Astronomická emise České pošty

ROK ASTRONOMIE Astronomická emise České pošty Zdeněk Janout, Ústav technické a experimentální fyziky ČVUT, Praha Abstract. On the occasion of the International Year of Astronomy 2009, the Czech Post issued a postage stamp commemorating the 400th anniversary of the publication of Kepler’s work Astronomia nova. The postage stamp portrays Johannes Kepler and schematically explains his first and second law of planetary motion. The first day cover was issued as well.

V letošním roce si astronomové připomínají dvě významná jubilea s číslovkou 400. Tolik let už uplynulo od vydání nejslavnějšího pražského Keplerova spisu Astronomia nova, v němž uvedl své první dva zákony pohybu planet; podle prvního se planety pohybují po elipsách, v jejichž jednom ohnisku je Slunce; druhý konstatuje, že v přísluní se planety pohybují rychleji než v odsluní. A stejně dlouho je používán dalekohled k pozorování hvězdné oblohy. První objevy pomocí dalekohledu zveřejnil roku 1610 Galileo Galilei ve svém spise Hvězdný posel. Popsal v něm zvrásněný povrch Měsíce, Mléčnou dráhu jako shluk malých hvězd, fáze planety Venuše, Jupiterovy měsíce i podivný tvar planety Saturn. Na počest Galileiových objevů vyhlásila Mezinárodní astronomická unie spolu s OSN a UNESCO rok 2009 Mezinárodním rokem astronomie. O aktivitách českých astronomů a institucí se čtenář dočte v článku Aleny Šolcové Galileo, Kepler a letošní Mezinárodní rok astronomie – 2009“, ” který byl publikován v prvním čísle Rozhledů letošního ročníku [1]. Česká pošta vydala 6. května 2009 k této příležitosti poštovní známku v nominální hodnotě 17 Kč, která připomíná čtyřsté výročí vydání Keplerova spisu Astronomia nova [2]. Ve známkovém obrazu je portrét Johannesa Keplera (1571–1630) a schematické znázornění jeho prvního a druhého zákona o eliptické dráze a rychlosti pohybu planet kolem Slunce. Známka je doplněna logem EUROPA a texty Johannes Kepler – Astronomia nova 1609 – Mezinárodní rok astronomie 2009. Známka je čtvercového tvaru (38 mm × 38 mm), tiskové listy mají aršíkovou úpravu (obr. 1), náklad je 210 tisíc. Poznamenejme, že od vzniku České republiky je to již čtvrtá známka věnovaná astronomii (Tycho Brahe (1996), 100. výročí založení hvězdárny v Ondřejově (1998), 100. výročí Národního technického muzea v Praze – Astronomický teodolit (2008)). Ročník 84 (2009), číslo 4

1

ROK ASTRONOMIE

Obr. 1

Na obálce prvního dne vydání (obr. 2) je kresba bohyně astronomie Uranie podle detailu z výzdoby Keplerovy knihy Astronomia nova. V příležitostním razítku je graficky ztvárněn pohled do dalekohledu a text PRAHA 6. 5. 2009. Autorem výtvarných návrhů emise je akademický malíř Jan Ungrád, s nímž rytecky spolupracoval Bohumil Šneider. Inaugurace poštovní známky se uskutečnila, za přítomnosti autora výtvarného návrhu, dne 24. srpna 2009 v Národním technickém muzeu u příležitosti mezinárodní konference Keplerův odkaz v kosmickém ” věku“ (24.–27. 8. 2009). Na téže konferenci byla dána tisková informace o otevření Keplerova muzea v Praze [3], které bylo slavnostně otevřeno 25. srpna 2009 v ulici Karlova 4, Praha 1, v domě, kde geniální astronom strávil posledních pět let pražského pobytu (1607–1612). Jde o zajímavou expozici, která návštěvníkovi přiblíží život Johannesa Keplera, jeho dílo a osobnost. Jelikož Asociace veřejných evropských poštovních operátorů doporučila pro letošní rok svým členům za společné téma známky EUROPA astronomii, vydává řada evropských států známky s tímto námětem. Vyobrazení dosud vydaných známek, jejichž počet se blíží padesáti, lze nalézt na internetu [3]. Na mnoha z nich je portrét Galileo Galilea (Gibraltar, 2

Rozhledy matematicko-fyzikální

ROK ASTRONOMIE

Lucembursko, Indonésie, Kazachstán, Malta, Maďarsko, Ukrajina). Vydané známky, včetně aršíků a obálek prvního dne vydání, se jistě stanou předmětem sběratelského zájmu a dá se očekávat, že některý fyzik-filatelista z nich sestaví exponát Mezinárodní rok astronomie – ” 2009“, který bude vystavován na filatelistických výstavách či při různých příležitostech. Literatura [1] Šolcová, A.: Galileo, Kepler a letošní Mezinárodní rok astronomie – 2009. Rozhledy matematicko–fyzikální 84, č. 1 (2009), s. 3–5.

[2] Hodková, H.: Letošní emise EUROPA vzhlíží ke hvězdám. Filatelie 59, č. 5 (2009), s. 8.

[3] www.KeplerovoMuzeum.cz [4] http://europa-cept.blogspot.com/

Obr. 2: Obálka prvního dne vydání

Ročník 84 (2009), číslo 4

3

MATEMATIKA Kleinova čtyřgrupa František Katrnoška, Ústav matematiky, VŠCHT Praha Michal Křížek, Matematický ústav AV ČR, Praha Abstract. The article deals with properties of the Klein Four-Group and its occurrences not only in mathematics.

V letošním roce si připomínáme 160. výročí narození Felixe Christiana Kleina (1849–1925). Po tomto význačném německém matematikovi je pojmenována např. známá neorientovatelná plocha – Kleinova láhev, dále Kleinova kvadrika, Kleinův prostor, Beltramiho–Kleinův model Lobačevského geometrie a také Kleinova čtyřgrupa (viz [4]). Felix Klein se narodil v D¨ usseldorfu. Po absolvování univerzity v Bonnu začal spolupracovat s norským geometrem S. Liem (1842–1899). Společně studovali nové směry v geometrii a teorii invariantů. V roce 1872 nastoupil Klein na univerzitu v Erlangen. Zde se již ve svých 23 letech proslavil svou profesorskou přednáškou: Srovnávací úvahy o novějších geometrických bádáních, která vstoupila do dějin matematiky pod názvem Erlangenský program. V ní poukázal na vztah mezi geometrií a teorií grup a navrhl studovat vlastnosti geometrických objektů pomocí invariantů grup transformací definovaných na těchto objektech. Klein dále působil v Mnichově, Lipsku a na slavné univerzitě v G¨ ottingen. V tomto článku mimo jiné ukážeme, jak spolu souvisí molekula vody a množina {1, 3, 5, 7} s operací násobení modulo 8. Tyto objekty nemají zdánlivě nic společného. Pomocí teorie grup ale ukážeme, že společné vlastnosti mají. Připomeňme si nejprve definici grupy. Nechť G je neprázdná množina s binární operací ◦. Řekneme, že dvojice (G, ◦) je grupa, jestliže platí: 1) (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) pro všechna f, g, h ∈ G, 2) existuje prvek e ∈ G takový, že e ◦ g = g = g ◦ e pro všechna g ∈ G, 3) ke každému prvku g ∈ G existuje prvek g −1 ∈ G tak, že g ◦ g −1 = e = g −1 ◦ g. Prvek e se nazývá neutrální a g −1 inverzní prvek k g v G. Vlastnosti 1) se říká asociativita. Pod binární operací ◦: G×G → G si můžeme představit např. operaci sčítání +, násobení ×, skládání zobrazení ◦ apod. 4


MATEMATIKA

Například množina všech celých čísel Z s operací + je grupou, množina kladných reálných čísel R+ s operací × je grupou a množina všech otočení v rovině kolem pevného bodu s operací skládání ◦ je také grupou. To jsou příklady nekonečných grup. Řekneme, že (G, ◦) je konečná grupa, jestliže množina G má jen konečný počet prvků. Řád konečné grupy je počet prvků G. Například množina G = {1, i, −1, −i} (1) s operací násobení komplexních čísel je konečná grupa řádu čtyři. Konečnou grupu lze definovat pomocí tzv. Cayleyho tabulky pojmenované na počest vynikajícího anglického matematika Arthura Cayleyho (1821–1895). Nechť (G, ◦) je grupa řádu n, kde G = {g1 , g2 , . . . , gn }. Cayleyho tabulka grupy (G, ◦) je čtvercové schéma takové, že prvek nalézající se v průsečíku řádku označeného gi a sloupce označeného gj je roven gi ◦gj pro i, j ∈ {1, 2, . . . , n} a jsou splněny axiomy grupy. Uveďme si např. Cayleyho tabulku pro grupu (1) s operací násobení × (tab. 1): ×

1

i

−1

−i

1

1

i

−1

−i

i

i

−1

−i

1

−1

−1 −i

1

i

−i

−i

i

−1

1 Tab. 1

Klíčovým pojmem v dalším výkladu je izomorfie grup. Řekneme, že grupy (G1 , ◦) a (G2 , ∗) jsou izomorfní, jestliže existuje vzájemně jednoznačné zobrazení F : G1 → G2 takové, že 1) F (f ◦ g) = F (f ) ∗ F (g) pro všechna f, g ∈ G1 a 2) F (e1 ) = e2 , kde e1 , resp. e2 je neutrální prvek v (G1 , ◦), resp. (G2 , ∗). Uveďme si jednoduchý příklad. Symbolem (R, +) označme grupu všech reálných čísel s binární operací sčítání. Pak jsou grupy (R+ , ×) a (R, +) izomorfní pro zobrazení F (x) = log x, x ∈ R+ . V příkladech 1–5 uvedeme 5 vzájemně izomorfních grup konečného řádu. Neizomorfní grupy nemají stejnou algebraickou strukturu, a proto jsou různé. Izomorfní grupy naopak za různé pokládat nebudeme. Protože Ročník 84 (2009), číslo 4

5

MATEMATIKA

mají stejnou algebraickou strukturu, budeme je považovat za vzájemně ekvivalentní. Pojem grupy je v matematice velice důležitý. Svědčí o tom např. skutečnost, že funkce udávající počet vzájemně neizomorfních grup o n prvcích je ve Sloanově encyklopedii celočíselných posloupností [8] uvedena jako první pod číslem A000001. Tato funkce nabývá pro přirozená čísla 1, 2, 3,. . . postupně následující hodnoty: 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, . . . ,

(2)

přitom hodnotu 1 dostáváme pouze v případě, že všechny grupy daného řádu n jsou vzájemně izomorfní. Z (2) je tedy patrno, že existují právě dvě různé neizomorfní grupy o čtyřech prvcích. Jejich Cayleyho tabulky jsou tyto (tab. 2, tab. 3): ∗

e

a

b

c

◦

e

a

b

c

e

e

a

b

c

e

e

a

b

c

a

a

b

c

e

a

a

e

c

b

b

b

c

e

a

b

b

c

e

a

c

c

e

a

b

c

c

b

a

e

Tab. 2 Tab. 3 Vidíme, že grupa definovaná tab. 1 je izomorfní s grupou definovanou tab. 2. Zaměníme-li v tab. 1 symboly ×, 1, i, −1, −i postupně za symboly ∗, e, a, b, c, dostaneme tab. 2. Grupa daná tab. 1 či 2 se nazývá cyklická. Tab. 3 však definuje jinou (neizomorfní) grupu, protože třetí a pátý řádek tab. 3 se liší od tab. 2. Grupa definovaná tab. 3 se nazývá Kleinova čtyřgrupa. V dalším pro jednoduchost pišme a2 = a ◦ a. Z tab. 3 je patrno, že a2 = b2 = c2 = e, a◦b = b◦a = c, a◦c = c◦a = b, b◦c = c◦b = a. (3) Tyto vztahy lze snadno prověřit v následujících pěti příkladech. Příklad 1. Kleinova čtyřgrupa je izomorfní s grupou symetrií obdélníku (obr. 1), ale i kosočtverce. Proto se jí také někdy říká rombická grupa (viz [4] a [6]). Má následující čtyři prvky: 1) identitu e, 2) souměrnost a podle vodorovné osy, 6


MATEMATIKA

3) souměrnost b podle svislé osy, 4) otočení c kolem středu o 180◦ a operaci skládání zobrazení ◦ (viz [9]). o O σ

H Obr. 1

H Obr. 2

Příklad 2. Grupa symetrií trojrozměrné molekuly vody H2 O je také izomorfní s Kleinovou čtyřgrupou (viz [1]). Má tyto prvky (obr. 2): 1) identické zobrazení, 2) otočení molekuly o 180◦ kolem svislé osy o, 3) souměrnost podle roviny procházející středy atomů vodíku a kyslíku, 4) souměrnost podle roviny σ kolmé na a procházející osou o. Grupovou operací je opět skládání zobrazení ◦. Některé další molekuly mají stejnou grupu symetrií (viz [2]). Příklad 3. Kleinovu grupu lze sestrojit též jako grupu čísel 1, 3, 5, 7 modulo 8 s operací násobení ×. Můžete si snadno prověřit, že odpovídající Cayleyho tabulka je tab. 4 (srov. tab. 3): ×

1

3

5

7

1

1

3

5

7

3

3

1

7

5

5

5

7

1

3

7

7

5

3

1

Tab. 4 Příklad 4. Označme A = (−1, 1), B = (−1, −1), C = (1, −1) a E = (1, 1) body v rovině. Definujme mezi nimi násobení po jednotlivých souřadnicích takto: (x1 , y1 ) ∗ (x2 , y2 ) = (x1 · x2 , y1 · y2 ) pro všechna x1 , x2 , y1 , y2 ∈ {−1, 1}. Ročník 84 (2009), číslo 4

7

MATEMATIKA

Pak se opět můžeme snadno přesvědčit, že prvky A, B, C, E tvoří Kleinovu čtyřgrupu s operací ∗. Příklad 5. Podle Cayleyovy věty je každá grupa o n prvcích izomorfní nějaké podgrupě grupy permutací n prvků (podrobnosti viz [7, str. 126]). Snadno nahlédneme, že následující permutace čtyř prvků 1 2 3 4 1 2 3 4 e= , a= , 1 2 3 4 2 1 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 b= , c= 2 1 4 3 1 2 4 3 zase tvoří Kleinovu čtyřgrupu s operací ◦ skládání permutací, přičemž např. permutace a označuje, že první dva prvky se prohodí, zatímco pořadí zbylých dvou prvků se nezmění. Dále vidíme, že 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 = c. a◦b= ◦ = 2 1 3 4 2 1 4 3 1 2 4 3 Analogicky lze odvodit i další vztahy dané rovnostmi v (3). Podobných příkladů je celá řada. I když spolu zdánlivě nesouvisí, jedno mají společné: Cayleyho tabulka je při vhodném označení prvků grupy vždy shodná s tab. 3. V tom právě spočívá kouzlo matematiky, která nám umožňuje odhlédnout od nepodstatných věcí. Řekneme, že grupa (G, ◦) je komutativní, jestliže f ◦ g = g ◦ f pro všechna f, g ∈ G. Z tab. 3 vidíme, že Kleinova čtyřgrupa je komutativní. Platí dokonce mnohem obecnější tvrzení (viz [7, str. 531]): Věta (Burnsidova). Každá konečná grupa, jejíž počet prvků je druhá mocnina prvočísla, je komutativní. Dokažme si ještě následující větu (srov. (3)): Věta. Jestliže pro každý prvek g ∈ G je g 2 = e, pak G je komutativní. Důkaz: Nechť f, g ∈ G. Pak podle předpokladu (f ◦ g)(f ◦ g) = e. Odtud dostáváme složením s prvkem f zleva a s prvkem g zprava f ◦ (f ◦ g) ◦ (f ◦ g) ◦ g = f ◦ g. Z asociativity dále plyne, že (f ◦ f ) ◦ (g ◦ f ) ◦ (g ◦ g) = f ◦ g, a tedy g ◦ f = f ◦ g. 8


MATEMATIKA

S grupami se setkáváme doslova na každém kroku, všude tam, kde se vyskytuje nějaká symetrie. Díky symetriím se řada komplikovaných výpočtů značně zjednodušuje. Cayleyho tabulka Kleinovy čtyřgrupy má podobnou strukturu jako některá čtvercová schémata charakterizující bodovou mutaci v genetice (podrobnosti viz [3, s. 185]). Teorie grup má ale celou řadu dalších aplikací ve fyzice a chemii (viz [1], [2], [6], [9]). Zkuste si dokázat, že grupa všech permutací tří prvků řádu 3! = 6 není komutativní. Na závěr ještě poznamenejme, že v roce 2008 byla udělena Abelova cena právě za teorii nekomutativních grup (viz [5]). Poděkování. Autoři děkují doc. RNDr. A. Šolcové, Ph.D., za cenné připomínky. Práce byla podpořena grantem IAA 100190803 GA AV ČR.

Literatura [1] Belger, M., Ehrenberg, L.: Theorie und Anwendung der Symmetriegruppen. Teubner, Leipzig, 1981.

[2] Bishop, M. D.: Group Theory and Chemistry. Clarendon Press, Oxford, 1973.

[3] Katrnoška, F.: Latinské čtverce a genetický kód. Pokroky mat. fyz. astronom. 52 (2007), s. 177–187.

[4] Klein, F. A.: Vorlesungen u¨ber das Ikosaeder und die Auflösung der Gleinchungen vom f¨ unften Grade. Leipzig, 1884, s. 12–13.

[5] Křížek, M., Somer, L.: Abelova cena v roce 2008 udělena za objevy v teorii neabelovských grup. Pokroky mat. fyz. astronom. 53 (2008), s. 177–187.

[6] Ljubarskij, G. Ja.: Teorija grupp i ee primenenie v fizike. GITTL, Moskva, 1957.

[7] Mac Lane, S., Birkhoff, G.: Algebra. Alfa, Bratislava, 1973. [8] Sloane, N. J. A.: The on-line encyclopedia of integer sequences. 2007, http://www.research.att.com/~njas/sequences/

[9] Wigner, E. P.: Groups Theory and Its Applications to The Quantum Mechanics of Atomic Spectra. Academic Press, New York, London, 1959.

Správne odpovede k článku Číselné úlohy roku 2009“: ” 1. C – 2. B – 3. A – 4. C – 5. D – 6. B – 7. C – 8. A – 9. B – 10. E


9

MATEMATIKA

Matematika v chemii Jana Strádalová, SPŠST Panská, Praha Abstract. Reduction and oxidation represent one type of processes around us. Reduction-oxidation reactions can be described by a chemical equation. The law of mass conservation dictates that the number of atoms of an element on the left hand side of the equation equals the number of atoms of this element on the right hand side. The stoichiometric numbers of a balanced equation need to be determined. This can be done either by means of oxidation numbers of individual elements or by solving a system of linear equations.

Všechny děje, které kolem nás neustále probíhají, můžeme popisovat různými způsoby. Jeden z nich je pomocí chemické rovnice. Mezi děje patří i děje oxidačně-redukční, takže jedním z typů chemických rovnic jsou oxidačně-redukční rovnice. Při oxidačně-redukčních dějích dochází ke změně oxidačního čísla jednoho nebo více prvků. Oxidace je děj, při kterém prvek zvyšuje své oxidační číslo (formálně odevzdává elektrony), při redukci naopak své oxidační číslo snižuje (formálně přijímá elektrony). Počet formálně přijímaných elektronů musí být roven počtu odevzdávaných elektronů. Koeficienty oxidačně-redukčních rovnic určujeme právě ze změn oxidačních čísel (tedy počtu vyměněných elektronů). Příkladem oxidačně-redukční rovnice je zápis děje, při kterém reaguje síran vápenatý s uhlíkem za vzniku oxidu vápenatého, oxidu siřičitého a oxidu uhličitého [1, 2, 3]: 0 II -II IV -II + SIV O-II CaII SVI O-II 4 + C → Ca O 2 + C O2

C →C

IV

6−4=2

4

4−0=4

2

−→

0

−→

SVI → SIV

Počet vyměňovaných elektronů zjistíme tak, že od vyššího oxidačního stupně odečteme oxidační stupeň nižší. Použitím křížového pravidla zjistíme koeficienty, které budeme doplňovat. Koeficient 4 budeme doplňovat tam, kde se vyskytuje SVI a SIV . Koeficient 2 tam, kde se vyskytuje C0 a CIV . Takže před CaSO4 a před SO2 jsme napsali koeficient 4, před C a CO2 koeficient 2. Potom jsme dopočítali koeficient u CaO: 0 II -II IV -II 4 · CaII SVI O-II + 4 · SIV O-II 4 + 2 · C → 4 · Ca O 2 + 2 · C O2

10


MATEMATIKA

Protože všechny koeficienty jsou sudá čísla, můžeme je zkrátit dvěma. Potom dostaneme tento tvar: 2 · CaSO4 + C → 2 · CaO + 2 · SO2 + CO2 Správnost řešení zjistíme porovnáním počtu atomů jednotlivých prvků na obou stranách rovnice. S chemickými rovnicemi lze zacházet jako s rovnicemi matematickými. Převádíme vlastně chemickou rovnici na soustavu lineárních rovnic. Ta bude mít kromě nulového řešení (které nás nezajímá) neomezený počet jednoznačných řešení [4]. Takže první rovnici lze vyřešit tak, že před jednotlivé molekuly napíšeme neznámé koeficienty: a · CaSO4 + b · C → c · CaO + d · SO2 + e · CO2 Porovnáním koeficientů u jednotlivých prvků dostaneme soustavu rovnic: pro Ca: a=c pro S: a=d pro O: 4a = c + 2d + 2e pro C: b=e Zvolíme-li a = 2, dostaneme c = 2, d = 2, e = 1, b = 1. Získané koeficienty doplníme do rovnice: 2 · CaSO4 + C → 2 · CaO + 2 · SO2 + CO2 Správnost řešení zjistíme porovnáním počtu atomů jednotlivých prvků na obou stranách rovnice. Dalším příkladem oxidačně-redukčního děje je reakce kyseliny tellurové a oxidu siřičitého za vzniku telluru a kyseliny sírové [1, 2, 3]: IV -II 0 I VI -II HI6 TeVI O-II 6 + S O2 → Te + H2 S O4

S

VI

→S

6−0=6

2

6−4=2

6

−→

IV

−→

TeVI → Te0

Počet vyměňovaných elektronů zjistíme tak, že od vyššího oxidačního stupně odečteme oxidační stupeň nižší. Použitím křížového pravidla zjistíme koeficienty, které budeme doplňovat. Koeficient 2 budeme doplňovat tam, kde se vyskytuje TeVI a Te0 . Koeficient 6 budeme doplňovat tam, Ročník 84 (2009), číslo 4

11

MATEMATIKA

kde se vyskytuje SIV a SVI . Takže před H6 TeO6 a Te napíšeme 2, před SO2 a H2 SO4 napíšeme 6. Potom dostaneme: IV -II 0 I VI -II 2 · HI6 TeVI O-II 6 + 6 · S O2 → 2 · Te + 6 · H2 S O4

Protože všechny koeficienty jsou sudá čísla, můžeme je zkrátit dvěma. Pak dostaneme tento tvar: H6 TeO6 + 3 · SO2 → Te + 3 · H2 SO4 Správnost řešení zjistíme porovnáním počtu atomů jednotlivých prvků na obou stranách rovnice. Pokud budeme řešit chemickou rovnici pomocí soustav rovnic, tak opět před jednotlivé molekuly napíšeme neznámé koeficienty a získáme tento tvar: a · H6 TeO6 + b · SO2 → c · Te + d · H2 SO4 Porovnáním koeficientů u jednotlivých prvků dostaneme soustavu rovnic: pro H: 6a = 2d pro Te: a=c pro O: 6a + 2b = 4d pro S: b=d Zvolíme-li a = 2, dostaneme c = 2, d = 6, b = 6. Koeficienty můžeme zkrátit a získané koeficienty doplníme do rovnice: H6 TeO6 + 3 · SO2 → Te + 3 · H2 SO4 Správnost řešení zjistíme porovnáním počtu atomů jednotlivých prvků na obou stranách rovnice. Literatura [1] Klikorka, J., Hanzlík, J.: Názvosloví anorganické chemie. Academia, Praha, 1987.

[2] Mikulčák, J., Klimeš, B., Široký, J., Šůla, V., Zemánek, F.: Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy. Prometheus, Praha, 1995.

[3] Mareček, A., Honza, J.: Chemie – sbírka příkladů pro studenty středních škol. Proton, Brno, 2001.

[4] Motl, A.: Obecná chemie – výpočty pro jaderné chemiky. ČVUT, Praha, 2004.

12


FYZIKA Fyzika je všude kolem nás David Kordek, UHK, Hradec Králové Abstract. Any process occurring in nature can be described by physical laws. We do not have to describe only the motion of a mass point or of a block on an inclined plane, and the like. The problems can include, provided certain simplification, descriptions of quite real situations that students encounter in their everyday life.

Někteří učitelé ve škole při hodinách tvrdí, že fyzikální zákony popisují život kolem nás, a proto jsou důležité pro všeobecné vzdělání. Určitě mají pravdu. Podívejme se na několik problémů, které bychom jen obtížně vyřešili bez fyzikálního poznání. Příklad 1. Tenisté při podání odpalují“ míček dosti značnou rychlostí. ” Tenista podává ze základní čáry, míček skončí v autu těsně za čarou pro podání. Tenista míček odpálí ve výšce 2,70 m nad povrchem kurtu. Určete velikost počáteční rychlosti míčku. Míček byl odpálen ve vodorovném směru a pružnost výpletu neuvažujeme. Rozměry tenisového dvorce naleznete na [3]. Řešení: Označení veličin: d je vzdálenost, do které dopadne míček, tj. 18,29 m (viz [3]), h je výška, ze které je odpálen, a v0 je počáteční rychlost míčku. Kdybychom chtěli řešit tento problém na základě vztahu v0 = dt , museli bychom pokusně určit dobu letu t, ale to by se nám přesně nepovedlo (museli bychom např. použít stopky, obtížně se však odhaduje okamžik zahájení pohybu i jeho ukončení). K řešení tedy použijeme úvahu, že míček se pohybuje ve vakuu tak dlouho, dokud nedopadne na zem. Pro souřadnici y platí 1 y = h − gt2 . 2 Na zemi bude y = 0, tedy 1 0 = h − gt2 . 2 Ročník 84 (2009), číslo 4

13

FYZIKA

Doba t, za kterou dopadne míček na kurt, je 2h . t= g Maximální vzdálenost, do níž míček doletí, pak bude 2h d = v0 · . g Velikost počáteční rychlosti tedy určíme ze vzorce d v0 =

2h g

a číselně bude velikost počáteční rychlosti 18,29 . v0 = m · s−1 = 24,7 m · s−1 . 5,4 9,81

Příklad 2. V roce 1983 italská horolezecká expedice při pokusu zdolat druhou nejvyšší horu světa K2 založila základní tábor ve výšce 3 850 m n.m. Expedice se zúčastnil i nejúspěšnější československý horolezec Jozef Rakoncaj. Na vrchol ve výšce 8 612 m n.m. se dostali jen Agostino da Polenza a právě i Jozef Rakoncaj. Jak se změnil atmosférický tlak vzduchu na vrcholu vůči základnímu táboru, když víme, že normální atmosférický tlak ve výšce 0 m n.m. je 1,013 25 · 105 Pa a střední hustota vzduchu 0 je 1,21 kg · m−3 ? Řešení: Označení veličin: 0 je střední hustota vzduchu, p0 je normální atmosférický tlak, g je tíhové zrychlení a h je nadmořská výška. Pro jednoduchost budeme v příkladu předpokládat, že vzduch je ideální plyn. Pro závislost tlaku na nadmořské výšce h se dá odvodit barometrická rovnice 0 gh p = p0 e− p0 . Pak podle této rovnice píšeme pro tlak v základním táboře 850 − 1,21·9,81·3 1,013 25·105

p3 850 = 1,013 25 · 105 · e 14

. Pa = 64 541 Pa.


FYZIKA

Podle stejné rovnice vypočteme tlak na vrcholu − 1,21·9,81·8 612 . p8 612 = 1,013 25 · 105 · e 1,013 25·105 Pa = 36 946 Pa. Pro poměr tlaků na vrcholu K2 a v základním táboře je p8 612 . = 0,572. p3 850 Nebo poměr tlaků na vrcholu K2 a v základním táboře vyjádříme obecně − 0 ghp08 612 p8 612 p0 e − p00g (h8 612 − h3 850 ) ; = = e p3 850 − 0 ghp03 850 p0 e číselně je tato hodnota rovna − 1,21·9,81 (8 612 − 3 850) . −0,557 e 1,013 25·105 =e

83

. = 0,572.

Příklad 3. Nejúspěšnější oštěpař historie, Jan Železný, drží světový rekord v hodu oštěpem. V německém městě Jena hodil oštěp do vzdálenosti 98,48 m. Jakou minimální délku by musela mít sportovní hala na Měsíci, aby mohl Jan Železný bezpečně hodit oštěp se stejným úsilím? Předpokládejte při řešení dostatečnou výšku haly a znalost hmotnosti Měsíce a jeho poloměru (vyhledejte na internetu). Jaké další problémy by asi vznikly? Řešení: Označení veličin: dM je délka hodu na Měsíci, dZ je délka hodu na Zemi, α je úhel odhodu oštěpu, v0 je počáteční rychlost hodu, aM je gravitační zrychlení na Měsíci, RM je poloměr Měsíce a mM je hmotnost Měsíce. Při řešení budeme předpokládat, že se jedná o vrh šikmý ve vakuu v obou případech. Hodnota rekordu je v podstatě maximální délka šikmého vrhu d, pro niž platí d=

v02 sin 2α. g

Předpokládáme, že parametry v0 a α jsou na Zemi a na Měsíci stejné. Potřebné údaje pro Měsíc naleznete na [4]. Platí tedy dZ = dM Ročník 84 (2009), číslo 4

v02 g v02 aM

sin 2α sin 2α

=

aM , g 15

FYZIKA

kde uvažujme g = 9,81 m · s−2 a zrychlení na Měsíci aM = κ

mM 2 . RM

Po dosazení dostaneme 22

M −2 κm 6,67 · 10−11 (17,347·10 2 dZ RM 738,1·103 )2 m · s . 1,622 . = = 0,165 3. = = −2 dM g 9,81 m · s 9,81

Odsud je . . 98,48 m . dM = = 595,76 m = 596 m. 0,165 3 Příklad 4. Na olympijských hrách v Sydney v roce 2000, při závodě v plavání na 400 m volný způsob, zvítězil australský plavec Ian Thorpe. Dosáhl času 3 min. 40 s. Tehdy poslední africký závodník dosáhl času 4 min. 40 s. Kolik musel Ian Thorpe minimálně uplavat metrů do okamžiku, kdy s africkým závodníkem plavali proti sobě (aby se potkali)? Závod se uskutečnil v padesátimetrovém bazénu. Předpokládejte, že se plavci pohybují rovnoměrně přímočaře. Řešení: Označení veličin: sA je dráha, kterou uplaval africký závodník do setkáni, sT je dráha, kterou uplaval Thorpe do setkání (výsledná dráha), sC je délka dráhy závodu, tCA je celková doba závodu pro afrického závodníka, tCT je celková doba závodu pro Thorpa a tT = tA je čas setkání obou plavců. Při řešení budeme vycházet z obr. 1 a z úvahy, že při situaci popsané v zadání se oba plavci potkají v opačném směru.

sT

50 m ←−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

sA Obr. 1

První podmínka, která musí být splněna, je sT + sA = 100 m. 16

(∗)


FYZIKA

Rychlosti obou závodníků vypočteme následujícím způsobem: vT =

sC 400 . . = m · s−1 = 1,818 1 m · s−1 = 1,82 m · s−1 tCT 220

vA =

sC 400 . . m · s−1 = 1,428 57 m · s−1 = 1,43 m · s−1 = tCA 280

Podmínka, která platí při setkání obou závodníků v situaci popsané na obrázku, je tT = tA , takže sT sA = , vT vA sA = sT

vA , vT

odkud dosadíme do podmínky (∗) a dostaneme sT = 100 m − sT

vA , vT

vA sT · 1 + = 100 m, vT a tedy . sT =

100 1+

1,428 57 1,818 1

. m = 56,0 m.

Příklad 5. Chlapec dostal za úkol zjistit, jak vysoko nad zemí je vyhlídkový ochoz Bílé věže v Hradci Králové. K dispozici dostal pouze velmi přesný barometr. Také měl fotografii, na které je vyfotografován on sám před Bílou věží. Poraďte chlapci, jak zjistit výšku vyhlídkového ochozu Bílé věže. Nešlo by využít barometru a fotografie? Předpokládejte, že fotografie byla pořízena z dostatečně velké vzdálenosti, abychom vyloučili zkreslení dané polohou úběžného bodu v místě fotoaparátu. Řešení: Označení veličin: pv je atmosférický tlak na ochozu, p0 je atmosférický tlak na spodku věže a hv je výška ochozu nad zemí. První metoda: Chlapec zjistí na základě toho, co mu ukáže barometr, jaký je tlak na spodku věže, tj. u vchodu, a jaký je tlak nahoře na ochozu. Ročník 84 (2009), číslo 4

17

FYZIKA

Pak na základě barometrické rovnice určí hv takto: pv = p0 e−

0 ghv p0

0 ghv pv = e− p0 p0

ln

pv 0 ghv =− p0 p0 hv =

p0 ln ppv0 −0 g

Druhá metoda: Chlapec má fotografii Bílé věže, pod níž je vyfotografován on. Tak se zamyslí a uvědomí si, že svou skutečnou výšku zná a může změřit či alespoň odhadnout svou výšku na fotografii. Skutečná výška chlapce bude hs a výška chlapce na fotografii bude hf . Stejně jako svou výšku na fotografii je chlapec schopen odhadnout nebo změřit výšku ochozu věže na fotografii; tu označíme vf . Skutečnou výšku ochozu Bílé věže označíme x. Pak platí: h f . . . . . . hs vf . . . . . . x x : hs = vf : hf x=

hs vf hf

Obě metody by měly vést k podobným výsledkům, tedy hv ≈ x. Přesnost výsledku pochopitelně závisí na přesnosti odhadu rozměrů na fotografii a na přesnosti barometru. Pro kontrolu je možno najít skutečnou výšku např. na [5]. Literatura [1] [2] [3] [4] [5]

18

Volf, I.: Fyzika je všude kolem nás. MAFY, Hradec Králové, 2001. Volf, I.: Jak řešit fyzikální úlohy. MAFY, Hradec Králové, 1995. http://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:Tennis court metric.svg http://encyklopedie.seznam.cz/heslo/457994-mesic-mesic www.virtualtravel.cz/hradec-kralove/bila-vez-augustin.html


INFORMATIKA Od numerického experimentu ke goniometrickým nerovnostem Pavel Pokorný, Ústav matematiky, VŠCHT Praha Abstract. The article presents how a numerical experiment can be used to formulate a statement about trigonometric inequalities. It contributes to the discussion on the relation between pure and numerical mathematics.

Úvod V článku [6] najdeme elegantní důkaz čtyř goniometrických nerovností 3 , 2 α β γ 3 sin + sin + sin ≤ , 2 2 2 2 √ 3 3 sin α + sin β + sin γ ≤ , 2 √ β γ 3 3 α , cos + cos + cos ≤ 2 2 2 2 cos α + cos β + cos γ ≤

(1) (2) (3) (4)

které platí pro vnitřní úhly α, β, γ libovolného trojúhelníka. Přívlastkem elegantní obvykle v matematice označujeme postup, který je přesný a jednoduchý. Naproti tomu postup, který je založen na numerickém výpočtu, je často považován za ošklivý, tím spíše, je-li proveden pouze na počítači. Cílem tohoto článku je ukázat, jak lze numerický experiment využít k formulování přesného tvrzení. V životě matematické věty lze často nalézt tři stadia: domněnku, důkaz a použití. My zde dnes zůstaneme u domněnky. Bude to však vyváženo tím, že naším výsledkem bude zobecnění výše uvedených nerovností. Tato práce je podporována projektem MSM 6046137306 a vznikla díky přístupu k výpočetním zdrojům METACentrum v rámci MSM 6383917201. Ročník 84 (2009), číslo 4

19

INFORMATIKA

Při bližším pohledu na nerovnosti (2) a (3) je vidět, že výrazy na levé straně jsou zvláštní případy obecnějšího výrazu sin(pα) + sin(pβ) + sin(pγ).

(5)

Pro p = 1 dostaneme levou stranu nerovnosti (3) a pro p = 12 dostaneme levou stranu nerovnosti (2). A podobně výrazy na levé straně nerovností (1) a (4) jsou zvláštní případy obecnějšího výrazu cos(pα) + cos(pβ) + cos(pγ).

(6)

My se pokusíme nalézt maximum i minimum výrazů (5) a (6) pro libovolné pevné p ∈ 0, 1 . Numerický experiment Pro zvolené hodnoty p, α, β, γ lze snadno vyčíslit výraz (5). Hledáme-li maximum tohoto výrazu pro pevné p a pro proměnné α, β, γ splňující podmínky α ≥ 0, β ≥ 0, γ ≥ 0, α + β + γ = , lze postupovat tak, že postupně generujeme dvojice α, β ∈ 0, (buďto náhodně nebo z nějaké, např. ekvidistantní mřížky). Pokud vygenerovaná dvojice nesplňuje podmínku α + β ≤ , tak ji ignorujeme, pokud tuto podmínku splňuje, tak dopočteme γ = − (α + β) a vyčíslíme výraz (5). Pokud náš nový výsledek převyšuje dosud nalezenou největší hodnotu, tak ji nahradíme novým výsledkem. Podobně porovnáme náš nový výsledek s dosud nalezenou nejmenší hodnotou. Postup zopakujeme pro velký počet, např. 106 , různých dvojic α, β. Tak dostaneme odhad minima a maxima výrazu sin(pα) + sin(pβ) + sin(pγ) pro jedno pevné p. Postup zopakujeme pro velký počet, např. 103 , hodnot p z intervalu 0, 1 . Potom vyneseme do grafu závislost odhadnutého maxima na parametru p (obr. 1). Tento graf nám poslouží jako inspirace pro vyslovení domněnky, že maximum součtu sinů je 3 sin 3p . Dosadíme-li p = 1, do√ staneme 3 2 3 ve shodě s (3), a dosadíme-li p = 12 , dostaneme 32 opět ve shodě s (2). Obdobně postupujeme pro součet kosinů (obr. 1), který nám napoví, že maximum je 3 cos 3p . Dosadíme-li p = 1, dostaneme 32 √ ve shodě s (1), a dosadíme-li p = 12 , dostaneme 3 2 3 ve shodě s (4). 20


INFORMATIKA

3

3 max cos max sin

2

2 1 min sin 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

min cos 1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Obr. 1. Závislost minima a maxima součtu sinů (vlevo) a kosinů (vpravo) na parametru p.

Závěr Přestože jsou analytické postupy a výsledky bezpochyby elegantnější, je jednodušší dokazovat tvrzení, které již máme v podobě domněnky, než tvrzení, jejichž podobu teprve hledáme. A právě pro získání této domněnky lze dnes s výhodou použít numerický experiment s počítačem. Ten provedeme u extremálních úloh tak, že vygenerujeme velké množství výsledků pro různé hodnoty proměnných a z nich vybereme maximální a minimální výsledek. To lze provést pro různé hodnoty parametru. Pak vykreslíme závislost minima a maxima na parametru. Tento graf nám poslouží jako inspirace pro uhodnutí skutečné závislosti. Tak jsme v konkrétním případě výrazů (5) a (6) dospěli k této domněnce: Je-li p ∈ 0, 1 , α ≥ 0, β ≥ 0, γ ≥ 0, α + β + γ = , potom platí sin(p) ≤ sin(pα) + sin(pβ) + sin(pγ) ≤ 3 sin

p , 3

p . 3 Maxima se nabývají pro α = β = γ = 3 , minima se nabývají, je-li jeden z úhlů roven a ostatní dva úhly jsou nulové. Čtenář si může vyzkoušet toto cvičení: pokusit se formulovat obdobnou domněnku pro širší rozsah hodnot parametru p (a poté ji zkusit

2 + cos(p) ≤ cos(pα) + cos(pβ) + cos(pγ) ≤ 3 cos


21

INFORMATIKA

dokázat). Nápověda pro první úkol: v programu z dodatku upravte řádek p=i/(double)n. Nápověda pro druhý úkol: uvažujte množinu {(α, β, γ) ∈ R3 : α ≥ 0; β ≥ 0; γ ≥ 0; α + β + γ = }. Je to rovnostranný trojúhelník s vrcholy na souřadnicových osách ve vzdálenosti od počátku. Maxima obou výrazů se nabývají ve středu tohoto trojúhelníku, minima ve vrcholech. Někdy se z numerického experimentu nepodaří odhadnout hledanou závislost jednoduchým vzorcem a je zapotřebí sáhnout po aproximaci, jako např. v případě kriteria stability svislých kmitů pružného kyvadla [2]. Uhádnutí hledané závislosti v žádném případě nenahrazuje důkaz. Může to být však často první krok, který nám pomůže hledanou závislost formulovat. Pak se můžeme pustit do toho druhého, elegantnějšího kroku – skutečného důkazu. Dodatek Zde uvádíme program v jazyku C, kterým jsme spočítali data pro vykreslení grafu extremálních hodnot výrazů (5) a (6). Jazyk C je výhodný, protože kvalitní překladač C je součástí každého Unixu a přeložený program je velice rychlý. Tento program např. běží na počítači s dvougigahertzovým procesorem přibližně dvě minuty, přičemž vyhodnocuje 109 případů. Pro vykreslení grafu z vypočítaných dat jsme použili program xpplot [5]. Pokud by čtenář potřeboval ještě mnohem větší výpočetní výkon, MetaCentrum [7] sdružuje výpočetní centra největších českých univerzit a umožňuje přístup k cca tisícovce výkonných procesorů. O historii výpočetní techniky pojednává [3], použití počítačů ke studiu deterministického chaosu se věnuje [4] a zajímavé odkazy na literaturu o počítačových důkazech lze najít v [1]. #include <stdio.h> #include <math.h> int main() { int i,j,k,n=1000,v; double a,b,c,f,minsin=0,maxsin=0,mincos=0,maxcos=0, wsin,wcos; for (i=0;i<=n;i++){ 22


INFORMATIKA

p=i/(double)n; v=1; for(j=0;j<=n;j++) for(k=0;k<=n;k++) if(j+k<=n){ a=M PI*j/(double)n; b=M PI*k/(double)n; c=M PI-(a+b); wsin = sin(p*a)+sin(p*b)+sin(p*c); wcos = cos(p*a)+cos(p*b)+cos(p*c); if(v){v=0; minsin=maxsin=wsin; mincos=maxcos=wcos;} else{ if(wsin>maxsin) maxsin=wsin; if(wsin<minsin) minsin=wsin; if(wcos>maxcos) maxcos=wcos; if(wcos<mincos) mincos=wcos; }; }; printf("%G %G %G %G %G\n",p,minsin,maxsin,mincos,maxcos); }; /* i */ return(0); } /* main */

Literatura [1] Hora, J.: O počítačových důkazech matematických vět. Čs. časopis pro fyziku, č. 6 (2008).

[2] Pokorný, P.: Pružné kyvadlo pohledem teorie dynamických systémů. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, č. 4 (2008).

[3] Pokorný, P.: Od Antikytherského stroje k číslicovému počítači. Čs. časopis pro fyziku, č. 6 (2008).

[4] Pokorný, P.: Deterministický chaos – plod počítačové fyziky. Čs. časopis pro fyziku, č. 6 (2008).

[5] Pokorný, P.: xpplot (www.vscht.cz/mat/Pavel.Pokorny/xpplot) [6] Smýkalová, R.: Čtyři goniometrické nerovnosti. Rozhledy matematicko-fyzikální 83, č. 4 (2008), s. 1–7.

[7] http://meta.cesnet.cz


23

HISTORIE Padesát let práce se zájemci o fyziku Ivo Volf, Ústřední komise Fyzikální olympiády, UHK Hradec Králové Abstract. The author describes some problems that have occurred in the fiftyyear history of Physics Olympiad in the Czech (or Czechoslovak) Republic.

V letošním roce uplynulo padesát let od zrození předmětové soutěže Fyzikální olympiáda, kterou v roce 1959 ustavilo Ministerstvo školství Československé republiky. Již dva roky předtím se vysokoškolští učitelé v Olomouci, Brně a Praze zabývali problematikou, jak zlepšit zájem středoškoláků o studium přírodovědných a technických oborů na vysokých školách. Soutěž zahrnovala zájemce o fyziku z tehdejších všeobecně vzdělávacích škol (vyšší ročníky jedenáctiletek) a ze škol odborných. Soutěž měla tři kategorie (A, B, C) a dvě kola (školní a krajské), účastníci nejvyšší kategorie pak ještě kolo celostátní. Ve školním kole bylo dáno soutěžícím k řešení celkem devět úloh, z toho jedna byla experimentální a soutěžící ji měli vykonat za metodické pomoci svých učitelů ve školní laboratoři. Krajské kolo soutěže bylo dvoudenní: v sobotu řešili soutěžící čtyři teoretické úlohy a v neděli dopoledne úlohu experimentální. Zorganizovat krajské kolo bylo tedy dosti náročné i finančně nákladné. Prvního ročníku se zúčastnilo celkem 3 203 soutěžících (1 213 v kategorii A, 788 v kategorii B, 1 202 v kategorii C), druhého kola v krajích 956 soutěžících. Celostátní kolo bylo uspořádáno v Praze, zúčastnilo se ho celkem 80 soutěžících ze všech krajů Československa (tehdy bylo 14 českých a 7 slovenských krajů). Soutěž se s lety postupně rozšiřovala. Od roku 1964 byla ke středoškolským kategoriím připojena ještě kategorie D (později přejmenovaná na kategorii E), které se mohli zúčastnit žáci 9. ročníků, popř. 8. ročníků. Největší rozmach soutěže doprovázel nej” krásnější roky naší školské fyziky“, kdy výuce fyziky bylo věnováno ve škole nejvíce hodin i pozornosti, což bylo v druhé polovině osmdesátých let. Namátkou vybereme např. 29. ročník. Tehdy se soutěže zúčastnili žáci z 306 gymnázií (z celkového počtu 330 gymnázií), dále z 121 středních odborných škol zakončených maturitní zkouškou a z asi 40 dalších škol. Ve školním kole soutěžilo 997 žáků v kategorii A, 1 750 žáků v kategorii B, 2 366 žáků v kategorii C a 4 533 žáků v kategorii D, tj. celkem 24


HISTORIE

v prvním kole 9 846 žáků, z nichž asi 49 % bylo úspěšnými řešiteli a mohli postoupit do krajského kola. Ve 29. ročníku se v 1. kole soutěže žáků ze základních škol zúčastnili soutěžící ze 3 128 škol (z celkového počtu 3 812 škol), bylo zapojeno 82 % škol, a v tomto kole bylo neuvěřitelných 22 487 soutěžících (asi 32,2 % pocházelo ze Slovenské a 67,2 % z České republiky). Již zpočátku zjistili organizátoři soutěže, že náročnější úlohy zařazované do soutěže Fyzikální olympiáda nemohou řešit soutěžící pouze se svými školními znalostmi, ale že je nutno pro ně připravit několik doplňkových činností. Mezi první můžeme počítat tzv. studijní texty. Šlo (a dodnes je to stejné) o to připravit pro soutěžící neškolské“ studijní ” materiály, v nichž by si rozšířili své vědomosti a dovednosti a mohli je využít při řešení úloh. Zprvu vycházely studijní texty jako články v časopise Rozhledy matematicko-fyzikální, později jako samostatné přílohy v letácích s úlohami Fyzikální olympiády. Zpočátku šlo o texty kratší, doprovázené vzorovým řešením příkladů, později se texty staly rozsáhlejším materiálem, který dospěl do dnešní podoby asi 30–60 stran studijního textu s příklady i úlohami k řešení na procvičení studované problematiky. Mezi úlohami v prvním i druhém kole se vždy vyskytují úlohy, u nichž se předpokládá, že se soutěžící se studijním textem seznámí. Další formou byly speciální semináře pro účastníky Fyzikální olympiády. Na některých, tzv. střediskových školách, kde byl nadšený učitel fyziky a schopný organizátor, byly pořádány odpolední semináře jako pomoc pro soutěž. Tento učitel uspořádal seminář nejen pro žáky ze své“ školy, ale i ze škol okolních. Taková setkání během roku byla např. ” čtyři pro každou kategorii. Zde měla hlavní slovo Jednota československých matematiků a fyziků, která akce zajišťovala i finančně. Kromě toho se na organizaci Fyzikální olympiády účastnili pracovníci tzv. Krajských pedagogických ústavů, kteří kromě péče o vzdělávání učitelů měli na starosti i tzv. krajská soustředění, pořádaná v sobotu dopoledne, a zejména týdenní či dvoutýdenní prázdninové (později předprázdninové) internátní kursy pro nejlepší řešitele jednotlivých kategorií. Vyvrcholením bylo každým rokem celostátní soustředění nejlepších řešitelů Fyzikální a Matematické olympiády, pořádané postupně jednotlivými kraji vždy pro asi 80–90 vítězů krajských kol v kategorii B (na soustředění byla jedna skupina sestavena jen z nejlepších matematiků, jedna jen z nejlepších fyziků a zpravidla dvě skupiny sestavené z úspěšných účastníků krajského kola v obou soutěžích). O tato soustředění byl obzvláště velký zájem. Ročník 84 (2009), číslo 4

25

HISTORIE

Od počátku FO byla registrována kronika soutěže“ formou tzv. Roče” nek FO. Ročenka obsahovala zprávu o soutěži, jména nejlepších řešitelů krajských kol i kola celostátního, dále texty úloh, zadaných do soutěže, a jejich podrobné řešení. Takto vyšlo celkem 29 ročenek, takže byla soutěž zdokumentována až do roku 1988. V roce 1967 iniciovala JČMF, Ministerstvo školství a Státní pedagogické nakladatelství vznik nové edice pro zájemce o hlubší studium fyziky – začaly se vydávat brožury v edici Škola mladých fyziků. Knížky kapesního formátu i rozsahu byly vydávány nákladem 3 500–10 000 výtisků, z čehož Ministerstvo školství vykoupilo zhruba polovinu, uhradilo ze svých prostředků a zaslalo na školy a na krajské výbory FO, aby byly rozdány soutěžícím jako součást odměny a několik jich vždy zůstalo ve školní knihovně nebo v kabinetu fyziky pro další použití. Tak v letech 1967 až 1992 vyšlo celkem 25 titulů, tj. zpravidla jeden ročně. V roce 1992, kdy náhle nebyly k dispozici dostatečné finance pro vydávání brožurek se studijními materiály, se vydávání studijních textů ujalo malé nakladatelství MAFY, které postupně přijalo i možnosti připravovat letáky Fyzikální olympiády a instruktážní řešení pro opravu úloh určené pro vyučující fyziky. S rostoucími možnostmi digitalizace a využívání internetu přešla postupně Fyzikální olympiáda na elektronický kontakt, a to nejen v administrativě, ale i při zadávání úloh, při zveřejňování řešení. Také všechny studijní texty jsou po roce 2000 publikovány na webovské stránce Fyzikální olympiády (v současnosti jsou dvě: http://fo.cuni.cz a www.uhk.cz/fo). Stránky Ústřední komise Fyzikální olympiády jsou propojeny s jednotlivými krajskými stránkami, dále jsou napojeny i na hlavní stránku International Physics Olympiad, která řídí mezinárodní úroveň této předmětové soutěže. Pro pomoc soutěžícím i vyučujícím na středních a základních školách slouží Poradna pro fyzikální talenty. Soutěž Fyzikální olympiáda je založena na řešení zajímavých, ale též obtížnějších fyzikálních problémů – teoreticky i prakticky řešených. Pro soutěžící středoškoláky potřebujeme připravit 4 × 7 = 28 úloh v 1. kole, 4 × 4 = 16 úloh ve 2. kole, 5 úloh ve 3. kole, celkem tedy 49 úloh, pro soutěžící plnící program základního vzdělávání (základní školy a víceletá gymnázia) je třeba 15 + 5 = 20 úloh v 1. kole a 12 úloh ve 2. a 3. kole, tedy 32 úloh. Celkem je třeba 81 nových úloh každý rok, dostatečně zajímavých i obtížných, samozřejmě řešitelných na úrovni příslušného stupně vzdělávání. Celkem bylo pro Fyzikální olympiádu připraveno za 50 let existence více než 3 300 úloh. 26


HISTORIE

V současné době řídí soutěž Fyzikální olympiáda Ústřední komise fyzikální olympiády, jmenovaná Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy, na základě návrhu Jednoty českých matematiků a fyziků, která je také odborným a finančním garantem soutěže. Sekretariát Fyzikální olympiády je na Katedře fyziky Pedagogické fakulty Univerzity Hradec Králové, kde se také odbývají soustředění našich reprezentantů před mezinárodní fyzikální olympiádou. Ale to je již zcela jiná kapitola osudu soutěže Fyzikální olympiáda. Chceme na tomto místě poděkovat všem organizátorům soutěže Fyzikální olympiáda, kteří během 50 let její existence přispěli ke zdárnému průběhu a dobrým výsledkům. Fyzikální olympiáda je výsledkem dlouholeté práce několika členů ústřední komise, několika stovek členů krajských a okresních komisí, několika tisíc učitelů fyziky na základních a na středních školách každým rokem pro několik tisíc žáků základních a středních škol zajímajících se o fyzikální a technické problémy. A právě soutěžícím patří ten největší dík – bez nich by totiž veškerá práce, vložená do Fyzikální olympiády, byla zbytečná. Literatura [1] Volf, I.: Co může udělat učitel základní nebo střední školy pro mladé talentované fyziky? MAFY, Hradec Králové, 2001.

[2] Volf, I.: Padesát let Fyzikální olympiády – půl století péče o fyzikální talenty. In: Padesát let Fyzikální olympiády. Sborník prací. MAFY, Hradec Králové, 2009. [3] Vybíral, B.: Češi a Mezinárodní fyzikální olympiády. In: Padesát let Fyzikální olympiády. Sborník prací. MAFY, Hradec Králové, 2009. [4] Fyzikální olympiáda. http://fo.cuni.cz.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ NEZABUDNUTEĽNÝ ARCHIMEDES Nezabudnuteľnou postavou gréckeho staroveku je Archimedes zo Syrakúz (asi 287–212 pred n. l.). Archimedovo zvolanie Nedotýkaj sa ” mojich kruhov“ voči násilnému rímskemu vojakovi je symbolickým vyjadrením hodnôt objavov ľudského ducha. Heuréka – objavil som“ sa stalo ” príznačné pre hlbokú radosť človeka z objavu, ktorý svojím technickým uplatnením otvára nečakané technologické možnosti v našom civilizačnom úsilí. Dušan Jedinák Ročník 84 (2009), číslo 4

27

SOUTĚŽE 51. ročník Fyzikální olympiády, úlohy kategorií E a F Soubor úloh je určen pro soutěžící, kteří navštěvují 8. nebo 9. ročník škol, poskytujících základní vzdělání, a jim odpovídající ročníky víceletých gymnázií. Budete povinně řešit úlohy, které vám stanoví váš učitel fyziky. Mezi problémy k řešení jsme zařadili také projekty, které můžete řešit. Samozřejmě můžete řešit i další, pro vás již nesoutěžní úlohy. FO51EF1 Na závodní dráze Na závodní dráze soutěží tři cyklisté na trase 1 200 m s letmým startem tak, že po celé trase udržují stálou velikost rychlosti. Při průjezdu cílem postupně zpomalují tak, že jejich rychlost klesá lineárně s časem, až se kolo zastaví. První závodník Adam poté, co projel cílem, zastavil za 40 s na dráze 240 m. Druhý závodník Bohumil poté, co projel cílem, zastavil za 50 s na dráze 375 m. Třetí závodník Cyril poté, co projel cílem, zastavil za 45 s na dráze 304 m. a) K řešení si načrtni graf rychlosti v závislosti na čase poté, co některý ze závodníků projel cílem. Urči z grafu velikost rychlosti v0 , kterou závodník projel cílem. b) Který ze tří závodníků – Adam, Bohumil, Cyril – byl nejrychlejší? c) Nakresli do jednoho obrázku graf v(t) pro všechny tři závodníky pro trasu od startu závodu až po místo jejich zastavení. FO51EF2 Automobil jede po dálnici Automobil jede po dálnici stálou rychlostí 126 km · h−1 , když řidič zjistí ve velké vzdálenosti hromadnou havárii. Nejprve uplyne doba 1,2 s, než začne automobil brzdit. Automobil zpomaluje tak, že za každou sekundu se rychlost zmenší o 5 m · s−1 . a) Nakresli graf v(t) rychlosti v závislosti na čase u tohoto pohybu. b) Jakou dráhu urazí automobil, než začne brzdit? c) Zjisti, za jak dlouho od zpozorování havárie automobil zastaví a na jaké dráze. d) Jak se změní výsledky, jestliže automobil pojede stálou rychlostí 144 km · h−1 , 108 km · h−1 ? 28


SOUTĚŽE

FO51EF3 Listonoš balíkové služby Listonoš balíkové služby má doručit balík o hmotnosti 12 kg do bytu ve 14. poschodí, a zdolat tak výškový rozdíl 42 m. Protože se výtah opravuje, musel vystoupit po schodišti. Hmotnost listonoše je 88 kg. a) Jakou práci je nutno vykonat pro doručení balíku do bytu ve 14. poschodí? b) Jakou celkovou práci vykoná listonoš při osobním doručení balíku? c) Jaká je užitečná práce pro doručení balíku? Jaká je práce sice zbytečná, ale nutná k doručení balíku? Urči účinnost doručení balíku. FO51EF4 Nepředstavitelně zbytečná ztráta Na chatě zapomněl jednou v neděli večer při odjezdu Petr vypnout žárovku ve stolní lampě a tato žárovka o příkonu 40 W svítila až do pátku do večera, kdy se na chatu rodina zase vrátila. Lampa svítila tedy zbytečně celých 5 dní. a) Jaká je zbytečná“ elektrická práce při tomto svícení? ” b) Chlapec musel jako kompenzaci pro rodinu naházet 6 t písku na valník tak, že lopatou vyhazoval písek přes bočnici valníku. Písek musel zvednout lopatou ze země do výšky 2 m, hmotnost písku na lopatě byla 4 kg. Urči, kolikrát musel Petr písek na lopatu nabrat a jakou práci vykonal. c) Porovnej oba výsledky a zjisti, kolik písku by musel Petr na valník naložit, aby vykonal stejnou práci, jako byla zbytečná“ práce elek” trická. FO51EF5 Motocykl se rozjíždí Při tréninku na motocyklových závodech se motocykl rozjíždí rovnoměrně zrychleně po dobu 25 s, až dosáhne rychlosti 180 km · h−1 , poté touto rychlostí projede trasu 2 500 m a v následující době 125 s rovnoměrně zpomaluje, až zastaví přesně v místě startu. a) Urči, jaká doba uplynula od startu až k úplnému zastavení. b) Nakresli graf závislosti rychlosti na čase v(t). c) Jakou dráhu urazil motocykl od startu až k úplnému zastavení? d) Urči průměrnou rychlost motocyklu při pohybu. FO51EF6 Opravář – amatér Na chatě je starý vařič, v němž je topná spirála“, umístěná v keramické ” formě. Vařič se připojí k napětí 230 V a spirálou prochází elektrický proud 3,5 A. Jednou se však spirála přepálila a soused – opravář amatér – odštípl desetinu délky spirály a připojil spirálu zase ke kontaktům vařiče. Ročník 84 (2009), číslo 4

29

SOUTĚŽE

Odpor drátu závisí na délce vodiče přímo úměrně, na obsahu kolmého řezu drátu nepřímo úměrně a závisí také na materiálu vodiče. Závislost odporu na teplotě nebudeme uvažovat. a) Napiš, jaký byl původně výkon starého vařiče a jak se touto úpravou změnil. b) Jak se změnila doba, za níž se dá ohřát 1 litr vody na čaj na tomto vařiči? Počáteční teplota vody je 15 ◦ C, koncová 95 ◦ C. Další potřebné údaje jsou v tabulkách. c) K ohřátí stejného objemu vody na čaj varnou konvicí s příkonem 2 000 W a účinností 85 % potřebujeme právě polovinu původní doby. Jaká je účinnost starého vařiče? FO51EF7 Úsporné zářivky V domácnosti se používá v lampě žárovka o výkonu 100 W a nahradíme ji úspornou zářivkou o přibližně stejném světelném výkonu, ale o příkonu jen 20 W. a) Jaké jsou klady a jaké jsou zápory úsporných zářivek? b) Jaké důsledky mají tyto zářivky pro změny životního prostředí? c) Víte-li, že nákupní cena úsporné zářivky je desetkrát vyšší než neúsporné žárovky, proč a kdy je či není výměna ekonomická? FO51EF8 Voda v bazénu Sportovní plavecký bazén městských lázní má šířku 15 m a délku 50 m, hloubka vody na jednom konci bazénu je 60 cm, dno bazénu se zvolna svažuje tak, že na druhém konci hloubka vody dosáhne 240 cm. Vedení lázní se snaží udržovat střední teplotu vody v bazénu na hodnotě 22 ◦ C, avšak na přání zákazníků se rozhodlo zvýšit komfort a upravit tuto teplotu na 27 ◦ C. a) Urči objem a hmotnost vody v bazénu. b) Kolik tepla je třeba dodat vodě v bazénu, aby se střední teplota vody zvýšila z 22 ◦ C na 27 ◦ C? c) Víme-li, že během dvou hodin klesne teplota vody zpravidla o 1,2 ◦ C, jaký výkon musí mít zařízení určené k ohřevu vody, aby se udržovala teplota 27 ◦ C? FO51EF9 Na kolik nás přijde povinné svícení automobilu? Podle platných předpisů pro silniční provoz musí během jízdy automobilu svítit jeho přední reflektory, každý se žárovkou 50 W, v zadní části dvě koncová světla a osvětlení státní poznávací značky, celkem o výkonu 30


SOUTĚŽE

30 W. Předpokládejme, že majitel jezdí během roku asi 300 dní, každý den 2 h s rozsvícenými světly. a) Zjisti, o kolik se tímto svícením zvýší práce, již musí vykonat ročně motor automobilu. b) Jestliže dokonalým spálením 1 litru benzínu získáme teplo 36 MJ, ale v motoru auta ho dokážeme využít jen na 22 %, kolik litrů benzínu uvedený automobil spotřebuje ročně navíc proto, že majitel přesně dodržuje dopravní předpisy? c) Jaké jsou kladné a jaké záporné důsledky tohoto nařízení? FO51EF10 Dráty jako rezistory Drátěný čtverec ABCD o délce strany 100 cm, přičemž odpor každé strany je 12 ohmů, má drátěnou úhlopříčku AC, jejíž odpor je 18 ohmů. Tento odporový“ čtverec zapojíme třemi možnými způsoby ke zdroji ” o napětí 3,0 V (zdroj připojíme k bodům A-B, A-C, A-D). a) Nakresli reálnou situaci (ve zmenšení) a její elektrické schéma. b) Jak velký je výsledný odpor ve všech třech zapojeních? c) Jaký proud prochází vodiči při jednotlivých zapojeních? FO51EF11 Elektrárna Prunéřov Elektrárna Prunéřov (EPRU) patří mezi těch několik tepelných elektráren Evropské unie, které nejvíce zatěžují životní prostředí. Konkrétně jde o produkci 1,07 Mt oxidu uhličitého na každou vyrobenou TWh. V původní části (EPRUI) jsou instalována turbosoustrojí o celkovém výkonu 440 MW, v přístavbě EPRUII je pět agregátů, každý o výkonu 210 MW. Součinitel ročního využití se počítá u tepelných elektráren 55 %, rok obsahuje 8 766 h. a) Urči elektrickou práci, která je pro spotřebitele k dispozici za 1 rok. b) Jaká je roční produkce oxidu uhličitého u tepelné elektrárny Prunéřov? c) Urči denní (roční) spotřebu hnědého uhlí v této tepelné elektrárně, je-li jeho výhřevnost 12 MJ/kg a účinnost elektrárny je 35 %. d) Největší tepelná elektrárna v Polsku je v blízkosti města Belchatów a má instalovaný výkon 4 400 MW; ročně poskytuje asi 28 TWh a umístila se na předním místě v produkci oxidu uhličitého hodnotou 1,09 Mt na vyrobenou TWh. Kolik dní je tato elektrárna v provozu? e) Porovnej odpovědi na otázky a), b), c) pro polskou a českou elektrárnu. Ročník 84 (2009), číslo 4

31

SOUTĚŽE

FO51EF12 Tandemový seskok padákem Seskoky padákem patří mezi adrenalinové sporty. Výsadkář padá za bezvětří svisle dolů a proti jeho pohybu působí odporová síla vznikající pohybem ve vzduchu. Velikost odporové síly určíme ze vztahu F = 12 Cy Sv 2 , kde zvolíme tvarový odporový součinitel pro dutou polokouli Cy = 1,33, hustotu vzduchu = 1,20 kg · m−3 , vodorovný řez kruhovým padákem S = 50 m2 . Potom přepíšeme vztah pro velikost celkové odporové síly jako F = k v 2 . Víme, že hmotnost padáku je 15 kg, hmotnost výsadkáře 75 kg a hmotnost výsadkářky 65 kg. a) Jak velká síla působí na výsadkáře či výsadkářku při pádu s otevřeným padákem? b) Jak velké rychlosti pohybu může výsadkář či výsadkářka dosáhnout? c) Při tandemovému seskoku jsou na jednom padáku zavěšeni výsadkář i výsadkářka společně. Jak se změní rychlost pádu pohybující se soustavy? d) V technické dokumentaci padáků je uvedeno, že při zatížení padáku 100 kg dosahuje padající těleso rychlosti 5,3 m · s−1 . Porovnej teoretické údaje s vypočtenými hodnotami. FO51EF13 Autobusová posila Pravidelně každý den vyjíždí linkový autobus ze stanice Počáteční ve 14:15 h a dorazí do stanice Konečná ve vzdálenosti 98 km v 15:50 h. Na trase je jen jediná zastávka, kde autobus stojí přesně 5,0 min. V pátek odpoledne je vždy přistaven tzv. posilový vůz, který ze stanice Počáteční vyjíždí ve 14:30 h a do cílové stanice Konečná dorazí v 15:45 h. Jízda posilového vozu je koordinována tak, že dorazí do stanice, kde zastavuje první autobus, přesně ve stejném okamžiku a vyjíždí též přesně jako autobus první. Pro jednoduchost předpokládejme, že celou dobu mohou autobusy jet stálou rychlostí, která je rovna jejich rychlosti průměrné. a) Urči průměrnou rychlost, kterou jel první autobus. b) Urči průměrnou rychlost, kterou jel druhý autobus. c) Urči, jak daleko je jediná zastávka od stanice Počáteční a v kolik tam autobusy dorazí. d) Jak daleko zbývá autobusům do cíle trasy? FO51EF14 Tak dlouhý řetězec? Z chemie víme, že jeden mol obsahuje 6,0 · 1023 částic, 1 mol vody H2 O má hmotnost 18,0 g. 32


SOUTĚŽE

a) Urči, jaký objem připadá na jednu molekulu vody. b) Odhadni lineární rozměry molekuly vody. Svůj postup vysvětli. c) Jak dlouhý řetězec bychom získali, kdyby se všechny molekuly v jednom molu postavily do zástupu“? Výsledek porovnej s některou ” obecně známou vzdáleností. d) Jak dlouhý řetězec bychom získali, kdyby všechny molekuly v jednom molu vytvořily tisícistup“? ” FO51EF15 Londýnské kolo Koncem minulého století, přesně 31. prosince 1999 byl oficiálně zahájen provoz londýnské zábavní atrakce The London Eye či Millenium Wheel; u nás má vžitý název ruské kolo“. Bylo postaveno na břehu Temže a ” dosahuje výšky 135 m/443 stop. Další známá ruská kola jsou postavena na několika místech světa: Star of Nancheng – 160 m/525 stop, Singapore Flyer – 165 m/541 stop. Great Berlin Wheel – 175 m/570 stop má být uvedeno do provozu v roce 2010, ale již v roce 2009 má být nejvyšším kolem Beijing Great Wheel, které má dosahovat výše 208 m/682 stop. Londýnské kolo má celkem 32 vejčitých kabinek, každá pro 25 osob. Je jasné, že při postupném vystupování a nastupování lidí z kabinek (počítejme na každou zastávku pouze 1 min) by se kolo muselo neustále rozjíždět a zastavovat, což by znamenalo značné energetické i časové ztráty. Proto se kolo otáčí neustále malou rychlostí, aby návštěvníci stihli vystoupit i nastoupit za jízdy; kolo se otočí o 360◦ jednou za 30 min. a) Vypočti rychlost pohybu kabinky a posuď, zda je při této rychlosti opravdu možné, aby v dolní poloze lidé vystupovali a nastupovali. b) Jestliže získaná rychlost představuje podmínku bezpečného provozu, jak dlouho trvá pobyt návštěvníka na dalších vyjmenovaných atrakcích? c) Uvedené atrakce jsou umístěny v rovinaté krajině, v případu Singapore Flyer dokonce nedaleko moře. Odhadni vzdálenost, do které vidí návštěvník v okamžiku, kdy je na vrcholu kola. d) Všechny uvedené atrakce najdi na www.wikipedia.org. Pokus se také najít místa, kde jsou umístěny, a to v atlase nebo na Google Earth 3D. Poznámka: Z českého pohledu může být zajímavé, že lité ocelové části kola v Londýně, jako jsou hlavní hřídel, její závěsy a klouby konstrukce, byly vyrobeny českou firmou Škoda.


33

SOUTĚŽE

FO51EF16 Sport a fyzika (projekt) Sportovní a tělovýchovné činnosti jsou těsně spjaty s fyzikou – v cizích jazycích se někdy tělesné výchově říká Physical training, Educazione fisica, Educación fisica, fiziqeska kultura – fizkultura. Sportem žije mnoho lidí, ale současně nemají rádi školní vyučovací předmět Fyzika. Vaším úkolem bude vybrat si některou sportovní činnost a podle svých možností – informací i svého předchozího matematického a fyzikálního vzdělání – sestavit alespoň pět (lépe deset) sportovních situací, které dovedete přesně popsat, vytvořit k nim vhodný zjednodušený model a vyřešit problém, který jste si vybrali. Své řešení podrobně popište (formulujte text a vaše řešení), doplňte obrázky, fotografiemi, grafy aj. FO51EF17 Experimentální úloha Experimentální úloha pro soutěžící v kategoriích E a F je v letošním ročníku společná s kategorií G – Archimédiáda a týká se určování plošného obsahu metodou vážení tenkých desek všude téže tloušťky. Text této úlohy a stručný návod k jejímu řešení si přečtete na následujících stránkách.

51. ročník Fyzikální olympiády, úlohy kategore G – Archimédiády

Soutěž ARCHIMÉDIÁDA 2010 je určena žákům 7. ročníků základních škol a odpovídajících ročníků víceletých gymnázií. FO51G1 Kachlíčky do koupelny Při rekonstrukci koupelny v rodinném domku se musí celá místnost znovu vykachlíkovat. Rozměry koupelny: podlaha 244 cm × 183 cm, obklady stěn půjdou až do výšky 200 cm, okno koupelny je umístěno až nad touto výškou směrem do stropu, v jedné stěně jsou umístěny dveře s rámem o rozměrech 90 cm × 200 cm. Na zem přijdou dlaždice o tloušťce 6,0 mm a rozměrech 30 cm × 30 cm, hmotnosti 1 650 g, a na stěny obkládačky o tloušťce 5,0 mm a rozměrech 19,6 cm × 24,6 cm, hmotnosti 560 g. 34


SOUTĚŽE

a) Urči, kolik dlaždic bude potřeba na podlahu (počítá se o 5 % navíc). b) Urči, kolik obkládaček bude potřeba na obložení stěn (počítá se o 5 % navíc). c) Urči hustotu obou druhů kachlíků. d) Urči celkový objem a celkovou hmotnost obou druhů kachlíků dohromady. e) Může tatínek po nákupu odvézt všechny kachlíčky najednou na přívěsu osobního automobilu, na který lze naložit nejvýše 400 kg? FO51G2 Porovnávání rychlostí Přečti si následující informace (uvedené údaje se týkají jízdního řádu v roce 2008/9): Každý den jezdí na trase Paříž – Marseille několik rychlovlaků TGV. Jeden z nich vyrazil z Paříže v 14:16 a poté, co urazil 333 km, zastavil v 17:21 v Marseille. Další vyjíždí v 15:16 a jede jinou trasou, takže poté, co urazí trasu 499 km, zastavuje v Marseille v 18:34. Na trase Praha – Ostrava jezdí rychlovlaky Pendolino. Jeden z těchto vlaků vyrazil ze stanice Praha hl.n. v 15:23 a do Ostravy vzdálené 356 km dorazil v 18:32. Na trase Moskva, Kurské nádraží – Petrohrad, Moskevské nádraží o délce 960 km vyjíždí z Moskvy vlak ve 21:55 a dojede do cílové stanice v 5:53 následujícího dne. Na trase Ósaka – Tokio o délce 515 km jezdí rychlovlak Šinkansen. Na začátku provozu v roce 1964 urazil tuto trasu za 4,0 h, od roku 1992 urazil trasu za 2 h 30 min a nyní je doba jízdy na trase 2 h 25 min. a) Zkontroluj uvedené údaje na internetu (až na Japonsko lze užít českého jízdního řádu), všechna místa si určitě najdi na mapě nebo na www.googleearth.com. b) Urči průměrnou rychlost každého z vlaků na celé trase (včetně krátkých zastávek). c) Kdyby strojvedoucí vlaku utlumil svou pozornost na dobu 5 s, 10 s, 1 min, jakou dráhu každý z těchto vlaků urazí? Jak by mohli být strojvůdci kontrolováni, aby se nezanedbala bezpečnost jízdy? d) Jak by se změnila doba dopravy, kdyby se průměrná rychlost vlaků zvýšila o 5 %, o 10 %?


35

SOUTĚŽE

FO51G3 Elektrická vlaková souprava Vlak vyráží z jedné stanice a postupně zrychluje tak, že jeho rychlost narůstá lineárně s časem, až po době 50 s dosáhne rychlosti 72 km/h. Touto rychlostí ujede přesně 1,0 km a potom začne rovnoměrně brzdit tak, že za dalších 100 s zastaví. V následující stanici stojí 50 s, poté opět rovnoměrně zrychluje, až po 100 s dosáhne rychlosti 90 km/h. Přesně v tomto okamžiku začne rovnoměrně zpomalovat a po době 150 s zastaví v následující stanici. a) Do grafu v(t) načrtni změny rychlosti s časem, jež nastaly, a to pro první i druhý úsek. Graf nakresli na list papíru A4 naležato tak, že 1 cm představuje 2 m/s na ose rychlosti a 20 s na ose času. b) Označ body obratu v grafu písmeny (začátek grafu je v počátku, tj. v bodě O, změnu prvního pohybu na druhý označ A atd.). Popiš jednotlivé úseky a vysvětli pohyby. c) Urči, jakou dráhu a za jakou dobu urazil vlak úsek, v němž se pohyboval rovnoměrným pohybem. Jak získáš příslušnou představu v grafu? Jakou dráhu urazil vlak při zrychlování a při zpomalování, jakou dráhu urazil celkem a jak dlouho to trvalo? d) Jakou průměrnou rychlostí jel vlak mezi první a druhou stanicí a jakou mezi druhou a třetí stanicí? FO51G4 Úvahy kolem papíru Na kopírování nebo do tiskárny počítače se používá tzv. osmdesátigramový papír. To odborně znamená, že list o obsahu 1 m2 tohoto papíru má hmotnost 80 g. Papír známého formátu A4 vznikne tak, že čtyřikrát za sebou přeložíš papír o plošném obsahu 1 m2 a z původního formátu A0 dostaneš (přes A1, A2, A3) formát A4 o rozměrech 210 mm × 297 mm. a) Najdi si na internetu nebo v tabulkách či v některé encyklopedii rozměry listů papíru A0, A1, A2, A3, A4, A5, A6 a zapiš ke každému několik příkladů použití. Všimni si, že existuje i řada formátů B a řada C (napiš si i rozměry alespoň B5, B4, B3 a několik příkladů použití). b) Jaká je hmotnost 1 listu výše uvedeného osmdesátigramového papíru formátu A4, hmotnost 1 balíku tohoto papíru, hmotnost jedné krabice tohoto papíru? Není-li ti něco jasné, navštiv oddělení papírnictví v některém supermarketu. c) Vypočítej hmotnost knížky o počtu stran 480 formátu A5, na desky a lepenou vazbu přidej 30 g. Kolik knížek lze uložit do normálního balíku o hmotnosti nejvýše 15 kg, který je třeba poslat poštou? 36


SOUTĚŽE

FO51G5 Určování plošného obsahu obrazců vážením Sežeň si tužší papír z krabice nebo z kalendáře (obé bude nutno při pokusech zničit). Dále budeš potřebovat nůžky, špendlík nebo jehlu, režnou nebo jinou pevnější nit, špejle nebo tenkou tyčku. Nejprve si vyrobíš citlivé vážky tak, že uvážeš na nit špejli přesně uprostřed. Pak vystřihneš z tužšího papíru dva čtverce o rozměrech 10 cm × 10 cm, poblíž vrcholu propíchneš papír špendlíkem a uvážeš nit se smyčkou na opačném konci nitě tak, aby bylo možno zavěšovat papírová tělíska na špejli (obdobně to provedeš i s dalšími tělesy). Citlivé vážky pak vyzkoušej: Na každou stranu špejle umístíš vystřihnutý čtverec; pokud jsou vzdálenosti umístění na špejli od osy vážek stejné, můžeš pokračovat. Vystřihneš z téhož papíru lichoběžník, obdélník, trojúhelník (přibližně stejně veliké), kruh (o poloměru asi 5 cm), třeba i půlkruh o poloměru 10 cm. . . Propíchnutím na vhodném místě a užitím niti připravíš závěsy. Potom zavěsíš čtverec o plošném obsahu 1 dm2 = 100 cm2 a vystřihnutý tvar na špejle tak, že vznikne rovnováha působících sil. Odtud zjistíš plošný obsah obrazce. O svém výsledku se přesvědčíš výpočtem plošného obsahu podle známých vzorců. Zajímavé výsledky získáš porovnáním obsahu kruhu a čtverce (měl bys získat nějaký násobek čísla , které najdeš v tabulkách nebo na své kalkulačce). Můžeš však určit plošný obsah i útvarů nepravidelných, které překreslíš na výchozí papír, např. list javoru, lípy aj. Zkus také zjistit plošný obsah útvaru, který získáš obkreslením obrysu České republiky (proč musíš znát měřítko mapy?). Upozornění pro řešitele: Fyzikální úlohy, zadávané většinou ve školní výuce fyziky, bývají zpravidla jednoduché a při jejich řešení často vystačíš s užitím logických úvah nebo jen s jedním vzorcem, do něhož lze dosadit dané veličiny. Ve fyzikální olympiádě zařazujeme naopak většinou úlohy problémové, u kterých je třeba nejprve formulovat podmínky, za nichž je vůbec možné úlohu řešit, zjednodušit situaci, které se daný problém týká, a zvážit dosažené výsledky s ohledem na vybrané vstupní údaje. Některé úlohy vyžadují spojit vědomosti z několika částí fyziky, jiné můžeme řešit jenom tehdy, když uvážíme informace z techniky nebo z dalších přírodovědných disciplín. Řešení každé úlohy musí být tedy doplněno dalším komentářem, nelze jen vybrat vhodný fyzikální vztah a zbavit se“ problému. ” Velmi důležitým krokem je tzv. diskuse řešení, která dává do souvislosti nejen dané a doplněné hodnoty veličin, ale také porovnává získané Ročník 84 (2009), číslo 4

37

SOUTĚŽE

výsledky se skutečností či tabelárními hodnotami. V posledních letech zadáváme i takové úlohy, pro jejichž řešení je vhodné otevřít vhodné internetové stránky. Několik rad, jak řešit fyzikální úlohy: 1. Pečlivě si prostuduj text úlohy a snaž se pochopit všechny jeho části. Velmi důležité je pochopit, o jakém problému se v úloze jedná. 2. Označ fyzikální veličiny tak, jak jste zvyklí z výuky fyziky, hodnoty si zpravidla hned převeď do mezinárodní soustavy jednotek. 3. Nezapomeň si nakreslit situační náčrtek, pomůže ti často rychle se orientovat v daném problému. 4. Proveď fyzikální analýzu situace – vytvoř si zjednodušující modely a vyber vztahy, o nichž předpokládáš, že je použiješ při řešení. Vytvoř si rámcový plán řešení. 5. Úlohu řeš nejprve obecně, tj. nedosazuj za písmena dané hodnoty, pomůže ti to často dostat se rychleji k cíli a řešíš současně všechny podobné úlohy. Tak dostaneš závěrečný vztah, kde na levé straně máš hledanou veličinu a napravo máš veličiny, jejichž hodnoty znáš z textu úlohy nebo je umíš zjistit. 6. Dosaď do vztahu místo hodnot veličin pouze jejich jednotky a proveď tak tzv. jednotkovou kontrolu. Vyjde-li ti správná jednotka výsledku, máš velkou naději, že daný vztah je správný. 7. Dosaď hodnoty veličin a známé konstanty, použij kalkulátor a snaž se pokud možno rychle a ekonomicky dostat k hodnotě výsledku. Nezapomeň na stanovení hledaného výsledku s přijatelným počtem platných číslic – neopisuj tedy jen výsledek z kalkulátoru. 8. Pro kontrolu použij některé z grafických metod (někdy to bude jediný způsob, jak se dostat k výsledku, zvláště, není-li tvá matematická příprava dostatečná). Někdy musíš vykonat kontrolní experiment. 9. Nezapomeň provést diskusi řešení s ohledem na dané hodnoty veličin a vybraný model k řešení problému. 10. Stanov odpověď na otázku danou textem problému. Nezapomeň, že někdy jde jen o číselnou hodnotu hledané veličiny, jindy získaný výsledek je předpokladem pro vyslovení slovní odpovědi. Zdají se ti úlohy obtížné? Nezapomeň na známou pravdu: čím více si nakreslíš obrázků, čím více se v pokusech či představách přiblížíš situaci, o níž se v úloze jedná, čím více uděláš přípravných činností, tím snadněji se potom dostaneš k výsledku. Další informace najdeš v učebnicích a na Internetu: www.uhk.cz/fo, http://fo.cuni.cz 38


PRO ŽÁKY ZÁKLADNÍCH ŠKOL Číselné úlohy roku 2009 Dušan Jedinák, Trnava Abstract. The article presents some muptiple-choice problems related to the number 2009.

1. Koľko prirodzených čísiel od 1 do 106 končí štvorčíslom 2009? A) 9 B) 99 C) 100 D) 101 E) 1001 2. Aká je hodnota výrazu 1 + 2 − 3 − 4 + 5 + 6 − 7 − 8 + 9 + 10 − 11 − · · · + 2006 − 2007 − 2008 + 2009? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 1000 3. Posledná cifra čísla 1 + 92009 je: A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 4. Koľko prvočísiel menších než 2009 má ciferný súčet dve? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 5. Zápis čísla K v desiatkovej sústave sa skladá z 2010 deviatok (999 . . . 999). Koľko deviatok obsahuje číslo K 2 ? A) 0 B) 1 C) 2008 D) 2009 E) 2010 6. Prvá číslica najmenšieho prirodzeného čísla, ktorého súčet číslic je 2009, je: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7. Posledná cifra desatinného rozvoja čísla 5−2009 je: A) 5 B) 4 C) 2 D) 1 E) 0 8. Zapíšeme za sebou čísla od 1 do 999; dostaneme číslo 12345678910111213 . . . 997998999. Aká číslica je na 2009. mieste od začiatku? A) 0 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7 . 1 9. Posledná cifra desiatkového zápisu čísla 20092008 A) 0 B) 1 C) 3 D) 7 E) 9

. 2 2007.

je:

2009 . .. 2009

10. Posledná cifra čísla 20092009 A) 0 B) 1 C) 3 D) 7 E) 9

(kde skupina 2009 je 2009krát) je:

Správné odpovědi najdete na str. 9 Ročník 84 (2009), číslo 4

39

ZPRÁVY Mezinárodní olympiáda v informatice IOI 2009 Pavel Töpfer, MFF UK Praha Dvacátý první ročník Mezinárodní olympiády v informatice IOI 2009 se konal ve dnech 8. – 15. 8. 2009 v bulharském městě Plovdiv nejen za velké pozornosti představitelů města a médií, ale dokonce s přímou účastí bulharského prezidenta a ministryně školství na slavnostním zahájení. Na olympiádu do Bulharska přijely výpravy z 82 zemí celého světa. Z každé země se IOI mohou zúčastnit čtyři soutěžící a dva vedoucí, celkově letos soutěžilo 312 studentů. České družstvo bylo sestaveno na základě výsledků, kterých dosáhli studenti v ústředním kole 58. ročníku Matematické olympiády – kategorie P. Bylo tvořeno těmito studenty: Vlastimil Dort, student gymnázia Špitálská v Praze, Hynek Jemelík a David Klaška, oba studenti gymnázia na tř. Kpt. Jaroše v Brně, a Karel Tesař, student VOŠ a SPŠE v Plzni. Vedoucími české delegace na IOI 2009 byli jmenováni doc. RNDr. Pavel Töpfer, CSc. a Mgr. Zdeněk Dvořák, Ph.D., oba z Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy v Praze. Soutěže se od nás zúčastnil také Mgr. Martin Mareš, Ph.D., rovněž pracovník MFF UK v Praze, a to jako člen Mezinárodního vědeckého výboru IOI. Naši účastníci IOI se již tradičně připravovali na olympiádu na týdenním soustředění CPSPC (Czech-Polish-Slovak Preparation Camp), kam byli pozváni společně s reprezentanty vybranými na Středoevropskou olympiádu v informatice CEOI 2009. Přípravné soustředění v letošním roce uspořádali polští organizátoři olympiády a zúčastnili se ho vybraní studenti ze všech tří zemí. Soutěž IOI probíhá podobným způsobem, jako praktická část ústředního kola naší Matematické olympiády – kategorie P, ovšem ve dvou soutěžních dnech. Každý soutěžící má přidělen osobní počítač, na kterém řeší po dobu 5 hodin zadané úlohy. Zatímco dříve se na IOI zadávaly v každém soutěžním dnu tři poměrně náročné problémy, letos dostali soutěžící každý den úlohy čtyři, z nichž ale jedna byla výrazně snadnější. Ta byla přidána proto, aby i soutěžící s menšími programátorskými dovednostmi a zkušenostmi měli šanci nějakou úlohu každý 40


ZPRÁVY

den vyřešit. V minulosti se totiž stávalo, že dost účastníků olympiády nevyřešilo úspěšně ani jednu úlohu. Hotové programy se na IOI odevzdávají k vyhodnocení prostřednictvím soutěžního prostředí, testují se pomocí předem připravené sady testovacích dat. Prováděné testy jsou navíc omezeny časovými limity, aby se kromě otestování správnosti odlišila i časová náročnost použitého algoritmu. Při testování každé úlohy se používají sady testovacích dat různé velikosti, takže teoreticky zcela správné řešení založené na neefektivním algoritmu zvládne dokončit výpočet pouze pro některé, menší testy. Takové řešení je potom ohodnoceno částečným počtem bodů. U některých úloh dostanou soutěžící krátce po odevzdání programu částečnou odezvu, jak dopadl test odevzdaného programu pro některá z testovacích vstupních dat. Na základě toho mohou svůj program ještě opravit a odevzdat ho znovu. V případě nově přidaných snadnějších úloh dostanou dokonce úplnou informaci o výsledcích testování, což jim ladění programu značně usnadní. Každá z osmi soutěžních úloh byla hodnocena 100 body, takže celkově bylo možné získat maximálně 800 bodů. Vítězem soutěže se stal Genadii Karatzkevitch z Běloruska, který dosáhl výsledku 743 bodů. Na základě přesně stanovených pravidel se na IOI podle dosažených bodů rozdělují medaile. Některou z medailí obdrží nejvýše polovina účastníků soutěže, přičemž zlaté, stříbrné a bronzové medaile se udělují přibližně v poměru 1 : 2 : 3 (s ohledem na to, aby soutěžící se stejným bodovým ziskem získali stejnou medaili). Na letošní IOI bylo rozděleno celkem 26 zlatých, 50 stříbrných a 73 bronzových medailí. 73. místo

David Klaška

497 bodů

stříbrná medaile

94. místo

Vlastimil Dort

458 bodů

bronzová medaile

140. místo

Hynek Jemelík

403 bodů

bronzová medaile

260. místo

Karel Tesař

179 bodů

Mezinárodní olympiáda v informatice je soutěží jednotlivců a žádné pořadí zúčastněných zemí v ní není vyhlašováno. Podle dosažených výsledků bychom se ale jistě umístili v lepší polovině. Nejúspěšnějšími zeměmi byly letos Čína a Korea se třemi zlatými medailemi. O všechny účastníky IOI 2009 bylo v Bulharsku dobře postaráno, organizátoři zajistili ubytování a stravování v kvalitních hotelech a pro zájemce i doprovodný program na dobu volného času. Na programu tak Ročník 84 (2009), číslo 4

41

ZPRÁVY

byla prohlídka starého města s jeho bohatými architektonickými památkami, návštěva aquaparku a zábavního střediska s bowlingem a motokárami i celodenní výlet k moři. Všechny podrobnosti o soutěži, texty soutěžních úloh i jejich řešení a celkové výsledky lze nalézt na Internetu na http://www.ioi2009.org. Příští ročník IOI se bude konat v Kanadě ve dnech 14.–21. 8. 2010 v Ontariu v areálu Univerzity Waterloo. Další IOI uspořádají po řadě Thajsko (2011), Itálie (2012) a Austrálie (2013).

Úspěch na MFO v Mexiku: 5 medailí Bohumil Vybíral, Jan Kříž, Ivo Volf, UHK, Hradec Králové Jubilejní 40. ročník Mezinárodní fyzikální olympiády (MFO, resp. IPhO) – vrcholové světové soutěže středoškolských studentů ve fyzice – pořádala ve dnech 11. – 19. července 2009 Mexická fyzikální společnost. Soutěž proběhla ve městě Merida, ve státě Yucatan pod záštitou prezidenta Spojených států mexických C. Felipe Calderóna Hinojosy a guvernérky státu Yucatan C. Ivonne Ortega Pacheco. Českou delegaci tvořilo pět studentů, které vyslalo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy ČR: Michal Koutný, Gymnázium Třebíč, Jan Humplík, První české gymnázium v Karlových Varech, Richard Polma, Gymnázium Mladá Boleslav, Jáchym Sýkora, Gymnázium Ch. Dopplera, Praha 5, Petr Ryšavý, Gymnázium Jaroslava Heyrovského, Praha 5. Náhradníky soutěžících (necestující) byli Jan Nevoral z gymnázia v Jihlavě a Michael Hakl z gymnázia Ch. Dopplera v Praze 5. Vedoucím delegace byl prof. Ing. Bohumil Vybíral, CSc. a pedagogickým vedoucím RNDr. Jan Kříž, Ph.D., oba z Univerzity Hradec Králové. Členové českého družstva byli vybráni na základě výběrového soustředění, které se konalo v termínu 8.–10. dubna 2009 v Hradci Králové. Na toto soustředění bylo pozváno všech 11 vítězů celostátního kola 50. ročníku Fyzikální olympiády (FO) kategorie A, konaného v únoru 2009 42


ZPRÁVY

v Praze. Přípravu družstva a jeho náhradníků organizoval prof. RNDr. Ivo Volf, CSc., vedoucí katedry fyziky Pedagogické fakulty Univerzity Hradec Králové. Příprava probíhala ve dvou etapách: jednak korespondenční formou, jednak na desetidenním intenzivním soustředění na katedře fyziky v Hradci Králové v červnu 2009. Část přípravy v Hradci Králové proběhla společně se slovenským družstvem. Vedení obou výprav považuje společnou přípravu za velmi přínosnou. Delegace nastoupila cestu na 40. MFO z organizačních důvodů již o jeden den dříve, 10. 7. 2009 (v 9:30 odlet z Prahy), na místo dorazila dne 11. 7. v 01:30 místního času (tedy již v den oficiálního příjezdu). Z Prahy se přesunula česká delegace letecky do Meridy s přestupy v Paříži a Ciudad de Mexico. Studenti byli v Meridě ubytováni v hotelu El Castellano, vedoucí v odlehlém hotelu Fiestamericana.

Obr. 1: Členové úspěšné delegace

Program soutěže Neděle 12. 7. Slavnostní zahájení. Studenti – pěší prohlídka města Merida; vedoucí – diskuse teoretických úloh soutěže a jejich překlad a tisk do národních jazyků (činnost do ranních hodin 13. 7.). Pondělí, 13. 7. Studenti – řešení 3 teoretických úloh (5 hodin); vedoucí – exkurze do Uxmalu (mayské ruiny). Ročník 84 (2009), číslo 4

43

ZPRÁVY

Úterý, 14. 7. Studenti – exkurze do Uxmalu; vedoucí – diskuse a překlad experimentální úlohy soutěže do národních jazyků a jejich tisk. Středa, 15. 7. Studenti – dopoledne řešení experimentálního problému (5 hodin); odpoledne přednáška nositele Nobelovy ceny prof. J. Taylora Binární pulsary a relativistická gravitace“; vedoucí – exkurze do ” přírodní rezervace Ría Celestún, odpoledne přednáška prof. J. Taylora (společně se studenty) a večer oprava teoretických úloh (nezávislá na opravách organizátorů). Čtvrtek, 16. 7. Studenti – celodenní výlet na pláž pobřeží Mexického zálivu; vedoucí – dopoledne zasedání mezinárodní jury MFO, odpoledne moderování teoretických úloh (diskuse k opravám s komisemi opravujících) a večer nezávislá oprava experimentální úlohy vedoucími delegací. Pátek, 17. 7. Studenti – dopoledne výlet do Dzibilchaltúnu (mayské ruiny); vedoucí – dopoledne moderování řešení experimentální úlohy, odpoledne zasedání mezinárodní jury (schválení výsledků soutěže a volba nového sekretáře MFO: zvolen byl Ming-Juey Lin z Taiwanu). Společná večeře všech delegací. Sobota, 18. 7. Studenti i vedoucí společně – celodenní výlet do Chichen Itzá (mayské ruiny) a do Izamalu (bývalé koloniální město s klášterem a zbytky mayské kultury). Neděle, 19. 7. Slavnostní vyhlášení výsledků 40. MFO a společný oběd všech účastníků. Pondělí, 20. 7. Den odjezdu. Česká delegace odlétala v 16:00 místního času s příletem do Prahy dne 21. 7. v 16:05. Úlohy zadané do soutěže Organizátoři připravili soutěžícím tyto teoretické úlohy (náročné jak na metodu, tak na čas): 1. Vývoj soustavy Země–Měsíc. Šlo o klasickou úlohu z mechaniky, jejímž cílem byla analýza vzájemného vlivu rotace Země kolem své osy a oběžného pohybu Měsíce prostřednictvím slapových jevů a vedle toho kalkulace energie. 2. Dopplerovské laserové chlazení a optická melasa. Úkolem této moderní úlohy bylo vyvinout jednoduchou teorii pro pochopení jevů tzv. laserového chlazení“ a optické melasy“. ” ” 3. Proč jsou hvězdy tak velké? V této astrofyzikální úloze studenti použili klasický i kvantově mechanický přístup společně s elektrostatikou 44


ZPRÁVY

a termodynamikou k odhadu minimální velikosti hvězdy k tomu, aby v ní mohla probíhat jaderná fúze. Experimentální úloha. Šlo vlastně o dvojúlohu se dvěma nezávislými optickými úkoly na stejné optické soupravě. V první úloze bylo úkolem určit vlnovou délku diodového laseru. Zvláštností tohoto měření bylo, že nemohly být použity žádné pomůcky s mikrometrickými škálami (jako například difrakční mřížky s danou mřížkovou konstantou). Ve druhé úloze se měřil dvojlom ve slídě. V obou úlohách tedy šlo o netradiční metody, spojené s velkými požadavky na počet a přesnost a časovou náročnost prováděných úkonů. Účastníci soutěže Soutěže se aktivně zúčastnilo celkem 316 studentů z 68 států a teritorií z pěti světových kontinentů. Některé delegace měly počet soutěžících menší než pět. Čtyři další státy vyslaly pouze své pozorovatele. Původně přislíbilo aktivní účast 85 států, avšak některé na soutěž nepřicestovaly z důvodu hrozby pandemie tzv. prasečí chřipky. Zdravotní problémy se však neprojevily (jen nějaké zažívací potíže – mimo naši delegaci). Mezi 68 zúčastněnými státy bylo 24 států Evropské unie, nepřicestovaly pouze delegace Malty, Řecka a Lucemburska. Výsledky Nejlepšího výsledku dosáhla soutěžící Handuo Shi z Čínské lidové republiky (získala 48,2 bodů z 50 možných). Kromě ceny za absolutní vítězství získala tato soutěžící i cenu pro nejlepší dívku v soutěží a cenu za nejlepší experimentální úlohu. Bylo to poprvé v celé historii IPhO, kdy získala absolutní prvenství dívka. Podle statutu soutěže byly uděleny minimálně 8 % soutěžících zlaté medaile, dalším 17 % stříbrné, dalším 25 % bronzové medaile a dalším 17 % čestná uznání. Tím se stanovila hranice (bez dalšího zaokrouhlování) pro získání jednotlivých medailí na 40. MFO takto: min. min. min. min.

33,35 25,10 17,45 13,05

bodů bodů bodů bodů

pro pro pro pro

zlatou medaili stříbrnou medaili bronzovou medaili čestné uznání

Po konečném stavu hodnocení (po provedené moderaci za účasti vedoucích delegací) zlatou medaili získalo 41 soutěžících, stříbrnou meRočník 84 (2009), číslo 4

45

ZPRÁVY

daili 70 soutěžících a bronzovou medaili 79 soutěžících. Čestné uznání bylo uděleno 45 soutěžícím. K nejlepším řešitelům patří již tradičně jednotlivci družstev těchto států: Čína (ČLR), Korejská republika, Indie, USA, Taiwan, Rusko, Rumunsko, Singapur, Thajsko a Indonésie. Česká republika se v neoficiálním pořadí států (podle bodového součtu všech soutěžících) zařadila na 27. příčku (8. místo v EU). České družstvo bylo na 40. MFO úspěšné, když všichni jeho členové získali medaile (bylo to teprve podruhé v historii samostatné České republiky). Letošní úspěch jednotlivých českých řešitelů je tento: Jan Humplík, 25,55 bodů, stříbrná medaile Michal Koutný, 25,35 bodů, stříbrná medaile Richard Polma, 23,25 bodů, bronzová medaile Jáchym Sýkora, 23,20 bodů, bronzová medaile Petr Ryšavý, 21,40 bodů, bronzová medaile

Obr. 2: České medaile

Organizace a průběh soutěže Mexičtí organizátoři připravili soutěž pečlivě s velmi náročnými a pěknými úlohami. Program celé 40. MFO byl pestrý a veškeré drobné nedostatky v jeho průběhu dokázali organizátoři vyřešit. Hostem soutěže byl také prof. Joseph Taylor, laureát Nobelovy ceny z roku 1993. Prof. Taylor proslovil přednášku a při závěrečném ceremoniálu předával zlaté medaile. 46


ZPRÁVY

Závěry Výsledky 40. MFO ukázaly, že členové českého družstva byli na soutěž opět dobře a pečlivě vybráni. Soutěžící se na soutěž vcelku velmi dobře připravili. Ačkoliv se může zdát, že po minulých dvou mimořádně úspěšných ročnících zaznamenala česká delegace ústup z předních pozic, podle našeho názoru si stále udržela vysoký standard. Navíc došlo v českém družstvu k jakési generační výměně“, členem letošního týmu nebyl ” ani jeden z velmi úspěšných soutěžících z minulosti. Za vyzdvihnutí stojí velká vyrovnanost českých studentů (mezi nejlepším a nejhorším“ jsou ” jen 4 body rozdílu). Přistupuje k tomu i fakt, že všichni získali medaili. Dva z úspěšných medailistů mají navíc šanci se zúčastnit i příští MFO, která proběhne v červenci 2010 v chorvatském Záhřebu. V přípravě na MFO je třeba dále prohloubit jistotu při řešení teoretických i experimentálních úloh (soutěž klade velké nároky také na rychlost vyřešení zadaných úkolů). Dále je nutné pěstovat také zručnost pro zvládnutí experimentálních úkolů soutěže a schopnost vyhodnocovat chyby měření. Podrobnosti o soutěži (program, zadání a řešení soutěžních úloh, bodové výsledky oceněných jednotlivců) může čtenář najít na webovské stránce: http://ipho2009.smf.mx.

3. Středoevropská matematická olympiáda Pavel Calábek, PřF UP Olomouc, Martin Panák, MU AV Brno Třetí středoevropská matematická olympiáda (Middle European Mathematical Olympiad, zkráceně MEMO) se uskutečnila 24. 9. až 29. 9. 2009 v polském městě Poznaň za účasti 59 studentů z 10 zemí středoevropského regionu, jmenovitě z Česka, Chorvatska, Litvy, Maďarska, Německa, Polska, Rakouska, Slovenska, Slovinska a Švýcarska. Reprezentace České republiky byla sestavena na základě výsledků celostátního kola 58. ročníku matematické olympiády. Do družstva pro MEMO byli nominováni nejlepší řešitelé celostátního kola z nematuritních ročníků středních škol, kteří zároveň letos nebyli na Mezinárodní matematické olympiádě. Českou republiku reprezentovali Petr Boroš a Simona Domesová (oba GMK v Bílovci), Radek Marciňa (G v Praze 5, Zborovská), Miroslav Olšák (GB v Praze 5), Petr Ryšavý (G v Praze, Ročník 84 (2009), číslo 4

47

ZPRÁVY

Mezi Školami) a Bohuslav Zmek (G v Brně, tř. Kpt. Jaroše). Vedoucím české delegace a jejím zástupcem v jury byl Mgr. Martin Panák, Ph.D., z Přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně. Jeho zástupcem a pedagogickým vedoucím byl RNDr. Pavel Calábek, Ph.D., z Přírodovědecké fakulty Univerzity Palackého v Olomouci. Vlastní soutěž probíhala v prostorách Fakulty matematiky a informatiky University Adama Mickiewicze, a to ve dvou dnech: v sobotu 26. září byla na programu soutěž jednotlivců, v neděli 27. září se pak konala soutěž družstev. V soutěži jednotlivců řešili žáci v průběhu pěti hodin čtyři úlohy, v týmové soutěži pak každé národní družstvo mělo stejný čas na řešení osmi úloh. Příklady do soutěže vybírala z návrhů jednotlivých účastnických států mezinárodní jury složená z vedoucích jednotlivých národních delegací. Po loňských výsledcích, kdy se vybrané úlohy ukázaly jednoduchými, přistoupila jury pod vedením dr. Ma lgorzaty Bednarské k drobné úpravě pravidel a vybrala úlohy náročnější. V pondělí po soutěži studenti navštívili lanové centrum a mnohým z nich zůstane tato atrakce nesmazatelně vryta do paměti. Po této fyzicky náročnější aktivitě následovalo večer slavnostní zakončení soutěže, které proběhlo v historické budově univerzity v centru Poznaně. Podle očekávání oba dny soutěže kralovali soutěžící Polska a Maďarska, kterým zdatně sekundoval tým Německa. V soutěži jednotlivců bylo uděleno šest zlatých medailí, tři z nich získali soutěžící z Maďarska, dvě reprezentanti Polska a po jedné Německa a Slovenska. Absolutním vítězem se stal maďarský soutěžící Bertalan Bodor se ziskem 30 bodů z 32 možných. Dva soutěžící na druhém místě získali 20 bodů. Uveďme pro představu počty zlatých, stříbrných a bronzových medailí získaných jednotlivými družstvy v soutěži jednotlivců. Česká republika (0–1–4), Chorvatsko (0–2–3), Litva (0–0–1), Maďarsko (3–1–2), Německo (1–2–2), Polsko (2–3–1), Rakousko (0–1–2), Slovensko (1–1–0), Slovinsko (0–2–3), Švýcarsko (0–0–1). Z českého týmu zabojoval Bohuslav Zmek , který se ziskem 15 bodů obsadil osmé místo a získal stříbrnou medaili; fakt, že za 16 bodů se udělovala zlatá medaile, ho snad brzy přebolí. Pěkné výsledky a bronzové medaile získali ještě Simona Domesová, Miroslav Olšák , Petr Ryšavý (všichni 9 bodů, 27. místo) a Radek Marciňa (8 bodů, 36. místo). V soutěži družstev získal prvenství tým Polska (60 bodů ze 64 možných), druhé místo Maďarsko (55 b.) a 52 bodů získaly týmy Německa a Chorvatska, z nichž prvně jmenovaný získal třetí místo díky většímu počtu plně bodovaných řešení. Pěkné páté místo obsadil český tým (42 b.), což oproti loňsku znamená zlepšení o dvě místa. Podrobnější 48


ZPRÁVY

výsledky můžete najít na internetových stránkách této soutěže na adrese http://www.memo2009.wmi.amu.edu.pl/. V následujících tabulkách uvádíme detailní výsledky českých studentů a výsledky národních družstev v týmové soutěži: Body za úlohu Body Cena Umístění Jméno 1 2 3 4 1. Bertalan Bodor 6 8 8 8 30 G 2.–3. Fabian Gundlach 8 3 8 1 20 G 2.–3. Szymon Kubicius 8 3 8 1 20 G .. . 8.–12. 27.–35. 27.–35. 27.–35. 36.–39. 52.–55. Pořadí 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.–8. 7.–8. 9. 10.

Bohuslav Zmek Simona Domesová Miroslav Olšák Petr Ryšavý Radek Marciňa Petr Boroš

Polsko Maďarsko Německo Chorvatsko Česká republika Slovinsko Slovensko Rakousko Švýcarsko Litva

5 0 0 0 0 0 1 8 6 8 8 8 8 7 8 0 8

1 0 0 0 0 0

8 8 8 8 8 0

1 1 1 1 0 1

Body za úlohu 2 3 4 5 6 7 6 8 8 8 8 6 5 8 8 8 4 8 4 8 8 8 8 0 5 8 5 8 2 8 6 8 8 8 3 1 2 8 0 8 0 2 3 8 6 8 0 1 3 4 3 2 0 8 2 4 8 8 0 0 2 4 0 5 0 1

15 9 9 9 8 1

S B B B B Celkem

8 8 8 8 8 0 8 1 6 8 4

50 55 52 52 42 36 34 34 30 24

V soutěži jednotlivců český tým neměl problém s geometrickou úlohou, zbývající úlohy byly pro většinu týmu nepřekonatelnou překážkou. Pouze Bohuslav Zmek vyřešil podstatnou část algebraické úlohy (funkcionální rovnice). Nejen český tým měl problém s úlohou z teorie čísel, ukázala se jako nejtěžší, řešitelé odevzdali pouze jedno úplné a dvě částečná řešení. V soutěži družstev český tým překvapil, když úplně zvládl obě kombinatorické úlohy, obě algebraické úlohy také vyřešil skvěle a dobře se popasoval s geometrickými úlohami. Zato úlohy z teorie čísel se opět ukázaly být pro český tým nepřekonatelnou překážkou. Po dobrých výRočník 84 (2009), číslo 4

49

ZPRÁVY

sledcích se tak můžeme těšit na příští ročník MEMO, na který pozvali účastníky pořadatelé ze Slovenska. Můžeme doufat, že se nové reprezentaci na současné výsledky podaří navázat. Na závěr ještě uvádíme zadání všech dvanácti soutěžních úloh. Soutěž jednotlivců (26. září 2009) 1. Najděte všechny funkce f : R → R splňující f (xf (y)) + f (f (x) + f (y)) = yf (x) + f (x + f (y)) pro libovolná reálná x, y. (R značí množinu reálných čísel.) 2. Mějme n ≥ 3 různých barev. Nechť f (n) je největší přirozené číslo s následující vlasností: každou stranu a každou úhlopříčku konvexního f (n)-úhelníku můžeme obarvit jednou z n barev tak, že • jsme použili minimálně dvě barvy, • každé tři vrcholy daného mnohoúhelníka určují tři úsečky buď stejné barvy nebo navzájem různých barev. Dokažte, že f (n) ≤ (n − 1)2 a že rovnost v této nerovnosti nastává v nekonečně mnoha případech. 3. Nechť ABCD je konvexní čtyřúhelník se shodnými stranami AB a CD, které nejsou rovnoběžné. Označme E, F středy úhlopříček AC a BD. Přímka EF protíná úsečky AB a CD po řadě v bodech G a H. Ukažte, že | AGH| = | DHG|. 4. Určete všechna přirozená k ≥ 2 taková, že pro žádnou dvojici (m, n) různých kladných celých čísel nepřevyšujících k není číslo nn−1 − mm−1 dělitelné číslem k. Soutěž družstev (27. září 2009) 1. Nechť reálná čísla x, y, z splňují podmínku x2 + y 2 + z 2 + 9 = 4(x + y + z). Dokažte, že x4 + y 4 + z 4 + 16(x2 + y 2 + z 2 ) ≥ 8(x3 + y 3 + z 3 ) + 27, a určete, kdy nastává rovnost. 50


ZPRÁVY

2. Nechť a, b, c jsou reálná čísla taková, že pro každé dvě z rovnic x2 + ax + b = 0,

x2 + bx + c = 0,

x2 + cx + a = 0

existuje právě jedno reálné číslo, které je řešením obou. Určete všechny možné hodnoty výrazu a2 + b2 + c2 . 3. Na tabuli jsou napsána čísla 0, 1, 2, . . . , n (n ≥ 2). V každém kroku vymažeme číslo, které je aritmetickým průměrem dvou různých čísel, která ještě na tabuli zůstala. Tyto kroky opakujeme tak dlouho, dokud už žádné další číslo na tabuli nemůžeme smazat. Buď g(n) nejmenší možný počet čísel, která na tabuli mohou zůstat. Pro každé n určete g(n). 4. Každé políčko hrací desky 2009 × 2009 obarvíme jednou z n barev (nemusíme použít každou z nich). Barvu nazveme souvislou, jestliže existuje buď jediné políčko dané barvy, nebo libovolná dvě políčka jsou vzájemně dosažitelná posloupností tahů šachové dámy takových, že se při nich dáma může zastavit pouze na políčkách dané barvy (šachová dáma se po hrací desce může pohybovat vertikálně, horizontálně a diagonálně). Určete největší n takové, že pro libovolné obarvení bude alespoň jedna barva použitá na hrací desce souvislá. 5. Nechť ABCD je rovnoběžník, kde | BAD| = 60◦ a označme E průsečík jeho úhlopříček. Kružnice opsaná trojúhelníku ACD protíná přímku BA v bodě K = A, přímku BD v bodě P = D a přímku BC v bodě L = C. Přímka EP protíná kružnici opsanou trojúhelníku CEL v bodech E a M . Dokažte, že trojúhelníky KLM a CAP jsou shodné. 6. Nechť ABCD je tětivový čtyřúhelník a |CD| = |DA|. Body E a F leží po řadě na úsečkách AB a BC, navíc | ADC| = 2| EDF |. Úsečka DK je výškou a DM těžnicí trojúhelníka DEF . Nechť L je obraz bodu K ve středové souměrnosti podle bodu M . Dokažte, že přímky DM a BL jsou rovnoběžné. 7. Nalezněte všechny dvojice (m, n) celých čísel, které splňují rovnici (m + n)4 = m2 n2 + m2 + n2 + 6mn. 8. Najděte všechna řešení rovnice 2x + 2009 = 3y 5z v množině nezáporných celých čísel. Ročník 84 (2009), číslo 4

51

ZPRÁVY

Vzpomínka na doktora Juru Charváta

Jura Charvát, doktor přírodních věd, kandidát věd, učitel na Stavební fakultě Českého vysokého učení technického v Praze, zemřel dne 19. srpna 2009 ve věku 62 let. Vzpomínáme na něj na stránkách Rozhledů matematicko-fyzikálních, protože pro náš časopis několik let pracoval. Dále citujme ze smutečního oznámení, které zveřejnila Stavební fakulta v Praze: Jura Charvát se narodil 29. dubna 1947 v Novém Jičíně, dětství prožil ” v Kopřivnici, v nedalekém Příboru vystudoval SVVŠ. Již během studia Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy v Praze začal působit na Katedře matematiky a deskriptivní geometrie FSv ČVUT – nejdříve jako pomocná vědecká síla (od roku 1967), později jako poloviční asistent (od roku 1968) a od absolvování MFF UK v roce 1970 nepřetržitě působil na katedře nejprve jako pedagogický a později jako odborný asi52


ZPRÁVY

stent. V roce 1976 na základě rigorózní práce (diferenciální geometrie) získal titul RNDr., v roce 1989 v rámci externí aspirantury v oboru matematická analýza na katedře matematiky FEL ČVUT (metoda časové diskretizace, školitel prof. Rektorys) titul CSc. Dr. Charvát se intenzivně věnoval pedagogické činnosti, byl přísným a náročným učitelem, vyučoval přitom s láskou a opravdovým zaujetím. Ve výuce se soustředil především na matematiku, dlouhá léta působil na studijním oboru KD, na kterém organizoval diferencovanou výuku. Kromě řady textů a skript napsal i úspěšnou dvoudílnou celostátní učebnici (společně s B. Budinským), vyznamenanou literární prémií České matice technické a MŠMT. Byl rovněž spoluautorem gymnaziálních učebnic (poz. autora: např. společně jsme připravili učebnici Rovnice a nerovnice vydanou nakladatelstvím Prometheus) a skript v roli recenzenta – mj. byl recenzentem za Matematickou vědeckou sekci JČMF vznikajícího patnáctidílného kompletu učebních textů pro víceletá gymnázia. Od roku 2002 intenzivně pracoval na přípravě třístupňového studia. Byl pověstným znalcem sazby TEXem, postupně sázel nejen texty své, ale i texty kolegů. Jura byl také velmi aktivní na poli kulturně-literárním. V sedmdesátých a osmdesátých letech se podílel na organizaci stovek kulturních programů v rámci Klubu spřízněných duší, později Jonáš-klubu, kterého byl po určitou dobu předsedou. Samizdatově vydal asi 40 knižních titulů (dnes) známých autorů (Hrabal, Vodňanský, Pavel, Burian, Dědeček, Havel, Vaculík atd.), přitom mnohdy šlo o první vydání.“ Doplňme ještě úspěchy Jury Charváta jako středoškoláka v soutěži matematická olympiáda. Ve 12. ročníku soutěže (1962–1963) se v severomoravském kraji umístil na 1. místě v kategorii C, ve 13. ročníku (1963–1964) se v témže kraji umístil na 5. místě v kategorii B a ve 14. ročníku (1964–1965) se umístil v celostátním kole kategorie A na 1. –2. místě. Na základě tohoto posledního úspěchu se v roce 1965 zúčastnil 7. mezinárodní matematické olympiády konané v Berlíně. Jak již bylo řečeno, v letech 2005–2007 se dr. Charvát podílel na obnově vydávání našeho časopisu Rozhledy matematicko-fyzikální, a to jako člen redakční rady, hlavně však jako sazeč a korektor. Také díky němu časopis získal vysokou kvalitu grafickou i obsahovou. Na Juru Charváta budeme vzpomínat s úctou jako na pracovitého, spolehlivého, náročného vůči sobě i jiným a tvůrčího kolegu. Jaroslav Zhouf, PedF UK Praha Ročník 84 (2009), číslo 4

53

NAŠE SOUTĚŽ NAŠE SOUTĚŽ V prvních třech číslech letošního ročníku Rozhledů matematickofyzikálních byla znovu otevřena rubrika Naše soutěž . Byly tam vždy zadány dvě úlohy, jedna matematická, druhá fyzikální. V tomto čísle jsou předloženy další dvě úlohy. Můžete je vyřešit a řešení poslat na adresu redakce. Řešení může být v elektronické či papírové podobě. Redakce vaše řešení opraví a opravené vám je zašle zpět. V některém z následujících čísel pak najdete úlohy vyřešené. Za řešení každé úlohy můžete získat až 5 bodů. Soutěž je kontinuální, což znamená, že se výsledky jednotlivých řešitelů budou sčítat a povede se průběžná výsledková listina. V listině se nebudou rozlišovat úlohy matematické a fyzikální. Nejlepším řešitelům se bude periodicky zasílat matematická, případně fyzikální literatura. Nyní tedy předkládáme dvě úlohy, jejichž řešení pošlete do 28. února 2010 na adresu redakce. Úloha 7. Hru hrají dva hráči. První hráč zahájí hru hodem kostky (používá se klasická kostka, součet ok na protilehlých stěnách je 7). Po úvodním hodu se již kostkou nehází, ale hráč, který je na tahu, pouze kostku přetočí na některou sousední stěnu. Součty ok (včetně úvodního hodu) na horní stěně se sčítají. Hráč, který svým tahem přesáhne součet 21, prohrává. S jakou pravděpodobností vyhraje první hráč, který hází kostkou? Hra může probíhat např. takto: První hráč hodí číslo 6, druhý hráč přetočí kostku na číslo 5 (součet je 11), první hráč přetočí opět kostku na číslo 6 (součet je 17) a druhý hráč přetočí kostku na číslo 4 (součet je 21). Znamená to, že první hráč prohrává, neboť po dalším přetočení kostky bude součet již větší než 21. (Antonín Jančařík ) Úloha 8. Neopatrný chlapec upustil z balkónu, který je ve výšce 3 m nad zemí, na chodník malý míček – hopík. Po dopadu na chodník míček vyskočil do 23 původní výšky, pak opět padal na chodník volným pádem a celý pohyb se znovu opakoval. Určete, 54


NAŠE SOUTĚŽ

a) do jaké výšky hopík vyskočí po pátém odrazu a za jak dlouho od okamžiku upuštění na zem tato situace nastane, b) poměr velikostí rychlostí při pátém a prvním dopadu na zem, c) jakou dráhu míček urazí, než se jeho pohyb utlumí. Chlapec dále přemýšlel, jak zařídit, aby míček po prvním odrazu vyskočil zpátky do téže výšky, z níž padal. d) Vysvětlete, zda je to možné, a na základě udaných hodnot určete hledanou veličinu. Řešte nejprve obecně, potom pro dané číselné hodnoty. Odpor prostředí v průběhu pohybu míčku zanedbejte. Tíhové zrychlení g = 9,81m · s−2 . (Ivo Volf ) Řešení úloh z čísla 2/2009 Úloha 3. a) Dokažte, že nelze sestrojit čtyřúhelník se shodnými vnitřními úhly a stranami délek 1, 2, 3, 4. b) Sestrojte všechny šestiúhelníky se shodnými vnitřními úhly a stranami délek 1, 2, 3, 4, 5, 6. c) Dokažte, že nelze sestrojit osmiúhelník se shodnými vnitřními úhly a stranami délek 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. (Jaroslav Zhouf ) Řešení: (podle M. Bucháčka) d c

60◦ e b f a

Obr. 1

a) Čtyřúhelník se čtyřmi shodnými vnitřními úhly má všechny úhly pravé, a jedná se tak o obdélník nebo čtverec. Ani jeden z těchto útvarů nemůže mít čtyři různé délky stran. b) Jeden vnitřní úhel takového šestiúhelníku bude mít velikost 120◦ . Ze vztahu mezi úhly (obr. 1) plyne, že každé dvě protější strany budou rovnoběžné. To znamená, že si takový šestiúhelník můžeme doplnit na Ročník 84 (2009), číslo 4

55

NAŠE SOUTĚŽ

obdélník. Potom platí: a + (b + f ) sin 30◦ = d + (c + e) sin 30◦ (b + c) cos 30◦ = (f + e) cos 30◦ Dosazením sin 30◦ =

1 2

a vydělením cos 30◦ dostáváme:

1 1 a + (b + f ) = d + (c + e) 2 2

(1)

b+c=f +e

(2)

Z rovnice (2) vyjádříme například b a dosadíme do (1): 1 1 a + (2f + e − c) = d + (c + e) 2 2 Úpravami získáme: a+f =d+c Odečtením d a f a porovnáním s (2) potom dostáváme podmínku ekvivalentní vztahům (1) a (2): a−d=c−f =e−b

(3)

Hledejme nyní všechna řešení soustavy rovnic (3) tak, aby řešením byla celá čísla 1 až 6 a každé číslo bylo přiřazeno právě jedné neznámé. Snadno zjistíme, že rozdíly v rovnicích soustavy (3) mohou nabývat pouze hodnot 1 a 3. To odpovídá například těmto dvěma řešením: (a, b, c, d, e, f ) = (6, 1, 4, 5, 2, 3) (a, b, c, d, e, f ) = (6, 1, 5, 3, 4, 2) Uvědomme si, že pokud máme nějakou šestici čísel splňující soustavu rovnic (3), další řešení můžeme získat záměnou a s d, c s f , e s b. Touto úpravou však nezískáme šestiúhelník jiného tvaru, jen cyklicky zaměníme označení stran. Další řešení můžeme získat libovolnou záměnou uspořádaných dvojic (a, d), (c, f ), (e, b). Řeší-li tedy soustavu rovnic (3) nějaká uspořádaná šestice (a, b, c, d, e, f ), řeší tuto soustavu i následující šestice: (a, f, e, d, c, b), (e, f, a, b, c, d), (c, b, a, f, e, d), (c, d, e, f, a, b), (e, d, c, b, a, f ). 56


NAŠE SOUTĚŽ

Opět si ale můžeme všimnout, že všechna tato řešení znázorňují shodný šestiúhelník, kterému jsme pouze cyklicky zaměnili délky stran nebo jej znázornili v osové souměrnosti, a je tak opačně orientován. Jedinými řešeními úlohy tak zůstávají zmíněná dvě. Pokud již známe délky stran, konstrukce takových šestiúhelníků spočívá v postupné konstrukci stran s odpovídajícími délkami. c) Snadno zjistíme, že protilehlé strany takového osmiúhelníku jsou rovnoběžné. Doplněním na obdélník je zřejmé, že musí platit: √ √ 2 2 = e + (d + f ) a + (b + h) 2 2 Protože čísla a až h jsou celá, platí a = e, což je vzhledem k požadovaným délkám stran nemožné. Sestrojit takový osmiúhelník tedy nelze. Úloha 4. Na vodorovnou železniční trať navazuje trať se stálým sklonem α = 1,00◦ , délku přechodu považujte za zanedbatelnou. Na skloněnou trať vytáhneme soupravu vagonů délky l = 240 m tak, že její dolní konec je na rozhraní nakloněné a vodorovné roviny, a odbrzdíme. Určete a) velikost rychlosti v1 , kterou bude mít souprava na vodorovné rovině, b) dobu t1 od uvedení do pohybu, za níž se celá souprava ocitne na vodorovné rovině, c) velikost rychlosti v2 a čas t2 v případě, že soupravu vytáhneme tak, že její jedna třetina spočívá na vodorovné rovině a zbývající dvě třetiny na nakloněné rovině. Řešte nejprve obecně, potom pro dané číselné hodnoty. Tíhové zrychlení (Josef Jírů) g = 9,81 m · s−2 . Řešení: (podle autora) a) Podle zákona zachování mechanické energie je získaná kinetická energie soupravy rovna její původní potenciální energii, tj. 1 1 mv12 = mg · l sin α, 2 2 z čehož v1 = Ročník 84 (2009), číslo 4

. gl sin α = 6,4 m · s−1 . 57

NAŠE SOUTĚŽ

b) Velikost síly F působící ve směru nakloněné roviny je rovna složce tíhové síly části soupravy délky x, která se právě nachází na nakloněné rovině: x F = mg sin α l Vzhledem k tomu, že velikost síly F je přímo úměrná délce x, je pohyb soupravy částí harmonického pohybu z maximální nulové výchylky, tedy po dobu čtvrtiny periody. Hledaný čas tak je m T t1 = = , 4 2 k kde tuhost určíme z krajní polohy x = l: k=

mg sin α F = x l

Po dosazení dostaneme t1 = 2

l . = 59 s. g sin α

c) Podle zákona zachování mechanické energie je získaná kinetická energie soupravy rovna její původní potenciální energii, tj. 1 1 2 2 mv22 = mg · · l sin α, 2 3 2 3 z čehož

2 2 . gl sin α = v1 = 4,3 m · s−1 . 3 3 Hmotnost soupravy ani tuhost se nezměnila, ale změnila se maximální výchylka. Takový harmonický pohyb má stejnou periodu, a proto platí v2 =

. t2 = t1 = 59 s. Řešení: (podle M. Bucháčka) Označme si výšku těžiště vagónů nad zemí ht a zvolme tuto výšku jako hladinu s nulovou potenciální energií. Předpokládejme, že před začátkem pohybu se nachází část vlaku o délce l0 na rovině (obr. 2). 58


NAŠE SOUTĚŽ

α

l− ht

l0 − s

l0 + s ht

α

Ep = 0

Obr. 2

Potenciální polohovou energii potom vypočítáme jako Ep = mgh, kde m = k(l − l0 ), k je délková hustota vlaku a h=

1 ht (l − l0 ) sin α − ht + . 2 cos α

Pro malé úhly α můžeme provést aproximaci cos α ≈ 1, potom Ep =

1 kg(l − l0 )2 sin α. 2

Pokud se vlak posune o dráhu s, bude mít část na rovině délku l0 + s a část na skloněné trati délku l − l0 − s. Potenciální energie vlaku v tomto stavu je 1 Ep = kg(l − l0 − s)2 sin α. 2 Úbytek potenciální energie se rovná přírůstku energie kinetické. Jestliže označíme v(t) rychlost vlaku po uražení dráhy s, pak platí ∆Ep = Ep − Ep =

1 1 kg (l − l0 )2 − (l − l0 − s)2 sin α = mv 2 . 2 2

Odtud dostáváme v(s) =

g sin α [(l − l0 )2 − (l − l0 − s)2 ]. l

Celkovou dobu pohybu t určíme jako

l−l0

t= 0

ds = v(s)


l g sin α

0

l−l0

ds . 2 (l − l0 ) − (l − l0 − s)2 59

NAŠE SOUTĚŽ

Zavedeme substituci sin m =

l − l0 − s . l − l0

Potom ds = −(l − l0 ) cos m. dm

s = (l − l0 )(1 − sin m), Po dosazení t=

l g sin α

0

2

(l − l0 ) cos mdm = (l − l0 )2 − (l − l0 )2 sin2 m

=

l g sin α

2 0

a po integraci t= 2

(l − l0 ) cos mdm (l − l0 ) cos m

l . g sin α

Nyní přejděme k řešení zadaných úloh: a) Po dosazení do vztahu pro v(s) za l0 = 0, s = l dostaneme v1 =

. gl sin α = 6,4 m · s−1 .

. b) Po dosazení do vztahu pro t za l0 = 0, s = l dostaneme t1 = 58,8 s. c) Po dosazení za l0 = 13 l, s = 23 l do vztahů pro v(s) a t dostaneme v2 =

2 . gl sin α = 4,3 m · s−1 , 3

. t2 = t1 = 58,8 s.

Stav soutěže po 4 soutěžních úlohách Martin Bucháček (Gymnázium Luďka Pika, Plzeň) – 16,5 bodu

60


ROZHLEDY matematicko-fyzika´lnı´

ˇ NI´KU OBSAH 84. ROC

OBSAH 84. ROČNÍKU

strana/číslo Úvodem k novému ročníku Rozhledů matematicko-fyzikálních . .

1/1

ROK ASTRONOMIE Zdeněk Janout: Astronomická emise České pošty . . . . . . . . . . . . .

1/4

Alena Šolcová: Galileo, Kepler a letošní Mezinárodní rok astronomie – 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3/1

Miloslav Machoň: Zahájení Mezinárodního roku astronomie v pařížském sídle UNESCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1/2

Ivo Volf: Mezinárodní rok astronomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1/3

MATEMATIKA Miroslava Jarešová, Jaroslav Zhouf: Spirály a jejich význam v praxi 5/3 Martina Jarošová: Konstrukce zlatého řezu . . . . . . . . . . . . . . . . . 12/2 František Katrnoška, Michal Křížek: Kleinova čtyřgrupa . . . . . . .

4/4

Pavel Pražák: Lineární funkce a rekurentně zadané posloupnosti .

6/1

Jana Strádalová: Matematika v chemii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10/4 Jaromír Šimša: Odmocniny z přirozených čísel . . . . . . . . . . . . . . 13/1 Jaroslav Švrček: O jedné úloze z ukrajinské MO . . . . . . . . . . . . .

5/2

FYZIKA Jan Horský, Vladislav Navrátil: Rozměrnost fyzikálního prostoru 23/1 Jana Kalová: Podivná voda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22/2 David Kordek: Fyzika je všude kolem nás . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13/4 Michal Musílek: Airyho zákon a zachování energie . . . . . . . . . . . . 20/3 Ivan Větvička: Zázrak mnoha sluncí na nebi . . . . . . . . . . . . . . . . 18/1 Petr Volf, Ivo Volf: Ohrožuje i nás tající ledovcová pokrývka? . . . 17/2

INFORMATIKA Zdeněk Dvořák, Martin Mareš, David Matoušek: Recepty z programátorské kuchařky Korespondenčního semináře z programování, VIII. část . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26/1

OBSAH 84. ROČNÍKU

strana/číslo Pavel Pokorný: Od numerického experimentu ke goniometrickým nerovnostem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19/4 Stanislav Trávníček: Maticové hry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24/3

HISTORIE František Jáchim: Jean Bernard Foucault a jeho slavný pokus . . . 27/2 Dušan Jedinák: Listy z kalendára – Jacob Robert Oppenheimer . 41/1 Dušan Jedinák: Listy z kalendára – Bernard Bolzano . . . . . . . . . 31/2 Rudolf Kolomý: K návštěvě Marie Sk lodowské-Curie v naší zemi v roce 1925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30/3 Ivo Kraus: Johann Wolfgang Goethe kontra Isaac Newton . . . . . 35/1 Ivo Volf: Padesát let práce se zájemci o fyziku . . . . . . . . . . . . . . . 24/4

SOUTĚŽE 51. ročník Fyzikální olympiády, úlohy 1. kola . . . . . . . . . . . . . . . 35/3 51. ročník Fyzikální olympiády, úlohy kategorií E a F . . . . . . . . . 28/4 51. ročník Fyzikální olympiády, úlohy kategore G, Archimédiády 34/4 59. ročník Matematické olympiády, úlohy domácího kola kategorie P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32/2 Úlohy domácího kola 59. ročníku Matematické olympiády pro žáky středních škol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42/1 Úlohy 50. ročníku fyzikální olympiády, kategorie G, Archimédiády 45/1 Úlohy domácího kola 59. ročníku MO pro žáky základních škol . . 41/2

PRO ŽÁKY ZÁKLADNÍCH ŠKOL Emil Calda: Umíte sčítat přirozená čísla? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48/1 Emil Calda: Součty přirozených mocnin 10 v několika úlohách . . 51/3 Dušan Jedinák: Cifry, cifry, cifričky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49/2 Dušan Jedinák: Číselné úlohy roku 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39/4

OBSAH 84. ROČNÍKU

ZPRÁVY

strana/číslo

Pavel Calábek, Martin Panák: 3. Středoevropská matematická olympiáda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47/4 Karel Horák: 49. Mezinárodní matematická olympiáda . . . . . . . . 53/1 Daniel Kráľ: Mezinárodní olympiáda v informatice IOI 2008 . . . . 58/1 Naděžda Kubešová: Ústřední kolo 58. ročníku MO, kategorie A . 60/2 Martin Panák: 50. mezinárodní matematická olympiáda . . . . . . . 55/3 Jaroslav Švrček: 2. Středoevropská matematická olympiáda . . . . 52/2 Pavel Töpfer: Ústřední kolo 58. ročníku MO, kategorie P . . . . . . 62/2 Pavel Töpfer: Mezinárodní olympiáda v informatice IOI 2009 . . . 40/4 Ivo Volf, Bohumil Vybíral: Celostátní kolo jubilejního 50. ročníku FO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56/2 Bohumil Vybíral, Jan Kříž, Ivo Volf: Úspěch na MFO v Mexiku: 5 medailí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42/4 Vzpomínka na doktora Juru Charváta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52/4

NAŠE SOUTĚŽ Naše soutěž – úlohy 1 a 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62/1 Naše soutěž – úlohy 3 a 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64/2 Naše soutěž– úlohy 5 a 6, řešení úloh 1 a 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 60/3 Naše soutěž– úlohy 7 a 8, řešení úloh 3 a 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 54/4

RECENZE Zdeněk Janout: Recenze knihy Fyzika v kulturních dějinách Evropy Století elektřiny autora I. Krause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65/3 Karel Otruba: Recenze knihy Školská matematika pod mikroskopem autora E. Caldy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65/1 Lenka Tejkalová: Recenze knihy Hry v matematice autora A. Jančaříka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65/2 Lenka Tejkalová: Recenze knihy Využití programu Excel v práci učitele matematiky autorů A. Jančaříka, A. Hošpesové a P. Dvořáka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65/4

Astronomická emise České pošty

Recommend Documents