BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1. Teori Pemeliharaan Untuk menjamin kontinuitas kegiatan operasional suatu sistem, keandalan setiap komponen peralatan sangat dijaga agar peralatan tersebut tidak mengalami kegagalan saat akan digunakan. Menurut International Electrotechnical Commission 50 (191) (1991), definisi keandalan adalah the ability of an entity to perform a required function under given conditions for a given time interval. Sedangkan definisi kegagalan adalah the determination of ability to perform the required function. Sehingga keandalan dapat diartikan sebagai suatu kejadian dari sebuah komponen untuk bekerja dengan baik pada waktu dan kondisi tertentu. Sedangkan kegagalan dapat diartikan sebagai suatu kejadian dari sebuah komponen yang tidak bisa difungsikan kembali. Untuk mempertahankan kondisi peralatan agar selalu andal maka dilakukan serangkaian aktifitas yang disebut pemeliharaan. Pemeliharaan yang baik dapat meningkatkan kinerja perusahaan. Hal ini dikarenakan perusahaan dapat menghindari kerugian-kerugian yang diakibatkan dari terganggunya operasi akibat kerusakan peralatan maupun kerugian akibat tidak optimal peralatan dalam menjalankan fungsinya. Kesuksesan perusahaan dalam menjalankan pemeliharaan yang optimal tergantung kepada dua faktor, yaitu skill dari teknisi dan kebijakan pemeliharaan yang dipilih. Teknisi yang memiliki kemampuan yang baik dapat diperoleh melalui training dan pertukaran informasi terkait pemeliharaan. Sedangkan kebijakan pemeliharaan yang baik diperoleh dari penyusunan jadwal pemeliharaan berdasarkan manual book peralatan maupun hasil analisa dari riwayat pemeliharaan yang pernah terjadi. Mengacu pada Panduan Pemeliharaan Sarana dan Fasilitas depot/instalasi/terminal BBM Pertamina (2007: 1), terdapat 3 (tiga) jenis pemeliharaan dapat dipilih untuk diterapkan sebagai kebijakan pemeliharaan antara lain : a. Predictive maintenance b. Preventive maintenance c. Breakdown maintenance Predictive maintenance merupakan suatu kebijakan pemeliharaan yang dilakukan berdasarkan prediksi terhadap kondisi suatu peralatan pada waktu tertentu. Sedangkan preventive maintenance adalah suatu kebijakan pemeliharaan yang didasari oleh rencana jadwal pemeliharaan yang disusun secara periodik berdasarkan parameter operasional (tekanan, suhu, flowrate, dll) maupun parameter pemeliharaan yang dikeluarkan oleh manufaktur peralatan yang akan dipelihara. Dan breakdown maintenance adalah suatu kebijakan pemeliharaan yang baru akan dilakukan penggantian atau perbaikan alat jika alat tersebut telah mengalami kerusakan. 2.1.1. Distribusi Eksponensial Menurut Montgomery (2009: 89), pola data keandalan dari suatu komponen atau sistem biasanya memiliki sifat distribusi eksponensial. Data yang biasa 5
6
diperoleh adalah data waktu kerusakan (time to failure) dan waktu perbaikan (time to repair). Sehingga untuk menyelesaikan masalah terkait keandalan dapat digunakan perhitungan untuk distribusi eksponensial sebagai berikut (Montgomery, 2009: 88) :
Dengan syarat λ > 0 adalah konstan. Sehingga nilai mean dan variance dari distribusi eksponensial adalah (Montgomery, 2009: 88) : dan Dimana : µ = nilai mean 2 σ = nilai variance Beberapa contoh distribusi eksponensial dapat dilihat pada gambar 2.1.
Gambar 2.1 Gambar Distribusi Ekponesial untuk Beberapa State
7
Selain distribusi eksponensial, terkadang data keandalan juga dapat memenuhi sifat distribusi lain seperti distribusi Weibull, Normal dan Lognormal. Untuk memastikan bahwa data keandalan suatu komponen memiliki sifat distribusi tertentu maka perlu dilakukan pengujian terhadap data tersebut. Salah satu pengujian yang digunakan untuk pengujian adalah adalah uji Bartlett. Pengujian ini dilakukan untuk memastikan bahwa data keandalan yang diperoleh memenuhi sifat distribusi eksponensial. Pengujian ini dilakukan dengan membandingkan hipotesis nol (H0) dengan hipotesis alternatif (H1). H0 adalah hipotesis yang menyatakan bahwa data tersebut merupakan data berdistribusi eksponensial. Sedangkan H1 merupakan hipotesis yang menyatakan data tidak berdistribusi eksponensial. Pengujian distribusi eksponensial menggunakan uji Bartlett dapat diketahui sebagai berikut (Ebeling, 1997: 399) :
Dimana : ti = data waktu ke-i r = jumlah data B = uji statistik untuk uji Bartlett Test H0 diterima jika nilai B jatuh pada wilayah kritis :
Dengan distribusi chi-square memiliki r-1 derajat kebebasan. 2.1.2. Mean Time To Failure (MTTF) Mean Time To Failure (MTTF) merupakan nilai rata-rata dari waktu kegagalan suatu peralatan atau sistem yang didefinisikan dengan rumus :
Dimana : MTTF = Mean Time To Failure Tfailure = total waktu kerusakan r = jumlah kerusakan TTF dihitung dari saat suatu peralatan dioperasikan sampai mengalami kerusakan. Sedangkan waktu yang terjadi dari satu kegagalan menuju kegagalan berikutnya disebut waktu antar kegagalan (time between failures/TBF). MTF dan TBF dapat diilustrasikan seperti pada gambar 2.2.
8
Gambar 2.2 Pola Pergerakan TTF dan TBF
MTTF umumnya memiliki sifat distribusi eksponensial, sehingga dapat juga didefinisikan dengan rumus sebagai berikut (Todinov, 2005: 33) :
Dimana : λ = failure rate/laju kerusakan t = interval waktu Sedangkan untuk mengetahui probabilitas terjadinya kerusakan pada interval waktu tertentu dapat digunakan rumus sebagai berikut :
dengan 2.1.3. Mean Time To Repair (MTTR) Mean Time To Repair (MTTR) merupakan nilai rata-rata waktu perbaikan yang dilakukan pada setiap terjadinya kerusakan. Sehingga MTTR dapat didefinisikan sebagai berikut :
Dimana : MTTR = Mean Time To Repair Trepair = total waktu perbaikan R = jumlah kerusakan TTR diperoleh dari banyaknya waktu yang dibutuhkan untuk memperbaiki suatu kegagalan peralatan. Dengan kata lain, TTR dihitung dari saat peralatan mengalami kegagalan hingga peralatan tersebut dioperasikan kembali. TTR dapat diilustrasikan seperti pada gambar 2.3.
9
Gambar 2.3 Pola Pergerakan TTR
Jika MTTR memiliki sifat distribusi eksponensial maka MTTR dapat didefinisikan sebagai berikut :
Dimana : π = repair rate/laju perbaikan t = interval waktu 2.2. Rantai Markov 2.2.1. Rantai Markov Waktu Diskret Rantai Markov adalah rantai perpindahan kondisi yang terjadi pada suatu sistem dari satu periode waktu ke periode berikutnya (Noer, 2010 : 171). Sedangkan menurut Hillier dan Lieberman (2005:164), rantai Markov merupakan suatu proses stokastik dimana probabilitas bersyarat dari “kejadian” mendatang, dengan “kejadian” masa lampau dan state saat ini Xt = i, adalah independen terhadap kejadian di waktu lalu dan hanya tergantung pada state saat ini. Dimana proses stokastik didefinisikan sebagai proses mengindeks sekumpulan variabel acak yang berada di suatu sistem yang diukur pada suatu waktu tertentu. Proses stokastik dikatakan mempunyai sifat Markovian jika (Hillier:p164) :
Untuk
dan setiap urutan
Dengan kata lain, sifat Markovian merupakan probabilitas bersyarat yang independen antara kejadian saat ini dengan kejadian masa lampau atau kejadian di masa datang hanya tergantung dari kejadian saat ini. Probabilitas bersyarat di rantai Markov disebut probabilitas transisi. Jika maka probabilitas transisi dikatakan stasioner atau dengan kata lain probabilitas tersebut tidak berubah seiring dengan waktu. Penulisan probabilitas transisi stasioner disederhanakan menjadi :
10
disebut probabiltas trasnsisi stasioner disebut probabiltas trasnsisi stasioner n-langkah Dikarenakan
merupakan probabilitas stasioner bersyarat, probabilitas tersebut
harus bernilai nonnegatif dan memiliki sifat sebagai berikut : untuk semua nilai i dan j; n = 0, 1, 2, .... dan untuk semua nilai i; n = 0, 1, 2, .... Atau dapat disederhanakan dalam bentuk matriks transisi n-langkah sebagai berikut : State
0
1
M
Sehingga dapat disimpulkan bahwa rantai markov tersebut memiliki sifat antara lain : a. Jumlah state yang terbatas b. Probabilitas transisi stasioner c. Asumsi nilai awal untuk semua i 2.2.2. Rantai Markov Waktu Kontinu Seperti yang terdapat pada rantai Markov waktu diskret, label state pada sistem dinotasi sebagai 0, 1, ..., M. Pergerakan state dimulai dari waktu dan dan diasumsikan variabel acak berlanjut secara kontinu dengan merupakan state sistem pada waktu . Dengan kata lain akan berpindah ke state lain sepanjang interval waktu selanjutnya dimana dan seterusnya atau secara arti adalah perubahan state diamati secara kontinu di sepanjang waktu. Titik state selanjutnya merupakan titik acak di dalam interval waktu dan nilainya tidak harus bilangan bulat. Titik state dapat dijelaskan sebagai berikut : adalah waktu lampau adalah waktu sekarang adalah waktu masa yang akan datang Sehingga state sistem yang akan diamati pada sebagai berikut (Hillier, 2005: 184): dan
dan
dapat dinotasikan
11
dapat dinotasikan
Dan probabilitas dari state sistem yang terjadi pada sebagai berikut (Hillier, 2005: 184) : , untuk Proses stokastik waktu kontinu Markovian jika (Hillier, 2005: 184) :
dikatakan mempunyai sifat
, semua
dan untuk semua
untuk
.
Berdasarkan sifat Markovian tersebut, probabilitas transisi untuk rantai Markov waktu kontinu adalah dimana nilai t tidak harus bilangan bulat. Apabila probabilitas transisi tersebut tidak bergantung pada s, probabilitas trasnsisi tersebut bersifat stasioner dengan notasi penulisan sebagai berikut (Hillier, 2005: 184) :
Dengan dikenal dengan probabilitas trasnsisi stasioner waktu kontinu. Dengan syarat yang dimiliki oleh rantai Markov waktu kontinu yaitu , variabel acak probabilitas trasnsisi stasioner memiliki sifat memoryless dan sifat ini hanya dimiliki distribusi probabilitas eksponensial. Dimana distribusi ekponensial memliki parameter tunggal yaitu q dengan nilai rata-ratanya adalah 1/q dan fungsi kumulatifnya sebagai berikut :
Sehingga untuk menggambarkan rantai Markov waktu kontinu dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut (Hillier, 2005 :185): a. sebagai variabel acak merupakan distribusi eksponensial dengan nilai rata-rata adalah 1/q b. Saat state bergerak dari i menuju j dengan probabilitas , kondisi yang harus dipenuhi adalah untuk semua i dan untuk semua i c. State selanjutnya bersifat independen terhadap waktu. Jika pada penggambaran rantai Markov waktu diskrit, probabilitas transisi memiliki peranan yang penting maka untuk rantai Markov waktu kontinu peranan penting dalam menggambarkan rantai Markov waktu kontinu dimiliki oleh intensitas transisi dengan penyederhanaan notasi sebagai berikut :
12
Dimana qi merupakan parameter distribusi eskponensial untuk variabel Ti yang didefinsikan sebagai jumlah waktu ekspektasi perubahan state dari i ke j per satuan waktu yang dihasbikan pada state i. Sedangkan qij adalah laju transisi state dari i ke j. State i dikatakan berkomunikasi dengan state j dan membentuk kelas apabila ada waktu t1 dan t2 dengan nilai probabilitas dan . Jika state tersebut membentuk kelas tunggal maka rantai Markov tersebut bersifat irreducible. Untuk selanjutnya dapat dinotasikan sebagai berikut (Hillier, 2005: 185): untuk j = 0, 1, ..., M. Probabilitas inilah yang dikenal dengan sebutan probabilitas stasioner rantai Markov waktu kontinu. Secara sederhana dapat dirumuskan sebagai berikut (Hillier, 2005: 185): memenuhi persamaan untuk j = 0, 1, ..., M dan setiap untuk j = 0, 1, ..., M dan
Untuk aplikasi di dunia industri, rantai Markov waktu kontinu biasa digunakan untuk mendisain kebijakan pemeliharaan yang diterapkan di industri, hal ini dikarenakan kebijakan pemeliharaan di industri umumnya memiliki sifat sebagai berikut : a. Kondisi alat di masa yang akan datang hanya dipengaruhi oleh tindakan pemeliharaan yang dilakukan saat ini dan tidak dipengaruhi oleh tindakan pemeliharaan di masa lalu. b. Visual inspection yang dilakukan terhadap suatu alat dilakukan setiap waktu operasi alat tersebut.
13
