Az ábrázoló geometria célja a térbeli alakzatok meghatározása alakra, nagyságra és helyzetre nézve síkban való ábrázolás által, s ezen ábrázolás alapján a térbeli alakzatra vonatkozó feladatok rajzbeli megoldása. Ábrázoló geometria módszere: VETÍTÉS
centrális vetítés Egy térbeli alakzat pontjait egy végesben fekv® pontból vetítjük egy a pontra nem illeszked® síkra. A síkot képsíknak (Π), a pontot a veítés centrumának (O) nevezzük. A centrális projektció egyértelm¶ leképezés. A centrális ábrázolás egyenestartó. A centrumra illeszked® egyeneseket és síkokat vetít®sugaraknak illetve vetít®síkoknak nevezzük. A keépsíkot használjuk a rajz síkjának. A centrális projekctó az emberi látás természetes általánosítása. Ezért ha a centrális projekciót úgy rendezzök be, hopgy az emberi látás természetes körülményeihez igazodjon képies képet nyerünk (perspektíva).
párhuzamos vetítés A vetít®sugarak egymással párhuzamosak. A vetít®sugárnak a képsíkkal való metszéspontja adja egy pont képét. Ha a vetít®sugarak a kép®síkra mer®legesek, akkor mer®leges (ortogonális), egyebbként pedig ferde (klinogonális) vetítésr®l beszélünk.
Történet: • Az alap és homlokrajz eljárást az építészet szülte. (rómaiak, egyiptomiak, Salamon király - jeruzsálemi templom) • XVI. század Franciaország - bizonyítás nélküli eljárások, szabályok. • Desargues - általános elveket próbál felfedezni a különféle eljárásokban. • Monge teremti meg az ábrázoló geometriát, mint tudományt. Fölfedezi azon általános szabályokat, melyek a különböt® feladatok megoldásának közös alapját adják, s ezeket tudományos rendszerbe foglalta. Az ábrázoló geometriának alapítója, a francia matematikus, tengerészeti miniszter és haditengerészeti szakért® Gaspard Monge (1746-1818) megfogalmazásában a következ® két feladatot kell szolgálnia: Az ábrázoló geometria m¶vészetének két f® tárgya van: Az els® a háromdimenziós testek szabatos ábrázolása a kétdimenziós rajzlapon úgy, hogy a rajz alapján a testek pontosan meghatározhatóak legyenek. Ebb®l a szempontból ez a nyelv a szellem emberének szükségeltetik, aki kigondol egy tervet azok számára, kiknek feladata a kivitelezés irányítása, és végül a mesterembereknek, akik munkája a különböz® részek megvalósítása. Az ábrázoló geometria második feladata mindannak kikövetkeztetése a testek pontos leírásából, ami szükségszer¶en adódik formáikból és helyzetükb®l. Ebben az értelemben ez az igazság keresését jelenti; örökösen példákat nyújt az 1
ismertb®l az ismeretlenbe történ® átjárásra; és mivel ez mindig a legelemibb formájú tárgyakra alkalmazható, szükséges bevezetése a nemzeti tantervbe..." Az ábrázoló geometria önálló tudományágként Monge tevékenysége óta létezik. Érdekes módon célkit¶zései, alapelvei, módszerei a francia forradalom által megreformált iskolarendszerben egyre hangsúlyosabb szerepet kapó, mer®ben új szemlélet¶ tantárgy el®adásanyagából származnak. E tantárgyat még jóval a forradalom el®tt Ábrázoló geometria néven Monge vezette be a mérnökképzés rendszerébe. Az 1748-ban alapított mézieres-i katonai akadémia tanársegédjeként 1768 és 1789 között er®dítéstant oktatott. El®adásai keretében dolgozta ki önálló ábrázolási rendszerét, amelyet az általános geometriától való megkülönböztetés jeleként ábrázoló (vagy más szóval fordítva leíró) geometriának nevezett. A k®faragók és ácsmesterek által alkalmazott rajzi módszerek vizsgálatával kezdte munkáját, és els® ábrázoló geometriai elveit is e két területen próbálta ki. Az addigi bonyolultabb és hosszadalmas ábrázolási módszerek helyett az áttekinthet®bb és egyszer¶bb, ma Monge-rendszerként ismert kétképsíkos ábrázolást ajánlotta. El®adásai már egy kiadható könyv terjedelmére rúgtak, ám annak publikálását a hatóságok, haditoknak nyilváníttatva, megtiltották. El®adásai el®ször 1795-ben jelentek meg Géométrie Descriptive címmel. Az ábrázoló geometria önálló tudományággá szentelése Monge tanítványainak és közvetlen követ®inek tevékenységén keresztül teljesedett be. Monge ábrázoló geometriája er®sen elméleti, tudományos alapokról építkez® rendszer volt, amely a francia nemzeti m¶szaki rajzoktatás tantárgyaként számos követ®re talált: ugyanabban az id®ben az esztétizáló, lozo kus jelleg¶ német természettudományos kutatás is szívesen fogadta, s®t, a napóleoni id®kben Egyiptomban is kiadták, Itáliában pedig már 1804-ben megjelent els® fordítása. A brit rajzoktatásban azonban néhány elszigetelt kísérlet24 után sem történt meg a Monge-rendszer teljes adaptálása. A francia kétképsíkos rendszer párjaként önállóan dolgozták ki az ortogra kus - úgyszintén mer®leges vetületekkel operáló - projekció (vetítés) elveit, amelynek els® rendszeres leírását 1857-ben William Binns adta. Újdonságértéke, miként Monge Ábrázoló geometriájáé is, abban rejlik, hogy az addig tapasztalati úton szerzett ismereteket rendszerezte és pontosította.
1. Axonometria A m¶szaki és az azzal összefüggésben álló építészeti rajzoknak kétféle kívánalomnak kell eleget tenniük. Képeiken az ábrázolandó tárgy rajza legyen szemléletes és olyan világos információkat nyújtson, amelyek lehet®vé teszik az eredeti tárgy egyértelm¶ rekonstrukcióját. Az els® látásra értelmezhet®, egynézet¶ képek a szemléletességre (perspektíva, axonometria), a többnézet¶, két2
vagy többképsíkos rendszerek a rekonstrukció pontosságára törekednek (Mongerendszer, ortogra kus projekció). A többnézet¶ rajzok, bármilyen logikusan és következetesen felépített ábrázolási rendszerben legyenek is el®állítva, mindig nehezen értelmezhet®k els® látásra. Az imént körülírt rajzolvasási igény kett®sségéb®l fakadóan a XIX. század els® felében egy angol matematikus-tanár dolgozta ki az általa izometrikus-nak elnevezett perspektíva elveit, amely egyben az axonometria mint önálló ábrázolási rendszer történetének a kezd®pontját is jelenti. William Farish 1822-ben megjelent On Isometrical Perspective cím¶ m¶vében a képiesség igényének eleget téve rendszerét egy szintén a képiesség követelményét maradéktalanul kielégít® hagyomány, a centrális perspektíva elméleti továbbgondolásával alakította ki. Az axonometrikus kép szemléletesség szempontjából felveheti a versenyt a centrális vetítéssel szerkesztett képpel, s®t a m¶szaki rajzolás területén a re-konstruálhatóság követelményének megfelelve értékesebb leképezésnek min®sül, mint az utóbbi. Ám a XIX. század er®sen perspektíva alapú szemlélete miatt a század végéig nem válhatott sem az építészeti rajzok, sem a m¶alkotások alapvet® képalkotási eszközévé. A XIX. századi m¶szaki rajzolásban el®szeretettel alkalmazták az axonometriát gépek, szerkezetek bemutatására, és az építészeti rajz sem haladt túl a szerkezeti elemek ilyenfajta megjelenítésén, az ábrázolást nem terjesztette ki az épületek látképeinek el®állítására. Az axonometria az építészeti rajzok egységes ábrázolási eszközeként els®ként August Choisy 1870-es, 1880-as években kiadott építészettörténeti összefoglalóiban jelent meg jellegzetes szerkezeti elemek, csomópontok illusztrálására.
Alapfogalmak: A geometria a térbeli alakzatok tulajdonságaival foglalkozik. térelemek: pont (A, B, C, . . . ), egyenes (a, b, c, . . . ), sík (α, β, γ, . . . ) 1. Két ponton keresztül egyetlen egyenes húzható. 2. Három nem kollineáris pontra egyetlen sík fektethet®. 3. Ha egy egyenes két pontja illeszkedik egy síkra, akkor az egyenes minden pontja illeszkedik a síkra. 4. Egy ponton keresztül egy egyenessel egy és csak egy párhuzamos húzható. Térelemek kölcsönös helyzete: 1. pont-pont (a) különböz®k (b) egybees®k 3
2. pont-egyenes (a) illeszked® (b) nem illeszked® 3. egyenes-egyenes (a) egybees®k (b) metsz®k (közös síkjuk van) (c) párhuzamosak (közös síkjuk van) (d) kitér®k 4. pont-sík (a) illeszked® (b) nem illeszked® 5. egyenes sík (a) illeszked® (b) metsz® (metszéspont) (c) párhuzamos 6. sík-sík (a) illeszked®k (b) metsz®k (metszésvonal-ha van közös pont, akkor van közös egyenes) (c) párhuzamosak
Axonometrikus ábrázolás: A térbeli alakzatok képének az axonometrikus tengelykereszt segítségével való meghatározását axonometriának nevezik. Három egymásra mer®leges képsík egy térbeli derékszög¶ koordinátarendszert határos meg. A három síkot koordinátasíknak, a metszésvonalaikat koordinátatengelyeknek (x, y, z ) nevezzük. A koordinátatengelyek közös pontja a koordinátarendszer kezd®pontja (O). Az egységpontok Ex , Ey , Ez . Ahoz, hogy egy pont képét a koordinátatengelyekhez képest jellemezzük a ponton keresztül a koordinátasíkokkal párhuzamos síkokat fektetünk. A P pont három képe P 0 , P 00 , P 000 , tengelyképei Px , Py , Pz . A pont koordinátáit OPx , OPy , OPz adja. Ha felveszünk egy új képsíkot (A¯)- axonometrikus képsík- mely egyik tengellyel sem párhuzamos, megkeressük a tengelyek vetületét (x ¯, y¯, z¯), meghatározzuk az ¯x , E ¯y , E ¯z ). egységpontok vetületeit (E
¯ E ¯x , E ¯y , E ¯z kon gurációt axonometrikus tengelykereszt nek nevezzük. Az O, 4
Theorem 1 A tér axonometrikus leképezését egy A¯ síkra meghatározhatjuk a
¯ kezd®pontjának és E ¯x , E ¯y , E ¯z egységpontjainak megatérbeli tengelykereszt O dásával. (E négy pontot tetsz®legesen vehetjük fel, az egyetlen megkötés, hogy a négy pont különbözzön egymástól.)
Négy tetsz®legesen felvett pont a tér axonometrikus leképezését egy síkra egyértelm¶en meghatározza. Pont képeinek megrajzolása: az axonometrikus képet a tengelypontokból, a koordináta hasáb kiegészítésével nyerjük. A koordináta hasáb élei párhuzamosak a megfelel® tengelyekkel.
Theorem 2 (Az axonometria alaptétele) Egy alakzat axonometrikus képe mindíg tekinthet® az alakzat parallel projekciója a n megfelel®jének.
Theorem 3 Egy alakzat axonometrikus képe az alakzat normál projekciójának a n megfelel®jének tekinthet®.
Theorem 4 (Pohlke tétel) Egy alakzat minden axonometrikus képe hasonló az alakzat párhuzamos projekciójához.
Theorem 5 Egy sík három egy O0 pontból kiinduló, tetsz®leges irányú és hoss-
zúságú O0 Ex0 , O0 Ey0 , O0 Ez0 szakasza mindíg tekinthet® három egymásra mer®leges és egyenl® távilságokból álló O(Ex , Ey , Ez ) tengelykereszt parallel projekciójának 0 feltéve, hogy az O0 , EX , Ey0 , Ez0 pontok közül legfeljebb csak három esik egy egyenesbe. Az axonometrikus tengelykereszt tetsz®legesen felvehet®. A gyakorlatban az alábbi kon gurációk használatosak.
isometrikus axonometria A tengelykereszt tetsz®leges és O0 Ex0 = O0 Ey0 = O0 Ez0 = 1.
katona perspektíva x0 , y 0 egymásra mer®legesek és O0 Ex0 = O0 Ey0 = 1. Az alaprajz valódi nagyságban látszik.
Kavalier-perspektíva y 0 , z 0 egymásra mer®legesek és O0 Ey0 = O0 Ez0 = 1. Kavalier-perspektíva A képsíkot azonosítjuk az yz koordináta síkkal. Az y és z tengelyek képein a távolságok eredeti nagyságban látszanak. Az x tengelyen megadjuka rövidülést:
qx =
¯x OE . OEx
A rövidülésb®l meghatározható a vetít®sugár iránya. 5
Theorem 6 A térbeli alakzat kavalier-perspektívája az alakzat ferde parallel projekciójának tekinthet®.
Ahoz, hogy az alakzatok egyértelm¶en visszaállíthatók legyenek, a tárgyaknak a koordináta síkokon lev® ortogonális vetületének a parallel projekcióját is el®állítjuk a képsíkon (els®, második és harmadik képek).
Pont ábrázolása: Az axonometrikus ábrázolásban a pont két-két rendez®je egymást a megfelel® tengelyben metszi. Az axonometrikus kép bármely másik képpel együtt valamelyik tengellyel párhuzamos egyenesre illeszkedik. Pont két képe tetsz®legesen felvehet®. Adott koordinátájú pont ábrázolása, pont térbeli visszaállítása.
Egyenes ábrázolása: 1. Két ponja segítségével. 2. Nyompontok segítégével. Egyenes két képe tetsz®legesen felvehet®.
6
Ábrázoló Geometria
Feladatsor
Axonometria 1. Adott egy ABC háromszög, továbbá egy sík nyomvonalaival. Szerkesszük meg a sík és a háromszög áthatását (metszésvonal)! 2. Adott egy ABC háromszög axionometrikus és els® képével, továbbá egy a egyenes els® és harmadik képeivel. SZerkesszük meg a háromszög és az egyenes döféspontját! 3. Adott két egyenes a, b, melyek metsz® helyzet¶ek. Vegyünk fel olyan síkot, amely a két egyenes által meghatározott síkkal párhuzamos! 4. Adott két sík α, β nyomvonalaival. Vegyünk fel az α síkban egy a, a β síkban egy b egyenest úgy, hogy a és b a két sík metszésvonalán messék egymást!
7
