BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Konsep Dasar Analisis Regresi
Analisis regresi adalah suatu proses memperkirakan secara sistematis tentang apa yang paling mungkin terjadi dimasa yang akan datang berdasarkan informasi yang sekarang dimiliki agar memperkecil kesalahan. Analisis regresi dapat juga diartikan sebagai usaha memprediksi perubahan. Perubahan nilai suatu variabel dapat disebabkan karena adanya perubahan pada variabel-variabel lain yang mempengaruhinya. Misalnya, volume pupuk terhadap hasil panen padi, karena adanya perubahan volume pupuk maka produksi padi dengan sendirinya akan berubah. Dalam fenomena alam banyak sekali kejadian yang saling berkaitan sehingga perubahan pada variabel lain berakibat pada perubahan variabel lainnya. Teknik yang digunakan untuk menganalisis ini adalah analisis regresi.
Analisis regresi (regression analysis) merupakan suatu teknik untuk membangun persamaan dan menggunakan persamaan tersebut untuk membuat perkiraan (prediction). Dengan demikian, analisis regresi sering disebut sebagai analisis prediksi. Karena merupakan prediksi, maka nilai prediksi tidak selalu tetap dengan nilai riilnya, semakin kecil tingkat penyimpangan antara nilai prediksi dengan nilai riilnya, maka semakin tepat persamaan regresinya.
Universitas Sumatera Utara
Sehingga dapat didefinisikan bahwa: analisis regresi adalah metode statistik yang digunakan untuk menentukan kemungkinan hubungan antara variabel-variabel.
2.2 Persamaan Regresi
Persamaan regresi yang digunakan untuk membuat taksiran mengenai variabel dependen disebut persamaan regresi estimasi, yaitu suatu formula matematis yang menunjukkan hubungan keterkaitan antara satu atau beberapa variabel yang nilainya sudah diketahui dengan satu variabel lain yang nilainya belum diketahui.
Sifat hubungan antar variabel dalam persamaan regresi merupakan hubungan sebab akibat (causal relationship). Oleh karena itu, sebelum menggunakan persamaan maka perlu diyakini terlebih dahulu secara teoritis atau perkiraan sebelumnya, dua atau lebih variabel memiliki hubungan sebab akibat. Variabel yang nilainya akan mempengaruhi nilai variabel lain disebut variabel bebas (independent variabel), sedangkan variabel yang nilainya dipengaruhi oleh nilai variabel lain disebut variabel tidak bebas (dependent variabel).
2.2.1 Persamaan Regresi Sederhana
Regresi linier sederhana yaitu suatu prosedur untuk mendapatkan hubungan matematis dalam bentuk persamaan antar variabel bebas tunggal dengan variabel tidak bebas tunggal. Regresi linier sederhana hanya memiliki satu peubah X yang dihubungkan dengan satu peubah tidak bebas Y.
Universitas Sumatera Utara
Bentuk umum dari persamaan regresi linier untuk populasi adalah: µy.x = θ1 + θ2x Dengan θ1 dan θ2 merupakan parameter-parameter yang ada dalam regresi tersebut. Jika θ1 dan θ2 ditaksir oleh b0 dan b1, maka regresi sederhana untuk sampel adalah sebagai berikut: Ŷ = b0 + b1x
2.2.2 Persamaan Regresi Linier Berganda
Banyak data pengamatan terjadi akibat lebih dari dua varriabel. Misalnya rata-rata pertambahan berat daging sapi (Y) bergantung pada berat pemulusan (X1), umur sapi ketika pengamatan mulai dilakukan (X2), berat makanan yang diberikan setiap hari (X3) dan faktor lainnya. Untuk memberikan gambaran tentang suatu permasalahan atau persoalan, biasanya sangat sulit ditentukan, sehingga diperlukan suatu model yang dapat diprediksi dan meramalkan respon yang penting terhadap persoalan tersebut, yaitu regresi linier ganda.
Bentuk umum regresi linier berganda untuk populasi adalah :
Universitas Sumatera Utara
µx.y = β0 + β1X1 + β2X2 +. . . + βkXk
Di mana β0, β1 ,β2, . . .,βk adalah koefisien atau parameter model.
Model regresi linier berganda untuk populasi diatas dapat ditaksir berdasarkan sebuah sampel acak yang berukuran n dengan model regresi linier berganda untuk sampel, yaitu : Ŷ= b0 + b1X1 + b2X2 + . . .+ bkXk Dengan : Ŷ
= nilai penduga bagi variabel Y
b0
= dugaan bagi parameter konstanta β0
b1, b2, . . ., bk
= dugaan bagi parameter konstanta β1, β2, . . ., β3
e
= galat dugaan (error)
Untuk mencari nilai b0, b1, b2, . . ., bk diperlukan n buah pasang data (X1, X2, . . ., Xk,Y) yang dapat disajikan dalam tabel sebagai berikut :
Universitas Sumatera Utara
Tabel 2.1 : Data hasil pengamatan dari n Responden (X1, X2, . . ., Xk,Y)
RESPONDEN
X1
X2
...
XK
Y
1
X11
X21
...
XK1
Y1
2
X12
X22
...
XK2
Y2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
X1n
X2n
...
Xkn
Yn
Dari tabel 2.1 dapat dilihat bahwa Y1 berpasangan dengan X11, X21 ,. . ., XK1, data Y2
Universitas Sumatera Utara
Berpasangan dengan X12, X22, . . ., XK2 dan pada umumnya data Yn berpasangan dengan X1n, X2n, . . ., Xkn.
Persamaan regresi berganda dengan dua variabel bebas X1, X2 ditaksir oleh : Ŷ = b0 + b1X1 + b2X2
Diperoleh tiga persamaan normal yaitu : ∑Y1
= b0n + b1X1i + b2∑X2i
∑Y1 X1i
= b0 ∑X1i + b1∑X1i2 + b2∑X1iX2i
∑Y1 X2i
= b0∑X2i + b1 ∑X1iX2i + b2∑X2i2
Sehingga dalam bentuk matriks dapat dituliskan :
Yi ∑Y1 X1i ∑Y1 X2i
n
=
∑X1i
∑X2i
b0
∑Xi
∑X1i
∑X1i X2i x
b1
∑X2i
∑X1i X2i
∑X2i
b2
Universitas Sumatera Utara
Dalam penelitian ini penulis menggunakan empat variabel, yaitu 1 variabel tak bebas (dependent variable) dan tiga variabel bebas (independent variable).
Untuk regresi linier berganda dengan tiga variabel bebas X1, X2, X3 ditaksir oleh : Ŷ = b0 + b1X1 + b2X2 +b3X3 Untuk rumus diatas harus diselesaikan dengan empat normal yaitu : ∑Y1
= b0n + b1X1i + b2∑X2i + b3 X3i
∑Y1 X1i
= b0 ∑X1i + b1∑X1i2 + b2∑X1iX2i + b3∑X1i X3i
∑Y1 X2i
= b0∑X2i + b1 ∑X1iX2i + b2∑X2i2 + b3∑X2i X3i
∑Y1 X3i
= b0∑X3i + b1 ∑X3iX1i + b2∑X2iX3i+ b3∑X3i
Sehingga dalam bentuk matriks
Yi ∑Y1 X
n
=
∑X
∑X1i
∑X2i
∑X3i
∑X2 1i
∑X1i X2i
∑X1i X3i
b0
x
b1
∑Y1 X2i
∑X2i
∑X1i X2i
∑X2 2i
∑X2i X3i
b2
∑Y1 X3i
∑X3i
∑X1i X3i
∑X2iX3i
∑X2 3i
b3
Dengan :
Universitas Sumatera Utara
Ŷ
= Variabel Terikat
X1, X2, X 3 = Variabel Bebas
koefisien regresi Berganda
Harga-harga b0 , b1, b2, dan b3 disubsitusikan ke dalam persamaan, sehingga diperoleh model regresi berganda Y atas X1, X2, X3. Dalam persamaan model regresi linier yang diperoleh, maka antara nilai Y dengan Ŷ akan menimbulkan perbedaan hasil yang sering disebut sebagai kekeliruan. Ukuran tersebut dapat dihitung oleh kekeliruan baku taksiran :
sy2 1,2,…,k =
Dengan :
Y = nilai data hasil pengamatan Ŷ = nilai hasil regresi n = ukuran sampel
k = banyak variabel bebas
Universitas Sumatera Utara
2.3 Uji Regresi Linier Ganda
Pengujian regresi linier perlu dilakukan untuk mengetahui apakah variabel – variabel bebas secara bersamaan memiliki pengaruh terhadap variabel tak bebas.
Langkah – langkah pengujian regresi linier berganda adalah :
1. Menentukan formulasi hipotesis H0 : b1 = b2 = b3 = . . .= bk = 0 (X1, X2,. . ., Xk tidak mempengaruhi Y)
H1 : minimal ada satu parameter koefisien regresi yang tidak sama dengan nol
atau mempengaruhi Y. 2. Menentukan taraf nyata α dan nilai Ftabel dengan derajat kebebasan V1 = k dan V2 = n-k-1. 3. Menentukan criteria pengujian
H0 diterima bila Fhitung < Ftabel
H1 ditolak bila Fhitung > Ftabel
4. Menentukan nilai F dengan rumus :
F=
Universitas Sumatera Utara
Dengan :
JKreg = jumlah kuadrat regresi
JKres
= jumlah kuadrat residu (sisa)
(n-k-1) = derajat kebebasan
Untuk : JKreg = b1∑Yi X1i + b2 ∑YiX2i + . . . + bk∑Y1 Xki Dengan :
X1i = X1i +
X1i = X1i +
X1i = X1i + JKres = ∑ (Yi – Ŷi)2
5. Membuat kesimpulan apakah H0 diterima atau ditolak.
2.3 Koefisien Determinasi
Universitas Sumatera Utara
Koefisien determinasi yang ditandai dengan R2 untuk pengujian regresi linier berganda yang mencakup lebih dari dua variabel. Koefisien determinasi adalah untuk mengetahui proporsi keberagaman total dalam variabel tak bebas Y yang dapat dijelaskan atau diterangkan oleh variabel - variabel bebas X yang ada dimodel persamaan regresi berganda secara bersama-sama. Maka R2 akan ditentukan oleh rumus :
R2=
Dengan :
JKreg = jumlah kuadrat regresi
2.4 Koefisien Korelasi
Analisis korelasi adalah alat yang membahas tentang derajat hubungan antara satu variabel dengan variabel lainnya.
Dua variabel dikatakan berkolerasi apabila perubahan dalam satu variabel diikuti oleh perubahan variabel lain, baik yang searah maupun tidak. Hubungan antara variabel dapat dikelompokkan menjadi tiga jenis :
1) Korelasi Positif Terjadinya korelasi positif apabila perubahan antara variabel yang satu diikuti oleh variabel lainnya dengan arah yang sama (berbanding lurus). Artinya apabila variabel yang satu meningkat, maka akan diikuti peningkatan variabel lainnya.
Universitas Sumatera Utara
2) Korelasi Negatif Terjadinya korelasi negatif apabila perubahan antara variabel yang satu diikuti oleh variabel lainnya dengan arah yang berlawanan (berbanding terbalik). Artinya apabila variabel yang satu meningkat, maka akan diikuti penurunan variabel lainnya. 3) Korelasi Nihil Terjadinya korelasi nihil apabila perubahan antara variabel yang satu diikuti oleh variabel lainnya dengan arah yang tidak teratur (acak). Artinya apabila variabel yang satu meningkat, maka akan diikuti penurunan variabel. Artinya apabila variabel yang satu meningkat, kadang diikuti dengan peningkatan pada variabel lain dan kadang diikuti dengan penurunan pada variabel lain.
Berdasarkan hubungan antar variabel yang satu dengan variabel lainnya dinyatakan dengan koefisien korelasi yang disimbolkan dengan “ r “ . besarnya koefisien korelasi berkisar antara -1
r
+1
Untuk mencari korelasi antara variabel Y terhadap X1 atau ry.1,2,…,k dapat dicari dengan rumus :
ry.1, 2...,k =
n∑ X 1iYi − (∑ X 1i )(∑ Yi )
(n∑ X 1i − (∑ X 1i ) 2 ) (n∑ Yi − (∑ Yi ) 2 ) 2
2
Sedangkan untuk mengetahui korelasi antar variabel bebas dengan tiga buah variabel bebas adalah :
a. Koefisien korelasi antara X1 dan X2
Universitas Sumatera Utara
r12 =
n∑ X 1i X 2i − (∑ X 1i )(∑ X 2i )
(n∑ X 1i − (∑ X 1i ) 2 ) (n∑ X 2i − (∑ X 2i ) 2 ) 2
2
b. Koefisien Korelasi antara X1 dan X3
r13 =
n∑ X 1i X 3i − (∑ X 1i )(∑ X 3i )
(n∑ X 1i − (∑ X 1i ) 2 ) (n∑ X 3i − (∑ X 3i ) 2 ) 2
2
c. Koefisien Korelasi antara X2 dan X3
r23 =
n∑ X 2i X 3i − (∑ X 2i )(∑ X 3i )
( n ∑ X 2 i − ( ∑ X 2 i ) 2 ) ( n ∑ X 3i − ( ∑ X 3i ) 2 ) 2
2
Nilai koefisien korelasi adalah -1
r
+1. Jika dua variabel berkorelasi negatif maka
nilai koefisien korelasinya akan mendekati -1 ; jika dua variabel tidak berkolerasi maka nilai koefisien korelasinya akan mendekati 0 ; sedangkan jika dua variabel berkolerasi positif maka nilai koefisien korelasinya akan mendekati 1.
Untuk lebih mengetahui seberapa jauh derajat antara variabel – variabel tersebut, dapat dilihat dalam perumusan berikut :
r
- 0,80
Berarti korelasi kuat secara negatif
r
- 0,50
Berarti korelasi sedang secara negatif
Universitas Sumatera Utara
r 0,50
0,49
Berarti korelasi lemah
r
0,79
Berarti korelasi sedang secara positif
r
1,00
Berarti korelasi kuat secara positif
2.5 Uji Koefisien Regresi Ganda
Adanya variabel – variabel bebas dalam regresi linier ganda perlu diuji untuk melihat seberapa besar pengaruhnya terhadap variabel tidak bebas. Uji statistik yang paling tepat adalah menggunakan uji t (t – student ).
Dimisalkan populasi mempunyai model regresi berganda yaitu : µx.y = β0 + β1X1 + β2X2 +. . . + βkXk Adanya asumsi bahwa variabel – variabel bebas memberikan pengaruh yang berarti atau tidak terhadap variabel tidak bebas akan diuji hipotesis H0 melawan hipotesis H1 dalam bentuk : H0 = βi = 0,1 = 1,2, . . ., k. H1 = βi = 0,1 = 1,2, . . ., k.
Untuk menguji tersebut digunakan kekeliruan baku yang ditaksir sy2
1,2,…,k.
jadi untuk melihat
kekeliruan tersebut koefisien bi adalah :
Universitas Sumatera Utara
Sbi =
Dengan :
∑ (Y − Yˆ )
S Y2 1,2,3 =
i
n − k −1
X2 ij =
R2 =
2
JK reg
∑y
2 i
Perhitungan t : ti =
Dengan distribusi t – student serta dk = (n – k – 1), ttabel = t(n – k – 1, α), dimana kriteria pengujian adalah : tolak H0 jika ti > ttabel dan terima H0 jika ti < ttabel.
Universitas Sumatera Utara
