APLIKASI PROGARAM METODE ELEMEN HINGGA PADA RANGKA RUANG (SPACE TRUSS) DENGAN PROGRAM MATLAB TUGAS AKHIR

APLIKASI PROGARAM METODE ELEMEN HINGGA PADA RANGKA RUANG (SPACE TRUSS) DENGAN PROGRAM MATLAB TUGAS AKHIR Diajukan untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi Syarat untuk menempuh ujian sarjana Teknik Sipil Disusun oleh: ADE SATRIA 03 0404 012

BIDANG STUDI STRUKTUR DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009. USU Repository © 2009

ABSTRAK

Pada perencanaan bangunan sipil saat ini banyak dipakai konstruksi rangka ruang, seperti gedung pameran, hall dan lain-lain. Untuk itu penulis berkeinginan untuk menganalisa struktur rangka tersebut. Ada beberapa metode untuk menghitung dan menganalisa struktur rangka, antara lain metode analitis dan metode numerik. Dalam tulisan ini, penulis akan manganalisa secara numeric. Adapun metode yang akan di pakai adalah Metode Elemen Hingga (M.E.H). Metode Elemen Hingga (M.E.H) adalah suatu metode numerik yang digunakan untuk meyelesaikan problem dalam bidang engineering. Setelah dekade delapan puluhan perkembangan metode ini sangat pesat karena pada saat itu juga telah dikembangkan dan digunakan komputer untuk penyelesaian masalah numeriknya. Pada tugas akhir ini akan dibuat suatu aplikasi program dengan menggunakan Matlab (Matrix Laboratory) dimana MATLAB adalah sebuah program untuk analisis dan komputasi numerik, yang merupakan suatu bahasa pemrograman matematika lanjutan yang dibentuk dengan dasar pemikiran menggunakan sifat dan bentuk matriks, di sini bentuk bangunan sipil yang dianalisis dimodelkan sebagai rangka ruang (space truss). Pada perhitungan dengan momen, lintang dan normal dengan metode Matlab dan SAP 2000 hasil yang diperoleh cukup akurat dengan perbedaan < 0.001 %. Pada perhitungan deformasi dengan metode Matlab dan SAP 2000 hasil yang diperoleh cukup baik.

i Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini, yang merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan pendidikan sarjana S1 pada Bidang Studi Struktur Jurusan Sipil Fakultas Teknik, Universitas Sumatera Utara, Medan. Adapun judul Tugas Akhir ini adalah : APLIKASI PROGRAM METODE ELEMEN HINGGA PADA RANGKA RUANG (SPACE TRUSS) DENGAN PROGRAM MATLAB Pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : 1.

Bap

ak Prof. DR. Ing. Johannes Tarigan dan Bapak Ir. Sanci Barus, MT sebagai Dosen Pembimbing yang telah memberi bimbingan dan saran kepada penulis untuk menyelesaikan Tugas Akhir ini. 2.

Bap

ak Prof. DR. Ing. Johannes Tarigan sebagai Ketua Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Sumatera Medan. 3.

Bap

ak Ir. Terunajaya, MSc sebagai Sekretaris Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Sumatera Medan. 4. Bapak-bapak Dosen Pembanding dan penguji Fakultas Teknik Universitas Sumatera Medan. ii Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

5.

Bap

ak dan Ibu staf pengajar dan seluruh pegawai Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Sumatera Medan. 6.

Ora

ng tua dan saudara-saudara penulis yang telah memberikan dorongan semangat untuk menyelesaikan Tugas Akhir ini. 7.

Tem

an-teman saya : Uus, Dani, Zul, Wira, Erwin dan Masana yang telah banyak membantu saya dalam menyelesaikan tugas akhir ini. 8.

Rek

an-rekan mahasiswa yang telah memberikan motivasi serta bantuan moril dan segala kekerabatan dan kerja sama selama pendidikan Fakultas Teknik Universitas Sumatera Medan. Penulis menyadari bahwa Tugas Akhir ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari Bapak dan Ibu Staf pengajar serta rekan-rekan mahasiswa demi penyempurnaan Tugas Akhir ini. Akhir kata, penulis berharap Tugas Akhit ini dapat memberikan manfaat besar bagi kita semua.

Medan,

Februari 2009 Penulis,

Ade Satria 03 0404 012 iii Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

DAFTAR ISI

Abstrak ................................................................................................................................... i Kata pengantar ....................................................................................................................... ii Daftar isi ............................................................................................................................... iv Daftar notasi ........................................................................................................................ vii Daftar tabel ........................................................................................................................... ix Daftar gambar ........................................................................................................................ x

BAB I. PENDAHULUAN .............................................................................................. 1 1.1. Umum ............................................................................................................................. 1 1.2. Latar Belakang Masalah .................................................................................................. 3 1.3 Tujuan.............................................................................................................................. 4 1.4 Pembatasan Masalah ........................................................................................................ 4 1.5 Metodologi...................................................................................................................... 6 1.6 Sistematika Pembahasan .................................................................................................. 7

BAB II. METODE ELEMEN HINGGA PADA STRUKTUR TRUSS ........................... 8 II.1 Jenis - Jenis Struktur dalam Elemen hingga ................................................................... 8 iv Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

II.1.1 Truss (rangka) ..................................................................................................... 8 II.1.2 Beam .................................................................................................................. 8 II.1.3 Spring Element ................................................................................................... 8 II.1.4. Grid .................................................................................................................... 9 II.1.5. Frame (portal) ..................................................................................................... 9 II.2 Metode Elemen Hingga .................................................................................................. 9 II. 3 Finite Element Method dan Methode Ritz ................................................................... 11 II.4 Penurunan matriks kekakuan batang ............................................................................. 14 II. 5 Transformasi Pada Sistem Koordinat........................................................................... 16 BAB III. DASAR-DASAR PEMROGRAMAN DENGAN MATLAB ........................ 38 III.1. Pendahuluan ................................................................................................................ 38 III.2. Lingkungan Kerja Matlab ............................................................................................ 38 III.2.1 Beberapa Bagian dari Window Matlab .............................................................. 38 III.2.2 Getting Help ..................................................................................................... 39 III.2.3 Interupting dan Terminating dalam Matlab ....................................................... 40 III.3. Variabel Pada Matlab .................................................................................................. 40 III.4. Operator ...................................................................................................................... 43 III.5. Fungsi Matematika lainnya .......................................................................................... 44 III.6. M File ......................................................................................................................... 44 III.6.1 Fungsi............................................................................................................... 45 III.6.2 Flow Control .................................................................................................... 46 III.7 Langkah-langkah penyelesaian metode elemen hingga pada rangka ruang dengan Matlab .............................................................................. 52 III.8 File-file Matlab yang dibentuk pada waktu pemrograman ........................................... 53 v Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

III.9 Perhitungan SAP2000 ................................................................................................. 54

BAB IV. APLIKASI ................................................................................................... 56 IV.1 Aplikasi 1 .................................................................................................................... 56 IV.1.1 Perhitungan Dengan Program MATLAB .......................................................... 59 IV.1.2 Perhitungan dengan program SAP2000 ............................................................ 90 IV.2 Verifikasi Program ....................................................................................................... 90

BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN .................................................................... 106 V.1 Kesimpulan ................................................................................................................. 106 V.2 Saran ........................................................................................................................... 107

DAFTAR PUSTAKA................................................................................................ 108

LAMPIRAN.............................................................................................................. 109 1. ................................................................................................................................. L ISTING PROGRAM MATLAB ................................................................................ 109 2. ................................................................................................................................. O UTPUT PROGRAM MATLAB ................................................................................ 116

vi Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

DAFTAR NOTASI

A

= Luas penampang

Cx = Kosinus arah x suatu batang Cy = Kosinus arah y suatu batang Cz = Kosinus arah z suatu batang {d} = Vektor dari perpindahan (displacement) du = Perpindahan sejauh u dx = Perpindahan titik kumpul arah x dy = Perpindahan titik kumpul arah y

vii Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

dz = Perpindahan titik kumpul arah z E

= Modulus elastis

{f} = Vektor dari gaya-gaya luar pada titik simpul F

= Gaya luar

Fx = Gaya sejajar sumbu x Fy = Gaya sejajar sumbu y Fz = Gaya sejajar sumbu z i

= Vektor satuan dalam arah sumbu x

j

= Vektor satuan dalam arah sumbu y

k

= Vektor satuan dalam arah sumbu z

[K] = Matrix kekakuan k

= Koefisien kekakuan pegas

k

= Vektor satuan dalam arah sumbu z

L

= Panjang elemen

M = Momen lentur P

= Gaya batang

Rx = Reaksi perletakan dalam arah sumbu x Ry = Reaksi perletakan dalam arah sumbu y Rz = Reaksi perletakan dalam arah sumbu z [T] = Matriks transformasi viii Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

T

= Torsi pada batang

U

= Energi

V

= Potensial dari gaya luar

Π

= Energi potensial total

φi = suatu fungsi

= Regangan

= Tegangan

DAFTAR TABEL Tabel II.1

: Penomoran Simpul Pada Elemen ................................................................ 24

Tabel IV.1 : Perpindahan Titik MATLAB ...................................................................... 85 Tabel IV.2 : Reaksi Perletakan MATLAB ...................................................................... 87 Tabel IV.3 : Gaya Batang MATLAB .............................................................................. 87 Tabel IV.4 : Perpindahan Titik SAP2000 ....................................................................... 93 Tabel IV.5 : Reaksi Tumpuan SAP2000 ......................................................................... 94 Tabel IV.6 : Gaya Batang SAP2000 ............................................................................... 94 Tabel IV.7 : Beda Absolut Perpindahan Titik ................................................................. 99 TabelIV.8

: Beda Absolut Reaksi Tumpuan ................................................................. 100 ix

Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

Tabel IV.9 : Beda Absolut Gaya Batang ....................................................................... 101

DAFTAR GAMBAR Gambar I.1

: Contoh rangka batang ruang ................................................................... 3

Gambar I.2

: Tumpuan sendi dan rol ........................................................................... 4

Gambar I.3

: Menara Air ............................................................................................. 6

Gambar II.1 : Bentuk mesh pada metode elemen hingga .............................................. 10 Gambar II.2 : Pemodelan Ritz ...................................................................................... 13 Gambar II.3 : Pemodelan FEM ..................................................................................... 13 Gambar II.4 : Elemen Rangka dibawah Pengaruh Gaya Luar F pada node 1 dan 2 ....... 14 Gambar II.5 : Elemen dalam Ruang ............................................................................. 17 x Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

Gambar II.6 : Transformasi Sistem Koordinat Global ke Sistem Koordinat Lokal ........ 19 Gambar II.7 : Penomoran untuk Nodal dan Batang ....................................................... 26 Gambar II.8 : Tanda dan Arah Gaya ............................................................................. 29 Gambar III.1 : Tampilan Layar dari Matlab ................................................................... 43 Gambar III.2 : Contoh Gambar M-FILE ........................................................................ 48 Gambar IV.1 : Menara Air ............................................................................................. 60 Gambar IV.2 : Pemodelan Gaya yang Bekerja ............................................................... 61 Gambar IV.3 : Tampilan Layar Pada SAP2000 .............................................................. 93

xi Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Umum Seiring dengan perkembangan teknologi, maka perencanaan bangunan sipil juga semakin sulit. Ini dapat terlihat di kota-kota besar. Selain bangunan sipil yang berupa bangunan gedung, terdapat juga bangunan-bangunan sipil bukan gedung, misalnya jembatan, menara pemancar, atau rangka-rangka bangunan baja yang lain, yang memerlukan perhitungan dan perencanaan yang lebih matang. Perkembangan teknologi komputer termasuk di dalamnya perkembangan software (perangkat lunak) yang sangat membantu guna memudahkan pekerjaan perhitungan dan perencanaan bangunan-bangunan yang kompleks. Perhitungan dengan menggunakan teknologi komputer mampu melakukan perhitungan dengan cepat, tepat, akurat serta efisien di dalam waktu dan saat ini telah banyak berkembang perangkat lunak yang profesional untuk membantu perhitungan dan perencanaan di bidang teknik sipil seperti SAP 2000, ETABS, STAAD PRO dan masih banyak lagi perangkat lunak yang sejenis. Pada umumnya perangkat lunak yang dikembangkan ini berbasis pada Metode Elemen Hingga (M.E.H) untuk memecahkan masalah mekanikanya. Metode Elemen Hingga (M.E.H) adalah suatu metode numerik yang digunakan untuk meyelesaikan problem dalam bidang engineering. Tipikal masalah yang timbul pada bidang engineering dan matematis fisik antara lain pada analisa struktur, heat transfer, fluida, transportasi massa dan elektromagnetik potensial. Setelah dekade delapan puluhan perkembangan metode ini sangat pesat, karena pada saat itu juga telah dikembangkan dan digunakan komputer untuk penyelesaian masalah numeriknya. Jika tidak menggunakan 1 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

komputer, metode elemen hingga ini mungkin sampai sekarang tidak akan digunakan dalam perhitungan praktis, karena akan memerlukan waktu yang cukup lama dan keakuratan yang kurang baik. Kemudian setelah dikembangkan komputer maka metode ini menjadi maju sangat pesat dan menjadi alat yang handal bagi para praktisi teknik sipil untuk menyelesaikan berbagai permasalahan yang ada didalam perhitungan analisa struktur, pada awalnya

banyak dikembangkan bahasa pemrograman yang low level language dengan

diperkenalkannya bahasa assembly dan high level language seperti Fortran, C++, Basic, Pascal dan lain-lain, hingga akhir-akhir ini semakin berkembang bahasa script programming yang dijadikan alternatif karena kemudahannya dalam membuat suatu aplikasi program, salah satunya adalah Matlab (Matrix Laboratory) dimana MATLAB adalah sebuah program untuk analisis dan komputasi numerik, yang merupakan suatu bahasa pemrograman matematika lanjutan yang dibentuk dengan dasar pemikiran menggunakan sifat dan bentuk matriks. Bentuk bangunan sipil dapat dimodelkan sebagai frame (portal) dan truss (rangka). Pada penulisan tugas akhir ini struktur yang ditinjau adalah space truss (rangka ruang), dimana definisi truss (rangka) adalah konstruksi yang tersusun dari batang-batang tarik dan batang-batang tekan saja, umumnya dari baja, kayu, atau paduan ringan guna mendukung atap atau jembatan.

2 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

Gambar I.1. Contoh rangka batang ruang

1.2 Latar Belakang Masalah Pekerjaan dalam perencanaan teknik sipil dengan menggunakan perhitungan struktur space truss (rangka ruang) memerlukan waktu lama serta ketelitian yang cukup besar jika dilakukan secara manual. Oleh karena itu, diperlukan suatu alat bantu yang dapat mempermudah pekerjaan dalam menyelesaikan perhitungan tersebut dan oleh karena itu disusunlah suatu bahasa pemrograman yang cocok untuk itu, yaitu dengan suatu bahasa script programming sehingga kecepatan dalam pembuatan program dengan source code yang dibentuk lebih singkat dan cepat dibandingkan jika menggunakan bahasa pemrograman yang high level, sehingga dapat menciptakan suatu efisiensi dalam pekerjaan pembuatan program serta tingkat keakuratan yang cukup baik jika digunakan dalam perhitungan struktur.


1.3 Tujuan Untuk mengembangkan suatu program analisa struktur untuk truss yang berbasis metode elemen hingga dengan menggunakan bahasa script programming yaitu Matlab serta membandingkan hasil yang diperoleh dengan software profesional untuk teknik sipil seperti SAP2000.

1.4 Pembatasan Masalah Mengingat kompleksitas dari struktur, maka dalam kajian ini perlu adanya pembatasan permasalahan untuk menyederhanakan perhitungan dan mereduksi tingkat kesulitan, antara lain : 1. Struktur terdiri dari batang prismatis. Batang memiliki sumbu yang lurus dan penampang lintang yang seragam di seluruh panjangnya 2. Titik kumpul dari rangka batang ruang dianggap sebagai sendi. 3. Jenis titik tumpuan yang ada di rangka adalah Sendi dan Rol. Jenis tumpuan jepit tidak termasuk di rangka ruang, karena bisa menyebabkan momen, sehingga struktur tersebut harus di analisa sebagai portal.

Gambar I.2.tumpuan sendi dan rol

4. Kenaikan dan penurunan suhu secara mendadak akan menyebabkan batang-batang mengalami perubahan bentuk tidak diperhitungakan. 4 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

5. Praregang tidak diperhitungkan. 6. Penurunan atau perpindahan tumpuan tidak diperhitungkan. 7. Jenis material adalah homogen elastis, linier, homogen dan isotropis, yaitu pada setiap dan segala arah mempunyai modulus elastisitas yang sama. 8. Hasil keluaran dari program MATLAB untuk rangka ruang (space truss) berupa perpindahan titik (joint displacement), reaksi tumpuan (joint reaction), gaya batang dan tidak termasuk grafik. 9. Bentuk dari konstruksi yang akan dihitung berupa menara air dengan tinggi 6 meter, penjang = 1.5 meter, dan lebar =1.5 meter. Volume air yang akan dibebankan sebesar 3

.


d = 2.121 m

tangki air tair = 1.8 m

H=3m

H=3m

L = 1.5 m

P = 1.5 m

Gambar I.3 Menara Air


1.5 Metodologi Metode yang dipakai dalam pembuatan program ini adalah berdasarkan metode Elemen Hingga (M.E.H) dengan menggunakan bahasa script programming dalam hal ini Matlab kemudian hasil yang diperoleh dibandingkan dengan program SAP 2000.

1.6 Sistematika Pembahasan Penulisan tugas akhir ini dilakukan dengan sistematika pembahasan sebagai berikut: BAB I

PENDAHULUAN

BAB II

METODE ELEMEN HINGGA PADA STRUKTUR TRUSS

BAB III DASAR-DASAR PEMROGRAMAN DENGAN MATLAB BAB IV APLIKASI BAB V KESIMPULAN DAN SARAN


BAB II METODE ELEMEN HINGGA PADA STRUKTUR TRUSS

II.1 Jenis - Jenis Struktur dalam Elemen hingga II.1.1 Truss (rangka) Definisi truss (rangka) adalah konstruksi yang tersusun dari batang-batang tarik dan batang-batang tekan saja, umumnya dari baja, kayu, atau paduan ringan guna mendukung atap atau jembatan, umumnya dapat menahan gaya aksial saja. Truss 2 dimensi : truss yang dapat menahan beban pada arah datar saja (sumbu x, y) umumnya beban yang bekerja adalah beban terpusat nodal. Truss 3 dimensi : himpunan batang yang dimana batang-batangnya berarah sembarang dalam ruang. yang dapat menahan beban pada semua arah (sumbu x, y dan z) umumnya beban yang bekerja adalah beban terpusat nodal.

II.1.2. Beam Beam dapat menerima beban lateral atau beban yang tegak lurus pada beam.

II.1.3. Spring Element Spring elemen merupakan suatu struktur yang mempunyai nilai kekakuan yang telah ditentukan. Biasanya setiap elemen nilai kekakuannya mempunyai satuan perbandingan antara gaya dan panjang elemen.


II.1.4. Grid Grid adalah struktur data yang dipersiapkan untuk menerima beban yang tegak lurus pada bidang datar struktur. Setiap penyusun struktur dianggap disambung (conected) secara rigid. II.1.5. Frame (portal) Definisi frame (portal) adalah kerangka yang terdiri dari dua atau lebih bagian konstruksi yang disambungkan guna stabilitas, umumnya dapat menahan gaya momen, gaya geser dan aksial. Frame 2 dimensi : frame yang dapat menahan beban pada arah datar saja (sumbu x, y) umumnya beban yang bekerja adalah beban terpusat nodal dan beban batang. Frame 3 dimensi : frame yang dapat menahan beban pada semua arah saja (sumbu x, y dan z) umumnya beban yang bekerja adalah beban terpusat nodal dan beban batang.

II.2 Metode Elemen Hingga Bila suatu kontinum dibagi bagi menjadi beberapa bagian yang lebih kecil, maka elemen kecil ini disebut elemen hingga. Proses pembagian kontinum menjadi elemenelemen hingga disebut proses “diskretisasi” (pembagian). Dinamakan elemen-elemen hingga karena bentuk geometri yang lebih sederhana dibanding dengan kontinumnya. Dengan metode elemen hingga kita dapat mengubah suatu masalah dengan jumlah derajat kebebasan tertentu sehingga proses pemecahannya akan lebih sedehana. Misalnya suatu batang yang panjang, bentuk fisiknya tidak lurus dipotong-potong sependek mungkin sehingga terbentuk batang-batang pendek yang relatif lurus. Maka pada bentang yang panjang tadi disebut kontinum dan batang yang pendek disebut elemen hingga. Suatu bidang yang luas dengan dimensi yang tidak teratur, dipotong-potong berbentuk segi tiga atau bentuk segi enpat yang 9 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

beraturan. Bidang yang dengan dimensi tidak beraturan tadi disebut kontinum, bidang segitiga atau segi empat beraturan disebut elemen hingga. Dan banyak lagi persoalan yang identik dengan hal diatas. Maka dari sini dapat dikatakan bahwa elemen hingga pasti mempunyai lebih kecil dari kontinumnya

u

FEA Exact

x

0 Batang bengkok menjadi batang pendek yang lurus

Sumber : Robert D Cook., David S. Malkus, Michael E. Palesha, Robert J. Witt Konsep dan aplikasi metode elemen hingga, Hal. 5

Kontinum

Elemen Hingga

Elemen Hingga

Kontinum

Bidang dengan dimensi tidak teratur menjadi bidang-bidang segiempat beraturan

Bidang dengan dimensi tidak teratur menjadi bidang-bidang segitiga beraturan

Gambar II.1 Bentuk mesh pada metode elemen hingga Sebaiknya pendekatan dengan metode elemen hingga merupakan suatu analisis pendekatan yang berdasarkan asumsi peralihan atau asumsi tegangan, bahkan dapat juga berdasarkan kombinasi kedua asumsi tadi dalam setiap elemennya.

1

Tujuan utama analisis dengan metode elemen hingga adalah untuk memperoleh nilai pendekatan ( bukan eksak ) tegangan dan peralihan yang terjadi pada suatu struktur . Karena pendekatan berdasarkan fungsi peralihan merupakan teknik yang sering sekali 10 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

1

Sumber : William Weaver. JR, Paul R. Johnston. Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur. Hal. 3

dipakai, maka langkah-langkah berikut ini dapat digunakan sebagai pedoman bila menggunakan pendekatan berdasarkan asumsi tersebut : 1. Bagilah kontinum menjadi sejumlah elemen (Sub-region) yang berhingga dengan geometri yang sederhana (segitiga, segiempat. dan lain sebagainya). 2. Pada titik-titk pada elemen yang diperlakukan sebagai titik nodal, dimana syarat keseimbangan dan kompatibilitas dipenuhi. 3. Asumsikan fungsi peralihan pada setiap elemen sedemikian rupa sehingga peralihan pada setiap titik sembarangan dipengaruhi oleh nilai-nilai titik nodalnya. 4. Pada setiap elemen khusus yang dipilih tadi harus dipenuhi persyaratan hubungan regangan peralihan dan hubungan rengangan-tegangannya. 5. Tentukan kekakuan dan beban titik nodal ekivalen untuk setiap elemen dengan menggunakan prinsip usaha atau energi. 6. Turunkan persamaan keseimbangan ini untuk mencari peralihan titik nodal. 7. Selesaikan persamaan keseimbangan ini untuk mencari peralihan titik nodal. 8. Hitung tegangan pada titik tertentu pada elemen tadi. 9. Tentukan reaksi perletakan pada titik nodal yang tertahan bila diperlukan.

II. 3 Finite Element Method dan Methode Ritz Sebenarnya methode Finite Element adalah modifikasi dari methoda Ritz. Methode Ritz sudah lama dikenal, namun setelah lama baru diketahui bahwa methode Finite Element adalah modifikasi dari methode Ritz.

Energi Potensial 11 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

π = U (v) + V (v)

minimum …………............................... (2.1)

π

= Energi Potensial Total

V

= Potensial dari gaya luar (terjadi bila gaya luar benda mempunyai arah)

U Ritz

= Energi n

V(x) = ∑ ai . φi (x) = {φ}T {a}………................................................. (2.2) i=1

φi = suatu fungsi V = lendutan π = minimum jika, ∂π

=0

(i = 1, 2, 3, …..,n) atau ∂π

=0 .............................. (2.3)

pada suatu balok yang harus berlaku

2

( d V )2 . dx μ = ½ ∫ E.I dx (ℓ)

( dV ) j]}

.............................. (2.4)

dx V = - { ∫ q.v.dx + ∑ [Fj.vj + Mj . (ℓ) .............................. (2.5) π = ½ ∫ (Eэv”2 – 2qv) dx - ∑ (Fj vj + Mj v’j) (ℓ) (j) dari (2.6) dan (2.2) n

n

minimum ………..............(2.6)

n

π = ½ ∫ Eэ(∑ ai . φi”)2 dx - ∫ q ((∑ ai . φi) dx - ∑[Fj ∑ai.φi (xj) (ℓ) n i=1 i=1 (j) i=1 12 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

+ μj . ∑ ai . φi (xj)] i=1

= ½ ∫ Eэ{a}T {φ”}{φ”}T {a} dx - ∫ q{φ}T {a} dx - ∑(Fj{φj}T{a}+Mj{φj}T{a}) (ℓ) (ℓ) (j)

= ½ {a}T ∫Eэ{φ”}{φ”}T dx {a}- [∫q{φ} dx + ∑(Fj {φi}T + Mj {φj}T)]{a} (ℓ) (ℓ) (j)

π = ½ {a}T [K] {a} – {f}T {a}

∂π

= [K] {a} – {f} = 0

∂{a} …….. (2.7)

Pada FEM balok akan dibagi dalam beberapa elemen untuk setiap elemen berlaku persamaan ke (2) Ritz

: X

V Gambar II.2 Pemodelan V(x)Ritz = {φ}T {a} FEM :

. . . . .

.

. . . . .

. X

. =

.

.. . V . . f [K] . . . {a} . V(x) = {q(x)}T {d}

13


Gambar II.3 Pemodelan F . . . . . . . Pada FEM, Energi potensial dapat dijumlahkan dari sebuah elemen yang ada, dan menjadi = . . . . . . .

[K] {d} – {f} = 0……………............................................................................... (2.8)

II.4 Penurunan matriks kekakuan batang. Pandanglah suatu elemen rangka dengan penampang melintang yang konstan, elastik dan linier, seperti ditunjukan dalam gambar. y

x F2 2 d2x, f 2x y A, E, L 1 F1

d1x, f 1x

x Gambar II.4 Elemen Rangka dibawah Pengaruh Gaya Luar F pada Node 1 dan 2 Sumber : Ir. Yerri Susatio, MT Dasar-Dasar Metode Elemen Hingga. Hal. 44

Sistem koordinat yang dipakai dalam gambar II.4 ada dua macam, yaitu : Sistem koordinat lokal ( , ) yang berlaku hanya untuk elemen tersebut dan Sistem Global (x,y) yang berlaku untuk semua elemen yang ada (struktur). Dengan anggapan bahwa elemen rangka memiliki penampang melintang A yang konstan, modulus elastis E, dan panjang L. Derajat kebebasan dari nodal adalah displacement lokal kearah axial (searah elemen rangka) berturut-turut adalah d1x, d2x masing-masing untuk node 1 dan node 2. 14 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

Berikut ini adalah beberapa asumsi yang digunakan untuk menurunkan persamaan matriks kekakuan elemen rangka. 1. Truss hanya menerima gaya pada arah axial (searah elemen) dan tidak menerima gaya pada arah lateral (tegak lurus elemen). Oleh karena itu F1y dan F2y masing-masing sama dengan nol. 2. Semua perpindahan kearah selain arah penjang elemen diabaikan. 3. Elemen mengikuti hukum linier

x

=E

x

(pada arah axial)

Gunakan temuan Hooke bahwa perpindahan itu du akibat pengaruh gaya luar F.

1

....................................(2.9)

.......................................(2.10)

.........................................(2.11) Dimana : = koefisien kekakuan pegas E = Modulus elastis A = Luas penampang melintang L = Penjang elemen. Perhatikan kembali gambar 2.9 Persamaan yang berlaku untuk : Node 1 :


.....……........................(2.12)

1

Sumber : Ir. Yerri Susatio, MT Dasar-Dasar Metode Elemen Hingga. Hal. 44

Node 2 :

.....................................(2.13)

Dalam bentuk matriks persamaan (2.12) dan (2.13) dapat dituliskan sebagai:

............................(2.14) Matriks kekakuan lokal adalah:

............................(2.15)

II. 5 Transformasi Pada Sistem Koordinat.


Y

Y X 2

1

Øz

Øy

X

Øx

0 Z Z

Gambar II.5 Elemen Dalam Ruang


Dalam gambar II.5 node 1 terletak pada titik O berada pada Sistem Koordinat Global

Koordinat Global

dan node 2 pada titik A pada koordinat

. Sudut antara

dengan sumbu global x, y dan z berturut-turut adalah

.

diambil pada arah longitudinal dari elemen rangka, dalam arah node 1 ke node 2. Akan ditentukan Matriks Transformasi T* yang akan menghubungkan antara Sistem Koordinat Global dengan sistem koordinat Lokal: .................................(2.16)

persamaan awal yang digunakan adalah: .................................(2.17)

Dalam tiga dimensi persamaan ditulis sebagai berikut: y

z

y

z

......................(2.18) 17


dimana : , ,

: vektor satuan dalam arah sumbu lokal berturut-turut pada arah sumbu lokal , ,

i, j, k : vektor satuan dalam arah sumbu global berturut-turut pada arah sumbu lokal x, y, z. Kalikan secara skalar (dot product) persamaan dengan i, akan dihasilkan persamaan: y

.................................(2.19)

z

dari definisi dot product :

..............................(2.20) Dimana

2 2

1

2 2

1

2 1/2 2

1

Substitusikan harga-harga dari persamaan ke persamaan diperoleh:

kedua persamaan ini dalam bentuk matriks ditulis :


.................(2.21) Dimana [ T* ] adalah matriks transformasi. Pada bagian ini akan diturunkan persamaan yang menghubungkan matriks kekakuan dalam koordinat global [ K ] dengan matriks kekakuan dalam koordinat lokal [ ].

Y

A (x,y )

X

C Y

D E X

0 O

B GambarII.6 Transformasi sistem Koordinat Global ke Sistem Koordinat Lokal


Perhatikan sebuah titik A yang berada dalam Sistem Koordinat Global (x,y). Koordinat titik A akan dinyatakan dalam Sistem Koordinat Lokal. Untuk keperluan ini akan diturunkan terkebih dahulu persamaan Matriks Transformasi yang akan memindahkan sistem koordinat tersebut.


Pengembangan dari Matriks Transformasi yang diperoleh, akan dikembangkan untuk kasus dalam ruang tiga dimensi. Dalam Sistem Koordinat Global, koordinat A (x,y) Dalam Sistem Koordinat Lokal, koordinat A (OC,AC

..............................................................................(2.22)

..............................................................................(2.23)

Kedua persamaan (2.22) dan (2.23) ditulis dalam bentuk matriks ditulis sebagai:

.................(2.24)

Jika Cos

=

dan Sin

= µ maka Matriks Transformasi Koordinat Global ke Koordinat

Lokal adalah:

.................(2.25)


Satu titik (x1,y1) pada Koordinat Global dinyatakan dalam Koordinat Lokal yang memebentuk sudut

dengan sumbu Koordinat Global adalah:

.................(2.26) Demikian juga titik (x2,y2) dalam Koordinat Global, jika dalam Koordinat Lokal menjadi:

.................(2.27) Sebuah elemen dibatasi oleh dua buah node (x1,y1 ) dan (x2,y2) pada Koordinat Global, maka elemen tersebut dalam Koordinat Lokal menjadi:

.................(2.28) [ T2 ] adalah Matriks Transformasi elemen dengan dua node dari Koordinat Global ke Koordinat Lokal. Catatan: x,y tanpa garis diatasnya (bar) menandakan Sistem Koordinat Global, sedangkan , (memakai garis diatas huruf menandakan Sistem Koordinat Lokal)

Matriks Transformasi Koordinat Lokal ke Koordinat Global adalah:


.................(2.29) Matriks Transformasi Koordinat Global ke Koordinat Lokal adalah:

.................(2.30) Seperti halnya dengan persamaan (2.28), maka Matriks Transformasi Koordinat Lokal ke Global adalah:

.................(2.31) Dapat ditulis:

.................(2.32) Persamaan (2.31) dapat ditulis dalam kaitannya dengan Displacement nodal sebagai:

.................(2.33) Dalam bentuk simbol ditulis sebagai: 2

.............................................(2.34)


Rumus-rumus transformasi seperti diatas berlaku juga untuk mentransformasikan vektor gaya seperti dilakukan dibawah ini (lokal ke global).

Untuk node 1 yang dikenai gaya

Untuk node 2 yang dikenai gaya

Transformasi dari sebuah elemen yang berbatas dari dua buah node 1 dan 2, yang masingmasing dikenai gaya Fx1, Fy1 dan Fx2, Fy2 diperoleh hubungan:

....................................(2.35) Dalam bentuk simbol ditulis: 2

.............................................(2.36)

(lokal ke global) yang diketahui adalah vektor kolom pada ruas kanan. Dalam Sistem Koordinat Lokal berlaku ............................................(2.37)

(perhatikan x dan y memakai tanda garis diatas) Dalam Sistem Koordinat Global berlaku .................................................(2.38)


Substitusi {q}xy dari persamaan (2.37) ke persamaan (2.38) diperoleh ...........................................(2.39)

Dari persamaan (2.34) maka;

..............................(2.40)

Karena matriks [T2] bersifat orthogonal, maka;

Persamaan terakhir menjadi

Substitusikan kembali hasil ini kepersamaan (2.38) dihasilkan ..............................(2.41)

Dari persamaan

....................................(2.42)

Kedua persamaan (2.41) dan (2.42) equivalen, maka:

Kalikan dari awal persamaan ini dengan [T2], maka:


Lihat kembali persamaan (2.38) Jadi: ....................... .............(2.43)

Persamaan (2.43) ini mentransformasikan matriks kekakuan dalam Koordinat Lokal ke Koordinat Global. Sehingga dapat diturunkan persamaan matriks kekakuan dalam koordinat global sebagai berikut:

...................................(2.43)


..............................................(2.44)

Dimana:

II. 6 Kompatibilitas, keseimbangan, penentuan dari matriks kekakuan. Diketahui konstruklsi seperti gambar II.7

6

3 h

i Fy

b

e

2 g a

c

5

Fx f

d

y x

4

1

Gambar 2.7 Penomoran Untuk Nodal dan Batang

z

Tabel II. 1 Penomoran Simpul Pada Elemen Elemen Simpul 1 (awal) Simpul 2 (akhir) a

1

2

b

2

3

c

1

3

d

4

5

e

5

6 26


f

4

6

g

2

5

h

2

6

i

3

5

Untuk elemen a (dibatasi oleh node 1 dan node 2),

matriks kekakuan elemen a adalah:

Untuk elemen b (dibatasi oleh node 2 dan node 3),

matriks kekakuan elemen b adalah:


Untuk elemen c (dibatasi oleh node 1 dan node 3),

matriks kekakuan elemen c adalah:

Untuk elemen d (dibatasi oleh node 4 dan node 5),

matriks kekakuan elemen d adalah:


Untuk elemen e (dibatasi oleh node 5 dan node 6),

matriks kekakuan elemen e adalah:

Untuk elemen f (dibatasi oleh node 4 dan node 6),

matriks kekakuan elemen f adalah:


Untuk elemen g (dibatasi oleh node 2 dan node 5),

matriks kekakuan elemen g adalah:

Untuk elemen h (dibatasi oleh node 2 dan node 6),

matriks kekakuan elemen h adalah:


Untuk elemen i (dibatasi oleh node 3 dan node 5),

matriks kekakuan elemen i adalah:


Sebagai syarat kompatibilitas maka, ditetapkan:

Dan dalam titik simpul harus memnuhi syarat keseimbangan. Pada titik simpul 1 berlaku:

Tanda dan arah gaya:


Fy Fz

+

Fx

-

Fx

Fz Fy G

ambar II.8 Tanda dan Arah Gaya


Dengan demikian didapat:

Diubah kedalam bentuk matriks, menjadi :


Dimana:

II. 7 Syarat batas (boundary cindition), perpindahan titik dan gaya batang.

Titik 1, 3, 4 dan 6 merupakan tumpuan sendi, maka tidak terjadi perpindahan

Gaya yang terjadi di titik 2 dan 5


Sehingga bentuk matriks strutur menjadi:


Dengan memasukan nilai dari

dan

, maka matriks menjadi:


Sehingga didapatkan perpindahan titik untuk titik 2 dan 4. Kemudian matriks disusun kembali menjadi:


Dengan memasukan nilai

, maka didapat reaksi tumpuan di titik 1, 3, 4 dan 6

Mencari gaya batang


Dimana:

Untuk gaya batang a:

Dimana:

dan


Dengan memasukan nilai dari

dan

maka matriks menjadi:

Dengan memasukan nilai dari A, E, L maka didapat gaya batang a 38 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

BAB III DASAR-DASAR PEMROGRAMAN DENGAN MATLAB

III.1. Pendahuluan Matlab merupakan bahasa pemrograman yang hadir dengan fungsi dan karakteristik yang berbeda dengan bahasa pemrograman lain yang sudah ada lebih dahulu seperti Delphi, Basic maupun C++. Matlab merupakan bahasa pemrograman level tinggi yang dikhususkan untuk kebutuhan komputasi teknis, visualisasi dan pemrograman seperti komputasi matematik, analisis data, pengembangan algoritma, simulasi dan pemodelan dan grafikgrafik perhitungan. Matlab hadir dengan membawa warna yang berbeda. Hal ini karena matlab membawa keistimewaan dalam fungsi-fungsi matematika, fisika, statistik, dan visualisasi. Matlab dikembangkan oleh MathWorks, yang pada awalnya dibuat untuk memberikan kemudahan mengakses data matrik pada proyek LINPACK dan EISPACK. Saat ini matlab memiliki ratusan fungsi yang dapat digunakan sebagai problem solver mulai dari simple sampai masalah-masalah yang kompleks dari berbagai disiplin ilmu.

III.2. Lingkungan Kerja Matlab III.2.1 Beberapa Bagian dari Window Matlab • Current Directory

38

Window ini menampilkan isi dari direktori kerja saat menggunakan matlab. Kita dapat mengganti direktori ini sesuai dengan tempat direktori kerja yang diinginkan. Default dari alamat direktori berada dalam folder works tempat program files Matlab berada.

• Command History Window ini berfungsi untuk menyimpan perintah-perintah apa saja yang sebelumnya dilakukan oleh pengguna terhadap matlab.

• Command Window Window ini adalah window utama dari Matlab. Disini adalah tempat untuk menjalankan fungsi, mendeklarasikan variable, menjalankan proses-proses , serta melihat isi variable.

• Workspace Workspace berfungsi untuk menampilkan seluruh variabel-variabel yang sedang aktif pada saat pemakaian matlab. Apabila variabel berupa data matriks berukuran besar maka user dapat melihat isi dari seluruh data dengan melakukan double klik pada variabel tersebut. Matlab secara otomatis akan menampilkan window “array editor” yang berisikan data pada setiap variabel yang dipilih user .

III.2.2 Getting Help Matlab menyediakan fungsi help yang tidak berisikan tutorial lengkap mengenai Matlab dan segala keunggulannya. User dapat menjalankan fungsi ini dengan menekan tombol pada toolbar atau menulis perintah ‘helpwin’ pada command window. Matlab juga

39

menyediakan fungsi demos yang berisikan video tutorial matlab serta contoh-contoh program yang bisa dibuat dengan matlab

III.2.3 Interupting dan Terminating dalam Matlab Untuk menghentikan proses yang sedang berjalan pada matlab dapat dilakukan dengan menekan tombol Ctrl-C. Sedangkan untuk keluar dari matlab dapat dilakukan dengan menuliskan perintah exit atau quit pada comamnd window atau dengan menekan menu exit pada bagian menu file dari menu bar.

Gambar III.1 Tampilan Layar dari Matlab

40

III.3. Variabel Pada Matlab Matlab hanya memiliki dua jenis tipe data yaitu Numeric dan String. Dalam matlab setiap variabel akan disimpan dalam bentuk matrik. User dapat langsung menuliskan variabel baru tanpa harus mendeklarasikannya terlebih dahulu pada command window Contoh pembuatan variabel pada matlab:

>> varA = 1000 varA = 1000 >> varB = [45 2 35 45] varB = 45 2 35 45 >> varC = 'test variabel' varC = test variabel

Penamaan variabel pada matlab bersifat caseSensitif karena itu perlu diperhatikan penggunaan huruf besar dan kecil pada penamaan variabel. Apabila terdapat variabel lama dengan nama yang sama maka matlab secara otomatis akan me-replace variabel lama tersebut dengan variabel baru yang dibuat user. Dapat diasumsikan bahwa didalam matlab setiap data akan disimpan dalam bentuk matriks. Dalam membuat suatu data matriks pada matlab, setiap isi data harus dimulai dari kurung siku ‘[‘ dan diakhiri dengan kurung siku tutup ‘]’. Untuk membuat variabel dengan data yang terdiri beberapa baris, gunakan tanda ‘titik koma’ (;) untuk memisahkan data tiap barisnya. 41

Contoh pembuatan data matriks pada matlab:

>> DataMatriks = [1 2 3;4 5 6] DataMatriks = 123 456

Matlab menyediakan beberapa fungsi yang dapat kita gunakan untuk menghasilkan bentuk-bentuk matriks yang diinginkan. Fungsi-fungsi tersebut antara lain: • zeros : untuk membuat matriks yang semua datanya bernilai 0 • ones : matriks yang semua datanya bernilai 1 • rand : matriks dengan data random dengan menggunakan distribusi uniform • randn : matris dengan data random dengan menggunakan distribusi normal • eye : untuk menghasilkan matriks identitas contoh penggunaan fungsi-fungsi diatas:

>> a = zeros(2,3) a= 000 000 >> b = ones(1,3) b= 111 >> c = rand(2,2) c= 42

0.9501 0.6068 0.2311 0.4860 >> d = rand (1,4) d= 0.8214 0.4447 0.6154 0.7919 >> e = eye(3,3) e= 100 010 001

Untuk memanggil isi dari suatu data matriks, gunakan tanda kurung ‘()’ dengan isi indeks dari data yang akan dipanggil. Contoh penggunaan : >> c(2,2) ans = 0.4860

Untuk pemanggilan data berurutan seperti a(1,2,3) dapat disingkat dengan menggunakan tanda titik dua ‘:’ sehingga menjadi a(1:2). Penggunaan tanda titik dua ‘:’ juga dapat digunakan untukmemanggil data matriks perbaris atau perkolom. Contoh penggunaan: c(2:5) = memanggil data matrik baris 2 sampai baris 5 a(1,:) = memanggil data matriks pada baris pertama b(:,3) = memanggil data matris pada kolom ketiga

43

III.4. Operator

Beberapa penggunaan operator aritmatika antara dua operand (A dan B) ditunjukkan berikut ini Operasi Bentuk Aljabar Bentuk Matlab Contoh Perkalian A x B A * B 5*3 Pembagian A ÷ B A ¥ B 2¥3 Penambahan A + B A + B 1+2 Pengurangan A – B A – B 4-3 Eksponensial B A A ^ B 4^3

III.5. Fungsi Matematika lainnya

Beberapa fungsi matematika lainnya yang dapat kita gunakan untuk operasi matematika antara lain sebagai berikut: • abs(x) : fungsi untuk menghasilkan nilai absolut dari x • sign(x) : fungsi untuk menghasilkan nilai -1 jika x<0, 0 jika x=0 dan 1 jika x>1 • exp(x) : untuk menghasilkan nilai eksponensian natural, x e • log(x) : untuk menghasilkan nilai logaritma natural x, ln x • log10(x) : untuk menghasilkan nilai logaritma dengan basis 10, x 10 log • sqrt(x) : untuk menghasilkan akar dari nilai x, x • rem(x,y) : untuk menghasilkan nilai modulus (sisa pembagian) x terhadap y

44

III.6. M File

Di dalam matlab, kita dapat menyimpan semua script yang akan digunakan dalam file pada matlab dengan ekstensi .M. M-File dapat dipanggil dengan memilih menu file>new->M-File.

Gambar III.2 Contoh gambar M-File

Di dalam M-File, kita dapat menyimpan semua perintah dan menjalankan dengan menekan tombol

atau mengetikan nama M-File yang kita buat pada command window.

III.6.1 Fungsi 45

Di dalam M File, kita dapat menuliskan fungsi-fungsi yang berisikan berbagai operasi sehingga menghasilkan data yang diinginkan. Bentuk penulisan nama fungsi Function [Nilai keluaran ] = namaFungsi (nilai masukan) % operasi dari fungsi %… %… Contoh penggunaan: fungsi yang akan dibuat bernama ‘testfungsi’ memiliki tiga nilai masukan ‘c,d,e’ dan dua nilai keluaran ‘a,b’: function [a,b] = testFungsi(c,d,e) %operasi yang dijalankan a = c + d +e; b = c * d *e; Selanjutnya Fungsi tersebut akan dijalankan melalui command window dengan nilai masukan ’10,2,4’. Perhatikan penulisan kurung siku ‘[ ]’ pada nilai keluaran dan kurung biasa ‘( )’ pada nilai masukan. >> [a,b] = testFungsi(10,2,3) a= 15 b= 60

46

III.6.2 Flow Control Matlab memiliki empat macam statement yang dapat digunakan untuk mengatur aliran data pada fungsi yang akan dibuat.

1. If, Else, Elseif Bentuk dasar penggunaan statement jenis ini adalah sebagai berikut: if ekspresi1 statements1; elseif ekspresi2 statements2; else statements3; end Ekspresi akan bernilai 1 jika benar dan bernilai 0 jika salah. Contoh penggunaan: function testFungsi(A,B) if A > B disp('A lebih besar dari B') elseif A == B disp('A sama dengan B') else disp('A lebih kecil dari B') end Funsi disp digunakan untuk menampilkan pesan pada command window. Fungsi tersebut setelah dijalankan melalui command window: 47

>> testFungsi(1,2) A lebih kecil dari B >> testFungsi(2,2) A sama dengan B >> testFungsi(2,3) A lebih kecil dari B

2. Switch

Bentuk dasar penggunaan statement switch switch switch_ekspresi case case_ekspresi1 statement1 case case_ekspresi2 statement2 ... ... otherwise statementN end Contoh penggunaan: function testFungsi(x) switch x case 1 48

disp('x is 1') case {2,3,4} disp('x is 2, 3 or 4') case 5 disp('x is 5') otherwise disp('x is not 1, 2, 3, 4 or 5') end Hasil setelah dijalankan >> testFungsi(2) x is 2, 3 or 4 >> testFungsi(1) x is 1 >> testFungsi(5) x is 5 >> testFungsi(6) x is not 1, 2, 3, 4 or 5

3. while Statement while digunakan untuk aliran data yang bersifat perulangan. Bentuk dasar penggunaan while while ekspresi statements ... end 49

Contoh penggunaan function testFungsi(x) %selama nilai x kurang dari 10 while x < 10 disp('nilai saat ini : '); %tampilkan nilai x x %increment nilai x x = x+1; end Hasil setelah dijalankan >> testFungsi(6) nilai saat ini : x= 6 nilai saat ini : x= 7

nilai saat ini : x= 8 nilai saat ini : x= 50

9

4. for Bentuk dasar penggunaan bentuk for: for index = start:increment:stop statement ... ... statement end Default dari nilai increment (penambahan nilai setiap perulangan) jika tidak ditentukan oleh user adalah 1. Contoh fungsi : function a = testFungsi for y = 1:10 a(y) = y^2; end Hasil setelah fungsi dijalankan >> a = testFungsi a= 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

4. Operator 5. 51

Berikut ini adalah jenis-jenis operator pada matlab yang dapat digunakan untuk operasi ekspresi pada statement yang membutuhkan perbandingan seperti if atau while.

Operator Keterangan A < B A lebih kecil dari B A > B A lebih besar dari B A < = B A lebih kecil atau sama dengan B A > = B A lebih besar atau sama dengan B A = = B A sama dengan B A ~ = B A tidak sama dengan B

Sebenarnya masih banyak fasilitas-fasilitas lain yang dimiliki oleh matlab. Tugas-tugas matematika yang membutuhkan analisis ataupun perhitungan yang kompleks dan rumit dapat kita implementasikan dengan mudah dengan memanfaatkan fasilitas yang tedapat di matlab.

III.7 Langkah-langkah penyelesaian metode elemen hingga pada rangka ruang dengan Matlab 1. Tentukan matriks kekakuan lokal dari struktur = [K]lokal 2. Transformasikan matriks untuk global ke sistem sumbu lokal = [T] 3. Konversi matriks untuk sumbu lokal ke sistem sumbu global 4. Bentuk matriks kekakuan sumbu global setiap elemen = [K]global 5. Bentuk matriks kekakuan sistem sumbu global dengan superposisi

= [K]sis 52

6. Bentuk matriks vektor beban dengan superposisi [Q]sis & [P]sis 7. Bentuk persamaan keseimbangan [K ](d ) + ( f ) = ( P)

[K ]sis * ( D) = ( P − Q)sis 8. Hitung reaksi dan perpindahan nodal per sistem sumbu global {P}global 9. Hitung reaksi dan perpindahan nodal per sistem sumbu lokal

{P}lokal =

[T].{P}global 10. Hitung gaya-gaya dalam struktur per elemen

III.8 File-file Matlab yang dibentuk pada waktu pemrograman File fungsi extract (extract.m) File ini berfungsi untuk mengekstrak matriks (mxm) ke vektor matriks (mxm) x 1 dengan indeks informasi baris dan kolom

File fungsi aasembly (assembly.m) File ini berfungsi untuk merangkai berdasarkan informasi baris dan kolom pada bahasa mesin (assembly) sehingga dapat mempercepat prose analisis matriks.

File fungsi sdata (sdata.m) File ini berfungsi untuk membaca masukan data berupa jenis portal, koordinat, batang elastisitas, luas penampang dan inersia penampang)

File fungsi ldata (ldata.m) 53

File ini berfungsi untuk membaca masukan data berupa beban terpusat dan beban batang, serta kekangan dari perletakan

File fungsi t3d_stiff (t3d_stiff.m) File ini berfungsi untuk membentuk matriks kekakuan sumbu lokal, matriks transformasi dan matriks kekakuan sumbu global.

File fungsi analysis_result (analysis_result..m) File ini berfungsi untuk menganalisa matriks kekakuan sumbu kekakuan sumbu global dan matriks vektor beban dan dengan syarat batas dihitung reaksi perletakan dari struktur serta perpindahan nodal serta gaya-gaya dalam pada setiap elemen.

File fungsi print_result (print_result..m) File ini berfungsi untuk menampilkan hasil berupa reaksi perletakan, perpindahan nodal, gaya momen, gaya geser dan gaya normal pada monitor dalam bentuk text.

III.9 Perhitungan SAP2000 SAP2000 adalah program computer untuk merancang struktur keluaran CSi (Computers and Structures Inc.). SAP2000 memungkinkan banyak hal yang sebelumnya dianggap mustahil menjadi sederhana dan mudah. SAP2000 mampu menggeser tugas menghitung yang rumit kekonsep perilaku struktur, pembagian beban dan analisa output sehingga konsep perancangan jauh lebih baik. 54

SAP2000 benar-benar mampu mengambil tugas analisa struktur karena jika kita sudah melakukan input data dengan benar, maka proses analisa akan langsung diambil olah SAP2000 dan prosesnya pun tergolong sangat cepat. Secara garis besar, perhitungan analisa struktur rangka dengan SAP2000 ini akan melaui beberapa tahap, yaitu: 1.

Menentukan geometri model struktur

2.

Mendefinisikan data-data.

3.

a)

Jenis dan kekuatan bahan.

b)

Dimensi penampang elemen struktur.

c)

Macam beban.

d)

Kombinasi pembebanan

Menempatkan (assign) data-data yang telah didefinisikan ke model struktur. a)

Data penampang

b)

Data beban

4.

Memeriksa input data.

5.

Analisa mekanika teknik (MT).

Dalam tugas akhir ini SAP2000 digunakan untuk menghitung analisa struktur rangka ruang, yaitu displacement titik (nodal) dan besar gaya batang yang terjadi. Hasil yang dikeluarkan

dari

SAP2000

akan

dibandingkan

dengan

hasil

program

Matlab

55

BAB IV APLIKASI

Aplikasi penggunaan program Matlab dalam contoh ini adalah menara air yang menampung air dengan volume = 3

atau berat = 3 Ton. Hasil output kemudian dibandingkan

dengan output dari program analisa sruktur yang lain, dalam hal ini penulis menggunakan program SAP2000.

IV.1 APLIKASI 1 Gambar IV.I adalah rangka menara tangki air yangterdiri dari dua tingkat. Tingkat pertama dan kedua mempunyai ketinggian masing-masing sebesar H = 3 m. Panjang menara (P) = 1,5 m dan lebar (L) = 1,5 m. Tangki air dengan diameter (d) = 2.121 m dan tinggi (t) = 1.8 m. Rangka menara dibuat dengan profil baja siku 75.75.10 dengan luas profil A = 14.1

Diketahui

.

= 210000 kg/

56

d = 2.121 m

tangki air tair = 1.8 m

11 31

H=3m

30

26

12

32 25 28 20 27

23 18

7

22 21

1 6

13 9

4

9

173

16

H=3m

19 29

14

15

8

10

24

5

2

8

10

7

11

1 12

3

5

6

2

4 L = 1.5 m

1

P = 1.5 m

Gambar IV.1

Perhitungan gaya – gaya yang bekerja pada tangki : Tangki mempunyai diameter 2.121 m dengan tinggi 1.8 m. volume tangki adalah:

57

Besarnya gaya yang bekerja

gaya P didistribusikan ke empat titik maka setiap tititknya menahan gaya sebesar P = 0.75 Ton = 750 kg Lebih jelasnya perhatikan gambar IV.2 untuk pemodelan gaya yang bekerja.

58

P P

P P

11 31

H=3m

30

26

12

32 25 28 20 27

23 18

7

22 21

1 6

13 9

4

9

173

16

H=3m

19 29

14

15

8

10

24

5

2

8

10

7

11

1 12

3

5

6

2

4 L = 1.5 m

1

p = 1.5 m

Gambar IV.2

IV.1.1 PERHITUNGAN DENGAN PROGRAM MATLAB Dalam menjalankan program MATLAB diperlukan input data agar MATLAB dapat menjalankan perintah dengan benar. Adapun data-data yang dimasukan berupa material properti, koordinat dari struktur rangka, informasi elemen dan kondisi tumpuan. Untuk soal contoh 1, input datanya sebagai berikut:

clear all clc type='t3d'

59

%Prop prop=

i [ 1

A

E

14.1

2100000

]

%Koordinat grid: %

No.Joint

coord=

[ 1

absis-x

ordinat-y ordinat-z

0

0

0

2

150

0

0

3

150

150

0

4

0

150

0

5

0

0

300

6

150

0

300

7

150

150

300

8

0

150

300

9

0

0

600

10

150

0

600

11

150

150

600

12

0

150

600]

%Data Batang: %

No.Batang

element=

awal(II)

akhir(IJ)

Prop

[ 1

1

5

1

2

2

6

1

3

3

7

1

4

4

8

1

5

1

6

1 60

6

2

5

1

7

2

7

1

8

3

6

1

9

3

8

1

10

4

7

1

11

4

5

1

12

1

8

1

13

5

6

1

14

6

7

1

15

7

8

1

16

8

5

1

17

5

9

1

18

6

10

1

19

7

11

1

20

8

12

1

21

5

10

1

22

6

9

1

23

6

11

1

24

7

10

1

25

7

12

1

26

8

9

1

27

8

11

1

28

5

12

1

29

9

10

1

30

10

11

1 61

31

11

12

1

32

12

9

1]

%Kondisi Perletakan : %

Kekang

Kekang

Kekang

Translasi-x

Translasi-z

Rotasi-y

lokal

lokal

lokal

Support= [ 1

1

1

1

2

1

1

1

3

1

1

1

4

1

1

1]

%

No.Joint

%

%Joint Load: %

No.Joint

Fx

Fy

Fz

JL=

[ 9

0

0

-750

10

0

0

-750

11

0

0

-750

12

0

0

-750]

%Frame Load sebagai Beban Nodal Ekuivalen {matriks 2 x 6 (2 batang x 6 dof)}: %

Fx-II

Fy-II

Fz-II

Fx-IJ

Fy-IJ

Fz-IJ 62

AML=

[ 0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0; 63

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0;]

Kemudian masih di dalam data masukan M-file TRUSS.m, lakukan analisa struktur dengan memanggil fungsi M-file yang telah dibuat sesuai dengan penjelasan pada Bab III.8 yaitu: •

extract.m

•

assembly.m

•

sdata.m

•

ldata.m

•

grid_stiff.m

•

analysis_result..m

•

print_result..m

Perintahnya adalah sebagai berikut: 64

%Analisa Struktur dengan memanggil fungsi M-file : [dof,index,coord,element]=... sdata(prop,element,coord,type); [S,Sm,SmS,Cx,Cy,Cxz,RT,L,A,Joint,Xj,Xk,Yj,Yk,Zj,Zk]=... t3d_stiff(prop,element,coord,index); [IR,IF,Support]=ldata(Support,dof); [DF,AR,AM]=analysis_result(element,dof,index,IF,IR,... S,SmS,JL,AML,RT,Support,type) [joint_disp,support_reaction,beam_endforces]=... print_result(dof,Support,element,IF,IR,DF,AR,AM,type); end

setelah M-file TRUSS.m dijalankan, didapat hasil keluaran dari program MATLAB untuk rangka ruang adalah :

Tabel IV.1 Perpindahan Titik MATLAB titik

Dx

Dy

Dz

cm

cm

cm

1

0.000000000

0.000000000

0.000000000

2

0.000000000

0.000000000

0.000000000

3

0.000000000

0.000000000

0.000000000

4

0.000000000

0.000000000

0.000000000

5

-0.000534597

-0.000534597

-0.003283026

6

0.000534597

-0.000534597

-0.003283026

65

7

0.000534597

0.000534597

-0.003283026

8

-0.000534597

0.000534597

-0.003283026

9

-0.000264863

-0.000264863

-0.006644010

10

0.000264863

-0.000264863

-0.006644010

11

0.000264863

0.000264863

-0.006644010

12

-0.000264863

0.000264863

-0.006644010

Tabel IV.2 Reaksi Perletakan MATLAB titik

Rx

Ry

Rz

kg

kg

kg

1

106.49133

106.49133

750.00000

2

-106.49133

106.49133

750.00000

3

-106.49133

-106.49133

750.00000

4

106.49133

-106.49133

750.00000

Tabel IV.3 Gaya Batang MATLAB titik

Fy1

Fx1

Fz1

Fy2

Fx2

Fz2

Kg

Kg

Kg

Kg

Kg

Kg

1

324.03469

0

0

-324.03469

0

0

2

324.03469

0

0

-324.03469

0

0

3

324.03469

0

0

-324.03469

0

0

4

324.03469

0

0

-324.03469

0

0

5

238.12185

0

0

-238.12185

0

0

6

238.12185

0

0

-238.12185

0

0

66

7

238.12185

0

0

-238.12185

0

0

8

238.12185

0

0

-238.12185

0

0

9

238.12185

0

0

-238.12185

0

0

10

238.12185

0

0

-238.12185

0

0

11

238.12185

0

0

-238.12185

0

0

12

238.12185

0

0

-238.12185

0

0

13

-211.05906

0

0

211.05906

0

0

14

-211.05906

0

0

211.05906

0

0

15

-211.05906

0

0

211.05906

0

0

16

-211.05906

0

0

211.05906

0

0

17

331.72906

0

0

-331.72906

0

0

18

331.72906

0

0

-331.72906

0

0

19

331.72906

0

0

-331.72906

0

0

20

331.72906

0

0

-331.72906

0

0

21

233.82057

0

0

-233.82057

0

0

22

233.82057

0

0

-233.82057

0

0

23

233.82057

0

0

-233.82057

0

0

24

233.82057

0

0

-233.82057

0

0

25

233.82057

0

0

-233.82057

0

0

26

233.82057

0

0

-233.82057

0

0

27

233.82057

0

0

-233.82057

0

0

28

233.82057

0

0

-233.82057

0

0

29

-104.56774

0

0

104.56774

0

0

67

30

-104.56774

0

0

104.56774

0

0

31

-104.56774

0

0

104.56774

0

0

32

-104.56774

0

0

104.56774

0

0

IV.1.2 PERHITUNGAN DENGAN PROGRAM SAP2000 Dalam program SAP2000 sistem data masukan yang sering digunakan adalah dengan sistem GUI (Graphical User Interface), yaitu sistem dengan mendesain interface, yaitu memodelkan struktur dan kondisi pembebanannya dalam bentuk grafis. Tapi dalam tugas akhir ini, saya juga akan menyajikan masukan data dibuat dalam file program pengolah kata notepad dengan nama file berekstensi .$2K sebagai berikut: TABLE: "JOINT COORDINATES" Joint=1 CoordSys=GLOBAL CoordType=Cartesian XorR=0 Y=0 Z=0 SpecialJt=No GlobalX=0 GlobalY=0 GlobalZ=0 Joint=2

CoordSys=GLOBAL

CoordType=Cartesian

XorR=150

Y=0

Z=0

SpecialJt=No

Y=150

Z=0

SpecialJt=No

Z=0

SpecialJt=No

Z=300

SpecialJt=No

Y=0

Z=300

SpecialJt=No

Y=150

Z=300

SpecialJt=No

Z=300

SpecialJt=No

GlobalX=150 GlobalY=0 GlobalZ=0 Joint=3

CoordSys=GLOBAL

CoordType=Cartesian

XorR=150


CoordSys=GLOBAL

CoordType=Cartesian

XorR=0

Y=150

XorR=0

Y=0


CoordSys=GLOBAL

CoordType=Cartesian


CoordSys=GLOBAL

CoordType=Cartesian

XorR=150


CoordSys=GLOBAL

CoordType=Cartesian

XorR=150


CoordSys=GLOBAL

CoordType=Cartesian

XorR=0

Y=150

GlobalX=0 GlobalY=150 GlobalZ=300

68

Joint=9

CoordSys=GLOBAL

CoordType=Cartesian

XorR=0

Y=0

Z=600

SpecialJt=No

Y=0

Z=600

SpecialJt=No

Y=150

Z=600

SpecialJt=No

Z=600

SpecialJt=No


CoordSys=GLOBAL

CoordType=Cartesian

XorR=150


CoordSys=GLOBAL

CoordType=Cartesian

XorR=150


CoordSys=GLOBAL

CoordType=Cartesian

XorR=0

Y=150

GlobalX=0 GlobalY=150 GlobalZ=600

TABLE: "CONNECTIVITY - FRAME" Frame=1

JointI=1

JointJ=5

IsCurved=No

Length=300

CentroidX=0

CentroidY=0

CentroidX=150

CentroidY=0

CentroidZ=150 Frame=2

JointI=2

JointJ=6

IsCurved=No

Length=300


JointI=3

JointJ=7

IsCurved=No

Length=300

CentroidX=150

CentroidY=150

CentroidX=0

CentroidY=150


JointI=4

JointJ=8

IsCurved=No

Length=300


JointI=1

JointJ=6

IsCurved=No

Length=335.410196624968

CentroidX=75

IsCurved=No

Length=335.410196624968

CentroidX=75

CentroidY=0 CentroidZ=150 Frame=6

JointI=2

JointJ=5


JointI=2

JointJ=7

IsCurved=No

Length=335.410196624968

CentroidX=150

IsCurved=No

Length=335.410196624968

CentroidX=150


JointI=3

JointJ=6


JointI=3

JointJ=8

IsCurved=No

Length=335.410196624968

CentroidX=75

IsCurved=No

Length=335.410196624968

CentroidX=75


JointI=4

JointJ=7

CentroidY=150 CentroidZ=150

69

Frame=11

JointI=4

JointJ=5

IsCurved=No

Length=335.410196624968

CentroidX=0

IsCurved=No

Length=335.410196624968

CentroidX=0


JointI=1

JointJ=8


JointI=5

JointJ=6

IsCurved=No

Length=150

CentroidX=75

CentroidY=0


JointI=6

JointJ=7

IsCurved=No

Length=150

CentroidX=150

CentroidY=75

JointI=7

JointJ=8

IsCurved=No

Length=150

CentroidX=75

CentroidY=150

CentroidZ=300 Frame=15 CentroidZ=300 Frame=16

JointI=8

JointJ=5

IsCurved=No

JointI=5

JointJ=9

IsCurved=No

JointI=6

JointJ=10

IsCurved=No

Length=150

CentroidX=0

CentroidY=75


Length=300

CentroidX=0

CentroidY=0

CentroidX=150

CentroidY=0


Length=300


JointI=7

JointJ=11

IsCurved=No

Length=300

CentroidX=150

CentroidY=150

CentroidX=0

CentroidY=150


JointI=8

JointJ=12

IsCurved=No

Length=300


JointI=5

JointJ=10

IsCurved=No

Length=335.410196624968

CentroidX=75

IsCurved=No

Length=335.410196624968

CentroidX=75


JointI=6

JointJ=9


JointI=6

JointJ=11

IsCurved=No

Length=335.410196624968

CentroidX=150

IsCurved=No

Length=335.410196624968

CentroidX=150


JointI=7

JointJ=10


JointI=7

JointJ=12

IsCurved=No

Length=335.410196624968

CentroidX=75

CentroidY=150 CentroidZ=450

70

Frame=26

JointI=8

JointJ=9

IsCurved=No

Length=335.410196624968

CentroidX=0


JointI=8

JointJ=11

IsCurved=No

Length=335.410196624968

CentroidX=75


JointI=5

JointJ=12

IsCurved=No

Length=335.410196624968

CentroidX=0


JointI=9

JointJ=10

IsCurved=No

Length=150

CentroidX=75

CentroidY=0

JointI=10

JointJ=11

IsCurved=No

Length=150

CentroidX=150

CentroidY=75

JointI=11

JointJ=12

IsCurved=No

Length=150

CentroidX=75

CentroidY=150

JointI=12

JointJ=9

IsCurved=No

CentroidZ=600 Frame=30 CentroidZ=600 Frame=31 CentroidZ=600 Frame=32

Length=150

CentroidX=0

CentroidY=75

CentroidZ=600

TABLE: "JOINT RESTRAINT ASSIGNMENTS" Joint=1 U1=Yes U2=Yes U3=Yes R1=No R2=No R3=No Joint=2 U1=Yes U2=Yes U3=Yes R1=No R2=No R3=No Joint=3 U1=Yes U2=Yes U3=Yes R1=No R2=No R3=No Joint=4 U1=Yes U2=Yes U3=Yes R1=No R2=No R3=No

TABLE: "JOINT LOADS - FORCE" Joint=9 LoadCase=DEAD CoordSys=GLOBAL F1=0 F2=0 F3=-750 M1=0 M2=0 M3=0 Joint=10 LoadCase=DEAD CoordSys=GLOBAL F1=0 F2=0 F3=-750 M1=0 M2=0 M3=0 Joint=11 LoadCase=DEAD CoordSys=GLOBAL F1=0 F2=0 F3=-750 M1=0 M2=0 M3=0 Joint=12 LoadCase=DEAD CoordSys=GLOBAL F1=0 F2=0 F3=-750 M1=0 M2=0 M3=0 \

71

Dalam sistem GUI (Graphical User Interface),tampilan model rangka ruang, sebagai berikut:

Gamb ar IV.3 Tampilan Layar Pada SAP 2000 File hasil keluaran (output) dari program SAP2000 adalah:

Tabel IV.1 Perpindahan Titik SAP2000 TABLE: Joint Displacements Joint

OutputCase

CaseType

U1

U2

U3

R1

R2

R3

Text

Text

Text

cm

cm

cm

1

DEAD

LinStatic

0

0

0

0

0

0

2

DEAD

LinStatic

0

0

0

0

0

0

Radians Radians Radians

72

3

DEAD

LinStatic

0

0

0

0

0

0

4

DEAD

LinStatic

0

0

0

0

0

0

5

DEAD

LinStatic

-0.000535

-0.000535

-0.003283

0

0

0

6

DEAD

LinStatic

0.000535

-0.000535

-0.003283

0

0

0

7

DEAD

LinStatic

0.000535

0.000535

-0.003283

0

0

0

8

DEAD

LinStatic

-0.000535

0.000535

-0.003283

0

0

0

9

DEAD

LinStatic

-0.000265

-0.000265

-0.006644

0

0

0

10

DEAD

LinStatic

0.000265

-0.000265

-0.006644

0

0

0

11

DEAD

LinStatic

0.000265

0.000265

-0.006644

0

0

0

12

DEAD

LinStatic

-0.000265

0.000265

-0.006644

0

0

0

Tabel IV.2 Reaksi Perletakan SAP2000 TABLE: Joint Reactions Joint

OutputCase

CaseType

F1

F2

F3

M1

M2

M3

Text

Text

Text

Kgf

Kgf

Kgf

Kgf-cm

Kgf-cm

Kgf-cm

1

DEAD

LinStatic

106.49

106.49

750

0

0

0

2

DEAD

LinStatic

-106.49

106.49

750

0

0

0

3

DEAD

LinStatic

-106.49

-106.49

750

0

0

0

4

DEAD

LinStatic

106.49

-106.49

750

0

0

0

Tabel IV.3 Gaya Batang SAP2000 TABLE: Element Forces - Frames

73

Fram

Statio

OutputCa

CaseTy

V

V

P e

n

se

pe

Text

cm

Text

Text

T 2

M2

3

Kg Kg

Kgf-

Kgf-

FrameEl

ElemStati

em

on

Text

cm

M3

Kgf-

Kgf f

f

cm

cm

cm

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

300

0

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

2

300

0

0

0

0

0

3

0

0

0

0

0

0

3

300

0

0

0

0

0

4

0

LinStati 1

0

DEAD

324.0 c 3 LinStati

1

300

DEAD

324.0 c 3 LinStati

2

0

DEAD

324.0 c 3 LinStati

2

300

DEAD

324.0 c 3 LinStati

3

0

DEAD

324.0 c 3 LinStati

3

300

DEAD

324.0 c 3

4

0

LinStati

-

c

324.0

DEAD

74

3 LinStati 4

300

DEAD

324.0

0

0

0

0

0

4

300

0

0

0

0

0

5

0

0

0

0

0

0

5

335.41

0

0

0

0

0

28

0

0

0

0

0

0

28

167.705

0

0

0

0

0

28

335.41

0

0

0

0

0

6

0

0

0

0

0

0

6

335.41

c 3 LinStati 5

0

DEAD

238.1 c 2 -

335.4 5

LinStati DEAD

1

238.1 c 2 LinStati

6

0

DEAD

238.1 c 2 -

167.7 6

LinStati DEAD

05

238.1 c 2 -

335.4 6

LinStati DEAD

1

238.1 c 2 LinStati

7

0

DEAD

238.1 c 2

335.4 7

LinStati

-

c

238.1

DEAD 1

75

2 LinStati 8

0

DEAD

238.1

0

0

0

0

0

7

0

0

0

0

0

0

7

335.41

0

0

0

0

0

8

0

0

0

0

0

0

8

335.41

0

0

0

0

0

9

0

0

0

0

0

0

9

335.41

0

0

0

0

0

10

0

0

0

0

0

0

10

335.41

c 2 335.4 8

LinStati DEAD

1

238.1 c 2 LinStati

9

0

DEAD

238.1 c 2 -

335.4 9

LinStati DEAD

1

238.1 c 2 LinStati

10

0

DEAD

238.1 c 2 -

335.4 10

LinStati DEAD

1

238.1 c 2 LinStati

11

0

DEAD

238.1 c 2

335.4 11

LinStati

-

c

238.1

DEAD 1

76

2 LinStati 12

0

DEAD

238.1

0

0

0

0

0

11

0

0

0

0

0

0

11

335.41

0

0

0

0

0

12

0

0

0

0

0

0

12

150

0

0

0

0

0

13

0

0

0

0

0

0

13

150

0

0

0

0

0

14

0

0

0

0

0

0

14

150

0

0

0

0

0

15

0

0

0

0

0

0

15

150

0

0

0

0

0

16

0

c 2 335.4 12

LinStati DEAD

1

238.1 c 2

13

13

14

14

15

15

16

16

17

0

150

0

150

0

150

0

150

0

LinStati

211.0

c

6

LinStati

211.0

c

6

LinStati

211.0

c

6

LinStati

211.0

c

6

LinStati

211.0

c

6

LinStati

211.0

c

6

LinStati

211.0

c

6

LinStati

211.0

c

6

LinStati

-

DEAD

DEAD

DEAD

DEAD

DEAD

DEAD

DEAD

DEAD

DEAD

77

c

331.7 3 -

LinStati 17

300

DEAD

331.7

0

0

0

0

0

16

300

0

0

0

0

0

17

0

0

0

0

0

0

17

300

0

0

0

0

0

18

0

0

0

0

0

0

18

300

0

0

0

0

0

19

0

0

0

0

0

0

19

300

0

0

0

0

0

20

0

c 3 LinStati 18

0

DEAD

331.7 c 3 LinStati

18

300

DEAD

331.7 c 3 LinStati

19

0

DEAD

331.7 c 3 LinStati

19

300

DEAD

331.7 c 3 LinStati

20

0

DEAD

331.7 c 3 LinStati

20

300

DEAD

331.7 c 3

21

0

DEAD

LinStati

-

78

c

233.8 2 -

335.4 21

LinStati DEAD

1

233.8

0

0

0

0

0

20

335.41

0

0

0

0

0

21

0

0

0

0

0

0

21

335.41

0

0

0

0

0

22

0

0

0

0

0

0

22

335.41

0

0

0

0

0

23

0

0

0

0

0

0

23

335.41

0

0

0

0

0

24

0

c 2 LinStati

22

0

DEAD

233.8 c 2 -

335.4 22

LinStati DEAD

1

233.8 c 2 LinStati

23

0

DEAD

233.8 c 2 -

335.4 23

LinStati DEAD

1

233.8 c 2 LinStati

24

0

DEAD

233.8 c 2 -

335.4 24

LinStati DEAD

1

233.8 c 2

25

0

DEAD

LinStati

-

79

c

233.8 2 -

335.4 25

LinStati DEAD

1

233.8

0

0

0

0

0

24

335.41

0

0

0

0

0

25

0

0

0

0

0

0

25

335.41

0

0

0

0

0

26

0

0

0

0

0

0

26

335.41

0

0

0

0

0

27

0

0

0

0

0

0

27

335.41

0

0

0

0

0

29

0

c 2 LinStati

26

0

DEAD

233.8 c 2 -

335.4 26

LinStati DEAD

1

233.8 c 2 LinStati

27

0

DEAD

233.8 c 2 -

335.4 27

LinStati DEAD

1

233.8 c 2 LinStati

28

0

DEAD

233.8 c 2 -

335.4 28

LinStati DEAD

1

233.8 c 2

29

0

DEAD

LinStati

104.5

80

29

29

29

30

30

30

30

31

31

31

31

32

50

100

150

0

50

100

150

0

50

100

150

0

c

7

LinStati

104.5

c

7

LinStati

104.5

c

7

LinStati

104.5

c

7

LinStati

104.5

c

7

LinStati

104.5

c

7

LinStati

104.5

c

7

LinStati

104.5

c

7

LinStati

104.5

c

7

LinStati

104.5

c

7

LinStati

104.5

c

7

LinStati

104.5

c

7

LinStati

104.5

DEAD

DEAD

DEAD

DEAD

DEAD

DEAD

DEAD

DEAD

DEAD

DEAD

DEAD

DEAD

0

0

0

0

0

29

50

0

0

0

0

0

29

100

0

0

0

0

0

29

150

0

0

0

0

0

30

0

0

0

0

0

0

30

50

0

0

0

0

0

30

100

0

0

0

0

0

30

150

0

0

0

0

0

31

0

0

0

0

0

0

31

50

0

0

0

0

0

31

100

0

0

0

0

0

31

150

0

0

0

0

0

32

0

81

32

32

32

50

100

150

c

7

LinStati

104.5

c

7

LinStati

104.5

c

7

LinStati

104.5

c

7

DEAD

DEAD

DEAD

0

0

0

0

0

32

50

0

0

0

0

0

32

100

0

0

0

0

0

32

150

IV.2 VERIFIKASI PROGRAM Karena program yang saya buat merupakan program buatan sendiri yang bersifat independent dan tahap pemula. Dan juga karena alasan bahwa yang sibuat merupakan aplikasi untuk teknik, dimana ketepatan perhitungansangat diperlukan. Maka perlu diadakan verifikasi atau uji check program dengan paket program yang telah dibuat oleh perusahaan kelas international. Untuk verifikasi ini akan dipakai program SAP2000, dimana uji program dengan melihat selisih absolut hasil program yang dibuat dengan hasil program SAP2000. Formula yang dipakai adalah:

Untuk aplikasi yang pertama Tabel IV.7 Beda Absolut Perpindahan Titik titi k

program MATLAB6 Dx

Dy

SAP2000 Dz

Dx

Dy

BEDA ABSOLUT Dz

Dx

Dy

Dz

82

cm

cm

cm

cm

cm

cm

cm

cm

cm

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-

-

-

-

-

-

0.0005345

0.0005345

0.0032830

4.03E-

4.03E-

-2.6E-

97

97

26

07

07

08

0.0005345

-4.03E-

4.03E-

-2.6E-

97

07

07

08

-4.03E-

-4.03E-

-2.6E-

07

07

08

4.03E-

-4.03E-

-2.6E-

07

07

08

1.37E-

1.37E-

07

07

-1.37E-

1.37E-

4

07

07

-1E-08

-

-1.37E-

-1.37E-

-1E-08

5

6

0.00053 0.00053 0.00328 5

5

3

-

-

-

0.0005345

0.0032830

0.00053 0.00053 0.00328

97

26

5

5

-

7

-

0.0005345

0.0005345

0.0032830

97

97

26

5

-

-

-

3

0.00053 0.00053 0.00328 5

3 -

0.0005345

0.0005345

0.0032830

97

97

26

5

5

3

-

-

-

-

-

-

0.0002648

0.0002648

0.0066440

63

63

1

0.0002648 10 11

8

9

0.00053 0.00053 0.00328

0.00026 0.00026 0.00664 5

5

4

-

-

-

0.0002648

0.0066440

0.00026 0.00026 0.00664

63

63

1

0.0002648

0.0002648

-

5

5

0.00026 0.00026

-1E-08

83

63

63

0.0066440

5

5

0.00664

1 -

12

07

07

1.37E-

-1.37E-

07

07

4

-

-

0.0002648

0.0002648

0.0066440

63

63

1

-

0.00026 0.00026 0.00664 5

5

4

-1E-08

Tabel IV.8 Beda Absolut Reaksi Tumpuan titik

program MATLAB6

SAP2000

BEDA ABSOLUT

Rx

Ry

Rz

Rx

Ry

Rz

Rx

Ry

Rz

kg

kg

kg

kg

kg

kg

kg

kg

kg

1

106.49133

106.49133

750.00000

106.49

106.49

750

0.00133

0.00133

0

2

-106.49133

106.49133

750.00000 -106.49

106.49

750 -0.00133

0.00133

0

3

-106.49133 -106.49133 750.00000 -106.49 -106.49 750 -0.00133 -0.00133

0

4

106.49133

0

-106.49133 750.00000

106.49

-106.49 750

0.00133

-0.00133

Dapat dilihat dari tabel-tabel beda absolut untuk perpindahan titik dan reaksi tumpuan didapat sebagian besar sama. Adanya perbedaan hasil, terjadi karena pembulatan desimal yang dipakai, atau presisi (ketetapan perhitungan) yang dilakukan berbeda. Namun dengan berdasarkan nilai beda absolut yang mendekati 0 menunjukan program telah berjalan dengan semestinya. Tabel IV.9 Beda Absolut Gaya Batang titik Frame

program MATLAB6 P

V2

SAP2000 V3

P

V2

BEDA ABSOLUT V3

P

V2

V3

84

Text

Kg

Kg

Kg

Kg

Kg

Kg

Kg

Kg

Kg

1

324.03469

0

0

-324.03

0

0

648.06469

0

0

1

-324.03469

0

0

-324.03

0

0

-0.00469

0

0

2

324.03469

0

0

-324.03

0

0

648.06469

0

0

2

-324.03469

0

0

-324.03

0

0

-0.00469

0

0

3

324.03469

0

0

-324.03

0

0

648.06469

0

0

3

-324.03469

0

0

-324.03

0

0

-0.00469

0

0

4

324.03469

0

0

-324.03

0

0

648.06469

0

0

4

-324.03469

0

0

-324.03

0

0

-0.00469

0

0

5

238.12185

0

0

-238.12

0

0

476.24185

0

0

5

-238.12185

0

0

-238.12

0

0

-0.00185

0

0

6

238.12185

0

0

-238.12

0

0

476.24185

0

0

6

-238.12185

0

0

-238.12

0

0

-0.00185

0

0

7

238.12185

0

0

-238.12

0

0

476.24185

0

0

7

-238.12185

0

0

-238.12

0

0

-0.00185

0

0

8

238.12185

0

0

-238.12

0

0

476.24185

0

0

8

-238.12185

0

0

-238.12

0

0

-0.00185

0

0

9

238.12185

0

0

-238.12

0

0

476.24185

0

0

9

-238.12185

0

0

-238.12

0

0

-0.00185

0

0

10

238.12185

0

0

-238.12

0

0

476.24185

0

0

10

-238.12185

0

0

-238.12

0

0

-0.00185

0

0

11

238.12185

0

0

-238.12

0

0

476.24185

0

0

11

-238.12185

0

0

-238.12

0

0

-0.00185

0

0

85

12

238.12185

0

0

-238.12

0

0

476.24185

0

0

12

-238.12185

0

0

-238.12

0

0

-0.00185

0

0

13

-211.05906

0

0

211.06

0

0

-422.11906

0

0

13

211.05906

0

0

211.06

0

0

-0.00094

0

0

14

-211.05906

0

0

211.06

0

0

-422.11906

0

0

14

211.05906

0

0

211.06

0

0

-0.00094

0

0

15

-211.05906

0

0

211.06

0

0

-422.11906

0

0

15

211.05906

0

0

211.06

0

0

-0.00094

0

0

16

-211.05906

0

0

211.06

0

0

-422.11906

0

0

16

211.05906

0

0

211.06

0

0

-0.00094

0

0

17

331.72906

0

0

-331.73

0

0

663.45906

0

0

17

-331.72906

0

0

-331.73

0

0

0.00094

0

0

18

331.72906

0

0

-331.73

0

0

663.45906

0

0

18

-331.72906

0

0

-331.73

0

0

0.00094

0

0

19

331.72906

0

0

-331.73

0

0

663.45906

0

0

19

-331.72906

0

0

-331.73

0

0

0.00094

0

0

20

331.72906

0

0

-331.73

0

0

663.45906

0

0

20

-331.72906

0

0

-331.73

0

0

0.00094

0

0

21

233.82057

0

0

-233.82

0

0

467.64057

0

0

21

-233.82057

0

0

-233.82

0

0

-0.00057

0

0

22

233.82057

0

0

-233.82

0

0

467.64057

0

0

22

-233.82057

0

0

-233.82

0

0

-0.00057

0

0

23

233.82057

0

0

-233.82

0

0

467.64057

0

0

86

23

-233.82057

0

0

-233.82

0

0

-0.00057

0

0

24

233.82057

0

0

-233.82

0

0

467.64057

0

0

24

-233.82057

0

0

-233.82

0

0

-0.00057

0

0

25

233.82057

0

0

-233.82

0

0

467.64057

0

0

25

-233.82057

0

0

-233.82

0

0

-0.00057

0

0

26

233.82057

0

0

-233.82

0

0

467.64057

0

0

26

-233.82057

0

0

-233.82

0

0

-0.00057

0

0

27

233.82057

0

0

-233.82

0

0

467.64057

0

0

27

-233.82057

0

0

-233.82

0

0

-0.00057

0

0

28

233.82057

0

0

-233.82

0

0

467.64057

0

0

28

-233.82057

0

0

-233.82

0

0

-0.00057

0

0

29

-104.56774

0

0

104.57

0

0

-209.13774

0

0

29

104.56774

0

0

104.57

0

0

-0.00226

0

0

30

-104.56774

0

0

104.57

0

0

-209.13774

0

0

30

104.56774

0

0

104.57

0

0

-0.00226

0

0

31

-104.56774

0

0

104.57

0

0

-209.13774

0

0

31

104.56774

0

0

104.57

0

0

-0.00226

0

0

32

-104.56774

0

0

104.57

0

0

-209.13774

0

0

32

104.56774

0

0

104.57

0

0

-0.00226

0

0

Pada tabel diatas ada perbedaan besar gaya untuk tiap titik awal dari gaya batang, hal ini disebabkan oleh adanya perbedaan penentuan tanda. •

Pada perhitungan matlab

87

+

•

1

2

+

-

1

2

-

2

+

-

1

2

-

Pada perhitungan SAP2000

+

1

Hal ini menyebabkan besar gaya batang pada hasil matlab bernilai positif dan pada hasil SAP2000 bernilai negatif, begitu juga sebaliknya pada hasil Matlab bernilai negatif dan pada hasil SAP2000 bernilai positif.

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

V. 1 KESIMPULAN

88

1. Data yang diinput ke program MATLAB harus sesuai dengan ketentuan yang telah dibuat, bila input data tidak sesuai dengan ketentuan, maka program tidak dapat dijalankan ataupun hasil yang keluar tidak benar. 2. Dalam tugas akhir ini dibuat suatu verifikasi program yang digunakan untuk membandingkan hasil-hasil yang

didapat dari program MATLAB dan program

SAP2000 berupa perpindahan titik (joint displacement) dan reaksi tumpuan (joint reaction) dan gaya batang (element force). Perpindahan titik yang didapat dari program MATLAB untuk titik 1, 2, 3, dan 4 hasilnya adalah nol begitu juga dengan yang didapat dengan menggunakan program SAP2000, hal ini karena titik 1, 2, 3 dan 4 merupakan titik tumpuan sehingga tidak terjadi perpindahan titik. Jika kita mengambil titik yang lain, misalnya titik 10 pada program MATLAB perpindahannya sebesar 0,000264863 dan pada program SAP2000 perpindahannya sebesar 0,000265. Jadi pada titik 10 beda absolut dari kedua program ini sebesar 1.37 x

. Untuk reaksi tumpuan pada titik 4,

pada program MATLAB gayanya sebesar 106,49133 kg dan pada program SAP2000 gayanya sebesar 106,49. Jadi pada titik 4 beda absolut kedua program ini sebesar 0,00133. Jadi dapat dilihat bahwa program MATLAB yang telah dibuat untuk menghitung rangka ruang dengan metode elemen hingga sudah berjalan dengan semestinya dan hasilnya tidak jauh berbeda dengan program yang lebih profesional seperti SAP2000. 3. Kelebihan dari program MATLAB ini adalah kemudahan dalam pendefinisian matriks, sehingga proses pengerjaan analisa struktur dalam dal ini rangka ruang menjadi lebih efisien dan efektifitas pembuatan program lebih cepat dan lebih mudah.

89

4. Dalam menentukan besar gaya batang yang bekerja terdapat perbedaan penentuan arah batang antara MATLAB dengan SAP2000. Hal ini menyebabkan terdapaat perbedaan tanda. 5. Di lampiran dari tugas akhir ini, penulis melampirkan secara keseluruhan listung program dalam program MATLAB, sehingga struktur program dapat lebih mudah dipahami dan dapat menjalankan program ini khusunya untuk menghitung struktur rangka ruang. 6. Gaya yang terjadi pada tumpuan menara air yang menahan beban sebesar 3 ton dan ditumpu ke 4 titik yang berbentuk bujur sangkar adalah sebesar 750 kg pada setiap masing-masing titik. Batang yang menahan gaya paling besar adalah batang nomor 17, 18, 19 dan 20 yaitu sebesar 331,72906 kg . Titik yang mengalami perpindahan yang paling besar adalah titik 9, 10, 11 dan 12 yaitu sebesar 0.00664401 cm.

V. 2 SARAN 1. Program MATLAB khususnya pada rangka ruang dapat dikembangkan lagi penggunaannya untuk keperluan dalam bidang teknik sipil, antara lain mendesain bahan atau material yang lebih ekonomis. 2. Perlu dipermudah lagi dalam segi penggunaan program MATLAB agar dapat dioperasikan dengan mudah.

DAFTAR PUSTAKA

Yerri Susatio, Ir, M., Dasar - dasar Metode Elemen Hingga, penerbit ANDI, 2004. 90

M,. Firdaus Alkaff, Matlab 6 untuk Teknik Sipil, penerbit Maxikom, 2004.

Handi Pramono, Struktur 2D dan 3D dengan SAP2000, penerbit Maxikom, 2004.

Robert D. Cook, Konsep dan Aplikasi Metode Elemen Hingga, PT. Eresco, Bandung, 1990.

William Weaver Jr and Paul R Johnston, Finite Elements for Structural Analysis, Prentice Hall N.J. Stanford University, 1984.

Delores M. Etter, David Kuncicky and Doug Hull, Pengantar MATLAB 6, Prentice Hall N.J. Stanford University, 2002.

Handi Pramono, Desain Konstruksi Plat dan Rangka Beton Bertulang dengan SAP2000, penerbit ANDI, 2007.

LAMPIRAN

91

1.LISTING PROGRAM MATLAB A. Fungsi Extract function[Aex,Bex,Cex]=extract(K,index) m=size(K,1); ind=zeros(m,m);Aex=zeros(m*m,1);Bex=Aex;Cex=Aex; for i=1:m; ind(i,:)=index; end; for i=1:m; for j=1:m; im=j+m*(i-1); Aex(im)=K(i,j); Bex(im)=ind(j,i); Cex(im)=ind(i,j); end; end; y=[Aex Bex Cex]; fid=fopen('scratch_file.txt','a+'); for i=1:m*m; fprintf(fid,'%12.8f %6.2f %6.2f\n',y(i,:)); end; clear K index; fclose(fid); B. Fungsi Assembly 92

function[A]=assembly; load scratch_file.txt; tA=scratch_file; clear scratch_file; m=max(tA(:,2)); A=zeros(m,m); %B=zeros(size(tA)) B=A;C=A; for i=1:length(tA); C=A; B(tA(i,2),tA(i,3))=tA(i,1); A(tA(i,2),tA(i,3))=B(tA(i,2),tA(i,3))+C(tA(i,2),tA(i,3)); end; delete scratch_file.txt; C. Fungsi Sdata function[dof,index,coord,element]=... sdata(prop,element,coord,type) % Menyiapkan data untuk masukan coord=sortrows(coord,1); element=sortrows(element,1); m=size(element,1); n=size(coord,1); switch type; case{'t2d','T2D'}; nd=2; % untuk portal 2D case{'p2d','P2D','t3d','T3D'}; nd=3 93

case{'p3d','P3D'}; nd=6; % untuk portal 3d end; dof=zeros(n,nd+1); index=zeros(m,nd*2); switch type; case{'t2d','T2D'}; for ii=1:n; i=coord(ii,1); %

J

J1

J2

dof(ii,:)=[i

2*i-1 2*i];

J3

end;

for ii=1:m; %

J J1 J2 J3

K K1 K2 K3

index(ii,:)=[dof(element(ii,2),2:3)... dof(element(ii,3),2:3)]; end;

case{'p2d','P2D','t3d','T3D'};

for ii=1:n; i=coord(ii,1); 94

%

J

J1

J2

J3

dof(ii,:)=[i

3*i-2 3*i-1

3*i];

end;

for ii=1:m; %

J J1 J2 J3

K K1 K2 K3

index(ii,:)=[dof(element(ii,2),2:4)... dof(element(ii,3),2:4)]; end;

case {'p3d','P3D'}; for ii=1:n; i=coord(ii,1); %

J

J1

J2

dof(ii,:)=[i

6*i-5 6*i-4

J3

K1

6*i-3 6*i-2

K2

K3

6*i-1 6*i];

end; for ii=1:m; i=coord(ii,:); %

J

J1

J2

J3

K1

K2

K3

index(ii,:)=[dof(element(ii,2),2:7)... dof(element(ii,3),2:7)]; end end

95

D. Fungsi Idata

function[IR,IF,Support]=ldata(Support,dof);

% Menentukan besar ukuran mtriks [id,jd]=size(dof); Support=sortrows(Support,1); Restraint=zeros(id,jd); Restraint(:,1)=dof(:,1);

% Check titik sebagai tumpuan atau tidak i=ismember(Restraint(:,1),Support(:,1));

% Menentukan indeks jika titik adalah suatu tumpuan ii=find(i==1);

% Pakai dof dari titik sebagai perletakan Restraint(ii,2:jd)=Support(:,2:jd);

% Rubah ke vektor iR=reshape(Restraint(:,2:jd),1,(jd-1)*id); iD=reshape(dof(:,2:jd),1,(jd-1)*id);

% Bentuk matriks vektor IF dan IR iR0=find(iR==0); 96

iR1=find(iR==1); IF=sort(iD(iR0)); IR=sort(iD(iR1));

E. Fungsi analysis_result

function[DF,AR,AM]=analysis_result(element,dof,index,... IF,IR,S,SmS,JL,AML,RT,Support,type) clear Sff Srf;

ndof=length([IF IR]); % mencari jumlah derajat kebebasan

% Membentuk matriks Sff Sff=S(IF,IF);

% Membentuk matriks Srf Srf=S(IR,IF);

% Membentuk matriks beban titik (AJ) i=1:size(JL,1); AJ=zeros(1,ndof);

switch type; case{'t2d','T2D'}; AJ(dof(JL(i),2))=JL(i,2); 97

AJ(dof(JL(i),3))=JL(i,3); case{'p2d','P2D','t3d','T3D'}; AJ=zeros(1,ndof); AJ(dof(JL(i),2))=JL(i,2); AJ(dof(JL(i),3))=JL(i,3); AJ(dof(JL(i),4))=JL(i,4); case{'p3d','P3D'}; AJ(dof(JL(i),2))=JL(i,2); AJ(dof(JL(i),3))=JL(i,3); AJ(dof(JL(i),4))=JL(i,4); AJ(dof(JL(i),5))=JL(i,5); AJ(dof(JL(i),6))=JL(i,6); AJ(dof(JL(i),7))=JL(i,7);

end;

% Membentuk matriks beban titik ekivalen AE [mi,ni]=size(index);

% transpose ke..xm matriks (m=jumlah elemen) AMLT=AML'; AE=zeros(ndof,1);

for i=1:size(element,1); Ji=index(i,:); 98

switch type; case {'t2d','T2D'}; AMLi=[AMLT(1,i);AMLT(2,i);AMLT(3,i);AMLT(4,i)]; case {'p2d','P2D','t3d','T3D'}; AMLi=[AMLT(1,i);AMLT(2,i);AMLT(3,i); AMLT(4,i);AMLT(5,i);AMLT(6,i)]; case {'p3d','P3D'}; AMLi=[AMLT(1,i);AMLT(2,i);AMLT(3,i); AMLT(4,i);AMLT(5,i);AMLT(6,i); AMLT(7,i);AMLT(8,i);AMLT(9,i); AMLT(10,i);AMLT(11,i);AMLT(12,i)]; end; AE(Ji)=AE(Ji)-RT(:,:,i)'*AMLi; end; AE=AE'; % Menghitung Reaksi perletakan (AR) dan perpindahan titik (DF) AC=AJ+AE AFC=AC(IF)'; ARC=AC(IR)'; DF=Sff\AFC; AR=-ARC+Srf*DF;

% Menghitung Gaya batang Dj=zeros(1,ndof); AM=zeros(ni,mi); 99

Dj(IF)=DF;

for i=1:size(element,1); DM=RT(:,:,i)*Dj(index(i,:))'; AM(:,i)=AML(i,:)'+SmS(:,:,i)*DM; end;

AM=AM.';

F. Fungsi print_result

function[joint_disp,support_reaction,beam_endforces]=... print_result(dof,Support,element,IF,IR,DF,AR,AM,type)

% Print hail keluaran % Print Reaksi Perletakan [id,jd]=size(dof); [iS,jS]=size(Support); reaction=zeros(id,jd); support_reaction=zeros(iS,jd); reaction(:,1)=dof(:,1); for i=1:size(AR,1); [ii,jj]=find(dof(:,2:jd)==IR(i)); reaction(ii,jj+1)=AR(i); 100

end; for i=1:size(Support,1); ii=find(reaction(:,1)==Support(i,1)); support_reaction(i,:)=reaction(ii,:); end; % Print perpindahan titik untuk semua dof joint_disp=zeros(size(dof)); joint_disp(:,1)=dof(:,1); bb=ismember (dof,IF); ii=find(bb==1); for i=1:size(DF,1); [ii,jj]=find(dof(:,2:jd)==IF(i)); joint_disp(ii,jj+1)=DF(i); end; switch type; case {'t2d','T2D'}; disp(' '); disp('TABEL PERPINDAHAN TITIK'); disp('Titik

Dx

Dy');

fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f\n', joint_disp.');

% Print Reaksi perletakan disp(' '); disp('TABEL REAKSI PERLETAKAN'); disp('Titik

Rx

Ry '); 101

fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f\n',support_reaction.');

% Print Gaya Batang beam_endforces=[element(:,1) AM]; disp(' '); disp('TABEL GAYA BATANG'); disp('Batang

Fx1

Fy1

Fx2

Fy2 ');

fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f\n',beam_endforces.'); case {'t3d','T3D'}; disp(' '); disp(' '); disp('

____________________________________

disp('

|==========-----oOo-----===========|

disp('

'); ');

HASIL ANALISA STRUKTUR RANGKA RUANG

'); disp(' disp(' disp(' disp(' disp('

DENGAN PROGRAM MATLAB 6.1 Created by: Ade Satria, NIM: 03 0404 012

');

DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK

');

'); ');

U N I V E R S I T A S S U M A T E R A U T A R A');

disp('

MEDAN

disp('

-=2 0 0 8=-

'); ');

disp(' '); disp('

_____________________o----=o=----

o______________________ '); 102

disp(' __|======================================================|__ '); disp(' disp('

TABEL PERPINDAHAN TITIK ***-------------------------start--------------------------***');

disp(' disp('

');

Titik

Dx

Dy

Dz

');

***--------------------------------------------------------***');

disp(' '); fprintf('

***%3.0f %15.9f %15.9f %15.9f ***\n', joint_disp.' );

disp(' '); disp('

***--------------------------------------------------------***');

disp(' ___/=========================end==========================\___'); disp(' '); disp(' '); disp(' '); disp(' '); disp(' '); % Print Reaksi perletakan disp('

________________________o----=o=----

o_______________________ '); disp(' __|==========================================================|___'); disp('

TABEL REAKSI PERLETAKAN

disp('

***---------------------------start---------------------------***');

disp('

Titik

Rx

Ry

Rz

');

'); 103

disp('

***-----------------------------------------------------------***');

disp(' '); fprintf('

***%3.0f

%15.5f

%15.5f

%15.5f

***\n',support_reaction.'); disp(' '); disp('

***-----------------------------------------------------------***');

disp(' ___/===========================end===========================\___'); disp(' '); disp(' '); disp(' '); disp(' '); disp(' '); % Print Gaya Batang beam_endforces=[element(:,1) AM]; disp('

_____________________________________________________o----=o=----

o____________________________________________________ '); disp(' ___|================================================================= ===================================================|___'); disp('

TABEL GAYA BATANG

disp('

***---------------------------------------------------------start----------------------------------

');

----------------------***');

104

disp(' Fz2

Batang

Fx1

Fy1

Fz1

Fx2

Fy2

');

disp('

***------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------***'); disp(' '); fprintf('

***%5.0f %15.5f

%15.5f

%15.5f

%15.5f

%15.5f %15.5f

***\n',beam_endforces.'); disp(' '); disp('

***------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------***'); disp(' ___/=========================================================end====== ==================================================\___'); disp(' _____________________________________________________________________________ _______________________________________________');

case {'t3d','T3D'}; disp(' '); disp('TABEL PERPINDAHAN TITIK'); disp('Titik

Dx

Dy

Dz');

fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f\n', joint_disp.');

% Print Reaksi perletakan disp(' '); 105

disp('TABEL REAKSI PERLETAKAN'); disp('Titik

Rx

Ry

Rz');

fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f %12.4f\n',support_reaction.');

% Print Gaya Batang beam_endforces=[element(:,1) AM]; disp(' '); disp('TABEL GAYA BATANG'); disp('Batang

Fx1 Fy1

Fz1

Fx2

Fy2

Fz2');

fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f\n',beam_endforces.'); case {'p3d','P3D'}; disp(' '); disp('TABEL PERPINDAHAN TITIK'); disp('Titik

Dx

Dy

Dz

Rx

Ry

Rz');

fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f\n', joint_disp.');

% Print Reaksi perletakan disp(' '); disp('TABEL REAKSI PERLETAKAN'); disp('Titik

Rx

Ry

Rz

Mx

My

Mz');

fprintf('%5.0f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f %12.4f\n',support_reaction.');

% Print Gaya Batang beam_endforces=[element(:,1) AM]; disp(' '); 106

disp('TABEL GAYA BATANG'); disp('Batang Fz2

Mx2

fprintf('% %12.4f

Fx1

Fy1

My2

Mz2')

5.0f

%12.4f

%12.4f

Fz1

%12.4f

%12.4f %12.4f

Mx1

%12.4f

My1

%12.4f

Mz1

%12.4f

Fx2

%12.4f

Fy2

%12.4f

%12.4f\n',beam_endforces.');

end;

G. Fungsi t3d_stiff

function[S,Sm,SmS,Cx,Cxz,Cy,RT,L,A,Joint,Xj,Xk,Yj,Yk,Zj,Zk]=t3d_stiff(prop,element,coord ,index); m=size(element,1); Joint=coord(:,1);

E=prop(element(:,4),2); % Modulus elastisitas A=prop(element(:,4),3); % Area

% Bentuk matriks Xi Xj dan Yi Yj Xj=zeros(1,m); Xk=Xj; Yj=Xj; 107

Yk=Xj; joint=coord(:,1); for i=1:m; ij=find(Joint==element(i,2)); ik=find(Joint==element(i,3)); Xj(i)=coord(ij,2); Xk(i)=coord(ik,2); Yj(i)=coord(ij,3); Yk(i)=coord(ik,3); Zj(i)=coord(ij,4); Zk(i)=coord(ik,4); end;

% Menghitung panjang elemen L=sqrt((Xk-Xj).^2+(Yk-Yj).^2+(Zk-Zj).^2); Cx=(Xk-Xj)./L; Cy=(Yk-Yj)./L; Cz=(Zk-Zj)./L; Cxz=sqrt(Cx.^2+Cz.^2);

% menghitung parameter Cxz

% Bentuk matriks kekakuan 6 x 6 x m SmS=zeros(6,6,m); Sm=SmS; RT=SmS;

108

for i=1:m; if Cxz(i)<0.001;% jika elemen tegak R=[0 Cy(i) 0; -Cy(i) 0 0

0

0; 1];

else; % jika batang miring R=[Cx(i)

Cy(i)

Cz(i);

-Cx(i)*Cy(i)/Cxz(i) Cxz(i) -Cy(i)*Cz(i)/Cxz(i); -Cz(i)/Cxz(i)

0

Cx(i)/Cxz(i)];

end; RT(:,:,i)=[R zeros(3,3); zeros(3,3) R]; % Matriks rotasi SmS(:,:,i)=A(i)*E(i)/L(i)*[ 1 0 0 -1 0 0; 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0; -1 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0] Sm(:,:,i)=RT(:,:,i).'*SmS(:,:,i)*RT(:,:,i); [Aex,Bex,Cex]=extract(Sm(:,:,i),index(i,:)); end; disp('Bentuk matriks kekakuan'); S=assembly;

2.OUTPUT PROGRAM MATLAB 109

SmS(:,:,4) =

98700

0

0

-98700

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-98700

0

0

98700

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

SmS(:,:,5) =

1.0e+004 * 8.8280

0

0

-8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-8.8280

0

0

8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

110

SmS(:,:,6) =

1.0e+004 *

8.8280

0

0

-8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-8.8280

0

0

8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

8.8280

0

0

-8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-8.8280

0

0

8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

SmS(:,:,7) =

1.0e+004 *

111

SmS(:,:,8) =

1.0e+004 *

8.8280

0

0

-8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-8.8280

0

0

8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

8.8280

0

0

-8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-8.8280

0

0

8.8280

0

0

SmS(:,:,9) =

1.0e+004 *

112

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

8.8280

0

0

-8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-8.8280

0

0

8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

8.8280

0

0

-8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

SmS(:,:,10) =

1.0e+004 *

SmS(:,:,11) =

1.0e+004 *

113

0

0

0

0

0

0

-8.8280

0

0

8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

8.8280

0

0

-8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-8.8280

0

0

8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

SmS(:,:,12) =

1.0e+004 *

SmS(:,:,13) = 197400

0

0

-197400

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-197400

0

0

197400

0

0

0

0

0

0

0

0

114

0

0

0

0

0

197400

0

0

-197400

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-197400

0

0

197400

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

197400

0

0

-197400

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-197400

0

0

197400

0

0

0

0

0

0

0

0

0

SmS(:,:,14) =

SmS(:,:,15) =

115

0

0

0

0

0

197400

0

0

-197400

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-197400

0

0

197400

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

SmS(:,:,16) =

SmS(:,:,17) =

98700

0

0

-98700

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-98700

0

0

98700

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

116

SmS(:,:,18) =

98700

0

0

-98700

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-98700

0

0

98700

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

98700

0

0

-98700

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-98700

0

0

98700

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

SmS(:,:,19) =

117

SmS(:,:,20) =

98700

0

0

-98700

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-98700

0

0

98700

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

SmS(:,:,21) =

1.0e+004 *

8.8280

0

0

-8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-8.8280

0

0

8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

118

SmS(:,:,22) =

1.0e+004 *

8.8280

0

0

-8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-8.8280

0

0

8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

8.8280

0

0

-8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-8.8280

0

0

8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

SmS(:,:,23) =

1.0e+004 *

119

SmS(:,:,24) =

1.0e+004 *

8.8280

0

0

-8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-8.8280

0

0

8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

8.8280

0

0

-8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-8.8280

0

0

8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

SmS(:,:,25) =

1.0e+004 *

120

SmS(:,:,26) =

1.0e+004 *

8.8280

0

0

-8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-8.8280

0

0

8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

8.8280

0

0

-8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-8.8280

0

0

8.8280

0

0

SmS(:,:,27) =

1.0e+004 *

121

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

8.8280

0

0

-8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-8.8280

0

0

8.8280

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

SmS(:,:,28) =

1.0e+004 *

SmS(:,:,29) =

197400

0

0

-197400

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-197400

0

0

197400

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

122

SmS(:,:,30) =

197400

0

0

-197400

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-197400

0

0

197400

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

197400

0

0

-197400

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-197400

0

0

197400

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

SmS(:,:,31) =

SmS(:,:,32) =

123

197400

0

0

-197400

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-197400

0

0

197400

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Bentuk matriks kekakuan

AC =

Columns 1 through 12

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0


0

0

0

0


124

0

0

-750

0

0

-750

0

0

-750

0

0

-750

DF =

-0.0005 -0.0005 -0.0033 0.0005 -0.0005 -0.0033 0.0005 0.0005 -0.0033 -0.0005 0.0005 -0.0033 -0.0003 -0.0003 -0.0066 0.0003 -0.0003 -0.0066 0.0003 125

0.0003 -0.0066 -0.0003 0.0003 -0.0066

AR =

106.4913 106.4913 750 -106.4913 106.4913 750 -106.4913 -106.4913 750 106.4913 -106.4913 750

AM = 324.0347

0

0

0

0

324.0347 126

324.0347

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

324.0347 324.0347

0

0 324.0347 -

324.0347

0

0 324.0347 -

238.1218

0

0 238.1218 -

238.1218

0

0 238.1218 -

238.1218

0

0 238.1218 -

238.1218

0

0 238.1218 -

238.1218

0

0 238.1218 -

238.1218

0

0 238.1218 -

238.1218

0

0 238.1218 -

238.1218

0

0 238.1218

127

-211.0591

0

0

211.0591

0

0

-211.0591

0

0

211.0591

0

0

-211.0591

0

0

211.0591

0

0

-211.0591

0

0

211.0591

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

331.7291

0

0 331.7291 -

331.7291

0

0 331.7291 -

331.7291

0

0 331.7291 -

331.7291

0

0 331.7291 -

233.8206

0

0 233.8206 -

233.8206

0

0 233.8206 -

233.8206

0

0 233.8206 -

233.8206

0

0 233.8206 -

233.8206

0

0 233.8206

128

233.8206

0

0

0

0

0

0

0

0

233.8206 233.8206

0

0 233.8206 -

233.8206

0

0 233.8206

-104.5677

0

0

104.5677

0

0

-104.5677

0

0

104.5677

0

0

-104.5677

0

0

104.5677

0

0

-104.5677

0

0

104.5677

0

0

____________________________________ |==========-----oOo-----===========| HASIL ANALISA STRUKTUR SPACE TRUSS DENGAN PROGRAM MATLAB 6.1 Created by: Ade Satria, NIM: 03 0404 012 DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN -=2 0 0 8=129

_____________________o----=o=----o______________________ __|======================================================|__ TABEL PERPINDAHAN TITIK titik

Dx

Dy

Dz

cm

cm

cm

1

0.000000000

0.000000000

0.000000000

2

0.000000000

0.000000000

0.000000000

3

0.000000000

0.000000000

0.000000000

4

0.000000000

0.000000000

0.000000000

5

-0.000534597

-0.000534597

-0.003283026

6

0.000534597

-0.000534597

-0.003283026

7

0.000534597

0.000534597

-0.003283026

8

-0.000534597

0.000534597

-0.003283026

9

-0.000264863

-0.000264863

-0.006644010

10

0.000264863

-0.000264863

-0.006644010

11

0.000264863

0.000264863

-0.006644010

12

-0.000264863

0.000264863

-0.006644010

________________________o----=o=----o_______________________ __|==========================================================|___ TABEL REAKSI PERLETAKAN titik

Rx

Ry

Rz

130

kg

kg

kg

1

106.49133

106.49133

750.00000

2

-106.49133

106.49133

750.00000

3

-106.49133

-106.49133

750.00000

4

106.49133

-106.49133

750.00000

_____________________________________________________o----=o=---o____________________________________________________ ___|=============================================================================== =====================================|___ TABEL GAYA BATANG

titik

Fy1

Fx1

Fz1

Fy2

Fx2

Fz2

Kg

Kg

Kg

Kg

Kg

Kg

1

324.03469

0

0

-324.03469

0

0

2

324.03469

0

0

-324.03469

0

0

3

324.03469

0

0

-324.03469

0

0

4

324.03469

0

0

-324.03469

0

0

5

238.12185

0

0

-238.12185

0

0

6

238.12185

0

0

-238.12185

0

0

7

238.12185

0

0

-238.12185

0

0

8

238.12185

0

0

-238.12185

0

0

9

238.12185

0

0

-238.12185

0

0

10

238.12185

0

0

-238.12185

0

0

11

238.12185

0

0

-238.12185

0

0

131

12

238.12185

0

0

-238.12185

0

0

13

-211.05906

0

0

211.05906

0

0

14

-211.05906

0

0

211.05906

0

0

15

-211.05906

0

0

211.05906

0

0

16

-211.05906

0

0

211.05906

0

0

17

331.72906

0

0

-331.72906

0

0

18

331.72906

0

0

-331.72906

0

0

19

331.72906

0

0

-331.72906

0

0

20

331.72906

0

0

-331.72906

0

0

21

233.82057

0

0

-233.82057

0

0

22

233.82057

0

0

-233.82057

0

0

23

233.82057

0

0

-233.82057

0

0

24

233.82057

0

0

-233.82057

0

0

25

233.82057

0

0

-233.82057

0

0

26

233.82057

0

0

-233.82057

0

0

27

233.82057

0

0

-233.82057

0

0

28

233.82057

0

0

-233.82057

0

0

29

-104.56774

0

0

104.56774

0

0

30

-104.56774

0

0

104.56774

0

0

31

-104.56774

0

0

104.56774

0

0

32

-104.56774

0

0

104.56774

0

0

***----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------***

132

___/=========================================================end=================== =====================================\___ _____________________________________________________________________________________________ _______________________________ >>

133

134

135

31

31

31

1

APLIKASI PROGARAM METODE ELEMEN HINGGA PADA RANGKA RUANG (SPACE TRUSS) DENGAN PROGRAM MATLAB TUGAS AKHIR

Recommend Documents