Sistem Koordinat dalam 2 Dimensi Ruang Mengingat kembali sebelum belajar kalkulus

UNIVERSITAS GADJAH MADA

Sistem Koordinat dalam 2 Dimensi Ruang Mengingat kembali sebelum belajar kalkulus


Sistem Koordinat pada Bidang Datar •  Disusun dengan pasangan angka urut (ordered pair)

–  (a,b) : a dan b berturut-‐turut adalah bilangan pertama dan kedua –  (a,b) merepresentasikan posisi sebuah 99k, P, dalam bidang datar.


Sistem Koordinat Cartesian (Persegi) •  Mempunyai 2 garis sumbu saling tegak lurus dengan 99k potong di O (99k asal / origin) •  Umumnya skala pada kedua sumbu sama •  Skala pada sumbu horizontal posi9f ke kanan


Jarak pada Bidang Datar

Jarak


•  Tunjukkan bahwa segi9ga dengan 99k-‐99k sudut A(-‐1,-‐3), B(6,1) dan C(2,-‐5) adalah segi9ga siku-‐ siku. •  Jawaban: –  Dengan menerapkan rumus jarak diperoleh

–  Tampak d(A,B)2 = d(B,C)2 + d(A,C)2 yang merupakan ciri segi9ga siku-‐siku


Titik Tengah

M


Grafik Persamaan Garis y y = 0.5 x + 1

3

y = a x + b

2 1 0 0

1

2

3

x


Grafik Persamaan Gambar grafik


Grafik Pertidaksamaan Gambar grafik


Titik Potong pada Sumbu X dan Y Persamaan y = 2x – 1 memotong Sumbu x di 0.5 dan memotong Sumbu y di -1

Perpotongan dengan Sumbu x y = 0 à 0 = 2x – 1 à x = 0.5 Perpotongan dengan Sumbu y x = 0 à y = 2 0 – 1 à y = - 1


Grafik Persamaan Kuadrat sumbu simetri Gambar grafik

W = { (x,y): y = x2 }.

Grafik berupa Parabola à simetri terhadap sumbu x

vertex


Simetri

terhadap sumbu y

terhadap sumbu x

Terhadap 99k asal


Pemeriksaan Kesimetrian •  Simetri pada sumbu x: jika (x,y) pada kurva maka (x,-‐y) juga pada kurva •  Simetri pada sumbu y: jika (x,y) pada kurva maka (-‐x,y) juga pada kurva •  Simetri pada 99k asal: jika (x,y) pada kurva maka (-‐x,-‐y) juga pada kurva


Simetri Gambar grafik

W = { (x,y): x = y2 }.


Simetri Gambar grafik

W = { (x,y): 4y = x3 }.

Grafik Persamaan Lingkaran



Persamaan Lingkaran Buatlah persamaan lingkaran yang berpusat pada C(-‐2,3) dan melalui 99k D(4,5) Penyelesaian: Karena D pada lingkaran, maka r adalah jarak antar 99k C dan D atau r = d(C,D) Persamaan lingkaran:


Persamaan Lingkaran Cari koordinat pusat dan jari-‐jari lingkaran dengan persamaan sbb: Penyelesaian: kelompokkan suku-‐suku persamaan menjadi lengkapi suku dalam tanda kurung dengan suku konstanta, dengan cara sbb: [ x2 + ax + (a/2)2 ] + [ y2 + by + (b/2)2 ] = + (a/2)2 + (b/2)2 + c


Persamaan Lingkaran

Jadi, pusat lingkaran pada C(2,-3) dan jari-‐ jari lingkaran sebesar 4


Latihan 1.  Cari jarak dan 99k tengah dua 99k berikut 2.  Tunjukkan bahwa 3 99k berikut membentuk segi-‐9ga siku-‐siku 3.  Tunjukkan persamaan garis pembagi dua 99k berikut ini A(-‐4,-‐3) dan B(6,1)


Latihan 4.  5.  6.  7. 

Buat grafik W = { (x,y): xy = 0 } Buat grafik W = { (x,y): xy < 0 } Buat grafik W = { (x,y): |x|> 1, |y| <= 2 } Buat grafik W = { (x,y): y = x3 -‐ 2 } periksa kesimetriannya 8.  Buat persamaan lingkaran dengan pusat C(3,-‐5) dan menyinggung sumbu y 9.  Cari 99k pusat dan jari-‐jari persamaan lingkaran berikut


Koordinat Polar (Kutub) P(r1,θ1)

r1

θ1 O

r

•  Ti9k asal, O, sebagai kutub atau pusat •  Satu sumbu r, pada umumnya digambar dari 99k asal ke kanan (posi9f) •  Posisi suatu 99k ditunjuk dengan jarak ke pusat, r, dan sudut antara garis OP ke sumbu, θ.


Hal Khusus dalam Koordinat Polar •  Posisi tetap sama jika sudut ditambah atau dikurangi 360o atau 2π rad dan kelipatannya •  Posisi tetap sama juga dapat ditulis dengan jarak nega9f dan sudut ditambah atau dikurangi 180o atau π rad •  Untuk mendapatkan representasi tunggal pada se9ap posisi, dapat dibuat pembatasan sbb: r >= 0 dan 0 <= θ < 2π. P(r1,θ1-2π)

r1

r1

θ1 O

P(-‐r1,θ1+π)

θ1 r

O

r


Hubungan dengan Koordinat Kartesian •  Kartesian ß Polar x = r cos(θ) y = r sin(θ) •  Polar ß Kartesian r = (x2+y2)0.5 θ = atan2(y,x)

r cos(θ) r sin(θ)


Kurva Persamaan •  Bentuk r fungsi θ, r = f(θ) •  Lingkaran,

Pusat di O à r = konstanta Persamaan umum lingkaran dgn jari-‐jari a dan pusat di (r0,θ0) à r2 + 2rr0 cos(θ-‐θ0) + r02 = a2 atau r = r0 cos(θ-‐θ0) + [a2-‐ r02 sin2(θ-‐θ0) ]0.5 Jika a = r0, r = 2a cos(θ-‐θ0)


Kurva Persamaan •  Garis Radial à θ = konstanta Garis tegak lurus θ = γ, yang memotong di (r0,γ) r = r0 sec(θ -‐γ)

•  Bunga, berpusat di O r = a cos(kθ) –γ0

•  Spiral r = a + bθ


Soal Latihan •  Ubah lokasi dalam koordinat Kartesian ke koordinat polar •  Ubah lokasi dalam koordinat polar (sudut dlm radian) ke koordinat Kartesian


Soal Latihan •  Gambar grafik berikut


Soal Latihan •  Ubah persamaan berikut ke dalam koordinat Kartesian

Sistem Koordinat dalam 2 Dimensi Ruang Mengingat kembali sebelum belajar kalkulus

Recommend Documents