APLIKASI KOORDINAT PARALEL DI DALAM RUANG DIMENSI 4 PADA DISPLAY LALU-LINTAS PESAWAT

J. Sains Dasar 2015 4 (2) 128 - 139

APLIKASI KOORDINAT PARALEL DI DALAM RUANG DIMENSI 4 PADA DISPLAY LALU-LINTAS PESAWAT PARALLEL COORDINATE APPLICATION IN 4 DIMENSION ROOM AT PLANE TRAFFIC DISPLAY Hartono*, Kus Prihantoso Krisnawan, dan Husna Arifah Jurusan Pendidikan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Yogyakarta

*email: [email protected] diterima 1 September 2015, disetujui 10 September 2015 Abstrak Penelitian ini bertujuan untuk menggambarkan garis di ruang dimensi n pada bidang koordinat paralel dan menggunakan representasi tersebut sebagai display pergerakan pesawat yang terbang dengan kecepatan konstan dengan lintasan berupa garis lurus. Bidang koordinat paralel dari ruang dimensi digambarkan berupa sumbuvertikal yang saling sejajar. Hasil dari penggambaran beberapa titik yang segaris menunjukkan bahwa pada bidang koordinat paralel, perpanjangan garis-garis yang mewakili titik-titik tersebut berpotongan tepat di satu titik asalkan gradien garis tidak sama dengan 1. Untuk garis pada ruang dimensi 2 dapat direpresentasikan oleh sebuah titik, garis pada ruang dimensi 3 direpresentasikan oleh 2 buah titik dan garis pada ruang dimensi direpresentasikan oleh buah titik. Sehingga representasi dari pergerakan pesawat pada bidang koordinat paralel adalah berupa 3 buah titik. Melalui penggambaran ini, selain dapat diketahui koordinat dan ketinggian pesawat pada saat ini namun dapat diketahui juga apakah pergerakan sebuah pesawat dapat mengganggu (menabrak atau terlalu dekat dengan) pesawat lain atau tidak. Kata kunci: koordinat paralel, gambar garis pada ruang dimensi

, display pergerakan pesawat

Abstract This research aims to describe ann-dimensional line on a parallel coordinate and uses the representation as a display of aircraft motion which flies at a straight line and constant velocity. A parallel coordinate of n-dimensional space depicted in the form of nparallel vertical lines which represent axis.Every two adjacent axes have the same distance. A horizontal line that cutsall axes indicates the initial pointsof each axis. In a parallel coordinate,an dimensional point is represented as a polygonal chainwhere the vertices located on its axis. Based on the representations of some of collinear points, a line is described on a parallel coordinate. On the other hand, one can consider a graph of an aircraft motion as a graph of a 4-dimensional space. At a constant speed with a straight line orbit, the graph of an aircraft movementis a graph of 4-dimensional line. The result shows that, on a parallel coordinate, an n-dimensional line represented as dots. As a consequence, the graph of an aircraft that moveat a constant speed with a straight line orbitrepresented as3 dots. By this representation, the coordinate and altitude of the aircraft can be observes at anytime. It also shows whether the movement of an aircraft disturb (strike or too close to) another plane or not. Keywords: parallel coordinate, n-dimensional space, aircraft movement display

Pendahuluan Hari Minggu tanggal 28 Desember 2014, dunia penerbangan Indonesia digemparkan dengan adanya berita mengenai kecelakaan pesawat Air Asia QZ8501 karena menabrak awan cumulonimbus. Cumulonimbus merupakan awan dengan massa besar. Executive Advisor Asosiasi Pilot Garuda (APG) Kapten Shadrach M Nababan

[1] menjelaskan bahwa, awan ini menjadi ancaman bagi proses penerbangan. Awan jenis ini bisa memicu terbentuknya wind shear dan microburst. Wind shear merupakan perubahan arah dan kecepatan angin yang terjadi tiba-tiba. Sementara microburst adalah angin yang menghempas ke bawah dan turun ke tanah yang menyebabkan

129

Hartono dkk./ J. Sains Dasar 2015 4 (2) 128 – 139

perbedaan atau penyimpangan angin yang kuat.Microburst mampu menghasilkan angin lebih dari 100 mph dan bisa menyebabkan kerusakan yang signifikan. Seorang pemerhati penerbangan, Yayan Mulyana mengatakan di dalam Kompas (Minggu 28 Desember 2014) bahwa posisi terakhir kontak pesawat Air Asia berkode penerbangan QZ8501 pada ketinggian 32 ribu kaki dipenuhi awan cumulonimbus, sehingga perlu mengubah ketinggian untuk menghindari awan tersebut. Padahal, pada waktu yang berdekatan dengan ketika pesawat AirAsia QZ8501 hilang kontak, ada lebih dari satu penerbangan yang melintas di jalur penuh awan tersebut. Namundibandingkan pesawat lain, posisi AirAsia QZ8501 berada pada posisi terendah di ketinggian jelajah.Semua pesawat lain berada di ketinggian lebih dari 34.000 kaki. Yayan Mulyana juga mengatakan bahwa pada saat pesawat ini hilang kontak, beragam perangkat pelacak pesawat memperlihatkan ada setidaknya empat pesawat lain yang berdekatan dengan QZ8501 pada saat itu, yakni Garuda Indonesia berkode penerbangan GIA602, pesawat Lion Air berkode LNI763, AirAsia berkode penerbangan QZ502, dan Emirates berkode penerbangan UAE409. Berdasarkan data yang Yayan dapatkan, ketinggian GIA602 adalah 35.000 kaki, LNI763 pada 38.000 kaki, QZ502 pada 38.000 kaki, dan UAE409 pada 35.000 kaki. Dilain pihak, menurut kementrian perhubungan yang dikutip oleh Republika (Kamis 1 Januari 2015), untuk menanggapi permintaan pilot pesawat Air Asia QZ8501 yang meminta ijin penambahan ketinggian pesawat (dari 32000 kaki menjadi 38000 kaki), pihak ATC perlu berkoordinasi dengan Makasar dan Singapura untuk mengetahui apakah ketinggian jelajah diatas 32 ribu kaki tidak ada pesawat lain yang melintas sehingga aman untuk digunakan.Berdasarkan regulasi yang dikeluarkan oleh FAA (Federal Aviation Administration) untuk ATC (lihat FAA order JO 7110.65V), secara umum jarak minimal 2 pesawat pada arah vertikal adalah 1.000 kaki untuk lalu lintas IFR dan 500 kaki untuk pesawat VFR. Pada arah lateral, secara umum adalah 3 mil (4,82802) untuk di lingkungan bandara dan 5 mil (8,046 km) untuk di dalam rute perjalanan. Kecelakan pesawat lain yang terjadi karena melalui awan cumulonimbus adalah penerbangan Air France AF447 jenis A330-200 registrasi FGZCP yang berangkat dari Rio de Janeiro menuju Paris, Prancis, pada 31 Mei 2005 pukul 22.29 GMT dengan melintasi Samudra Atlantik sebelah timur

(lihat Metronews, 06 Januari 2015). Selain itu ada juga kasus pesawat Sukhoi yang menabrak gunung Salak pada tanggal 9 Mei 2012 (lihat Kompas, Selasa 18 Desember 2012). Sebenarnya kasus pesawat menabrak dapat dihindarkan jika rute pesawat dapat diubah jauh sebelum melalui awan berbahaya, gunung, maupun jalur pesawat lain. Karena posisi gunung, pergerakan awan, dan pergerakan pesawat dapat dipantau oleh ATC. Sehingga, pihak ATC dapat memilihkan jalur pesawat aman dari awan cumulonimbus, aman dari pesawat lain ataupun benda lain yang dapat dipantau oleh ATC. Pergerakan benda dengan orbit berupa garis pada ruang dimensi 3 (misalnya pesawat dan awan) dapat dipandang sebagai masalah garis pada ruang dimensi 4.Pada pergerakan tersebut, selain variabel arah ortogonal, frontal horizontal, dan vertikal juga ada variabel waktu, (sumbu x, y, z, dan t). Oleh karena itu, penyajian pergerakan benda pada ruang dimensi 3 tidak dapat digambarkan menggunakan koordinat kartesius, koordinat tabung, koordinat bola, maupun koordinat klasik lain yang hanya mampu untuk menyajikan masalah 3 dimensi. Salah satu cara untuk menyajikan garis pada ruang dimensi 4 ini adalah dengan menggunakan Sistem Koordinat Paralel. Alfred Inselberg [2] menyatakan bahwa koordinat parallel dapat digunakan untuk menggambarkan titik-titik pada dimensi berapapun. Beberapa penelitian mengenai koordinat parallel telah dilakukan.Diantaranya, dilakukan oleh Chatterjee et.al. [3], Adrienko dan Adrienko [4], dan Choi dan Lee [5]. Di dalam penelitiannya, Chatterjee [3] menggunakan koordinat paralel untuk menyelesaikan masalah pada program linier. Sedangkan Adrienko [4] menggunakan koordinat paralel untuk problem solving. Choi [5] mencoba memvisualisasikan serangan terhadap internet dengan menggunakan koordinat parallel. Pada penelitian ini koordinat parallel akan digunakan untuk menyajikan garis di dalam ruang dimensi n dan penggunaannya sebagai informasi pergerakan pesawat.

Metode Penelitian Penelitian ini bertujuan untuk menyajikan garis pada ruang dimensi n dengan menggunakan koordinat parallel dan pergerakan pesawat pada ruang dimensi 3 dengan menggunakan koordinat parallel. A. Nilai Maksimal dan Minimal suatu Fungsi 1. Fungsi 1 variabel


Misalkan diberikan sebuah fungsi

,

i.

dengan , maka nilai ekstrim dari fungsi tersebut didefinisikan sebagai berikut : Definisi 1 (Varberg, Purcell, dan Rigdon): untuk disebutsebagai nilai i. Nilai minimumdari pada jika . untuk setiap ii. Nilai untuk disebutsebagai nilai pada jika maksimumdari untuk setiap . untuk disebut sebagai nilai iii. Nilai ekstrim dari pada jika merupakan nilai minimum atau maksimum. Keberadaan dari nilai maksimal dan minimal dari suatu fungsi kontinu dijamin oleh teorema berikut ini. Teorema 2 (Varberg, Purcell, dan Rigdon): Jika fungsi kontinu pada selang tertutup maka mencapai nilai maksimum dan minimum di dalam selang tersebut. Bukti dari teorema ini dapat dilihat di Ghoparde, S.R. dan Limaye, B.V. Ada tiga macam titik yang dapat menjadi titik kritis, yaitu titik-titik di ujung interval, titik stasioner, dan titik singular.Titik kritis merupakan titik yang dapat menyebabkan mempunyai nilai maksimum atau minimum. Teorema 3 (Varberg, Purcell, dan Rigdon): Jika nilai merupakan nilai ekstrim maka merupakan titik kritis, sehingga merupakan i. Titik di ujung interval; ii. Titik stasioner dari jika ; iii. Titik singular dari , jika tidak ada. Bukti dari teorema ini dapat dilihat di Varberg, Purcell, dan Rigdon. 2. Fungsi 2 variabel Misalkan diberikan sebuah fungsi , dengan , maka nilai ekstrim dari fungsi tersebut didefinisikan sebagai berikut Definisi 4 (Varberg, Purcell, dan Rigdon):

ii.

iii.

130

Nilai globaldari untuk setiap Nilai

untuk disebutsebagai pada jika

nilai

minimum

. untuk

disebutsebagai nilai maksimum globaldari pada jika untuk setiap . Nilai untuk disebut sebagai nilai ekstrim dari pada jika merupakan nilai minimum global atau maksimum global.

Keberadaan dari nilai maksimal dan minimal dari suatu fungsi kontinu dijamin oleh teorema berikut ini. Teorema 5 (Varberg, Purcell, dan Rigdon): Jika fungsi kontinu pada pada himpunan tertutup A maka mencapai nilai maksimum (global) dan minimum (global) di dalam himpunan tersebut. Bukti dari teorema ini dapat dilihat di Ghoparde, S.R. dan Limaye, B.V. Teorema 6 (Varberg, Purcell, dan Rigdon): merupakan nilai ekstrim maka Jika nilai merupakan titik kritis, sehingga merupakan i. Titik pada perbatasan; ii. Titik stasioner dari jika ; iii. Titik singular dari , jika tidak diferensiabel.

Bukti dari teorema ini dapat dilihat di Varberg, Purcell, dan Rigdon. A. Persamaan Garis 1. Persamaan garis pada bidang Jika diberikan 2 buah titik pada bidang , misalkan kedua titik tersebut adalah dan maka bentuk persamaaan garis lurus yang melalui kedua titik tersebut adalah 1

131


Persamaan (1) dapat diubah ke dalam bentuk

7 2

dengan

dan

disebut

sebagai

gradien. Persamaan (1) dapat juga dinyatakan dalam bentuk persamaan dengan parameter ( ), sebagai berikut. 3

dengan

dan

.

Sehingga, untuk menyatakan garis pada ruang dimensi n memerlukan setidaknya persamaan, yaitu 8

Dengan

,

untuk

2. Persamaan garis pada ruang dimensi 3 Jika diberikan 2 buah titik di ruang dimensi 3 (dengan ruang koordinat ), misalkan dan kedua titik tersebut maka persamaan garis yang melalui kedua titik tersebut dapat diperoleh berdasarkan bentuk berikut. 4

. Persamaan (7) dapat juga dinyatakan dalam bentuk persamaan dengan parameter ( ), sebagai berikut. 9

Sehingga, garis pada ruang dimensi 3 tidak dapat dinyatakan hanya menggunakan sebuah persamaan, tetapi setidaknya ada 2 persamaan, yaitu 5

dengan

dengan

dan

.

Persamaan (4) dapat juga dinyatakan dalam bentuk persamaan dengan parameter ( ), sebagai berikut. 6

dengan

, dengan

untuk

.

B. Jarak dari 2 Garis yang Tidak Berpotongan Jika diberikan 2 garis yang berpotongan, maka jarak terdekat kedua garis adalah 0.Namun, perpotongan garis pada ruang dimensi 3 atau lebih sangat jarang terjadi. Oleh karena itu, pada bagian ini akan diberikan langkah untuk menentukan jarak dari dua garis pada ruang dimensi n yang tidak berpotongan. Misalkan diberikan 2 garis pada ruang dimensi n, yaitu garis l dan garis k.Garis l didefinisikan sebagai berikut 10

.

3. Persamaan garis pada ruang dimensi n Jika diberikan 2 buah titik di ruang dimensi (dengan ruang koordinat ), misalkan kedua titik tersebut dan maka persamaan garis yang melalui kedua titik tersebut dapat diperoleh berdasarkan bentuk berikut.

dengan adalah sebuah titik yang terletak pada garis l dan garis k didefinisikan sebagai berikut 11


dengan adalah sebuah titik yang terletak pada garis k. Jarak (dilambangkan ) antara titik-titik pada garis l dengan titik-titik pada k dapat dinyatakan sebagai berikut 12

Variabel pada persamaan (12) merupakan fungsi dalam 2 variabel, s dan t. Sehingga dapat dinyatakan . Jarak antara garis l dengan garis k adalah sama dengan jarak terdekat dari titik-titik pada garis l dengan titik-titik pada garis k. mencapai minimal pada saat Jika dan maka 13

132

1. Garis pada ruang dimensi 2 Jika sebuah titik pada ruang dimensi digambarkan pada bidang koordinat paralel maka akan diperoleh ruas garis patah-patah (lintasan polygonal/zig-zag) dengan banyaknya patahan adalah (dapat dilihat pada Bab 3 subbab D.). Sehingga jika sebuah titik pada ruang dimensi 2 digambarkan pada bidang koordinat paralel maka akan didapatkan sebuah ruas garis. Kemudian bagaimanakah hubungan ruas-ruas garis hasil penggambaran pada bidang koordinat paralel dari titik-titik yang terletak pada sebuah ruas garis di ruang dimensi 2? Apakah ruas-ruas garis tersebut akan berpotongan pada satu titik, sejajar, ataukah menghasilkan ruas-ruas garis yang tidak beraturan? Lema berikut akan memberikan jawaban dari pertanyaan tersebut. Lema 4.1. Diberikan sebuah garis pada ruang dimensi dua, , dengan . Jika titik-titik pada garis digambarkan pada bidang koordinat paralel maka akan diperoleh ruas-ruas garis yang berpotongan pada satu titik. Bukti: Diberikan persamaan garis sebagai berikut 4.1

C. Penggambaran Titik dalam Koordinat Paralel Sesuai dengan namanya, sumbu-sumbu pada koordinat paralel digambarkan sebagai garis-garis vertikal yang sejajar berbeda dengan koordinat kartesius yang digambarkan sebagai sumbu-sumbu yang berpotongan saling tegak lurus di titik O. Garis-garis vertikal ini mewakili sumbu dan yang di potong oleh sebuah garis mendatar.Garis mendatar menyatakan letak titik 0 dari setiap sumbu. Garis mendatar ini kemudian disebut sebagai sumbu . Jarak antara sumbu dengan sumbu harus selalu sama untuk setiap (misalkan jaraknya adalah ).

Hasil dan Pembahasan A. Representasi Garis pada Bidang Koordinat paralel Sebelum membahas garis pada ruang dimensi n, akan dibahas terlebih dahulu garis pada ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3.

dengan . Titik terletak pada garis . Gambar titik pada koordinat paralel adalah berupa sebuah ruas garis (lihat gambar 4.1). Pada Gambar 4.1., ruas garis (berwarna biru) merepresentasikan titik . Dibentuk sebuah bidang koordinat kartesius, dengan sumbu Y berhimpit sumbu dan sumbu Xadalah sumbu mendatar pada koordinat parallel. Perhatikan bahwa, persamaan ruas garis pada bidang koordinat kartesius yang baru dibentuk adalah 4.2 Titik memenuhi persamaan 4.1. Substitusi titik ke dalam persamaan (4.1) kemudian hasilnya disubstitusikan ke dalam persamaan (4.2) diperoleh 4.3

133


Jika diberikan titik lain yang terletak pada garis (misalkan titik ), maka dengan cara yang sama akan didapatkan persamaan garis sebagai berikut 4.4

Garis

dan

gradien . Berdasarkan pada pembuktian dari Lema 4.1., dapat diketahui bahwa jika garis , dengan , digambarkan pada koordinat paralel akan didapatkan titik

berpotongan di titik 4.5

dengan absis sumbu

Berdasarkan bentuk 4.5, dapat diketahui bahwa posisi (koordinat perpotongan ruas garis dan ruas garis ) tidak dipengaruhi oleh pemilihan titik dan pada garis . Olehkarena itu jika titik-titik pada garis digambarkan pada bidang paralel maka akan diperoleh titik yang berada pada koordinat Untuk

. selanjutnya,

titik

merepresentasikan garis yang digambarkan pada bidang koordinat paralel. Sehingga, sebuah garis di dalam ruang dimensi 2 yang digambarkan pada bidang koordinat paralel akan berupa titik. Di lain pihak, sebuah titik di dalam ruang dimensi 2 yang digambarkan pada bidang koordinat paralel akan berupa ruas garis.

Lema 4.2. Jika titik-titik pada garis , dengan , digambarkan pada bidang koordinat paralel maka diperoleh ruas-ruas garis yang sejajar. Bukti: Tanpa mengurangi keumuman, jika diambil 2 titik pada garis (titik dan titik ), maka dengan cara yang sama seperti pada pembuktian Lema 4.1, didapatkan dua persamaan garis, yaitu 4.6

dan 4.7

Persamaan (4.6) dan (4.7) merupakan persamaan dari dua garis sejajar karena sama-sama memiliki

menyatakan jarak titik dan

ordinat

.

dari

Selanjutnya

berdasarkan koordinat titik tersebut dapat diketahui bahwa maka terletak di sebelah kiri • Jika sumbu . maka terletak di antara sumbu • Jika dan . • Jika maka terletak di sebelah kanan sumbu . • Jika maka terletak pada sumbu . • Jika maka terletak pada sumbu . Jika diberikan 2 buah garis pada ruang dan dimensi 2, misalkan , dengan dan , maka ada beberapa kemungkinan posisi kedua garis, yaitu: berhimpit, sejajar, dan berpotongan. a. Dua garis berhimpit Jika garis berhimpit dengan garis , maka persamaan keduanya akan sama, dengan kata lain dan . Sehingga akan diperoleh titik yang sama jika direpresentasikan dalam koordinat paralel. b. Dua garis sejajar Jika garis sejajar dengan garis , maka dan . Sehingga pada koordinat paralel, titik dan mempunyai absis yang sama, yaitu , dan ordinat yang berbeda, yaitu

dan

.

Dengan kata lain, salah satu titik representasi ada di atas titik yang lain, sehingga dapat digambarkan garis vertikal pada bidang paralel yang melalui kedua titik representasi. Jarak kedua garis ini adalah . c. Dua garis berpotongan Jika garis memotong garis pada titik maka .Pada koordinat paralel, titik dan mempunyai posisi yang


berbeda.Namun, ada satu garis yang merupakan perpanjangan dari ruas garis . Atau dapat dikatakan, garis melalui titik dan . berhimpit dengan garis 2. Garis pada ruang dimensi 3 Pada bagian ini dibahas mengenai representasi garis ruang dimensi 3 pada bidang koordinat paralel. Persamaan garis pada ruang dimensi tiga yang melalui titik dan dapat diperoleh berdasarkan bentuk 4.8 Berdasarkan persamaan (4.8) dapat diperoleh 4.9a

134

yang persamaan (4.9a)

merepresentasikan

dan titik

yang merepresentasikan persamaan (4.9b). Contoh 4.6. Representasi

dari adalah dan

garis titik

. pada koordinat paralel.

Jika diberikan dua buah garis,

dan

4.9b dengan

,

,

,

dan

. Berdasarkan persamaan (4.8) juga dapat diperoleh bentuk dengan dan

. Namun bentuk

ini diabaikan/tidak diperhatikan, karena pada bagian ini diasumsikan bahwa bentuk harus diperoleh melalui variabel , tidak melalui . Sehingga garis pada ruang dimensi 3 hanya direpresentasikan dengan menggunakan 2 persamaan seperti pada bentuk (4.9). Lema 4.3. Diberikan sebuah garis pada ruang dimensi tiga yang berbentuk (4.9)dengan dan . Jika garis digambarkan pada bidang koordinat paralel maka garis dapat direpresentasikan melalui dua buah titik. Titik pertama ( ) merupakan titik perpotongan dari perpanjangan ruas-ruas garis didaerah dan titik kedua ( ) merupakan titik perpotongan dari perpanjangan ruas-ruas garis didaerah . Bukti: Berdasarkan Lema 4.1. maka pada bidang dapat diperoleh titik koordinat paralel

diruang dimensi 3 maka ada beberapa kemungkinan posisi garis terhadap garis , yaitu: berhimpit, sejajar, berpotongan, dan bersilangan. a. Garis dan berhimpit Sama seperti halnya pada ruang dimensi dua, jika garis berhimpit dengan garis , maka persamaan keduanya akan sama, dengan kata lain dan , dengan . Sehingga jika kedua garis digambarkan pada bidang koordinat paralel akan diperoleh koordinat titik yang sama. b. Garis dan sejajar Jika garis sejajar dengan garis , maka untuk setiap dan ada sehingga , dengan

. Sehingga, titik

dan

pada koordinat paralel mempunyai absis yang sama dan ada ordinat yang berbeda. Hal ini berarti, absis sama dengan absis dari dan absis dari dari juga sama dengan . Selanjutnya, paling tidak ada satu nilai dengan sedemikian sehingga ordinat dari berbeda dengan ordinat dari

.

c. Garis dan berpotongan Diberikan 2 buah garis yang berpotongan, dan .Garis memotong garis pada titik .Representasi garis dan pada bidang koordinat paralel adalah titik dan titik serta titik dan titik . Jika ditarik garis

135


melalui titik dan serta ditarik garis melalui titik dan maka kedua garis akan berpotongan tepat di sumbu , tepat pada . Kedua garis tersebut akan berhimpit dengan titik . d. Garis dan bersilangan Diberikan 2 buah garis yang bersilangan, dan . Representasi garis dan pada bidang koordinat paralel adalah titik dan titik serta titik dan titik .Jika ditarik garis melalui titik dan serta ditarik garis melalui titik dan maka perpotongan kedua garis (jika ada) tidak tepat di sumbu . 3. Garis pada ruang dimensi n Untuk menggambarkan garis di maka persamaan menjadi

garis

harus

dibuat 4. 8

Jika garis ruang dimensi n digambarkan pada bidang koordinat paralel maka akan diperoleh sebanyak titik. Titik-titik tersebut menyatakan persamaan yang menghubungkan variabel dengan variabel . Koordinat dari titik-titik tersebut adalah dengan . Jika diberikan dua buah garis,

dan

diruang dimensi n maka ada beberapa kemungkinan posisi garis terhadap garis , yaitu: berhimpit, sejajar, berpotongan, dan bersilangan. a. Garis dan berhimpit

Sama seperti halnya pada ruang dimensi dua dan tiga, jika garis berhimpit dengan garis , maka persamaan keduanya akan sama, dengan kata lain dan , dengan . Sehingga jika kedua garis digambarkan pada bidang koordinat paralel akan diperoleh koordinat titik yang sama. b. Garis dan sejajar Jika garis sejajar garis , maka untuk setiap dan ada , dengan . sehingga Dengan demikian, titik dan pada koordinat paralel mempunyai absis yang sama dan ada ordinat yang berbeda. Hal ini berarti, absis dari sama dengan absis dari untuk setiap . Selanjutnya, paling tidak ada satu nilai dengan sedemikian sehingga ordinat dari berbeda dengan ordinat dari

.

c. Garis dan berpotongan Diberikan 2 buah garis yang berpotongan, dan .Garis memotong garis pada titik . Representasi garis dan pada bidang koordinat paralel adalah titik , titik , ..., dan titik serta titik , titik , ..., dan titik .Jika ditarik garis melalui titik dan serta ditarik garis melalui titik dan maka kedua garis akan berpotongan tepat di sumbu , di titik , untuk setiap . Kedua garis tersebut akan berhimpit dengan titik . d. Garis dan bersilangan Diberikan 2 buah garis yang bersilangan, dan . Representasi garis dan pada bidang koordinat paralel adalah titik , titik , ..., dan serta titik , titik , ..., dan titik titik .Jika ditarik garis melalui titik dan serta ditarik garis melalui titik dan maka ada sedemikian sehingga perpotongan kedua garis tidak tepat di sumbu . B. Aplikasi pada Display Lalu-lintas Pesawat Pada aplikasi display lalu-lintas pesawat ini, digunakan beberapa asumsi, yaitu:


1. Penentuan posisi pesawat dan kecepatan gerak dapat dilakukan dengan menggunakan radar maupun kontak antara menara kontrol dengan sang pilot. 2. Pesawat bergerak dengan kecepatan konstan. 3. Lintasan pesawat berupa garis lurus. Jika pesawat dalam keadaan berbelok (bermanuver) maka segera setelah pesawat berbelok, lintasannya kembali dianggap sebagai garis lurus. 4. Variabel yang mempengaruhi posisi pesawat, selain koordinat lintang , koordinat bujur , dan ketinggian , ada juga variabel waktu , sehingga pesawat dianggap bergerak dalam ruang dimensi 4. untuk 2 benda yang berada 5. Jarak koordinat pada garis equator adalah sejauh 111,699 km. Indonesia dilalui oleh garis equator, oleh karena itu jarak pusat bumi dengan pesawat yang sedang terbang lebih dari jarak pusat bumi dengan equator, sehingga jarak antara 2 pesawat yang sedang terbang di wilayah indonesia lebih dari 111,699 km. Untuk mempermudah perhitungan, jarak antara 2 pesawat yang sedang terbang di wilayah indonesia diasumsikan sebesar 112 km. Persamaan gerak pesawat yang bergerak lurus dengan kecepatan konstan adalah

136

Persamaan gerak pesawatyang bergerak lurus dengan kecepatan konstan juga dapat diperoleh dari dua titik koordinat yang dilaluinya. Misalkan pesawat bergerak melalui titik koordinat pada waktu dengan ketinggian jelajah adalah pada satuan dan melalui titik koordinat waktu dengan ketinggian jelajah adalah satuan. Persamaan garis pada ruang dimensi 4 yang melalui titik dan titik dapat diperoleh melalui 4.11 Melalui persamaan (4.11) dapat dibentuk sistem persamaan 4.12

dengan

,

,

,

,

adalah kecepatan gerak adalah kecepatan gerak

pesawat searah sumbu , adalah kecepatan gerak pesawat searah sumbu , dan titik adalah posisi awal pesawat, dengan menyatakan koordinat lintang, menyatakan koordinat bujur, dan menyatakan ketinggian pesawat.Persamaan(4.9) dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan garis pada ruang dimensi 4 yang berbentuk 4.10

dengan

, , dan

,

, .

,

dan

. Diperoleh dua sistem persamaan yang ekuivalen, yaitu persamaan (4.10) degan (4.12). Sehingga, persamaan gerak pesawat dapat dinyatakan sebagai 4.13

4.9

dengan adalah waktu, pesawat searah sumbu ,

,

Representasi pada dengan , titik dan

bidang , dan ,

koordinatparallel, adalah berupa ,

.

Sumbu pada koordinat paralel menyatakan waktu, sumbu ini terbagi menjadi 2 interval yaitu hari ini dan besok.Hari ini berada tepat di atas sumbu mendatar dan besok berada tepat di atas hari ini. Perpotongan sumbu mendatar dengan sumbu adalah jam 0.00 (atau 24.00) dini hari tadi. Sedangkan pertemuan interval hari ini dan besok adalah pukul 0.00 (atau 24.00) dini hari nanti. Masing-masing interval berisi 24 jam setiap jam ada 60 menit, dan masing-masing menit ada 60 detik. merupakan garis yang sejajar Sumbu dengan arah utara-selatan.Bilangan-bilangan pada

137


sumbu ini menyatakan koordinat lintang.Lintang selatan ada di bawah sumbu mendatar sedangkan lintang utara ada di atas sumbu mendatar.Sebelah kiri sumbu ini dituliskan koordinat dalam satuan derajat-menit-detik dan di sebelah kanan sumbu dituliskan koordinat dalam satuan kilometer (atau dapat juga dinyatakan dalam satuan kaki). Sumbu merupakan garis equator (garis yang sejajar dengan arah barat-timur).Bilangan-bilangan pada sumbu ini menyatakan koordinat bujur.Sebelah kiri sumbu ini dituliskan koordinat dalam satuan derajat-menit-detik dan di sebelah kanan sumbu dituliskan koordinat dalam satuan kilometer (atau dapat juga dinyatakan dalam satuan Bujur Timur kaki).Indonesia terletak antara Bujur Timur, sehingga koordinat yang ditulis pada sumbu ini hanya sumbu positif yang mewakili koordinat Bujur Timur. Sumbu merupakan garis vertikal.Bilanganbilangan pada sumbu ini menyatakan tinggi pesawat dalam kilometer (atau dapat juga dinyatakan dalam satuan kaki). Tiga ruas garis merah, hijau, coklat yang masing-masing melalui titik , titik , dan

. Berdasarkan asumsi 5., bila koordinat waktu dinyatakan dalam jam dan koordinat derajat dinyatakan dalam km maka koordinat pesawat dapat dituliskan sebagai dan . Sehingga secara matematis, pergerakan pesawat ini dapat dinyatakan dalam persamaan

titik

Jika ada 2 pesawat, misalkan pesawat dan pesawat , bergerak pada ruang dimensi 3 maka ada beberapa kemungkinan terkait lintasan kedua pesawat. Kedua lintasan dapat berhimpit, sejajar, berpotongan, maupun bersilangan.

menyatakan kondisi saat ini. Perpotongan

garis merah dengan sumbu menyatakan waktu saat ini. Perpotongan garis merah dengan garis hijau pada sumbu menyatakan koordinat lintang dari pesawat saat ini. Perpotongan garis hijau menyatakan dengan garis coklat pada sumbu koordinat bujur dari pesawat saat ini. Sedangkan perpotongan garis coklat dengan sumbu menyatakan ketinggian pesawat saat ini. Ketiga ruas garis ini akan bergerak sepanjang waktu selama pesawat masih terdeteksi pada radar. Sedangkan posisi titik , titik , dan titik tidak akan berubah jika pesawat tidak mengubah haluan. Contoh 4.7. Sebuah pesawat bergerak mendatar dengan kecepatan konstan dan ketinggian jelajah 10 km. Berdasarkan pantauan radar, dapat diketahui bahwa tepat pada pukul 09.00, pesawat berada pada koordinat Lintang Utara Bujur Timur. Tiga menit kemudian (saat ini) koordinatnya berubah menjadi Lintang Utara Bujur Timur. Koordinat yang dilalui pesawat dapat dan dinyatakan sebagai

4.1 4 Persamaan (4.14) dapat diubah menjadi 4.15

Representasi persamaan gerak pesawat berdasarkan persamaan (4.15) pada bidang koordinatparalel adalah berupa 3 buah titik,yaitu dan

1. Kedua lintasan berhimpit Jika kedua lintasan berhimpit berarti kedua pesawat bergerak pada jalur yang sama. Jika diambil 2 buah titik pada jalur tersebut, maka dapat diketahui bahwa persamaan (4.11) tidak dipenuhi hanya oleh ruas yang paling kiri (bentuk ). Oleh karena itu, persamaan gerak kedua pesawat bila dibentuk ke dalam sistem persamaan (4.13) hanya dimungkinkan beda untuk persamaan pertama dari sistem (4.13). Perlu diperhatikan bahwa jika 2 pesawat bergerak pada lintasan yang sama maka ada dua kemungkinan, yaitu: pesawat bergerak berlawanan arah atau pesawat bergerak searah. a. Pesawat bergerak berlawanan arah Ada 2 kemungkinan posisi pesawat, yaitu bergerak saling menjauh atau saling mendekat. Untuk pesawat yang saling menjauh tentu tidak akan terjadi masalah, namun jika kedua pesawatsaling mendekat maka salah satu pesawat harus berganti jalur untuk menghindari terjadinya


tabrakan. Pada kedua kasus, nilai pada persamaan (4.13) dari salah satu pesawat (misal ) akan bernilai negatif dan yang lain (misal milik ) bernilai positif. Oleh karena itu, titik akan berada diantara sumbu dan , sedangkan letak titik dapat berada di sebelah kanan sumbu maupun berada di sebelah kiri sumbu . b. Pesawat bergerak searah Pada kasus ini,salah satu pesawat ada di belakang pesawat yang lain. Jika pesawat yang di belakang tidak lebih cepat dari pesawat di depannya maka tidak akan terjadi tabrakan sehingga jalur tersebut aman bagi kedua pesawat. Jika pesawat yang di belakang lebih cepat dari pesawat di depannya maka dapat terjadi tabrakan oleh karena itu salah satu pesawat harus berganti jalur. Dua pesawat bergerak pada lintasan yang sama dan searah jika titik berhimpit dengan dan

berhimpit dengan

tidak berhimpit dengan titik

, titik , tetapi titik

dan titik sama-sama berada di sebelah kanan sumbu , sama-sama di antara sumbu dan sumbu , sama-sama di sebelah kiri sumbu , atau salah satu di kanan sumbu dan yang satunya di sebelah kiri sumbu . 2. Kedua lintasan sejajar Pada kasus ini tidak akan terjadi tabrakan namun perlu ditentukan jarak terdekat dari kedua pesawat. Berdasarkan aturan FAA, jarak terdekat ini harus lebih dari 8,0467 km (5 mil).Jika kurang dari nilai tersebut maka salah satu harus ganti jalur. Penentuan jarak antara kedua pesawat dapat dilakukan seperti pada subbab 2.C. Jika ada dua garis, garis dan , pada ruang dimensi 3 yang sejajar (tidak berhimpit) dengan

dan

maka seperti pada subbab 4.A.3.b., gradien kedua garis akan sama, yaitu dan , sedangkan nilai atau . 3. Kedua lintasan berpotongan Jika pada ruang dimensi 3 kedua lintasan pesawat saling berpotongan, maka ada 2

138

kemungkinan, yaitu kedua pesawat melalui titik yang sama pada waktu bersamaan atau keduanya melalui titik yang sama pada waktu yang berbeda. Jika yang terjadi adalah kemungkinan kedua, maka pada dimensi 4 lintasan kedua pesawat merupakan lintasan yang bersilangan. Jika kemungkinan pertama yang terjadi dan waktu pertemuannya adalah pada masa yang akan datang maka salah satu pesawat harus berpindah jalur. 4. Kedua lintasan bersilangan Pada kasus ini tidak akan terjadi tabrakan antara kedua pesawat. Pergerakan sebuah pesawat dapat mengganggun pergerakan pesawat lain jika pergerakan tersebut dapat mengakibatkan kedua pesawat bertabrakan atau terbang dengan jarak yang terlalu dekat. Pada display pergerakan pesawat dengan menggunakan koordinat parallel dapat diketahui apakah sebuah pesawat akan menabrak pesawat lain atau tidak. Jika akan terjadi tabrakan, maka melalui display pada koordinat paralel dapat diketahui kapan, pada koordinat berapa, dan ketinggian berapa terjadi tabrakan. Pada semua kasus kedua pesawat tidak mengalami tabrakan, tetap perlu dihitung jarak terdekat kedua pesawat. Berdasarkan aturan FAA, jarak terdekat ini harus lebih dari 8,0467 km (5 mil).Penentuan jarak antara kedua pesawat dapat dilakukan seperti pada subbab 2.C. Jika jarak kedua pesawat kurang dari 8,0467 km (5 mil) maka salah satu harus ganti jalur.

Simpulan Berdasarkan hasil dan pembahasan yang diperoleh, dapat disimpulkan bahwa sebuah garis pada dimensi , misalkan garis

dengan , , …, , dapat direpresentasikan oleh sebanyak titik jika garis digambarkan pada bidang koordinat parallel, dengan koordinat : untuk .

Titik mewakili persamaan garis , untuk . Sebuah pesawat yang bergerak dengan kecepatan konstan dan dengan lintasan berupa garis lurus pada ruang dimensi 3 dapat dipandang

139


sebagai garis lurus pada ruang dimensi 4 karena posisi pesawat tidak hanya ditentukan oleh , koordinat bujur , dan koordinat lintang , tetapi juga oleh waktu . Pada ketinggian display pergerakan pesawat dengan menggunakan koordinat parallel dapat diketahui koordinat lintang, koordinat bujur, dan ketinggiannya. Melalui display ini, dapat diketahui juga apakah sebuah pesawat akan mengganggu pergerakan pesawat lain atau tidak. Jika pergerakan tersebut mengganggu, maka pesawat tersebut harus mengubah haluan atau berpindah jalur.

Ucapan Terima Kasih Peneliti mengucapkan terimakasih kepada FMIPA UNY yang telah membiayai penelitian ini melalui Anggaran DIPA BLU Universitas Negeri Yogyakarta Tahun 2015. Pustaka [1] Chatterjee, A., Das, P.P, dan Bhattacharya, S. (1993) Visualization in linear programming using parallel coordinates. Pattern Recognition, 26-11: 1725-36. [2] Adrienko, N., dan Adrienko, G. (2001) Constructing parallel coordinates plots for problem solving. Proc. 1st International Symp. on Smart Graphics, ACM Press: New York [3] Choi, H. dan Lee, H. (2005) PCAV: Internet Attack Visualization in Parallel Coordinates. Springer-Verlag: New York. [4] Alfred Inselberg (2009) Parallel Coordinates: Visual Multidimensional Geometry and Its Applications. Springer Science+Business Media: New York. [5] Ghoparde, S.R. dan Limaye, B.V. (2006) A Course in Calculus and Real Analysis. Springer Science+Business Media, LLC: New York.. [6] Varberg, Purcell, dan Rigdon (1996) Calculus. Edisi ke 9 [7] FAA order JO 7110.65V [8] http://nasional.kompas.com/read/2014/12/28/1 9210971/Analisis.Awal.AirAsia.QZ8501.Terla mbat.Naikkan.Ketinggian. Minggu, 28 Desember 2014 | 19:21 WIB Didownload pada 22 April 2015 jam 09.15. [9] http://www.republika.co.id/berita/nasional/um um/15/01/01/nhgmbl-ini-sekilas-pembicaraanpilot-air-asia-qz8501-dengan-atc, Kamis 1

januari 2015. Didownload pada 22 April 2015 pukul 08.45. [10]http://news.metrotvnews.com/read/2015/01/06/ 341533/berkaca-dari-kasus-air-France -af447, 06 Januari 2015 20:20 wib, didownload pada tanggal 22 April 2015 jam 16.00 WIB. [11]http://nasional.kompas.com/read/2012/12/18/1 3471328/Detikdetik.Jatuhnya.Pesawat.Sukhoi. Terekam.Jelas. 18 Desember 2012. didownload pada tanggal 22 April 2015 jam 16.00 WIB [12]http://news.liputan6.com/read/2153746/seberap a-bahaya-awan-cumulonimbus-bagipenerbangan, 29 Des 2014 at 17:12 WIB. Didownload pada tanggal 22 April 2015 jam 16.00 WIB

APLIKASI KOORDINAT PARALEL DI DALAM RUANG DIMENSI 4 PADA DISPLAY LALU-LINTAS PESAWAT

Recommend Documents