BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan diberikan beberapa materi yang akan diperlukan di dalam pembahasan, seperti: matriks secara umum; matriks yang dipartisi; matriks tereduksi dan taktereduksi; matriks primitif; nilai eigen, vektor eigen, dan diagonalisasi matriks; teorema Perron-Frobenius; serta model populasi Leslie. 2.1

Matriks Matriks adalah susunan bilangan atau fungsi yang diletakkan atas baris dan

kolom serta diapit oleh dua kurung siku. Bilangan atau fungsi tersebut disebut entri atau elemen matriks. Lambang matriks dilambangkan dengan huruf besar, sedangkan entri (elemen) dilambangkan dengan huruf kecil. Definisi 2.1. Sebuah matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks. (Anton, 2004) Dalam matriks dikenal ukuran matriks yang disebut ordo, yaitu banyak baris × banyak kolom (tanda × bukan menyatakan perkalian, tetapi hanya sebagai tanda pemisah). Secara umum sebuah matriks dapat ditulis: 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝐴=[ ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2

⋯ 𝑎1𝑛 ⋯ 𝑎2𝑛 ⋱ ⋮ ] atau ⋯ 𝑎𝑚𝑛

4

repository.unisba.ac.id

5

penulisan yang lebih singkat 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ] dengan 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 dan 𝑗 = 1, 2, … , 𝑚. Indeks pertama (𝑖) menyatakan baris ke-𝑖 dan indeks kedua (𝑗) menyatakan kolom ke-𝑗. Dua matriks disebut sama, jika ordonya sama dan entri yang seletak bernilai sama, matriks 𝐴 dan 𝐵 sama dapat ditulis 𝐴 = 𝐵. Definisi 2.2. Misalkan 𝑉 adalah suatu himpunan tak kosong dari objek-objek sebarang, dengan dua operasinya didefinisikan, yaitu penjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan). Operasi penjumlahan dapat diartikan sebagai suatu aturan yang mengasosiasikan setiap pasang objek 𝐮 dan 𝐯 pada 𝑉 dengan suatu objek 𝐮 + 𝐯, yaitu disebut jumlah dari 𝐮 dan 𝐯. Operasi perkalian skalar, dapat diartikan sebagai suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar 𝑘 dan setiap objek 𝐮 pada 𝑉 dengan suatu objek 𝑘𝐮, yang disebut kelipatan skalar dari 𝐮 oleh 𝑘. Jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua objek 𝐮, 𝐯, 𝐰 pada 𝑉 dan semua skalar 𝑘 dan 𝑙, maka kita menyebut 𝑉 sebagai ruang vektor dan objek-objek pada 𝑉disebut sebagai vektor. (Anton, 2004) Definisi tersebut terdiri dari 10 aksioma. (1)

Jika 𝐮 dan 𝐯 adalah objek-objek pada 𝑉, maka 𝐮 + 𝐯 berada pada 𝑉.

(2)

𝐮+𝐯= 𝐯+𝐮

(3)

𝐮 + (𝐯 + 𝐰) = (𝐮 + 𝐯) + 𝐰

(4)

Di dalam 𝑉 terdapat suatu objek 𝟎, yang disebut vektor nol untuk 𝑉, sedemikian rupa sehingga 0 + 𝐮 = 𝐮 + 0 = 𝐮 untuk semua 𝐮 pada 𝑉.


6

(5)

Untuk setiap 𝐮 pada 𝑉, terdapat suatu objek – 𝐮 pada 𝑉, yang disebut sebagai negatif dari 𝐮, sedemikian rupa sehingga 𝐮 + (−𝐮) = (−𝐮) + 𝐮 = 𝟎

(6)

Jika 𝑘 adalah skalar sebarang dan 𝐮 adalah objek sebarang pada 𝑉, maka 𝑘𝐮 terdapat pada 𝑉.

(7)

𝑘 (𝐮 + 𝐯) = 𝑘𝐮 + 𝑘𝐯

(8)

(𝑘 + 𝐼 )𝐮 = 𝑘𝐮 + 𝑙𝐮

(9)

𝑘 (𝑙𝐮) = (𝑘𝑙)(𝐮)

(10) 𝑙𝐮 = 𝐮 Skalar dapat berupa bilangan real atau bilangan kompleks, tergantung pada aplikasinya. Ruang vektor dengan skalar-skalarnya adalah bilangan kompleks disebut ruang vektor kompleks, dan ruang vektor dengan skalar-skalarnya merupakan bilangan real disebut ruang vektor real. Definisi dari suatu ruang vektor tidak menyebutkan sifat dari vektor maupun operasinya. Objek apa saja dapat menjadi suatu vektor dan operasi penjumlahan dan perkalian skalar kemungkinan tidak memiliki hubungan atau kemiripan apapun dengan operasi-operasi vektor standar pada ℝ𝑛 . Satu-satunya syarat adalah terpenuhinya kesepuluh aksioma ruang vektor. Definisi 2.3. Subhimpunan 𝑊 dari sebuah ruang vektor 𝑉 dinamakan subruang 𝑉 jika 𝑊 itu sendiri adalah ruang vektor di bawah penambahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada 𝑉. (Anton, 2004) Umumnya,

dibuktikan

kesepuluh

aksioma

ruang

vektor

untuk

memperlihatkan bahwa himpunan 𝑊 dengan penambahan dan perkalian skalar


7

membentuk sebuah vektor. Akan tetapi, jika 𝑊 adalah bagian dari himpunan 𝑉 yang lebih besar, yang dikenal sebagai ruang vektor, aksioma-aksioma tertentu tidak perlu dibuktikan untuk 𝑊 karena aksioma-aksioma tersebut diwarisi dari 𝑉. Misalnya, tidak perlu untuk memeriksa bahwa 𝐮 + 𝐯 = 𝐯 + 𝐮 (Aksioma 2) untuk 𝑊 karena ini berlaku untuk semua vektor pada 𝑉 dan sebagai konsekuensinya akan berlaku juga untuk semua vektor pada 𝑊. Aksioma-aksioma lain yang diwarisi oleh 𝑊 dan 𝑉 adalah aksioma 3, 7, 8, 9, dan 10. Jadi, untuk memperlihatkan bahwa himpunan 𝑊 adalah subruang dari ruang vektor 𝑉, hanya perlu dibuktikan Aksioma 1, 4, 5, dan 6. Definisi 2.4. Jika 𝑆 = {𝐯𝟏 , 𝐯𝟐 , … , 𝐯𝐧 } adalah himpunan vektor, maka persamaan vektor 𝑘1 𝐯𝟏 + 𝑘2 𝐯𝟐 + ⋯ + 𝑘𝑛 𝐯𝐧 = 0 Mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni 𝑘1 = 0,

𝑘2 = 0,

…

𝑘𝑛 = 0

(Anton, 2004) Jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka 𝑆 dinamakan himpunan bebas linear. Jika ada pemecahan lain, maka 𝑆 dinamakan himpunan tak-bebas linear.

2.1.1 Matriks yang Dipartisi Jika 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ] adalah matriks 𝑚 × 𝑛 dan kemudian mencoret beberapa baris atau kolom, diperoleh submatriks dari 𝐴.


8

Misalkan: 1 2 3 4 𝐴 = [−2 4 −3 5]. 3 0 5 3 Jika menghilangkan baris kedua dan kolom ketiga, diperoleh submatriks [

1 2 4 ]. 3 0 −3

Matriks dapat dibagi menjadi submatriks dengan menggambar garis horizontal antara baris dan garis vertikal antara kolom. Partisi dapat dilakukan dalam berbagai cara. Misalkan: 𝑎11 𝑎12 𝑎13 | 𝑎14 𝑎15 𝑎21 𝑎22 𝑎23 | 𝑎24 𝑎25 − − − − − − |− − − − 𝐴= 𝑎31 𝑎32 𝑎33 | 𝑎34 𝑎35 [ 𝑎41 𝑎42 𝑎43 | 𝑎44 𝑎45 ] dipartisi menjadi 𝐴=[

𝐴11 𝐴21

𝐴12 ]. 𝐴22

Dapat ditulis juga menjadi 𝑎11 𝑎12 | 𝑎13 𝑎14 | 𝑎15 𝑎21 𝑎22 | 𝑎23 𝑎24 | 𝑎25 𝐴̂ 𝐴 = − −− −|− −− −|− − = [ 11 𝐴̂21 𝑎31 𝑎32 | 𝑎33 𝑎34 | 𝑎35 [ 𝑎41 𝑎42 | 𝑎43 𝑎44 | 𝑎45 ]

𝐴̂12 𝐴̂22

𝐴̂13 ]. 𝐴̂23

(Kollman dan Hill, 2000)


9

2.1.2 Matriks Tereduksi dan Tak Tereduksi Definisi 2.5. Matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛 dikatakan tereduksi jika memenuhi: (a) 𝑛 = 1 dan 𝐴 = 0; atau (b) 𝑛 ≥ 2, terdapat matriks permutasi 𝐾 ∈ 𝑀𝑛 , dan terdapat beberapa bilangan bulat 𝑟 dengan 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛 − 1, sehingga 𝐾 𝑇 𝐴𝐾 = [

𝐵 0

𝐶 ] 𝐷

dimana 𝐵 ∈ 𝑀𝑟 , 𝐷 ∈ 𝑀𝑛−𝑟 , 𝐶 ∈ 𝑀𝑟,𝑛−𝑟 , dan 0 ∈ 𝑀𝑛−𝑟 , r matriks nol. (Horn dan Johnson, 1985) Suatu matriks dikatakan tak tereduksi jika matriks tersebut tidak tereduksi. Teorema 2.1. Misalkan matriks 𝐴 berukuran 𝑛 𝑥 𝑛 dan 𝐴 ≥ 0. Maka 𝐴 taktereduksi jika dan hanya jika (𝐼 + 𝐴)𝑛−1 > 0. Bukti Teorema (2.1) dapat dilihat di (Horn dan Johnson, 1985)

2.2

Nilai Eigen dan Vektor Eigen Nilai Eigen (𝜆) adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran 𝑛 ×

𝑛. Definisi 2.6. Jika 𝐴 adalah sebuah matriks 𝑛 × 𝑛, maka sebuah vektor taknol 𝐱 pada ℝ𝑛 disebut vektor eigen dari 𝐴 jika 𝐴𝒙 adalah sebuah kelipatan skalar dari 𝐱; jelasnya, 𝐴𝐱 = 𝜆𝐱


10

Untuk skalar sebarang 𝜆. Skalar 𝜆 disebut nilai eigen dari 𝐴, dan 𝐱 disebut sebagai vektor eigen dari 𝐴 yang terkait dengan 𝜆. (Anton, 2004) Nilai eigen dan vektor eigen mempunyai tafsiran geometrik yang bermanfaat dalam ℝ2 dan ℝ3 . Jika 𝜆 adalah nilai eigen dari 𝐴 yang bersesuaian dengan 𝐱, maka 𝐴𝐱 = 𝜆𝐱, sehingga perkalian oleh 𝐴 akan memperbesar 𝐱, atau membalik arah 𝐱 yang bergantung pada nilai 𝜆 (Gambar 1).

(a) Dilatasi (Pembesaran) 𝜆 > 1. (b) Kontraksi 0 < 𝜆 < 1. (c) Pembalikan arah 𝜆 < 0.

Untuk mencari nilai eigen matriks 𝐴 yang berukuran 𝑛 x 𝑛 maka dapat dituliskan kembali 𝐴𝐱 = 𝜆𝐱 sebagai 𝐴𝐱 = 𝜆𝐱 𝜆𝐱 − 𝐴𝐱 = 𝟎 atau secara ekivalen (𝜆𝐼 − 𝐴)𝐱 = 𝟎

(2.2.1)

Agar 𝜆 menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan taknol dari persamaan ini. Persamaan (2.2.1) akan mempunyai pemecahan taknol jika dan hanya jika det(𝜆𝐼 − 𝐴) = 0

(2.2.2)


11

Persamaan (2.2.2) dinamakan persamaan karakteristik 𝐴 karena skalar nilai 𝜆 yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari 𝐴. Bila diperluas maka determinan det(𝜆𝐼 − 𝐴) adalah polinom 𝜆 yang kita namakan polinom karakteristik dari 𝐴. Jika 𝐴 adalah matriks 𝑛 × 𝑛, maka polinom karakteristik 𝐴 = 0 dan koefisien 𝜆𝑛 adalah 1. Jadi, polinom karakteristik dari matriks 𝑛 x 𝑛 mempunyai bentuk det(𝜆𝐼 − 𝐴) = 𝜆𝑛 + 𝑐1 𝜆𝑛−1 + ⋯ + 𝑐𝑛 . Untuk mencari vektor eigen 𝐴 yang bersesuaian dengan nilai eigen 𝜆 adalah vektor taknol 𝐱 yang memenuhi 𝐴𝐱 = 𝜆𝐱. Secara ekivalen, vektor eigen yang bersesuaian dengan 𝜆 adalah vektor taknol dalam ruang pemecahan dari (𝜆𝐼 − 𝐴)𝐱 = 𝟎. Ruang pemecahan ini dinamakan sebagai ruang eigen dari 𝐴 yang bersesuaian dengan 𝜆. Definisi 2.7 (Nilai Eigen Dominan). Sebuah nilai eigen dari sebuah matriks 𝐴 dinamakan nilai eigen dominan 𝐴 jika nilai mutlaknya lebih besar dari nilainilai mutlak dari nilai-nilai eigen yang lainnya. (Anton, 2004) Jika matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛 yang mempunyai nilai-nilai eigen yang berbeda didefinisikan nilai modulusnya dan dipilih yang terbesar, maka nilai eigen modulus yang terbesar disebut sebagai radius spektral dari 𝐴 dan dinotasikan dengan 𝜌(𝐴). Atau ditulis 𝜌 (𝐴 ) =

𝑚𝑎𝑥 {|𝜆|} 𝜆𝜖𝜎(𝐴)

Definisi 2.8 (Matriks Primitif). Matriks 𝐴 taknegatif berukuran 𝑛 × 𝑛 dikatakan primitif jika matriks tersebut taktereduksi dan hanya mempunyai satu nilai eigen modulus maksimum. (Horn dan Johnson, 1985)


12

Teorema 2.2. Jika matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛 adalah taknegatif, maka matriks 𝐴 adalah primitif jika dan hanya jika 𝐴𝑛

2 −2𝑛+2

> 0.

Bukti Teorema (2.3) dapat dilihat di (Horn dan Johnson, 1985)

2.3

Diagonalisasi Matriks Diagonalisasi matriks adalah mengenai penentuan matriks yang dapat dibalik

sedemikian sehingga dapat membentuk matriks pendiagonal. Definisi 2.9. Sebuah matriks persegi 𝐴 dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat sebuah matriks 𝑃 yang dapat dibalik sedemikian rupa sehingga 𝑃−1 𝐴𝑃 adalah sebuah matriks diagonal maka matriks 𝑃 dikatakan mendiagonalisasi 𝐴. (Anton, 2004) Teorema 2.3. Jika A adalah sebuah matriks 𝑛 × 𝑛 mempunyai 𝑛 nilai eigen yang berbeda, maka kedua pernyataan berikut ini adalah ekuivalen. (a) 𝐴 dapat didiagonalisasi. (b) 𝐴 memiliki 𝑛 vektor eigen yang bebas linier.

Bukti (𝒂) ⇒ (𝒃). Karena 𝐴 diasumsikan dapat didiagonalisasi, maka terdapat sebuah matriks yang dapat dibalik 𝑝11 𝑝12 ⋯ 𝑝1𝑛 𝑝21 𝑝22 ⋯ 𝑝2𝑛 𝑃=[ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ] 𝑝𝑛1 𝑝𝑛2 ⋯ 𝑝𝑛𝑛 Sedemikian rupa sehingga 𝑃−1 𝐴𝑃 adalah diagonal, katakanlah 𝑃−1 𝐴𝑃 = 𝐷, dengan


13

𝜆1 0 ⋯ 0 𝜆 ⋯ 0 𝐷 = [ 0⋮ 2 ⋱ ⋮ ] ⋮ 0 0 ⋯ 𝜆𝑛 Berdasarkan rumus 𝑃 −1 𝐴𝑃 = 𝐷 maka 𝑃𝑃−1 𝐴𝑃 = 𝑃𝐷 𝐴𝑃 = 𝑃𝐷 sehingga. 𝑝11 𝑝12 ⋯ 𝑝1𝑛 𝜆1 0 ⋯ 0 𝑝21 𝑝22 ⋯ 𝑝2𝑛 0 𝜆2 ⋯ 0 ] 𝐴𝑃 = [ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ] [ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑝𝑛1 𝑝𝑛2 ⋯ 𝑝𝑛𝑛 0 0 ⋯ 𝜆𝑛 𝜆1 𝑝11 𝜆2 𝑝12 ⋯ 𝜆𝑛 𝑝1𝑛 𝜆 𝑝 𝜆 𝑝 ⋯𝜆 𝑝 = [ 1 ⋮ 21 2 ⋮ 22 ⋱ 𝑛 ⋮ 2𝑛 ] 𝜆1 𝑝𝑛1 𝜆2 𝑝𝑛2 ⋯ 𝜆𝑛 𝑝𝑛𝑛

(2.2.3)

Misalkan bahwa 𝐩𝟏 , 𝐩𝟐 , … , 𝐩𝐧 dinotasikan sebagai vektor-vektor kolom dari matriks 𝑃, maka dari persamaan (2.2.3) urutan kolom-kolom 𝐴𝑃 adalah 𝜆1 𝐩𝟏 , 𝜆2 𝐩𝟐 , … , 𝜆𝑛 𝐩𝐧 . Akan tetapi, dengan melakukan perkalian matriks dengan kolom dan dengan baris maka urutan kolom-kolom 𝐴𝑃 adalah 𝐴𝐩𝟏 , 𝐴𝐩𝟐 , … , 𝐴𝐩𝐧 sehingga dapat diperoleh 𝐴𝐩𝟏 = 𝜆1 𝐩𝟏 ,

𝐴𝐩𝟐 = 𝜆2 𝐩𝟐 , … ,

𝐴𝐩𝐧 = 𝜆𝑛 𝐩𝐧

(2.2.4)

Karena 𝑃 dapat dibalik, vektor-vektor kolomnya semua taknol sehingga berdasarkan persamaan (2.2.4), 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 adalah nilai-nilai eigen dari 𝐴, dan 𝐩𝟏 , 𝐩𝟐 , … , 𝐩𝐧 adalah vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 . Karena 𝑃 dapat dibalik, maka 𝐩𝟏 , 𝐩𝟐 , … , 𝐩𝐧 bebas linear. Dengan demikian, 𝐴 memiliki 𝑛 vektor eigen yang bebas linear.


14

(𝒃) ⇒ (𝒂). Asumsikan bahwa 𝐴 memiliki 𝑛 vektor eigen 𝐩𝟏 , 𝐩𝟐 , … , 𝐩𝐧 yang bebas linear, dengan nilai-nilai eigen 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 yang terkait, dan misalkan 𝑝11 𝑝21 𝑃=[ ⋮ 𝑝𝑛1

𝑝12 ⋯ 𝑝22 ⋯ ⋮ ⋱ 𝑝𝑛2 ⋯

𝑝1𝑛 𝑝2𝑛 ⋮ ] 𝑝𝑛𝑛

adalah sebuah matriks yang vektor-vektor kolomnya 𝐩𝟏 , 𝐩𝟐 , … , 𝐩𝐧. Vektor-vektor kolom dari matriks hasilkali 𝐴𝑃 adalah 𝐴𝐩𝟏 , 𝐴𝐩𝟐 , … , 𝐴𝐩𝐧 Namun 𝐴𝐩𝟏 = 𝜆1 𝐩𝟏 ,

𝐴𝐩𝟐 = 𝜆2 𝐩𝟐 , …

𝐴𝐩𝐧 = 𝜆2 𝐩𝐧

Sehingga 𝜆1 𝑝11 𝜆2 𝑝12 ⋯ 𝜆𝑛 𝑝1𝑛 𝜆 𝑝 𝜆 𝑝 ⋯𝜆 𝑝 𝐴𝑃 = [ 1 ⋮ 21 2 ⋮ 22 ⋱ 𝑛 ⋮ 2𝑛 ] 𝜆1 𝑝𝑛1 𝜆2 𝑝𝑛2 ⋯ 𝜆𝑛 𝑝𝑛𝑛 𝑝11 𝑝12 ⋯ 𝑝1𝑛 𝜆1 0 ⋯ 0 𝑝21 𝑝22 ⋯ 𝑝2𝑛 𝜆 ⋯ 0 = [ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ] [ 0⋮ 2 ⋱ ⋮ ] = 𝑃𝐷 ⋮ 𝑝𝑛1 𝑝𝑛2 ⋯ 𝑝𝑛𝑛 0 0 ⋯ 𝜆𝑛

(2.2.5)

𝐷 adalah matriks diagonal yang memiliki nilai-nilai eigen 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 sebagai entri-entri diagonal utamanya. Karena vektor-vektor kolom matriks 𝑃 bebas linear, 𝑃 dapat dibalik sehingga, persamaan (2.2.5) dapat ditulis kembali sebagai 𝑃 −1 𝐴𝑃 = 𝐷. Jadi, 𝐴 dapat didiagonalisasi.∎ Berdasarkan bukti tersebut maka didapatkan prosedur untuk mendiagonalisasi matriks 𝐴 yang berukuran 𝑛 × 𝑛 dapat didiagonalisasi. Langkah 1. Carilah vektor-vektor eigen dari 𝐴 yang bebas linier sebanyak 𝑛, yaitu 𝐩 𝟏 , 𝐩𝟐 , … , 𝐩𝐧 .


15

Langkah 2. Bentuklah matriks 𝑃 yang mempunyai 𝐩𝟏 , 𝐩𝟐 , … , 𝐩𝐧 sebagai vektorvektor kolomnya. Langkah 3. Matriks 𝑃−1 𝐴𝑃 akan diagonal dengan 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 sebagai entri-entri diagonalnya yang berurutan, dengan 𝜆𝑖 adalah nilai eigen yang bersesuaian dengan 𝐩𝐢 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.

2.4

Teorema Perron-Frobenius Teori Perron Frobenius, yaitu teori hasil kontribusi dari seorang

matematikawan asal German, Oskar Perron dan Ferdinand Georg Frobenius. Teori ini pada dasarnya membahas sifat-sifat dari matriks positif dan negatif berdasarkan sifat spektralnya. Akibat 2.1. Misalkan matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛 dan ∑𝑛𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 > 0 untuk semua 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 maka 𝜌(𝐴)>0. Khususnya, 𝜌(𝐴) > 0 jika 𝐴 > 0 atau jika 𝐴 taktereduksi dan nonnegatif. Teorema 2.4. Misalkan matriks 𝐴 dan 𝐵 berukuran 𝑛 × 𝑛. Jika |𝐴| ≤ |𝐵|, maka 𝜌(|𝐴|) ≤ 𝜌(𝐵). Bukti. Untuk setiap 𝑚 = 1, 2, … didapatkan |𝐴𝑚 | ≤ |𝐴|𝑚 ≤ 𝐵𝑚 dengan |𝐴𝑚 | ≤ |𝐴|𝑚 dan jika 0 ≤ 𝐴 ≤ 𝐵, maka 0 ≤ 𝐴𝑚 ≤ 𝐵𝑚. Demikian jika |𝐴| ≤ |𝐵|, maka ‖𝐴‖2 ≤ ‖𝐵‖2 dan ‖𝐴‖2 = ‖|𝐴|‖2 didaptkan ‖𝐴𝑚 ‖2 ≤ ‖|𝐴|𝑚 ‖2 ≤ ‖𝐵𝑚 ‖2

dan

1/𝑚 1/𝑚 ‖𝐴𝑚 ‖1/𝑚 ≤ ‖|𝐴|𝑚 ‖2 ≤ ‖𝐵𝑚 ‖2 2

untuk setiap 𝑚 = 1, 2, … . Jika dimisalkan 𝑚 → ∞ dapat disimpulkan bahwa 𝜌(𝐴) ≤ 𝜌(|𝐴|) ≤ 𝜌(𝐵). ∎


16

Teorema 2.5. Jika matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛 dan 𝐴 ≥ 0, maka 𝜌(𝐴) adalah nilai-nilai eigen dari 𝐴 dan terdapat vektor nonegatif 𝑥 ≥ 0, 𝑥 ≠ 0, sehingga 𝐴𝐱 = 𝜌(𝐴)𝐱. Bukti. Untuk setiap 𝜖 > 0, menjelaskan 𝐴(𝜖 ) ≡ [𝑎𝑖𝑗 + 𝜖] > 0. Dinotasikan dengan 𝑥(𝜖) vektor dari 𝐴(𝜖). Jadi 𝑥 (𝜖 ) > 0 dan ∑𝑛𝑖=1 𝑥(𝜖)𝑖 = 1. Karena aturan dari vektor {𝑥 (𝜖 ): 𝜖 > 0} yang terkandung dalam aturan yang telah ditentukan 𝑥: 𝑥 ∈ 𝐶 𝑛 , ‖𝑥 ‖1 ≤ 1}, terdapat rangkaian monoton turun 𝜖1 , 𝜖2 , … dengan lim 𝜖𝑘 = 𝑘→∞

0 sedemikian sehingga lim 𝑥(𝜖𝑘 ) ≡ 𝑥 ada. Karena 𝑥 (𝜖𝑘 ) > 0 untuk semua 𝑘 = 𝑘→∞

1, 2, …, bahwa 𝑥 = lim 𝑥(𝜖𝑘 ) ≥ 0; 𝑥 = 0 tidak mungkin karena 𝑘→∞

𝑛

𝑛

∑ 𝑥1 = lim ∑ 𝑥 (𝜖𝑘 )𝑖 ≡ 1 𝑖=1

𝑘→∞

𝑖=1

Dari Teorema (2.4), 𝜌(𝐴(𝜖𝑘 )) ≥ 𝜌(𝐴(𝜖𝑘+1 )) ≥ ⋯ ≥ 𝜌(𝐴) untuk 𝑘 = 1, 2, …, jadi urutan bilangan real { 𝜌(𝐴(𝜖𝑘 ))}𝑘=1,2,… adalah monoton turun. Demikian, 𝜌 ≡ lim 𝜌(𝐴(𝜖𝑘 )) ada dan 𝜌 ≥ 𝜌(𝐴). Tetapi kenyataannya bahwa

𝑘→∞

𝐴𝑥 = lim 𝐴(𝜖𝑘 ) 𝑥 (𝜖𝑘 ) = lim (𝐴(𝜖𝑘 ))𝑥 (𝜖𝑘 ) 𝑘→∞

𝑘→∞

= lim 𝜌(𝐴(𝜖𝑘 )) lim 𝑥(𝜖𝑘 ) = 𝜌𝑥 𝑘→∞

𝑘→∞

dan faktanya bahwa 𝑥 ≠ 0, dapat disimpulkan bahwa 𝜌 adalah nilai eigen dari 𝐴. Tetapi 𝜌 ≤ 𝜌(𝐴), jadi 𝜌 = 𝜌(𝐴). ∎ Lemma 2.1. Misalkan matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛 dan misalkan 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 nilai eigen dari 𝐴. Kemudian 𝜆1 + 1, 𝜆2 + 1, … , 𝜆𝑛 + 1 adalah nilai eigen dari 𝐼 + 𝐴 dan 𝜌(𝐼 + 𝐴) ≤ 1 + 𝜌(𝐴). Jika 𝐴 > 0, maka 𝜌(𝐼 + 𝐴) = 1 + 𝜌(𝐴).


17

Bukti. Jika 𝜆 ∈ 𝜎(𝐴) adalah sebarang 𝑘, maka 𝜆 adalah akar karakteristik 𝑝𝐴 (𝑡) = det(𝑡𝐼 − 𝐴) = 0 dari sebarang 𝑘. Tetapi 𝜆 + 1 adalah akar dari 𝑝𝐴+1 (𝑠) = det[𝑠𝐼 − (𝐴 + 𝐼 )] = 0 dari sebarang 𝑘 karena det(𝑡𝐼 − 𝐴) = det[(𝑡 + 1)𝐼 − (𝐴 + 𝐼 )]. Jadi 𝜆1 + 1, 𝜆2 + 1, … , 𝜆𝑛 + 1 adalah nilai eigen dari 𝐴 + 𝐼. Oleh karena itu, 𝜌(𝐼 + 𝐴) = max |𝜆𝑖 + 1| ≤ max |𝜆𝑖 | + 1 = 1 + 𝜌(𝐴). Dari Teorema 2.3, 1 + 1≤𝑖≤𝑛

1≤𝑖≤𝑛

𝜌(𝐴) adalah nilai eigen dari 𝐼 + 𝐴 dimana 𝐴 ≥ 0, jadi dalam kasus ini 𝜌(𝐼 + 𝐴) = 1 + 𝜌(𝐴). ∎ Lemma 2.2. Jika matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛, dimana 𝐴 ≥ 0 dan 𝐴𝑘 > 0 untuk setiap 𝑘 ≥ 1 maka 𝜌(𝐴) adalah persamaan aljabar nilai eigen sederhana dari 𝐴. Bukti. Jika 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 adalah nilai eigen dari 𝐴, maka 𝜆1 𝑘 , 𝜆2 𝑘 , … , 𝜆𝑛 𝑘 adalah nilai eigen dari 𝐴𝑘 . Menurut Teorema (2.5) diketahui bahwa 𝜌(𝐴) adalah nilai eigen dari 𝐴, jadi jika 𝜌(𝐴) adalah perkalian nilai eigen dari 𝐴, maka 𝜌(𝐴)𝑘 = 𝜌(𝐴𝑘 ) akan menjadi perkalian nilai eigen dari 𝐴𝑘 . Tetapi ini tidak mungkin karena 𝜌(𝐴𝑘 ) nilai eigen dari 𝐴𝑘 . ∎ Teorema 2.6 (Perron-Frobenius). Misalkan matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛 dan jika 𝐴 taktereduksi dan nonnegatif, maka (a)

𝜌(𝐴) > 0;

(b)

𝜌(𝐴) adalah nilai eigen dari 𝐴;

(c)

terdapat vektor positif 𝐱 sehingga 𝐴𝐱 = 𝜌(𝐴)𝐱; dan

(d)

𝜌(𝐴) adalah nilai eigen dari 𝐴 yang multiplisitas dan aljabar geometrinya 1.

(e)

|𝜆𝑘 | < 𝜌(𝐴) dimana 𝜆𝑘 adalah nilai-nilai eigen dari matriks Leslie yang lain.


18

Bukti. Akibat (2.1) menunjukkan bahwa (a) mengikuti kondisi yang lebih kecil dari taktereduksi. Pernyataan (b) untuk semua matriks nonnegatif 𝐴 dari Teorema (2.5), yang mana juga dijamin bahwa terdapat vektor nonnegatif 𝑥 ≠ 0 sehingga 𝐴𝐱 = 𝜌(𝐴)𝐱. Tetapi kemudian (𝐼 + 𝐴)𝑛−1 𝑥 = [𝐼 + 𝜌(𝐴)]𝑛−1 𝑥, dan karena matriks (𝐼 + 𝐴)𝑛−1 positif berdasarkanTeorema (2.1) dapat dilihat bahwa vektor (𝐼 + 𝐴)𝑛−1 𝑥 harus positif. Demikian, 𝑥 = [1 + 𝜌(𝐴)]1−𝑛 (𝐼 + 𝐴)𝑛−1 𝑥 > 0. Untuk membuktikan (d) dapat dilihat dari Lemma (2.1) untuk menunjukkan bahwa jika 𝜌(𝐴) adalah nilai eigen dari 𝐴, kemudian 1 + 𝜌(𝐴) = 𝜌(𝐼 + 𝐴) adalah perkalian nilai eigen dari 𝐼 + 𝐴. Tetapi 𝐼 + 𝐴 ≥ 0 dan (𝐼 + 𝐴)𝑛−1 > 0 dari Teorema (2.1), jadi 1 + 𝜌(𝐴) nilai eigen sederhana dari 𝐼 + 𝐴 mengikuti Lemma (2.2). ∎ Pada matriks primitif, teorema Perron Frobenius berlaku karena matriks primitif tersebut merupakan matriks taktereduksi dan taknegatif. Namun, matriks primitif memiliki satu sifat tambahan yaitu, radius spektralnya (𝜌(𝐴)) juga merupakan nilai eigen dominan. (Horn dan Johnson, 1985)

2.5

Model Populasi Leslie Salah satu model pertumbuhan populasi yang digunakan adalah model Leslie.

Model ini menggunakan suatu matriks yang disebut matriks Leslie. Populasi yang digunakan pada perhitungan dengan matriks Leslie adalah populasi betina dari populasi yang diamati. Matriks Leslie ini menggambarkan proyeksi suatu populasi


19

yang dibangun dari hasil pengamatan tingkat kesuburan betina dan tingkat ketahan hidup dari suatu jenis populasi pada daerah tertentu. Dalam matriks Leslie ini faktor perubahan jumlah suatu populasi yang digunakan adalah faktor internal dari populasi, yaitu kelahiran, kematian, dan ketahanan hidup. Matriks Leslie memiliki bentuk yang unik yaitu matriks Leslie berbentuk matriks persegi dengan entri baris pertama dari matriks Leslie terdiri dari tingkat kesuburan betina, sub diagonalnya berisi tingkat ketahanan hidup betina dan entri yang lain bernilai nol. Misalkan umur maksimum hidup dari betina pada suatu populasi adalah 𝑇 tahun, dan populasi dibagi menjadi 𝑖 kelas umur, maka masing-masing kelas umur memiliki rentang umur 𝑇/𝑖 tahun. (Pratama, 2013) Seperti yang terlihat pada Tabel 1. Menunjukkan penentuan kelas umur dalam model populasi Leslie. Tabel 1. Penentuan Kelas Umur Kelas umur Rentang umur 1

0≤𝑡<

𝑇 𝑖

2

𝑇 2𝑇 ≤𝑡< 𝑖 𝑖

3

2𝑇 3𝑇 ≤𝑡< 𝑖 𝑖

⋮

⋮

𝑖−1

(𝑖 − 2)𝑇 (𝑖 − 1)𝑇 ≤𝑡< 𝑖 𝑖

𝑖

(𝑖 − 1)𝑇 ≤𝑡<𝑇 𝑖


20

Misalkan diketahui jumlah populasi betina pada masing-masing dari 𝑖 kelas tersebut pada saat 𝑡 = 0, dan 𝑛𝑖 (0) adalah jumlah betina di kelas umur ke-𝑖, maka jumlah keseluruhan populasi betina adalah 𝑁(0) = 𝑛1 (0) + 𝑛2 (0) + 𝑛3 (0) + ⋯ + 𝑛𝑖 (0). Dengan 𝑛 bilangan-bilangan ini dapat dibentuk sebuah vektor kolom 𝑛1 (0) 𝑛2 (0) 𝐍(0) = 𝑛3 (0) ⋮ [ 𝑛𝑖 (0)] Vektor 𝐍(0) dinamakan vektor distribusi umur awal. Prediksi jumlah populasi tahun berikutnya dipengaruhi oleh batas hidup dari suatu betina, tingkat kesuburan betina, dan tingkat ketahanan hidup betina. Dimisalkan 𝑎𝑘 sebagai tingkat kesuburan betina yaitu rata-rata jumlah anak betina yang lahir dari tiap betina yang ada dalam kelas umur ke-𝑘 saat waktu ke-𝑡. Dimisalkan 𝑏𝑘 sebagai tingkat ketahanan hidup betina yaitu peluang betina yang dapat bertahan hidup dari kelas umur ke 𝑘 sampai 𝑘 + 1 saat waktu ke 𝑡. 𝑎𝑘 ≥ 0, untuk 𝑘 = 1,2, … , 𝑖 0 < 𝑏𝑘 ≤ 1, untuk 𝑘 = 1,2, … , 𝑖 − 1 Berdasarkan batasan-batasan diatas maka paling sedikit satu kelas umur dari 𝑎𝑘 > 0, karena jika 𝑎𝑘 = 0 untuk setiap 𝑘, maka pada kelas tersebut tidak ada kelahiran yang terjadi. Kelas umur yang memiliki nilai 𝑎𝑘 > 0, disebut kelas usia subur. Kemudian untuk 𝑏𝑘 menunjukkan peluang betina yang bertahan hidup pada kelas umur berikutnya, sehingga untuk 𝑏𝑘 = 1 untuk setiap 𝑘, maka tidak ada kematian yang terjadi pada kelas tersebut.


21

Berikutnya untuk waktu 𝑡 = 1 dan 𝑛𝑘 (𝑡 = 1) adalah jumlah betina di kelas umur ke-𝑖, maka jumlah keseluruhan populasi betina pada waktu 𝑡 = 1 adalah 𝑁(1) = 𝑛1 (1) + 𝑛2 (1) + 𝑛3 (1) + ⋯ + 𝑛𝑖 (1). Vektor distribusi umur 𝐍 saat waktu 𝑡 = 1 dapat ditulis 𝑛1 (1) 𝑛2 (1) 𝐍(1) = 𝑛3 (1) ⋮ [ 𝑛𝑖 (1)] Jumlah betina pada kelas umur ke-1 adalah banyaknya betina yang lahir antara waktu 𝑡 = 0 dan 𝑡 = 1 sehingga populasi pada kelas umur ke-1 adalah 𝑁1 (1) = 𝑎1 𝑛1 (𝑡) + 𝑎2 𝑛2 (𝑡) + ⋯ + 𝑎𝑖 𝑛𝑖 (𝑡). Populasi betina pada kelas umur ke-𝑘 + 1 saat 𝑡 = 1 adalah jumlah betina yang berada pada kelas umur ke-𝑘 pada saat 𝑡 yang dapat bertahan hidup saat 𝑡 = 1 dengan kata lain 𝑛𝑘+1 (1) = 𝑏𝑘 𝑛𝑘 (0). Jadi dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut, 𝑎1 𝑎2 ⋯ 𝑎𝑖−1 𝑎𝑖 𝑛1 (0) 𝑛1 (1) 𝑏1 0 ⋯ 0 0 𝑛2 (0) 𝑛2 (1) 𝑛3 (1) = 0 𝑏2 ⋱ 0 0 𝑛3 (0) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 𝑏𝑖−1 0 [ 𝑛𝑖 (1)] [ 0 0 [ 𝑛 (0)] ] 𝑖 Jadi, model pertumbuhan populasi dapat dituliskan sebagai berikut: 𝐍(1) = 𝐿𝐍(0)

(2.2.7)


22

dengan 𝑎1 𝑎2 ⋯ 𝑎𝑖−1 𝑎𝑖 𝑏1 0 ⋯ 0 0 𝐿 = 0 𝑏2 ⋱ 0 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 𝑏𝑖−1 0 0 [ 0 ] Matriks 𝐿 yang demikian dinamakan Matriks Leslie. Model pertumbuhan populasi pada Persamaan (2.2.7) digunakan untuk memprediksi jumlah populasi 1 tahun berikutnya. Untuk mengetahui prediksi jumlah pertumbuhan populasi hingga 𝑡 tahun berikutnya dilakukan beberapa pengembangan. Dari Persamaan (2.2.7) diperoleh 𝐍(1) = 𝐿𝐍(0) 𝐍(2) = 𝐿𝐍(1) = 𝐿𝐿𝐍(0) = 𝐿2 𝐍(0) 𝐍(3) = 𝐿𝐍(2) = 𝐿𝐿2 𝐍(0) = 𝐿3 𝐍(0) ⋮ 𝐍(𝑡) = 𝐿𝐍(𝑡 − 1) = 𝐿𝐿𝑡−1 𝐍(0) = 𝐿𝑡 𝐍(0) Sehingga untuk 𝑡 tahun berikutnya, model pertumbuhan populasi menjadi 𝐍(𝑡) = 𝐿𝑡 𝐍(0)

(2.2.8)


BAB 2 LANDASAN TEORI

Recommend Documents