BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1
Sejarah Singkat Perkembangan Metoda Perancangan Percobaan Metoda perancangan percobaan banyak dilakukan di berbagai bidang ilmu,
terutama dibidang pertanian dan biologi. Misalnya dengan pupuk tanaman yang berbeda peneliti ingin mengetahui pengaruh pupuk tanaman tersebut pada varietas tanaman yang sama, dengan tujuan mencari pupuk yang cocok untuk varietas itu. Sir Ronald A. Fisher adalah seorang pelopor penggunaan metode statistika dalam perancangan percobaan, ia bertanggung jawab dalam statistika dan analisis data pada stasiun percobaan pertanian Tothamsted di London. Fisher yang mengembangkan dan pertama kali menggunakan analisis ragam sebagai metode utama dari analisis statistika dalam perancangan percobaan. Dewasa in metoda perancangan percobaan secara luas digunakan dalam semua bidang penyelidikan. Ilmu pertanian, biologi, kesehatan, ilmu-ilmu teknik, ilmu-ilmu fisik dan ilmu sosial
adalah disiplin-disiplin ilmu yang menggunakan pendekatan
statistika untuk merancang dan menganalisis percobaan. Rancangan percobaan adalah suatu rancangan yang dibuat untuk mendapatkan informasi yang diperlukan yang berhubungan dengan persoalan yang sedang diselidiki, yang merupakan langkah-langkah lengkap sebelum percobaan dilakukan sehingga akan membawa penelitian kepada analisis dan kesimpulan yang objektif.
5 2.1.1 Prinsip Utama dari Perancangan Percobaan Prinsip utama dari perancangan percobaan merupakan gagasan dasar dari R.A Fisher dan F.Yates. Tiga prinsip utama dalam menyusun perancangan suatu percobaan ( Gaspersz, 1991, p22-24 ): 2.1.1.1 Pengulangan ( Replikasi ) Pengulangan adalah perlakuan yang muncul lebih dari satu kali dalam suatu percobaan. Jika dalam suatu percobaan setiap perlakuan hanya muncul satu kali atau mempunyai ulangan tunggal maka kita tidak dapat menduga galat dalam percobaan (galat : kesalahan antara nilai sebenarnya dengan nilai yang diestimasi). Tujuan pengulangan adalah untuk meningkatkan ketelitian karena jika jumlah ulangan semakin banyak atau bertambah maka akan semakin meningkatkan ketelitian, agar tidak salah dalam pengambilan keputusan karena pengulangan dapat menambah cakupan penarikan kesimpulan, dapat mengendalikan ragam galat pengulangan juga memungkinkan kita untuk mengelompokkan satuan-satuan percobaan menurut respon yang diharapkan untuk memaksimumkan keragaman antar kelompok dan meminimumkan keragaman dalam kelompok, sehingga mempelajari perbedaan perlakuan dapat lebih teliti, dan juga bertujuan untuk menduga ragam galat. 2.1.1.2 Pengacakan (Randomisasi ) Pengacakan mengandung arti memberikan kesempatan yang sama kepada masing-masing satuan percobaan untuk dikenakan perlakuan. Fungsi
6 pengacakan agar pengujian menjadi sah, memperkecil bias, supaya galat menjadi independent. 2.1.1.3 Pengendalian Tempat Percobaan ( Local Control ) Peneliti menentukan perlakuan-perlakuan pada petak percobaan atau mengendalikan keragaman yang muncul akibat keheterogenan kondisi lingkungan pada suatu percobaan agar objek yang diteliti adalah objek yang homogen. Pengendalian lokal dapat dikerjakan melalui cara : perancangan percobaan dengan melakukan pengelompokan, menggunakan kovariabel atau variable tambahan, memilih ukuran satuan-satuan percobaan. 2.1.2
Hal yang Perlu Diperhatikan dalam Suatu Percobaan Secara umum tujuan diadakannya suatu percobaan ialah untuk memperoleh
keterangan tentang bagaimana respons yang diberikan oleh suatu objek pada berbagai keadaan tertentu yang ingin diperhatikan. Keadaan percobaan ini biasanya sengaja diciptakan atau ditimbulkan dengan pemberian perlakuan atau pengaturan keadaan lingkungan. Tetapi meskipun pemberian perlakuan telah ditentukan dan keadaan lingkungan telah diatur dengan cermat, penelaahan mengenai respons tidak akan luput dari gangguan keragaman alami yang khas dimiliki oleh setiap objek, serta pengaruh berbagai faktor yang memang tidak dapat dibuat persis sama bagi setiap objek dalam percobaan. Maka dalam hal ini statistika dapat membantu peneliti untuk memisahmisahkan dan mengusut apa saja yang menimbulkan keragaman respons yang terjadi, berapa bagian yang disebabkan oleh perlakuan, dan berapa bagian yang disebabkan oleh
7 lingkungan dan berapa bagian yang ditimbulkan oleh berbagai pengaruh yang tidak dapat diusut dengan jelas. Dalam suatu percobaan ada tiga hal penting yang perlu diperhatikan, yaitu : (1) respons yang diberikan oleh objek, (2) keadaan tertentu yang sengaja diciptakan untuk menimbulkan respons, dan (3) keadaan lingkungan serta keragaman alami objek yang dapat mengacaukan penelaahan mengenai respons yang terjadi. Dalam perancangan percobaan ketiga hal tersebut perlu diperhatikan. Rancangan mengenai ketiga hal ini dalam suatu rancangan percobaan masing-masing disebut :
rancangan perlakuan,
rancangan lingkungan dan rancangan respon. 2.1.2.1 Rancangan Perlakuan Rancangan Perlakuan yaitu rancangan yang berkaitan dengan bagaimana perlakuan-perlakuan dibentuk, macam perlakuan sangat ditentukan oleh tujuan percobaan atau pertanyaan-pertanyaan yang ingin diperoleh jawabannya melalui suatu
percobaan.
Rancangan
perlakuan
terdiri
atas
:
(1) fixed model, yaitu model yang perlakuannya bukan merupakan contoh acak perlakuan, (2) random model, yaitu model yang perlakuannya merupakan contoh acak dari populasi yang digunakan dalam percobaan yang diambil secara acak. Contoh Rancangan Perlakuan : •
Rancangan Satu Faktor Rancangan ini hanya melihat pengaruh satu peubah bebas (faktor), terhadap perubah respon. Faktor-faktor lain yang mungkin mempengaruhi perubah respon harus dikendalikan agar bersifat homogen.
8 •
Rancangan Dua Faktor atau Lebih Rancangan ini digunakan bila diduga ada pengaruh dari dua atau lebih faktor secara simultan terhadap peubah respon. Sehingga diketahui pengaruh masing-masing faktor dan interaksinya. Perlakuan yang dibentuk merupakan kombinasi taraf-taraf semua faktor.
2.1.2.2 Rancangan Lingkungan Rancangan
lingkungan
yaitu
rancangan
yang
berkaitan
dengan
bagaimana perlakuan-perlakuan ditempatkan pada unit-unit percobaan. Pada dasarnya rancangan lingkungan merupakan pengaturan pemberian perlakuan kepada satuan-satuan percobaan dengan maksud agar keragaman respon yang ditimbulkan oleh keadaan lingkungan dan keheterogenan bahan percobaan yang digunakan dapat diwadahi dan disingkirkan. Rancangan lingkungan terdiri atas: •
Rancangan Acak Lengkap Rancangan ini digunakan bila unit percobaan relatif homogen. Ulangan yang dibentuk tidak menunjukan keheterogenan sumber keragaman.
•
Rancangan Acak Kelompok Rancangan ini disusun dengan mengelompokan unit percobaan ke dalam beberapa kelompok. Hal ini di lakukan karena adanya keheterogenan unit percobaan yang merupakan komponen keragaman dalam percobaan.
9 •
Rancangan Bujur Sangkar Latin Rancangan ini mengendalikan keragaman unit-unit percobaan lebih dari satu sisi komponen keragaman. Sisi-sisi ini disebut baris dan lajur. Banyaknya ulangan haruslah sama dengan banyaknya perlakuan
•
Rancangan Petak Terbagi Rancangan ini bagian dari rancangan dua faktor atau lebih. Kombinasi perlakuan tidak diacak sempurna terhadap unit-unit percobaan. Hal ini terjadi karena beberapa alasan, diantaranya adalah : a. Tingkatan kepentingan dari faktor-faktor yang dilibatkan. Tingkatan ini ditentukan sendiri oleh peneliti sesuai dengan tujuannya. b. Pengembangan dari percobaan yang telah berjalan. Percobaan yang dilakukan dengan menambahkan faktor baru yang belum ada pada penelitian terdahulu. c. Kendala pengacakan dilapangan. Taraf-taraf dari salah satu faktor membutuhkan unit yang lebih besar dibandingkan taraf-taraf faktor yang lain, sehingga pengacakan secara sempurna tidak lagi efektif atau efisien. Faktor-faktor pada rancangan ini disebut dengan petak utama dan anak petak.
10 2.1.2.3 Rancangan Respon Rancangan respon yaitu rancangan yang berkaitan dengan bagaimana respon diambil dari unit-unit percobaan yang diteliti dan digunakan untuk menilai atau mengukur pengaruh perlakuan serta bagaimana cara melakukan penilaian atau pengukuran itu. Hal yang perlu diperhatikan ialah apakah sifat atau karakteristik yang dipilih itu memang relevan dan dapat mencerminkan pengaruh berbagai perlakuan yang diteliti. 2.1.3
Model-Model Perancangan Percobaan Penamaan untuk suatu Perancangan Percobaan merupakan kombinasi dari
Rancangan Perlakuan dan Rancangan Lingkungan. Penamaan-penamaan tersebut beserta model yang dibentuknya adalah sebagai berikut : 2.1.3.1 Rancangan Acak Lengkap Faktor Tunggal Rancangan ini dibentuk dari satu faktor dengan beberapa perlakuan dan ulangan. Rancangan Acak Lengkap perlakuan diatur dengan pengacakan secara lengkap sehingga setiap satuan percobaan mempunyai peluang yang sama untuk mendapatkan setiap perlakuan. RAL hanya cocok bagi percobaan dengan satuan percobaan yang homogen. Model Rancangan Acak Lengkap satu faktor adalah :
11 Model
: Y ij = µ + τ i + ε ij
Keterangan Model : Y ij
: Pengamatan pada perlakuan ke-i dan ulangan ke-j
µ
: Rataan umum
τi
: Pengaruh perlakuan ke-i
ε ij
: Pengaruh acak pada perlakuan ke-i dan ulangan ke-j
2.1.3.2 Rancangan Acak Kelompok Faktor Tunggal Rancangan ini dibentuk dari satu faktor dengan beberapa perlakuan dan kelompok. Model Rancangan Acak Kelompok dengan Faktor Tunggal adalah : Model
: Y ij = µ + τ i + β j + ε ij
Keterangan Model : Y ij
: Pengamatan pada perlakuan ke-i dan kelompok ke-j
µ
: Rataan umum
τi
: Pengaruh perlakuan ke-i
βj
: Pengaruh kelompok ke-j
ε ij
: Pengaruh acak pada perlakuan ke-i dan ulangan ke-j
12
2.1.3.3 Rancangan Acak Lengkap Dua Faktor Rancangan ini dibentuk dari dua faktor dengan beberapa perlakuan dan ulangan. Model Rancangan Acak Lengkap Dua Faktor adalah: Model
: Y ijk = µ + α i + β j + (αβ ) ij + ε ijk
Keterangan Model : Y ijk
: Pengamatan pada faktor pertama taraf ke-i, faktor kedua taraf ke-j dan ulangan ke-k
µ
: Rataan umum
αi
: Pengaruh utama faktor pertama
βj
: Pengaruh utama faktor kedua
(αβ ) ij
: Komponen interaksi dari faktor pertama dan faktor kedua
ε ijk
: Pengaruh acak yang menyebar normal
2.1.3.4 Rancangan Acak Kelompok Dua Faktor
Rancangan ini dibentuk dari dua faktor dengan beberapa perlakuan dan kelompok. Model Rancangan Acak Kelompok Dua Faktor adalah : Model
: Y ijk = µ + α i + β j + (αβ ) ij + ρ k + ε ijk
Keterangan Model : Y ijk
: Pengamatan pada faktor pertama taraf ke-i, faktor kedua taraf ke-j dan kelompok ke-k
µ
: Rataan umum
13
αi
: Pengaruh utama faktor pertama
βj
: Pengaruh utama faktor kedua
(αβ ) ij
: Komponen interaksi dari faktor pertama dan faktor kedua
ρk
: Pengaruh aditif dari kelompok
ke-k, dan diasumsikan tidak
berinteraksi dengan perlakuan.
ε ijk
: Pengaruh acak yang menyebar normal
2.1.3.5 Rancangan Acak Lengkap Petak Terbagi
Rancangan ini dibentuk dari dua faktor yang terdiri dari petak utama dan anak petak dengan beberapa perlakuan dan ulangan. Model Rancangan Acak Lengkap Petak Terbagi adalah : Model
: Y ijk = µ + α i + β j + (αβ ) ij + δ ik + ε ijk
Keterangan Model : Y ijk
: Pengamatan pada faktor petak utama ke-i, faktor anak petak taraf ke-j dan ulangan ke-k
µ
: Rataan umum
αi
: Pengaruh utama faktor petak utama
βj
: Pengaruh utama faktor anak petak
(αβ ) ij
: Komponen interaksi dari faktor petak utama dan faktor anak
δ ik
: Kompen dari acak petak utama.
ε ijk
: Pengaruh acak dari faktor anak petak yang menyebar normal
petak.
14 2.1.3.6 Rancangan Acak Kelompok Petak Terbagi
Rancangan ini dibentuk dari dua faktor yang terdiri dari petak utama dan anak petak dengan beberapa perlakuan dan kelompok. Model Rancangan Acak Kelompok Petak Terbagi adalah : Model
: Y ijk = µ + α i + β j + (αβ ) ij + δ ik + ρ k + ε ijk
Keterangan Model : Y ijk
: Pengamatan pada faktor petak utama ke-i, faktor anak petak taraf ke-j dan kelompok ke-k
µ
: Rataan umum
αi
: Pengaruh utama faktor petak utama
βj
: Pengaruh utama faktor anak petak
(αβ ) ij : Komponen interaksi dari faktor petak utama dan faktor anak petak.
2.2
ρk
: Pengaruh aditif dari kelompok ke-k
δ ik
: Kompone acak dari petak utama.
ε ijk
: Pengaruh acak dari faktor anak petak yang menyebar normal
Data Penelitian
Data merupakan bentuk jamak dari datum (Bahasa Latin yang berarti keterangan atau fakta). Data merupakan kumpulan keterangan-keterangan atau fakta-fakta yang digunakan untuk membangkitkan informasi atau memecahkan masalah.
15 2.2.1
Macam-Macam Data
Macam-macam data yang biasa digunakan dalam penelitian secara umum dibagi dua yaitu (Sugioyono,1999,p14-16) : a. Data Kualitatif Data kualitatif adalah data yang dinyatakan dalam bentuk kata, kalimat, dan gambar
(misalnya : Lingkungan kota A sangat bersih). b. Data Kuantitatif Data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka, atau data kualitatif yang
diangkakan (misalnya : skoring sangat bersih= 4, bersih=3, kurang bersih=2, dan kotor=1). Data kuantitatif dibagi dua :
Data diskrit adalah data yang hanya dapat digolong-golongkan secara terpisah
atau kategori, yang diperoleh dengan cara meghitung (misalnya : terdapat 51 mahasiswa di kelas 09PAV, terdiri dari 20 pria dan 31 wanita).
Data Kontinu adalah data yang bervariasi menurut tingkatan dan diperoleh
dengan cara pengukuran. Data kontinu dibagi menjadi data ordinal,interval, dan rasio. 2.2.2
Data Bermasalah
Dalam suatu sidik ragam atau analisis ragam data yang sah digunakan apabila data dasar memenuhi beberapa ketentuan. Beberapa ketentuan tersebut merupakan anggapan dan yang lainnya berupa pernyataan. Misalnya dalam suatu percobaan lapangan dianggap bahwa seluruh petakan tumbuh dengan baik dan seluruh data diambil
16 dan dicatat (anggapan), dan dinyatakan bahwa data memenuhi asumsi matematis yang mendasari sidik ragam atau analisis ragam (pernyataan). Data bermasalah adalah setiap gugus data yang tidak memenuhi anggapan ataupun pernyataan bagi suatu sidik ragam atau analisis ragam yang sah. Data bermasalah
yang
umumnya
sering
dihadapi
dalam
penelitian
pertanian
:
(1) Data yang hilang, (2) Data yang melanggar beberapa asumsi sidik ragam 2.3
Data Hilang
Dalam suatu penelitian khususnya penelitan pertanian seringkali terdapat satuan data percobaan tertentu yang hilang atau tidak dapat dipergunakan. Data hilang atau tidak dapat dipergunakan dalam percobaan disebabkan banyak faktor, baik disebabkan oleh peneliti, lingkungan maupun dari perlakuan yang diuji itu sendiri. Percobaan dengan data hilang harus dilakukan dengan hati-hati, karena jika data hilang tidak tepat diatasi dapat membawa ke arah kesimpulan yang tidak benar. 2.3.1
Penyebab Umum Hilangnya Data
Meskipun pengumpulan data di lapangan percobaan biasanya dilakukan dengan sangat hati-hati, sejumlah faktor di bawah kendali dan kemampuan peneliti dapat menyebabkan hilangnya data atau data tidak dapat dipergunakan. Penyebab Umum Hilangnya Data adalah :
17
2.3.1.1 Perlakuan yang Tidak Tepat
Perlakuan yang tidak tepat dinyatakan jika percobaan mempunyai satu atau lebih petak percobaan yang tidak menunjukan perlakuan yang seharusnya dilakukan, misalnya perlakuan tidak-diberikan, pemberian yang salah kadarnya, dan waktu pemberi yang tidak tepat. Tetapi suatu pengecualian apabila perlakuan yang tidak tepat terjadi di semua ulangan suatu perlakuan, dan apabila peneliti mempertahankan perlakuan yang berubah tersebut, semua pengukuran dapat dinyatakan sah jika perlakuan dan tujuan percobaan disesuaikan. 2.3.1.2 Kerusakan Pada Objek Percobaan
Hilangnya data atau tidak dapat digunakan juga dapat disebabkan oleh kerusakan pada objek percobaan, misalnya jika pada penelitian terhadap hewan ternak, ada ternak yang sakit atau mati sehingga data tidak memungkinkan untuk dipakai, atau pada kerusakan tanaman. Akan tetapi suatu hal yang sangat penting sebelum menyatakan sebagai data hilang ialah mempelajari secara seksama petakan tersebut yang mungkin menunjukkan gejala kekurangan, karena belum tentu kerusakan tanaman disebabkan oleh pengaruh perlakuan. Peneliti harus mempelajari hubungan antara tujuan percobaan dengan penyebab kerusakan yang terjadi pada petakan.
18 2.3.1.3 Data Panenan yang Hilang
Untuk pengambilan contoh sampel biasanya diambil di setiap petak dan diolah di laboratorium sebelum data yang diperlukan dicatat. Data dinyatakan hilang karena beberapa bagian contoh hilang diantara waktu panen dan saat pencatatan data sebenarnya. 2.3.1.4 Data Tidak Logis
Penyebab data hilang pada kasus diatas diketahui sebelum data dicatat, pada data tidak logis biasanya diketahui setelah data dicatat dan disalin, biasanya karena kesalahan membaca pengamatan, salinan tidak tepat, dan penggunakan teknik penarikan contoh atau peralatan pengukuran yang tidak tepat. Data dinyatakan tidak logis apabila nilainya terlalu ekstrem (berlebihan) untuk nilai batas wajar materi percobaan atau berada diluar nilai yang diharapkan. Tapi jika data tidak logis diketahui cukup dini penyebabnya atau macam kesalahan yang terkait, biasanya dapat diusut dan data dapat dikoreksi. 2.4
Pendugaan Data yang Hilang
Agar suatu percobaan yang mempunyai satu atau lebih pengamatan yang hilang dapat dilakukan analisis ragam baku (dengan data lengkap), maka harus dilakukan pendugaan terhadap data yang hilang tersebut. Dalam teknik rumus pendugaan data hilang dilakukan melalui rumus yang sesuai menurut rancangan yang digunakan, dan dugaan data digunakan untuk menggantikan data yang hilang dan gugus data yang ditambahkan tersebut dengan sedikit perubahan dalam sidik ragam atau analisis ragam bakunya. Perlu ditekankan disini bahwa pendugaan data yang hilang tidak memberikan
19 keterangan tambahan kepada gugus data yang tidak lengkap tersebut, karena sekali data hilang tidak ada manipulasi statistik yang dapat menelusurinya. Pada Perancangan ini penulis hanya akan melakukan pendugaan data hilang dalam Rancangan Acak Kelompok dan Rancangan Petak Terbagi, dengan satu atau lebih data hilang. 2.4.1 Pendugaan Data Hilang dalam Rancangan Acak Kelompok
Rancangan Acak Kelompok merupakan salah satu bentuk rancangan yang telah digunakan secara luas dalam berbagai bidang penyelidikan pertanian, industri, dan sebagainya. Rancangan ini dicirikan dengan adanya kelompok dalam jumlah yang sama, dimana setiap kelompok dikenakan perlakuan-perlakuan yang sama. Pada Rancangan Acak Kelompok yang diperhatikan adalah disamping perlakuan dan pengaruh galat, tetapi dilihat juga adanya kelompok yang berbeda. Tujuan pengelompokan dalam Rancangan
Acak
Kelompok
adalah
mengurangi
galat
percobaan
dengan
mengelompokkan satuan percobaan dalam kelompok sehingga keragaman dalam setiap kelompok dibuat minimum dan keragaman antar kelompok dibuat maksimum. Setiap kelompok diusahakan sehomogen mungkin, tetapi keragaman antar kelompok harus tidak homogen.
20 Model dan Analisis Ragam untuk Rancangan Acak Kelompok dalam suatu percobaan (Gaspersz,1991,p123-124) : a. Model
Rancangan ini dibentuk dari satu faktor dengan beberapa perlakuan dan kelompok. Model Rancangan Acak Kelompok dengan Faktor Tunggal adalah : Model
: Y ij = µ + τ i + β j + ε ij
Keterangan Model : Y ij
: Nilai pengamatan dari perlakuan ke-i dalam kelompok ke-j
µ
: Nilai tengah populasi
τi
: Pengaruh aditif dari perlakuan ke-i
βj
: Pengaruh aditif dari kelompok ke-j
ε ij
: Pengaruh galat percobaan dari perlakuan ke-i pada kelompok ke-j
b. Asumsi
Komponen-komponen µ , τ i , dan β j bersifat aditif E( τ i ) = τ i ;
E( β j ) = β j ;
∑τ
=0
i
j
E( τ i2 ) = τ i2 ;
ε ij ~ NI (0, σ 2 ) ;
∑β
j
=0;
j
E( β j2 ) = β j2
21 c. Hipotesis
H 0 : τ 1 = τ 2 = … = τ t atau
τ i = 0, ( i =1,2, … t ) Artinya tidak ada pengaruh perlakuan terhadap respons yang diamati H 1 : τ i ≠ 0, ( i = 1,2, … t) Artinya minimal ada satu pengaruh perlakuan terhadap respons yang amati. Secara umum data pengamatan Rancangan Acak Kelompok yang terdiri dari perlakuan dan kelompok (ulangan) seperti pada Tabel 2.1 berikut : Tabel 2.1
Data Pengamatan untuk RAK yang terdiri dari t Perlakuan dan r Kelompok (ulangan)
Kelompok
Perlakuan
Total Kelompok
1
2
...
t
1
Y 11
Y 21
...
Y t1
Y .1
2
Y 12
Y 22
...
Y t2
Y .2
.
.
.
...
.
.
.
.
.
...
.
.
r
Y 1.r
Y 2r
Y tr
Total Perlakuan
Y1 .
Y2 .
Yt .
Y ij adalah pengamatan pada kelompok ke-j yang mendapatkan perlakuan ke-i
Y .r Y..
22 Keterangan : Y. j
=
∑Y
ij
i
Y .i
=
∑Y
ij
j
Y. j
=
∑Y
ij
i, j
Berdasarkan data pengamatan di atas, maka dapat dibuat analisis ragam sebagai berikut :
Faktor Koreksi (FK)
=
Y 2 .... rt
Jumlah Kuadrat Total (JKT)
=
=
∑Y
2 ij
(Total Jendral)2 Total banyaknya Pengamatan
− FK
i, j
= jumlah kuadrat seluruh nilai pengamatan faktor koreksi
∑Y Jumlah Kuadrat Kelompok (JKK)
=
=
j
t
2 j
− FK
(Total kelompok)2
∑ Banyaknya Perlakuan − FK
23
∑Y
2
i
Jumlah Kuadrat Perlakuan (JKP)
=
r
=∑ Jumlah Kuadrat Galat (JKG)
− FK
i
(Total Perlakuan)2 − FK Banyaknya Kelompok
= JKT – JKK – JKP
Derajat Bebas Total (db total )
= rt–1 = total banyaknya pengamatan – 1
Derajat Bebas Kelompok (db kelompok)
= r–1 = banyaknya kelompok – 1
Derajat Bebas Perlakuan (db perlakuan)
= t–1 = banyaknya perlakuan – 1
Dejarat Bebas Galat (db galat) = ( r – 1 ) ( t – 1 ) = db total – db kelompok – perlakuan Kuadrat Tengah Kelompok (KTK)
=
=
Kuadrat Tengah Perlakuan (KTP)
=
=
JKK r −1 jumlah kuadrat kelompok db kelompok JKP t −1 jumlah kuadrat perlakuan db perlakuan
24 Kuadrat Tengah Galat (KTG) =
=
JKG (r − 1)(t − 1) jumlah kuadrat galat db galat
KTP untuk menguji pengaruh perlakuan KTG
F hitung
=
F tabel
= F α (db perlakuan, db galat)
Berdasarkan analisis diatas, maka tabel analisis ragam untuk Rancangan Acak Kelompok terlihat seperti pada Tabel 2.2 sebagai berikut : Tabel 2.2
Analisis Ragam untuk Rancangan Acak Kelompok
Sumber
DB
JK
KT
Kelompok
r–1
JKK
KTK
Perlakuan
t–1
JKP
KTP
Galat
( r – 1 )(t – 1 )
JKG
KTG
Total
rt–1
JKT
Fhitung
F hitung =
KTP KTG
Dalam melakukan percobaan dengan Rancangan Acak Kelompok kadang-kadang data pada satuan percobaan tertentu hilang atau tidak dapat dipergunakan. Agar peneliti dapat melakukan analisis ragam secara biasa (dengan data lengkap) dengan faktor koreksi maka harus dilakukan pendugaan terhadap data hilang tersebut.
25 2.4.1.1 Pendugaan Satu Data yang Hilang dalam RAK
Jika pada percobaan ada satu data yang hilang, maka untuk menghitung dugaan data yang hilang tersebut melalui : Hitung nilai dugaan data hilang tersebut dengan rumus ∧
Y =
rB0 + tT0 − G0 (r - 1) (t - 1)
Dimana : ∧
Y
= dugaan data yang hilang.
t
= banyaknya perlakuan.
r
= banyaknya kelompok (ulangan).
B0
= jumlah nilai pengamatan dari kelompok (ulangan) di mana terdapat data yang hilang.
T0
= jumlah nilai pengamatan dari perlakuan di mana terdapat data yang hilang.
G0
= jumlah umum dari semua pengamatan
Kemudian nilai dugaan dimasukkan dalam tabel nilai pengamatan dan lakukan analisis ragam seperti biasanya dengan mengurangkan satu derajat bebas dari db total dan db galat. Nilai dugaan yang digunakan harus sedemikian rupa sehingga jumlah kuadrat galat dalam analisis ragam menjadi minimum. Jumlah kuadrat perlakuan akan berbias sebesar :
26 ∧
[ B − (t − 1) Y ] 2 B (bias) = 0 t (t − 1) ∧
Y ditentukan melalui persamaan diatas. Hitung Galat Baku dari beda diantara nilai tengah perlakuan dengan adanya nilai pengamatan yang hilang adalah :
s
Yi −Y j
2 t = s2 + r r(r − 1)(t − 1)
Catatan : Nilai s 2 = KTG (kuadrat tengah galat) Lakukan Uji lanjut jika tolak H o atau untuk mengetahui beda nyata nilai tengah perlakuan dengan menggunakan uji beda nyata terkecil ( Least Significant Difference ) atau uji LSD LSD = (t α ) ( s
Yi −Y j
Di mana s
)
adalah galat baku dari beda diantara nilai tengah perlakuan.
Yi −Y j
Data dari percobaan yang dilaksanakan dalam Rancangan Acak Kelompok dapat disusun sebagai berikut : Tabel 2.3
Kelompok
Data Pengamatan dalam RAK dengan Satu Data Hilang
Perlakuan k
…
t
Kelompok
…
Y k1
…
Y t1
Y. 1
Y 22
…
h
…
Y t2
Bo
.
.
.
.
.
Y 1.r
Y 2.r
…
Y kr
…
Y rt
Y .r
Y1 .
Y2 .
To
…
Yt .
Go
1
2
1
Y 11
Y 21
2
Y 12
. r Total Perlakuan
Total
…
…
Keterangan : h = data yang hilang
.
27 Langkah-langkah pendugaan data hilang dalam Rancangan Acak Kelompok dengan satu data hilang : ` Langkah 1. Hitung dugaan data yang hilang dengan menggunakan rumus : ∧
Y =
rB0 + tT0 − G0 (r - 1) (t - 1)
` Langkah 2. Gantikan data yang hilang dalam Tabel 2.3 dengan nilai dugaannya
yang telah dihitung pada langkah 1 seperti terlihat pada Tabel 2.4 berikut : Tabel 2.4
Data Pengamatan setelah Data Hilang Diganti dengan Data Dugaannya.
Kelompok
Perlakuan
Total Kelompok
1
2
…
k
…
t
Y 11
Y 21
…
Y k1
…
Y t1
Y. 1
2
Y 12
Y 22
…
Y
∧
…
Y t2
Y. 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Y kr
…
Y rt
Y .r
Yk .
…
Yt .
Y..
1
.
. r Total Perlakuan
.
Y 1.r
Y 2r
Y1 .
Y2 .
. … …
.
∧
Y
Dugaan data hilang dengan tehnik rumus pendugaan data hilang
` Langkah 3. Kerjakan sidik ragam seperti biasa dari data pada Tabel 2.4 diatas
dengan mengurangkan satu derajat bebas dari db total dan db galat seperti pada Tabel 2.5 berikut:
28 Tabel 2.5
Sumber Keragaman
Analisis Ragam dengan Data hilang setelah Data Hilang Diduga
DB
JK
KT
Kelompok
r–1
JKK
KTK
Perlakuan
t–1
JKP b
KTP
Galat
((r-1)( t-1))-1
JKG
KTG
Total
(r t – 1) - 1 b
F hitung
F hitung =
F tabel
KTP b KTG
F α ( dbperlakuan,
dbgalat)
JK Perlakuan sebelum dilakukan faktor koreksi
` Langkah 4. Untuk analisis ragam yang dibuat dalam langkah 3, lakukan
koreksi dengan menghitung faktor koreksi seperti : ∧
[ B0 − (t − 1) Y ] 2 B (bias) = t (t − 1) JK Perlakuan yang disesuaikan = JKP b – Bias Setelah dilakukan koreksi dengan mengurangkan JKP b dengan faktor koreksi, lalu ganti JKP b dengan JKP yang telah terkoreksi seperti pada Tabel 2.6 Tabel 2.6
Sumber Keragaman Kelompok Perlakuan Galat Total
Analisis Ragam dengan Faktor Koreksi
DB
JK
KT
r–1 t–1 ((r-1)( t-1))-1 (r t – 1)-1
JKK
KTK KTP KTG
nb
JKP JKG nb
F hitung
F hitung =
F tabel
KTP b KTG
JK Perlakuan dengan faktor koreksi
F α ( db perlakuan,
dbgalat)
29 ` Langkah 5. Ambil kesimpulan dan keputusan dari analisis ragam diatas,
dengan membandingkan F hitung dan F tabel dengan syarat :
Jika F hitung >
F tabel maka tolak H 0 , yang berarti minimal
ada satu
pengaruh perlakuan yang mempengaruhi respons yang diamati.
Jika F hitung ≤
F tabel maka terima H 0 , yang berarti tidak ada pengaruh
perlakuan terhadap respons yang diamati. ` Langkah 6. Dari hasil kesimpulan langkah 5 lakukan uji lanjut dengan Uji
lanjut LSD jika hipotesis nol H 0 ditolak. 2.4.1.2 Pendugaan Lebih dari Satu Data yang Hilang dalam RAK
Jika dalam suatu percobaan ada lebih dari satu data hilang, untuk menduga data hilang tersebut melalui rumus : Tentukan Nilai awal
Nilai Awal = Yij =
Yi + Y j 2
di mana : Yi
= Rataan untuk seluruh perlakuan ke-i data yang hilang.
Yj
= Rataan untuk seluruh kelompok ke-j data yang hilang
Nilai awal dapat dijadikan dugaan data hilang pertama atau pun dugaan data hilang kedua sementara.
30 Setelah menentukan nilai awal, kemudian nilai tersebut dimasukkan kedalam tabel baik sebagai data hilang pertama atau data hilang kedua sementara. Lalu lakukan dugaan data hilang seperti data hilang tunggal. Setelah didapat nilai dugaan tersebut dimasukan lagi kedalam tabel dan lakukan iterasi yang sama hingga nilai kedua dugaan konstan. Seperti ilustrasi berikut :
gambar 2.1
Ilustrasi iterasi pendugaan dua data hilang
31 Hitung besarnya bias dengan menggunakan rumus sebagai berikut: 2
∧ ∧ B ( t 1 ) Y B ( t 1 ) Y + − − − − 1 2 2 1 B ( bias ) = t (t − 1)
2
Dimana : t B1
= jumlah perlakuan = total nilai pengamatan dalam kelompok yang mengandung data hilang pertama ( h1 )
B2
= total nilai pengamatan dalam kelompok yang mengandung data hilang pertama ( h2 ).
∧
Y1 ∧
Y2
= nilai dugaan untuk data hilang pertama ( h1 ). = nilai dugaan untuk data hilang pertama ( h2 ).
Untuk pembandingan rataan berpasangan di mana kedua perlakuan mempunyai data yang hilang atau di mana satu dari kedua perlakuan mempunyai lebih dari satu pengamatan yang hilang, sebaiknya menggunakan rumus :
sY −Y = i
j
2s 2 r
dimana : s 2 = KTG (kuadrat tengah galat)
galat baku beda
32 Lakukan Uji lanjut jika tolak H 0 atau untuk mengetahui beda nyata nilai tengah
perlakuan
dengan
menggunakan
uji
beda
nyata
terkecil
(Least Significant Difference ) atau uji LSD LSD = (t α ) ( s
Yi −Y j
Di mana s
)
adalah galat baku dari beda diantara nilai tengah
Yi −Y j
Data dari percobaan yang dilaksanakan dalam Rancangan Acak Kelompok terdapat dua data hilang, dapat disusun sebagai berikut : Tabel 2.7
Kelompok
Data Pengamatan RAK dengan Dua Data Hilang
Perlakuan
Total Kelompok
1
2
…
k
…
t
1
Y 11
Y 21
…
Y k1
…
Y t1
Y. 1
2
Y 12
Y 22
…
h1
…
Y t2
Y. 2
l
Y 1l
h2
…
Y kl
…
Y tl
Y. l
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
r
Y 1r
Y 2r
…
Y kr
…
Y rt
Y .r
Total Perlakuan
Y1 .
Y2 .
…
Yk .
…
Yt .
Y..
Keterangan : h 1 , h 2 data hilang
33 Langkah-langkah pendugaan data hilang dalam Rancangan Acak Kelompok dengan dua data hilang : ` Langkah 1. Hitung nilai awal data yang hilang dengan menggunakan rumus : ∧
Misalkan kita menentukan nilai awal untuk pendugaan Y 1
Nilai awal = Yij =
Yi + Y j 2
Yi =
(Yk 1 + Ykl + ... + Ykr ) Y. = k (r − 1) (r − 1)
Yj =
(Y12 + Y22 + ... + Yt 2 ) Y .2 = (t − 1) (t − 1)
Yk . Y .2 + ∧ (r − 1) (t − 1) Y 1 = Yij = 2 Masukkan nilai dugaan sementara data hilang pertama kedalam Tabel seperti terlihat pada Tabel 2.8 berikut : Tabel 2.8
Kelompok 1
Data Pengamatan RAK dengan Dua Data Hilang
Perlakuan
Total Kelompok
1
2
…
k
…
t
Y 11
Y 21
…
Y k1
…
Y t1
Y. 1 Y. 2 + Y 1 Y. l ( B0 )
∧
∧
2
Y 12
Y 22
…
Y1
…
Y t2
l
Y 1l
h2
…
Y kl
…
Y tl
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
r
Y 1r
Y 2r
…
Y kr
…
Y tr
Y .r
Y1 .
Y 2 . ( T0 )
…
…
Yt .
Total Perlakuan
∧
∧
Y k .+ Y 1
∧
Y..+ Y 1 ( G0 )
Keterangan : h 2 data hilang, Y 1 nilai dugaan sementara data hilang pertama
34 ∧
Hitung pendugaan Y 2 ( iterasi pertama ) dengan menggunakan rumus data hilang tunggal. ∧
Y2
rB0 + tT0 − G0 (r − 1)(t − 1)
=
∧
r (Y .l ) + t (Y2 .) − (Y .. + Y1 ) = (r − 1)(t − 1) ∧
Lalu masukan nilai pendugaan Y 2 dalam Tabel, seperti terlihat pada Tabel 2.9 berikut : Tabel 2.9
Kelompok
Data Pengamatan RAK dengan Dua Data Hilang
Total
Perlakuan
Kelompok
1
2
…
k
…
t
1
Y 11
Y 21
…
Y k1
…
Y t1
Y. 1
2
Y 12
Y 22
…
h1
…
Y t2
Y. 2 ( B0 )
l
Y 1l
Y2
∧
…
Y kl
…
Y tl
Y. l + Y 2
.
.
.
.
.
.
.
.
r
Y 1r
Y 2r
…
Y kr
…
Y tr
Y .r
Y1 .
Y 2 . +Y 2
…
Y k .( T0 )
…
Yt .
Total Perlakuan
∧
∧
∧
∧
Y..+ Y 2 ( G0 )
Keterangan : h 1 data hilang, Y 2 nilai dugaan sementara data hilang ke-2 iterasi pertama
35 ∧
Hitung pendugaan Y 1 ( iterasi pertama ) dengan menggunakan rumus data hilang tunggal. ∧
Y 1=
rB0 + tT0 − G0 (r − 1)(t − 1) ∧
r (Y .2 ) + t (Yk .) − (Y .. + Y2 ) = (r − 1)(t − 1)
Lalu masukan nilai pendugaan h 1 dalam Tabel, seperti terlihat pada Tabel 2.10 berikut : Tabel 2.10
Kelompok
Data Pengamatan RAK dengan Dua Data Hilang
Perlakuan
Total Kelompok
1
2
…
k
…
t
1
Y 11
Y 21
…
Y k1
…
Y t1
Y. 1
2
Y 12
Y 22
…
Y1
…
Y t2
Y. 2 + Y 1
l
Y 1l
h2
…
Y kl
…
Y tl
Y. l ( B0 )
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
r
Y 1r
Y 2r
…
Y kr
…
Y1 .
Y 2 . ( T0 )
…
Total Perlakuan
∧
∧
Y k .+ Y 1
…
Y rt Yt .
∧
Y .r ∧
Y..+ Y 1 ( G0 )
∧
Keterangan : h 2
data hilang, Y 1 nilai dugaan sementara data hilang pertama
( iterasi pertama). ∧
Lakukan proses iterasi diatas sampai nilai dugaan data hilang pertama ( Y 1 ) dan ∧
nilai dugaan data hilang kedua ( Y 2 ) konstan satu digit dibelakang koma atau ∧
∧
∧
∧
Y 1 ( iterasi ke-n) = Y 1 ( iterasi ke- (n-1)) dan
Y 2 ( iterasi ke-n) = Y 2 ( iterasi ke- (n-1))
36 ` Langkah 2. Setelah proses iterasi dan nilai dugaan data hilang pertama dan
kedua konstan, lalu masukkan nilai dugaan kedalam tabel seperti terlihat pada Tabel 2.11. Tabel 2.11
Data Pengamatan RAK dengan Dugaan Nilai Data Hilang
Perlakuan
Kelompok
Total Kelompok
1
2
…
k
…
t
1
Y 11
Y 21
…
Y k1
…
Y t1
Y. 1
2
Y 12
Y 22
…
Y1
…
Y t2
Y. 2 + Y 1
l
Y 1l
Y2
…
Y kl
…
Y tl
Y. l + Y 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
r
Y 1r
Y 2r
…
Y kr
…
Y1 .
Y 2 . +Y 2
…
Y k .+ Y 1
Total Perlakuan
` Langkah
3.
∧
∧
Kerjakan
sidik
∧
∧
ragam
∧
Y rt
Y .r ∧
Yt .
…
seperti
∧
biasa
∧
Y.. + Y 1 + Y 2
dari
data
pada
Tabel 2.11 diatas dengan perubahan derajat total dan derajat bebas sebanyak
data yang hilang ( db galat = r – k ) dan (db total = rt – k) seperti terlihat pada Tabel 2.14 berikut : Tabel 2.12
Sumber Keragaman
Analisis Ragam dengan Data Hilang setelah Data Hilang Diduga
DB
JK
KT
Kelompok
db elompok
JKK
KTK
Perlakuan
db perlakuan
JKP b
KTP
Galat
db galat – k
JKG
KTG
Total
Db total – k
b
F hitung
F hitung =
F tabel
KTP b KTG
F α ( db perlakuan,
JK Perlakuan sebelum dikurangi bias ; k = banyaknya data yang hilang
dbgalat)
37 ` Langkah 4. Untuk analisis ragam yang dibuat dalam langkah 3, buat
berubahan dengan menghitung faktok koreksi untuk mengkoreksi JKP seperti berikut : 2
∧ ∧ B1 − (t − 1) Y 1 + B2 − (t − 1) Y 2 B ( bias ) = t (t − 1)
2
JK Perlakuan yang disesuaikan = JKP b – Bias Analisis ragam setelah dilakukan koreksi terlihat pada Tabel 2.13 berikut : Tabel 2.13
Sumber Keragaman Kelompok Perlakuan Galat Total nb
Analisis Ragam dengan Faktor Koreksi
DB
JK
db elompok db perlakuan db galat – k Db total – k
JKK nb
JKP JKG
KT
F hitung
KTK KTP b KTP F hitung = KTG KTG
F tabel
F α ( dbperlakuan,dbgalat)
JK Perlakuan dengan faktor koreksi ; k= banyaknya data yang hilang
` Langkah 5. Ambil kesimpulan dan keputusan dari analisis ragam diatas,
dengan membandingkan F hitung dan F tabel dengan syarat :
Jika F hitung >
F tabel maka tolak H 0 , yang berarti minimal
ada satu
pengaruh perlakuan yang mempengaruhi respons yang diamati.
Jika F hitung ≤
F tabel maka terima H 0 , yang berarti tidak ada pengaruh
perlakuan terhadap respons yang diamati. ` Langkah 6. Dari hasil kesimpulan langkah 5 lakukan uji lanjut dengan Uji
lanjut LSD jika hipotesis nol H 0 ditolak.
38 2.4.2
Pendugaan Data Hilang dalam Rancangan Petak Terbagi
Rancangan Petak Terbagi terutama sesuai untuk dua faktor yang memiliki banyak perlakuan daripada ditampung oleh suatu Rancangan Acak Kelompok. Dalam Rancangan Petak Terbagi salah satu faktornya dinyatakan sebagai faktor utama yang disebut faktor petak utama. Petak utama dibagi dalam anak petak tempat faktor kedua yang disebut faktor anak petak. Dalam percobaan Rancangan Petak Terbagi kita tetap menggunakan salah satu rancangan dasar seperti RAL, RAK, RBL, atau rancangan dasar lainnya. Dalam uraian ini digunakan RAK sebagai dasar rancangan karena model ini yang paling banyak dipergunakan dalam percobaan.
39 Tabel 2.14
Data Pengamtan Percobaan yang Dilaksanakan dalam Rancangan Petak Terbagi
Petak
Anak Petak
Total
1
2
....
b
1
Y 111
Y 211
….
Y b11
Y .11
2
Y 112
Y 212
….
Y b12
Y .12
…
….
…
….
…
Y 11r
Y 21r
….
Y b1r
Y.
Y 11.
Y 21.
Y b1.
Y .1.
1
…
….
….
….
2
….
….
…
….
…
….
….
….
….
r
….
….
….
….
….
…..
….
….
….
….
….
….
....
….
….
….
….
….
….
….
….
….
….
….
1
Y 1a1
Y 2a1
….
Y ba1
Y .a1
•
Utama
Kelompok
2
Y 1a 2
Y 2a 2
….
Y ba 2
Y .a 2
r
Y 1ar
Y 2 ar
….
Y bar
Y .ar
Subtotal
Y 1a .
Y 2a .
Y ba .
Y .a.
TotalAnak
Y 1. .
Y 2. .
….
Y b. .
Y. . .
Kelompok
1
2
….
r
Total
Y . .1
Y. . 2
1
…. r
Subtotal
2
1r
Subtotal
... Subtotal
a
…
Petak
Y. . r
40 Model Linear dan Analisis Ragam Rancangan Petak Terbagi dalam rancaangan dasar RAK (Gaspersz,1991,p261-262): a. Model
Model statistika untuk percobaan yang terdiri dari dua faktor (A dan B) dengan menggunakan Rancangan Petak Terbagi dalam RAK adalah sebagai berikut : Model : Y ijk = µ + K k + Ai + B j + ( AB )ij + δ ik + ε ijk i = 1, . . , a j = 1, . . , b k = 1, . . , r Keterangan Model : Y ijk
: Nilai Pengamatan (respons) pada faktor A (faktor petak utama) ke-i, faktor B (faktor anak petak) taraf ke-j dan kelompok ke-k
µ
: Nilai rata-rata sesungguhnya
Ai
: Pengaruh aditif taraf ke-i faktor A (faktor petak utama)
Bj
: Pengaruh aditif dari taraf ke-j faktor B(faktor anak petak)
( AB)ij
: Pengaruh
interaksi taraf ke-i faktor A (faktor petak utama)
dan taraf ke-j faktor B (faktor anak petak). Kk
: Pengaruh aditif dari kelompok ke-k
41
δ ik
: Pengaruh galat yang muncul lpada taraf ke-i dari faktorA dalam kelompok ke-k, sering disebut galat petak utama ( galat a ).
ε ijk
: Pengaruh galat pada kelompok ke-k yang memperoleh taraf ke-i faktor A dan taraf ke-j faktor B, sering disebut sebagai galat anak petak (galat b).
b. Asumsi
δ ik ~ NI(0, σ δ2 ) dan ε ijk ~ NI(0, σ ∈2 ) c. Hipotesis Hipotesis 1 ( pengaruh faktor A atau Faktor petak utama )
H 0 : A 1 = A 2 = … = A a atau A i = 0 ( i =1,2, …a ) Artinya tidak ada pengaruh Faktor A atau Faktor petak utama terhadap respons yang diamati H1 :
A i ≠ 0, ( i = 1,2, … a)
Artinya minimal ada satu Faktor A atau Faktor petak utama perlakuan terhadap respons yang amati. Hipotesis 2 ( pengaruh faktor B atau Faktor anak petak )
H0 :
B 1 = B 2 = … = B b atau B j = 0 ( i =1,2, …b )
Artinya tidak ada pengaruh Faktor B atau Faktor anak petak terhadap respons yang diamati
42 H 1 : B j ≠ 0, ( i = 1,2, … b) Artinya minimal ada satu Faktor B atau Faktor anak petak perlakuan terhadap respons yang amati. Hipotesis 3 ( pengaruh interaksi Faktor petak utama dan anak petak )
H 0 : A i B j = 0, Artinya tidak ada pengaruh interaksi Faktor A dan Faktor B atau Faktor petak utama dan anak petak terhadap respons yang diamati H 1 : A i B j ≠ 0, Artinya minimal ada satu interaksi Faktor A dan Faktor B atau Faktor petak utama dan anak petak terhadap respons yang diamati. d. Analisis Ragam
Prosedur analisis ragam untuk percobaan yang terdiri dari dua faktor ( A dan B) di mana faktor A ditempatkan dalam petak utama sedangkan faktor B ditempatkan sebagai anak petak, dengan taraf faktor A sebanyak a buah, taraf faktor B sebanyak b buah, serta menggunakan kelompok sebanyak r buah, maka dapat mengikuti langkah-langkah berikut : Hitung faktor koreksi (FK) dan jumlah kuadrat total (JKT) Y 2 ... (Total Jendral) 2 Faktor Koreksi (FK) = = Total banyaknya Pengamatan rab Jumlah Kuadrat Total (JKT) =
∑Y
2 ijl
− FK
i, j,k
=
jumlah
kuadrat
seluruh
pengamatan – faktor koreksi
nilai
43 Lakukan analisis terhadap faktor utama (mainplot analysis) Y 2 ... (Total Jendral) 2 = Total banyaknya Pengamatan rab
Faktor Koreksi (FK) =
Jumlah Kuadrat Total (JKT) =
∑Y
2 ijl
− FK
i, j,k
=
jumlah
kuadrat
seluruh
pengamatan – faktor koreksi
∑Y
2 i .k
JK(petak utama)
i,k
=
b
− FK
(Total petak utama)2 − FK =∑ banyaknya taraf petak utama
JKK
=
=
JK(A)
=
=
∑Y
2
..k
k
ab
− FK
(Total kelompok) 2 − FK ∑ ab
∑Y
2
i
rb
i.. − FK
(Taraf faktor A) 2 − FK ∑ rb
JK ( galat a ) = JK ( petak utama) – JKK – JK (A)
nilai
44 Analisis terhadap anak petak ( subplot analysis)
∑Y JK(B)
=
2
. j.
j
− FK
ra
(Taraf faktor B) 2 − FK = ∑ ra
∑Y JK(AB)
=
2
i, j
r
ij. − FK − JK ( A) − JK ( B)
JK ( galat b ) = JKT – JK(petak utama) – JK(B) – JK(AB) Tentukan derajat bebas untuk setiap sumber keragaman db kelompok = r – 1
= banyak kelompok – 1
db faktor A
= a–1
= banyak taraf faktor A – 1
db galat a
=(a–1)(r–1)
db faktor B
= b–1
db interaksi (AB)
= ( a – 1 ) ( b – 1)
db galat b
= a(r–1)(b–1)
db total
= abr – 1
= banyak pengamatan – 1
Tentukan kuadrat tengah (KT) masing-masing komponen keragaman melalui pembagian antara JK dan derajat bebas KTK =
JKK JKK = db kelompok (r − 1)
45 KT(A) =
JK ( A) JK(A) = db faktor a (petak utama) (a − 1)
KT(B) =
JK ( B) JK(B) = db faktor b (anak petak) (b − 1)
=
JK (galat a) JK (galat a) = db galat a (a - 1) (r - 1)
KT( galat b ) =
JK (galat b) JK (galat b) = db galat b a(r - 1) (b - 1)
KT (AB)
JK (AB) JK (AB) = db interaksi (AB) (a - 1) (b - 1)
KT (galat a)
=
Untuk menguji hipotesis digunakan uji F dan F tabel F hitung ( A)
=
KT(A) KT( galat a )
F hitung ( B )
=
KT(B) KT( galat b )
F hitung ( AB)
=
KT(AB) KT( galat b )
F table ( A)
= F ( db Faktor a, db galat a)
F table ( B)
= F ( db Faktor b, db galat b)
F table ( AB)
= F ( db Faktor ab, db galat b)
46 Susun analisis ragam Rancangan Petak Terbagi Tabel 2.15
Daftar Analisis Ragam Rancangan Petak Terbagi
Sumber Keragaman
DB
JK
KT
Kelompok
(r – 1)
JKK
KTK
Faktor A
(a – 1)
JK(A)
KT(A)
F hitung
Petak Utama (Mainplot)
Galat a
F hitung ( A) =
KT(A) KT( galat a )
(a-1)(r-1)
JKG(a)
KTG(a)
(b–1)
JK(B)
KT(B)
F hitung (B ) =
(a-1)(b-1)
JK(AB)
KT(AB)
F hitung ( AB ) =
a (r -1)(b-1)
JKG(b)
KTG(b)
abr -1
JKT
:
Anak Petak (Subplot)
Faktor B Interaksi (AB) Galat b Total
KT(B) KT( galat b ) KT(AB) KT( galat b )
2.4.2.1 Pendugaan Satu Data yang Hilang dalam RPT
Jika ada sebuah data yang hilang dalam RPT yang menggunakan rancangan dasar RAK maka data tersebut dapat diduga dengan langkah-langkah sebagai berikut : ` Langkah 1. Hitung nilai dugaan data hilang ∧
Y =
rM 0 + bT0 − P0 (b - 1) (r - 1)
di mana : ∧
Y
= dugaan data yang hilang.
b
= banyaknya taraf faktor yang dijadikan anak petak
r
= banyaknya kelompok (ulangan).
47 M0
= jumlah nilai pengamatan pada petak utama di mana terdapat data yang hilang.
T0
= jumlah nilai pengamatan pada perlakuan kombinasi di mana terdapat data yang hilang.
P0
= jumlah nilai pengamatan dari taraf faktor dalam petak utama (taraf dari faktor yang dijadikan petak utama) dimana terdapat data yang hilang.
` Langkah 2. Masukkan nilai pendugaan data hilang tersebut disubtitusikan
kedalam percobaan yang perlakuannya mengandung data hilang, lalu lakukan ragam analisis sesuai prosedur yang biasa, akan tetapi db galat total dan db galat (b) dilakukan koreksi dengan dikurangi sebanyak data hilang yaitu satu. db galat total = ( abr – 1 ) – 1 db galat (b)
= {a ( r – 1 ) ( b – 1 ) }– 1
` Langkah 3. Buat kesimpulan dari analisis ragam yang telah dikoreksi dengan
membandingkan masing-masing nilai F hitung untuk faktor petak utama, faktor anak petak dan juga interaksi kedua faktor dengan F tabel masing-masing. Untuk pembandingan pasangan rataan perlakuan di mana salah satu dari perlakuannya mempunyai data hilang dengan menghitung galat baku seperti tampak dalam tabel Tabel 2.15
48 Tabel 2.16
Galat Baku untuk RPT dengan Satu Data Hilang
No
Jenis Pembandingan
1.
Dua
nilai
rataan
Contoh
petak
utama
anak
petak
a1 - a 2
2 (KTGa + f KTGb ) rb
b1- b 2
2 KTGb (1 + f b a ) ra
a1b1- a1b 2
2 KTGb (1 + f b a ) r
a1b1- a 2 b1
2 {KTGa + KTGb [(b- 1)+ f b2 )]} rb
( taraf faktor A) 2.
Dua
nilai
rataan
(taraf faktor B) 3.
Dua nilai rataan anak petak pada perlakuan petak utama yang sama
4.
Dua nilai rataan petak utama yang sama dengan anak petak yang berbeda
Keterangan : f =
Galat Baku
1 2(r − 1)(b − 1)
` Langkah 4. Lakukan uji lanjut jika dari hasil kesimpulan hipotesis nol H 0
ditolak dengan menggunakan Uji lanjut LSD dan menggunakan galat baku beda rataan sesuai dengan jenis pembanding seperti Tabel 2.16 2.4.2.2 Pendugaan Lebih dari Satu Data yang Hilang dalam RPT
Untuk pendugaan lebih dari satu data hilang dalam Rancangan Petak Terbagi, pendugaan data hilang dilakukan dengan dua cara yaitu : a. Jika dua atau lebih data hilang berada pada petak utama yang berlainan maka cukup melakukan pendugaan dengan menggunakan rumus pendugaan data
tunggal untuk masing-masing petak.
49 b. Tetapi jika dua atau lebih data hilang berada pada petak utama yang sama kita dapat melakukan pendugaan melalui langkah-langkah yang hampir sama dengan pendugaan padaa rancangan acak kelompok yaitu sebagai berikut : 1) Tentukan nilai awal baik dari data hilang pertama maupun dari data hilang kedua 2) Dengan nilai awal yang telah diketahui kita melakukan pendugaan data hilang dengan menggunakan rumus pendugaan data hilang tunggal. 3) Lakukan iterasi sampai semua nilai pendugaan konstan satu digit ∧
∧
dibelakang koma Yi = Y(i −1) lalu masukan nilai dugaan data hilang kedalam tabel. 4) Kemudian buat analisis ragam seperti biasa dengan faktor koreksi derajat bebas total dan derajat debas galat dikurangi banyaknya data yang hilang. db galat total = ( abr – 1 ) – k db galat (b)
= {a ( r – 1 ) ( b – 1 ) }– k
dimana k = banyaknya data hilang 5) Buat kesimpulan dari analisis ragam yang telah dibuat 6) Lakukan Uji lanjut jika dari hasil kesimpulan hipotesis H 0 ditolak dengan Uji lanjut LSD dan galat baku yang sesuai dengan dengan jenis pembanding seperti Tabel 2.16
50 Cara menghitung galat baku sama seperti pada Rancangan Petak Terbagi dengan data hilang tunggal dengan parameter f :
f =
k 2( r − d )(b − k + c − 1)
Keterangan : r
= banyaknya kelompok (ulangan)
b
= banyak taraf faktor anak petak
k
= banyaknya data hilang
c
=
banyaknya
ulangan
yang
berisi
paling
tidak
satu
pengamatan hilang. d
= banyaknya pengamatan yang hilang dalam kombinasi perlakuan yang memiliki data hilang terbanyak.
2.5
Uji Lanjutan
Uji lanjut dalam percobaan digunakan untuk menguji perbedaan perlakuan yang dicobakan. Jika hipotesis nol (H 0 ) diterima yang berarti semua perlakuan yang dicobakan memberikan pengaruh yang sama, maka nilai tengahnya semua sama sehingga kita tidak perlu lagi melakukan pengujian lanjutan. Tetapi jika hipotesis nol ( H 0 ) ditolak yang berarti paling sedikit ada dua nilai tengah perlakuan yang berbeda, maka untuk menjawab nilai tengah mana saja yang menunjukkan perbedaan harus dilakukan uji lanjutan. Hasil pendugaan data hilang sampai uji lanjut yang dihitung secara manual dilampirkan pada Lampiran C.
51 2.5.1 Uji Least Significant Difference ( Uji LSD)
Pada rancangan program aplikasi ini hanya menggunakan uji lanjut dengan metode LSD saja, karena Uji LSD merupakan prosedur uji yang paling sederhana dan paling umum yang digunakan untuk menjawab nilai tengah perlakuan mana yang berbeda apabila hipotesis nol ditolak. Uji LSD sangat sesuai untuk membuat pembandingan berpasangan berencana tetapi tidak sahih untuk membandingkan semua pasangan rataan yang mungkin tersusun atau tidak terencana, terutama apabila jumlah perlakuannya banyak. Uji LSD efektif digunakan apabila uji F untuk pengaruh perlakuan adalah nyata dan jumlah perlakuan kurang dari enam. Secara umum rumus Uji lanjut LSD : LSD α = t ( α , db galat ) s
Yi −Y j
di mana : db galat
= derajat bebas galat sesuai dengan rancangan yang dilakukan
s
=
Yi −Y j
galat
baku
beda
rataan
sesuai
dengan
rancangan
yang
dilakukan dengan data hilang. Untuk rancangan petak terbagi penentuan t tabel harus sesuai dengan analisis ragam dan jenis pembanding rata-rata yang akan dilakukan uji lanjut Seperti pada tabel 2.17 berikut :
52 Tabel 2.17
Tabel t untuk Masing-masing Pasangan dari Empat Jenis Pembandingan Berpasangan dalam Rancangan Petak Terbagi
No
Jenis Pembandingan
1.
Dua
nilai
rataan
Contoh
petak
utama
anak
petak
T tabel
a1 - a 2
t a = t ( α , db galat a )
b1- b 2
t b = t ( α , db galat b )
a1b1- a1b 2
t b = t ( α , db galat b )
a1b1- a 2 b1
t=
( taraf faktor A) 2.
Dua
nilai
rataan
(taraf faktor B) 3.
Dua nilai rataan anak petak pada perlakuan petak utama yang sama
4.
Dua nilai rataan petak utama yang sama dengan anak petak yang berbeda
(b − 1)( KTGb )(tb ) + ( KTGa )(ta ) (b − 1)( KTGb ) +( KTGa )
