24
BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1
Pendahuluan Ilmu pengetahuan tentang bentuk antrian, yang sering disebut sebagai teori antrian (queueing theory) merupakan sebuah bagian penting operasi dan juga alat yang sangat berharga bagi manajer operasi. Menurut Render dkk. (2005, p418) antrian (waiting line / queue) diartikan sebagai orang-orang atau barang dalam barisan yang sedang menunggu untuk dilayani, sebagai contoh pasien yang sedang menunggu di ruang praktik dokter, mesin bor yang sedang menunggu di bengkel untuk diperbaiki, dll. Antrian merupakan aktivitas yang tidak lepas dari kehidupan manusia sehari-hari. Suka atau tidak suka, manusia tetap harus melakukan aktivitas antrian tersebut. Menurut Taha (1997, p176), fenomena menunggu atau mengantri merupakan hasil langsung dari keacakan dalam operasional pelayanan fasilitas. Secara umum, kedatangan pelanggan ke dalam suatu sistem dan waktu pelayanan untuk pelanggan tersebut tidak dapat diatur dan diketahui waktunya secara tepat, namun sebaliknya, fasilitas operasional dapat diatur sehingga dapat mengurangi antrian. Aminudin (2005, p169) juga menyatakan terdapat beberapa ukuran kinerja dari sistem antrian. Ukuran-ukuran kinerja tersebut antara lain:
25
Lama waktu pelanggan harus menunggu sebelum dilayani.
Persentase waktu fasilitas pelayanan yang tidak digunakan atau menganggur karena tidak ada pelanggan.
Ukuran-ukuran kinerja tersebut merupakan parameter yang menentukan kinerja dari suatu fasilitas. Semakin singkat waktu bagi pelanggan untuk menunggu dan semakin sedikit waktu menganggur fasilitas pelayanan berarti kondisi sistem akan semakin optimal. Penyusunan teori antrian dipelopori oleh A. K. Erlang, seorang insinyur berkebangsaan Denmark, pada tahun 1909. Ia bekerja di sebuah perusahaan telepon dan melakukan percobaan yang melibatkan fluktuasi permintaan sambungan telepon serta pengaruhnya pada peralatan switching telepon. Sebelum Perang Dunia II, studi awal antrian ini telah berkembang di lingkungan antrian yang lebih umum.
2.2
Elemen Dasar Model Antrian Faktor penting dalam sistem antrian ini adalah pelanggan dan pelayan, di mana ada periode waktu yang dibutuhkan oleh seorang pelanggan untuk mendapatkan pelayanan. Pelanggan akan segera mendapatkan pelayanan bila ia dapat datang tepat pada waktu di antara waktu tunggu dengan waktu pelayanan berikutnya. Menurut Kakiay (2004, p4) yang harus diingat dan diperhitungkan adalah bahwa baik pelayan maupun pelanggan yang ada di
26
dalam sistem antrian tersebut adalah manusia yang berprilaku (human behaviour). Sebagai manusia pelayan (human server), pelayan dapat melayani dengan kecepatan tinggi sehingga mengurangi waktu menunggu, atau juga melayani dengan lambat sehingga akan memperlama waktu tunggu.
2.2.1 Sifat Pemanggilan Populasi Populasi yang dimaksud di dalam teori antrian merupakan seluruh target pelanggan yang sedang dan akan menggunakan fasilitas pelayanan, sedangkan yang dimaksud dengan pelanggan tidak selalu berupa manusia, melainkan dapat berupa produk dan benda lainnya yang melakukan aktivitas mengantri untuk dilayani atau diproses oleh satu atau lebih fasilitas pelayanan.
2.2.2 Ukuran Pemanggilan Populasi Aminudin (2005, p173) mengemukakan bahwa terdapat dua ukuran pemanggilan populasi, yaitu terbatas (finite) dan tidak terbatas (infinite). Bila populasi relatif besar dan probabilitas seorang pelanggan tidak dipengaruhi oleh jumlah pelanggan yang telah berada pada suatu fasilitas pelayanan, maka dapat diasumsikan bahwa populasi tersebut tidak terbatas. Populasi yang tidak terbatas (infinite) misalnya mobil yang tiba di gerbang tol, pasien yang datang ke rumah sakit, calon mahasiswa yang mendaftar ke sebuah perguruan tinggi, dan lain-lain. Populasi terbatas (finite) biasanya memiliki ukuran populasi yang kecil dan memiliki probabilitas kedatangan yang berubah secara drastis
27
ketika ada angota populasi yang sedang menerima pelayanan. Contohnya antara lain tiga buah mesin pada sebuah pabrik yang memerlukan pelayanan operator secara terus menerus, lima buah mobil milik sebuah perusahaan yang secara berkala mengunjungi fasilitas reparasi kendaraan, permainanpermainan dalam sebuah arena bermain yang memerlukan inspeksi secara berkala, dan lain-lain.
2.2.3 Pola Kedatangan dari Pemanggilan Populasi Subjek pemangilan populasi bisa tiba pada sebuah fasilitas pelayanan dalam beberapa pola tertentu, bisa juga secara acak. Aminudin (2005, p173) menyatakan bahwa analisis riset operasi telah mendapati bahwa tingkat kedatangan acak paling cocok diuraikan menurut distribusi Poisson. Tentu saja tidak semua kedatangan memiliki pola distribusi Poisson, oleh karena itu, sebelumya perlu dipastikan terlebih dahulu pola distribusi kedatangan tersebut sebelum diolah. Untuk menentukan apakah suatu pola distribusi tertentu Beberapa pola distribusi lainnya akan dibahas kemudian.
2.2.4 Tingkah Laku Pemanggilan Populasi Terdapat tiga istilah yang biasa digunakan dalam antrian untuk menggambarkan tingkah laku pemanggilan populasi (Aminudin, 2005, p174). Ketiga istilah tersebut antara lain:
28
1.
Renege Merupakan tingkah laku pemanggilan populasi dimana seseorang bergabung dalam antrian dan kemudian meninggalkannya.
2.
Balking Merupakan tingkah laku pemangilan populasi dimana seseorang tidak mau bergabung dalam antrian.
3.
Bulk Merupakan tingkah laku pemanggilan populasi dimana kedatangan terjadi bersama-sama (berkelompok) ketika memasuki sistem.
2.3
Sifat Fasilitas Pelayanan
2.3.1 Perilaku Sistem Antrian Terdapat tiga macam perilaku sistem antrian yang mungkin dapat terjadi dalam suatu sistem antrian (White et al., 1975, p90), yaitu: 1.
Single waiting line Merupakan perilaku sistem antrian dimana terdapat satu buah jalur antrian. Pelanggan yang ingin menggunakan fasilitas pelayanan menunggu dalam sebuah antrian sampai gilirannya untuk dilayani oleh salah satu server.
2.
Multiple waiting line without jockeying Merupakan perilaku sistem antrian dimana masing-masing server memiliki jalur antriannya masing-masing dan setiap pelanggan yang
29
menunggu di masing-masing jalur antriannya tersebut tidak dapat pindah jalur ke jalur lainnya. 3.
Multiple waiting line with jockeying Merupakan perilaku sistem antrian dimana masing-masing server memiliki jalur antriannya masing-masing dan setiap pelanggan yang menunggu di masing-masing jalur antriannya dapat pindah jalur ke jalur lainnya jika terdapat jalur lain yang antriannya lebih sedikit. Gambar 2.1-2.3 berikut ini menunjukkan ketiga perilaku sistem antrian
yang telah dibahas diatas.
Gambar 2.1 Single Waiting Line
30
Gambar 2.2 Multiple Waiting Line without Jockeying
Gambar 2.3 Multiple Waiting Line with Jockeying
31
2.3.2 Disiplin Antrian Disiplin antrian merupakan urutan bagaimana suatu subjek pemanggilan populasi akan dilayani. White et al. (1975, p9) mengemukakan bahwa terdapat lima jenis disiplin antrian yang sering digunakan dalam teori antrian, yaitu: 1.
First Come First Served (FCFS) FCFS merupakan salah satu disiplin antrian dimana pelanggan yang dilayani terlebih dahulu adalah pelanggan yang datang lebih awal.
2.
Last Come First Served (LCFS) LCFS merupakan salah satu disiplin antrian dimana pelanggan yang datang paling akhirlah yang akan dilayani terlebih dahulu.
3.
Service in Random Order (SIRO) SIRO merupakan salah satu disiplin antrian dimana pelayanan dilakukan dengan urutan acak.
4.
Shortest Processing Time (SPT) SPT merupakan salah satu disiplin antrian dimana pelanggan yang memiliki waktu pelayanan atau pemrosesan yang paling singkatlah yang akan dilayani atau diproses terlebih dahulu.
5.
General Service Discipline (GD) GD digunakan jika disiplin antrian tidak ditentukan dan hasil yang diperoleh akan sama dengan disiplin antrian yang lain, misalnya FCFS dan LCFS.
32
2.3.3 Pola Distribusi Waktu Pelayanan Waktu pelayanan bisa konstan, bisa pula acak. Apabila waktu pelayanan didistribusikan secara acak, maka harus ditentukan distribusi probabilitas yang paling sesuai untuk menggambarkan perilakunya. Aminudin (2005, p175) menyatakan bahwa biasanya jika waktu pelayanannya acak, analisis antrian menggunakan distribusi probabilitas Eksponensial. Pola distribusi lainnya juga akan dibahas kemudian.
2.4
Struktur Antrian Dasar Proses antrian secara umum dikategorikan menjadi empat struktur dasar menurut fasilitas pelayanan (Kakiay, 2004, p13). Keempat struktur antrian dasar tersebut adalah: 1.
Single Channel Single Phase Pada struktur antrian ini, subjek pemanggilan populasi yang dilayani akan datang, masuk dan membentuk antrian pada satu baris/aliran pelayanan dan selanjutnya akan berhadapan dengan satu fasilitas pelayanan. Contoh dari struktur antrian ini adalah sebuah kantor pos yang hanya mempunyai satu loket pelayanan dengan satu jalur antrian. Gambar 2.4 berikut ini akan menunjukkan struktur antrian single channel single phase.
33
Gambar 2.4 Antrian Single Channel Single Phase
2.
Single Channel Multiple Phase Pada struktur antrian ini, subjek pemanggilan populasi yang dilayani akan datang, masuk dan membentuk antrian pada beberapa aliran pelayanan dan selanjutnya akan berhadapan dengan satu fasilitas pelayanan sampai pelayanan selesai. Contoh dari struktur antrian ini adalah seorang pasien yang berobat ke rumah sakit, mereka harus antri untuk mendaftar di loket pendaftaran terlebih dahulu, setelah selesai mendaftar, pasien masuk ke ruangan pemeriksaan awal, dan setelah menerima catatan diagnosa dari perawat maka pasien akan antri kembali untuk diperiksa olah dokter. Gambar 2.5 berikut ini akan menunjukkan struktur antrian single channel multiple phase.
Gambar 2.5 Antrian Single Channel Multiple Phase
34
3.
Mulitple Channel Single Phase Pada struktur antrian ini, subjek pemanggilan populasi yang dilayani akan datang, masuk dan membentuk antrian pada satu baris/aliran pelayanan dan selanjutnya akan berhadapan dengan beberapa fasilitas pelayanan identik yang paralel. Contoh dari struktur antrian ini adalah sebuah kantor pos yang mempunyai beberapa loket pelayanan dengan satu jalur antrian. Gambar 2.6 berikut ini akan menunjukkan struktur antrian multiple channel single phase.
Gambar 2.6 Antrian Multiple Channel Single Phase
4.
Multiple Channel Multiple Phase Pada struktur antrian ini, subjek pemanggilan populasi yang dilayani akan datang dan masuk ke dalam sistem pelayanan yang dioperasikan oleh beberapa fasilitas pelayanan paralel yang identik menuju ke fasilitas pelayanan setelahnya sampai pelayanan selesai. Contoh dari struktur antrian ini adalah seorang pasien yang berobat ke rumah sakit,
35
dimana terdapat beberapa perawat dan beberapa dokter. Gambar 2.7 berikut ini akan menunjukkan struktur antrian multiple channel multiple phase.
Gambar 2.7 Antrian Multiple Channel Multiple Phase
2.5
Pola Distribusi Antrian White et al. (1975, pp26-30) menyatakan bahwa terdapat beberapa pola distribusi diskret yang terdapat dalam teori antrian antara lain: 1.
Distribusi Bernoulli Distribusi Bernoulli digunakan jika percobaan hanya menghasilkan salah satu dari dua kemungkinan hasil. Berikut ini merupakan probability mass function dari distribusi Bernoulli: P( x ) p x (1 p )1 x , x = 0,1, 0 < p < 1
2.
Distribusi Binomial Distribusi Binomial digunakan jika sebuah percobaan terdiri dari
36
beberapa sub-percobaan Bernoulli yang independen, dan setiap subpercobaan juga menghasilkan salah satu dari dua kemungkinan hasil. Setelah melakukan beberapa sub-percobaan tersebut, dihitung jumlah terjadinya kejadian yang diteliti. Berikut ini merupakan probability mass function dari distribusi Binomial: P( x) 3.
n! p x (1 p ) n x , x = 0,1,2,…,n, 0 < p < 1 x!(n x )!
Distribusi Poisson Suatu distribusi mengikuti pola distribusi Poisson jika mengikuti aturan berikut ini: a.
Tidak terdapat dua kejadian yang terjadi bersamaan.
b.
Proses kedatangan bersifat acak.
c.
Rata-rata jumlah kedatangan per interval waktu sudah diketahui dari pengamatan sebelumnya.
d.
Bila interval waktu dibagi ke dalam interval yang lebih kecil, maka pernyataan-pernyataan berikut ini harus dipenuhi: -
Probabilitas tepat satu kedatangan adalah sangat kecil dan konstan.
-
Probabilitas dua kedatangan atau lebih selama interval waktu tersebut angkanya sangat kecil sehingga mendekati nol.
37
-
Jumlah kedatangan pada interval waktu tersebut tidak tergantung pada kedatangan di interval waktu sebelum dan sesudahnya.
Berikut ini merupakan probability mass function dari distribusi Poisson: P ( x) 4.
x e , x = 0,1,2,…. , λ > 0 x!
Distribusi Geometric Sama seperti distribusi Binomial, variabel acak distribusi Geometric juga
terkait
dengan
variabel
acak
Bernoulli.
Perbedaannya,
probabilitas pada distribusi Geometric hanya menentukan peluang terjadinya kejadian pertama setelah beberapa kali percobaan. Berikut ini merupakan probability mass function dari distribusi Geometric: P( x ) p (1 p) x 1 , x = 0,1,2,… , 0 < p < 1 5.
Distribusi Negative Binomial Variabel acak Negative Binomial dapat diinterpretasikan sebagai jumlah percobaan Bernoulli yang diperlukan untuk memperoleh hasil dengan jumlah tertentu. Berikut ini merupakan probability mass function dari distribusi Negative Binomial: P( x)
( x 1)! p n (1 p) x n , x = n, n+1, … n = 1,2,… (n 1)!( x n)!
38
Selain mengikuti pola distribusi diskret, teori antrian juga menggunakan beberapa pola distribusi kontinyu untuk data-data kontinyu (White et al., 1975, pp33-39). Pola distribusi kontinyu yang lazim digunakan antara lain: 1.
Distribusi Normal Distribusi normal merupakan distribusi yang paling dikenal dalam teori probabilitas karena kemampuannya untuk mendeskripsikan fenomena kejadian acak. Kurva normal berbentuk lonceng dengan nilai rata-ratanya berada pada titik tengah kurva yang berarti jumlahnya paling banyak. Berikut ini merupakan probability density function dari distribusi Normal: P ( x)
2.
1 ( x ) 2 exp (2 )1 / 2 2 2
Distribusi Exponential Distribusi eksponensial biasanya berguna untuk mendeskripsikan waktu antar kedatangan dan waktu pelayanan dalam teori antrian. Distribusi eksponensial memiliki ciri-ciri sebagai berikut: a.
Waktu antar kejadian bersifat acak.
b.
Waktu antar kejadian berikutnya independen terhadap waktu antar kejadian sebelumnya.
c.
Waktu pelayanan dalam antrian tergantung dari unit yang dilayani.
39
Berikut ini merupakan probability density function dari distribusi Exponential: P ( x ) e x , λ > 0 3.
Distribusi Gamma Distribusi Gamma hanya digunakan jika jumlah jumlah kejadian yang berhasil berupa integer. Jika jumlah kejadian berhasil bukan integer, maka variabel acak Gamma tidak dapat direpresentasikan dengan menggunakan jumlah variabel acak eksponensial yang identik. Distribusi Gamma biasanya memiliki kurva berbentuk kurva normal yang menjulur positif. Berikut ini merupakan probability density function dari distribusi Gamma: P ( x)
4.
n n1 x x e ,λ>0,n>0 ( n)
Distribusi Weibull Distribusi Weibull merupakan salah satu distribusi data kontinyu yang paling berguna untuk memodelkan kegagalan (failure) dari sebuah produk. Berikut ini merupakan probability density function dari distribusi Weibull: P( x)
x 1 x exp
40
5.
Distribusi Erlang Distribusi Erlang berkaitan erat dengan variabel acak eksponensial dan Gamma. Distribusi Erlang digunakan jika pelayanan dalam suatu sistem antrian sifatnya sama dan rutin serta waktu pelayanannya cenderung menurun. Berikut ini merupakan probability density function dari distribusi Erlang: (k ) k k 1 kx P( x) x e , λ > 0 , integer k > 0 (k 1)!
6.
Distribusi Hyperexponential Distribusi Hyperexponential terjadi dalam teori antrian ketika waktu pelayanan untuk satu unit berdistribusi eksponensial dengan jumlah parameter lebih dari satu. Berikut ini merupakan probability density function dari distribusi Hyperexponential: P( x) p1e 1x (1 p) 2 e 2 x
7.
Distribusi Uniform Distribusi Uniform memiliki nilai variabel acak yang berada di antara dua buah nilai. Distribusi ini penting dalam simulasi karena mampu menghasilkan banyak variabel acak lainnya. Berikut ini merupakan probability density function dari distribusi Uniform: P ( x)
1 ba
41
2.6
Notasi Model Sistem Antrian Karakteristik dan asumsi dari model antrian dirangkum dalam bentuk notasi. Notasi standar yang digunakan menurut White et al. (1975, p8) adalah sebagai berikut: (x|y|z):(u|v|w) Berikut ini adalah keterangan dari setiap simbol notasi standar di atas:
x, menyatakan distribusi kedatangan (atau antar kedatangan).
y, menyatakan distribusi waktu pelayanan.
z, menyatakan jumlah fasilitas pelayanan paralel dalam sistem.
u, menyatakan disiplin antrian yang digunakan.
v, menyatakan jumlah maksimum unit dalam sistem (yang dilayani dan yang menunggu)
w, menyatakan ukuran pemanggilan populasi
Notasi standar untuk simbol x dan y sebagai distribusi kedatangan dan waktu pelayanan dapat digantikan dengan simbol-simbol dalam Tabel 2.1 berikut ini:
42
Tabel 2.1 Tabel Simbol Distribusi Kedatangan dan Waktu Pelayanan Simbol
Keterangan
M
Distribusi kedatangan Poisson atau sama dengan distribusi eksponensial untuk waktu antar kedatangan dan waktu pelayanan. M menunjukkan properti Markov pada distribusi eksponensial.
GI
Tingkat kedatangan atau waktu antar kedatangan berdistribusi General Independent.
G
Tingkat pelayanan atau waktu pelayanan berdistribusi General.
D
Waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan berdistribusi deterministik (konstan).
Ek
Kn
HEk
Waktu antar berdistribusi k. Waktu antar berdistribusi bebas.
kedatangan atau waktu pelayanan Erlang atau Gamma dengan fase kedatangan atau waktu pelayanan Chi-Square dengan n derajat
Waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan berdistribusi Hyperexponential dengan fase k.
Simbol z, v, dan w digantikan dengan angka nominal yang sesuai dengan sistem antrian. Jika jumlah maksimum unit dalam sistem dan populasi tidak terbatas (infinite), maka simbol v dan w dapat digantikan dengan simbol ∞. Notasi standar untuk simbol u sebagai jenis disiplin antrian yang digunakan dapat digantikan dengan simbol-simbol dalam Tabel 2.2 berikut ini:
43
Tabel 2.2 Tabel Simbol Disiplin Antrian Simbol
2.7
Keterangan
FCFS
First Come First Served
LCFS
Last Come First Served
SIRO
Service in Random Order
SPT
Shortest Processing (Service) Time
GD
General Service Discipline
Identifikasi Distribusi Identifikasi distribusi data kedatangan dilakukan untuk mengetahui apakah data kedatangan tersebut mengikuti suatu pola distribusi teoritik tertentu
sehingga
formula
untuk
mengestimasikan
parameter
dapat
disesuaikan dengan distribusinya. Menurut White et al. (1975, p298), pengujian ini terdiri dari tiga tahap, yaitu: 1.
Data Collection Merangkum data dan menyimpulkan secara kasar pola distribusi data tersebut berdasarkan bentuk grafiknya.
2.
Parameter Estimation Mengestimasikan
berbagai
parameter
dari
distribusi
yang
dihipotesiskan. 3.
Goodness of Fit Test Menentukan apakah data yang dikumpulkan mengikuti pola distribusi yang dihipotesiskan dengan menggunakan Uji Kebaikan Suai.
44
2.8
Uji Kebaikan Suai (Goodness of Fit) Menurut Walpole (1995, p325), Uji Kebaikan Suai digunakan untuk mengetahui apakah suatu populasi memiliki suatu distribusi teoritik tertentu. Uji ini didasarkan pada seberapa baik kesesuaian antara frekuensi yang teramati dalam sampel dengan frekuensi harapan pada distribusi yang dihipotesiskan. Chi-Square Test Pengujian yang biasa dilakukan pada Chi-Square Test antara lain distribusi Binomial, distribusi Poisson, dan distribusi Normal. Adapun langkah-langkah dalam pengujian tersebut yaitu: 1.
Tentukan interval kelas k.
2.
Tentukan nilai χ2 dengan rumus: k
2 i 1
(Oi Ei ) 2 Ei
3.
Tentukan taraf nyata (α).
4.
Tentukan nilai derajat bebas (d). d = ( k – 1 ) – [jumlah parameter pada distribusi yang dihipotesiskan]
5.
Tentukan nilai kritis 12 pada tabel distribusi Chi-Square.
6.
Jika χ2 > 12 , tolak hipotesis bahwa data mengikuti pola distribusi yang dihipotesiskan.
45
Kolmogorov-Smirnov Test Uji Kolmogorov-Smirnov digunakan untuk menentukan seberapa baik sebuah sampel data acak mengikuti pola distribusi teoritis tertentu (normal, uniform, poisson, atau eksponensial). Uji ini didasarkan pada perbandingan fungsi distribusi kumulatif sampel dengan fungsi distribusi kumulatif hipotesis. Langkah-langkah dalam uji Kolmogorov-Smirnov adalah: 1.
Tentukan frekuensi distribusi kumulatif sampel Sn(x) dan distribusi kumulatif hipotesis F(x).
2.
Hitung | F(xi) – Sn(xi) | dan | F(xi) – Sn(xi-1) | jika F(x) kontinyu. Jika F(x) diskret, hanya perlu menghitung | F(xi) – Sn(xi) |.
3.
Tentukan nilai maksimum Dmax dari perhitungan nomor 2.
4.
Tentukan taraf nyata (α).
5.
Tentukan nilai kritis
Dn n
dari tabel nilai kritis perbedaan absolut
maksimum antara distribusi kumulatif sampel dan populasi. 6.
Jika Dmax
Dn n
, tolak hipotesis bahwa data mengikuti pola distribusi
yang dihipotesiskan. Pada prakteknya, hanya satu jenis uji kebaikan suai yang perlu dilakukan. White et al. (1975, p338) mengemukakan bahwa sebaiknya menggunakan Kolmogorov-Smirnov Test karena secara statistik terbukti lebih baik daripada Chi-Square Test.
46
2.9
Model M/M/1/FCFS/∞/∞ Model M/M/1/GD/∞/∞ ini adalah model yang paling umum dan sering dibahas dalam masalah antrian. Model ini adalah model antrian yang paling sederhana dengan mengasumsikan bahwa input kedatangan mengikuti distribusi Poisson dan pelayanan mengikuti distribusi Eksponensial. Menurut Harris et al. (1998, p53), fungsi densitas untuk waktu antar kedatangan dan waktu pelayanan untuk model M/M/1 adalah : a(t) = λe-λt , b(t) = μe-μt Dimana 1/λ adalah rata-rata waktu antar kedatangan dan 1/μ adalah waktu pelayanan, sebaiknya waktu pelayanan diasumsikan secara statistik berdiri sendiri. Berikut adalah rumus-rumus penghitungan karakteristik operasional dalam model antrian M/M/1 : n
1.
Po = 1 , Po adalah probabilitas tidak ada individu dalam sistem.
2.
Lq =
2 , Lq adalah rata-rata jumlah individu dalam antrian (unit). ( )
3.
Ls =
, Ls adalah rata-rata jumlah individu dalam sistem (antrian
dan pelayanan) (unit).
47
4.
Wq =
, Wq adalah rata-rata waktu tunggu dalam antrian (jam). ( )
5.
Ws =
1 , Ws adalah rata-rata waktu dalam sistem (antrian dan
pelayanan) (jam).
2.10
6.
λ adalah tingkat rata-rata kedatangan per satuan waktu (unit/waktu).
7.
μ adalah tingkat rata-rata pelayanan per satuan waktu (unit/waktu).
Model M/Ek/1/FCFS/∞/∞ Distribusi Erlang adalah merupakan satu keluarga dengan distribusi Gamma dan distribusi Eksponensial. Menurut Harris et al. (1998, p128-129) eksponensial itu adalah kasus khusus dari Erlang yang dinamakan tipe 1 (k = 1), sedangkan untuk Erlang (k > 1). Hubungan antara Erlang dengan Eksponensial dapat dijelaskan dengan model antrian dimana bentuk pelayanan suatu sistem memiliki bentuk seri fase-fase yang identik. Dengan
mempertimbangkan
jika
sebuah
model
dengan
waktu
pelayanannya memiliki distribusi Erlang tipe-k, itu lebih mudah untuk di analisa model seperti ini dengan melihat bahwa Erlang dipecah dari k fasefase untuk Eksponensial dengan rata-rata menjadi 1/kμ. Menurut Budihardjo et al. (1999, p866) suatu skema dari bentuk pola yang digambarkan di jurnal tersebut menjelaskan suatu model hipotesa
48
dimana jika terdapat fase yang berbentuk Erlang waktu menunggu akan terjadi peningkatan dimana k > q, dan menurun jika k < q.
Gambar 2.8 Skema One Maverick Stage Dimana → A : Erlang (k) fase = 1, Bi : Erlang (q) fase > 1. Berikut adalah rumus-rumus penghitungan karakteristik operasional dalam model antrian M/Ek/1 : 1.
, adalah tingkat kegunaan fasilitas sistem atau utilitas (rasio)
2.
Lq = Wq, Lq adalah rata-rata jumlah individu dalam antrian (unit).
3.
Ls = Lq + , Ls adalah rata-rata jumlah individu dalam sistem (antrian dan pelayanan) (unit).
4.
Wq =
k 1 , Wq adalah rata-rata waktu tunggu dalam antrian 2k (1 )
(jam). 5.
Ws = Wq +
1 , Ws adalah rata-rata waktu tunggu sistem (antrian dan
pelayanan) (jam). 6.
λ adalah tingkat rata-rata kedatangan per satuan waktu (unit/waktu).
7.
μ adalah tingkat rata-rata pelayanan per satuan waktu (unit/waktu).
