BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1
Pendahuluan
Projek R mulai dikembangkan oleh Robert Gentlemean dan Ross Ihaka dari departemen statistika di universitas Auckland pada tahun 1995. R merupakan lanjutan pengembangan setelah S dan S-plus . dan merupakan suatu sumber informasi terbuka dalam lingkup pengembangan model komputasi statistika. R memiliki banyak fungsi, salah satunya membangkitkan data acak, namun banyak fungsi-fungsi lainnya yang dapat dilakukan dengan menggunakan software R. Dengan mensimulasi data acak dengan menggunakan parameter yang berbedabeda, dengan melakukan kegiatan ataupun percobaan akan memberi kita hasil dan membuktikan dengan cepat dan tepat. Dan dapat dilihat hasilnya dengan melihat visualisasi yang berupa grafik ataupun histogram, simulasi merupakan pengetahuan hal yang harus dimilki setiap orang, karena dengan menggunakan simulasi kita dapat mengetahui sesuatu hal lebih jelas dan terperinci.
Universitas Sumatera Utara
Beberapa pengertian simulasi menurut beberapa ahli : Nailor (1966) dalam rubinstein dan Melamed (1998). Simulasi adalah teknik numerik untuk melakukan eksperimen pada komputer, melibatkan ilmu matematik dan model tertentu yang mnenjelaskan prilaku bisnis atau ekonomi pada suatu periode waktu tertentu. Darnius, O (2006, Hal:53) simulasi berarti rekayasa suatu model ilmiah untuk melihat kebenaran atau kenyataan model tersebut. Kemampuan untuk mensimulasikan data acak dengan jenis yang berbeda misalnya, akan memampukan peniliti untuk membuat pertanyaan dan menjawab pertanyaan-pertanyaan dengan cara yang singkat. Simulasi merupakan suatu yang sangat perlu dimiliki. Banks (1998). Simulasi adalah tiruan dari proses dunia nyata atau system. Simulasi menyangkut pembakitan proses serta pengamatan dari proses untuk menarik kesimpulan dari system yang diwakili Borowski dan Borwein (1989) simulasi diartikan sebagai teknik untuk membuat konstruksi model matematika untuk suatu proses atau situasi, untuk menduga seca karakteristik atau menyelesaikan masalah berkaitan dengan menggunakan model yang diajukan.
Universitas Sumatera Utara
2.2
Distribusi Geometri
Suatu fenomena yang digambarkan sebagai jumlah, banyaknya usaha yang perlu dilakukan untuk mendapatkan sukses pertama dari suatu percobaan yang dilkukan secara berulang, dengan ketentuan bahwa setiap perulangan mempunyai peluang sukses (p) adalah fenomena yang mengikuti pola sebaran geometri. Distribusi geometri merupakan suatu distribusi probabilitas diskrit yang dapat menggunakan landasan pemikiran simulasi diskrit bilangan random yang mempunyai random variate dengan q = 1 - p, dengan p merupakan parameter dari distribusi geometri. . Misalnya dalam sebuah perusahaan yang menghasilkan dua kondisi yaitu apakah terdapat keuntungan (U) dan kerugian (R) . Peluang terjadinya peristiwa dari percobaan U, P(U) sebesar p dan peluang terjadinya peristiwa R, P(R) sebesar 1 – p. Jika percobaan itu diulang beberapa kali sampai peristiwa U terjadi pertama kali. Jika peubah acak X menyatakan banyak eksperimen dan pengulangannnya yang dilakukan sampai peristiwa S terjadi pertama kali, maka X=x yang artinya banyak percobaan dan pengulangan yang dilakukan sampai mengahsilkan peristiwa U terjadi pertama kali, adalah x kali. Ini menunjukkan bahwa sampai pengulangan ke (x - 2) menghasilkan peristiwa R dan pada pengulangan ke (x - 1) menghasilkan peristiwa U. Kita akan menghitung peluang bahwa peristiwa U terjadi pertama kali pada pengulangan percobaan ke (x – 1) susunannya pada percobaan :
x kali
Universitas Sumatera Utara
R
R
R
1-p
1-p 1
....
R
R
R
1-p
1-p
1-p
p
2
x-3
x-2
x-1
Karena setiap pengulangan bersifat bebas, P(U) = p dan P(R) = 1 – p berharga tetap untuk setiap pengulangan percobaan, maka peluang dari peristiwa susunan diatas adalah
P( R R R ... U U U) = P(R).P(R).P(R) ... P(R).P(R).P(R) = (1 – p) (1 – p) (1 – p) ... (1 – p) (1 – p) (p) P( R R R ... U U U ) = 1 – p
.p
Sehingga peluang terjadi peristiwa sukses terjadi pada pengulangan percobaan ke x adalah P(X=x) = 1 – p
.p
Dari pemisalan diatas dapat didefinisikan distribusi geometri p(x) = P(X=x) = 1 – p
.p
x = 1,2,3,....
penulisan notasi dari peubah acak X yang berdistribusi geometri adalah X ~ G (x ; p) artinya peubah acak X berdistribusi geometrik dengan banyak pengulangan percobaan sampai ke x kali dan peluang terjadinya peristiwa sukses sebesar p. Sebuah percobaan dikalatakan mengikuti distribusi geometri, jiuka percobaan tersebut memenuhi sifat-sifat sebagai berikut: 1. Percobaan terdiri atas dua peristiwa, seperti sukses ataupun gagal. 2. Percobaan diulang bebrapa kali sampai peristiwa sukses terjadi pertama kali. 3. Peluang terjadinya peristiwa sukses dan gagal pada setiap pengulangan percobaan bersifat tetap.
Universitas Sumatera Utara
4. Setiap pengulangan percobaan bersifat bebas.
2.3 Ekspektasi dan Variansi
1
.p x
E X
.
. 1 – p
1
1
.
.
.
.
.
1
1 1
1
1
1
…
1 1
1 1
1
1 1
1
1
1 1 1
1
1 1
Universitas Sumatera Utara
1
Berdasarkan variansi
1
= E[X(X – 1) + X] – [E( = E[X(X – 1)] + E(X) – [E( E X X – 1
1 .
.
1 . 1
P 1 – p
1 . 1
p 1 – p
p 1 – p
p 1 – p .
p 1 – p .
p 1 – p .
1
1
1
1
1
1 1
1
21 1 p 1 1 p 2p p
Universitas Sumatera Utara
E X X – 1
2 1
Maka
2 1
1
1
1
Universitas Sumatera Utara
