Bab 1 BILANGAN KOMPLEK
1.1 Pendahuluan Sistem bilangan seperti yang kita kenal hingga saat ini merupakan hasil dari pengembangan secara bertahap seperti yang ditunjukkan dalam daftar berikut. 1.
Bilangan asli 1, 2, 3, 4,. . , juga disebut bilangan bulat positip, pertama kali digunakan dalam menghitung. Simbol bervariasi dengan waktu, misalnya yang digunakan bangsa Romawi I, II, III, IV. . ., jika a dan b adalah bilangan asli, jumlah a b dan perkalian a.b, ( a )(b) atau ab juga disebut bilangan asli. Untuk alasan ini himpunan bilangan asli dikatakan tertutup di bawah operasi penjumlahan dan perkalian atau memenuhi sifat tertutup (closure) terhadap operasi ini.
2.
Bilangan bulat negatip dan nol, dilambangkan dengan - 1, - 2, - 3. . . dan 0 masingmasing, muncul untuk memungkinkan solusi dari persamaan seperti
x b a , dimana a dan b adalah setiap bilangan asli. Hal ini mengarah pada operasi pengurangan, atau invers penjumlahan, dan kita tulis dengan x a b himpunan bilangan bulat positip, negatip dan nol disebut himpunan bilangan bulat dan tertutup di bawah operasi-operasi penjumlahan, perkalian, dan pengurangan. 3.
3 1 6 13 Bilangan rasional dan pecahan seperti , , , ,... muncul sebagai bagian 4 7 5 4
yang memungkinkan selesaian persamaan berbentuk bx a untuk semua bilangan bulat a dan b di mana b 0. Hal ini mengarah ke operasi pembagian atau invers perkalian, dan ditulis dengan x
a yang disebut hasil bagi a dan b , di mana a b
adalah pembilang dan b adalah penyebut. Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bagian atau subset dari bilangan rasional, karena bilangan bulat sesuai dengan bilangan rasional
a dimana b 1 . b
Himpunan bilangan rasional tertutup di bawah operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, selama pembagian dengan nol tidak dilakukan.
4.
Bilangan irasional seperti √2 =1.41423. . . dan π = 3. 14159. . . adalah bilangan yang tidak rasional, yang tidak dapat dinyatakan dengan
a dimana a dan b adalah b
bilangan bulat dan b 0. Himpunan bilangan rasional dan irasional di sebut dengan himpunan bilangan real. Diasumsikan bahwa siswa sudah mengetahui
dengan berbagai operasi pada
bilangan real.
1.2 Representasi Grafis Bilangan Real Bilangan real dapat direpresentasikan oleh titik-titik pada garis yang disebut sumbu real, seperti ditunjukkan pada gambar 1.1 di bawah ini. Titik yang sesuai dengan nol disebut titik asal. 2 3
4
3
2
3 2
1
3 4
0
2
1
2
3
4
Gambar 1.1
Sebaliknya untuk setiap titik pada baris ada satu dan hanya satu bilangan real. Jika suatu titik A sesuai dengan bilangan real a yang terletak di sebelah kanan titik B sesuai dengan b bilangan real, kita katakan bahwa a lebih besar dari b atau kurang dari a dan ditulis secara berurutan dengan a b atau b a. Himpunan dari nilai-nilai x termasuk a < x
dari nilai–nilai asli, yang disebut variabel asli. Nilai mutlak dari sebuah bilangan real a , dinotasikan dengan a , adalah a jika
a 0 , –a untuk a < 0 dan 0 jika a = 0. Jarak antara dua titik a dan b pada sumbu real adalah | − |. Atau dengan kata lain:
a , jika a 0 a 0, jika a 0 a, jika a 0
1.3 Sistem Bilangan Komplek Tidak ada bilangan real x yang memenuhi persamaan
+ 1 = 0 untuk
memberikan solusi–solusi untuk ini dan persamaan–persamaan yang sama susunan dari bilangan komplek telah di perkenalkan. Kita dapat menganggap sebuah bilangan komplek yang berbentuk a + bi dimana a dan b adalah bilangan asli dan i , yang mana disebut bilangan imajiner, mempunyai = −1 . z = a + bi , kemudian a disebut bilangan asli dari z dan b disebut
sifat
bagian bilangan imajiner dari z dan didenotasikan oleh Re{z} dan Im{z} berturutturut, symbol z yang mana dapat berdiri untuk semua susunan bilangan-bilangan komplek , disebut variabel komplek. Dua bilangan komplek z1 a bi dan z2 c di adalah sama jika dan hanya jika a c dan b d . Kita dapat mengangap bilangan asli sebagai sebuah bagian dari susunan bilangan komplek dengan b = 0. Bilangan komplek 0 + 0i dan -3 +0i kembali ditunjukan bilangan asli 0 dan -3 berturut-turut. Jika a = 0 ,bilangan komplek 0 + bi atau disebut bilangan imajiner sejati. Konjugate komplek atau secara singkat konjugate, suatu bilangan komplek
a bi adalah a bi . Konjugate bilangan bilangan komplek z sering diindikasikan oleh atau z * .
1.4 Operasi dasar pada bilangan Komplek Operasi yang ditunjukan pada bilangan komplek juga berlaku seperti pada Aljabar. Operasi pada bilangan komplek meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Pada operasi bilangan komplek kita dapat memprosesnya seperti aljabar dari bilangan-bilang asli dan mengganti
dengan -1 sehingga diperoleh hasil sebagai
operasinya. Misal z1 a bi dan z2 c di hasil operasinya dapat dijelaskan sebagai berikut: 1.
Penjumlahan
z1 z2 (a bi) (c di) a bi c di (a c) (b d )i Contoh a. ( 4 3i) ( 2i 8) 4 3i 2i 8 ( 4 8) (3i 2i ) 4 i
b. 2(1 4i ) 2( 4 2i ) ( 2 8i ) (8 4i ) ( 2 8) (8i 4i ) 10 4i 2. Pengurangan
z1 z2 (a bi) (c di) a bi c di (a c) (b d )i Contoh a. 3( 1 4i) 2(7 i ) (3 12i) (14 2i ) ( 3 14) (12i 2i ) 17 14i b. 3(1 4i) 2(1 i ) (3 12i ) ( 2 2i) (3 2) (12i 2i) 1 10i 3. Perkalian z1 z2 (a bi )(c di ) ac adi bic bdi 2 ac (ad bc )i bd (1) (ac bd ) (ad bc)i Contoh a.
2 3i 4 i 8 2i 12i 3i 2 8 10i 3(1) 11 10i
b.
3 3i 1 4i 3 12i 3i 12i 2 3 9i 12(1) 15 9i
4. Pembagian
z1 a bi z 2 c di a bi c di . c di c di (a bi )(c di) 2 c cdi cdi d 2i 2 (ac bd ) (bc ad )i c2 d 2 ac bd bc ad 2 2 i 2 2 c d c d
Contoh a.
2 3i 2 3i 4 i 8 2i 12i 3i 2 5 14i 5 14 . i 4i 4i 4i 17 17 17 16 i 2
b.
1 i 1 i 4 3i 4 3i 4i 3i 2 1 7i 1 7 . i 2 4 3i 4 3i 4 3i 25 25 25 16 9i
Soal-soal 1. Hitunglah
4 2 i 4(1 i) (2 i )(1 i) ( 2i 1)( 2i 1) 1 i 1 i 2
2i 12
(4 4i ) ( 2 2i i i 2 ) 4i 2 2i 2i 1 2 ( 4 4i ) (1 3i ) 3 4i 2
5 i 3 4i 2 5i 3 4i 2 15 20i 3i 4 2 11 23i 2
2 i 3 2i 1 2i 8 i 1 2i 10 15i 10 15i . 2i 20i 30 10i 15 5i 15 2i 2i 2i 2i 4 2 2 1 i 2
2.
2 i 3 2i 1 2i 2 i 3 2i 1 2i dan Im 2 3. Tentukan Re (1 i ) (1 i) 2 1.5 Nilai Mutlak Nilai Mutlak atau modulus dari suatu bilangan komplek z a bi dinotasikan dengan z dan didefinisikan sebagai z a bi a 2 b 2 Contoh 1.
2 3i 2 2 (3) 2 4 9 13
2.
4 2i (4) 2 2 2 16 4 20 2 5
,
Jika 1.
,
,….,
adalah bilangan komplek, berlaku sifat-sifat berikut
z1 z2 z1 z2 atau z1z2 ... zm z1 z2 ... zm Bukti Misal
z1 a bi, z 2 c di
z1 z 2 a bi c di ac bd ad bci z1 z 2 (ac bd ) 2 (ad bc) 2 `
(a 2 c 2 2acbd b 2 d 2 ) (a 2 d 2 abcd b 2 c 2 `
(a 2 c 2 b 2 d 2 a 2 d 2 `
(a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) `
a2 b2 c2 d 2
(a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) `
z1 z 2 2.
z z1 1 , jika z2 0 z2 z2
3.
z1 z2 z1 z2 atau z1 z2 ... zm z1 z2 ... zm
4.
z1 z2 z1 z2 atau z1 z2 z1 z2
Catatan Bukti lain ditinggalkan penulis sebagai latihan bagi pembaca
1.6 Pembangun-pembangun Aksiomatis dari Sistem Bilangan Komplek Dari suatu segi pandangan yang logis dapat digambarkan angka-angka complex sebagai pasangan ( a, b) dari bilangan real a dan b menunjuk pada yang definisi yang beragam ternyata sama dengan definisi diatas. Semua definisi yang digambarkan ini, dimana semua angka menggantikan bilangan-bilangan real. a. Persamaan ( a, b) (c, d ) jika dan hanya jika a c, b d b. Penjumlahan ( a, b) (c, d ) ( a c, b d ) c. Produk ( a, b)(c, d ) ( ac bd , ad bc ) dan m( a, b) ( ma, mb) Dari ini kita dapat menunjukkan bahwa ( a, b) a(1,0) b(0,1) dan kita berhubungan dengan ini a bi di mana lambang untuk (0,1) dan
mempunyai
i 2 (0,1)(0,1) (1,0) (yang dipertimbangkan setara dengan bilangan riil - 1 dan ( 1, 0) jadilah setara dengan bilangan real 1. Pasangan yang diinginkan (0,0) sesuai dengan bilangan real 0. Dari pernyataan di atas kita dapat membuktikan bahwa jika z1 , z2 , z3 bagian dari bilangan komplek S . 1.
z1 z2 dan z1 z2 terdapat di S
Hukum tertutup
2.
Hukum Komutatif Penjumlahan
z1 z2 = z2 z1 Bukti
z1 z 2 a bi c di a bi c di a c b d i z 2 z1 c di a bi c di a bi c a d b i a c b d i 3.
z1 ( z2 z3 ) ( z1 z 2 ) z3
Hukum Asosiatif Penjumlahan
4.
z1 z2 z2 z1
Hukum komutatif Perkalian
5.
z1 ( z2 z3 ) ( z1 z2 ) z3
Hukum assosiatif Perkaliam
6.
z1 ( z 2 z3 ) z1z 2 z1 z3
Hukum Distributif Perkalian terhadap Penjumlahan
7.
0 disebut identintas penjumlahan
z1 0 0 z1 z1
1 disebut identintas perkalian
1.z1 z1.1 z1 8.
Untuk suatu bilangan komplek z1 ada satu
zS
bilangan
yang tunggal sedemikian
z1 z z z1 0 .
sehingga
z disebut
selanjutnya
invers
Untuk (balikan)
penjumlahan dari z1 dan dilambangkan dengan
z1 . 9.
Untuk suatu z1 0 ada satu bilangan z S yang
tunggal
z1 z zz1 1 .
sedemikian
sehingga
Untuk selanjutnya z disebut
inver perkalian dari z1 dan dilambangkan dengan z1
1
atau
1 z1
Secara umum suatu himpuan sedemikian sehingga seperti pada S yang anggotaanggotanya memenuhi sifat di atas disebut dengan field (lapangan).
1.7 Representasi secara Grafis Bilangan Komplek
Jika skala-skala bilangan real dipilih pada dua sumbu yang saling tegak lurus, yaitu XOX ' dan YOY ' (selanjutnya disebut sumbu x dan sumbu y secara berturutturut) seperti pada gambar 1.2 dibawah ini.
Gambar 1.2
Selanjutnya kita dapat meletakkan sebarang titik pada bidang dengan cara menarik garis yang sejajar masing-masing dan kedua garus dapat b ertemu di satu titik, titik tersebut dinamakan koordinat tegak lurus dan dinotasikan dengan ( x, y ). Pada gambar di atas dipilih titik P (3,5). Karena suatu bilangan komplek z x yi dapat dipandang sebagai pasangan berurutan bilangan real sehingga kita dapat merepresentasikan bilang komplek dengan suatu titik pada bidang xy . Bidang xy sebagai representasi bilangan komplek dinamakan bidang komplek atau argand. Bilangan komplek yang ditunjukkan titik P (3,5) seperti pada gambar 1.2 dapat dipandang sebagai 3 5i . Setiap bilangan
komplek berkorepondesni satu dan hanya satu dengan setiap titik pada bidang, sebaliknya setiap satu titik pada bidang berkorespondensi dengan satu dan hanya satu
bilangan komplek. Karena hal ini sering dan biasa kita menyatakan bilang komplek z , sebagai titik z. Kadang-kadang kita dapat menyatakan sumbu x dan sumbu y sebagai sumbu real dan sumbu imajiner secara berturut-turut dan bidangnya dinamakan bidang z. Jarak antara dua titik z1 x1 y1i dan z 2 x2 y 2 i pada bidang komplek diberikan oleh
z1 z 2 ( x1 x 2 ) 2 ( y1 y 2 ) 2
1.8 Bentuk Polar Bilangan Komplek Jika
P adalah titik pada bidang komplek yang berkorepondensi dengan
bilangan komplek ( x, y ) atau x yi maka berdasarkan gambar 1.3 kita dapat melihat bahwa: x r cos , y r sin .
Y
P ( x, y ) r y
x
X
Gambar 1.3
Karena r x 2 y 2 x yi adalah modulus atau nilai mutlak dari bilangan komplek z x iy 1 (dinotasikan dengan mod z atau z ); dan disebut amplitude atau
argument dari z x iy (dinotasikan dengan arg z), adalah sudut yang dibuat oleh garis
OP dengan sumbu x positif. Oleh karena itu, z x y r (cos i sin )
(1)
Yang disebutis bentuk polar dari bilangan komplek, r dan θ disebut koordinat polar. Kadang-kadang dengan mudah untuk menulis dan menyebut sebagau singkatan cis untuk cos i sin . Untuk suatu bilangan kompleks z 0 terdapat korespondensi satu dan hanya satu terdapat hanya satu nilai yang sesuai dengan untuk 0 ≦
< 2π. Namun, interval
lain dari panjang 2π, misalnya - π < θ ≦ π, dapat digunakan. Setiap pilihan utama, diputuskan terlebih dahulu, disebut jarak utama, dan nilai θ disebut nilai utamanya.
1.9 Teorema de Moivre Jika z1 x1 iy 1 r1 (cos1 i sin 1 ) dan z 2 x 2 iy 2 r2 (cos 2 i sin 2 ) kita dapat menunjukkan bahwa:
z1 z 2 r1 (cos1 i sin 1 )r2 (cos 2 r2 i sin 2 )
r r (cos
)i
r1r2 cos 1 cos 2 i cos 1 sin 2 i sin 1 cos 2 i 2 sin 1 sin 2 1 2
1
cos 2 sin 1 sin 2 ) (sin 1 cos 2 cos 2 sin 1)
r1r2 cos( 1 2 ) sin(1 2 )i ................... (2)
z1 r (cos1 i sin 2 ) 1 z 2 r2 (cos 2 i sin 2 )
r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 ) . r2 (cos 2 i sin 2 ) r2 (cos 2 i sin 2 )
r1 r2 (cos 1 cos 2 i sin 2 cos 1 i sin 1 cos 2 i 2 sin 1 sin 2 ) r22 (cos 2 2 i sin 2 cos i sin 2 cos 2 i 2 sin 2 2 )
r1 r2 (cos 1 cos 2 i sin 2 cos 1 i sin 1 cos 2 ( 1) sin 1 sin 2 ) r22 (cos 2 2 ( 1) sin 2 2 )
r1 r2 (cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) i(sin 2 cos 1 sin 1 cos 2 )) r22 (cos 2 2 sin 2 2 )
r1 r2 cos( 1 2 ) sin( 1 2 r22
r1 cos( 1 2 ) sin(1 2 ) .......... .......... (3) r2
Bentuk generalisasi dari (2) menyebabkan z1 z 2 ......z n r1 r2 ......rn {cos( 1 2 ..... n ) i sin(1 2 ..... n )}
(4)
dan jika z1 z 2 ......... z n z , bentuk (4) menjadi z. z. z.z....z z n {r (cos i sin )}n r n (cos n i sin n ) ......... (5) Bentuk (5) sering disebut teorema de Moivre
1.10 Akar-akar dari Bilangan Komplek Suatu bilangan w disebut akar ke n bilangan komplek z jika w n z atau dapat kita tulis dalam bentuk z w1 / n . Berdasarkan teorema de Moivre kita dapat menunjukkan bahwa jika n adalah bilangan bulat positip, z 1/ n {r (cos i sin )}1/ n 2k 2k r 1 / n cos i sin n n
k 0,1,2...(n 1) ...... (6)
Dari berikut ini bahwa n adalah nilai yang berbeda untuk z1/ n , yaitu n akar yang berbeda dari z . asalkan z 0.
1.11 Rumus Euler Berdasarkan asumsi perluasan deret berhingga e x 1 x
x2 x3 .... dari kalulus 2! 3!
elementer ketika x i , kita dapat mengambil hasil:
e i 1 (i )
(i ) 2 (i ) 3 (i ) 4 (i ) 5 (i ) n1 ..... 2! 3! 4! 5! (n 1)!
i 2 2 i 4 4 i n 2 n 2 i 3 3 i 5 5 i n 1 n 1 i 1 ... ... 2! 4! (n 2)! 3! 5! (n 1)! 2 4 n 2 3 5 n1 i i 1 ... i ... i 2! 4! (n 2)! 3! 5! (n 1)!
2 4 n 2 3 5 n 1 i 1 ... ... 2! 4! (n 2)! 3! 5! (n 1)! Dengan menggunakan definisi jumlah deret tak hingga diperoleh: e i cos i sin
e 2,71828 .......(7)
Yang mana (7) kita sebut sebagai rumus Euler’s yang sesuai ,bagaimanapun secara sederhana kita mendefinisikan e
i
. umumnya kita definisikan
e z e x iy e x e iy e x cos x i sin y `.........(8) Misalnya untuk contoh dimana y 0 menghasilakan e
x
Perlu dicatat bahwa bentuk dari (7) pada dasarnya merupakan hasil dari teorema de
Moivre untuk e i
n
e in
1.12 Persamaan-persamaan Polinomial Sering dalam hal-hal praktis kita menemukan selesaian persamaan pangkat banyak (polinomial) dengan bentuk umum : a 0 z n a 1 z n 1 a 2 z n 2 ... a n 1 z a n 0
.........( 9 )
Dimana a 0 0, a1 ...., a n dari bilangan komplek dan n adalah bilangan bulat positip yang disebut pangkat dari persamaan. Selesesaian dari persamaan polinomial juga disebut pembuat nol (zeros) ruas kiri persamaan (9) akar-akar persamaan. Teorema ini sangat penting sehingga disebut teorema mendasar dari aljabar yang menyatakan bahwa setiap persamaan polinomial dari bentuk (9) mempunyai paling sedikit satu akar bilangan. Berdasarkan fakta ini kita dapat polinomial mempunyai n akar bilangan komplek yang kadang-kadang beberapa ada yang sama dan bahkan mungkin semua akar-akarnya sama. Jika z1 , z 2 , z 3 , ... , z n dengan n akar-akar persamaan polinomial maka (9) dapat di tulis sebagai: ao ( z z1 )( z z 2 )( z z 3 ).....(z z n ) 0 .......... (10) yang mana di sebutbentuk pemfaktoran dari persamaan polynomial ,sebaliknya jika kita dapat menulis (9) pada bentuk (10) kita dapat determinankan akar-akarnya dengan muda.
1.13 Akar-akar ke n dari Satuan
Selesaian dari persamaan z n 1 dimana n adalah bilangan bulat positip disebut akarakar ke n dari satuan dan di berikan oleh : 2 k
cos 2k i sin 2k z e n k 0,1,2,3,....., n 1 .... (11) n n cos 2 k i sin 2 k Missal jika e 2 k i / n , n akar-akar dari persamaannya n n
adalah: 1, , 2 ,......., n 1 . yang secara geometri menunjukkan bahwa n vertical dari sebuah polygon (segi banyak) beraturan teratur dimana di samping n di tuliskan pada sebuah lingkaran dari jarak satu dengan pusat yang sebenarnya. Lingkaran ini mempunyai persamaan z 1 dan sering di sebut lingkaran satuan.
1.14 Interpretasi Vektor dari Bilangan Komplek Bentuk bilangan komplek z x yi dapat dipandang sebagai vektor OP yang mempunyai titik awal di titik asal O (origin) dan titik akhirnya pada koordinat P ( x, y ) seperti pada gambar 1.4 berikut ini. Y B
A
P ( x, y )
X
O Gambar 1-4
Kadang-kadang kita menyebut OP x iy sebagai vektor positip dari P. Dua vektor mempunyai panjang atau magnitudo dan arah yang sama, tetapi titik-titik awal berbeda sedemikian sehingga OP dan AB pada gambar 1-4 dipandang sama. Dalam hal ini dapat ditulis OP AB x iy
Jumlah dari bilangan komplek berkorespondensi dengan hukum jajarangenjang dari jumlah untuk vektor. (lihat gambar
1-5). Dengan demikian jumlah bilangan
komplek z1 dan z 2 melengkapi jajarangenjang
OABC diman OA dan OC
berkorespondensi dengan z1 dan z 2 . Diagonal OB dari jajarangenjang adalah berkorespondensi dengan z1 z 2 .
Y
z2 z1
z1 z 2 z1 z2
X
O
Gambar 1.5
1.15 Representasi Spherical Bilangan Komplek, Proyeksi Stereografis Misalnya P (pada gambar 1.6) adalah bidang komplek dan pandang suatu unit sphere
(jari-jari satu) tangent P di z 0. Untuk diameter NS tegaklurus dengan P
dan titik N dan S kita sebut kutub-kutub utara dan bagian selatan dari
. Beberapa
korenspondensi titik A di P kita dapat membuat garis NA berpotongan dengan pada titik A’.
Dengan demikian setiap titik di bidang bilangan komplek
berkorespondensi satu-satu dan hanya satu
titik dari sphere , dan kita dapat
menggambarkan sebarang bilangan komplek
oleh satu titik pada sphere. Untuk
melengkapi titik N hal itu berkorespondensi dengan “ jumlah pada titik” dari bidang tersebut. Dari himpunan semua titik-titik termasuk bidang komplek untuk jumlah pada titik disebut semua bidang kompleks, semua bidang z, atau bidang kompleks secara luas.
Methode yang telah dijelaskan di atas untuk memetakan bidang pada sphere disebut
proyeksi
stereografis. Sphphich.
Sphere tersebut kadang-kadang disebut
Riemann sphere.
N
A
S
P
Gambar 1-6
1.16 Hasil Kali Titik (dot) dan Silang (cross) Misal z1 x1 iy1 dan z 2 x2 iy 2 adalah dua bilangan komplek (vektor-vektor). Hasil kali titik (juga disebut hasil kali skalar) dari z1 dan z 2 . vector). Hasil kali titik ( disebut juga hasil kali titik) dari z1 dan z2 didefenisikan sebagai
z1 . z 2 z1 z 2 cos x1 x 2 y1 y 2 Re z1 z 2
1 z1 z 2 z1 z 2 2
..... (12)
Dimana adalah sudut diantara z1 dan z2 yang mana terletak antara 0 dan .
Hasil kali silang dari z1 dan z2 didefenisikan sebagai
z1 z 2 z1 z 2 sin x1 y 2 y1 x 2 Im z1 z 2 z1 z 2 z1 .z 2 i z1 z 2 z1 z 2 e i
1 z1 z 2 z 1 z 2 2i
.......... (13) (14)
Jika z1 dan z 2 adalah bukan nol, maka 1.
Syarat perlu dan cukup bahwa z1 dan z 2 tegak lurus adalah bahwa z1 .z 2 0
2. Syarat perlu dan cukup bahwa z1 dan z 2 sejajar adalah bahwa z1 z 2 0
3. Magnitudo proyeksi dari z1 pada z 2 . adalah z1 .z 2 / z 2 . 4.
Luas jajarangenjang yang mempunyai sisi z1 dan z2 adalah z 1 z 2 .
1.17 Koordinat-koordinat Konjugat Bilangan Komplek Suatu titik di bidang kompleks, dapat diletakkan pada koordinat tegak lurus ( , ) atau koordinat kutub ( , ). Namun banyak juga kemungkinan yang lain. Salah satunya adalah menggunakan kenyataan bahwa = ( + ̅), =
( − ̅) dimana
= + 2 . Koordinat ( , ̅) yang menentukan letak suatu titik dinamakan koordinatkoordinat konjugat bilangan komplek atau disingkat koordinat konjugate. Dari suatu titik.
1.18 Himpunan-himpunan Titik Sebarang kumpulan titik-titik di bidang kompleks dinamakan suatu himpunan titik berdimensi dua, dan setiap titiknya dinamakan suatu anggota atau unsur himpunan tersebut. Definisi dasar berikut ini diberikan sebagai bahan rujukan. 1.
Lingkungan (neighbourhoods) Suatu lingkungan delta (atau sehingga | −
| <
Suatu lingkungan –
adalah Himpunan semua titik
adalah suatu bilangan positif yang diberikan.
yang dihilangkan dari
nya dibuang, yaitu 0 < | −
yang titik 2.
dimana
) dari titik
adalah Suatu lingkungan dari
|<
.
Titik limit (limit points) Suatu titik
disebut titik limit, titik gabung, atau titik kumpul dari himpunan titik
. Jika setiap lingkungan – karena
yang dihilangkan dari
memuat titik di himpunan ,
adalah Suatu bilangan positif sebarang, maka himpunan harus memiliki
banyak titik yang tak berhingga. Perhatikan bahwa
mungkin terletak di dalam
atau di luar himpunan . 3.
Himpunan-himpunan tertutup (closed sets) Sebuah himpunan , yaiut
disebut tertutup jika setiap titik limit dari
termasuk di dalam
memuat semua titik limitnya. Sebagai contoh, himpunan semua titik
sehingga | | ≤ 1 adalah suatu himpunan tertutup.
4.
Himpunan-himpunan terbatas (bounded sets) Sebuah himpunan sehingga | | ≤
disebut terbatas jika kita dapat menemukan suatu konstata untuk setiap titik
dan . Suatu himpunan tak terbatas adalah
himpunan yang tidak memiliki batas. Suatu himpunan yang terbatas dan tetutup dinamakan Kompak. 5.
Titik dalam, titik luar, dan titik terbatas (interior, exterior, and boundary points) Suatu titik
disebut titik dalam dari himpunan
lingkungan dari dari
jika kita dapat menentukan suatu
yang semua titiknya termasuk pada . Jika setiap lingkungan
memuat titik di
dan juga titik di luar , maka
dinamakan titik batas.
Jika suatu titik bukan suatu titik dalam atau titik batas dari suatu himpunan , maka titik ini dinamakan titik luar dari . 6.
Himpunan-himpunan terbuka (open sets) Suatu himpunan terbuka adalah suatu himpunan yang hanya terdiri dari titik dalam. Sebagai contoh, himpunan titik
7.
sehingga | | < 1 adalah suatu himpunan terbuka.
Himpunan-himpunan tersambung (connected sets) Suatu himpunan terbuka
disebut tersambung jika untuk setiap dua titik di
himpunan tersebut dapat dihubungkan oleh suatu lintasan yang berbentuk garis lurus (lintasan segi banyak) yang semua titiknya terletak di dalam . 8.
Daerah terbuka atau domain (open regions or domains) Suatu himpunan terbuka tersambung dinamakan suatu daerah terbuka atau domain.
9.
Closure suatu himpunan (closure of a set) Jika suatu himpunan
kita gabungkan semua titik limitnya, maka himpunan baru
yang terbentuk disebut penutup himpunan
dan merupakan suatu himpunan
tertutup. 10. Daerah tertutup (closed regions) Penutup suatu daerah terbuka atau domain disebut suatu daerah tertutup. 11. Daerah (regions) Jika pada suatu daerah terbuka atau domain kita gabungkan beberapa, semua atau tidak sama sekali titik limitnya, maka kita menemukan suatu himpunan yang disebut daerah. Jika semua titik limitnya digabungkan, maka daerahnya tertutup dan jika tidak digabungkan sama sekali, maka daerahnyaterbuka. Dalam buku ini bilamana kita menggunakan istilah daerah tanpa mengelompokkannya, kita akan mengartikannya sebagai daerah terbuka atau domain.
12. Gabungan dan Irisan dari himpunan. sebuah himpunan terdiri dari semua titik
yang tergabung dalam himpunan S1 dan himpunan S2 atau kedua-duanya yang dinamakan union/gabungan dari himpunan S1 dan S2 yang ditandai dengan himpunan S1 + S2 /
∪
Suatu himpunan terdiri dari semua titik yang terdapat
dalam himpunan S1 dan S2 dinamakan irisan S1 dan S2 yang ditandai dengan S1 , S2 /
∩
13. Komplemen dari himpunan. Suatu himpunan yang tergabung dari semua titik
yang tidak termasuk dalam himpunan S dinamakan komplemen S dan dinyatakan dengan
~
14. Himpunan kosong dari sub himpunan. Menarik untuk memikir sebuah himpuan
yag tak bernilai, himpunan ini dinamakan himpunan kosong ( ∅). Jika dua himpunan S1 dan S2 tidak memiliki nilai (dimana kedua himpunan tersebut dinamakan himpunan yang tak berkaitan/saling keterkaitan), kita dapat menjelaskannya dengan menulis S1 - S2 = ∅. Setiap himpunan yang dibentuk melalui pemilihan semua nilai / tanpa nilai dari sebuah himpunan dinamakan sub himpunan dari S. bila kita menjelaskan himpunan ini dimana semua nilai S telah dipilih maka himpunan itu dinamakan sebuah himpunan yang benar dari S. 15. Himpunan tak terhingga. Jika bagian sebuah himpunan dapat ditempatkan dalam
sebuah persamaan dengan angka-angka 1,2,3………maka himpunan itu dinamakan himpunan yang dapat dihitung, jika tidak dapt dihitung maka himpunan tersebut dinamakan himpunan tak terhingga. Berikut ini ada dua teori penting mengenai nilai-nilai himpunan: a) Teorema Welerstrass-Bolzano. Teori ini menyatakan bahwa setiap himpunan dasar terikat memiliki paling sedikit satu batas nilai. b) Teorma Heine-Borel. Teori ini menyatakn bahwa S merupakan sebuah himpunan terpadu masing-masingnya mengandung satu atau lebih himpunan A1, A2.....( yang kemudian dikatakan meliputi himpunan S tak terhingga). Kemudian akan terjadi sejumlah himpunan dasar A1, A2 yang meliputi S tak terhingga.
1.18 Soal-soal Penyelesaian-penyelesaian dasar dengan bilangan kompleks. 1. Membuat penyelesaian pada masing-masing bilangan kompleks. (a) ( 3 + 2 i) + (-7- i ) = 3 – 7 + 2i –I = -4 = i
(b) (-7- i ) + ( 3 + 2 i) = -7 +3 – I + 2i = -4 + i Hasil bilangan komleks (a) dan (b) menunjukan penyelesaian yang dapat dimengerti. (c) (8 – 6i) - (2i - 7) = 8 – 6i -2i + 7 = 15 – 8i (d) (5 + 3i) + {( -1 + 2i) + (7 – 5i)} = (5 + 3i) + {-1 + 2i +7 – 5i} = (5 + 3i) + (6 – 3i) = 11 (e) {( 5 + 3i) + (-1 + 2i) } + (7 – 5i) = {5 + 3i -1 + 2i} + (7 – 5i) = (4 + 5i ) + (7 – 5i) = 11 Hasil (d) dan (e) menunjukan hasil yang berkaitan. (f) (2 – 3i) (4 + 2i) = 2(4 + 2i) - 3i(4 + 2i) = 8 + 4i -12i - 6i2 = 8 + 4i -12i + 6 = 14 – 8i (g) (4 + 2i) (2 – 3i) = 4(2 – 3i) + 2i(2 – 3i) = 8 – 12i + 4i - 6i2 = 8 -12i + 4i + 6 = 14 – 8i Hasil (f) dan (g)menunjukan hasil yang dapat dipahami. (h) (2 – i) {(-3 + 2i)(5 - 4i)} = (2 - i){-15 + 12i + 10i – 8i2} = (2 - i)(-7 + 22i) = -14 + 44i + 7i – 22i2 = 8 + 51i (i) {(2 – i) (-3 + 2i)} (5 - 4i) = {-6 + 4i + 3i -21i2} (5 - 4i) = (-4 + 7i) (5 - 4i) = -20 + 16i + 35i – 28i2 = 8 + 51i Hasil (h) dan (i) menjelaskan hasil perkawinan yang saling berkaitan satu dengan yang lainnya.
Halaman 9 (j). (−1 + 2i){(7 − 5i) + (−3 + 4i)} = −4 + i + 8i − 2i = −2 + 9 metode yang lain. (−1 + 2 ){(7 − 5i) + (−3 + 4i)} = (−1 + 2i)(−5i) + (−1 + 2i)(−3 + 4i) = (−7 + 5i) + 14i − 10i ) + (3 − 4i − 6i + 8i ) = (3 + 11i) + (−5 − 10i) = −2 + 9i Ini memberikan penjelasan pembagian rumus yang lain. (k)
=
.
=
dengan metode yang lain
=
= − −
Menurut de inisi, (3 − 2 )⁄(−1 + )
ℎ
+
,
−
−
dimana a dan b adalah bilangan reall seperti itu (−1 + )( + −
) = − − + ( − ) = 3 − 2 .
= −2 dan kemudian pecahkan secara bersamaan,
= −5 2 , = −1 2 (l)
= 3,
+
=
= −5 2 − 2.
+
.
+
.
=
+
=
+
=3− =
(m) 2.jika
=
=2+ ,
(
)
=3−2
(
)
=
.
=− +
√
=
= 1+
,
menilai masing − masing dari berikut ini. ( ) | 3
− 4 | = |3(2 + ) − 4(3 − 2 )| = |6 + 3 − 12 + 18 | = |−6 + 11 | =
(−6) + (11) = √157
(b)
−3
− 8 = (2 + ) − 3(2 + ) + 4(2 + ) − 8
+4
= {(2) + 3(2) ( ) + 3(2)( ) +
} − 3(4 + 4 +
)+8+4 −8
= 8 + 2 − 6 − − 12 − 12 + 3 + 8 + 4 − 8 = −7 + 3 √ (c) ( ) = − +
= − −
=
√
=
1 √3 3 + + 4 2 4
− −
√
1 √3 = − + 2 2
1 √3 3 = − + 4 2 4
1 √3 = − − 2 2 (d)
=
( (
) (
)
) (
)
=
|
=|
| |
3. temukanlah bilangan real x dan y seperti yang 3 + 2
= −
( ) ( )
(
) )
( ) )
= 1
+ 5 = 7 + 5 .
Kemudian berikan hubungan persamaan tertulis sebagai berikut 3 + 5 + (2 − ) = 7 + 5 . kemudian menyamakan bagian bilangan real dan imagenari, 3 + 5 = 7, 2 − 4. Buktikan: (a)
+
= 5. kemudian pemecahan secara bersamaan, =
+
, ( ) |
| = | || |
= −1,
=2
Misalkan = +
(a)
=
+
=
+
=
+
,
= +
− (
| = |(
+
(
−
+
+
|
+
)
+
| =(
)
=
kemudian +
+ (
−
+
+
−
−
+
)
=
+
+
+
+
)(
+
.
=
= (b) |
+
)| = |
+(
+
) =
(
+ (
+
) (
+
+
)|
)=
= | || |
)(
. ) =
=| | | |
+ |
=(
)(
)
| = | || |
dimana kita sudah menggunakan fakta bahwa hasil konjugasi dari dua bilangan kompleks yang sama dengan produk konjugatif yang lain (lihat Soal 55).)
Halaman 10 BILANGAN KOMPLEKS A.Gambar Grafis Dari Bilangan Kompleks 5.Mengerjakan,menunjukan pembedahan, menganalisa dan gambarkan. (3+4 )+(5+2 ), (6-2 )-(2-5 ), (-3+5 )+(4+2 )+(5-3 )+(-4-6 ) A).Menganalisis (3+4)+(5+2 )=3+5+4 +2 =8+6 Menggambarkan grafis dua bilangan komplek nilai P1
dan P2 yang berturut–turut
seperti gambar dibawah ini 1.7. Sempurnakan garis lintang dengan OP1 dan OP2 seperti berdekatan sisi. Nilai P menggambarkan jumlah 6+8 dari dua bilangan komplek. Catatan persamaan
garis lintang untuk
penjumlahan dari vektor OP1 dan OP2
memperoleh vektor OP. Pertimbangan ini untuk
memudahkan sebuah bilangan
kompleks seperti a +b sebuah vektor memperoleh komponen dan b ke arah dari positip x dan y tanpa hubungan berturut. у Р
P1 3+4i
8+6i 5+2i
P2 ᵡ
O Gambar 1.7
y
P2 P
-2+5i
4+3i
ᵡ
O 6-2i
P1 Gambar 1.8
(b) Menganalisa, (6+2 )-(2-5 )=6-2-2 =4+3 Grafis,
(6-2 )-(2-5 )=6-2 +(-2+5 ). Menjumlahkan 6-2 dan((-2+5 )seperti dibagian
(a).Menunjukan hasil untuk OP didalam gambar 1.8 diatas. (C)Menganalisa. Grafis, (-3+5 )+(4+2 )+(5-3 )+(-4-6 )=(-3+4+5-4)+(5 +2 -3 -6 )=2-2 . Menggambarkan bilangan yang ditambah untuk z1, z2, z3, z4 berturut – turut. Gambarlah grafis dibawah ini 1.9 untuk memperoleh jumlah yang dibutuhkan bertambah terus seperti bentuk pertama gambar dibawah ini 1.10.Sebagai nilai dari vektor z1 konsepsi vektor z2,vektor z2 konsepsi vektor z3,dan nilai dari z3 konsepsi vektor z4. Pada suatu saat, sebagai hasil dari jumlah yang dibutuhkan adalah memperoleh vektor OP untuk menyusun huruf awal dari nilai z4,i. E. OP = Z1+ Z2 + Z3 + Z4 =Z – Z . y
z1 z2 ᵡ
O z3
z4 y z2
z3 Gambar 1.9
z1
z4
ᵡ
O P
s Gambar 1.10
Halaman 11 Jika z1 dan z 2 adalah dua dari Bilangan Kompleks (vektor – vektornya) pada gambar 111. Buatlah grafiknya (a) 3z1 2 z 2
(b)
1 5 z 2 z1 2 3
(a) Pada gambar 1-12 disamping, OA 3z1 adalah sebuah vektor yang mempunyai panjang 3 kali vektor z1 dan
OB 2z 2 adalah sebuah vektor yang mempunyai panjang 2 kali vektor z 2 dan
Dan vektor OC OA OB 3z1 2 z 2 y
y
Q
z1 z1
x
P
O
x
1 z2 2
z2
R
Gambar 1-11
Gambar 1-13
y C
3z1 2 z 2 B
A
2z 2
3z1 x
O
Gambar 1-12
(b) Persamaan vektor (Bilangan kompleks) ditunjukkan oleh OP pada gambar 113 diatas
7.
Buktikan : (a). z1 z 2 z1 z 2 , (b). z1 z 2 z3 z1 z 2 z 3 , (c). z1 z 2 z1 z 2 dan gambarkanlah grafiknya (a). Penyelesaian
Misal z1 x1 iy1 , z 2 x2 iy 2 dan kita harus menunjukkan bahwa 2
2
2
( x1 x 2 ) 2 ( y1 y 2 ) 2 x1 y1 x 2 y 2
2
Kuadaratkan Persamaan kedua diatas, akan benar jika 2
2
2
2
2
2
2
( x1 x 2 ) 2 ( y1 y 2 ) 2 x1 y1 2 ( x1 y1 )( x 2 y 2 ) x 2 y 2 2
2
2
2
2
x1 x 2 y1 y 2 ( x1 y1 )( x 2 y 2 )
i.e. jika
atau jika ( Kuadratkan Kedua persamaan lagi) 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x1 x 2 2 x1 x 2 y1 y 2 y1 y 2 x1 x 2 x1 y 2 y 1 x 2 y1 y 2
Atau
2
2
2
2 x1 x 2 y1 y 2 x1 y 2 y 1 x 2
2
2
Tetapi ini sama untuk ( x1 y 2 x 2 y1 ) 2 0 jika benar. Balikkan langkah –langkah yang reversibel. Buktikan hasilnya. Grafis. Secara grafis hasil dari fakta bahwa z1 , z 2 , z1 z 2 ditunjukan panjang dari sisi – sisi sebuah segitiga (lihat gambar 1-14) dan jumlah panjang dari 2 sisi dari sebuah segitiga yang lebih besar dari atau sama dengan panjang sisi ketiga.
y
z2
z1 z1 z 2 0
x
Gambar 1-14
z2 z1
z1 z 2 z 3
z3
0
Gambar 1-15
(b). Penyelesaian. Bagian (a)
z1 z 2 z 3 z1 ( z 2 z 3 ) z 1 z 2 z 3 z1 z 2 z 3 Grafis. Hasil dari sebuah kesepakatan fakta geometris bahwa sebuah bidang garis lurus lebih pendek diantara 2 titik O dan P (lihat Gambar 1-15)
Halaman 12 TERJEMAHAN ANALYSIS VARIABEL COMPLEX 8. Misal diberikan vector posisi dari titik A( x1 , y1 ) dan titik B( x2 , y 2 ) yang diwakili oleh z1 dan z 2 berturut-turut.(a) gambar vector AB sebagai bilangan kompleks.(b) tentukan jarak antara titik A dan B (a)
Dari gambar 1.16 OA AB OB
AB OB OA z 2 z 1 AB x 2 iy 2 x1 iy 1 AB ( x 2 x1 ) i ( y 2 y 1 )
z1
AB z2
(b) Jarak antara titik A dan B dapat di cari dengan rumus
AB ( x 2 x1 ) i( y 2 y1 ) ( x2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 9. misal z1 x1 iy1 dan z 2 x2 iy 2 yang diwakili dua vector non kolinear atau vector non parallel Jika a dan b adalah bilangan real sedemikian sehingga az1 bz2 0 dengan syarat
a 0danb 0 Diberikan kondisi az1 bz2 0 ekuivalen dengan a( x1 iy1 ) b( x2 iy 2 ) 0 atau
ax1 bx2 i(ay1 by2 ) 0 jadi ax1 bx2 0 dan ay1 by2 0 persamaan ini akan mempunyai solusi yang simultan a 0, b 0, jika y1 x1 y 2 x2 .jika vector tersebut adalah vector non kolinear atau vector non parallel. 10. buktikan bahwa diagonal jajaran genjang saling membagi dua
Pada gambar 1.17 OABC akan diberikan jajaran genjang dengan diagonal yang saling berpotongan pada titik P Karena z1 AC z 2 , AC z 2 z1 jadi AP m( z 2 z1 ) Dengan syarat 0 m 1 B Karena OB z1 z 2 , OP n( z1 z 2 ) dengan syarat 0 n 1 tapi OA AP OP , z1 m( z 2 z1 ) n( z1 z 2 ) atau
(1 m n) z1 (m n) z 2 0 karenanya dari masalah 9 ,
1 1 1 m n 0, m n 0 atau m , n dan P adalah titik tengah dari kedua 2 2 diagonal 11. menemukan persamaan untuk garis lurus yang melewati dua titik A( x1 , y1 ) dan
B ( x2 , y 2 ) Misal z1 x1 iy1 dan z 2 x2 iy2 adalah vektor-vektor dari masing-masing titik A dan B.
Dari gambar 1.18
OA AP OP atau z1 AP z , AP z z1 OA AB OB atau z1 AB z 2 ,
AB z 2 z1 Karena AP dan AB segaris maka AP tAB atau z z1 t ( z 2 z1 ) dimana t adalah bilangan real dan persaman umumnya adalah z z1 t ( z2 z1 ) atau z (1 t ) z1 tz 2 Dengan menggunakan z1 x1 iy1 , z 2 x2 iy2 dan z x iy , juga dapat ditulis
x x1 t ( x2 x1 ) , y y1 t ( y2 y1 )
atau
x x1 y y1 x2 x1 y 2 y1
Ada dua bentuk persamaan ,yang pertama disebut persamaan parametrik garis dengan t adalah parameternya.yang kedua disebut persamaan garis bentuk standar. Metode lain. Karena AP dan PB segaris dan m dan n adalah bilangan real maka,
mAP nPB atau m( z z1 ) ( z 2 z )
z
Penyelesaian
mz1 nz2 mn
mx1 nx2 my ny2 , y 1 mn mn
atau x
Bentuk persamaan di atas disebut bentuk simetris.
Halaman 13 Dengan menggunakan x-
=t(
-
=
+
) , y-
,
=
=t(
-
+
dan z =x +
atau
=
dapat di tuliskan
Dua yang pertma disebut persamaan parametric garis dan t adalah parameter yang ke dua di sebut persamaan dari garis yang pertama
mAP=nPB Dapat di pecahkan
z=
atau
m(zatau
)=n( x=
-z)
,y =
Dari persamaan di atas dapat di sebut bentuk simetris 12. Misal A ( 1, -2 ), B ( -3 , 4 ), C ( 2 , 2 ) menjadi kesimpulan dari segitiga ABC .Carilah panjang median dari C kesisi AB . Vektor posisi A,B dan C di berikan oleh
= 1 – 2i ,
= -3 + 4i dan
= 2 + 2i
masing masing .Kemudian digambar AB =
-
= 2 + 2i - ( 1 – 2i ) = 1 + 4i
BC =
-
= 2 + 2i – ( -3 + 4i ) =5 -2i
AB =
-
= -3 + 4i –( 1 – 2i ) = -4 + 6i
AD = AB =
( -4 + 6i ) = -2 + 3i dimana D adalah titik tengah AB
AC +CD = AD atau CD =AD – AC = -2 + 3i – ( 1 +4i ) =-3 – i Maka panjang rata rata dari CD adalah CD = 3,1 =√10
B
y C D
x
A 13. Tentukan persamaan untuk (a ) lingkran berjari 4 dengan pusat ( -2 , 1 ) , (b), elips dengan sumbu utama yang panjangnya 10dan titik fokusnya di (-3, 0 ) dan ( 3, 0 ).
a) dengan di notasikan atau di tuliskan dengan bilangan kompleks -2 + I .Jika z adalah setiap titik pada lingkaran (gambar 1.20) jarak dari z -2 + I adalah
z (2 i) =4 Kemudian 2 2 1 =4 adalah persamaan yang di perlukan dalam bentuk empat persegi panjang di berikan oleh ( x 2) i ( y 1) =4,i.e ( x+2)2 + (y 1)2=16 Y y
y Z
z (-2,1)
(-3,0) (3,0)
x
x
b) Jumlah jarak dari setiap z titik pada elips ( gambar 1-2) untuk focus harus sama=10 maka persamaannya adalah [ + 3] +[z-3]=10,dalam empat persegi panjang dapat di kurangi untuk
/25 +
/16=1(lihat soal 74)
Aksioma Dasar dari Bilangan Komleks 14. Gunakan defenisi dari sebuah bilangan kompleks sebagai pasangan orderdari bilangan real dan defenisi pada halaman tiga untuk membuktikan bahwa (a,b)=a(1,0),b(0,1)dimana (0,1),(0,1)=(-1,0) =(a,c) + (c,b) =(a,b)
Halaman 14 BILANGAN KOMPLEK Dari defenisi jumlah dan produk atau hasil di halaman 3, kita mendapatkan ( , ) = ( , 0) + (0, ) = (1,0) + (1,0) (0,1)(0,1) = (0 ∗ 0 − 1 ∗ 1,0 ∗ 1 + 1 ∗ 0) = (−1,0)
dimana
Dari identifikasi (1,0) dengan 1 dan (0,1) dengan , kita melihat bahwa ( , )=
+
15. Jika
=( ,
),
=(
,
)
=
persamaan distribusi
dan =
,
=(
,
+
+
), membuktikan hukum
Kita mendapatkan =
,
=( ,
){(
,
={ (
+
)−
=
−
=(
−
=(
)(
,
)+( ( ,
+
), ( , −
, ,
)} = ( ,
,
,
)( )+
)+( ,
)(
,
(
+
)+(
+
− )=
)+( ,
,
,
)
+ )} +
+
,
+
+
)
,
KOORDINAT POLAR DARI BILANGAN KOMPLEK 16. Nyatakan setiap bilangan komplek berikut dalam bentuk koordinat polar a) 2 + 2√3 = 2 + 2√3 | = √4 + 12 = 4
Nilai penyelesaian atau mutlaknya, Perluasan atau bukti,
=
2
=
= 60 =
(radians)
Kemudian 2 + 2√3 = ( = 4(
+ sin ) = 4( 3
+
Hasilnya juga dapat ditulis sebagai 4
3
60 + sin 60 )
) atau, menggunakan rumus euler’s, 4
y
2 + 2√3 Gambar 1 ∙ 22 4 600 2√3
x 2 b) −5 + 5 = |−5 +5 | = √25 + 25 = 5√2 = 180 − 45 = 135 = 3 (radians) Kemudian −5 + 5 = 5√2(cos 135 + = 5√2
3
4
135 )
= 5√2 y
5√2 5
460
135 x
-5 Gambar 1 ∙ 23 c) −√6 − √2 = −√6 − √2 = √6 + 2 = 2√2 = 180 + 30 = 210 = 7 (radians) Kemudian −√6 − √2 = 2√2(cos 210 + = 2√2
7
4
210 )
= 2√2
y 210 −√6 −√2 30 2√2
x
Gambar 1 ∙ 24
d) −3 = |−3 | = |0 − 3 |√0 − 9 = 3 = 270 = 3 (radians) Kemudian −3 = 3 cos 3 + 2 = 3
3
2
3
2
= 3 y
270
x
-3
Gambar 1 ∙ 25 17. Grafikkan dari setiap bagian berikut: ( ) 6(
240 +
240 ),
( ) 6(
240 +
240 ) = 6
( ) 4
,
240 = 6
( ) 2
4
3
= 6
dapat direfresentasikan secara grafik dengan OP di gambar 1 ∙ 26 dibawah ini.
Jika kita memulai dengan vektor OA yang besaranya adalah 6 dan yang mana arahnya adalah
positif, kita dapat memperoleh OP dengan
merotasikan OA berlawanan dengan arah jarum jam melalui sudut 2400. Secara umum
sebanding dengan vektor yang diperoleh dengan
merotasikan atau memutar vektor yang besaranya r dengan arah
axis positif,
bergerak berlawanan melalui sudut .
Halaman 15 Nama : Leo marwan NPM : 2091000210059 Jurusan: Matematika, 2009. B
BILANGAN-BILANGAN KOMPLEKS
y 2400
y 6
p x
2
y
4
o
A O
1080
A
450 p 2
b
o
x
P
Gambar 1-26
Gambar. 1-27
Gambar. 1-28 (b) 4e 3i / 5 4cos 3 / 5 i sin 3 / 5 4cos 108 0 i sin i sin 108 0 Diwakili oleh pada gambar diatas.1
c .2 e i / 4 2cos
/ 4 i sin / 4 2 cos 45 0 i sin 45 0
Bilangan kompleks ini dapt dirpesentasikan oleh vector OP pada gambar. Diatas 1-28 vektor ini dapat diperolah dengan memulai dengan vector OA. Yang besarnya adalah 2 dan yang arahnya adalah bahwa dari sumbu X positif, dan memutarnya berlawanan itu memulai sudut -450 (yang sama dengan memutar secara jarum jam melalui sudut 450).
18. seorang pria perjalanan 12 mil timur laut, 20 mil barat 300 dari utara,
B
y dan kemudian 18 mil 600 selatan barat, menentukan (a) secara analitik
60o
dan (b) grafis seberapa jauh dan kearah mana ia adalah dari titik tolak
18
20 30o nya.
C
12 A (a). Analitis. Biarakan o menjadi titik awal (lihat gambar 1-29). Maka perp45o
x
ke-
Indahan berturut-turut diwakili oleh vector OA,AB dan BC, hasil dari o
Tiga perpindahan diwakili oleh vector.
OC OA AB BC sekarang
AB 20cos90 30 i sin 90 30 20 e BC 18cos180 60 i sin 180 60 18 e OA 12 cos 45 0 sin 45 0 12 e i / 4 0
0
0\
0
0
2i / 3
0
0
0
4i / 3
Kemudian OC 12e i / 4 20e 2i / 3 18e 4i / 3
12 cos 45 o 20 cos120 o 18 cos 240 o i 12 sin 45 o 20 sin 120 o 18 sin 240 o
6 2 19 6
12 2 / 2 20 1 / 2 18 1 / 2 i 12 2 / 2 20 3 / 2 18 3 / 2
2 3i
6 6 2 19/ r cos .717 135 49
Jika r cos i sin 6 2 19 6 2 3 i, Maka r 14.7 sekitar dari cos 1
1
o
'
2
2 19 6 2 3
2
Sehingga orang itu adalah 14,7 mil dari titik tolaknya dalam arah 135o49,-90o= 45o49, barat utara. (b) grafis , menggunakan unit yang nyaman panjang seperti PQ dalam ambar 1-29 yang mewakili 2 mil, Dan busur derajat untuk mengukur sudut, membangun vektor OA,AB dan BA kemudian dengan menentkan jumlah unit di OC dan sudut yang membuat OC dengan sumbu V, kita memper oleh hasil perkiraan (a)
DE MOIVRE’S TEOREMA 19. if
z1 r1 cos 1 i sin 1 dan z 2 r2 cos 2 i sin 2 , Membuktikan :
a z1 z 2
r1r2 cos1 2 i sin 1 2
b z1
r1 cos1 2 i sin 1 2 . r2
z2
c z1 z 2
r1 cos 1 i sin 1 r2 cos 2 i sin 2 r1r2 cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 isin 1 cos 2 cos 1 sin 2 r1r2 cos1 2 i sin 1 2
Halaman 16 (b)
z1 r cos 1 i sin 1 cos 2 i sin 2 1 z 2 r2 cos 2 i sin 2 cos 2 i sin 2
r1 cos1 cos 2 sin 1 sin 2 i sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 r2 cos 2 2 sin 2 2
r1 cos1 2 i sin 1 2 r2
Pada syarat-syarat rumus Euler e i cos i sin , hasilnya menyatakan bahwa
jika
z1 r1e i1 dan z 2 r2 e i 2
z1 r1e i1 r 1 e i 1 2 . i 2 z 2 r2 e r2
maka
z1 z 2 r1r2 e i 1 2 dan
20. Buktikan teorema De Moivre’s : cos i sin n dimana n adalah bilangan bulat positif. Kita gunakan prinsip induksi matematika. Menganggap bahwa hasilnya benar
untuk
bilangan
cos i sin k
bulat
positif
cos k i sin k
k,
khusus
kemudian
kalikan
yaitu kedua
menganggap sisi
dengan
cos i sin , kita dapatkan
cos i sin k cos k i sin k cos i sin cosk 1 i sin k 1
menurut soal
no.19. Jika benar untuk n k maka benar untuk n k 1 Tetapi sejak hasilnya jelas benar untuk n 1 , maka pasti benar untuk
n 1 1 2 dan n 2 1 3 , dst., dan pasti benar untuk semua bilangan bulat positif. 21. Buktikan identitas : (a) cos 5 16 cos 5 20 cos 3 5 cos (b)
sin 5 16 cos 4 12 cos 2 1, if sin
0, , 2
Kita menggunakan rumus Binomial
a b n
an
a n 1
n 1
b
a n 2
n 2
b 2 .....
a n r
n r
b r ... b n
r !nn! r ! , juga dinyatakan dengan n r
Dimana koefisien
koefisien binomial. Bilangan n ! atau n faktorial ,
n
C r , yang disebut
didefinisikan sebagai hasil
1 2 3.......n dan kita definisikan 0 ! 1 Dari soal no.20, dengan n 5 , dengan rumus binomial, cos 5 i sin 5 cos i sin
5
cos i sin cos i sin cos i sin cos i sin i sin
cos 5 5 3
5 1
2
4
5 2
3
2
3
5 4
4
5
cos 5 5i cos 4 sin 10 cos 3 sin 2 10i cos 2 sin 3 5 cos sin 4 i sin 5 = cos 5 10 cos 3 sin 2 5 cos sin 4
i 5 cos 4 sin 10 cos 2 sin 3 sin 5
Maka (a) cos 5 cos 5 10 cos 3 sin 2 5 cos sin 4
cos 5 10 cos 3 1 cos 2 5 cos 1 cos 2
2
16 cos 5 20 cos 3 5 cos dan (b) sin 5 5 cos 4 sin 10 cos 2 sin 3 sin 5 atau sin 5 5 cos 4 10 cos 2 sin 2 sin 4 sin
5 cos 4 10 cos 2 1 cos 2 1 cos 2
2
16 cos 4 12 cos 2 1 dengan sin 0, yaitu 0, , 2 ,...
22. Tunjukkan bahwa (a) cos
e i e i e i e i , (b) sin 2 2i
Kita mempunyai (1) e ie cos i sin , (2) e i cos i sin
Halaman 17 (a) Tambahkan (1) dan (2)
+
= 2 cos
atau cos
=
(b) Kurangkan (2) dari (1)
−
= 2 sin
atau sin
=
23. Buktikan identitas (a)
= sin
− sin 3 ,(b)
= cos 4 +
cos 2 + (a)
=
= −
= − 3
+ 3
−
= −
− 3
+ 3
−
=
−
= sin − sin 3 =
(b)
=
+ 6
=
+ 4
4 =
+
+
+ 4
+ 6 + 4
+
=
−
+
= cos 4 − cos 2 +
24. Diberikan bilangan komplek (vektor) z, mengartikan secara geometri
dimana
Misal
bilangan real.
=
Kemudian
menggambarkan garis vector di gambar 1-30. =
.
Maka perkalian vector oleh dari sudut . Gambar 1-30
=
(
)
Adalah vector yang diwakili oleh OB.
sebesar putaran yang berlawanan
Kita dapat mempertimbangkan bertindak pada
untuk menghasilkan rotasi ini. (
=
25. Buktikan : (
sebagai penghubung yang
)
)
,
= 0, ± 1, ± 2, …
= cos( + 2
)+
( + 2
) = cos + sin
=
26. Evaluasi soal-soal berikut : (a) [3 (cos 40° + sin 40°)] [4 (cos 80° + sin 80°)] = 3 ∙ 4 [cos(40° + 80°) + sin(40° + 80°)] = 12 (cos 120° + sin 120°) = 12 − +
√
= −6 + 6√3 (
°)
°)
(b) (
=
°
°
= 2
(105° − 135°)
= 2 [cos(−30°) + sin(−30°)] = 2 [cos 30° − sin 30°] = √3 − √
(c)
=
√
(
°)
(
= (
°)
120°)
=
1200° =
120°
1 √3 = − + 2 2 Metode lain :
√ √
= =
/
/
=
/
/
=
/
= (1)[cos(2 /3) + sin(2 /3)] = − +
√
Halaman 18 27. Buktikan bahwa (a) arg ( arg
)=
+ arg
, (b) arg (
menyatakan kondisi yang sesuai validitas.
/ ) = arg z −
Biarkan, = arg
(cos ) + sin =
,
(cos
=
),
+ sin
arg
=
,
.
(cos(
=
a) Sejak
=
=
b) Sejak
) + sin(
+
+ )), arg(
)=
+
=
−
=
+ arg
(cos(
) + sin(
+
)), arg
−
arg z − arg =
Karena ada nilai yang mungkin banyak
=
, kita hanya
dapat mengatakan bahwa kedua belah pihak dalam kesetaraan di atas adalah sama untuk beberapa nilai dari
dan arg
mereka tidak dapat memegang bahkan
jika nilai-nilai utama yang digunakan.
AKAR – AKAR BILANGAN KOMPLEKS.
28. (a )Temukan semua nilai dari
, dimana
= −32 , dan (b) tempatkan atau
masukkan nilai ini dalam bidang kompleks. a) Dalam bentuk polar, −32 = 32{cos( + 2
) + sin( + 2
) },
± 2, … , . Biarkan (cos + sin ). = ℎ
"Teorema De Moivre" ,
(cos 5 + sin 5 ) = 32{cos( + 2
= 32,
5 =
= ( + 2
Oleh karena itu,
= 2 cos
+2
,
)/5.
+ sin
) + sin( + 2 = 2,
)}
= 0, ± 1,
If = 1,
=
If = 1,
=
If = 2,
=
If = 3,
=
If = 4,
=
3 5 3 = 2 (cos 5 5 = 2 (cos 5 7 = 2 (cos 5 9 = 2 (cos 5 = 2 (cos
3 5 3 sin 5 5 sin 5 7 sin 5 9 sin 5
+ sin
)
+
)
+ + +
= 5, 6
Dengan mempertimbangkan
pengulangan dari lima nilai di atas
) = −2 ) )
serta nilai-nilai negatif, -1, -2, ...,
diperoleh. Oleh karena itu ini adalah satu-
satunya solusi atau akar dari persamaan yang diberikan. lima akar ini disebut " lima akar dari – 32 ” dan secara kolektif ditunjukkan dengan (−32) /
/
. Pada umumnya,
mewakili Akar ke-" " dari dan . Dan terdapat akar.
b) Nilai-nilai z seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 1-31. mencatat bahwa mereka memiliki jarak yang sama disepanjang keliling lingkaran dengan pusatnya di titik pusat dan jari-jari 2. Atau dengan kata lain dapat dikatakan bahwa, akar - akar diwakili oleh titik- titik dari poligon yang beraturan.
y
Z2 Z1 π Z3
3π/5 π/5
x
7π/5
9π/5 Z5 Z4
Gambar 1-31 29. Temukan akar – akarnya dan posisikan akar – akar tersebut dalam grafik. a) (−1 + )
/
−1 + = √2 cos
(−1 + ) = 2
= 0,
=2
= 1,
=2
= 2,
=2
3 4+2
3 +2 cos 4 3
+ sin
3 +2 4
3 +2 + sin 4 3
cos + sin 4 4 11 11 cos + sin 12 12 19 19 cos + sin 12 12
Semua akar – akar ini dapat terlihat pada grafik 1-32.
y
11π/12 Z2
Z1 π/4
x
19π/12
Z3 Gambar 1-32.
Halaman 19 (b) −2√3 − 2
−2√3 − 2 = 4 cos
−2√3 − 2
=4
= 0,
= 1,
= 2,
= 3,
7 +2 6
7 +2 cos 6 4
+ sin
7 +2 6
7 +2 + sin 6 4
7 7 + sin 24 24 19 19 = √2 cos + sin 24 24 31 31 = √2 cos + sin 24 24 43 43 = √2 cos + sin 24 24
= √2 cos
Hal ini direpresentasikan dan ditunjukkan secara grafis dalam gambar 1-33. y
19π/24 7π/24 31π/24
x 43π/24
Gambar 1-33
30. Menemukan akar kuadrat dari −15 − 8
Metode 1. −15 − 8 = 17{cos( + 2 −
, sin
=−
) + sin( + 2
)}
cos =
.
Maka akar kuadrat dari −15 − 8i adalah √17 cos + sin … … … … … … … … … … … … … . (1) 2 2 dan √17
cos +
+ sin
Sekarang cos = ±
(
+
= −√17 cos + sin )
=±
=±
(1 − cos ) sin = ± =± 2 2
karena Q adalah sudut di kuadran ketiga cos = −
√
, sin =
… … … (2)
√
1 + 15 4 17 =± 2 √17
adalah sudut di kuadran kedua. maka
dan sebagainya dari (1) dan (2 ) akar kuadrat yang
√
dibutuhkan adalah − 1 + 4i dan dan 1 – 4i. Sebagai catatan untuk pembuktian (1 + 4 ) = (1 − 4 ) = −15 − 8
Metode 2. Jadikan + , dimana p dan q adalah bilangan real, dan merupakan akar kuadrat yang diperlukan. Maka; ( + ) = −
−
+ 2
= −15 − 8
,
= −15 … … … … … … … … … … … … … … . (3)
= −4 … … … … … … … … … … … … … … … … … . (4)
=
menggantikan
−
dari (4) ke (3), menjadi
= −15
+ 15
−
16 = 0. (
+ 16)(
− 1) = 0
Ketika p adalah bilangan real,
= −16,
= 1.
= ±1. dari (4) jika p = 1, q = −4 , dan jika
= −1 = 4 , dengan demikian akar – akarnya adalah - 1 + 4i dan 1 - 4i.
PERSAMAAN POLYNOMIAL . +
31. Selesaikanlah persamaan kuadrat berikut :
≠ 0.
Menukar C dan membaginya dengan
+
Masing – masing ruas dijumlahkan dengan +
+
2
=− +
+ = 0, ≠ 0
(kuadrat sempurna)
2 +
Sehingga,
= +
Menggambil akar kuadrat,
= =
Oleh karena itu, 32. Selesaikan persamaan kuadrat berikut :
±√
±√
+ (2 − 3) + 5 − = 0
= 1, = 2 − 3,
Dari soal nomor 31, diketahui :
Sehingga penyelesaiaannya adalah sebagai berikut :
=
±√
=
(
=−
)± (
) ( )
( )(
)
=5− .
3 − 2 ± √−15 − 8 2 3 − 2 ± (1 − 4 ) = 2 =
= 2 − 3
1 +
Menggunakan fakta bahwa akar kuadrat dari 8i − 15 −adalah ± (1 − 4i). (lihat soal no.30). Ini ditemukan untuk memenuhi persamaan yang diberikan.
Halaman 20 TUGAS AKHIR
Nama : Theobaldus B. Ndarung Kelas : Matematika 2009B Fakultas : FPIEK 33. Jika bilangan rasional nyata p / q (dimana p dan q tidak mempunyai faktor umum,kecuali 1, i.e. p / q berada dalam batas terenda), persamaan polynomial a0 z n a1 z n 1 ...... a n 0 ordimana a0 , a1 ,.............a n adalah bilangan bulat,menunjukan bawah p dan q harus menjadi faktor dari a n dan a 0 dengan masing-masing
Subtitusi x p / q dalam pemberian persamaan dan pengalihan oleh q n dari hasil a0 p n1 a1 p n 1 q ..... a n 1 pq n 1 a n q n 0.......... ........1 Pembagian
oleh p dan memindakan batas akhir a0 p n 1 a1 p n1q ...... a n1q n 1
an qn ...................2 p
Mulai dari sisi kiri p adalah billangan bulat,begitu juga pada sisi kanan.tetapi p tidak mempunyai faktor umum dengan q jadi itu tidak bisah di bagi q n dan harus dibagi a n .begitu juga pada pembagian 1 oleh q dan perkalian nilai utama,kta menemukan bahwa q harus dibagi a 0 .
34. Selesaikan 6 z 4 25 z 3 32 z 2 3z 10 0 Faktor integral dari 6 dan -10 adalah masing-masing 1,2,3,6 dan 1,2,5,10. oleh karena itu dengan soal no 33 mungkin penyelesaian bilangan rasional adalah
1, 1 2 , 1 3 ,1 6 ,2, 2 3 ,5, 5 2 , 5 3 , 5 6 ,10, 10 3. Dengan percobaan kita menemukan bahwa z 1 2 dan z 2 3 adalah penyelesaian,jadi bilangan polynomial
2 z 13 z 2 6 z 2 z 2 merupakan faktor dari 6 z 4 25 z 3 32 z 2 3z 10 ,faktor lain menjadi z 2 4 z 5 seperti
penemuan pada bagian lama. Oleh karena itu :
6 z 4 25 z 3 32 z 2 3 z 10 6 z 2 x 2 z 2 4 z 5 0 . 2 Penyelesaiannya dari z 4 z 5 0 (lihat no 31).
z
4 16 20 4 4 4 2i 2 i ,kemudian 2 2 2
penyelesaiannya adalah 1 2, 2 3,2 i,2 i 35. Buktikan bahwa jumlah dan hasil dari semua akar dari a0 z n a1 z n 1 ...... a n 0 dimana a0 0 ,jika a 1 a 0 dan
1n an
a0 dengan masing-masing.jika z1 , z 2 ,................z n
merupkan akar.persamaannya dapat dituis dalam bentuk faktor dibawah ini: a0 z z1 z z 2 .......... z z n 0 Persamaan diatas langsung menujukan bawah
a0 z n z1 z 2 .....z n z n 1 ..... 1 z1 z 2 .....z n 0 itu di ikuti n
bawah a0 z1 z 2 .....z n a1 dan ao 1 z1 z 2 ......z n a n dari n
z1 z 2 ...... z n a1 ao , z1 z 2 .......z n 1 a n a 0 sebagai syarat. n
36. Jika p qi adalah akar dari a0 z n a1 z n 1 ......... a n 0 dimana a0 o, a1 ,.......a n , p dan q adalah bilangan real,buktian bawah p q juga merupakan sebuah akar.
ei 0 Misalkan p qi r dalam bentuk polar. Ya memenui persamaan n in 0 n 1 i n 10 ....... a n 1 re io a n 0 ambil konjungsi ini : a0 r e a1 r e n in 0 a1 r n 1e i n 1 ........ a n 1 re i 0 a n 0 . Kita kedua bagian a0 r e
i 0 lihat bawah re p qi juga merupakan sebuah akar yang hasilnya
tidak tetap. Jika a0 .................a n bukan sebuah bilangan real (lihat no 32). Teorema ini sering dinyatakan dalam bentuk pernyataan; 0 merupakan sebuah polynomial dengan koefisien bilangan real terjadi dalam konjungsi berpasangan. Halaman 21 Terjemahan Hal 21 AKAR-AKAR DARI KESATUAN 37.
Temukan semua akar-akar dari kesatuan z 3 1 cos 2 k i sin k e 2 k i
Dimana k 0,1,2,...
z 1 cos
2k 2 sin k e 5 5
2 ki 5
Nilai yang digunakan cukup k = 1, 2, 3, 4 karena semua nilai dalam k pasti berulang. Jadi akar dari 1, e Jika e
2 ki 5
2 ki 5
,e
4 ki 5
,e
6 ki 5
,e
8 ki 5
= w maka
Nilai di atas dapat ditulis 1, w, w2, w3, w4 38.
Jika n = 2, 3, 4... Tentukan bahwa a) cos
4 2 6 2( n 1) cos + cos ... cos 1 n n n n
b) sin
2 4 6 2( n 1) sin sin ... sin 0 n n n n
misalkan persamaan x n 1 0, mempunyai solusi terhadap nilai dari akar-akar kesatuan.
1, e
2 ki n
,e
4 k i 5
, e
6 k i 5
,e
8 k i 5
... e
2 ( n 1) i n
0
Yaitu 2 4 2(n 1) 2 4 2(n 1) cos ... cos sin ... sin 1 cos i 1 sin 0 n n n n n n
Sesuaikan dengan hasil yang telah ditentukan.
PERKALIAN TITIK DAN SILANG 39.
Jika z1 3 4i dan
z2 4 3i
Tentukan :
z1 z2
a.
b. z1 x z2 Jawab : a.
z1 z 2 Rez1 z 2 Re(3 4i)(-4 3i Re 24 7i 24 Cara lain : z1 z 2 (3)(4) (4)(3) 24
b. z1 x z2
z1 xz2 Imz1 z 2 Im(3 4i)(-4 3i Im 24 7i 7 Cara lain : z1 xz2 (3)(3) (4)(4) 7 40.
Temukan ketelitian sudut diantara vektor-vektor pada kasus no.39 a Kita peroleh cos
z1 z 2 24 24 96 . z1 z2 3 4i 4 3i 25
Maka ketilitian sudut cos1 96 1616'
41.
Buktikan daerah dari sebuah jajargenjang yang mempunyai sisi z1 dan z2 yaitu z1 xz2 . Daerah dari jajargenjang (gambar 1.34) Gbr 1.34
kaki puncak z2
z
1
z1
sin
h=
sin
z1
z1 z 2 sin z1 xz 2
z2
Halaman 22 42. Carilah luas segitiga yang titik – titik sudut di ( , Z1
y
), ( ,
), dan ( ,
).
C(x2,y2 Z2
A(x1,y
B(x2,y2
0
x
Gambar 1-35
Vector dari C ke A dan B [ gambar 1-35 ] berturut – turut adalah sebagai berikut =(
−
)+ (
−
)
=(
−
)+ (
−
)
Sejak luas segitiga dengan sisi
dan
adalah setengah luas jajaran
genjang yang sesuai, ini tidak sesuai dengan no 41: Luas dari segitiga = |
1 = |( 2 1 = | 2 1 = 2
|= |
×
{[(
−
(
−
)]}|
−
)(
−
)−(
+
−
−
)− (
−
)][(
)(
−
)|
− +
−
|
1 1 1
dalam bentuk determinan.
KOORDINAT – KOORDINAT KONJUGAT BILANGAN KOMPLEKS
−
)+
43. Tunjukkan setiap persamaan dalam hal konjugasi koordinat : (a) 2 + +
= 5, (b)
= 36. =
42. Sejak ̅
2
+
, ̅= ̅
+
−
̅
=
,
̅
=
,
. Sehingga 2 +
= 5 menjadi
= 5 atau (2 + 1) + (2 − 1) ̅ = 10 .
Persamaan merupakan garis lurus pada bidang . 43. Metode 1. Persamaannya adalah ( + Metode 2. Gantikan
̅
=
=
,
̅
)( −
) = 36 atau
pada
+
̅ = 36.
= 36 untuk memperoleh
̅ = 36. Persamaan itu merupakan lingkaran pada bidang
dari radius 6 dengan
pusat pada titik asal. 44. Buktikan bahwa persamaan dari setiap lingkaran atau garis pada bidang dapat
sementara
+ ̅ ̅+
̅+
ditulis sebagai
= 0 dimana
dan
adalah konstanta nyata,
dapat berupa sebuah konstanta kompleks.
Persamaan umum lingkaran pada bidang (
)+
+
+
dapat ditulis +
=0
yang pada konjugasi koordinat menjadi ̅
̅+ Sebutkan
̅
+
= , +
+
= 0 atau =
Dalam kasus khusus
̅+
+
+
−
+
= 0
= , mengikuti hasilnya.
dan =
= 0, lingkaran berubah menjadi garis.
HIMPUNAN TITIK 45. Diberikan himpunan titik
∶ ,
,
,
, … atau secara singkat ⁄ . (a) Apakah
dibatasi? (b) Apakah titik batasnya, jika ad? (c) Apakah dan titik batas? (e) Apakah
terbuka? (f) Apakah
tertutup? (d) Apa interior tersambung? (g) Apakah
daerah terbuka atau daerah asal? (h) Apa penutupan ? (i) Apakah komplemen dari ? (j) Apakah
dapat dihitung? (k) Apakah
tersusun rapat? (l) apakah akhir
tersusun padat? a)
dibatasi karena untuk setiap poin
in , | | < 2 [sebagai contoh], yaitu semua
titik S terletak di dalam lingkaran berjari-jari 2 dengan pusat pada titik asal.
b) Karena setiap lingkungan yang dihapus dari = 0 berisi titik , titik batasnya adalah = 0. Itu adalah hanya titik batas.
Halaman 23 Perhatikan bahwa karena S dibatasi dan tak terbatas teorema Weelerstrass-Bolzano memprediksi setidaknya satu titik limit. a) S tidak tertutup karena titik limit z = 0 bukan S. b) Setiap lingkungan δ dari setiap titik i/n [yaitu setiap lingkaran dari radius δ dengan pusat di i/n] berisi titik yang termasuk ke S dan titik yang bukan S. Jadi setiap titik S, dan juga titik z = 0, adalah titik batas. S tidak memiliki titik interior. c) S bukan termasuk titik interior. Karena tidak dapat terbuka. Dengan demikian S adalah tidak terbuka atau tertutup. d) Jika kita gabungkan dua titik S melalui jalan poligonal, ada titik pada jalan ini yang bukan S. Jadi S tidak tersambung. e) Karena S bukan himpunan terhubung terbuka, mak S bukan merupakan wilayah terbuka atau domain. f) Yang tertutup dari S termasuk himpunan S bersama dengan limit titik nol, yaitu {0, i, 1/2 i, 1/3 i, ...}. g) Yang komplemen dari S adalah himpunan semua titik yang bukan S, yaitu semua titik z ≠ i, 1/2 i, 1/3 i, ... h) Terdapat korespondensi satu-satu antara unsur-unsur dari S dan bilangan asli 1,2,3, ... seperti yang ditunjukkan di bawah ini.
i)
a.
1
2
3
4
. .... .....
j) Maka S dapat dihitung. k) S dibatasi tetapi tidak tertutup. Oleh karena itu tidak kompak. l) Yang tertutup dari S merupakan dibatasi dan ditutup serta kompak juga.
46. Diketahui himpunan titik
= {3, − , 4, 2 + , 5},
= {− , 0, −1, 2 + },
=
−√2 , , 3 . Tentukan (a) A + B atau A ∪ B, (b) AB atau A ∩ B, (c) AC atau A ∩ C, (d) A (B + C) atau A ∩ (B ∪ C), (e ) AB + AC atau (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), (f) (
) atau A ∩ (B ∩ C).
a. A + B = A ∪ B terdiri titik-titik yang termasuk salah satu titik dari A dan B atau keduanya dan hasilnya {3, − , 4, 2 + , 5, 0, −1}, b. AB atau A ∩ B terdiri titik-titik yang termasuk dari kedua titik A dan titik B dan hasilnya {− , 2 + }. c. AC atau A ∩ C = {3}, yang terdiri dari hanya anggota 3. d.
+ atau B ∪
= − , 0, −1, 2 + , −√2 , , 3 .
Oleh karena itu A (B + C) atau A ∩ (B ∪ C) = {3, − , 2 + }, terdiri dari poin milik A dan B + C. a. AB = {− , 2 + }, AC = {3} dari bagian (b) dan (e). Oleh karena itu
+
= {− , 2 + , 3}. Dari hasil ini dan (d) kita ketahui bahwa A (B + C) = AB + AC atau A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), yang menggambarkan bahwa A, B, C memenuhi hukum distributif. Kita dapat menunjukkan bahwa himpunan yang menunjukkan banyak sifat-sifat aljabar berlaku dalam bilangan-bilangan. Hal ini sangat penting dalam teori dan aplikasi. b. BC = B ∩ C = ∅, himpunan nol, karena tidak ada titik yang sama dari kedua titik B dan titik C. Oleh karena itu A (BC) = ∅ juga.
MASALAH LAIN-LAIN 47. Suatu bilangan disebut bilangan aljabar jika bilangan itu adalah solusi dari persamaan polinomial
+
+ … +
+ 0 dimana
,
,…,
adalah bilangan
bulat. Buktikan bahwa ( )√3 + √2 dan ( ) √4 − 2 adalah bilangan aljabar. ( ) Misalkan z = √3 + √2 atau 2 = 3 atau − 10
− √2 = √3. Dikuadratkan,
− 1 = 2√2 . Dikuadratkan lagi,
−2
− 2√2 +
+1 =8
or
+ 1 = 0, suatu persamaan polinomial dengan koefisien bilangan
bulat yang memiliki √3 + √2 sebagai akar. Oleh karena itu √3 + √2 adalah bilangan aljabar.
(b) Misalkan
= √4 − 2 atau +2 = √4 . Dipangkat tiga,
3 (2 ) + (2 ) = 4 atau 12
−8
+ 48
+ 3 (2 ) +
− 12 − 4 = (8 − 6 ). Dikuadratkan,
+
+ 96 + 80 = 0, suatu persamaan polinomial dengan
koefisien bilangan bulat yang memiliki √4 − 2 sebagai akar. Oleh karena itu √4 − 2 adalah bilangan aljabar. Bilangan yang bukan aljabar, i,e. tidak memenuhi setiap persamaan polinomial dengan koefisien bilangan bulat, disebut bilangan transendental. Hal ini telah dibuktikan bahwa angka-angka π = 3,14159... dan
= 2,71828 … adalah
transendental. Namun, masih belum diketahui apakah bilangan seperti eπ atau e + π, contoh transendental atau tidak.
Halaman 24 BILANGAN KOMPLEKS
48. Menyatakan grafik himpunan dari nilai z untuk (a) |
| = 2, (b) |
(a) Diberikan persamaan ekuivalen dengan | − | = | + | atau jika z = x + iy, | +
− 3| = 2 | + ( − 3) +
Dengan
=
( + 3) +
mengkuadratkan
dan
+
+ 10 +
menyederhanakan, Menjadi 9 = 0
+ 3| ekuivalen dengan
( + 5 ) +
= 16
menjadi
| + 5| = 4, lingkaran berjari-jari 4 dengan pusat di (-5,0) seperti yang ditunjukkan pada gambar, 1 - 36 Secara geometri, setiap titik P pada lingkaran ini sedemikian sehingga jarak dari P ke titik B (3,0). dua kali jarak dari P ke titik A (-3,0).
Gambar 1 - 36
|<2
Metode lain |
| ̇ ̇
Menjadi
= 2 adalah ekuivalen dengan
= 4 atau zż + 5ż + 5z + 9 = 0 (z + 5)( ̇ + 5) = 16 atau |z + 5 | = 4
(b) Diberikan pertidaksamaan ekuivalen dengan |z – 3| < 2 |z + 3| ( − ) +
<2 ( + ) +
menyederhanakan, menjadi
+
Dengan + 10z + 9
mengkuadratkan > 0 atau ( + 5) +
atau dan >16
diperoleh |z + 5 | > 4
Himpunan yang didapat terdiri dari semua titik eksternal untuk lingkaran Gambar 1-36.
49. Diberikan himpunan A dan B yaitu |z - 1 | < 3 dan |z – 2i |<2 Nyatakan secara geometri (a)
∩ B atau
,( ) ∪
+
Himpunan yang didapat dari titik yang ditunjukkan diarsir pada Gambar 137 dan 1-38.
Gambar 1-37
50. Penyelesaian Metode 1. Persamaan dapat ditulis
Gambar 1-38
−
+ 16 = 0,
0atau (
+ 4 + )(
+8
+ 16 − 9
= 0, (
+ 4) − 9
=
+ 4 − 3 ) = 0 maka solusi yang tepat yaitu solusi dari
+ 8 + 4 = 0 Dan
− 3 + 4 = 0 atau − ±
Metode 2. Diberikan w =
√
±
√
−
persamaan dapat ditulis menjadi
+ 16 = 0 dan
w = ± √7 i = ± √7 i dapat digunakan metode Soal 30.
Untuk mendapatkan solusi dari
Halaman 25 51. jika Z1, Z2, Z3 mewakili puncak dari suatu segitiga sama sisi, maka dapat di buktikan bahwa
+
+
=
+
dari gambar 1.39 kita lihat bahwa
gambar 1.39
/
−
=
−
=
( /
(
− −
Maka bentuk pembagian,
+
+
)
=
=
atau
+
52. buktikan untuk m = 2, 3, … (-5,0) sin … sin sin sin A Akar dari = 1 adalah Z = 1 , − 1 = ( − 1)( −
(
) / /
,
= /
)( −
(
, … /
) . ..
)
/
−
. maka dapat ditulis (
)
/
− 1 dan kemudian
Membagi kedua sisi dengan − 1/( − 1) = 1 +
(
+
+⋯
] kita temukan ,
/
= (1 −
= 1 [ menunjukan bahwa
/
)(1 −
(
). . . (1 −
)
/
)
…. ..
…(1) Mengambil konjugat kompleks kemudian menghubungkan kedua hasil dari sisi (1) /
= (1 − (
)
/
/
)(1 −
). . . (1 −
)…………(2)
Mengalikan (1) dengan (2) menggunakan (1 −
/
/
) (1 −
Kita dapatkan Dari − cos(2
) = 2 − 2 cos (2
= 2
/ ) = 2
1 − cos (
= 2
/ ) (
…(1 − cos
)
……….………(3)
/ ), (3) menjadi
…
(
)
...……………..(4) Kemudian mengambil akar kuadrat positif dari kedua sisi menghasilkan hasil yang diperluka. MASALAH-MASALAH TAMBAHAN OPERASI DASAR DENGAN BILANGAN-BILANGAN KOMPLEKS 53. tunjukanlah setiap operasi yang diindikasikan (a) (4 − 3 ) + (2 − 8)
(c) (3 + 2 )(2 − )
(b) 3(−1 + 4 ) − 2(7 − )
(d) ( − 2){2(1 + ) − 3( − 1)}
(e)
(h) (2 − 1)
(f) (4 + )(3 + 2 )(1 − ) (g)
(
)( (
)( )
Jawab : (a) −4 −
)
+
(i) (j) 3
−2
(c) 8 +
(e) 11/7 – (10/17)
(g) −15/2 +
(b) −17 + 14
(d) −8 + 7
(f) 21+
(h) −11/2 −
(i) 2 +
(j) −3 − 2
5 (23/2)
54. jika Z1 = 1− , Z2 = −2 + 4 , Z3 = √3 − 2 , hitunglah setiap hasil-hasil dibawah ini
(a)
+ 2
−3
(i) Re{2
(e)
+3
+
5 } (b) |2
−3 |
(c) (
− )
(d) |
+
(g) |
(j) Im{
+
(f)
/ }
z 2 z 3 z1 z 3
(h) [
] + [
+
+
]
Jawab : (a) −1 − 4
(c) 1024
7 3 3 i (b) 170
(g)
3 (f) −1/7
(d) 12
( ) − 35
(e) 3/5
(h) 765 +128√3
(j) 6√3 + 4 /7
Halaman 26
55.Buktikan bahwa , (a). z1 z 2
= z 1 z 2 , (b). z 1 z 2 z 3
56. Buktikan bahwa , (a). z1 z 2 = z1 z 2 , (b). z1 z 2
= z1 z2 z3 . = z1
z 2 , jika z 2 0 .
57. Carilah bilangan real x dan y dari: 2x – 3iy + 4ix – 2y – 5 – 10i = ( x + y +2 ) – (y – x + 3)i Jawab : x = 1 , y = - 2
58. Buktikan bahwa (a). Re z = z z 2 , (b). Im z = z z 2i . 59. Buktikan jika hasil dari dua bilangan kompleks adalah 0 < 1 dari bilangan nol. 2
60. Jika w = 3iz – z 2 dan x = x + iy, carilah w dari x dan y. Jawab : x 4 y 4 2 x 2 y 2 6 x 2 y 6 y 3 9 x 2 9 y 2
MENGGAMBAR GRAFIK VEKTOR DARI BILANGAN KOMPLEKS 61. Bentuklah operasi-operasi berikut secara analitik dan grafik. a) (2 + 3i) + (4 – 5i)
(c) 3(1 + 2i) – 2(2 – 3i)
b) (7 + i) – (4 – 2i)
(d) 3(1 + i) + 2(4 – 3i) – (2 + 5i)
(e)
(4 − 3 ) + (5 + 2 )
Jawab : (a). 6 – 2i, (b). 3 + 3i, (c). -1 + 12i, (d). 9 – 8i, (e). 19 2 + (3 2)i 62. Jika z 1 ,z 2 dan z 3 merupakan vektor yang ditunjukan dalam gambar 1.40, buatlah grafik : (a). 2z 1 + z 3
(c). z 1 + (z 2 + z 3 )
(b). (z 1 + z 2 ) + z 3
(d). 3z 1 - 2z 2 + 5z 3
(e).
1 3 2 z 2 z1 z 3 3 4 3
s y z2 z1 x z3 Gambar 1.40 63. Jika z 1 = 4 – 3i dan z 2 = -1 + 2i, buatlah grafik dan analitik: (a). z1 z 2
(b). z1 z 2
(b). z1 z 2
(d). 2 z1 3 z 2 2 (b). 5 2
Jawab : (a). 10
(c). 5 + 5i
(d). 15
64. Letak vektor dari titik A,B dan C dari segitiga ABC masing-masing diberi 1
z
= 1 + 2i, z 2 = 4 - 2i dan z 3 = 1 – 6i. Buktikan bahwa ABC merupakan segitiga
samakaki dan hitunglah panjang sisinya. Jawab : 5, 5, 8 65. Misalkan z 1 ,z 2 , z 3 , z 4 ,letak vektor tegak lurus untuk segi empat ABCD. Buktikan bahwa
ABCD
adalah
sebuah
jajaran
genjang
jika
dan
hanya
jika
z1 z 2 z 3 z 4 0 66. Jika diagonal sebuah segi empat saling membagi dua,buktikan bahwa segi empat merupakan sebuah jajaran genjang. 67. Buktikan bahwa median dari sebuah segitiga dihubungkan dalam satu titik.
68. Misalkan segi empat ABCD dan E,F,G,H titik tengah dari sisinya. Buktikan bahwa EFGH adalah sebuah jajaran genjang. 69. Dalam jajar genjang ABCD , titik E membagi dua sisi AD. Buktikan bahwa dimana titik BE dihubungkan dengan titik AC membagi AC. 70.Letak vektor dari titik A dan B berturut-turut adalah 2 + i dan 3 – 2i.
(a).
carilah sebuah persamaan garis AB. (b). carilah sebuah persamaan garis yang tegak lurus ke AB pada titik tengahnya. Jawab:(a). z (2 i ) t (1 3i ) atau x 2 t , y 1 3t atau 3x y 7 (b). z ( 5 i ) t (3 i) atau x 3t 5 , y t 1 atau x–3y = 4 2 2 2 2 71.Gambar dan grafik bentuk manakah yang ditunjukan di bawah ini: z i 2,
(b).
z 2i x 2i 6,
(c).
z 3 z 3 4, (d).
(a).
z ( z 2) 3, (e).
Im z 2 4. Jawab: (a). lingkaran (b). elips (c). hiperbola (d). lingkaran (e). hiperbola 72. Carilah sebuah persamaan (a). sebuah lingkaran jari-jarinya 2 dengan titik pusat (3,4) , (b). panjang lingkaran dengan titik pusat pada (0,2) dan (0,-2) yang mana sumbu utama mempunyai panjang 10. Jawab: (a). z 3 4i 2 atau ( x 3) 2 ( y 4) 2 4, (b). z 2i z 2i 10
REINELDIS EBU WEA NPM : 2091000210035 MATEMATIKA 2009 A Halaman 26
Halaman 27 73.jelaskansecaragrafiswilayahdiwakiliolehmasing-masingberikutini : (a) 1 <| + | ≤ 2,
(c) | + 3 |> 4,
(b) Re ( ) > 1,
(d) | + 2 − 3 | + | − 2 +
3 |< 10. 74.menunjukkanbahwaelips| + 3|+ | − 3|=10 ⁄25 +
dapatdinyatakandalampersegipanjangdarisebagai
⁄16 = 1 (lihatmasalah
13(b).
AKSIOMA DASAR DARI BILANGAN KOMPLEK 75. menggunakandefinisibilangankomplekssebagaipasanganbilangan real untukmembuktikanbahwajikaprodukdariduabilangankompleksadalahnolmakapadaterak hirdarinomorharussamadengan nol. 76. buktikanhukumkomutatifberkenaandengan (a) penjumlahan, (b) perkalian. 77. buktikanhukumasosiatifberkenaandengan (a) penjumlahan, (b) perkalian. 78.(a) caribilangan real x dan y sedemikiansehinga (c,d).(x,y) = (a,b) di mana (c,d) ≠ (0,0). (b)bagaimanacara (x,y)terkaitdenganhasilnyauntukpembagianbilangankompleksdiberikan di halaman 2 ? 79. buktikanbahwa (cos
,sin ) . . . (cos
,sin ) (cos
+ . . . +
) = (cos⌈
,sin
+
+ . . . +
⌉,sin ⌈
+
⌉)
80. (a) bagaimanaandamendefinisikan(a. b) (b) tentukan(a, b)
⁄
⁄
di mana n adalahbilanganbulatpositif ?
dalam bentuk a dan b
BENTUK POLAR BILANGAN KOMPLEKS 81.nyatakansetiapbilangankompleksberikutdalambentuk polar (a) 2-2 , (b) -1+√3 , (c) 2√2 + 2√2 , (d) - , (e) -4, (f) -2√3 − 2 , (g) √2 , (h)
3⁄2 -
3 ⁄2. 315°
Jawaban. (a) 2√2 4
45°
4
210°
4
⁄
, (d) ⁄
⁄
2√2 27°
, (g) √2
82. tunjukanbahwa 2 + = √5
⁄
90° ( ⁄ )
120°
, (b) 2 , (e) 4
√2 .
⁄
180° , (h) √3
2 4 300°
⁄
, (c)
, (f) 4 √3
⁄
83. nyatakandalambentuk polar (a) -3-4 , (b) 1-2 Jawaban. (a) 5
⁄ )
(
, (b) √5
84. gambargrafiksetiaphalberikutdantunjukkandalambentukpersegipanjang. (a) 6 (cos 135° + sin 135°), (b) 12 ⁄
(f) 3
90°, (c) 4
315°, (d) 2
⁄
, (e) )5
⁄
,
.
Jawaban. -3√2 + 3√2 , (b) 12 , (c) 2√2 - 2√2 , (d) -2√2- 2√2 , (e) -5 3⁄2 + (5⁄2) , (f) 3 3⁄2-(3⁄2) 85.sebuahperjalananpesawat 150 km sebelahtenggara, 100 km barat, 225km utara 30° timur, dankemudiantimurlaut 323km. tentukan (a) secaraanalitisdan, (b)secaragrafisseberapajauhdankearahmanaitudarititikawal. Jawaban . 375km, 23°utaradaritimur (sekitar) 86. tigagayasepertipadagambar. 1-41 seumpamasebuahpesawatpadaobjekditempatkan di O. tentukan (a) secaragrafisdan (b) gayasecaraanalitisapa yang dibutuhkanuntukmencegahobjektersebutbergerak. [gayainisering kali disebut equilibrant .] 87. buktikanbahwapadalingkaran = 88. (a)buktikanbahwa +
=
= tan (
+ 2
+ cos(
,
= +
= di mana
)
)
(b) samaratakan hasil di (a)
Halaman 28 Nama
: Antonius isak
NPM
: 2091000210062
Jurusan : Pendidikan Matematika 2009 B Tugas
: Analisis Variabel Kompleks
BILANGAN KOMPLEKS 28
TEOREMA DE MOIVRE’S 89. evaluasikan setiap soal dibawah ini:
a
5 cis 20 3 cis 40 c 8 cis 40 d 3e 2e 2 cis 60 4e
b
2 cis 50 e
0 3
0
0 4
0 6
3 i 3 i
Ans. a 15 / 2 15 3 / 2 i
d 3 e
i / 6
6e
5i / 4
0
4
1 i 1 i
b 32 32
5i / 3
2i / 3 2
5
3 i, c 16 16 3 i
3/ 2 3 3 / 2 i 3 / 2 1 / 2 i
90. Buktikan bahwa a sin 3 3 sin 4 sin 3
b cos 3
4 cos 3 3 cos
91. Buktikan bahwa solusi-solusi dari z 4 3 z 2 1 0 bila diberikan z 2 cos 36 0 , 2 cos 72 0 , 2c0s 216 0 , 2 cos 252 0 92. Tunjukan bahwa
93. Buktikan bahwa
a cos 36 0 5 1/ 4 b cos 72 0 5 1/ 4 petunjuk : gunakan masalah nomor 91
a sin 4
8 cos 3 4 2 cos 3 6 cos 4
sin b cos 4 8 sin 4 8 sin 2 1
94. Buktikan theorema De moivre’s
a int egral negatif b bilangan bilangan rasional
AKAR-AKAR DARI BILANGAN-BILANGAN KOMPLEKS 95. Carilah setiap akar-akar indikasi dan letak grafiknya
a 2 3 2i , b 4 4i 15 c 2 2 e 64 16 f i 2 3 1
2
3i
1
3,
d 16i 14
jawaban :
a 2cis1650 , 2cis345 0 b 2 cis 27 0 , 2 cis 99 0 , 2 cis 1710 , 2 cis 2430, 2 cis315 0 c 3 4 cis 20 0 , 3 4 cis 140 0 , 3 4 cis 260 0 , d 2 cis 67,5 0 , 2 cis 157,5 0 , 2 cis 247,50 , 2 cis 337,5 0 e 2 cis 0 0 , 2 cis 60 0 , 2 cis 120 0 , 2 cis 180 0 , 2 cis 240 0 , 2 cis 300 0 f cis 60 0 , cis 180 0 , cis 300 0 96. carilah semua akar-akar indikasi dan letaknya dalam bidang kompleks
a akar akar kubus dari 8 b akar akar persegi dari 4 c akar akar segi lim a dari 16 16 3i d akar akar segi enam dari 27i
2 4 2i,
jawaban :
a 2 cis 0 0 , 2 cis 120 0 , 2 cis 240 0 b 8 cis 22,5 0 , 8 cis 202,5 0 , c 2 cis 48 0 , 2 cis 120 0 , 2 cis 192 0 , 2 cis 264 0 , 2 cis 336 0 d 3 cis 45 0 , 3 cis105 0 , 3 cis 165 0 , 3 cis 225 0 , 3 cis 285 0 , 97. Selesaikan persamaan –persamaan
jawaban :
a z 4 81 0, b z 6 1
3i
a 3 cis 450 , 3 cis 1350 , 3 cis 2250 , 3 cis 3150 b 6 2 cis100 0 , 6 2 cis 160 0 , 6 2 cis 220 0 , 6 2 cis 2800 , 6 2 cis 340 0 a 5 12i, b 8
98. Carilah akar-akar persegi dari jawaban :
3 cis 345 0.
a 3 2i, 3 2i. b
5i
10 2i, 10 2i
99. Carilah akar-akar kubus dari -11-2i
jawaban : 1 2i, 12 3 1 12 3 i, 12 3
1 2
3 1 i
PERSAMAAN-PERSAMAAN PANGKAT BANYAK 100. Selesaikan persamaan-persamaan dibawah ini, berlaku semua akar-akar :
a 5 z 2 2 z 10 0, b z 2 i 2 z 3 i 0 jawaban : a 1 7i / 5, b 1 i,1 2i 101. selesaikan z 5 2 z 4 z 3 6 z 4 0
jawaban : 1,1, 2,1 1
102. a Carilah semua akar-akar dari z 4 z 2 1 0 dan
b
letaknya dalam
bidang kompleks
jawaban :
1 2
1 i 3 , 1 i 3 1 2
103. Buktikan bahwa jumlah akar-akar dari a0 z n a1 z n 1 a 2 z n 2 ... a n 0 dimana a0 0 ambilkan r pada perkalian 1 a r / a0 dimana 0 r n . r
104. Carilah dua bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya 4 dan jika dikalikan hasilnya 8. jawaban : 2 2i, 2 2i
Halaman 29
Akar-akar satuan ke n
105. Tentukan semua (a) akar-akar 4 , (b) akar-akar 7 satuan dan tunjukkan grafiknya. Jawab : (a) = , k = 0,1,2,3 (b) , k = 0, 1, ....,6 106. (a) Buktikan bahwa 1 + cos 720 + cos 1440 + cos 2160 + cos 2880 = 0 (b) Berikan gambaran grafik dari hasil (a) 107. Buktikan bahwa cos 360 + cos 720 + cos 1080 + cos 1440 = 0 dan gambarkan grafiknya 108. Buktikan hasil jumlah dari semua akar-akar n kesatuan atau susunan yang diambil 2,3,4,...( n – 1 ) pada perkalian adalah nol. 109. Tentukan semua akar-akar dari ( 1 + z )5 = ( 1 - z )5 Jawab: 0, ( - 1) / ( + 1) / (2 – 1) / (2 +1), (3 - 1 ) / (3 + 1), (4 - 1) / (4 +1), dimana =
Perkalian titik dan perkalian silang
110. jika = 2 + 5i dan = 3 – i, tentukan (a) ˳ , (b) x , (c) ˳ , (d) x , (e) , (f) , (g) , (h) . Jawab: (a) 1 , (b) -17 , (c) 1 , (d) 17 , (e) 1 , (f) 1 , (h) 17 111. Buktikan bahwa (a) ˳ = ˳ , (b) x = x 112. Jika = 1 dan = 2 , buktikan bahwa (a) ˳ = cos (), (b) = sin () 113. Buktikan bahwa (a) ˳ ( + ) = ˳ + ˳ , (b) x + ) = x + x 114. Tentukan daerah titik dari sebuah segitiga yang tegak lurus pada – 4 – i , 1 + 2i , 4 – 3i. Jawab: 17 115. Tentukan daerah titik dari segi empat yang tegak lurus pada ( 2, -1 ), ( 4, 3 ), ( -1 , 2 ) dan ( -3, -2 ). Jawab: 18
Kordinat konjugit
116. Ubahlah setiap lokus berikut menjadi bentuk kordinat konjugit z (a) z = 16, (b) z - 2z - 2 + 8 = 0, (c) z = 4, (d) = z + 16i. Jawab: (a) + = 16, (b) + - 4 + 8 = 0, (c) = 2, (d) = -3 117. Tulislah setiap persamaan berikut menjadi titik koordinat (a) ( - 3 )2 + 2 = 9, (b) 2 - 3 = 5, (c) 2 + 162 = 25 Jawab: (a) ( z – 3 ) ( - 3 ), (b) ( 2i – 3 ) z + ( 2i + 3) = 10i (c) 3 ( z2 + 2 ) – 10 z + 25 = 0
Kumpulan-kumpulan titik
118. Jika s kumpulan dari semua titik-titik dimana a dan b bilangan rasional, yang mana terletak di dala persegi / kuadrat yang ditunjukkan pada gambar disamping (a) Apakah s terbatas? (b) Apakah ada titik batas dari s, jika ya jelaskan? (c) Apakah s tertutup? (d) Apakah s itu merupakan titik-titik bagian luar dan terbatas? (e) Apakah s terbuka? (f) Apakah s punya pasangan? (g) Apakah s adalah daerah terbuka / daerah asal (h) Apakah hasil akhir dari s? (i) Apakah komplemen dari s? (j) Apakah s dapat dihitung? (k) Apakah s punya prapatan? (l) Apakah klosure dari s adalah suatu yang prapatan? Jawab: (a) Ya (b) Setiap bagian titik atas pada kuadrat merupakan sebuah titik batas (c) Tidak , (d) Setiap bagian titik merupakan titik luar, setiap titik pada batasan merupakan titik batas (e) Ya
(f) Ya
(g) Ya
(h) Hasil akhir dari s adalah kumpulan dari semua bagian titik dan pada batasan dari kuadrat
(i) Komplemen dari s merupakan kumpulan semua titik-titik luar pada kuadrat / pada batasnya (j) Tidak
(k) Tidak
(l) Ya
Halaman 30 120. Jawablah pertanyaan no 118 jika S adalah himpunan semua titik didalam atau diuar persegi. Jawab. (a) Ya.
(b) setiap titik pada S adalah limit point.
(c) Ya.
(d) Semua
titik didalam persegi adalah titik bagian dalam persegi (interior point), ketika semua titik pada batas persegi disebut titik batas (boundary point). (e) tidak.
(f) Ya.
(g) tidak. (h) S itu sendiri.
(i) semuat titik diluar
persegi. (j) Tidak. (k) Ya. (l) Ya.
121. Diberikan himpunan titik-titik A = {1,i,-i}, B = {2,1,-i}, D = {0,-i,1}. Carilah: (a).A + (B+C) atau A⋃( ⋃ ), (b) AC + BD atau ( A ⋂ ) ∪ (B ∩ D), (c) (A + C) (B + D) atau (A ∪ C) Jawab.
(B
D).
(a) {2,1,-i,i,1+i}, (b) {1,i,-i}, (c) {1,-i}
122. jika A< B< C dan D adalah titik-titik sembatrang, buktikan bahwa: (a) A + B = B + A, (b) AB = BA, (c) A + (B+C) = (A + B) + C, (d) A(BC) = (AB)C. (e) A (B + C) = AB + AC. Gunakan notasi ∩ dan
untuk notasi-notasi
ekuivalen. Diskusikan bagaimana notasi ini bisa digunakan untuk mendefinisikan himpunan-himpunan aljabar.
123. Jika A,B dan C adalah himpunan semua didefinisikan sebagai │z + i│
3,
│z│< 5, │z + 1│< 4, gambarkan secara grafis masing – masing titik berdasarkan (a) A ∩
∩
(b) A ∪
∪
(C) A ∩
(e) AB + AC + CA, (f) A + B + C .
∪ , (d) (A ∪ ) ∩ ( ∪ ),
124. Buktikan bahwa komplemen dari himpunan S adalah terbuka atau tertutup menurut definisi bahwa S tertutup dan S terbuka.
125. Jika +
,…,
,
+ …+
adalah himpunan-himpunan terbuka, buktikan bahwa adalah terbuka
126. jika sebuah limit point adalah himpunan yang tidak termasuk pada himpunan, buktikan bahwa limit point tersebut haruslah sebuah titik batas dari himpunan.
BERBAGAI MACAM PERMASALAHAN 127. diberikan sebuah jajar genjang ABCD. Buktikan bahwa (
) +(
) =(
) +(
) +(
) +(
) .
128. jelaskan pendapat yang keliru dibawah ini: -1 = √−1 √−1 = (−1)(−1) = √1 = 1. Sehingga 1 = -1.
129. (a) Tunjukan bahwa persamaan
+
+
z
+ = 0 dimana
,
,
adalah konstanta – konstanta real yang berbeda tidak 0, akan mempunyai akar – akar imajiner jika
=
+
.
(b) apakah konvers dari (a) ada ?
130. (a) Buktikan bahwa: =
+
Dimana
=
( − 2) +
)
!
, tentukan │ е │. Jawab. е
( − 4) + … +
!
ℎ
(b) Perolehlah hasil yang sama untuk
131. Jika z = 6е
(
jika n adalah genap .
√
132. Tunjukan bahwa untuk setiap bilangan real p dan m, е
= 1.
133. Jika P 〈 〉 adalah persamaan polinomial didalam z dan koefisien – koefisiennya real
134. jika
,
dan
kolinear, buktikan bahwa konstanta bilangan real α, β, γ, dan
semuanya tidak 0 sedemikian sehingga α
+β
+ γ
= 0 dimana α + β + α = 0
135. Diberikan bilangan kompleks z, gambarkan secara grafis (a) ̃ ,
(b) –z, (c) 1 , (d)
.
135. diberikan dua bilangankompleks yang berbeda
dan
dan tidak sama dengan 0,
tunjukan bagaimana menggambar secara grafis hanya menggunakan penggaris dan busur (a)
, (b)
+
, (d)
,
(e)
.
137. Buktikan bahwa sebuah persamaan untuk sebuah garis yang melalui titik titik
dan
adalah Arg
( −
)
(
−
) = 0
138. jika z = x + iy, bu
Halaman 31 139. Apakah sebaliknya untuk pertanyaan 51 benar?jelaskan jawaban Anda? 140. Tunjukan persamaan untuk lingkaran yang melalui titik-titik 1 - i, 2i, 1+ i. Jawaban. 141.
z 1 5 dan x 1 y 2 5 2
Tunjukkan bahwa lokus dari z sedemikian sehingga
z 1 z 1 a2 ,
a> 0 adalah lemniscate sebagai pertunjukan pada Gambar. 1.43
a√2
x
Gambar 1.43
142. Misal pn = a2n b2n, n = 1,2,3, ... di mana an dan bn adalah bilangan bulat positif. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif M kita akan dapat menunjukan bilangan bulat positif A dan B yang seperti p1p2 ... pM = B2 + A2. (Contoh: Jika 5 2 2 12 dan 25 3 2 4 2 , demikian 5.25 2 2 112. ) 143.
Buktikan sin
cos cos a . .. cos na
bahwa
1 n 1a 1 2 cos na 1 2 sin a 2
1 n 1a 1 2 sin na 1 2 sin a 2
sin sin s in a .. . sin na
144 . Buktikan bahwa (a) Re {z}> 0 dan (b) z 1 < z 1 adalah pernyataan yang setara! 145. Sebuah roda dengan jari-jari 1,2 meter (Gambar 1,44) yang berputar berlawanan terhadap suatu sumbu melalui pusat di 30 putaran per menit. (a) Tunjukkan bahwa posisi dan kecepatan dari setiap titik P pada waktu dalam detik pada saat P pada sumbu x positif. (b) Cari posisi dan kecepatan saat t = 2/3 dan t = 15/4
y
1.2m
P
x
Gambar 1.44
146.
Buktikan
bahwa
untuk
z a 2 m z a 2 m
4maz
{
2
sebarang
bilangan
bulat,
a 2 cot 2 k / 2m } merupakan hasil dari
faktor-faktor dari k = 1 untuk m-1 147. Jika titik-titik P1 dan P2, yang diwakili oleh z1 dan z2 masing-masing adalah seperti z1 z 2 z1 z 2 , Buktikan bahwa (a) z1/z2 adalah bilangan imajiner sejati, 148. cot
Buktikan
(b)
P1OP2 90 0 bahwa untuk setiap
bilangan
bulat
m>
1,
2 3 m 1 1 cot cot .. cot 2m 2m 2m 2m
149.
Buktikan
dan
generalisasi:
csc 2 / 7 csc 2 2 / 7 csc 2 4 / 7 2 tan 2 / 16 tan 2 3 / 16 tan 2 5 / 16 tan 7 / 16 28 150. Jika massa m1, m2, m3 berada pada titik masing-masing z1,z2,z3 ,buktikan bahwa pusat massa diberikan oleh ̂ =
m1 z1 m 2 z 2 m3 z3 Generalisasikan m1 m2 m3
untuk massa n.
151.
Cari titik pada garis yang menghubungkan titik z1 dan z2 yang
membaginya
dalam
Jawaban. qz1 pz2 / q p
rasio
p:q
152.
Tunjukkan bahwa persamaan untuk lingkaran yang melewati 3 titik,
diberikan
oleh
Halaman 32 SOAL HALAMAN : 32
BILANGAN KOMPLEKS 153. Buktikan bahwa median dari sebuah segitiga dengan simpul di berpotongan dititik
1 3
z z 1
2
z, z, z 1
2
3
z 3
154. Buktikan bahwa bilangan rasional antara 0 dan 1 dapat di hitung (hint. Susunan angkanya sebagai berikut 0 ,
1 1 2 1 3 1 2 3 , , , , , , , ....... ) 2 3 3 4 4 5 5 5
155. Buktikan bahwa semua bilangan rasional dapat dihitung. 156. Buktikan bahwa bilangan irasional antara 0 dan 1 tidak dapat dihitung. 157. Mewakili secara grafis nilai z, yang mana untuk
(a)
z z 1 , (b)
z 2 1 z 2. 158. Tunjukan bahwa (a) 159. Buktikan bahwa
3
2 3 dan (b) 2 2 i bilangan aljabar
2 3 adalah bilangan irasional
160. ABCD....PQ merupakan poligon reguler sisi n inseribed dalam lingkaran berjari – jari satuan. Buktikan bahwa produk dari panjang diagonal AC, AD,.....AP adalah
1 2 n csc . n 4
161. Buktikan bahwa sin 0, (a)
sin n sin
n 1
2
n 1
n
cos cos
k 1
2 sin 2n 1 sin . (b) 2n 1 1 2 k 1 sin sin 2n 1 n
162. Buktikan cos 2n
1
n
1 k 1
2k 1 4n 2
cos
n
2
cos
z
163. Jika produk dari dua bilangan kompleks
1
dan
z
2
adalah bilangan real dan tidak
sama dengan nol, buktikan bahwa p bilangan real sehinga z1 p z 2 164. Jika z adalah setiap titik pada lingkaran
z 1
2 arg 3
2 arg z
z
2
z 1 1 . buktikan bahwa arg
z dan berikan interprestasi geometris.
165. Buktikan bahwa dibawah pembatasan cocok
z m
n
z
mn
m
z z
(a)
n
z
m n
, (b)
.
z z Re z Re z Im z Im z (b) Im z z Re z Imz Im z Re z .
166. Buktikan (a) Re
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
167. temukan bidang poligon dengan simpul 2 3i , 3 i , 2 4i , 4 i 1 2i . Ans. 47 168.
2
a , a ......., a 1
2
n
dan b1 , b2 ......, bn beberapa bilangan kompleks. 2
n ketidaksamaan Schwarz `s a k k 1
bk
2 n a k k 1
2 n b k 1 k
Buktikan
