BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1. Pengertian Data Deret Berkala
Suatu deret berkala adalah himpunan observasi yang terkumpul atau hasil observasi yang mengalami peningkatan waktu. Data deret berkala adalah serangkaian nilai-nilai variabel yang disusun berdasarkan waktu. Pada analisis data deret berkala terdapat variasi musim. Variasi musim merupakan gerakan suatu deret berkala yang diklasifikasikan ke dalam periode kurang dari satu tahun seperti kwartalan, bulanan atau harian, atau gerakan periodik yang berulang.
Data sebuah deret berkala dapat berupa variasi musim atau tidak memiliki variasi musim, oleh karena itu perlu dilakukan identifikasi terlebih dahulu untuk mengetahui apakah deret tersebut mempunyai variasi musim atau tidak sebelum dilakukan perhitungan. Metode paling sederhana untuk mengetahui adanya variasi musim adalah dengan melihat pola yang ada pada plot time series. Pola variasi musim dapat diklasifikasikan dalam dua bentuk yaitu spesifik dan tipical. Pola spesifik menunjukkan variasi musim dalam periode kwartalan, sedangkan pola tipical menunjukkan rata-rata variasi musim dalam sejumlah periode seperti tahunan.
2.2. Stasioneritas
Menurut Makridakis, dkk (1993) stasioneritas mempunyai makna bahwa tidak terdapat pertumbuhan atau penurunan pada data. Dengan kata lain, fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dan varians dari fluktuasi trsebut. Plot data deret berkala dapat digunakan untuk mengetahui suatu data telah stasioner atau belum. Kestasioneran suatu data deret berkala dapat juga diperlihatkan dengan membuat plot autokorelasi.
Universitas Sumatera Utara
Data deret berkala dikatakan stasioner dalam rata-rata jika rata-ratanya tidak berubah dari waktu ke waktu atau data bersifat stabil. Untuk melihat apakah suatu data sudah stasioner dalam rata-rata dapat digunakan alat bantu plot time series dan ACF. Apabila suatu data deret berkala tidak stasioner berdasarkan rata-rata maka dapat diatasi dengan melakukan pembeda (differencing). Differencing merupakan pengurangan data tertentu dengan data sebelumnya. Jika differencing ordo satu masih belum menghasilkan data yang stasioner, maka dapat dilakukan differencing ordo kedua, dan seterusnya hingga diperoleh data stasioner.
Menurut Makridakis, dkk (1993) notasi yang sangat bermanfaat dalam metode pembedaan adalah operator shift mundur (backward shift) yang disimbolkan dengan B dan penggunaanya adalah sebagai berikut:
(1) Notasi B yang dipasangkan pada
mempunyai pengaruh menggeser data satu periode
ke belakang, dua penerapan B untuk
akan menggeser data tersebut dua periode ke
belakang, sebagai berikut:
(2) Apabila suatu deret berkala tidak stasioner, maka data tersebut dapat dibuat lebih mendekati stasioner dengan melakukan pembedaan pertama dari deret data dan persamaannya adalah sebagai berikut: 1.
Pembedaan pertama (3)
Menggunakan operator shift mundur, persamaan (6) dapat ditulis kembali menjadi: (4) Pembedaan pertama dinyatakan oleh (1-B). Sama halnya apabila pembedaan orde kedua (yaitu pembedaan pertama dari pembedan pertama sebelumnya) harus dihitung. 2.
Pembedaan orde kedua
Universitas Sumatera Utara
Pembedaan orede kedua diberi notasi
.
Tujuan menghitung pembedaan adalah untuk mencapai stasioneritas, dan secara umum apabila terdapat pembedaan orde ke-d untuk mencapai stasioneritas ditulis sebagai berikut: (5) Suatu deret berkala dikatakan stasioner dalam varians, jika plot deret berkala tidak memperlihatkan adanya perubahan varians yang jelas dari waktu ke waktu (Makridakis, 1993). Begitu pula sebaliknya, jika data deret berkala menunjukkan terdapat variasi fluktuasi data pada grafik maka data tersebut termasuk dalam deret berkala yang belum stasioner atau belum dalam varians, dapat menggunakan plot time series dan plot ACF.
Untuk menstasionerkan data yang belum stasioner dalam varians, dapat dilakukan dengan proses transformasi. Secara umum, untuk mencapai stasioneritas dalam varians dapat dilakukan dengan power transformation ( ) yaitu (Makridakis, 1993): (6) dengan
adalah parameter transformasi dan
Secara umum, berikut adalah nilai dari
adalah faktor penambah yang konstan. beserta pendekatan transformasi yang
digunakan (Wei, 1990):
Universitas Sumatera Utara
Tabel 1: Transformasi Box-Cox Nilai
Estimate
Transformasi
-1
-0,5
0 0,5 1
(stasioner)
2.3. Model Fungsi Transfer Fungsi transfer merupakan salah satu metode peramalan yang digunakan pada data deret waktu yang terhubung dengan satu atau lebih deret waktu lainnya. Model fungsi transfer merupakan gabungan beberapa karakteristik dari model-model ARIMA univariat dan beberapa karakteristik analisis regresi berganda. Model fungsi transfer memiliki deret berkala input ( ), dan input-input lain yang digabungkan dalam satu kelompok yang disebut gangguan (noise), dengan simbol
. Fungsi transfer digunakan untuk
meramalkan nilai yang akan datang dari suatu deret output ( ) berdasarkan nilai yang lalu dari deret output tersebut dan deret-deret lain yang berhubungan, yang disebut deret input , dengan simbol
.
Fungsi transfer memetakan deret input
ke deret output
dengan
merupakan deret input yang terkendali. Upaya untuk mengatasi hal ini adalah melakukan pemutihan atau white noise yaitu penghilangan seluruh pola yang diketahui sehingga yang berpengaruh hanyalah galat acak. Untuk mempertahankan hubungan fungsional fungsi transfer maka transformasi pemutihan yang dilakukan terhadap deret input haruslah dilakukan pula terhadap deret output.
Universitas Sumatera Utara
2.3.1. Bentuk Dasar Model Fungsi Transfer
Model fungsi transfer bivariat ditulis dalam dua bentuk umum. Bentuk pertama adalah sebagai berikut:
(7)
dengan: = deret output = deret input = pengaruh kombinasi dari seluruh faktor yang mempengaruhi =(
),
merupakan respons impuls dimana
adalah
orde fungsi transfer.
2.3.1.1.
Menyiapkan Deret Input dan Output
Di dalam menyiapkan pemodelan fungsi transfer, perlu ditransformasikan atau melakukan
pembedaan
deret
input
dan
output,
terutama
apabila
terdapat
ketidakstasioneran. Transformasi yang biasanya diterapkan adalah sebagai berikut: apabila dan apabila dengan m adalah faktor penambah yang konstan. Bila kuadrat diterapkan. Bila
= 0,5 maka transformasi akar
= 0, maka logaritma data dihitung dan faktor penambah yang
konstan ditetapkan sedemikian rupa sehingga nilai (
) lebih besar dari nol.
Terhadap deret input dan deret output, menghilangkan pengaruh musiman (deseasonalized) perlu dilakukan. Hal ini mempunyai pengaruh yang mampu menghasilkan nilai-nilai (r, s, b) yang lebih kecil daripada tanpa melakukan
Universitas Sumatera Utara
deseasonalized. Langkah-langkah yang perlu dilakukan sebelum menyiapkan deret input dan output adalah sebagai berikut: 1. Apakah transformasi terhadap data input dan output perlu dilakukan 2. Berapa tingkat pembedaan (difference) yang seharusnya diterapkan untuk deret input dan deret output agar mereka menjadi stasioner. 3. Apakah deret input dan output perlu dihilangkan pengaruh musimannya Deret data yang telah ditransformasi dan yang telah sesuai disebut
dan
.
2.3.1.2. Pemutihan Deret Input ( )
Mengubah deret input ( ) menjadi deret output ( ) dan meyederhanakannya akan membantu mempermudah memahami sistem dari fungsi transfer. Dengan demikian suatu input yang terkendali dapat ditempatkan dan diperiksa outputnya secara berulangulang sampai sifat asli fungsi transfer jelas. Melakukan pemutihan terhadap deret input berfungsi untuk menghilangkan seluruh pola yang diketahui supaya yang tertinggal hanya model yang terkendali, white noise.
Suatu keadaan deret disebut white noise dengan suatu contoh nilai-nilai diambil dengan penarikan contoh acak yang bebas dengan distribusi peluang yang tetap. Dengan contoh sebagai berikut:
(8)
dengan
adalah operator regresi-diri (autoregressive operator),
operator rata-rata bergerak (moving average operator), dan
adalah
adalah kesalahan acak,
yaitu white noise (dalam hal ini tidak memerlukan pembedaan (
) dalam model
ARIMA, karena hal ini telah dilakukan pada saat mempersiapkan deret input dan output). Pemutihan deret persamaan (20), deret
dapat dilakukan dengan menyusun suku-suku pada disusun kembali ke dalam deret
, sebagai berikut
(Makridakis, 1993):
Universitas Sumatera Utara
2.3.1.3.
Pemutihan Deret Output ( )
Fungsi transfer yang ditetapkan adalah memetakan
ke dalam
persamaan (20), transformasi yang sama diterapkan terhadap
. Seperti pada supaya integritas
hubungan fungsional tetap dipertahankan. Input
Fungsi Transfer
Input
Output
Fungsi Transfer
Transformasi pada
Output
tidak diubah menjadi white noise karena deret telah
diputihkan sebelumnya. Deret yang telah diputihkan diberi simbol deret
2.3.1.4
, dengan formulasi
sebagai berikut:
Penghitungan Crosscorrelation dan Autocorelation untuk Deret yang
telah diputihkan
Pada pemodelan ARIMA variabel tunggal (univariate
ARIMA), koefisien
autocorelation merupakan statistik kunci dalam membantu menetapkan bentuk model. Pada pemodelan MARIMA variabel ganda (fungsi transfer), autocorelation memiliki peran yang kedua setelah crosscorelation. Kenyataanya, terdapat perbedaan yang sangat kecil antara crosscorelation dengan apa yang biasa disebut korelasi, karena fungsi transfer berhubungan dengan dua deret, diputihkan
dan
yang terpisah (dalam bentuk yang telah
dan ).
Peragam (covariance) antara dua variabel
dan
(tanpa subskrip waktu, yang
ditunjukkan dengan huruf t kecil di bawah notasi keduanya) ditetapkan sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
(10) Bentuk tersebut dapat digunakan untuk menetapkan dua ragam
dan
. Dengan
menggunakan subskrip waktu di bawah variabel X dan Y dengan memisalkan k sebagai waktu lag (lag time) atau beda waktu pada setiap pasang data, maka kita dapat menentukan peragam-silang (crosscovariance)
dan
sebagai berikut: (11) (12)
dengan k = 0, 1, 2, 3, ..., pada persamaan (22) X memberikan petunjuk pada Y berdasarkan periode k. Di dalam persamaan (23) Y memberikan petunjuk pada X berdasarkan periode k. Persamaan (22) dan (23) didefenisikan sebagai ekspektasi (yang diharapkan). Taksiran crosscorelation dihitung dengan rumus sebagai berikut: (13) dengan
dan
adalah rata-rata dari deret
dan Y dan k = 0, 1, 2, ... (14)
Rumus kesalahan standar berikut berguna untuk memeriksa apakah nyata dari nol dengan membandingkan nilai
berbeda
dengan kesalahan standar.
(Makridakis, 1993) (15) Jika terdapat k negatif, diganti dengan nilai absolutnya pada sisi kanan persamaan (26).
2.3.1.5. Pendugaan Langsung Bobot Respons Impuls
Universitas Sumatera Utara
Formula untuk memperoleh pendugaan langsung untuk masing-masing bobot respon impuls adalah: (16) dengan: = bobot respon impuls = korelasi silang antara
dan
= simpangan baku (standard deviation) dari deret = simpangan baku (standard deviation) dari deret (makridakis, 1993)
2.3.1.6. Penetapan (r, s, b) untuk Model Fungsi Transfer
Nilai b menyatakan bahwa y tidak dipengaruhi oleh nilai
sampai periode t+b. Nilai s
menyatakan untuk beberapa lama deret output y secara terus menerus dipengaruhi oleh nilai-nilai baru dari deret input. Nilai r menunjukkan bahwa
berkaitan dengan nilai-
nilai masa lalunya. Parameter utama dalam model fungsi transfer adalah (r, s, b), dengan r menunjukkan derajat fungsi
, s menunjukkan derajat fungsi
menunjukkan keterlambatan yang dicatat pada subskrip dari
, dan b
pada persamaan (3).
(Makridakis, 1993) Berdasarkan persamaan (1), (2) dan (3) telah ditetapkan:
Apabila pernyataan
,
dan
diperluas dan koefisiennya dibandingkan,
akan diperoleh hubungan sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
untuk untuk untuk untuk
Secara intuitif arti (r, s, b) dapat diuraikan dengan aturan-aturan berikut. Pertama, nilai b menyatakan bahwa y tidak dipengaruhi oleh nilai
sampai periode
, atau dengan persamaan sebagai berikut:
berikutnya, nilai s menyatakan untuk beberapa lama deret output (y) secara terusmenerus dipengaruhi oleh nilai-nilai baru dari deret input (x), . Nilai r menunjukkan bahwa masa lalunya yaitu y dipengaruhi oleh
dipengaruhi oleh
berkaitan dengan nilai-nilai .
Tiga prinsip atau petunjuk untuk menentukan nilai yang tepat untuk (r, s, b) yaitu sebagai berikut: 1.
Sampai lag waktu ke b, crosscorelation tidak akan berbeda dari nol secara signifikan.
2.
Untuk s time lag selanjutnya, crosscorelation tidak akan memperlihatkan adanya pola yang jelas.
3.
Untuk r time lag selanjutnya, crosscorelation akan memperlihatkan suatu pola yang jelas.
2.3.1.7. Penaksiran Awal Deret Gangguan ( )
Universitas Sumatera Utara
Bobot respons impuls diukur secara langsung dan ini memungkinkan perhitungan nilai taksiran dari deret gangguan
, dikarenakan:
dengan g adalah nilai praktis yang dipilih.
2.3.1.8. Penetapan
untuk Model ARIMA (
) dari Deret Gangguan
Autokorelasi, autokorelasi parsial ditetapkan dan selanjutnya nilai
dan
untuk
autoregressive dan proses moving average, berturut-turut dipilih. Dengan cara seperti ini, fungsi
dan
untuk deret gangguan
pada persamaan (38) diperoleh
untuk mendapatkan:
2.3.1.9.
Analisis Autokorelasi
untuk Nilai
Sisa Model (r,
s,
b)
yang
Menghubungkan Deret Input dan Output
Pengujian kelayakan suatu model perlu dilakukan untuk mengetahui kesesuaian model yaitu sudah memenuhi syarat white noise. Caranya adalah dengan memeriksa autokorelasi dan korelasi residualnya. Pengujian autokorelasi untuk nilai sisa menggunakan hipotesis: H0:
Autokorelasi pada deret sisa
tidak signifikan
H1:
Autokorelasi pada deret sisa
signifikan
Dengan statistik uji:
Universitas Sumatera Utara
dengan: = banyak data pada gugus residual = lag terbesar yang diperhatikan (r, s, b) = parameter model fungsi transfer = autokorelasi residual untuk lag k Selanjutnya membandingkan hasilnya dengan tabel distribusi signifikansi , derajat bebas
dengan taraf
(merupakan nilai autoregressive dan moving
average dari deret noise) dan tolak H0 jika
.
2.3.1.10. Analisi Korelasi Silang antara Nilai Sisa dengan Deret Ganguan yang Telah Diputihkan
Pada proses perkiraan langsung bobot fungsi transfer dibuat asumsi bahwa deret input ( ) yang disesuaikan adalah bebas dari komponen noise ( ) random. Karena itu bagian penting dari proses diagnostik adalah untuk membuktikan asumsi ini. Untuk menguji kesimpulan ini secara formal, akan digunakan uji
Box-Pierce sekali lagi. Pengujian
crosscorelation antara nilai sisa dengan deret gangguan yang telah diputihkan menggunakan statistik uji
dengan hipotesis:
H0:
Crosscorelation antara deret
H1:
Crosscorelation antara deret
dan dan
Formula yang sesuai untuk uji keterikatan
tidak signifikan signifikan dan
, adalah sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
dengan: = banyak data pada deret
(x yang telah white noise)
= lag maksimum = jumlah parameter AR pada model ARIMA dengan deret input ( ) s dan b adalah parameter yang diperoleh dari hasil perhitungan. Hasilnya dibandingkan dengan tabel keputusan, tolak H0 jika
dengan derajat bebas
dengan kriteria
.
2.4. Prosedur Menentukan Model Fungsi Transfer Multivariat
Pemodelan fungsi transfer multi input (multivariate models) untuk deret input deret output
dan
memiliki beberapa tahapan. Pertama, mengidentifikasi deret input
tunggal terlebih dahulu supaya mendapatkan orde model ARIMA. Setelah diperoleh model ARIMA untuk deret input tunggal dan deret output, dilakukan pemutihan terhadap deret tersebut. Selanjutnya, dilakukan perhitungan korelasi silang untuk masing-masing deret untuk menentukan nilai
. Setelah estimasi bobot-bobot
respon inpuls, dilanjutkan dengan mengidentifikasi bentuk model fungsi transfer dan noise gabungan. Berikut adalah tahap-tahap pemodelan fungsi transfer multi input. (Makridakis 1993)
2.4.1. Tahap Pertama: Identifikasi Bentuk Model Input Tunggal 1) Mempersiapkan deret input dan output Mengidentifikasi kestasioneran deret input dan output dilakukan dengan melakukan transformasi atau melakukan differencing terhadap deret input dan output. Deret data input dan output yang telah stasioner disebut
dan
.
2) Pemutihan deret input
Universitas Sumatera Utara
Pemutihan deret input dilakukan untuk memperoleh model yang white noise. Pemutihan deret input
dengan proses ARIMA
Mengubah deret input
adalah:
menjadi deret
adalah sebagai berikut:
3) Pemutihan deret output Rumusan deret output yang telah diputihkan adalah:
Suatu transformasi pemutihan yang dilakukan terhadap deret
supaya fungsi transfer dapat memetakan
diterapkan juga terhadap
terhadap
.
4) Perhitungan korelasi silang dan autokorelasi deret input dan deret output yang telah diputihkan Kovarian antara dua variabel
dan
adalah sebagai berikut:
dan diperoleh dua ragam yaitu
dan
Kovarians silang
didefenisikan sebagai berikut:
dan
. Dengan memisalkan
sebagai time lag.
( ( dengan persamaan di atas didefinisikan sebagai ekspektasi. Dalam praktek, taksiran kovarianssilang dihitung dengan rumus berikut:
Universitas Sumatera Utara
Kovarians silang kemudian diubah menjadi korelasi silang dengan membagi kovarians tersebut oleh dua standar deviasi sebagai berikut:
Rumus standar error berikut berguna untuk memeriksa apakah dari nol, dengan membandingkan nilai
berbeda nyata
dengan standar error.
Di dalam model fungsi transfer multivariat, perhitungan korelasi silang pada masing-masing input
terhadap output
digunakan untuk mengetahui nilai
diidentifikasi dari plot korelasi silang. Setelah diperoleh nilai masing input, maka dilakukan korelasi silang serentak antara nilai
yang
pada masingterhadap seluruh
variabel inputnya. 5) Penaksiran langsung bobot respon impuls
Bobot respon impuls ini berguna untuk menghitung deret noise. Untuk penaksiran bobot respon impuls secara langsung, rumusnya adalah sebagai berikut:
dengan = nilai dari korelasi silang lag ke-k = standar deviasi dari deret output yang telah diputihkan
Universitas Sumatera Utara
= standar deviasi dari deret input yang telah diputihkan
6) Penetapan
untuk model fungsi transfer yang menghubungkan deret
input
dan deret output Tiga parameter kunci dalam model fungsi transfer adalah menunjukkan derajat fungsi
dengan
, menunjukkan derajat fungsi
menunjukkan keterlambatan yang dicatat pada
, dan
pada persamaan berikut:
Berikut ini beberapa aturan yang dapat digunakan untuk menduga nilai
dari
suatu fungsi transfer. a.
Nilai
menyatakan bahwa
Besarnya
tidak dipengaruhi oleh
sampai periode
dapat ditentukan dari lag yang pertama kali signifikan pada plot
korelasi silang. Nilai ini merupakan nilai yang paling mudah ditentukan. Apabila korelasi silang diperoleh dari maka dapat ditentukan runtun waktu input b.
Nilai
tetapi
,
, dengan kata lain terdapat tiga periode sebelum
mulai mempengaruhi runtun waktu output .
menyatakan seberapa lama deret
terus dipengaruhi
, sehingga dapat dikatakan bahwa nilai adalah bilangan pada lag plot korelasi silang sebelum terjadinya pola menurun. c.
Nilai
menyatakan bahwa
dipengaruhi oleh nilai masa lalunya
, dengan ketentuan: bila ada beberapa lag plot pada korelasi silang yang terpotong. bila plot pada korelasi silang menunjukkan suatu pola eksponensial menurun. bila plot pada korelasi silang menunjukkan suatu pola eksponensial menurun dan pola sinus.
7) Penaksiran awal deret gangguan
Universitas Sumatera Utara
Bobot respon impuls diukur secara langsung, ini memungkinkan dilakukan perhitungan nilai taksiran dari deret gangguan
8) Penetapan
dengan rumusan:
untuk model ARIMA
dari deret gangguan
Sesudah menggunakan persamaan deret gangguan
, nilai-nilai
dianalisis dengan
cara ARIMA biasa untuk menentukan model ARIMA yang tepat sehingga diperoleh nilai
dan
. Dengan cara ini, fungsi
dan
untuk deret gangguan
dapat diperoleh untuk mendapatkan persamaan berikut:
2.4.2. Tahap Kedua: Penaksiran Parameter-parameter Model Fungsi
Transfer
Berikut adalah model fungsi transfer dan ARIMA untuk deret noise:
Pada tahap ini, akan dilakukan penaksiran nilai-nilai
,
,
dan
. Nilai taksiran
diperoleh dengan cara mensubstitusikan persamaan khusus seperti berikut: untuk untuk
Universitas Sumatera Utara
untuk untuk Dengan pembobotan impuls, maka akan diperoleh nilai-nilai parameter yang diperlukan dengan cara mensubstitusikannya.
2.4.3. Tahap Ketiga: Uji Diagnosis Model Fungsi Transfer Tunggal
Pada tahap ini diperlukan pengecekan deret gangguan . Deret
dan hubungan deret
dengan
yang sudah diperoleh melalui tahap 1 dan 2, secara umum bentuknya
adalah:
Dikalikan dengan nila parameter
. Selanjutnya, mencari yang diatur kembali untuk digunakan pada model peramalan.
2.4.4. Tahap Keempat: Penentuan Model Fungsi Transfer Multi Input
Pemodelan fungsi transfer multi input dilakukann dengan cara memodelkan secara serentak seluruh variabel yang sudah diidentifikasi sebelumnya. Identifikasi nilai-nilai bobot respon impuls dan korelasi silang dijadikan dasar dalam pemodelan serentak yang menghasilkan fungsi transfer multi input. Langkah-langkah penentuan model fungsi transfer multi input adalah sebagai berikut: 1) Mengidentifikasi deret input dan output untuk mengetahui kestasioneran dan menentukan orde model ARIMA. 2) Menghitung estimasi parameter model ARIMA yang sesuai untuk masing-masing deret input, selanjutnya dilakukan pengujian untuk mengetahui apakah model sudah memenuhi proses white noise atau tidak memenuhi.
Universitas Sumatera Utara
3) Mencari nilai korelasi silang untuk masing-masing deret input terhadap deret output, yang berguna untuk menghitung deret noise dan juga menentukan orde model fungsi transfer dengan mengidentifikasi plot korelasi silang. 4) Menentukan nilai
pada masing-masing deret dan menghitung nilai gangguan
( ) sehingga model fungsi transfer multi input tunggal selesai. 5) Nilai
masing-masing deret input yang telah diperoleh, dilakukan estimasi
secara serentak. 6) Penentuan nilai gabungan fungsi transfer multi input
Nilai-nilai
yang telah diidentifikasi dalam model fungsi transfer input
tunggal, dijumlahkan sehingga model multi input mejadi:
dengan: = operator moving average orde = operator autoregressive orde
untuk variabel ke-j untuk variabel ke-j
= operator moving average orde = operator autoregressive orde = nilai gangguan acak
Universitas Sumatera Utara
