penyensoran tipe II lebih sering digunakan sebagai contoh dalam uji hidup dari total observasi sebanyak n, tetapi uji hidup akan berhenti pada waktu observasi sampel mempunyai waktu kematian atau kegagalan ke-r. Oleh karena itu uji hidup ini dapat menghemat waktu dan biaya, karena uji hidup memakan waktu yang lama untuk penyensoran terhadap kegagalan dari observasi. Data tersensor tipe II diperoleh dari penyelidikan terhadap n observasi, sehingga penyensoran berhenti sampai observasi sampel yang mempunyai waktu kematian atau kegagalan ke- r objek tersebut.

2.9 Distribusi Weibull Teknologi modern telah memungkinkan orang merancang banyak system yang rumit penggunaannya, atau barangkali keamanannya, bergantung pada keandalan berbagai komponen dalam system tersebut. Sebagai contoh, suatu sekering mungkin putus, tiang baja melengkung, alat pengindra panas tidak bekerja. Komponen yang sama dalam lingkungan yang sama akan rusak dalam waktu yang berlainan yang tidak dapat diramalkan.waktu sampai rusak atau umur suatu komponen, diukur dari suatu waktu sampai rusak, dinyatakan dengan peubah acak kontinu T dengan fungsi padat peluang f(t). Misalkan variabel random kontinu T berdistribusi Weibull, dengan parameter θ dan β, disingkat T ~ WEI (θ, β) maka fungsi densitas probabilitasnya adalah


32

𝑓 𝑡 = 𝛽𝜃𝛽 𝑡

𝛽 −1

exp − 𝜃𝑡

𝛽

𝑡 > 0, 𝜃 > 0, 𝛽 > 0.

2.14

Adapun fungsi tahan hidup dan fungsi hazard dari distribusi weibull adalah 𝑆 𝑡 = exp −(𝜃𝑡)𝛽 , 𝑡 > 0

(2.15)

ℎ 𝑡 = 𝜃𝛽(𝜃𝑡)𝛽 −1

(2.16)

Dan

dimana 𝜃 > 0, 𝛽 > 0, 𝑡 > 0.

sedangkan fungsi distribusi dari distribusi weibull adalah 𝐹 𝑡 = 1 − 𝑒𝑥𝑝 −(𝜃𝑡)2

(2.17)

Dimana 𝜃 > 0, 𝑡 > 0.

2.10 Distribusi Rayleigh Dalam beberapa kasus khusus parameter bentuk, β, dari distribusi Weibull diberi harga β = 2, dikenal sebagai distribusi Rayleigh. Sehingga diperoleh fungsi tahan hidup dari distribusi Rayleigh sebagai berikut. 𝑆 𝑡 = 𝑒𝑥𝑝 −(𝜃𝑡)2 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝜃 > 0, 𝑡 > 0.

(2.18)

Dan diperoleh fungsi hazard dari distribusi Rayleigh yaitu: ℎ 𝑡 = 2𝜃 2 𝑡

(2.19)

dimana 𝑡 > 0, 𝜃 > 0, dan t menunjukkan waktu hidup dari individu uang diobservasi. Dari fungsi tahan hidup, persamaan (2.18), dapat ditentukan fungsi distribusi kegagalan dari data waktu hidup yang berdistribusi Rayleigh,


33

𝐹 𝑡 = 1 − 𝑆(𝑡) = 1 − exp −(𝜃𝑡)2 1 − 𝐹 𝑡 = 𝑒𝑥𝑝 −(𝜃𝑡)2

Dari persamaan (2.8) dan (2.18) diperoleh persamaan

𝑓 𝑡 =−

𝑑𝑆(𝑡) 𝑑(𝑒𝑥𝑝 − 𝜃𝑡 =− 𝑑𝑡 𝑑𝑡

2

)

(2.20)

Sehingga diperoleh fungsi densitas probabilitas dari distribusi Rayleigh adalah sebagai berikut: 𝑓 𝑡 = 2𝜃 2 𝑡 𝑒𝑥𝑝 −(𝜃𝑡)2 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑡 > 0, 𝜃 > 0.

2.11 Prinsip Dasar Metode Maksimum Likelihood Metode untuk mengestimasi harga parameter distribusi dari data dalam fungsi tahan hidup (Survival) adalah dengan menggunakan metode maksimum likelihood. Metode maksimum likelihood menggunakan nilai dalam ruang parameter Ω yang bersesuaian dengan harga kemungkinan maksimum dari data observasi sebagai estimasi dari parameter yang tidak diketahui. Dalam aplikasinya L(θ) menunjukkan fungsi densitas probabilitas bersama dari sampel random. Jika Ω ruang parameter yang merupakan interval terbuka dan L(θ) merupakan fungsi yang dapat diturunkan serta diasumsikan maksimum pada Ω maka persamaan maksimum likelihoodnya adalah 𝑑 𝐿 𝜃 =0 𝑑𝜃

(2.21)

Jika penyelesaian dari persamaan tersebut ada, maka maksimum dari L(θ) dapat terpenuhi. Apabila penyelesaian dari persamaan (2.19) sukar diselesaikan maka


34

fungsi L(θ) dapat dibuat logaritma naturalnya, dengan ketentuan memaksimumkan lnL(θ), sehingga persamaan logaritma natural likelihoodnya adalah 𝑑 ln𝐿 𝜃 = 0 𝑑𝜃

(2.22)

Jika fungsi densitas probabilitas bersama dari n variabel random 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛, yang diobservasi pada 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛, dinotasikan dengan f(.𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 , ) maka fungsi liklelihood dari himpunan pengamatan 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 , dinyatakan sebagai 𝑛

𝐿 𝜃 = 𝑓 𝑥1 ; 𝜃 𝑓 𝑥2 ; 𝜃 … 𝑓 𝑥𝑛 ; 𝜃 =

𝑓 𝑥1 ; 𝜃

(2.23)

𝑖=1

Dengan  parameter yang tidak diketahui Penduga maksimum likelihood dari θ didapat dengan menyelesaikan persamaan

𝑑 ln𝐿 𝜃 = 0, misalkan ada k parameter yang tidak diketahui, ma 𝑑𝜃

ka penduga parameter likelihood dari 𝜃𝑖 didapat dengan menyelesaikan 𝑑 ln𝐿 𝜃1 , 𝜃2 , … , 𝜃𝑘 = 0, dengan 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑘. 𝑑𝜃𝑖


BAB 2 LANDASAN TEORI

Recommend Documents