Bab 1
PENDAHULUAN
1.1.Latar Belakang
Para peneliti maupun administrator dalam bidang bisnis, pendidikan, pemerintahan, ekonomi, maupun bidang lain, semuanya berkepentingan dalam masalah estimasi atau penaksiran. Misalnya dalam menaksir banyaknya siswa yang memasuki perguruan tinggi periode mendatang, atau proporsi pemilih yang akan memilih salah satu diantara tiga calon presiden dalam pemilihan umum mendatang. Estimasi ini biasanya dilakukan pada parameter suatu populasi. Untuk mengambil kesimpulan dari masalah-masalah tersebut maka perlu melakukan estimasi parameter-parameter yang belum diketahui harga sebenarnya.
Dalam mengestimasi parameter-parameter populasi, ada banyak metode yang dapat digunakan. Tiga diantaranya yaitu metode kuadrat terkecil, maximum product of spacing, dan regresi ridge. Metode kuadrat terkecil dan regresi ridge biasanya digunakan dalam penaksiran regresi. Sedangkan maximum product of spacing biasanya digunakan untuk mengestimasi parameter-parameter dalam model statistika univariat.
Distribusi pareto merupakan model probabilitas dengan variabel continuous. Distribusi pareto memiliki dua parameter yang biasa disebut location parameter dan slope parameter. Distribusi pareto umumnya digunakan dalam bidang sosial, ekonomi, bisnis, asuransi, maupun politik. Sebagai contoh, politik perhatian john dan baumgartner (2005) menganggap kemungkinan perubahan kebijakan didistibusikan dengan distribusi pareto. Distribusi pareto juga telah digunakan untuk mempelajari tingkat ozon di atmosfer.
Universitas Sumatera Utara
Untuk kepentingan-kepentingan tertentu dalam bidang-bidang di atas, sering kali perlu dilakukan penaksiran terhadap parameter-parameter distribusi pareto agar dapat diambil kesimpulan yang tepat. Untuk mengetahui taksiran parameter-parameternya maka perlu dilakukan estimasi. Parameter-parameter ini dapat diestimasi dengan banyak metode, diantaranya tiga metode di atas yaitu metode kuadrat terkecil, maximum product of spacing, dan regresi ridge.
Dari uraian di atas serta dengan mempertimbangkan kemampuan penulis, maka penulis ingin melakukan penelitian dengan judul “ Estimasi Parameter Distribusi Pareto dengan Metode Kuadrat Terkecil, Maximum product of spacing, dan Regresi Ridge”.
1.2.Perumusan Masalah
Dalam penulisan ini yang menjadi permasalahannya adalah menentukan parameter-parameter
distribusi
pareto
yang
akan ditaksir,
kemudian
memperlihatkan bagaimana cara menaksir parameter-parameter tersebut dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, maximum product of spacing dan regresi ridge.
1.3.Tinjauan Pustaka
(Walpole, 1995) sembarang nilai yang menjelaskan ciri suatu sampel disebut statistik. Sedangkan sembarang nilai yang menjelaskan ciri suatu populasi disebut parameter. Nilai parameter yang sebenarnya tetapi belum diketahui dapat ditaksir berdasarkan statistik sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan.
Metode kuadrat terkecil berpangkal pada kenyataan bahwa jumlah pangkat dua (kuadrat) dari pada jarak antara titik-titik dengan garis regresi
Universitas Sumatera Utara
yang sedang dicari harus sekecil mungkin. Untuk fenomena yang terdiri dari sebuah variabel bebas X dan sebuah variabel tak bebas Y dimana model regresi linier untuk populasi
dapat ditaksir parameter-parameternya. Harga parameter
dan
ditaksir
oleh a dan b sehingga diperoleh persamaan regresi dengan menggunakan data sampel : ̂
Walpole dan Myers (1986, hal: 374), metode kuadrat terkecil menghasilkan penaksir tak bias untuk koefisien regresi, tapi penaksir mungkin mempunyai variansi yang besar. Variansi yang besar ini menimbulkan dua kesulitan, dalam praktek, pada penaksir kuadrat terkecil bila terdapat kolinieritas ganda yang parah: 1. penaksir mungkin sekali amat tidak stabil, maksudnya peka terhadap perubahan kecil pada data yang kelihatannya tidak penting; 2. penaksir cenderung menghasilkan koefisien yang terlalu besar, positif maupun negatif ini disebabkan kenyataan bahwa besar akibat kolinearitas kendatipun
mungkin mempunyai bias positif yang tak bias. Karena korelasi antara peubah
bebas sering merupakan gejala yang wajar, kesulitan karena kolinearitas ini tidak selalu dapat dihindari dengan mengubah rencana percobaan atau dengan mencari tambahan data. Suatu cara menghadapi masalah ini adalah meninggalkan metode kuadrat terkecil dan menggunakan cara penaksiran yang bias.
Dalam menggunakan cara penaksiran yang bias, pada dasarnya kita bersedia menerima sejumlah bias tertentu dalam taksiran agar variansi penaksir dapat diperkecil. Penaksir yang bias yang diperoleh untuk koefisien regresi
,
,
,…,
dalam model
Universitas Sumatera Utara
dinyatakan dengan
,
,…,
dan disebut taksiran regresi ridge.
(Wikipedia, 2010), dalam statistika, Maximum Spacing Estimation (MSE) atau Maximum product of spacing (MPS) adalah metode untuk mengestimasi parameter dari model statistika univariat. Metode ini membutuhkan rata-rata geometrik maximum dari jarak data tersebut, yang berbeda antara nilai cdf dari titik data. Metode MPS memilih nilai parameter untuk membuat observasi data seseragam mungkin, berdasarkan spesifikasi ukuran kuantitatif dari keseragaman.
Andaikan
,…,
adalah sampel acak berukuran n dari distribusi
univariat dengan cdf
, dimana
adalah parameter yang belum
diketahui dan akan ditaksir, dan andaikan {
,…,
} kecocokan sample ,
itu merupakan hasil dari pemilihan semua observasi dari yang terkecil hingga terbesar. Definisikan spacing sebagai “celah” antara nilai fungsi distribusi pada titik perintah yang berdekatan :
, dimana Maka penaksir maximum spacing dari
.
didefinisikan sebagai nilai maximum
logaritma rata-rata geometrik dari spacing sampel : ̂
.
Dimana, ∑
.
Universitas Sumatera Utara
(Yossef, 2005), distibusi pareto atau disebut juga dengan distibusi power law adalah suatu model probabilitas untuk variabel continuous untuk variable acak X didefinisikan sebagai :
( *
dimana x adalah nilai dalam range yang didefinisikan untuk X,
adalah
salah satu parameter yang disebut location parameter dan
adalah
parameter lain yang disebut slope parameter.
Fungsi padat peluang (PDF) distribusi pareto yaitu:
PDF tersebut mempunyai rata-rata yang infinit pada
dan varians yang
infinit pada
1.4.Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mencari taksiran parameter distribusi pareto dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, maximum product of spacing, dan regresi ridge. Kemudian, dari sebuah contoh kasus yang diberikan akan dibandingkan mana metode yang terbaik diantara ketiga metode ini.
Universitas Sumatera Utara
1.5.Kontribusi Penelitian
Selain sebagai tambahan literatur dan pengetahuan pembaca yang ingin mempelajari tentang estimasi parameter dan distribusi pareto, semoga penelitian ini dapat bermanfaat bagi peneliti lain yang ingin meneliti masalah yang berhubungan dengan estimasi parameter distribusi pareto agar dapat mengambil kesimpulan yang tepat.
1.6.Metodologi Penelitian
Penelitian ini dilakukan dalam bentuk studi literatur yang diambil dari berbagai buku teks dan jurnal, dimana penyajiannya menggunakan metode menguraikan dan menjelaskan konsep-konsep dasar dan pembahasan yang berhubungan dengan studi ini. Adapun kerangka pemikiran dalam studi ini menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Mempelajari tentang cara-cara mengestimasi atau menaksir dan metodemetode yang digunakan dalam menaksir. 2. Menjelaskan tentang beberapa teori dan definisi yang akan digunakan dalam studi ini. 3. Membuat persamaan regresi linier sederhana dari fungsi probabilitas distribusi pareto. 4. Mencari taksiran parameter distribusi pareto dengan metode kuadrat terkecil dari persamaan regresi yang diperoleh. 5. Menentukan kendala tunggal dari persamaan regresi linier. 6. Dengan metode multiple Langrange akan dicari taksiran parameter distribusi pareto dengan metode regresi ridge. 7. Menentukan spacing atau jarak antara fungsi probabilitas distribusi pareto. 8. Menentukan logaritma rata-rata geometrik dari jarak fungsi tersebut. 9. Meminimumkan rata-rata geometrik dan mencari taksiran parameter distribusi pareto.
Universitas Sumatera Utara
10. Dari contoh kasus yang diberikan, akan dibandingkan mana metode yang terbaik diantara ketiga metode ini dengan MSE. 11. Membuat kesimpulan
Universitas Sumatera Utara
