ELDIN 14-1
Az EM tér energiája és impulzusa kovariáns alakban
M = ε r E α Eβ + Tαβ
⎞ 1 1 ⎛ 1 + Bα Bβ + δαβ ⎜⎜ E 0 E 2 + B2 ⎟⎟ μ0 μ0 ⎠ 2 ⎝
(α, β = x, y, z ) S=
1 + E×B μ0
g=
1 S = εr E × B c2
∂ M ( P + g ) − ∇T = 0 ∂t
A negatív
∂ (ε k + ω) + ∇S = 0 ∂t
történelmi okai
előjelnek vannak
⎞ 1⎛ 1 ω = ⎜⎜ ε 0 E 2 + B2 ⎟⎟ 2⎝ μ0 ⎠
részecskék nincsenek jelen a térben P ≡0 εk ≡ 0
∂ M g − ∇T = 0 ∂t
Csak az elektromágneses teret tartalmazza
∂ ω − ∇S = 0 ∂t ↓
„4-es ablakba kell átírni”! ω
∂ ∂ct
Sx c
Sy
cg x
− TxxM
− TxyM
•
cg y
•
•
•
cg z
Sz c
c
•
•
− TxzM
•
∂ ∂x ∂ ∂y
⇒
∂ i T ij = 0 T ij = T ji
→
S = c 2a
∂ ∂z
↓ Tij
1
ELDIN 14-1
2 oldal B =
E c
(elektromágneses hullámok esetén)
ω = c⋅g
→
hármas vektorvonal
c 2 g = ωc
↓ T ij =
1 ⎛ ie 1 ij kj ek ⎞ ⎜ g Fek ⋅ F + g Fek F ⎟ μ0 ⎝ 4 ⎠
HF
FAC
3 oldal ∂ ∂g M P+ − ∇T = 0 ∂t ∂t ∂ω ∂ + ∇S = 0 εk + ∂t ∂t { ↓ ≠0
(mert részecskék is vannak) α = 1,2,3 k α = γFα ↑ (3-as erő) 0j 00 k 0 = qu j F = q u r Fr + u1Fr1 + u 2 Fr 2 + u 3Fr 3 = →
k i = ∂ i T ij
[
]
⎛ E ⎞ − γv x ⎜ − x ⎟ ⎝ c ⎠
????? egyenlet
1 1 = qγ v E = q{ E≡ c c F általában minden erő ?????? ? kv = F v c
→
MAXWELL Elektrodinamika
⎛γ ⎞ k i ≡ ⎜ F v, γ F ⎟ ⎝c ⎠ → m?????
Kovariáns Elektrodinamika ↓
Einstein Mechanika
→ fizika
I ??
Relativitás elve
Kovariáns Mechanika
Korrespondencia elv 2
ELDIN 14-1
4 oldal i = 0,1,2,3
dpi = ki dτ
↑ γ F v, γ F c pi ≡ ω0 u i ∂ u α = x α = γv α ∂τ 0 u = γc
α = 1,2,3
dp 0 = k0 dt pα γ = kα α = x, y, z dt p α = γ{ ⋅ ωr ⋅ vα = m ⋅ v α γ
→
pα = m v
≡ω
↑ „klasszikus impulzus γ
d (mv ) = γ F dt
α = 1,2,3 (Newton!!)
⎡ ⎢ d ⎢ ωr dt ⎢ v2 ⎢ 1− 2 c ⎣ dp r γ = kr dt d = mc dt
⎤ ⎥ ⎥=F ⎥ ⎥ ⎦
Relativisztikus egyenlet hármas formalizmusban
↓ mr 1−
v2 c2
ki ui = 0
ezt be kell látni
3
ELDIN 14-1
5 oldal dpi du i k ui = u i = mr ui dτ dτ i
Ok HF
u i u i = c2 így k r u r + kαuα = 0
α = 1,2,3
⎡d ⎤ ⎢⎣ dt (mc)⎥⎦ ⋅ γc = γ F γ v = 0
(
)
d mc2 − F v = 0 dt
[ ]
t
2 ∫ F v dt = mc
(munkatétel)
t 0
r
[
W = mc2 − m r c 2
]
t=r v=r k r = Fr
kinetikus energia W = (E − E r )
tömeg-energia ekvivalencia
E = mc2
p i = m r u i = m r γ (c j v ) = mc j m v { { m
pi =
E c
E mv c j ??
⎛E ⎞ pi = ⎜ , p ⎟ ⎝c ⎠ ⎞ ⎛E pi = ⎜ , − p ⎟ ⎠ ⎝c
→
E = m 2rc 4 + c 2 p 2
←
pi pi =
E2 − p 2 = ???? 2 c →
kj =
2 r 2
E −v c
4
ELDIN 14-1
LAUE – paradoxon
Fr
ar u
+1 Fr ar
k
Fr a r − Fr a r = 0
x
ar
a r Fr − a r 1 −
Fr F
u
a r Fr 1 −
k’ x’
a
u2 u2 F 1 ⋅ − = r c2 c2
a r Fr − a r Fr + a r Fr
ar
u2 c2 u2 〉0 c2
ELLENTMONDÁS! (EZ A PARADOXON)
Fr
u
F υ = − Fr u =
dw dt
d mc2 dt ISMÉTLÉS
→
dm Fu = − r2 dt c
r0 p0
•
L=M
r0 ⊥ pr r0
•
L=
d dm r0 p r = r0 υr ⋅ dt { dt m⋅υ 0
. p0
dm ⎛•⎞ = Fr ⎜ L ⎟ = −a r u r dt ⎝ ⎠ −
Fr μ r c2
5
ELDIN 14-1
HF 1 oldal u' u i = c2 u du i ⋅ ui = ? dτ du i du i du i ⋅ ui + ui ⋅ ui = 2 ⋅ ⋅ ui = 0 dτ dτ dτ
≡0
u i = g ij ⋅ u j
∂u k ∂u j ∂u j u i ⋅ g ij g ik ⋅ g ij ⋅ u k ⋅ uk ⋅ = = { 3 ∂τ ∂τ ∂τ 12 kj ik g
g ⋅u k
k α = γFα βΓ 0 0 ⎤ ⎡ kμ ⎤ ⎡ Γ ⎢ '⎥ ⎢ ⎥ ⎢λ ' Fx ⎥ = ⎢− β Γ Γ 0 0 ⎥ ⎢λ ' Fy' ⎥ ⎢ 0 0 Λ 0⎥ ⎢ '⎥ ⎢ ⎥ 0 0 Λ⎦ ⎣⎢ λ ' Fz ⎦⎥ ⎣ 0
Legyen
⎡ k r ⎤ ⎡ Γ(1 − β )k r ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢λFx ⎥ = ⎢− β Γk r + ΓγFα ⎥ ⎥ ⎢λFy ⎥ ⎢ γFy ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ γFz ⎦⎥ ⎣⎢ λFz ⎦⎥ ⎣⎢
γ' ≡ Γ
(mozgó pontra ható erő) Fα
Fk
k’
u x’
Fk k
Fα
x
γ ≡1
„álló pontra ható erő” E ???
x x’
γ kr = F v = 0 c ↑ r
E ???
6
ELDIN 14-1
Fx' = Fx
γ ' Fx' = ΓFx → ΓFx' = Γ ⋅ 1⋅ Fx → γ ' F = γFy → ΓF = 1⋅ Fy ' y
' y
γ ' F = γFz → ΓF = 1⋅ Fz ' z
' z
→
u2 F = 1 − 2 ⋅ Fy c
→
Fz' = 1 −
' y
u2 ⋅ Fz c2
2 oldal dm ⎤ ⎡• ⎢⎣ L = v r υr dt ⎥⎦ k' ⎛ u2 ⎞ dm ⎡•⎤ F a = a ⋅ u ⋅ − 0 r r⎜ ⎜1 − c 2 ⎟⎟ + Fr a r ⎢⎣ L ⎥⎦ dt ⎝ ⎠ k'
−
Fr u c2
− a 0 ⋅ F0 ⋅
M1 '
u2 c2
M2 '
+ F0 a 0 ⋅
u2 c2
0
3 oldal LAUEA paradoxon (ő oldotta meg) ar
Fr
k
y
Fr
y’ x
ar
+ +1
u
ar
+1
x’ k’
Fr
7
ELDIN 14-1
a r Fr − a r Fr = 0
k
egyensúlyban van
⎛ u 2 ⎞⎟ ⎜ a r Fr − a r 1 − 2 ⎜ c ⎟⎠ ⎝
k’
2 ⎞ ⎛ ⎜ Fr 1 − u ⎟ ≠ 0 ⎜ c 2 ⎟⎠ ⎝
⎡ u2 ⎤ a r Fr ⎢1 − 2 ⎥ ⎣ c ⎦
+ a r Fr
u2 ≠ 0 ?? r ?? forognia kellene!! c2
a 'r
A megoldás: u
Fr'
ar
'
Fr = Fr
y’
+ Fr'
+
a 'r
⎛ u2 ⎞ M '2 = − Fr' a 'r = Fr a r ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ ⎝ c ⎠
M '2 = + Fr a r
ar '
Fr = Fr
'
Fr ⋅ u = Fr u =
u
dw dm dm F u → = − r2 = c2 dt dt dt c ↓ E = m c2
8
ELDIN 14-1
A perdület tétel: ⎡• ⎤ ⎢⎣ L = M ⎥⎦ k' • d d dm • r ⋅m → L = v⋅p = ⋅ υ = v r ⋅ υr ⋅ { ↑ L dt dt ↑ dt
vr
υr
r⊥p
4 oldal ω' =
1− β 1+ β
E' E = ω' ω
ω'= 0
β =1
??????
ω' = ∞
β = −1
szembe futok ???
invariáns ????
2
⎛E⎞ ε r E λ = ε r ⎜ ⎟ λω ε { ⋅ ω ≡ (?????? ) ⎝ ω⎠ c 2
λ
ε = ????? ????? ! ω ↓ kvantum mechanika! Láttuk, hogy ⎞ 1 ⎛ B2 − ε r E 2 ⎟⎟ = invariáns F Fji = ⎜⎜ 2 ⎝ μ0 ⎠ ij
eijkl Fij Fkl = −
4 E B = invariáns c
9
ELDIN 14-1
Alkalmazzuk most E⎞ ⎛ ⎜B = ⎟ c⎠ ⎝
(e.m.h elektromechanika?) ⎤ 1 ⎡ 1 E2 − εr E2 ⎥ = 0 ⎢ 2 2 ⎣ μ0 c ⎦
Fij Fji =
valóban invariáns, skalárok
E⋅B = 0
5 oldal
E
B
S
υ
Elektromágneses hullámok tervezet y E
S x
B
k’ z
υ
x’
EII = 0 BII = 0 '
( = Γ (E
E ⊥ = Γ E ⊥ + υ × B⊥ E
' ⊥
⊥
+ υ × B⊥
) )
→ (E y ≡ E )
→ (Bz ≡ B)
⎛ υ⎞ E' = Γ(E − υ B) = Γ⎜1 − ⎟ ⋅ E = Γ(1 − β) ⋅ E ⎝ c⎠ E (elektromágneses hullám) c 1 ⎛ ⎞ ⎛ υ⎞ B' = Γ⎜ B − 2 υ E ⎟ = Γ⎜1 − ⎟ ⋅ B = Γ(1 − β ) ⋅ B c ⎝ ⎠ ⎝ c⎠ cB (elektromágneses hullám)
Γ≡
1 1 − β2
10
ELDIN 14-1
E' =
1− β E 1+ β
B' =
1− β B 1+ β
β =1
E=0
(„elfutunk” a fény elől)
β = −1
E=∞
(„szembefutunk” a fénnyel)
(
E = E r sin k r − ξt
)
invariáns skalár ⎛ ω ⎞ k r − ωt = −⎜ ct − k r ⎟ = − k i x i ⎝ c ⎠ x i = (ct,− r )
k (k,0,0) l
⎛ω ⎞ ki = ⎜ , k ⎟ ⎝c ⎠
ω' ⎛ω ⎞ ⎛ βc = Γ ⎜ − β k ⎟ = Γ ⎜1 − ω c ⎝c ⎠ ⎝
legyen a fenti példa
1− β ω ⎞ω k⎟ = 1+ β c ⎠ c
1 oldal Elektromágneses hullámok ω = ωe + ωm = 2ωe = ε r E 2 Er Sx =
E⊥ y
S = (Sx ,0,0 ) x
B⊥ z
1 E×B μr
Sx =
c
Sx =
1 1 2 εr 2 E×B = E = E μr μrc μr εr εr E2 = c ⋅ εr E 2 εrμr
Sx = c ⋅ ω
11
ELDIN 14-1
ω
ω
0
0
ω
+ω
0
0
0
0
ω
0
0
0
0
ω
M Tαβ = εr ⋅ 0 +
1 ⋅0 − 0 = 0 μr
α≠β M = εr E 2 + Tαβ
1 2 1⎛ 1 ⎞ β − ⎜⎜ ε r E 2 + β2 ⎟⎟ = μr μr ⎠ 2⎝
1⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ ε r E 2 + β2 ⎟⎟ μ 2⎝ 14424r 4 3⎠ 2ω
∇T =
∂ω ∂ω = ∂t ∂x
ω = ωr ⋅ sin 2 (kx − ωt ) 1 424 3 ξ
∂ω = ωr ⋅ sin 2 ξ ∂ξ 1 ∂ω 1 ∂ω ∂ξ = ⋅ c ∂t c ∂ξ ∂t − ∂ω ∂ω ∂ξ = ⋅ ∂x ∂ξ ∂t
ω =k c
E = cp ω = cP 2 ω {=c P ??
2 oldal II. Fij = [ ] =
∂φi ∂φ j − ∂x j ∂x i
12
ELDIN 14-1
∂ i ⋅ jj = 0 ↑ cont. Maxwell
∂Fij 1 i = j ∂x i ε r ∂Fij ∂x k
+
∂Fki ∂Fjk + ∂x ij ∂x i
EII' = EII E ⊥ = Γ(E ⊥ + v × B⊥ ) BII' = BII 1 ⎛ ⎞ B ⊥ = Γ⎜ B ⊥ − 2 + v × E ⊥ ⎟ c ⎝ ⎠
y’
E’
ebben áll a részecske E' = k e
r’
r' r'
3
ke =
ρ 4πεr
B' = 0
x’ z’
E 'x = k e
x' r'
3
y'
E 'y = k e
r'
3
… E 'z = k e
z' r'
3
Mit lát az álló megfigyelő? Transzformáció – v sebességgel
(V = − v, γ )
E x = E 'x E y = γE 'y
1
γ=
1−
v2 c2
E z = γE 'z Bx = 0
⎛1 ⎞ By = γ ⋅ ⎜ 2 v × E' ⎟ 1 B = 2 ⋅ γ ⋅ (v × E ') ⎝c ⎠y c 1 E továbbra is megadja B-t Bz = γ ⋅ 2 (v × E')z c (elég E-t nézni…) x' x − vt E x = E 'x = k e 3 = k e γ 3/ 2 2 r' γ (x − vt )y 2 + z 2
(
)
x ' = γ (x − vt )
(
)
r '2 = x '2 + y '2 + z '2 = x 2 (x − vt ) + y 2 + z 2 2
13
ELDIN 14-1
3 oldal y
Ey = ke
r'
3
= γk e
(γ (x − vt ) 2
2
y +y +z 2
)
2 3/ 2
... E z
Hogy néztek ki az erővonalak t = 0 -nál? Ex =
x r'
3
= γ ⋅ ke
Ey =
y r'
3
= γ ⋅ ke
y = z = 0 -ra:
Ey
Ex = γ ⋅ ke
Ex
x
(γ x ) 2
2 3/ 2
= ke
1 x γ
2 2
v2 1− 2 c ← λ 〈1 Ex = ke x Ey = γ ⋅ ke
x irányban ritkul
y
(γ x ) 2
2 3/ 2
= ke
1 y2
1 v2 1− 2 c
〉1
+B regenerálódik
y irányban sűrűsödik
Adósság Lorentz erő 0. komponensre Ehhez kell az energiaviszonyok vizsgálata Maxwell féle ???? tenzor: M Tαβ = ε0 E α Eβ +
1 1 ⎛ 1 ⎞ Bα Bβ − δαβ ⎜ ε 0 E 2 + B2 ⎟ μ0 2 ⎝ 2 ⎠
14
ELDIN 14-1
impulzus: ∂ M ( P + g ) − ∇T = 0 ∂t
Akkor igaz az impulzus megmaradás, ha a tenzor így néz ki…)
↑ Elekromágneses erőtér impulzus sürüsége
g=
1 S c2
Energia: ⎞ 1⎛ 1 ω = ⎜⎜ ε 0 E 2 + B2 ⎟⎟ 2⎝ μ0 ⎠
∂ (ε m + ω) + ∇S = 0 ∂t
S=
1 E×B μ0
Mechanikai munka és impulzus. 4 oldal Ha csak elektromágneses tér van: ∂ (ω) − ∇S = 0 ∂t Ezeket kellene 4-es kontinuitási egyenletként felírni ∂ M ( g ) − ∇T = 0 ∂t ⎡ ⎢W ⎢ T ij = ⎢cg x ⎢cg y ⎢ cg ⎣ z
1 Sx c − Txx
1 Sy c − Txy
− Tzx
− Tzy
1 ⎤ Sz c ⎥ − Txz ⎥ ⎥ ⎥ − Tzz ⎥⎦
← Relatív feszültségtenzor T ij = T ii
↑ 1 cg z = Sz !!! (szimm. tenzor c div T ij = 0 (megadja a 4-es kontinuitási egyenletet!) ha B=
E →w = c g c
c2 g = w c
T ij megkapható a 4-es térerősségekkel!
15
ELDIN 14-1
1 ⎛ il 1 ⎞ ⋅ ⎜ g Flk ⋅ Fkj + g ijFlk Flk ⎟ μ0 ⎝ 4 ⎠
Tij =
energia-Impulzus tenzor
Metrikus tenzor ⎛ 1 − 1 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − 1 1 − 1⎟ Ha töltéseket helyezünk be, ??? egyenlet lesz ⎜−1 −1 1 ⎟ ⎝ ⎠
Lorentz erőnél volt:
∂ i Tij = k j
K1− 3 = γ F1− 3
4-es erő
3-es erő
(
K i = K i0 γ F
)
5 oldal Mi a K 0 ? Lorentz erő:
(
K 0 = qu jF0 j = q u 0 F00 + u1F01 + u 2 F02 + u 3F03
)
⎛ E ⎞ − γv x ⎜ − x ⎟... ⎝ c ⎠ 1 1 K 0 = qγ ⋅ vE = γ v qE c c { F
K0 =
γ ⋅F v c
teljesítmény ⎞ ⎛γ K i = ⎜ ⋅ F v, γ F ⎟ ⎠ ⎝c Elektrodinamika: relativisztikusan OK (Maxwell egyenlet → kovariáns alakban írható) Relativitás elv megköveteli, hogy ∀ fizikai törvény ilyen legyen. Newtoni-egyenltek nem ilyenek. Kovariáns mechanikát kell kitaláljuk (ez már nem csak most, hanem fizika Kovariáns
→
Relat. mechanika
Fogódzó: korrespondencia-elv (régi elmélet korlátozottan érvényes tartományú v 〈〈 c OK. Az új elmélet olyan kell legyen, hogy v 〈〈 c -re visszaadja Newtont.
16
ELDIN 14-1
Mi lehet Newton 2. kovariáns alakja?
(pontmechanika)
pi = m 0 u i
dpi = Ki dτ
⎛ ∂x ∂y ∂r i ⎞ ⎟ ui = ⎜⎜ γc, , ,...γ ∂τ ∂t ∂τ ⎟⎠ ⎝
4-es erő dp 0 = K0 dτ dpα = Kα dt
α = 1,2,3
p α = γm 0 v α = m vα ← klasszikus impulzus!! m ← mozgó pont tömege
6 oldal γ
d (m v ) = γ F ⇒ d m v = F dt dt
korrespond. Ok
vigyázat !! m tartalmazza γ -t! sebességgel nő a tömeg!! Csak v 〈〈 c -re Newton ????
0. komponens: K = 0
dp 0 d = γ mc dτ dt
Kiui =
Kiui = 0
(
??? Lorentz invariáns
)
dpi du i d i u i = m0 = m0 u ui = 0 3 dτ dt dt 12 2 c
K 0u 0 + K α u α = 0 α = 1,2,3
→
d mc ⋅ γc + γ F ⋅ γ v dt d γ mc ⋅ γc + γ F ⋅ γ v dt ⇓ γ
∫ Fv dt = [m c ] t
2
t 0
0
E − E 0 = W = mc2 − m 0c 2 (?? hogy t = 0 ban v = 0 ilyen koordináta rendszert választottunk. A rendszer energiája E = mc2 tömeg-energia ekvivalencia Einstein: a testekben lévő energiát nem lehet felszabadítani! (tévedett…)
17
ELDIN 14-1
⎛E ⎞ ) = p i = m 0 u i = m 0 γ (c, v ) = ({ mc, m v { ⎜⎝ c , p ⎟⎠ impulzus és energia nem független E p c
volt Energiamegmaradás - időelt. inv.: Newtonnál függetlenek, (itt nem…) Impulzus
- térbeli elt.inv. ból következik
Fénysebesség mérése 10 jegyre Természeti állandó (nem egy sebesség) 7oldal Elektromágneses hullámok relativisztikusan k’
y E
υ
S x z
B
BII = 0
EII = 0
E '⊥ = Γ (E ⊥ + v × B⊥ )
E' = E '⊥ = Γ (E − υB) =
1 ⎞ ⎛ B'⊥ = Γ ⎜ B⊥ − v × E ⊥ ⎟ 2 ⎠ ⎝
E⎞ ⎛ ⎜B = ⎟ C⎠ ⎝
⎛ 1⎞ = Γ⎜1 − ⎟ E ⎝ c⎠ = Γ(1 − B)E =
1− β E 1+ β
1− β v ⎞ ⎛ v⎞ ⎛ B B' = Γ⎜ B − 2 E ⎟ = Γ⎜1 − ⎟B = Γ(1 − β )B = 1+ β c ⎠ ⎝ c⎠ ⎝ E' =
1− β E 1+ β
B' =
1− β E 1+ β
β →1 Térerősség csökken!! E' , B' → 0
β → −1 Poynting vektor
E' , B' → ∞
18
ELDIN 14-1
E = E 0 sin (k r − ωt ) ⎞ ⎛ ω k r − ωt = −⎜ ct − k r ⎟ = − k i x i ahol x i = (ct, r ) ⎠ ⎝ c S → 0 illetve ∞
⎛ω ⎞ 4-es hullámvektor k i = ⎜ , k ⎟ ⎝c ⎠
Doppler effektus!! HF.
8oldal K = k , 0, 0
ck ⎞ 1− β ω ω⎛ ω' ⎞ ⎛ω ⋅ = Γ ⎜ − β k ⎟ = Γ ⎜1 − β ⎟ = → 1+ β c c c⎝ ω⎠ ⎠ ⎝c
E' E = ω' ω
1− β E → E' = 1+ β
E invariáns skalár ω
energia a téglában ⇓
A = a2
2
⎛E⎞ ε0 E λ ⋅ A = ε0 ⎜ ⎟ λω { ⋅ω = ε ⎝ ω⎠ c 2
a
ε is skalár invariáns ! ω
a
(E = hω) !!
λ
19
ELDIN 14-1
LAUE - paradoxon
Röntgen-szórás felfedezője)
forgáspont
F0 a0
k’
k
a0
υ
a 0 ⋅F 0 −a 0 ⋅F 0 = 0 eredő forgatónyomaték 0
F0
Függőlegesen sem változik a F0 . a 0 F0 − a 0
K ' -ből nézve u-val mozog a test
u2 u2 F 1 ⋅ − 0 c2 c2
⎛ u2 ⎞ u a 0 F0 − a 0 F0 ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ = a 0 F0 c ⎝ c ⎠
erő → teljesítmény − F0' u =
véges forgatónyomaték
dw dm c 2 = ⇒ dt dt
dm − F0' u = 2 dt c
•
L=M
Perdülettétel: r0
•
r0 ⊥ p 0 L =
dm d d r0 p 0 = r0 mv0 = r0 v0 dt dt dt
9oldal ⎛ u2 ⎞ dm ⎛•⎞ − F0a 0 ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ + F0a 0 ≡ 0 !!! ⎜ L ⎟ = a 0u dt ⎝ ⎠K ' ⎝ c ⎠
− F0 u c2 − a 0 F0
u2 c2
Kauzalitás: a jelenre a jövő nem hathat Lineáris válasz elve
20
ELDIN 14-1
1 oldal
tervezet x = x i ei = x i e i
{x 0 , x1 , x 2 , x 3 }
→
ct er + x α eα
{ct, x, y, z}
≡ xr
x i = {ct, − x , − y, − z}
x i x i = c2 t 2 − x 2 − y2 − z 2 --------------------------------------------------------------------∂i =
⎧1 ∂ ∂ ∂ ∂ ⎫ ∂ =⎨ , , , ⎬ 2 ∂x ⎩ c ∂t ∂x ∂y ∂z ⎭
∂i =
⎧1 ∂ ∂⎫ ∂ ∂ ∂ =⎨ , − ,− , − ⎬ ∂x i ⎩ c ∂t ∂x ∂y ∂z ⎭
--------------------------------------------------------------------∂i ∂i =
1 ∂2 −Δ c 2 ∂t 2
--------------------------------------------------------------------∂x i = ∂ ?? ∂x i = pi = m 0 ∂ ?? --------------------------------------------------------------------ui =
dt = γdτ
dτ =
dt γ
--------------------------------------------------------------------u i = λ[c, x& , y& , z& ] = γ (c, v ) pi = γ[m 0c, m 0 v ][mc, mv ] m = γm v =
mv 1−
v2 c2
---------------------------------------------------------------------
21
ELDIN 14-1
2 oldal
tervezet Az energia és az impulzus (????) kovariáns alakja M = ε 0E α Eβ + Tαβ
2 1 ⎞ 1 1 ⎛ ⎟ Bα Bβ − δαβ ⎜⎜ ε 0 E 2 + μ0 μ 0 ⎟⎠ 2 ⎝
∂ M ( P + g ) − ∇T = 0 ∂t
(2)
impulzus ????
∂ (ε m + ω) − ∇S = 0 ∂t
(1)
energia ????
Csak az elektromágneses teret vizsgáljuk, azaz P ≡0
εm ≡ 0
(1)
∂ ω + ∇S = 0 ∂t
(2)
∂ M g − ∇T = 0 ∂t
(1)
∂ t ω + ∂ αSα = 0
(2)
M ∂ t g α − ∂ βTαβ =0
ω ≡ ωe + ωm
α ≡ x, y, z ≡ 1,2,3
↓ Relativisztikusan korrekt, de kovariáns alakba fogjuk átírni
(∂ , ∂ t
x
, ∂y , ∂z
A jelölés szerint
) → ⎛⎜⎜ ∂∂ct , ∂∂x , ∂∂y , ∂∂z ⎞⎟⎟ ⎝
⎠
∂ ≡ ∂i ∂x i
(1)
∂ ω 1 + ∂ α Sα = 0 ∂t c c
(2)
∂ 1 M , cg α − ∂ βTαβ =0 ∂t c
ω ≡ ωe + ωm
22
ELDIN 14-1
3 oldal ω
1 Sx c
1 Sy c
1 Sz c
∂ ∂ct
cg x
− TxxM
− TxyM
− TxzM
∂ ∂x
• cg y
-„-
-„-
-„-
∂ ∂y
cg z
-„-
-„-
-„-
∂ ∂z
hármas forma =0
↓
↓ ≡ T ij
≡ ∂i
hármas forma
∂ i T ij = 0
Az legyen ω
1 S c M −T
T ≡ ij
cg De T ij = T ji
→
1 S=cg c
S = c2 g
Továbbá S = ω ⋅ c = c2 g
→
ω = c⋅g
Célszerű T ij -t legyártani ??? már ismét 4-es tenzorból ↓ az eredmény T ij ≡
(bizonyítás HF)
1 ⎛ iR 1 ij kj ek ⎞ ⎜ g Fek F + g Fek F ⎟ 4 μ0 ⎝ ⎠
És így
23
ELDIN 14-1
A 4-es ????
k i ≡ ∂ j T ij
4 oldal MAXWELL
kovariáns
egyenletek
alakba egyszerű átírás
NEWTON
kovariáns
egyenletek
alakba általánosítani kell „MEG KELL CSINÁLNI’
υ 〈〈 c Támpont: korrespondencia elv! Induljunk ki a már bevált elektrodinamikából: p
E
B
(
E
)
Töltött részecske mozgása E, B térben
B
p Négyes alakba kell elírni. xi
→
Mozgásegyenlet ∂ i p = ki ∂τ
ui ≡
∂x i ∂τ
→
pi ≡ m 0
∂x i ∂τ
(Newton II. alapján) ??? erő
↓ k i = qu jFij
Már tudjuk az elektrodinamikából, hogy ∂ α p = Kα ∂τ
α = 1,2,3
24
ELDIN 14-1
K α = γq (E + υ × B)α F (hármas) 5 oldal ?????????? K α = γFα
α = 1,2,3, ≡ x, y, z
Hármas erő
(
Ki = K r , γF ↓
)
↑
? hármas erő Látjuk, hogy k r = q u j Frj rr 01 02 03 kr = q [ ur F { + u{1 F { u{2 F { + u{3 F {
↑ 0
↑ − γυ x
↑ E − x c
↑ Ey
↑ − c − γυ y
↑ − γυ z
]
↑ E − z c
azaz K r = qγ
1 1 E υ E = γ υ q{ c c F
az erő teljesítménye ↓ Általánosítás: mindig ez legyen Kr =
q Fυ c
Tehát ⎞ ⎛q K i = ⎜ F υ, γ F ⎟ ⎠ ⎝c Ezzel tudjuk a F hármas erő transzformációs szabályait. HF. 6 oldal A mozgásegyenlet tehát d i p = ki dτ γ
d 0 p = kr dt 25
ELDIN 14-1
γ
d α p = kα dt
α = 1,2,3
p α = γ{ mr υ = m υ = p m
γ⋅
d (m υ ) = γ F dt
⎤ ⎡ ⎥ ⎢ d ⎢ mr υ⎥ = F dt ⎢ υ2 ⎥ ⎢ 1− 2 ⎥ c ⎦ ⎣ N ewton II. hármas alakban A k 0 komponens fizikai tartalma dpi k = dτ i
dp0 d = γ (mc) k = dτ dt 0
dp α = γ ⋅ Fα k =γ dt α
(
α = x, y, z
dp α = Fα Tapasztalható tényeken alapuló axióma) dt
Megmutatjuk, hogy ki ui = 0
(invariáns)
Bizonyítás: kiui =
du i dpi ⋅ ui = mr ⋅ ui dτ dτ
de u i u i = γ (c, υ ) ⋅ γ (c, − υ ) = =????? HF.
26
ELDIN 14-1
7 oldal kiui = 0 k ru r + kαuα = 0 γ
d (mc) ⋅ γ ⋅ c − γ F γ υ = 0 dt
⎞ ⎛d γ 2 ⎜ mc2 − F υ ⎟ = 0 ⎠ ⎝ dt Fυ=
d mc2 dt
∫ F υ dt = [mc ]
2 t 0
↓ munkatétel ↓ W = mc2 − m r c 2
←nyugalomból indult
E = mc2 Mivel pedig pi = m r u i = m r γ [c, υ ] = E = (mc, u i υ ) = , p c ↑ ↑ E ≡p c
27
