BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1
Penjadwalan Penjadwalan menurut Baker (1993, p2) adalah alat bantu yang penting dalam proses produksi di suatu industri baik itu berupa barang maupun jasa. Dimana penjadwalan memiliki pengaruh yang sangat besar pada produktivitas dalam proses tersebut. Pada proses pengolahan barang, tujuan dari penjadwalan adalah meminimalkan waktu produksi dan biaya yang dikeluarkan dengan pengaturan fasilitas produksi barang apa, dimana, kapan dan dengan mesin apa barang itu dihasilkan. Sedangkan menurut Morton (1993, p3), suatu pengambilan keputusan tentang penyesuaian aktivitas serta sumber daya dalam rangka menyelesaikan sekumpulan pekerjaan agar tepat waktu dan berkualitas sesuai dengan harapan adalah pengertian dari penjadwalan. Keputusan yang dimaksud dalam penjadwalan ini meliputi pengurutan pekerjaan (sequencing), waktu mulai dan selesai pekerjaan (timing), dan urutan operasi suatu pekerjaan (routing). Karena masalah penjadwalan selalu berkaitan dengan pengurutan produksi maka definisinya adalah penentuan urutan kedatangan dari bermacam-macam pekerjaan yang harus diselesaikan dalam jangka waktu tertentu. Sama halnya dengan penjadwalan dibidang jasa seperti pada angkutan umum, perusahaan penerbangan yang ditujukan untuk memaksimalkan tingkat efisiensi waktu dan biaya.
Penjadwalan dengan komputerisasi modern memberi hasil yang memuaskan dibanding dengan penjadwalan secara manual. Contohnya pada suatu penerbangan mungkin ingin meminimalkan jumlah gerbang yang dibutuhkan pada suatu pesawat terbang supaya biaya yang dikeluarkan lebih minimum dan dengan adanya software penjadwalan dapat mempermudah serta memberi peluang bagi pihak perencana meninjau bagaimana cara kerja proses tersebut dengan menganalisa time table (jadwal) , kegunaan pesawat terbang ataupun dari jumlah para penumpang. Perusahaan dapat menggunakan metode penjadwalan backward dan forward untuk merencakan sumber daya manusia dan bahan baku yang mereka miliki. Penjadwalan secara backward merencanakan tugas berdasarkan tanggal jatuh tempo yang ditentukan untuk menentukan kapan proses produksi sebaiknya dimulai, sebaliknya penjadwalan forward adalah perencanaan tugas dari awal untuk menentukan kapan suatu proses produksi selesai dikerjakan. Manfaat dari penjadwalan produksi secara otomatis antara lain : o Meningkatkan produktivitas mesin dengan mengurangi waktu mesin menganggur. o Pengurangan penyetokan bahan baku yang terlalu banyak. o Pengurangan upaya penjadwalan secara trial and error. o Informasi bisa didapatkan secara real time. o Waktu pengiriman yang tepat. o Mengurangi ongkos produksi. Penjadwalan berperanan penting dalam hal produksi, transportasi, distribusi,
pemrosesan
informasi
dan
komunikasi.
Dalam
perusahaan
pengalokasian sumber ke pemrosesan tugas digunakan teknik- teknik matematis atau metode heuristik. Sumber yang dialokasikan dapat bermacam-macam, misal; landasan di airport, pekerja di proyek konstruksi, mesin di lantai produksi atau alat pemroses dalam lingkungan komputer. Sedangkan tugas-tugas dapat berupa operasi, tinggal landas dan mendarat dalam airport, stasiun-stasiun dalam proyek konstruksi, atau program komputer yang menunggu untuk dieksekusi. Setiap tugas mempunyai tingkat prioritas yang berbeda-beda, waktu mulai yang berbeda, dan tenggang waktu pengerjaan yang berbeda juga. Fungsi objektifnya juga dapat berupa meminimasi waktu untuk menyelesaikan semua tugas atau meminimasi jumlah tugas yang terlambat. Penjadwalan juga berkaitan erat dengan beberapa fungsi penting lainnya dalam organisasi. Hal ini dipengaruhi oleh proses perencanaan produksi, baik jangka menengah maupun panjang. Proses ini harus mempertimbangkan tingkat inventori, peramalan dan pemenuhan sumber daya. Keputusan yang dibuat untuk fungsi perencanaan ini mempunyai dampak pada penjadwalan. Penjadwalan juga mendapatkan input dari kontrol lantai produksi. Kejadian yang tidak diinginkan di lantai produksi, seperti kerusakan mesin atau waktu proses yang lebih lama dari yang diperkirakan juga harus dipertimbangkan, karena hal ini juga dapat sangat mempengaruhi penjadwalan. Gambar 2.1. menunjukkan diagram dari aliran informasi sistem manufaktur.
Gambar 2.1. Aliran Informasi dalam sistem Manufaktur Sumber: Pinedo, Michael. (1995). Scheduling: Theory, Algorithms, and Systems. Prentice-Hall, inc. New Jersey
Pabrik-pabrik modern seringkali mengumpulkan informasi manufaktur dalam satu tempat. Sebuah pabrik biasanya mempunyai komputer pusat atau database pusat. Penghubung dari sentral komputer biasanya menggunakan Local Area Connection yang tersambung dengan personal computer, stasiun kerja, dan tempat pemasukan data, yang dapat digunakan untuk memperoleh data dari database atau untuk memasukkan data-data baru. Fungsi penjadwalan biasanya
dilakukan oleh personal computer atau stasiun kerja yang terkoneksi dengan komputer pusat. Hubungan dengan komputer yang mengurusi penjadwalan memungkinkan pihak produksi untuk menyediakan sistem penjadwalan dengan informasi-informasi yang relevan, seperti status mesin, perubahan dalam tugas, dan lain-lain. Dalam penjadwalan terdapat beberapa istilah-istilah yang digunakan (Pinedo, p14) sebagai berikut. o Processing Time (pij) / Waktu Proses Yaitu waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan tugas ke-i pada mesin j. o Ready Time (ri) / Saat Siap Yaitu saat tugas ke-i tiba di dalam system atau saat paling awal tugas ke-i siap dikerjakan. o DueDate (di) / Saat Jatuh Tempo Yaitu batas akhir tugas ke-i harus diselesaikan. o Weight (Wi) / Bobot Yaitu bobot tugas ke-i, menunjukkan pentingnya tugas ke-i relatif terhadap tugas lainnya dalam system. Bobot dapat mewakili biaya menahan pekerjaan dalam sistem, biaya inventory, dan biaya lainnya yang dapat mewakili kepentingan suatu tugas terhadap tugas lainnya. Bobot juga dapat berupa tingkat prioritas suatu tugas dibandingkan dengan tugas lainnya. Penjadwalan pada hakikatnya adalah menentukan suatu urutan produksi dengan memberikan solusi yang terbaik dengan kriteria-kriteria sebagai berikut. a. Memenuhi kendala teknologi yang ada (technology constraint), dengan kata lain merupakan penjadwalan yang layak (feasible).
b. Memenuhi satu atau beberapa kriteria performansi yang didefinisikan sebelumnya. Variabel ukur performansi yang telah digunakan dalam lingkungan penjadwalan diantaranya adalah sebagai berikut (Baker, p4): o Completion Time (Ci) / Saat Selesai Yaitu waktu penyelesaian operasi paling akhir suatu tugas ke- i. o Release Time (Rij) / Saat mulai diproses Yaitu waktu tugas ke- i mulai diproses pada mesin j. o Flow Time (Fi) / Waktu Tinggal Yaitu waktu yang dibutuhkan suatu tugas berada di lantai produksi. Flow Time disebut juga shop time atau manufacturing interval. Fi = Ci - Ri. o Waiting Time (Wi) / Waktu Tunggu Yaitu waktu menunggu antara waktu suatu proses selesai hingga dimulai operasi berikutnya dari pengerjaan tiap operasi pada tugas ke-i. Wi = Fi - Σpij . Catatan: pada penulisan ini waktu tunggu yang diinginkan adalah 0 (nol). o Lateness (Li) Yaitu selisih waktu selesai tugas ke- i terhadap due date tugas tersebut. Li = Ci - di Li < 0, jika penyelesaian memenuhi batas akhir. Li > 0, jika penyelesaian melewati batas akhir. o Tardiness (Ti) / Waktu terlambat Yaitu jangka waktu keterlambatan pemenuhan due date tugas ke- i. Ti = max(0,Li) o Makespan
Yaitu jangka waktu seluruh tugas yang dijadwalkan dapat diselesaikan oleh lantai produksi. Ada beberapa metode pendekatan penjadwalan secara umum, seperti forward scheduling, backward scheduling, heuristic dispatch scheuling, advanced dispatch scheduling dan combinatorial scheduling. Pada penulisan ini akan dibahas metode penjadwalan menggunakan combinatorial scheduling khususnya filtered beam search karena ini adalah metode dengan algoritma heuristik yang mengkombinasikan semua kemungkinan yang ada dengan waktu dan proses komputasi yang cepat.
2.2
Beam Search Beam search menurut Valente (2004, p4) adalah suatu metode heuristik untuk memecahkan masalah optimasi kombinatorik. Metode ini adalah perkembangan dari metode branch-and-bound dimana tidak semua node di evaluasi. Kombinasi-kombinasi dari setiap
kemungkinan
yang
ada
akan
direpresentasikan secara logis dalam bentuk tree. Dalam pelaksanaannya metode beam search hanya mengevaluasi node yang paling menjanjikan disetiap level dalam search tree untuk dievaluasi percabangannya, sementara node-node yang tersisa dibuang secara permanen atau tidak dievaluasi lagi. Oleh karena metode search tree ini membuang sebagian besar node yang tidak menjanjikan secara agresif dan hanya beberapa node yang tersisa pada setiap level, maka waktu proses yang dibutuhkan berbanding polinomial terhadap ukuran kombinasi atau masalah yang dihadapi.
Beam search pertama kali digunakan dalam bidang intelegensia buatan untuk pengenalan suara dan untuk masalah pemahaman gambar. Setelah itu baru ada beberapa aplikasi penjadwalan yang dibuat dengan metode ini. Peneliti Fox, Ow dan Smith memanfaatkan metode beam search untuk perancangan sistem penjadwalan job shop yang kompleks. Sedangkan peneliti Sabuncuoglu dan Bayiz menggunakan algoritma beam search ini untuk masalah job shop dengan perhitungan makespan dan rata-rata keterlambatan sebagai pengukuran kualitas suatu penjadwalan. Beam search juga merupakan salah satu tipe dari local search yang menggunakan beam width ( β ) untuk membatasi arah searching yang mungkin dan hanya menyimpan node yang paling menjanjikan sebanyak beam width ( β ) sebagai solusi yang dicari. Sisa–sisa node yang tidak terpilih langsung dibuang dan tanpa bisa dikembalikan lagi bila dibutuhkan untuk perhitungan selanjutnya, karena metode ini memang dirancang untuk pencarian yang cepat. Selain itu teknik pencariannya juga lebih efisien dibanding dengan best-first search. Algoritma beam search: 1. Inisialisasi Set B = { n0 }, B: node-node yang akan dicabangkan. 2. Untuk setiap node di B: (a) Buat percabangan anak node. (b) Hitung percabangan node pada setiap anak node. 3. Set B=B baru Untuk setiap node di B:
(a) Evaluasi setiap node secara menyeluruh, dengan menghitung nilai dari node yang memberikan solusi layak. (b) Ambil sebanyak β (beam width) node terbaik di B, ini adalah node-node himpunan B baru , , lalu update himpunan B dengan himpunan himpunan B baru . Kondisi penghentian: Jika node-node pada himpunan B adalah ujung node (leaf), bandingkan tiap node, lalu ambil node dengan total biaya terendah sebagai solusi terbaik dan berhenti. Jika tidak, kembali ke tahap 2. Contoh beam search untuk pencarian nilai cost terkecil: beam width ( β ) = 2
A 45
B 34
C 16
D 23
Gambar 2.2 Pencarian dengan Metode Beam Search Langkah ke-1 Pada langkah ke-1 ini berdasarkan node-node yang dicabangkan, dipilih sebanyak β =2 node yang memiliki cost paling kecil, pada kasus ini dipilih node C dan D untuk di dicabangkan dan diperhitungkan pada level berikutnya. Node yang diberi warna abu-abu adalah node yang dicabangkan pada setiap level,
sedangkan node berwarna putih adalah node yang sedang diperhitungkan pada level tersebut atau tidak diperhitungkan lagi pada level berikutnya. A 45
B 34
C 16
E 11
F 14
D 23
G 17
H 15
I 12
J 19
Gambar 2.3 Pencarian dengan Metode Beam Search Langkah ke-2 Langkah ke-2 ini setelah pemilihan node C dan D, lalu dicabangkan node-node tersebut. Lalu, evaluasi hasil percabangan node. Di langkah ke-2 ini didapatkan node E=11 dan I=12 dengan cost terkecil pada level ini.
A 45
B 34
C 16
K 8
E 11
F 14
L 3
M 7
D 23
G 17
H 15
I 12
J 19
N 5
O 10
P 2
Gambar 2.4 Pencarian dengan Metode Beam Search Langkah ke-3 Di langkah ke-3 ini dicabangkan lagi node-node yang terpilih, E dan I. Dari sekian banyak node hasil percabangannya, didapatkan node paling kecil yaitu P dengan cost (=2). Sampai tahap ini proses pencarian beam search selesai karena berdasarkan contoh kasus diasumsikan tidak ada lagi percabangan lebih lanjut.
2.3.1
Filtered Beam Search Metode beam search secara klasik ini, bisa saja tidak mendapatkan solusi optimal dan tidak dapat memperbaiki apabila keputusan telah diambil. Disebabkan satu node yang merupakan jalan menuju solusi optimal terbuang selama proses pencarian, sebagai konsekuensinya solusi optimal juga ikut terbuang. Dalam menggunakan metode beam search perlu diperhatikan dalam
penentuan β (beam width) dalam proses pencarian alur yang menjanjikan. Semakin besar nilai β , semakin besar pula kemungkinan menemukan solusi yang paling optimal tetapi ada harga yang harus dibayar, yaitu semakin besarnya kebutuhan untuk komputasi baik dari segi waktu dan resource komputer. Menurut Peneliti Ow dan Morton (2004, pp3-5) dalam proses pencarian solusi terbaik untuk sementara waktu bisa timbul lokal maksimum atau solusi optimal yang dilihat dari suatu periode memang terbaik tetapi bila dilihat secara keseluruhan belum tentu yang benar-benar terbaik. Metode filtered beam search diajukan untuk menanggulangi lokal maksimum tersebut. Pada gambar berikut dapat dilihat terdapat dua buah lokal maksimum yang terjadi dari keseluruhan proses. Memang nilai lokal maksimum merupakan nilai maksimum tetapi bila dibandingkan dengan lokal maksimum lainnya ini bukan merupakan nilai yang terbaik. Oleh karena itu, perlu ditinjau lebih lanjut nilai maksimum lainnya guna mendapatkan solusi terbaik. Selain itu juga terdapat istilah flat lokal maksimum dimana nilai maksimum terlihat berhenti pada suatu titik tertentu tetapi bila proses masih dilanjutkan ternyata perubahan nilai proses masih bisa terjadi.
Fungsi Objektif Global Maksimum Lokal Maksimum
Lokal Maksimum
"Flat" Lokal Maksimum
Space State
Gambar 2.5 Grafik Lokal Maksimum Metode filtered beam search yang ditujukan untuk tidak menganggap solusi terbaik untuk suatu periode sebagai solusi terbaik keseluruhan. Konsep metode filtered beam search yaitu dengan cara menyimpan node-node yang bukan node terbaik pada saat pemilihan node-node terbaik dengan metode beam search klasik lalu mempertahankan node-node tersebut pada proses pencarian di level-level berikutnya, kemudian pada saat terdeteksi terjadinya flat lokal maksimum, node-node terdahulu yang disimpan pada level-level sebelumnya di evalusi ulang untuk memulai pencarian pada node-node yang pada metode beam search klasik terbuang. Node-node di luar yang disimpan diluar dari beam width disebut filter width ( α ). Pada pengimplementasiannya filtered beam search tidak membuat beban komputasi ataupun resource komputer bertambah terlalu besar, karena filter width ( α ) hanya memakan memori sebanyak α dan tidak menghitung seketika percabangan dari node-node himpunan α . Himpunan α hanya dipakai pada saat
percabangan himpunan B (himpunan dari hasil percabangan beam search klasik) mengalami flat lokal maksimum lalu kemudian mengganti anggota himpunan B dengan anggota himpunan α . Oleh karena itu penentuan α (filter width) ≤ β (beam width).
2.3
Peramalan
2.3.1 Definisi Peramalan merupakan perkiraan mengenai apa yang akan terjadi selanjutnya atau yang akan terjadi di masa mendatang. Oleh karena adanya perbedaan waktu antara kesadaran akan dibutuhkannya suatu kebijakan baru dengan waktu pelaksanaan kebijakan tersebut sehingga di perlukanlah peramalan. Jadi dalam menentukan kebijakan itu perlu diperhitungkan kesempatan atau peluang yang ada, sekaligus ancaman yang mungkin terjadi. Gambaran perkembangan pada masa depan diperoleh dari hasil analisis data yang didapat dari penelitian yang telah dilakukan。 Kegunaan peramalan terlihat pada saat pengambilan keputusan. Keputusan yang baik adalah keputusan yang didasarkan atas pertimbangan, apa yang akan terjadi pada waktu keputusan itu dilaksanakan. Apabila ramalan yang disusun atau dibuat kurang baik, maka makin kurang baik keputusan yang diambil. Ketepatan suatu ramalan merupakan hal yang sangat penting. Walaupun demikian perlu disadari bahwa suatu ramalan adalah suatu perkiraan (estimasi), yang selalu mengandung unsur kesalahannya.
Hal penting yang harus diperhatikan adalah usaha untuk memperkecil kemungkinan kesalahan tersebut.
2.3.2
Jenis-Jenis Peramalan Berdasarkan cara pandang dari beberapa segi peramalan dapat dibedakan atas : 1. Peramalan subjektif, yaitu peramalan yang didasarkan atas perasaan atau intuisi orang yang menyusunnya. Dalam hal ini pandangan atau judgement orang yang menyusunnya sangat menentukan baik-tidaknya hasil ramalan tersebut. 2. Peramalan yang objektif, adalah peramalan yang didasarkan atas data yang relevan pada masa lalu, dengan menggunakan teknik-teknik dan metodemetode penganalisisan data tersebut. Di samping itu, jika dilihat dari jangka waktu ramalan yang disusun, maka peramalan dapat dibedakan atas dua macam, yaitu: 1. Peramalan jangka panjang, yaitu peramalan yang dilakukan untuk penyusunan hasil ramalan yang jangka waktunya lebih dari satu setengah tahun atau tiga semester. 2. Peramalan jangka pendek, yaitu peramalan yang dilakukan untuk penyusunan hasil ramalan dengan jangka waktu yang kurang dari satu setengah tahun atau tiga semester. Berdasarkan sifat ramalan yang telah disusun, maka peramalan dapat dibedakan atas dua macam, yaitu:
1．Peramalan kualitatif, yaitu peramalan yang didasarkan atas data kualitatif masa lalu. Hasil peramalan yang dibuat sangat tergantung pada orang yang menyusunnya. Hal ini penting karena hasil peramalan tersebut ditentukan berdasarkan pemikiran yang bersifat intuisi, judgement atau pendapat, dan pengetahuan serta pengalaman dari penyusunnya. 2． Peramalan kuantitatif, yaitu peramalan yang didasarkan atas data kuantitaif pada masa lalu. Hasil peramalan yang dibuat sangat tergantung pada metode yang dipergunakan dalam peramalan tersebut. Metode yang baik adalah metode yang memberikan nilai-nilai penyimpangan yang sekecil mungkin. Peramalan kualitatif hanya dapat digunakan apabila terdapat tiga kondisi sebagai berikut: (a) Adanya informasi tentang keadaan yang lain (b) Informasi tersebut dapat dikuantifikasikan dalam bentuk data (c) Dapat diasumsikan bahwa pola yang lalu akan berkelanjutan pada masa yang akan datang.
2.3.3
Langkah-langkah Peramalan Ada tiga langkah peramalan yang penting, yaitu: 1. Menganalisis data yang yang lalu. Tahap ini berguna untuk mengetahui pola yang terjadi pada masa yang lalu. Analisis ini dilakukan dengan cara membuat tabulasi data yang lalu. Dengan tabulasi data, maka dapat diketahui pola data tersebut.
2. Menetukan metode yang digunakan. Tiap-tiap metode akan memberikan hasil peramalan yang berbeda. Metode yang baik adalah metode yang menghasilkan nilai peramalan yang mendekati kenyataan. 3. Memproyeksi data historis dengan menggunakan metode yang dipergunakan, serta mempertimbangkan adanya beberapa faktor perubahan.
2.3.4
Pengertian Metode Peramalan Metode peramalan adalah cara memperkirakan secara kuantitatif apa yang akan terjadi pada masa depan, berdasarkan data yang relevan pada masa lalu. Oleh karena metode peramalan didasarkan pada data yang relevan pada masa lalu, maka metode peramalan ini dipergunakan dalam peramalan yang bersifat objektif. Sebagaimana diketahui, metode merupakan cara berfikir yang sistematis dan pragmatis atas pemecahan suatu masalah. Dengan dasar ini, maka metode peramalan merupakan cara memperkirakan apa yang akan terjadi pada masa depan secara sistematis dan pragmatis. Metode peramalan sangat berguna untuk memperkirakan secara sistematis dan pragmatis atas dasar data yang relevan pada masa lalu, sehingga metode peramalan diharapkan dapat memberikan objektivitas yang lebih besar. Metode peramalan kuantitatif dapat dibedakan atas 2 jenis, yaitu: 1. Metode peramalan yang didasarkan atas penggunaan analisis pola hubungan antara variabel yang akan diperkirakan dengan variabel waktu, menurut deret waktu, yaitu: (a) Metode Smooting
(b) Metode Box Jenkins. (c) Metode proyeksi trend dengan regresi. 2. Metode peramalan yang didasarkan atas penggunaan analisis pola hubungan antara variabel yang akan diperkirakan dengan variabel lain yang mempengaruhinya, yang bukan waktu, yang disebut metode korelasi atau sebab-akibat, yaitu: (a) Metode regresi dan korelasi (b) Metode ekonometri (c) Metode Input-Output. Di antara metode-metode yang disebutkan, metode peramalan regresi dan korelasi akan digunakan dalam skripsi ini.
2.3.5
Metode Regresi dan Korelasi Dengan metode regresi, ramalan disusun atas dasar pola hubungan data yang relevan pada masa lalu. Ada tiga kondisi yang dibutuhkan untuk dapat mempergunakan metode regresi ini, yaitu: 1. Adanya informasi tentang keadaan yang lalu, 2. Informasi tersebut dapat dikuantifikasikan dalam bentuk angka, 3. Dapat dianggap atau diasumsikan bahwa pola hubungan yang ada dari data masa lalu akan berkelanjutan pada masa yang akan datang.
2.3.6 Pola Hubungan Dalam Penyusunan Ramalan Dalam peramalan, variabel yang ingin diramalkan disebut sebagai variabel yang yang dicari atau ditentukan (dependent variabel). Variabel ini
ditentukan atau dipengaruhi besarnya oleh variabel lain yang disebut variabelvariabel penentu atau variabel bebas (independent variabel). Hubungan antara variabel bebas dengan variabel yang ditentukan dinyatakan dalam bentuk fungsi. Peramalan mempergunakan fungsi sebagai usaha untuk melihat pola hubungan yang ada pada masa lalu antara variabel yang diramalkan dengan variabel yang menentukan atau mempengaruhinya. Pada dasarnya terdapat dua macam analisis hubungan dalam penyusunan ramalan, yaitu: 1. Analisis deret waktu (time series). Peramalan ini disusun atas pola hubungan antara variabel yang dicari atau diramalkan dengan variabel waktu yang merupakan satu-satunya varibel yang mempengaruhinya atau bebas. Dalam peramalan dengan analisis deret waktu, dilakukan usaha untuk mencari atau menemukan pola deret data historis dan kemudian mengekstrapolasikan pola tersebut untuk masa yang akan datang. 2. Analisis cross section atau model sebab akibat (causal model). Peramalan ini disusun atas pola hubungan antara variabel yang dicari atau diramalkan dengan variabel yang mempengaruhinya atau bebas (independent variabel), yang bukan waktu. Dalam analisis atau model ini, diasumsikan bahwa faktor atau variabel yang diramalkan menunjukkan suatu hubungan pengaruh sebab-akibat dengan satu atau lebih variabel bebas. Jadi, maksud analisis cross section atau causal model adalah menemukan bentuk pola hubungan yang saling mempengaruhi antara variabel yang dicari dan variabel
yang mempengaruhinya, serta menggunakanya untuk meramalkan nilai-nilai dari variabel (yang diramalkan) pada masa yang akan datang.
2.3.7 Pengukuran Kesalahan Peramalan Tugas utama dalam peramalan adalah memisahkan pola yang ada dari komponen
kesalahan
(error).
Prosedur
yang
umum
dilakukan
untuk
memperkirakan pola hubungan yang ada, baik untuk model causal atau deret waktu, adalah melalui penentuan bentuk fungsional yang meminimalkan komponen kesalahan (error). Salah satu bentuk dari perkiraan atau estimasi tersebut adalah least squares. Metode ini akan meminimumkan jumlah kuadrat kesalahan. Persamaan digunakan untuk menghitung kesalahan (error) dari setiap periode peramalan:
ε t = Yt − Yt di mana
εt :
kesalahan peramalan pada periode t.
Yt :
nilai sebenarnya pada periode t.
Yt :
nilai peramalan pada periode t.
Salah satu cara untuk mengevaluasi teknik peramalan adalah kesalahan rata-rata kuadrat atau mean squared error (MSE). MSE merupakan metode alternatif dalam mengevaluasi suatu teknik peramalan. Setiap kesalahan atau residual dikuadratkan, kemudian dijumlahkan dan dibagi dengan jumlah observasi. Pendekatan ini penting karena suatu teknik yang menghasilkan kesalahan kecil kadang-kadang menghasilkan kesalahan yang sangat besar.
n
MSE =
2.3.8
∑ (Y
t
t =1
ˆ )2 −Y t
n−2
Regresi Linear Sederhana Regresi linear sederhana adalah metode yang menganalogikan suatu pola hubungan yang berbentuk garis lurus antara suatu variabel yang diramalkan dengan satu variabel yang mempengaruhinya atau variabel bebas. Penerapan regresi linear sederhana dapat dilakukan dengan memplot titik-titik dari data observasi pada kertas grafik, kemudian menarik sebuah garis yang mewakili titik-titik tersebut. Model persamaan linier regresi adalah sebagai berikut. Y=α+βX+ε di mana
Y
: variabel yang diramal,
X
: variabel bebas (yang mempengaruhi variabel yang diramal)
α , β : parameter intercept
ε
: kesalahan ramalan (error)
Model persamaan linier regresi diatas dapat diduga dengan menggunakan persamaan berikut.
ˆ = a + bX Y dimana
a , b : koefisien regresi ˆ Y
: nilai pendugaan terhadap X
Pada umumnya Yi tidak sama dengan Yˆi , perbedaan antara Yi dan Yˆi dinyatakan dengan kesalahan ramalan (error) yang disebut sisa (residual).
Dalam hal ini kesalahan ramalan (error) dapat dihitung menurut persamaan berikut:
ε i = Yi − Yˆi Sedangkan penyimpangan atau deviasi adalah: d = Yi − Y
di mana
ˆ Y
: nilai yang diramalkan
X
: variabel yang mempengaruhi atau variabel bebas
εi
: kesalahan ramalan
d
: penyimpangan atau deviasi
Yi
: nilai observasi
Y
: rata-rata dari nilai observasi.
Kesalahan ramalan dapat diminimalkan dengan dengan cara mengambil turunan parsial atau partial derivative dari jumlah kuadrat kesalahan ramalan dan kemudian menyamakannya dengan nol.
∑ε
2 i
ˆ )2 = ∑ (Yi − Y
ˆ = a + bX pada persamaan di atas, didapat: Dengan mensubtitusikan Y
∑ε
2 i
= ∑ (Yi − a − bX i ) 2
Turunan parsial dari persamaan di atas adalah sebagai berikut.
∂ (∑ ε i ) 2
∂a
∂ (∑ ε i ) 2
∂b
= −2∑ (Yi − a − bX i ) = 0 = −2∑ (Yi − a − bX i )X i = 0
Dari kedua persamaan diatas, didapatkan persamaan baru untuk mencari nilai b, yaitu:
di mana
n
b=
n ∑ X i Yi − ∑ X i ∑ Yi
a=
∑Y
n ∑ X i − (∑ X i )
2
2
i
− b∑ X i n
: jumlah data observasi
Setelah diperoleh koefisien nilai dari a dan b, maka sudah didapat persamaan regresi yang diinginkan. Menurut Assuari (1984. p58), untuk menggunakan persamaan regresi ini untuk peramalan, perlu dilakukan serangkaian uji lebih lanjut, di antaranya adalah: 1. Uji mengenai tepat tidaknya pemilihan variabel bebas yang mempengaruhi variabel terikat. Uji ini disebut tes koefisien penentu (coefficient of determination test). 2. Uji untuk mengetahui apakah benar persamaan regresi itu adalah linier. Uji ini dikenal dengan nama significance test.
2.3.9 Uji Koefisien Penentu (Coefficient of Determination Test) atau Uji R2 Nilai uji koefisien penentu (coefficient of determination test) atau R2 tes didapat dengan menggunakan rumus berikut. R
2
∑ε = 1− ∑y
2 i 2 i
di mana:
∑ε
2 i
= ∑ yi − b2 2
(∑ x ) 2
i
dan
∑y
i
∑x
i
2
2
( )
= ∑ Yi − n Y 2
2
( )
= ∑ Xi − n X 2
2
Nilai R2 tersebut berkisar antara 0 s/d 1. Nilai R2 yang mendekati 1 menunjukkan sangat besarnya pengaruh variabel X. Koefisien penentu (coefficient of determination) juga dapat dicari menggunakan koefisien korelasi. Dengan koefisien korelasi dapat ditunjukkan kuatnya hubungan antara dua variabel. Koefisien korelasi (r) adalah suatu ukuran relatif dari asosiasi di antara dua variabel. Nilai koefisien ini bervariasi antara -1 sampai +1. Koefisien korelasi 0 (nol) berarti tidak ada korelasi sedangkan koefisien korelasi 1 menunjukkan adanya korelasi sempurna (perfect competition). Bila koefisien korelasi lebih besar dari nol, maka kedua variabel tersebut mempunyai hubungan positif. Sebaliknya, jika koefisien korelasi tersebut lebih kecil dari nol, maka kedua variabel itu mempunyai hubungan negatif. Berikut adalah rumus untuk menghitung koefisien korelasi.
r=
(n∑ X
n ∑ XY − ∑ X∑ Y 2
)(
− (∑ X ) n ∑ Y 2 − (∑ Y ) 2
2
)
Sedangkan angka koefisien penentu (coeficient of determination) dapat dihitung dengan menguadratkan koefisien korelasi.
(n ∑ XY − ∑ X∑ Y ) = (n∑ X − (∑ X) )(n∑ Y − (∑ Y) ) 2
R
atau
2
2
2
2
2
jumlah explained variation = R = jumlah variasi total 2
2.4
Kombinatorik
2.4.1
Permutasi
∑ (Yˆ − Y ) ∑ (Y − Y )
2
i
2
i
Salah satu bagian dari kombinatorik adalah apa yang disebut dengan permutasi. Permutasi adalah banyak cara untuk membentuk susunan tertentu dari sesuatu yang disediakan. Sebagai contohnya adalah misalnya kita mempunyai 3 buah bola berwarna merah, hijau, dan biru dan kita ingin memasukkannya ke dalam lima kotak yang diediakan dimana satu kotak maksimal hanya berisi satu bola. Maka bila bola merah yang kita tempatkan pertama kali, kita akan memiliki lima alternatif tempat yang disediakan untuk bola merah tersebut. Kemudian bila kita akan memasukkan bola hijau, kita tinggal memiliki 4 alternatif tempat sebab satu tempat dari lima tempat yang tersedia telah dipakai untuk meletakkan bola merah dan menurut peraturan, satu kotak hanya boleh berisi satu bola. Hal yang sama terjadi pada bola warna biru. Untuk bola warna biru, kita tinggal memiliki tiga tempat yang tersisa sebab dua dari lima tempat yang disediakan telah dipakai untuk meletakkan bola merah dan hijau. Jadi cara untuk memasukkan ketiga bola tersebut ke dalam lima tempat yang tersedia, kita akan memiliki 5 x 4 x 3 cara atau sama dengan 60 cara. Hasil perhitungan ini dapat digeneralisasikan. Untuk menggeneralisasikannya, anggaplah banyak benda yang akan kita tempatkan divariabelkan dengan r dan jumlah tempat yang tersedia kita variabelkan dengan n. untuk memasukkan bola
pertama kita mempunyai n cara. Untuk memasukkan benda kedua, kita mempunyai n cara dikurangi satu (tempat yang dipakai oleh benda pertama). Begitu seterusnya sehingga untuk benda ke r, kita memiliki cara untuk memasukkan benda tersebut sebanyak (n – r + 1) cara.bila kita rumuskan, maka didapat rumus sebagai berikut : n x (n – 1) x (n – 2) x …. x (n – r +1) atau n! (n − r )! dalam matematika, hal diatas disebut dengan permutasi r dari himpunan S yang memiliki n anggota dan dilambangkan dengan P(n,r).
2.4.2
Kombinasi Bagian berikutnya adalah kombinasi. Bla dalam permutasi kita memperhatikan susunannya, maka pada kombinasi ini, susunan tidak diperhatikan. Sebuah kombinasi-r elemen-elemen dari sebuah himpunan adalah pemilihan tak berurutan (tanpa memperhatikan urutan) r elemen dari himpunan tersebut. Contoh: Jika S = {1, 2, 3, 4}, susunan { 1, 3, 4 } adalah sebuah kombinasi-3 dari S. Banyaknya kombinasi-r (r-combinations) dari sebuah himpunan dengan n r ⎛ n⎞ obyek berbeda dinyatakan sebagai C(n,r) atau C atau ⎜⎜ ⎟⎟ . n ⎝r⎠ n! C nr = Rumus umum : r ! (n − r ) !
Jika r = n,
maka
C nn =
n! =1 n ! ( n − n) !
