BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Ruang sampel dan Kejadian

Definisi 1

Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan S (Montgomery, 2004: 17).

Tiap hasil dari ruang sampel disebut unsur atau anggota ruang sampel tersebut atau dengan istilah titik sampel.

Contoh:

Suatu percobaan melantunkan sebuah dadu, bila yang diselidiki adalah kemungkinan semua nomor yang muncul maka ruang sampelnya. S = {1,2,3,4,5,6}

Definisi 2

Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel suatu percobaan.

Contoh:

Universitas Sumatera Utara

Misalkan ruang sampel dari pelantunan dua mata uang sebanyak satu kali adalah S = {mm, mb, bm, bb} , m menyatakan muka dan b menyatakan belakang. Misalkan

himpunan bagian dari percobaan yang menghasilkan satu muka dan satu belakang dinyatakan sebagai berikut E = {mb, bm}

2.2 Peluang Suatu Kejadian

Teori peluang mempelajari tentang peluang terjadinya suatu kejadian atau peristiwa.Peluang dinyatakan antara 0 dan 1,

Teorema Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang kejadian A:

P ( A) =

n( A) N

2.3 Peubah Acak dan Distribusi Peluang

2.3.1 Peubah Acak

Peubah acak adalah fungsi yang dinyatakan dengan bilangan real untuk setiap percobaan pada ruang sampel.


Ada dua macam peubah acak, yaitu peubah acak diskrit dan peubah acak kontinu. Dikatakan peubah acak diskrit adalah jika semua himpunan nilai yang mungkin dari suatu peubah acak merupakan himpunan terbilang (countable set). Dikatakan peubah acak kontinu adalah jika himpunan semua nilai yang mungkin dari suatu peubah acak merupakan selang bilangan real.

2.3.2 Distribusi Peluang

Fungsi f (x) adalah suatu fungsi peluang atau distribusi peluang suatu peubah acak diskrit X bila, untuk setiap hasil x yang mungkin. 1. f ( x) ≥ 0 n

2.

∑ i =1

f ( xi ) = 0

3. Pr( X = x) = f ( x)

Definisi 3

Distribusi kumulatif F (x) suatu peubah acak diskrit X dengan distribusi peluang f (x) dinyatakan oleh

n

F ( x) = Pr( X = x) = ∑ f ( xi ) i =1

Definisi 4


Fungsi f (x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X , maka fungsi densitas probabilitasnya f (x) adalah sebagai berikut: 1. f ( x) ≥ 0 untuk semua x ∈ R ∞

2.

∫

f ( x)dx = 1

−∞

t

3. P(a ≤ x ≤ b) = ∫ f (t )dt 0

Definisi 5

Distribusi kumulatif F(x) suatu peubah acak kontinu X dengan fungsi padat peluang f(x) dinyatakan oleh

t

F ( x) = P( X ≥ x) = ∫ f ( x)dx 0

Definisi 6

Misalkan X 1 , X 2 ,..., X n peubah acak diskrit maupun kontinu dengan distribusi padat peluangnya f ( x1 , x 2 ,..., x n ) dan distribusi marginal f1 ( x1 ), f 2 ( x 2 ),.., f n ( x n ) . Peubah acak X 1 , X 2 ,..., X n ) dikatakan saling bebas jika dan hanya jika


f ( x1 , x 2 ,..., x n ) = f 1 ( x1 ). f 2( x 2 ),... f n ( x n )

Jika sampel random yang berukuran n tersebut diurutkan dalam suatu urutan naik maka disebut statistik terurut atau order statistik dari X 1 , X 2 ,..., X n dan dinyatakan dengan X 1n , X 2 n ,.., X nn . Misalkan X 1 , X 2 ,..., X n adalah sampel random yang berukuran n dan fungsi distribusi probabilitasnya

f (x)

kontinu dan

f ( x) > 0, a < x < b maka fungsi densitas probabilitas dari statistik terurut ke-k< X k

adalah:

gk (X k ) =

n! [F ( xk )]k −1 [1 − F ( xk ]n−k f ( xk ) jika a < X k
2.4 Sejarah Teori Keandalan

Keandalan adalah keadaan terbaik suatu kerja pada periode yang ditentukan untuk sebuah komponen atau sistem, keandalan didefinisikan sebagai peluang komponen atau suatu sistem tidak akan gagal pada waktu t.

Ilmu keandalan itu sendiri dikembangkan oleh A.K. Erlan dan C. Palm yang digunakan untuk mengatasi masalah yang sering terjadi pada jaringan telepon. Namun perkembangan dunia elektronika yang mempunyai berbagai permasalahan yang rumit memaksa konsep keandalan itu lebih dikembangkan untuk memecahkan masalahmasalah yang ada.


Konsep keandalan pada umumnya digunakan pada waktu yang berisiko tinggi dan membahayakan, contohnya pada industri penerbangan, kegagalan yang mendadak dan kegagalan yang terlalu sering sangat membahayakan dan berisiko tinggi terjadinya kecelakaan. Dari segi ekonomi dan manusiawi sangat merugikan, untuk itu dituntut keandalan sistem yang terbaik.

2.5 Konsep Dasar Distribusi Tahan Hidup

Fungsi-fungsi pada distribusi tahan hidup merupakan suatu fungsi yang menggunakan variabel tertentu. Waktu hidup adalah interval waktu yang diamati dari suatu individu saat perama kali masuk dalam pengamatan hingga keluar dari pengamatan. Misalnya pengamatan suatu mahluk hidup. Variabel random nonnegatif waktu hidup kontinu dinotasikan T dan akan membentuk suatu distribusi. Distribusi dari waktu hidup dapat disajikan sebagai fungsi berikut:

1. Fungsi Kepadatan Peluang

Fungsi kepadatan peluang suatu probabilitas kegagalan suatu sistem dalam interval waktu dari t sampai t + ∆t , dengan waktu T merupakan variabel random. Fungsi kepadatan peluang dinyatakan dengan.  P(t ≤ T < (t + ∆t ))  f ( x) = Lim   ∆t →0 ∆t  

Waktu hidup merupakan variabel random nonnegatif , sehingga waktu hidup hanya diukur untuk nilai t yang positif, maka diperoleh


∞

f (t ) = 0 untuk t<0 dan

∫

f (t )dt = 1

0

2. Fungsi Tahan Hidup

Fungsi Tahan hidup adalah peluang suatu sistem bertahan hidup lebih dari waktu t dengan t > 0 fungsi tahan hidup dinyatakan S (t )

∞

S (t ) = P(T ≥ t ) = ∫ f ( x)dx = 1 − F (t ) 0

Dalam beberapa hal khususnya yang mencakup tahan hidup dari komponenkomponen industri,. S (t ) dinyatakan sebagai fungsi reliabilitas.

Dalam hal ini fungsi tahan hidup S (t ) merupakan fungsi kontinu menurun secara kontinu dengan S (0) = 1 , artinya peluang suatu sistem bertahan hidup lebih lama dari waktu nol adalah 1 dan S (∞) = 0 , artinya peluang suatu sistem atau komponen bertahan hidup pada waktu yang tak terhingga adalah 0.

3. Fungsi Kegagalan (Hazard Function)


Fungsi hazard adalah probabilitas suatu sistem atau komponen gagal dalam interval waktu dari t sampai t + ∆t , jika diketahui suatu sistem atau komponen tersebut masih dapat bertahan hidup sampai dengan waktu t maka fungsi hazard secara matematika dinyatakan sebagai:

 P(t ≤ T < (t + ∆t ) T ≥ t  h(t ) = lim   ∆t →0 ∆t  

(2.1)

Misalkan f(t) adalah fungsi densitas probabilitas pada waktu t, maka dari persamaan (2.1) diperoleh  P(t ≤ T < (t + ∆t ) T ≥ t )  h(t ) = lim   ∆t →0 ∆t    P(t ≤ T < (t + ∆t ) ∩ (T ≥ t ))  = lim   ∆t →0 P(T ≥ t )∆t    P(t ≤ T < (t + ∆t ))  = lim   ∆t →0 P(T ≥ t )∆t    F (t + ∆t ) − F (t )  = lim   ∆t →0  ∆t (1 − F (t ))   F (t + ∆t ) − F (t )  = lim   ∆t →0 ∆t ( S (t ))   , F (t ) = S (t )


f (t ) S (t )

h(t ) =

Fungsi kegagalan dapat juga diturunkan dengan memisalkan sebuah populasi yang mempunyai item sebesar N dengan distribusi kegagalan F (t ) . Misal N(t) sebuah variabel acak maka nilai dari

peluang sukses item pada waktu t akan

membentuk distribusi binomial sebagai berikut:

P[N (t ) = n] =

[

N! R (t ) n!( N − n)!

] [1 − R(t )] n

N −n

n = 0,1,2,..., N

Nilai harapan dari N(t) adalah E [N (t )] = NR (t ) = N (t ) , sehingga __

R(t ) =

[ ]

E N (t ) N (t ) = N N

(2.2)

Maka fungsi distribusi kumulatif dapat dinyatakan dengan mengunakan persamaan (2.2) diperoleh:

F (t ) = 1 − R(t ) = 1− =

N (t ) N

N − N (t ) N


Dan

f (t ) =

dF (t ) dt

=−

1 d N (t ) N dt

3. Fungsi Kegagalan

Fungsi hazard adalah probabilitas suatu sistem atau komponen gagal pada waktu t sampai t + ∆t , jika diketahui sistem atau komponen tersebut masih dapat bertahan hidup sampai dengan waktu t, maka fungsi hazard dapat dinyatakan sebagai berikut N (t ) − N (t + ∆t ) ∆t →0 N (t )∆t N = lim f (t ) ∆t →0 N (t )

h(t ) = lim

h(t ) =

f (t ) R (t )

(2.3)

\

Dari persamaan 2.3 didapat hubungan fungsi kegagalan dan tahan hidup sebagai berikut


d N (t ) 1 dt N (t ) d = − ln N (t ) dt

h(t ) = −

[

]

Atau

t

ln N (t ) = − ∫ h( x)dx + c

(2.4)

0

Karena N (0) = N = 1 , maka diperoleh

t

− ∫ h( x)dx = ln N (t ) 0

 t  N = exp − ∫ h( x)dx   0  Sehingga

 t  N (t ) R(t ) = = exp − ∫ h( x)dx  N  0 

(2.5)

Dari uraian diatas diperoleh hubungan antara f (t ), h(t ), R(t ) sebagai berikut: i. f (t ) = 1 − R (t )


ii. h(t ) =

f (t ) R (t )

 t  iii. R(t ) = exp − ∫ h( x)dx  .  0  Dengan demikian dapat dilihat bahwa ketiga fungsi pada distribusi waktu hidup yaitu f (t ), h(t ) , dan R (t ) saling berhubungan satu dengan yang lainnya.

2.6 Sistem Keandalan

Dalam konsep keandalan juga terdapat beberapa sistem yang dinyatakan untuk membantu menentukan apakah suatu sistem gagal secara total atau tidak.

Dalam suatu proses tidak mudah menentukan kriteria-kriteria kegagalan dalam sistem tersebut. Sebagai contoh perhatikan sistem kegagalan dalam sistem sebuah mobil. Jika tidak dapat berjalan, maka mobil tersebut dinyatakan telah rusak atau gagal sistemnya. Namun haruskah rusaknya lampu depan sebuah mobil dikatakan kegagalan sistem secara total, walaupun mobil dapat digunakan pada cuaca cerah tetapi tidak dapat digunakan secara total pada waktu gelap atau pada malam hari. Oleh karena itu kerusakan sistem sering dikatakan oleh kegagalan atau kerusakan dari komponen-komponennya.

Untuk itu diberikan tiga sistem yang dapat dikatakan sebagai sistem dasar dari keandalan sistem, yaitu sistem seri, sistem paralel, dan sistem gabungan.


2.6.1. Sistem Keandalan Seri

Suatu sistem dapat dibedakan dengan susunan seri jika komonen-komponen yang ada dalam sistem itu harus bekerja dan berfungsi seluruhnya agar sistem tersebut sukses dalam menjalankan fungsinya. Atau dengan kata lain jika ada satu komponen saja yang tidak bekerja, maka akan mengakibatkan sistem tersebut gagal dalam menjalankan fungsinya.

Secara diagram, sistem keandalan seri dapat dilihat pada gambar 2.1

1

2

n

Gambar 2.1 Reliability Block Diagram

Diagram pada gambar 2.1 sering disebut Diagram Blok Keandalan/ Reliability Block Diagram (RDB). Perlu diperhatikan bahwa diagram itu tidak mewakili setiap komponen yang dihubungkan secara seri, tetapi menunjukkan bagaimana komponenkomponen itu diperlakukan dari sudut pandang keandalan.


Jika ada n buah komponen dalam susunan seri dan masing-masing memiliki indeks keandalan R1 R2 ,...., R n , seperti terlihat pada gambar 2.1, maka secara umum sistem keandalan seri dinyatakan sebagai berikut:

n

RS = R1 ⋅ R2 ⋅,... ⋅ Rn = ∏ Ri i =1

Sedangkan ekspresi ketakandalan dari sistem dengan susunan seri dari n buah komponen adalah.:

n

Q = 1 − RS = 1 − ∏ Ri i =1

2.6.2. Sistem Keandalan Paralel

Pada sistem keandalan paralel, kerusakan pada setiap komponen dalam suatu sistem tidak akan menyebabkan kerusakan sistem secara total, atau sering disebut failure tolerant (kerusakan yang dapat ditolerir).

Ada dua jenis dari sistem keandalan paralel, yaitu sistem kelebihan redundant aktif dan kelebihan redundant pasif.


Pada kelebihan aktif, dua atau lebih unit diletakkan dalam sistem keandalan paralel dimana secara normal pembagian fungsi dilakukan tetapi unit-unit tersebut diatur sedemikian hingga jika satu unit atau mungkin lebih mengalami kerusakan, maka sisanya dapat mengantikan posisinya. Sebagai contoh adalah dua mesin pesawat terbang yang diaktifkan tetapi tidak menutup kemungkinan pesawat untuk terbang dengan satu mesin, apabila mesin yang satunya mengalami kerusakan.

Pada kelebihan pasif, satu unit secara normal memegang fungsi secara penuh tetapi jika unit tersebut mengalami kerusakan, maka unit yang lain akan diaktifkan untuk mengambil alih posisinya.

2.6.2.1. Sistem Keandalan Paralel Kelebihan Aktif

Misalkan ada dua unit (1) dan (2) dihubungkan dalam sistem paralel seperti terlihat pada gambar 2.2

1

2 Gambar 2.2 Sistem Keandalan Paralel Kelebihan Aktif Sistem akan rusak apabila 1 dan 2 kedua-duanya mengalami kerusakan. Keandalan sistem didefenisikan sebagai berikut, jika didefinisikan Q (ketakandalan sistem)


Maka

Q = P( E1 ∩ E 2 ) Dimana E adalah kejadian independen bebas sehingga diperoleh:

n

Q = ∏ (1 − R i ) i =1

Jika peluang kegagalan adalah independen, maka fungsi sistem keandalannya adalah:

R p = 1 − ∏ (1 − Ri ) i =1n

2.6.2.2. Sistem Keandalan Paralel Kelebihan Pasif

Pada sistem keandalan pasif, unit utama (1) secara normal membawa fungsi secara penuh dan unit siaga (2) dibawa untuk digunakan ketika unit utama mengalami kerusakan.

Secara sederhana sistem keandalan pasif dapat ditunjukan dalam gambar 2.3


1

2

Gambar 2.3 Sistem Keandalan Paralel Kelebihan Pasif

Cara untuk menganalisis sistem ini adalah harus mempertimbangkan bahwa sistem kegagalan waktu adalah variabel acak yang mengandung jumlah dua variabel acak, yaitu kegagalan waktu (1) dan (2). Jika R1 (t ) + R2 (t ) = exp(−λt )

2.6.3. Kombinasi Sistem Seri dan Paralel

Kombinasi dari sistem seri dan paralel dapat diselesaikan dengan menggabungkan masing-masing subsistem ke dalam komponen seri maupun paralel terlebih dahulu.

Untuk lebih memahami sistem kombinasi seri-paralel, akan diberikan contoh gambar 2.4 dan 2.5.


A

C

B

D

Gambar 2.4 sistem seri-paralel

A

C

B

D

Gambar 2.5 sistem seri-paralel


Dari kedua gambar, gambar (2.4) menunjukkan sistem keandalan seri paralel. Untuk menyelesaikan sistem gabungan ini pertama-tama gabungkan subsistem paralel kedalam bentuk yang sama dengan komponen seri. Misalkan: R A = 0,9, RB = 0,8, RC = 0,7, RD = 0,8

Maka penyelesaian untuk gambar 2.4 dapat dituliskan:

R AB = 1 − (0,1)(0,2) = 1 − 0,02 = 0,98

Dan

RCD = 1 − (0,3)90,4) = 1 − 0,12 = 0,88

Maka keandalan sistem secara keseluruhan adalah

RS = (0,98)(0,88) = 0,8624

Untuk

ganbar

(2.5)

merupakan

sistem

keandalan

paralel-seri.

Untuk

menyelesaikannya pertama-tama kita gabungkan subsistem seri kedalam bentuk yang sama dengan komponen paralel. Dengan nilai keandalan yang sama dengan gambar (2.4), maka diperoleh penyelesaian sebagai berikut:


R AC = (0,9)(0,7) = 0,63

Dan

RBd = (0,8)(0,6) = 0,48

Sehingga keandalan sistem secara keseluruhan adalah:

RS = 1 − (1 − Rac )(1 − RBd ) = 1 − (1 − 0,63)(1 − 0,48) = 1 − (0,37)(0,52) = 1 − 0,1924 = 0,8076

2.7 Data Tersensor

Dalam penyensoran sering terjadi pengamatan yang diteliti tersensor. Masalah penyensoran ini merupakan suatu hal yang membedakan antara uji hidup dengan bidang ilmu statistik yang lain. Data tersensor adalah data yang diperoleh sebelum hasil yang diinginkan dari pengamatan terjadi, sedangkan waktu pengamatan telah berakhir atau oleh sebab lain.


Ada tiga macam metode yang sering digunakan dalam percobaan uji hidup, yaitu sebagai berikut:

1. Sampel lengkap, dalam uji sampel lengkap percobaan akan dihentikan jika semua komponen yang diuji telah mati atau gagal. Cara seperti ini mempunyai keuntungan yaitu dapat dihasilkan observasi terurut dari semua komponen yang diuji. 2. Sensor tipe I, semua objek yang diteliti (n) masuk pengujian dalam waktu yang bersamaan, dan pengujian dihentikan setelah batas waktu t yang ditentukan. Kelemahan dari sensor tipe I ini bila terjadi sampai batas waktu t 0 yang ditentukan semua objek masih hidup sehingga tidak diperoleh data tahan hidup dari objek yang diteliti 3. Sensor tipe II, semua objek yang diteliti (n) masuk pengamatan dalam waktu yang bersamaan, dan pengujian dihentikan setelah mendapatkan r objek gagal atau mati, dengan 1 ≤ r  n . Kelemahan dari sensor tipe II ini adalah waktu yang diperlukan untuk mendapatkan r objek yang matibisa terjadi sangat panjang, tetapi pasti diperoleh data tahan hidup dari r objek tersebut.

2.8 Distribusi

Untuk konsep kemungkinan suatu sistem atau komponen mengalami kerusakan (p) setelah bekerja selama waktu t. Kemungkinan bahwa peralatan tersebut akan tetap bekerja setelah bekerja pada waktu t adalah q = 1 − p . Bila ada n alat, kemungkunan bahwa ada x alat gagal untuk kejadian mutually exclusive dinyatakan dengan fungsi Bernouli yaitu:


f ( x) =

n! p x q n− x x!(n − x)!

Jika x adalah variabel acak binaomial dengan parameter p (peluang suatu sistem atau komponen mengalami kerusakan) dan n (banyaknya observasi) maka mean dan varians distribusi binomial dinyatakan sebagai berikut:

µ = np dan σ 2 = np (1 − p ) = npq

Misalkan x adalah variabel acak yang mempunyai distribusi binomial, dimana p adalah peluang kegagalan suatu sistem atau komponen. Misalkan λ = pn , maka dapat dinyatakan sebagai berikut

 n  λ   λ  P( X = x) =    1 −   x  n   n  x

n− x

Andaikan nilai n semakin besar dan nilai p sangat kecil, maka dapat ditunjukan sebagai berikut

lim P( X = x) = n →α

e λ λx x!

Persamaan ini disebut persamaan distribusi poison


Andaikan p besar dan n juga besar distribusi binomial akan membentuk distribusi normal yang dinyatakan sebagai berikut:

f ( x) =

1 2 nτ

−( x−µ )2

e

2σ 2

2.9 Distribusi Kerusakan

Didalam menentukan distribusi kerusakan tidak ada aturan-aturan yang mutlak untuk memakai hubungan matematik tertentu pada distribusi tersebut. Ini harus didasarkan pada konsep yang paling cocok. Beberapa distribusi kerusakan antara lain:

1. Distribusi Eksponensial

f (t ) = λe λt Dimana, λ = laju kegagalan

2. Distribusi Weibull χ

f (t ) =

β β −1 1 t exp −   , t > 0 β α α 

Dimana: t = waktu


β = parameter bentuk

α = parameter skala

3. Distribusi Gamma

f (t ) =

λr Γ(r )

t r −1e −λt

Dimana:

λ = Parameter skala η =Parameter bentuk t =Waktu

Dengan mean dan varians

µ = E ( X ) = η λ dan σ 2 = V ( X ) = η

λ2

Fungsi reliabilitas n −1

R(t ) = ∑ k =0

( λ t ) k e − λt k!

Fungsi laju kegagalan


h(t ) =

f (t ) R (t )

2.10 Prinsip Dasar Metode Maximum Likelihood

Metode maximum likelihood pertama dibahas oleh R.A Fisher pada tahun 1920, misalkan x1 , x 2, ...x n , menyatakan peubah acak yang saling bebas dengan fungsi padat peluangnya dinyatakan dengan f ( x, θ ) dengan θ parameter yang akan ditaksir dengan metode maximum likelihood, maka fungsi padat peluangnya adalah:

f ( x1 , x , ,..x n ,θ ) = f ( x1 ,θ ). f ( x 2 , θ ).... f ( x nθ ) n

= ∏ f ( xi , θ ) i =1

= L(θ x1 , x 2 ,....x n ) = L(θ )

Dengan:

x1 , x 2 ,...x n = variabel random

θ = parameter yang ditaksir L(θ ) = fungsi likelihood

Penduga maximum likelihood dari θ persamaan

didapat dengan menyelesaikan

∂ ln(θ ) =0 ∂θ


BAB 2 LANDASAN TEORI

Recommend Documents