2017.02.24.
DIGITÁLIS TECHNIKA
ÁLTALÁNOS BEVEZETÉS
Dr. Lovassy Rita Dr. Pődör Bálint A digitális technika tantárgy
Óbudai Egyetem KVK Mikroelektronikai és Technológia Intézet
Ajánlott irodalom
1. ELŐADÁS Az előadások anyagai letölthetők az alábbi honlapról: http://uni-obuda.hu/users/lovassyr/
1
2
A FÉLÉV TEMATIKAI VÁZLATA ÉS ISMERETANYAGA (2)
A FÉLÉV TEMATIKAI VÁZLATA ÉS ISMERETANYAGA (1) 1. Általános bevezetés. A digitális technika alapfogalmai, a logikai hálózatok alapjai. A digitális technika sajátosságai és jellemzői. Számjegyes (digitális) ábrázolás.
4. Logikai függvények átalakítása és egyszerűsítése. Logikai függvények grafikus ábrázolása. Logikai függvények minimalizálási módszerei.
2. Bevezetés a logikai algebrába. A logikai kapcsolatok leírása: szöveges leírás, algebrai alak (Boole-algebra), igazságtáblázat, logikai vázlat. A Boole algebra axiómái és tételei. Logikai alapműveletek. A Boole algebra alkalmazásai.
5. Karnaugh táblázat és alkalmazásai. Részben határozott logikai függvények minimalizálása. Tervezési példák. A jelterjedési idők hatása a logikai hálózatok működésére.
3. Logikai függvények alapfogalmai, kétváltozós függvények. Határozott és részben határozott logikai függvények. Logikai függvények kanonikus alakjai. Diszjunktív és konjunktív kanonikus alak. Minterm és maxterm fogalma. 3
6. Kombinációs hálózatok tervezése és megvalósítása univerzális építőelemekkel.
A FÉLÉV TEMATIKAI VÁZLATA ÉS ISMERETANYAGA (3)
4
IRODALOM Arató Péter: Logikai rendszerek tervezése, Tankönyvkiadó, Budapest, 1990, Műegyetemi Kiadó 2004, 55013 műegyetemi jegyzet
7. Számrendszerek, általános alapok. Bináris számok. Aritmetikai alapműveletek a bináris számrendszerben. 8. Kódok és kódolási alapfogalmak. Numerikus kódok. Tiszta bináris kódok (egyenes, 1-es, 2-es komplemens). Aritmetikai műveletek 1-es és 2-es komplemens kódban. Tetrád kódok, BCD kódok. Aritmetikai műveletek tetrád kódokban. Alfanumerikus kódok. 9. Funkcionális elemek I. Kódváltók, kódolók és dekódolók. Egyszerű kódátalakító (kombinációs) hálózatok. Bináris/BCD és BCD/bináris kódátalakítók. Gray kód, bináris/Gray és Gray/bináris átalakítás.
Zsom Gyula: Digitális technika I és II, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 2000, (KVK 49-273/I és II) Rőmer Mária: Digitális rendszerek áramkörei, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1989, (KVK 49-223) Rőmer Mária: Digitális technika példatár, KKMF 1105, Budapest 1999 Az előadások ezen könyvek megfelelő fejezetein alapulnak.
5
6
1
2017.02.24.
DIGITÁLIS TECHNIKA ÉS LOGIKAI HÁLÓZATOK
AJÁNLOTT IRODALOM Gál Tibor: Digitális rendszerek I és II, Műegyetemi Kiadó, 2003, 51429 és 514291 műegyetemi jegyzet
BEVEZETÉS A DIGITÁLIS TECHNIKÁBA Alapfogalmak
U. Tietze, Ch. Schenk: Analóg és digitális áramkörök, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1993
Logikai változók
Benesóczky Zoltán: Digitális tervezés funkcionális elemekkel és mikroprocesszorokkal, Műegyetemi Kiadó, 2002
LOGIKAI HÁLÓZATOK ÉS MODELLJEIK Kombinációs logikai hálózatok Aszinkron sorrendi logikai áramkörök Szinkron sorrendi logikai áramkörök
7
8
A JEL BEVEZETÉS A DIGITÁLIS TECHNIKÁBA A jel valamely fizikai mennyiség (állapothatározó) minden olyan értéke vagy értékváltozása amely egy egyértelműen hozzárendelt információ megjelenítésére, továbbítására vagy tárolására alkalmas.
ALAPFOGALMAK: JEL, ANALÓG, DIGITÁLIS, ANALÓG ÁS DIGITÁLIS JEL
A gyakorlatban a jel leggyakrabban:
ANALÓG ÉS DIGITÁLIS ÁRAMKÖR
villamos mennyiség
ezen belül
feszültség
De lehet áram, térerősség, stb.
9
ANALÓG JEL
10
DIGITÁLIS JEL
Információ továbbítására alkalmas jel, melynek jellemző paramétere egy tartományon belül folyamatosan változva bármely értéket felvehet (tehát értékkészlete folytonos). Az analóg jel közvetlenül értékével hordozza az információt. Az analóg jel időbeli lefolyása általában folytonos függvénnyel ábrázolható. Időben folyamatosan változik és egy adott tartományt teljes mértékben kitölthet.
Jellemzői: frekvenciasáv, jel/zaj viszony, torzítás, stb. 11
Az információt diszkrét jelképekben (pl. számként kódolt formában) tartalmazó jel. Csak diszkrét illetve kvantált értékei vannak, ezek célszerűen számokkal reprezentálhatók. A digitális jel egyik leggyakrabban alkalmazott változata a bináris jel, melynek értékkészlete két elemű, pl. 0 és 1. A digitális jel az információt elemi részekre osztva fejezi ki számjegyes formában megfelelő kódolással. Mintavétel adott időpontokban, ehhez számokat rendelünk. A digitális jel tehát kódolt 12 információt tartalmaz.
2
2017.02.24.
DIGITÁLIS JEL: PÉLDA •
Minta
Binárisan kódolt jel
• • • • • • • • • • •
10 12 13 19 25 27 22 22 20 15 ....
0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 ..................
ANALÓG ÉS DIGITÁLIS JEL
Időfüggés: folytonos, illetve diszkrét 13
14
AZ ELEKTRONIKA ALAPJAI: ANALÓG ÉS DIGITÁLIS
LOGIKAI HÁLÓZATOK A digitális berendezések alapvető alkotó elemei a
ANALÓG ÁRAMKÖR
logikai hálózatok.
A be- és kimeneti mennyiségek folytonosak Fokozott zajérzékenység Alkalmas folytonos jelek közvetlen feldolgozására
Villamos jel - logikai áramkör A logikai hálózatok a bonyolultabb logikai kapcsolatokat mindig egyszerű, részletesen később tárgyalandó elemi alapműveletekből (pl. ÉS, VAGY, NEM, stb.) állítják elő.
DIGITÁLIS ÁRAMKÖR
15
LOGIKAI VÁLTOZÓK: ÉRTÉKÉSZLET, JELÖLÉSEK
A be- és kimeneti feszültségek csak diszkrét értékeket vehetnek fel Adott mértékig érzéketlen a zajokra Digitális jelekkel végez műveleteket Üzembiztosabb működés
LOGIKAI VÁLTOZÓK: ÉRTÉKKÉSZLET
A logikai változók az egyes események absztrakt leírására szolgálnak. Két értéket vehet fel, IGAZ vagy HAMIS, attól függően, hogy az esemény bekövetkezik vagy sem.
IGAZ/HAMIS vagy TRUE/FALSE: az esemény bekövetkezésére vonatkozik, jelentésük megfelel a szó hétköznapi értelmének. Hasonló a helyzet az IGEN/YES és a NEM/NO jelöléssel.
Ha az esemény bekövetkezik, akkor a logikai változó értéke IGAZ. Ha az esemény nem következik be, akkor a logikai változó értéke HAMIS.
Az 1 és 0 itt nem számjegy, nincs numerikus értékük. Jelentésük szimbolikus. Az egymáshoz rendelés: IGAZ↔ 1 és HAMIS ↔ 0.
Értékkészlet, jelölések
IGAZ (I) TRUE (T) 1 HIGH (H)
HAMIS (H) FALSE (F) 0 LOW (L)
16
A HIGH/LOW jelentése a logikai értékek egy adott, és igen elterjedt elektromos reprezentációjához kapcsolódik, alacsony és magas feszültségszintnek felel meg. 17
18
3
2017.02.24.
LOGIKAI VÁLTOZÓK A GYAKORLATBAN A két legelterjedtebb logikai áramkörcsaládban, mely a CMOS (Complementary Metal Oxide Semiconductor), illetve a bipoláris technológián alapuló TTL (Transistor Transistor Logic), a HAMIS/LOW logikai érték illetve szint névlegesen 0 Volt, az IGAZ/HIGH logikai érték illetve szint a pozitív tápfeszültség által meghatározottan néhány volt. Konkrétan CMOS
U(1) = Utáp = +3 ... +15 V U(0) = 0 V
TTL
U(1) = kb. +3,5 V, U(0) = 0 V
LOGIKAI HÁLÓZATOK ÉS MODELLJEIK
1. A logikai hálózatok általános modellje 2. Kombinációs logikai hálózatok 3. Aszinkron sorrendi logikai áramkörök 4. Szinkron sorrendi logikai áramkörök
Utáp = +5 V 19
LOGIKAI HÁLÓZAT ÁLTALÁNOS MODELLJE
20
LOGIKAI ÁRAMKÖR (HÁLÓZAT) • A logikai hálózatokat digitális áramkörökkel valósítják meg, illetve a digitális áramkörök logikai hálózatokkal modellezhetők. • A logikai hálózatok leírására és tervezésére a logikai algebrát (Boole algebra) használják.
A bemeneti változók (A,B,C, ...) aktuális értékeit a logikai hálózat (logikai áramkör) feldolgozza és ennek megfelelően előállítja a kimeneti logikai jeleket (Y1, Y2, ...) 21
DIGITÁLIS ÁRAMKÖR
22
LOGIKAI HÁLÓZATOK
Az áramkör bármely pontján mérhető jeleknek csak két állapotát különböztetjük meg, melyekhez a két logikai állapotot rendeljük.
A logikai hálózatok két csoportra oszthatók: 1. Kombinációs logikai hálózatok 2. Sorrendi (szekvenciális) logikai hálózatok
23
24
4
2017.02.24.
KOMBINÁCIÓS LOGIKAI HÁLÓZATOK TULAJDONSÁGAI
KOMBINÁCIÓS LOGIKAI HÁLÓZAT
A kombinációs hálózatokban minden bemeneti kombináció egyértelműen és kizárólagosan meghatározza a kimeneti kombinációt. A kimeneti kombinációból viszont általában nem tudjuk egyértelműen meghatározni az azt előidéző bemeneti kombinációt, mert nem követelmény, hogy különböző bemeneti kombinációk minden esetben más-más kimeneti kombinációt hozzanak létre.
A legegyszerűbb logikai áramkörtípus a kombinációs logikai hálózat. Ez azonnal elvégzi a bemenetre jutó jeleken a ”logikai műveletet”, az eredmény azonnal (a belső működésből eredő késleltetési idő után) megjelenik a kimeneten. 25
PÉLDA KOMBINÁCIÓS HÁLÓZATRA: FELVONÓ VEZÉRLÉSE
26
PÉLDA KOMBINÁCIÓS HÁLÓZATRA: FELVONÓ VEZÉRLÉSE
Logikai feladat: Egy felvonó csak akkor induljon el, ha ajtaja csukva van és a fülkében lévő emeletjelző gombok valamelyike meg van nyomva. A feladat a négyféle feltétel (ajtó nyitva vagy csukva, jelzőgombok valamelyike meg van nyomva vagy nincs megnyomva) mindegyikéhez a lehetséges kétféle következmény (a lift elindul, vagy nem indul el) egyikét rendeli hozzá.
FELTÉTELEK 1. Ajtó
2. Emeletkiválasztó gomb
nyitva nyitva csukva csukva
egyik sincs megnyomva valamelyik megnyomva egyik sincs megnyomva valamelyik megnyomva
KÖVETKEZMÉNY Felvonó nem indul el nem indul el nem indul el elindul
27
FELVONÓ VEZÉRLÉSE: LOGIKAI SÉMA
KOMBINÁCIÓS HÁLÓZATOK: PÉLDÁK • BCD – hét szegmenses kijelző • Különböző kódátalakítók • Bináris műveletvégző egységek (félösszeadó, összeadó, stb.) • Egyszerű és összetett logikai függvények megvalósítása • Komparátorok • Stb.
Ha a két feltétel A és B, a következmény Y, akkor a feladat logikai igazságtáblázata az alábbi
Tehát
A
B
Y
HAMIS HAMIS IGAZ IGAZ
HAMIS IGAZ HAMIS IGAZ
HAMIS HAMIS HAMIS IGAZ
28
A ÉS B = Y
29
30
5
2017.02.24.
PÉLDA: BCD/7-SZEGMENSES KIJELZŐ DEKÓDOLÓ
SORRENDI LOGIKAI HÁLÓZATOK A logikai áramkör kimeneti jele(i) a bemeneten fellépő jelkombinációkon kívül az előzőleg felvett állapotától is azaz az előzőleg kialakult kimeneti jelkombinációtól is függ.
• Bemenet : 4 bit BCD digit (A, B, C, D) • Kimenet : 7 szegmens vezérlőjele (C0-C6)
c5 c4
c0 c6
Sorrendi vagy szekvenciális logikai hálózat.
c1 c2
Bemeneti változók: Visszacsatolt kimeneti változók:
c3 c0 c1 c2 c3 c4 c5 c6
primer változók. szekunder változók.
BCD to 7–segment control signal decoder A B C D
31
PÉLDA: FELVONÓ VEZÉRLÉSE
32
PÉLDA: FELVONÓ VEZÉRLÉSE A feladat szövegében – burkoltan – három lehetséges következmény szerepel:
Logikai feladat: a felvonó induljon el a harmadik emeletre, ha az ajtó be van csukva, és a fülkében lévő emeletkiválasztó nyomógombok közül a harmadik emeletre vonatkozó gomb be van nyomva. Merre indul el a felvonó, felfelé vagy lefelé?
- a felvonó nem indul el, - a felvonó elindul a harmadik emeletre felfelé, - a felvonó elindul a harmadik emeletre lefelé. A feladatbeli feltételek alapján nem dönthető el, hogy melyik következménynek kell megvalósulnia. A logikai hálózatnak szüksége van a felvonó mindenkori helyzetét megadó pótlólagos, ún. másodlagos (szekunder ) feltételekre.
33
34
SORRENDI LOGIKAI HÁLÓZAT VISSZACSATOLÁSSAL: ASZINKRON SORRENDI HÁLÓZAT
PÉLDA: ÁRUSÍTÓ AUTOMATA Pl. egy ital-automatának ”emlékeznie” kell, hogy milyen és hány érmét dobtak bele. Az automata ”válasza” nem csak attól függ, hogy éppen milyen érmét dobtak bele, hanem attól is, hogy előtt hány és milyen érmét fogadott be az adott kiszolgálási ciklusban.
A kimeneteken lévő jelek visszacsatolás révén a bemenetre kerülnek (szekunder változók). Aszinkron működés. 35
36
6
2017.02.24.
SORRENDI LOGIKAI HÁLÓZATOK TULAJDONSÁGAI
SORRENDI HÁLÓZAT
A sorrendi logikai hálózatok, a szekunder kombinációk révén képesek arra, hogy ugyanazon bemeneti kombinációhoz más-más kimeneti kombinációt szolgáltassanak attól függően, hogy a bementi kombináció fellépte esetén milyen az éppen érvényes szekunder kombináció. A szekunder kombináció pillanatnyi értékét pedig a logikai hálózat bemenetére jutott korábbi bemeneti kombinációk és azok sorrendje is befolyásolja, mivel a szekunder kombinációk a működés során változnak.
A sorrendi hálózat, a kombinációs hálózattal szemben emlékezettel (memóriával) rendelkező hálózat. A zi kimeneti állapotot nemcsak a pillanatnyi xi bemeneti állapot határozza meg, hanem a korábbi bemeneti állapotok, pontosabban a bemeneti állapotok (nem végtelen) sorozata azaz szekvenciája.. Ezért nevezik szekvenciális hálózatnak.
Innen ered a sorrendi logikai hálózat elnevezés. 37
SZINKRON ÉS ASZINKRON SORRENDI HÁLÓZATOK
38
ASZINKRON SORRENDI LOGIKAI HÁLÓZATOK Aszinkron logikai hálózat: a különböző logikai állapotváltozások egymás után, nem egyidejűleg zajlanak le.
A sorrendi hálózatok két csoportja: 1. Aszinkron, órajel nélkül működő hálózatok.
Az aszinkron logikai hálózatokban az „emlékező”, az előzőleg felvett állapotot figyelembevevő tulajdonságot (tárolási funkció) a kimeneti jeleknek a bemenetre való visszacsatolásával valósítják meg.
2. Szinkron, órajellel működő sorrendi hálózatok;
39
40
SZINKRON SORRENDI LOGIKAI HÁLÓZATOK
SZINKRON SORRENDI HÁLÓZAT MŰKÖDÉSE
A szinkron sorrendi hálózatok működése ütemezett, ezt egy külön jel, az ún. órajel (CLOCK PULSE, CP) szabályozza illetve szinkronizálja.
A kimenetről a bemenetre visszacsatolt jelek nem azonnal hatnak, hanem az órajel érkezésekor a bemeneten lévő tárolókba íródnak. Ezen tárolt jelek hatása csak a következő ütemben, a következő órajel beérkezésekor érvényesül. Minden változás az órajellel időzítve, azzal szinkronizálva megy végbe.
A szinkron sorrendi hálózatban minden változás, ”esemény” előre pontosan definiált időpillanatban megy végbe, az órajel fel- vagy lefutó élének megérkezését követően igen kis „időtűrés-mezőben”.
41
42
7
2017.02.24.
SORRENDI HÁLÓZAT TÁROLÓKKAL: SZINKRON SORRENDI HÁLÓZAT LOGIKAI (BOOLE) ALGEBRA ÉS ALKALMAZÁSAI
A kimenet állapota az órajel érkezésekor a bemeneti tárolókba íródik. A tárolt jelek ”emlékeztetik” a hálózatot az előző állapotára, és ez teszi lehetővé az új kimeneti állapot létrehozását. A megváltozott kimeneti jelek hatása csak az újabb órajelre érvényesül.
43
BOOLE-ALGEBRA, DIGITÁLIS TECHNIKA, LOGIKAI HÁLÓZATOK
44
LOGIKAI (BOOLE-) ALGEBRA A logikai algebra tárgya a logikai műveletek rövid, tömör matematikai formában való leírása. Megalkotója George Boole (1815-1864) angol matematikus, nevét viseli a logikai algebra mint Boole-algebra. Jelentős még Augustus De Morgan (1806-1871) brit (skót) matematikus hozzájárulása is (De Morgan tételek).
A Boole-algebra a logikai hálózatok analízisének Boole és De Morgan 1847-től kezdve dolgozták ki a formális logikát (Boole-algebrát). Ekkor már régóta használták a bináris kapcsolásokat órák, automaták vezérlésére. Boole két alapvető munkája
és szintézisének legalapvetőbb eszköze
The Mathematical Analysis of Logic (1847) illetve 45
BOOLE-ALGEBRA ÉS KAPCSOLÓ ÁRAMKÖRÖK
An Investigation of Laws of Thought (1854)
46
BOOLE ALGEBRA: LOGIKAI VÁLTOZÓK
A Boole-algebrát az 1930-as évek végén kezdték alkalmazni a kapcsolóáramkörök tervezésére. Claude Elwood Shannon (1916-2001) az információelmélet úttörője, az MIT hallgatója, majd a Bell Labs munkatársa ismerte fel 1938-ban a Boole algebra alkalmazhatóságát a relékből felépített (telefon-) kapcsoló-rendszerek vizsgálatára és tervezésére.
A logikai változók az egyes események absztrakt leírására alkalmasak. Két értéket vehetnek fel, 1 vagy 0, attól függően, hogy az esemény bekövetkezik vagy sem. Ha az esemény bekövetkezik, akkor a logikai változó értéke 1. Ha az esemény nem következik be, akkor a logikai változó értéke 0.
Ma a Boole-algebra a logikai hálózatok analízisének és szintézisének legalapvetőbb eszköze. 47
48
8
2017.02.24.
LOGIKAI VÁLTOZÓK ÉRTÉKKÉSZLETE IGAZ/HAMIS,TRUE/FALSE, illetve IGEN/NEM az esemény bekövetkezésére vonatkozik. Az 1 és 0 itt nem számjegy, jelentésük szimbolikus:
BOOLE ALGEBRA: LOGIKAI VÁLTOZÓK: FÜGGŐ ÉS FÜGGETLEN VÁLTOZÓK A logikai változók két csoportba oszthatók, ún. független, és
IGAZ↔ 1 és HAMIS ↔ 0.
függő változókra. Jelölés: A, B, C, .... X, Y, Z.
A HIGH/LOW jelentése a logikai értékek szokásos elektromos reprezentációjához kapcsolódik, alacsony és magas feszültségszintnek felel meg, pl. (névlegesen) 0 V illetve + 5 V.
Az első betűket általában a független változókra tartjuk fent.
49
BOOLE-ALGEBRA AXIÓMÁI
A BOOLE ALGEBRA AXIÓMÁI Az axiómák olyan előre rögzített kikötések, alap állítások, amelyek az algebrai rendszerben mindig érvényesek, viszont nem igazolhatók. Ezen állítások a halmaz elemeit, a műveleteket, azok tulajdonságait, stb. határozzák meg. A tételek viszont az axiómák segítségével bizonyíthatók. A Boole algebra az alábbi öt axiómára épül:
51
1. Az Boole-algebra kétértékű elemek halmazára értelmezett. 2. A halmaz minden elemének létezik a komplemens -e is, amely ugyancsak eleme a halmaznak. 3. Az elemek között végezhető műveletek a konjunkció ( logikai ÉS ), illetve a diszjunkció (logikai VAGY). 4. A logikai műveletek: kommutatívak ( a tényezők felcserélhetők ), asszociatívak (a tényezők csoportosíthatók), disztributívak ( a két művelet elvégzésének sorrendje felcserélhető ). 5. A halmaz kitüntetett elemei az egység elem (értéke a halmazon belül mindig IGAZ, azaz 1), és a nulla elem 52 (értéke a halmazon belül mindig HAMIS, azaz 0).
AZ ÉS (AND) MŰVELET, LOGIKAI SZORZÁS (KONJUNKCIÓ)
LOGIKAI MŰVELETEK A változókkal végezhető logikai műveletek: -
50
A logikai változókkal végzett ÉS művelet eredménye akkor és csak akkor IGAZ, ha mindegyik változó értéke egyidejűleg IGAZ. ÉS művetet igazságtáblázata:
ÉS (konjunkció) - logikai szorzás; VAGY (diszjunkció) - logikai összeadás; NEM (negáció, invertálás, komplementálás) logikai tagadás.
Az ÉS, illetve a VAGY logikai művelet két-, vagy többváltozós, a változók legalább két eleme, vagy csoportja között értelmezett logikai kapcsolatot határoz meg. A tagadás egyváltozós művelet, amely a változók, vagy változócsoportok bármelyikére vonatkozhat. 53
A logikai algebrában az ÉS kapcsolatot szorzással jelölik (logikai szorzás), de a logikai szorzás jelét általában nem szokás kitenni. A K=A•B algebrai egyenlőségben A és B a független változók, és K a függő változó, vagy eredmény. Jelentése pedig az, hogy a K 54 akkor IGAZ, ha egyidejűleg az A és a B is IGAZ.
9
2017.02.24.
LOGIKAI SZORZÁS (KONJUNKCIÓ), (LOGIKAI ÉS KAPCSOLAT) Definícíó:
ÉS (AND) ÁRAMKÖRI SZIMBÓLUMOK Kapuáramkörök esetében
0•0=0 0•1=0 1•0=0 1•1=1
Kapcsoló áramkörök esetében
X
X
&
Y
Z
Y
Z
.
A művelet eredménye tehát csak akkor a logikai 1 érték, ha mindkét tényező logikai értéke 1. A művelet a definíció szerint kommutatív. Formailag megegyezik az aritmetikai szorzással, de az 1 és 0 értékek jelentése csak logikai.
X Z Y
Sorbakötött és nyugalmi állapotban nyitott (=MAKE) kapcsolók
55
56
LOGIKAI ÖSSZEDÁS (DISZJUNKCIÓ), (LOGIKAI VAGY KAPCSOLAT)
A VAGY (OR) MŰVELET A logikai változókkal végzett VAGY művelet eredménye akkor IGAZ, ha a független változók közül legalább az egyik IGAZ. Igazságtáblázat:
Definíció:
Algebrai formában ezt a független változók összegeként írjuk le (logikai összeadás).
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1
A művelet eredménye tehát csak akkor a logikai 1 érték, ha vagy az első, vagy a második tag (vagy mindkettő) logikai értéke 1. A művelet a definíció szerint kommutatív. Az utolsó definíciós összefüggés kivételével formailag az aritmetikai összeadás szabályai is alkalmazhatók a logikai értékekre.
K=A+B alakú algebrai egyenlőségben a K eredmény akkor IGAZ, ha vagy az A, vagy a B, vagy mindkettő IGAZ. A VAGY műveletet leíró táblázat tehát az alábbi: 57
LOGIKAI SZORZÁS ÉS ÖSSZEADÁS KETTŐNÉL TÖBB VÁLTOZÓRA
VAGY (OR) ÁRAMKÖRI RAJZJELEK Kapuáramkörök esetében
Kapcsoló áramkörök esetében
Mindkét definiált logikai művelet értelemszerűen kiterjeszthető kettőnél több tényezőre, illetve tagra is. Ekkor természetesen a műveletek elvégzésének sorrendjét megfelelő zárójelek alkalmazásával kell jelölni, akárcsak aritmetikai műveletek esetén.
X X
1
Z
58
Y
Y .
Z X Z Y
Párhuzamosan kötött, nyugalmi állapotban nyitott (= MAKE) kapcsolók 59
60
10
2017.02.24.
LOGIKAI NEGÁCIÓ (INVERTÁLÁS, KOMPLEMENTÁLÁS), LOGIKAI TAGADÁS MŰVELET
A TAGADÁS (INVERZ, KOMPLEMENTÁLÁS) MŰVELET A logikai tagadást egyetlen változón, vagy csoporton végrehajtott műveletként értelmezzük. Jelentése az, hogy ha a változó IGAZ, akkor a tagadottja HAMIS és fordítva. Igazságtáblázat:
0 =1
Definíció:
1= 0 A művelet tehát logikai értékekhez ellentettjüket rendeli hozzá. A műveletet páros számú esetben alkalmazva, eredményül a kiindulási logikai érték adódik:
0 = 0 és
Algebrai leírásban a tagadást a változó jele fölé húzott vonallal jelöljük. Ezek szerint K=Ā egyenlőség azt jelenti, hogy a K akkor IGAZ, ha az A HAMIS. Szóban A nem - nek, A felülvonás-nak vagy A tagadott-nak mondjuk.
1=1
Páratlan számú alkalmazás az ellentett, negált értéket eredményezi.
61
62
NEM-ÉS (NAND) ÁRAMKÖRI RAJZJELEK
A NEGÁCIÓ A negáció nem két- hanem csak egyargumentumos művelet.
Kapuáramkörök esetében
A gyakorlatban sokszor szükség van egy X változó negáltjának az előállítására.
Kapcsoló áramkörök esetében
X
&
X
Z
Y
Az erre való eszköz az inverter. (A negációt a köröcske jelenti):
Y Z
X
X
X
Z
Talán éppen azért tekintik sokszor a negációt „műveletnek” mert a kapuáramkörök között van eszköz a végrehajtására.
Y
Párhuzamosan kötött, nyugalmi állapotban zárt (=BREAK) kapcsolók
63
64
NEM-VAGY (NOR) ÁRAMKÖRI RAJZJELEK
EGYSÉG ÉS NULLA ELEM A halmaz kitüntetett elemei, melyek mindig léteznek
Kapuáramkörök esetében
Kapcsoló áramkörök esetében
az egység elem (értéke a halmazon belül mindig IGAZ, azaz 1),
X
1
Z
Y
X
A•1=1 •A=A
Y
és
Z
X Z Y
a nulla/zérus elem (értéke a halmazon belül mindig HAMIS, azaz 0)
Sorosan kötött, nyugalmi állapotban zárt (=BREAK) kapcsolók
A+0=0+A=A 65
66
11
2017.02.24.
KOMPLEMENSKÉPZÉS: TAGADÁS
LOGIKAI MŰVELETEK TULAJDONSÁGAI
A logikai algebra illetve a Boole-algebra a felsorolt axiómákra épül. A logikai feladatok technikai megvalósításáh oz a halmaz egy elemének komplemens-ét képező művelet is szükséges. Ezért a műveletek között a logikai TAGADÁS is szerepel. _ _ és A+A= 1 A•A= 0
Kommutativitás az operandusok sorrendjének felcserélhetősége Asszociativitás az operandusok csoportosíthatósága Disztributivitás az operandusok átrendezhetősége
67
LOGIKAI MŰVELETEK TULAJDONSÁGAI: KOMMUTATIVÍTÁS Az ÉS (logikai vagy) és VAGY (logikai összeadás) műveletek alapvető tulajdonsága a kommutativitás, azaz az operandusok sorrendjének felcserélhetősége:
68
LOGIKAI MŰVELETEK TULAJDONSÁGAI: ASSZOCIATIVÍTÁS Az ÉS (logikai vagy) és VAGY (logikai összeadás) műveletek másik alapvető tulajdonsága az asszociativítás, azaz az operandusok csoportosíthatósága: A • (B • C) = (A • B) • C = A • B • C A + (B + C) = (A + B)+ C = A + B + C
A•B=B•A A+B=B+A
A zárójelek a műveletei sorrendjét adják meg. Igazolás: logikai értékek behelyettesítésével.
69
LOGIKAI MŰVELETEK TULAJDONSÁGAI: DISZTRIBUTIVÍTÁS
70
A MŰVELETEK DISZTRIBUTIVÍTÁSA AZ ÉS és a VAGY műveletek azonos értékűek. Mindkettő disztributív a másikra nézve. Az első azonosság alakilag megegyezik a közönséges matematikai műveletvégzési szabályokkal.
Az ÉS (logikai vagy) és VAGY (logikai összeadás) műveletek harmadik alapvető tulajdonsága a disztributívitás, azaz az operandusok átrendezhetősége:
A második azonosság csak a logikai algebrában érvényes. Kifejezi azt, hogy egy logikai szorzat (ÉS) és egy logikai érték (állítás) logikai összege (VAGY) úgy is képezhető, hogy először képezzük a VAGY műveletet a szorzat tényezőivel és az így kapott eredményekkel hajtjuk végre az ÉS műveletet.
A • (B + C) = A • B + A • C A + (B • C) = (A + B) • (A + C) Igazolás: logikai értékek behelyettesítésével.
71
72
12
2017.02.24.
LOGIKAI KIFEJEZÉSEK ÁTALAKÍTÁSA
A LOGIKAI ALGEBRA TÉTELEI Fontosabb tételek, azok részletes bizonyítása nélkül. Helyességükről a logikai értékek összes lehetséges kombinációinak behelyettesítésével lehet meggyőződni. A kitüntetett (1 illetve 0) elemekkel végzett műveletek:
A logikai műveletek tulajdonságai segítségével a logikai kifejezések algebrai átalakítása hajtható végre, és így lehetőség van a legegyszerűbb alakú kifejezés megkeresésére. Ezt a későbbiekben még részletesebben fogjuk tárgyalni.
1•1=1 1•A=A 1+1=1 1+A=1
0•0=0 0•A=0 0+0=0 0 + A =A
73
A LOGIKAI ALGEBRA TÉTELEI: AZONOS VÁLTOZÓK
74
LOGIKAI ALGEBRA TÉTELEI: TAGADÁS
Az azonos változókkal végzett műveletek: Tautológia
A logikai tagadásra vonatkozó tétel (kettős negáció): _ _ A= A
(idempotencia):
A•A=A
A+A=A
Negáció szabályai: A•Ā=0
Általánosan: a páros számú tagadás nem változtatja meg az értéket, míg a páratlan számú tagadás azt az ellenkezőjére változtatja.
A+Ā=1
Az A-val jelzett logikai változó nem csak egy változó, hanem egy logikai műveletsor eredménye is lehet. 75
TOVÁBBI ÖSSZEFÜGGÉSEK
76
DE MORGAN TÉTELEK A logikai algebrában kitüntetett szereppel bírnak a De Morgan-azonosságok
Abszorpciós szabály
––––––
A • (A + B) = A
—
—
A+B=A•B ––––––
A+A•B=A
—
—
A•B=A+B Logikai összeg negáltja azonos a tagok negáltjainak logikai szorzatával. Logikai szorzat negáltja pedig azonos a tényezők negáltjainak összegével.
A fenti, a logikai algebrában érvényes össze-függések természetesen nem érvényesek a szokásos algebrában.
77
78
13
2017.02.24.
DE MORGAN SZABÁLYOK ALKALMAZÁSA
DE MORGAN TÉTELEK ––––––
—
—
A De Morgan szabályok alapján az ÉS és a VAGY műveletek csak egyikét a NEM művelettel együtt használva a harmadik művelet előállítható.
A+B=A•B ––––––
—
—
A•B=A+B
———— —
Vágd el a vonalat, cseréld fel a műveletet!
—
A • B = (A + B) ———— —
—
A + B = (A • B) 79
80
DE MORGAN TÉTELEK ÁLTALÁNOSÍTÁSA A digitális rendszerek analízisében és szintézisében fontos szerepet játszanak a De Morgan-féle tételek. Több változóra érvényes alakjuk az alábbi
LOGIKAI (BOOLE) FÜGGVÉNYEK ÉS ALKALMAZÁSAIK
____ _ _ _ A B C ... = A + B + C + ... ________ __ _ A + B + C + ... = A B C ...
81
LOGIKAI MŰVELETEK ÉS DUALITÁS Röviden áttekintjük a logikai alapműveletek közötti kapcsolatot melyet a dualitás fejez ki és lényegében a De Morgan tételeken alapul. A kétargumentumos műveletek közül kettőt-kettőt alapművelet-párokként választhatunk. (Egyiket vagy a másikat, de nem mindkettőt.) Ezek a művelet-párok a következők: ÉS ( szorzás) — VAGY (összeadás: +) NEM-ÉS (NAND) — NEM-VAGY (NOR) A műveletpárok egyik tagja a másik un. duális párja. A duális műveletpárokat De Morgan tételek kapcsolják össze. A duális művelet-párokkal (és a negációval) kifejezhetjük bármelyik másik műveletet.
82
LOGIKAI ÁRAMKÖRÖK KIALAKÍTÁSA Tetszőleges logikai összefüggés, vagy logikai függvény is előállítható a NEM-ÉS vagy NEM-VAGY alapművelet párokkal. Vagyis tetszőleges logikai áramkör kialakítható csupán NEM-ÉS, vagy csupán NEM-VAGY kapuk alkalmazásával. A NAND és az NOR univerzális műveletek. Elvileg elég csak NAND vagy csak NOR kapukat tartatni, azokból bármilyen logikai áramkör felépíthető. Gyakorlati jelentőség: az elektronikus erősítők általában invertáló jellegűek (180 fokos fázistolás). Ezért a gyakorlatban a NEM-ÉS (NAND) és a NEM-VAGY (NOR) a szokásos alapelem. Végső soron mindez a De Morgan tételeken alapul!
14
2017.02.24.
CSAK NAND ILLETVE NOR KAPUS MEGVALÓSÍTÁSOK
KOMBINCIÓS HÁLÓZATOK A GYAKORLATBAN Egy kétszintű ÉS-VAGY hálózat (szorzatok összege, sum-ofproducts) megvalósítható kétszintű NEM-ÉS/NEM-ÉS (NAND-NAND) hálózattal. Egy kétszintű VAGY-ÉS hálózat (összegek szorzata, productof-sums) megvalósítható kétszintű NEM-VAGY/NEM-VAGY (NOR-NOR) hálózattal. Mindez a De Morgan tételeken alapul. 85
LOGIKAI KIFEJEZÉSEK ALGEBRAI ÁTALAKÍTÁSA A következőkben néhány példával illusztráljuk a logikai függvények algebrai átalakítását. Hangsúlyozni kell, hogy a logikai algebra műveleti szabályai eltérnek a szokásos algebra szabályaitól!
86
LOGIKAI ALGEBRAI ÁTALAKÍTÁS (1) Hozzuk egyszerűbb alakra az alábbi kifejezést _ _ Y = AB + AB + ABCD Az A változó kiemelhető, utána a zárójelben lévő kifejezés fokozatosan egyszerűsíthető _ _ _ Y = A(B + B + BCD) = A(1 + BCD) = A Válasz: Y = A
LOGIKAI ALGEBRAI ÁTALAKÍTÁS (2) Hozzuk egyszerűbb alakra az alábbi kifejezést ____ ________ Y = ABC + A + B + C Alkalmazzuk a De Morgan azonosságokat! _ _ _ ___ _ __ _ _ Y = A + B + C + A B C = A(1 + B C) + B + C = _ _ _ =A+B+C
NAND KAPUS REALIZÁLÁS A kétszintű NAND kapus realizálás az alábbi átalakításon alapul (De Morgan szabályok!) ________ ___ ___ _ _ – – Y(A,B,C) = AC + BC = (AC) (BC) A _ C B _ C
X
&
Z X
Y
&
Z
Y
Y X
&
Z
Y
15
2017.02.24.
KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK: ANTIVALENCIA, EKVIVALENCIA
ANTIVALENCIA ÉS EKVIVALENCIA
Függvény neve f(A,B) —————————————————————— 0, 1 Logikai konstansok —
XOR (A ⊕ B ),
—
Egyváltozós függvények
A, A, B, B
AND, OR, NAND, NOR
A•B, A+B, A•B, A+B
——
—
XOR (A⊕B ), XNOR (A B)
Antivalencia (más neve kizáró vagy)
—
Ekvivalencia
———
XNOR (A
——
A B+A B, A B+A B Angolul:
INHIBÍCIÓ (TILTÁS) A ⊃ B, B ⊃ A IMPLIKÁCIÓ (KÖVETKEZTETÉS) A → B, B → A
B)
antivalency (exclusive-or) equivalency vagy coincidence
91
ANTIVALENCIA (XOR) XNOR EKVIVALENCIA (XNOR) A B f62 f92 —————— 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 ——————
ANTIVALENCIA, EXCLUSIVE-OR A B f62 ———— _ _ 0 0 0 f62 = A B + A B 0 1 1 1 0 1 szokásos jelölése: 1 1 0 ———— f62 = A ⊕ B
A két függvény egymás ellentettje (negáltja) ____ A⊕B = A B —
92
—
XOR
f62 = A⊕B = A B+A B,
XNOR
f92 = A B = A B+A B
——
ANTIVALENCIA más néven KIZÁRÓ-VAGY (EXCLUSIVEOR), a függvény akkor 1, ha vagy az egyik, vagy a másik változó 1, és 0, ha mindkét változó egyszerre 0 vagy 1. 93
94
EKVIVALENCIA, EXCLUSIVE-NOR
ANTIVALENCIA
f92
A B ———— __ 0 0 1 f92 = AB + AB 0 1 0 1 0 0 szokásos jelölése: 1 1 1 ———— f92 = A B
A B f62 ————— 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 —————
EKVIVALENCIA (EXCLUSIVE-NOR), a függvény akkor 1, ha mindkét változó egyszerre 0 vagy 1, és akkor 0 ha az egyik, vagy a másik változó 1. 95
Az igazságtáblázat szerint a f62 = A ⊕ B művelet egyben megvalósítja a két bites maradéknélküli bináris összeadás aritmetikai műveletét (”fél összeadó”).
Az antivalencia kapu felfogható egy-bites ”digitális komparátor”-nak is, ha a bemenetére érkező két bit azonos értékű, a kimeneten 0 jelet ad, ha eltérő, akkor 1-et. 96
16
2017.02.24.
EXCLUSIVE-OR, ANTIVALENCIA —
KIZÁRÓ-VAGY
—
A⊕B = A B+A B, ⇒ Az XOR megvalósítja két bit átvitel nélküli összeadását (fél-összeadó). ⇒ Funkcionál mint vezérelt inverter (vezérlőjel: A, feldolgozandó jel: B). ⇒ Funkcionál mint ”páratlanság-vizsgáló”: ha páratlan számú bemeneten van 1, akkor a kimenet 1, ellenkező esetben 0. Itt már implikáltuk az XOR kiterjesztését több bementre (értelmezés az MSz szerint, részletes magyarázat Zsom I, 76-77 old.!)
Az EXCLUSIVE-OR megvalósítása történhet a definiáló Boole algebrai egyenlet alapján NEM, ÉS és VAGY kapukkal, vagy megfelelő átalakítás után NAND kapukkal mint univerzális elemmel. Az TTL és CMOS áramköri családokban van külön kész EXCLUSIVE-OR kapu is.
97
EXCLUSIVE-OR NEM, ÉS, VAGY KAPUS MEGVALÓSÍTÁSA
1. Az XOR a Boole-egyenlet szerint megvalósítása. 2. Az XOR szabványos rajzjele. 3. Az XOR régebbi rajzjele.
98
EXCLUSIVE-OR (ANTIVALENCIA) NAND KAPUS MEGVALÓSÍTÁSA
—
—
——————— —— —— — —
A⊕B = A B+A B = (A B)•(A B) 99
Itt feltételezzük, hogy a negált változók rendelkezésre állnak. 100
EKVIVALENCIA (XNOR) NEM, ÉS, VAGY KAPUS MEGVALÓSÍTÁSA
EXCLUSIVE-NOR: EKVIVALENCIA ——
A B = A B+A B Az igazságtáblázat szerint az XNOR az XOR negáltja. Több változóra való kiterjesztéskor az XNOR függvénynek többféle értelmezése is előfordul! Pl. az MSZ szerint három változó esetén a függvény értéke csak a 0 0 0 és az 1 1 1 bemeneti kombinációkra 1, az összes többire 0. A másik szokásos értelmezés esetén a függvény értéke akkor 1, ha a változók között páros számú 1 van.
101
1. Az XNOR a Boole-egyenlet szerinti megvalósítása. 2. Az XNOR (EKVIVALENCIA) szabványos rajzjele. 3. Az XNOR régebbi rajzjele. 102
17
2017.02.24.
EXCLUSIVE-NOR (EKVIVALENCIA) NAND KAPUS MEGVALÓSÍTÁSA
NOR KAPUS REALIZÁLÁSOK Természetesen mind az ANTIVALENCIA (XOR) mind az EKVIVALENCIA (XNOR) megvalósítható kizárólag NOR kapuk felhasználásával.
A NAND kapus realizálás a De Morgan azonosságok felhasználásával végzett átalakítások eredménye. 103
104
LOGIKAI FÜGGVÉNY MEGADÁSA IGAZSÁGTÁBLÁZATTAL ILLETVE ALGEBRAI ALAKBAN
LOGIKAI FÜGGVÉNYEK MEGADÁSI MÓDJAI A logikai függvény többféle módon megadható, illetve ábrázolható. Az alábbi módokat fogjuk alkalmazni.
i A B C Y _________________ 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 0 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 _________________
1. Igazságtáblázat 2. Algebrai alak 3. Grafikus ábrázolás 4. Szimbolikus jelölés
– – –– – Y(A,B,C) = ABC + ABC + ABC Egy logikai függvény egyértelmű megadása: a független változók összes lehetséges kombinációjához megadjuk a függvénykapcsolat által előírt függvényértéket. Ez az ún. igazságtáblázat. Az ilyen függvénydefiníció egyértelmű.
105
FÜGGVÉNY MEGADÁSA ALGEBRAI ALAKBAN: KANONIKUS ALAK
106
LOGIKAI FÜGGVÉNYEK KANONIKUS ALAKJAI A most következő anyagot egy háromváltozós, teljesen határozott logikai függvény igazságtáblázata fogja illusztrálni,
A logikai függvény megadható oly módon, hogy a logikai műveletek szimbólumaival (ÉS, VAGY és NEM) definiáljuk a logikai függvényt.
az új fogalmakat ennek alapján vezetjük be, és az elméletet is ez alapján építjük fel.
A kombinációs hálózatok tervezésének kiindulási lépése a logikai függvény felírása a megoldandó feladat alapján. Általában az algebrai alak használatos.
A tárgyalásmód Arató Péter (ajánlott) könyvét (Logikai rendszerek tervezése) követi.
Egyazon függvény többféle algebrai alakban is megadható. Közöttük kitüntetett szerepük van az ún. normalizált vagy kanonikus alakoknak. 107
108
18
2017.02.24.
TELJESEN HATÁROZOTT LOGIKAI FÜGGVÉNY (LOGIKAI FELADAT) A B C F ————— 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 —————
LOGIKAI FÜGGVÉNYEK KANONIKUS ALAKJAI
Teljesen határozott logikai függvény megadható azon változókombinációk felsorolásával,amelyekhez F = 1, vagy azokéval amihez F = 0 tartozik. —
—
—
——
A kombinációs hálózatok tervezésénél célszerű az algebrai alakból kiindulni. Mivel egy logikai függvénynek több algebrai alakja is van, olyan speciális tulajdonságú alakot kell keresni, mely olyan, hogy a logikai függvényhez más,
—
F(ABC) = ABC + ABC + ABC + ABC vagy ————
———
——
ilyen tulajdonságú algebrai alak nem rendelhető. Az ilyen alak a logikai függvény normál vagy kanonikus
—
alakja.
F(ABC) = A B C + A BC + ABC + ABC —
F és F egyaránt logikai szorzatok VAGY kapcsolataként adható meg. 109
DISZJUNKTÍV KANONIKUS ALAK (EXTENDED SUM-OF-PRODUCTS)
MINTERM (DEFINICIÓ) A diszjunktív kanonikus alak tagjai neve minterm
A logikai szorzatok logikai összegeként (ÉS-VAGY) képzett algebrai alak kanonikus vagy normál alak. A példa szerinti függvényalak tulajdonságai: — —
—
——
110
—
F(ABC) = ABC + ABC + ABC + ABC
m in
itt n a független változók száma,
i a független változók adott kombinációjának megfelelő bináris szám decimális értéke. — —
- mindegyik szorzat egy olyan független-változó kombináció, melyhez F = 1 tartozik; - mindegyik szorzatban az összes független változó szerepel ponált vagy negált alakban. A teljesen határozott függvénynek csak egy ilyen algebrai alakja van a diszjunktív kanonikus alak. 111
—
——
—
F(ABC) = ABC + ABC + ABC + ABC (emlékeztető: (2) (3) (4) (6) ) F(ABC) = m23 + m33 + m43 + m63 más jelölés: 3 F = Σ (2,3,4,6)
A B C F ————— 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 112
19
