Aplikace matematiky. Vladimír Panc Stabilita tenkostěnných trub a nádob se ztuženým pláštěm při rovnoměrném vnějším radiálním přetlaku

1 дu ÔQ ć)cp д(p p Z

Q-.2

379

f ^ + f = o, dz

8
f)f/9

fe

9T

A

pe + N + — = o , S

* -

- ^ = 0.

e

K

(7)

8
Vyloučením složek Ns a T, které jsou definovány druhou a čtvrtou rovnicí (7), odvodíme se zanedbáním veličin malých vyššího řádu pro ostatní tři složky dvě diferenciální podmínky

f ^ + f=o,

dz 8

V

Dosaďme do rovnic (8) vztahy (5) a upravme 82u

r

V

12r

3

m

+

l^

loHv

1~~~ \8<~~

i 8w

í

r

82u \ _

2(ra~-f- 1) lež" ~ ř%č] ~" ' 82w\

+

"Vj

6

2

Y

w + 1 Ó \8z

4

, č ^

r 4 I82w

Qm

+

, ^ S w;

83u

~r8
2

, 8w

, .

n

+ v + 2 7*r + a? = ° •

(9)

Z prvé rovnice (9) plyne дw 2(m + 1) ð2w д2u — = —> r_- — __ ðг m őz2 rcү2

(10)

a ze druhé odvodíme dosazením v z t a h u (10) a úpravou V

12r 3 / S4 J

"ĚÓ \d~~

+

I / Í ! 4 2-8l 4 g 2 \ P ^ « ^ " 8
S2

2 ( m + 1) _82u r

~~~ J ' ~~m ( w

- + m

1

)

r

2 ^ 8z2

4 1

W~

fH , 8qj2\ ^

82ul

+

Ó2

~8~T2\ ^r^ 8z*

+

'

•

;

Homogenní diferenciální rovnice (11) osmého řádu v parciálních derivacích je základní rovnicí daného problému. 380

7

IV. Řešeni základní rovnice při volné deplanaci krajních průřezů ) P o d m í n k a volné deplanace krajních průřezů je totožná s podmínkou nulo­ vých měrných normálných sil Nz v těchto průřezech. P ř i t o m v krajních prů­ řezech vzhledem k jejich ztužení je nulové radiální i tangenciální posunutí. Podle toho okrajové podmínky řešeného problému s přihlédnutím k prvému vztahu (5) jsou ^ = 0, óz

w = 0.

v = 0

(12)

pro z = ± — . Rovnici (11), podmínkám (12) jakož i výminkám rovnováhy (7) elementu pláště vyhovuje funkce u = u0 sin n

(13)

kde n je celé číslo udávající počet vln, v nichž vybočí střednice průřezu, a hod­ nota parametru a je a -

(2k -

1) j

,

(14)

z n a č i l i k celé číslo. Dosazením příslušných derivací funkce (13) do rovnice (11) a úpravou odvo­ díme nový vzorec pro radiální přetlak p na mezi stability Eôs

, 12r2 02

a4r4 2/ 2

1NÍ2(

n2(n2 — 1) - -

m

^ l)

2 2

ì

'15)

ÖЃV m Kritická hodnota přetlaku pkr konstrukcí vyztužených pouze příčně je p a k d á n a minimem tohoto výrazu. Do vzorce (15) dosadíme t e d y hodnotu para­ metru OÍ podle vztahu (14), při čemž pro minimum platí zřejmě k = 1, a nalez­ neme zkusmo takové celé číslo n, které dá minimum přetlaku p. Řešený případ možné volné deplanace krajních průřezů má pro technickou praxi největší význam. P r o plech s moduly pružnosti v t a h u E = 2,1 . 10 6 kg/cm 2 a ve smyku O = 0,81 . 10 6 kg/cm 2 , čemuž odpovídá Poissonova k o n s t a n t a m = 3,375, byla podle vzorce (15) vypočtena t a b . I. hodnot kritického přetlaku T

Ó

—

pro různé poměry -™ a — . P ř i jiném modulu pružnosti v tahu E materiálu pláště avšak při téže Poissonově konstantě platí h o d n o t y kritického přetlaku E uvedené v t a b . I. vynásobené poměrem — . 7

) Deplanaci průřezu nazýváme ve shodě s theorií tenkostenných prutů zkřivení — zborcení původně rovinného příčného průřezu konstrukce. 381

©

<û

©

тH

co CO

•* CO

© тH

CC

co co

o

ю

тH •*

CN 00

r-

o

CO

co co

00 CN

©
© >0 C5

Ю

тH

©

тH ЄN

Ю CN

CO CO

o t-

©

Ю

CO

-н

TH

© ř)

—< N

тH M

© S

©

CM

©

©

t>

•*

co

lrн

00 -н

© CO

O >0

© CO

o

<M

O

<M

CO

тH

•* —i

Ю н

© CN

CN -i

-н Ю

rñ ©

тH

co
co

l-

-H ©

r-

•*

Ю

CO

t-

©

•*

-н

i—< н

CN -н

<M c-1

• * CO CO тH

© ©

CO

—1

CD

>0

2,6

co

<м

• *

c

'ì ° ì

© © ет

05

CO

_ _" ю


CC

co co

©" 00" ©

rн

05


t-

l-

i-н


CO

тH

©

io тH

CN

CN ,

©

t-

тH


©

-н

Iľ-

CN

-, " t >0 CD

•* -н

QO" тH CN r-< CN CO


<м

O

00

Cl

>0

TH

CD

CN

O^

„

C5

тH

1

CN

П

cc

©

©

.*

ЄN

o

oo

o ©

o


CO

00

>o

тH

тH

'.. p-í -чŕ o" •* -н

>—I

co eм

тH co

©

CO

<M

©

l—

н C-ì
co t— (N

© C75
CO

°.

ю

CO

C0

C0

rH

-н

>0

l-

CO

тH

O

-M

ю

ЄN тH

°°. ©* co" ©

. "*: O ©" oo" —<

co

—

oo rЄ<1 © co co

>o o

C0

00

—i

O

CD

r-l

. * ! - 1 e í co"

CD -н

© <м

CN <м

-*

<м <м

00

CO


©

00

-н

i-н

тH •*

rн 00

t
тH ©

CM Ю C0 CO

rH

rн

тř

Ю

00

©

н ©

CN CN

© t-

04 <M

O >0

-н 00

O

-н

C-í

тH

Ю

©'

Ю <M Ю

tCO t-

-н t-

05 00

CO тH

<M Ю

©

o"

-н

ЄÍ

CÓ" тH

Cî ©
© t— •* ©'


>0 >0 -н

00 C5 rн

>0 Ю fN

C0 -н -н ©

—1 ICN O

rOO тH O

co <M tO

C0 © н

•* CO O

ГÄ O

C5 GC r-н


o

o

o

тH O

Ю н

-н ÍO

©

©

-н

t-

o

<м

©

•* -н

>o ^

oo -н

© CN


Ю

10

t-

CO

c-i _г CN

ю

QO

>n r—

<м

CЧ

<м co

CO t-

CO

t-

00

ф

co

©

Üf)

•*

тH

©

00

©

rH

-н <M

c-1 ©

© r-ч

•* t-

e

Ю

©

t-

t-

00

C5

CD ©

-н ©

t©

-*

co

ю

©


ю

00

UÜ

CN ©


CO

CO

тH

>0

>0

ю

co ©

©

-н CN r-H

-н >0

O t-

тH C5


тH

© ©

tм ©

-н

<M

CN



co

CO ю CO

© >o тH

© <M ю

rн O 00

CD 00 00

тH CD C5

CD ©

тH

o

o

©

o o o

©

©

©

<м <м co

t•*

C0 O

-н м

Ю © O


tЮ

~н t—

Oľ> ю CГ) © Ol

©

©

o

©

©

© © © © o ©

Ю eм -H

©

©

©

o

**, **, ©" <м co

00 C0 ©

н -H H

© o

>0 o t-

co C-l -н

o o

тH

ю

r-

_* _* 1-1 —' •"-

©

45

©

00

Cl Cl

co !M

<M

©

rf)

r©

и4

-* >o rtю —'

<м

t-

Ci

© t-

тH -н

тH

1-

r-

00

00

©

co

• *

-H ©

ГN 00

ю eo. ЄN ©

co

co

co

• *

CN

•—i

©

_

_г


Ci

00

• *

co <м ©

co

rH

_ч

-н

00 00 -ч

ю

O

тH

~H

_*•

>o r- oo H H

ю ©

00 © ©

< м co ©

Ю

тH

co r-

• *

• *

<-)

r• *

CD >0

© ©

CO ř-

© 00

on

-н

ю

©

-н

_


© ©

©


>H © ei

©

©

©

<м o

o

CO ©

© CO

— -* ю >o

• *

r-

rH

Cl

» • *

/ / / / -

382

—' _-


CN 00

-н

>o ю CD O CЧ

-* >o co

00 © co

co co o © ©

00

-н

00 C5 -н

-. ,

.T У

CO Л5

©

co <м

•* 00

co ©

"_ — © ©

ю

O

o

—<

>o o

-н

o,

>л Ol

o o o o o o

© >o © >o

co

co

•*

•*

o ю

© o o o ©

>0

0 CD

©

ю

© 1-

>.o

o

ю 00

© C5

Oi

>o

© ©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

~

ю

t-

00

>o o

©

ю © ю
-н

O^ тн"

oo

<м <м <м eo

eo"

50

<M

<M

<M

ro

<M

Ol

Ol

eo

co

Ol

Ol

<м

co

eo

ro

Ol

<м

<м

co

eo

ro

O]

<M

01

eo

co

гo

Ol

Ol

<м

eo

co

-н

<M

<M

<M

C0

C0

тH

тH

тH

<м_ <м"

<M

C]

<M

CO

CO

тH

TH

-JH

o_

<M

0-1

C0

CO

C0

тJH

тH

тH

Ю

<M

(M

CO

ЄO

CO

тH

тH

тj<

ю

Ю

>o

OI

M

co

C0

тjł

тjн

тH

ю

ю

Ю

ю

<M

<M

co

C0

тH

тЛ

тH

Ю

Ю

Ю

5Û

tM

Ol

co

co

тH

тH

ю

ю Ю

<M

<M

CO

тH

тH

тj-

Ю

Ю

O-l

01

CO

тJH

тJH

Ю

ю

ю

<M

<M

CO

тjн

ю

ю

Ю

45 co t -

Ol

CO

тj<

-#

Ю

tO

ÍP

t-

t-

<M

CO

-*

ю

50

l-

1-

00

00

co" <м

3,0

50

00

o <м" o Pч

1

oi oi <м co

—

тj_

<м

<м" CЮ

o

тH

tO

O co

o

t-

•

<M

o oo o"

õ

"P
50

50

t-

t-

t-

1-

SO

t-

t-

t—

t-

oo и

l-

l—

t-

00

00

t-

t-

00

O0

00

t-

00

00

00

©

©

ЄЛ

©

to

o"

3

ъ\

1

; M ~

-

—

cc ac

©

©

30 00 00 o

o

©

©

©

O

O

00

Oî

©

©

©

O

O

©

©

©

—<

o>

o

o

o

o

—<

-Ч

r—! i—1 <M

<M

2 2 2 Z 2

<м <м <м co eo

CO

C0

тH

тHH

o

>o o Ю

CO

O гн

ю rн

© Oï

>0 CM

o

o o

Ю ©

o

o >o o ю 00 GO eл OЗ

o

i—

-1

--1

-ч

-t

-н

<© îO

©

<M

;

00

QO

o"

тH

t-

©

^H

©

/ o

O O

ю

O O

o

ю

н o

т-i o

o

C| o

>o

<M o

©

ю

o

ю

C0

CO

тH

тH

©

o

©

o

1Q

ю

o

>o

ÍO

t—

t-

o

o

o

o

O

O

O

383

P o k u d kritický přetlak určený podle vzorce (15) vyvozuje v konstrukci napětí vyšší než je mez p r ů t a h u , nemá již jeho hodnota praktického významu. V těchto případech jest konstrukci n a v r h n o u t jen s ohledem na pevnost materiálu, respektive pro hodnotu kritického přetlaku položit d —- — a r

T6)

•

kde Op značí mez p r ů t a h u 8 ) . .Při výpočtu t a b . I. a rovněž v t a b . I I . , ve které jsou uvedena čísla n příslušející h o d n o t á m t a b . I., byla předpokládána mez p r ů t a h u ov ~ 1900 kg/cm 2 a h o d n o t y přetlaku s odpovídajícími čísly n při napětí vyšším než
V. Srovnání se zkouškami a s řešením Misesovým Srovnejme hodnoty kritického přetlaku určené podle vzorce (15) s výsledky zkoušek, které uvádí R. v. Mises v citované stati, při čemž ovšem stejně s ním dosazujeme E — 2,0 . 10 6 kg/cm 2 a m = 10/3. Z tohoto srovnání provedeného v t a b . I I I . plyne, že vzorec (15) se výsledkům zkoušek blíží lépe než vzorec Misesův. H o d n o t y kritického přetlaku určené podle vzorce (15) jsou vždy nižší než h o d n o t y podle Misesova vzorce. Ta!), I J J , Srovnání odvozeného vzorce a vzorco Misesova s výsledky zkoušekr

—

j

o •

—

pf.r (kg/cm 2 ) podle

a

50.00 50.00 48,25 68.55 7,02 1 0,1 6 10,16

|

1 '" | " i" ' u l o r a i"Miseso Ui,,x,,£ij",-I AI;„,,O„ ! zkoušky a.-,,,<„...,

0,4708 0.01620 24,0 0,2525 | 0.02280 32,0 0,02032 j 31,6 0,2208 0,00926 i 9,0 0,7500 0,01434 0,1000 4,6 0,01(174 2,75 0,1330 0,01074 2,18 0,1000

6

c

25,4 33,9 40,8 10,1 4,3 2,6 2,0

30,0 39,0 45,0 1 1,9 4,8 2,85 2,15

f i: c , i ; s :

5,8 5,9 29,1 12,2 6,5 5,5 8,3

a

- 100%

od (i o "/,

Г RO IJ. l

b je nižší než c o ".'

25,0 21,9 42,4 32,2 4,3 3,6 1,4

19,2 1 5,9 13,3 20,í) 10,9 9.1 6,9

V posledních třech sloupcích t a b . I I I . jsou uvedeny procentuální rozdíly, a sice v prvém rozdíl výsledků vzorce (15) od výsledků zkoušek, ve druhém rozdíl vzorce Misesova od zkoušek a v posledním procento, o které vzorec (15) d á v á hodnoty nižší než vzorec Misesův, při čemž za základ (100%) byla vzata hodnota p,.r zjištěná zkouškou. 8 ) Konstrukce totiž pružného vybočení není schopna. Podle theorie plasticity však velmi rychle ztrácí svou stabilitu při přetlaku, který vyvodí normálně napětí blízké mezi průtahu.

384

Větší neshody theorie se zkouškami u třetího a čtvrtého uvedeného měření jest přičíst tomu, že zkoušené svařované trouby měly j>atmě již počáteční deformace způsobené výrobou. TJ posledních tří měření, která provedl již v roce 1858 Fairbairn na pečlivě vyrobených modelech, vyhovuje poněkud lépe vzorec Misesův. Vzorec (15) dává pro t y t o případy vždy hodnoty nižší než změřené. Avšak skutečnost, že pro poslední model dává i vzorec Misesův nižší hodnotu než jaká byla změřena, aě by měl theoreticky v každém případě dáti hodnotu vyšší, přivádí na myšlenku, že b u d měl materiál poněkud vyšší modul pružnosti, než s j a k ý m bylo počítáno, anebo se zde projevil účinek tuhosti výztuh v krajních průřezech modelů z roviny těchto výztuh 9 ). T

Srovnejme ještě pro různé poměry — a -

Ó

výsledky vzorce (15) s hodnotami

podle Misesova vzorce, který můžeme považovat za theoreticky téměř zcela přesné řešení zmíněného problému. Toto srovnání je uvedeno v t a b . l i l a . , v jejímž každém poli je v prvé řádce uvedena h o d n o t a p,.r s odpovídajícím poetem vln n určená podle vzorce Misesova, ve druhé řádce hodnoty vypočtené podle vzorce (15) a ve třetí procentuální rozdíl obou hodnot kritického přetlaku při základu (100%) rovném pkr podle Misesova vzorce, který má při užité symbolice t v a r Eô* Ï2f

m2 m2 —

Z t a b . l i l a . je jasně vidět, že počet vln n při kritickém přetlaku určený podle obou srovnávaných vzorců je stejný, při Čemž Misesův vzorec byl zejména dobře zkouškami potvrzen právě co do počtu vln n. Odchylky v hodnotách pkr podle obou vzorců rostou p a k při vzrůstající tloušťce stěny a při zkracování konstrukce, avšak i pro skořepiny velmi krátké zůstávají v technicky přípust­ ných mezích. Přitom lze usuzovat, že u kratších skořepin budou odchylky Změřených hodnot kritického přetlaku od Misesova vzorce největší, což do jisté míry potvrzuje i t a b . I I I . Připojením příčných výztuh, ať již n ý t o v a n ý m či navařovaným, dochází totiž k určitému porušení ztužených průřezů a t y t o porušené průřezy snižují pak skutečnou hodnotu kritického přetlaku proti hodnotě theoretické tím více čím jsou bližší. Z uvedených srovnání vyplývá pak důležitý závěr. J e jimi totiž prokázána dostatečná přesnost zjednodušené theorie, a tedy přípustnost systému vý­ chozích hypoth.es, proti přesnější a mnohem složitější theorii užité Misesem v řešeném speciálním případě. 9

) Jestliže příčné výztuhy brání do určité míry deplanaci krajnici) průřezů, jde vlastně o částečné (pružné) vetknutí.

385

•

co co

<м Ю

co

-*

—! «

cs © co co

- - — co co

1 1 '°,

QO

Cм"

^

«D чjH C ì co" тjн r H

co co

1 """•

тH

34.2 30,2 11

oí

co co

1! n

22.6 20,3 10

o^ <ří

тjH ч*.

ю

1 1 •* r> q ÏÏ


co* cм"

н

>o

i 1 ^ ф

«

(M O !

тH - *

ю

O

І

CO

O

H

©*

O

j

^

>o <м 2

Ю

CO c o

1 1 °«

00

3

i '^ CÇ C i

тЛ тt<

oo

2

OÍ -н

t-

CO CO

ю

1 -и.


1! «

00 r -

2

тfl c o

CS

î-

[

| .-н

CU t O

^i-ã co - н

t>

00 0 0

<M CM

l-

1 1 °ì

co >o Î 2 Cs 00

o

0 1 OS

1 "~i

ф r t Я -* t - ^ 1

ч э >o

1 1 °°

Ątß
>o

'"i ©*

Ю

! Pî CS CO Č ì <X >o co co o

o

~ / «o ] *-/ /

i^

l C

Ф Ő Г-

L-

o

o

o

00 oo

! ] .-, o"

H

1 ! -І co"

« © н <м o ^ p»H

f-H

o

-H r-J

l

1 ~"

líj co o -" c o тX

~~

! й o

C Г i-Г

íтj ^

тH - ч i—< г H

(M <M o| 1-

O) ©_

1 1 °. 0 0 тtн

н

Tï«. os

ю < o

«s q <м" <м

/

/ ч386

o

o

l>

o

01

т+i

co

00

o

<м

©

c

ф

o

ř-H

l н

"

и

VI. Vliv dokonalého vetknutí krajních průřezů Dokonalé vetknutí krajních průřezů vystihují okrajové podmínky u — 0,

w — 0 ,

v = 0

T7Ì

pro 2 = + — , Rovnici (11) a rovněž v ý m i n k á m (7) vyhovuje v t o m t o případě funkce u = sin ^9?(.á sin oz + B sh /?z) ,

(18)

kde yl a H jsou libovolné konstanty, n zde opět udává počet vln křivky vybočení střednice průřezu a pro hodnoty p a r a m e t r ů a a, [i platí vzorce m

ȕ

m, 4- 1

/? 2 = + v nichž c značí

(m + l) 2 (w2 m

c

^ - n > 2 - l)-7 pr

J

' / / / / •

1+

(m ô

Dc

+ 1,

2

l ) 2 ('///2 — 1) c

— 1

]

;i9)

2 2

(20)

í?г - 1).

Okrajové podmínky (17) dávají pak vztah mezi konstantami A a B a impli­ citní transcendentní vzorec pro kritický přetlak ve t v a r u rovnice pro hod­ noty parametrů a a /? cd 2(w 4- ì ) . a g 2 T „ 2(m 4= 0 . '2Г + ~zr m

" teh4 -

VҢ

Výpočet je tedy velmi pracný a je možný methodou regula falši. Protože dokonalým v e t k n u t í m krajních průřezů se kritický přetlak proti h o d n o t á m t a b . I. zvýší, tkví určité usnadnění výpočtu v tom, že počet vln křivky vybo­ čení střednice průřezu bude zde alespoň roven číslu n podle t a b . I I . r d 2 Pro y = 0,25 a — . 10 = 1,2 je na př. kritický přetlak při dokonale vetknutých okrajích skořepiny pkr = 9,78 kg/cm 2 a počet vln n = 5. VII. Vliv podélných výztuh Podle vzorce (15) vypočteme tedy hodnotu kritického přetlaku pkr pro plást trouby nebo válcové nádoby ztužený pouze příčnými výztuhami tak, že určíme takové celé číslo n, pro něž je přetlak p minimální. Z toho plyne, že při použití pouze příčných výztuh lze hodnotu kritického přetlaku měnit jednak tloušťkou stěny a jednak vzdáleností příčných výztuh. Provedením 387

podélných výztuh lze však h o d n o t u pkr zvýšit i změnou počtu vln, v nichž vybočí střednice průřezu, tedy změnou čísla n.

Zm^k

»-*ŤГ- -

Obr. 3. Pr\ ky vy boříc provedojií

Ziie tvary křiv­ ice průřezu při

)déli!V<'h

výztuh.

Rozdělme střednici průřezu 2m body pod stejnými středovými úhly a do těchto bodů umístěme podélné výztuhy. Tím jsou již, ovšem až při určité tuhosti podélných výz­ tuh, d á n y nulové body křivky vybočení střednice průřezu (obr. 3) a hodnota kritic­ kého přetlaku se v t o m t o případě vypočte ze vzorce (15) jako minimum hodnot odpo­ vídajících n — km (k = 1, 2, 3, . . . ) . Jestliže

4tø 19U0

I

/

:•!

/

ç>'

V

/•;/••' Ĺ -•-'-/•' .,-" .-'. -/'•{'•'** /

Я*.•• / ~

Obr. 4a. Diagram pro určení kritického normálného napětí pro trouby opatřonó přič nými i podó.nými výztuhami v případě možné volné depianace ztužonýoh průřezů.

388

číslo m je různé od čísla n, při kterém nabývá výraz (15) svého minima, vždy se podélnými výztuhami zvýší hodnota kritického přetlaku. V případě znázorně­ ném na obr. 3, kde jsou naznačeny první dva možné t v a r y křivky vybočení střednice průřezu při provedení čtyř podélných výztuh, vypočteme hodnotu kritického přetlaku ze vzorce (15) jako minimum pro sudá n (n = 2, 4, 6, . . . ) . Možnost n lichého je totiž v t o m t o případě podélnými v ý z t u h a m i vyloučena. Ze vzorce (15) určeme odpovídající normálně napětí ,

-Si(» --) + ~

o

2

2

?t (n

P' м

—1)1

22) -- (x~£r* +

n

Podle vzorce (22) byly sestaveny diagramy (obr. 4a — b), kterými lze snadno vyřešit d a n ý problém, a to i s ohledem n a hospodárnost provedení. V diagra­ mech čísla uvedená u každé přímky mají tento význam: prvé číslo značí poměr *;££•"* í ; "

&•?

Obr. 4b. Diagram pro určení kriLiokého normálného napětí pro trouby opatřené príě nými i podélnými výztuhami v případě možné volná deplanaoe ztužených průřezů.

389

poloměru křivosti střednice průřezu ku vzdálenosti příčných výztuh, t e d y — , i

druhé udává počet vln vybočení střednice průřezu, t. j . číslo n. P ř i t o m silněji r vytažené polygony, které jsou obálkou soustavy přímek pro poměr — — konst, 6

udávají hodnoty kritického napětí akr v případě provedení pouze příčných výztuh. Jestliže vzorec (22) dává pro 2m podélných výztuh, tedy dosazením n — m, vyšší hodnotu napětí akr než pro n — 2m, platí ovšem hodnota nižší a křivka vybočení střednice průřezu by potom měla 4.m nulových bodů. Zmíněný případ je v diagramech zřejmý z toho, že přímka pro určité n je zleva omezena přím­ kou pro 2n. Pokud naopak na přímku pro určité n nenavazuje v diagramech n

n

,

•

zprava přímka pro — , značí to, že přímka pro — je až nad mezí průtahu, a hod­ noty kritického napětí udané přímkou n platí až do meze p r ů t a h u při n i 2n podélných výztuhách. P r o uvedené diagramy bylo předpokládáno takové uložení krajních průřezů z = ± — , které umožňuje jejich volnou deplanaci.

VITI. Válcová, skořepina se ztuženými okraji Vzorcem (15) lze určit též kritický přetlak válcové skořepiny s kružnicovou střednicí průřezu pevně podepřené po všech čtyřech okrajích (obr. 5). O okrajo­ vých výztuhách přitom předpokládáme pouze dokonalou tuhost na ohyb v jejich hlavních rovinách setrvačnosti. V t o m t o případě funkci (13) nahradíme funkcí u — u0 sin a

kde G značí určitou k o n s t a n t u . Protože při pevném podepření přímých okrajů (

skořepiny musí být w = 0 pro rp — ±

po Ji

a = 2n 390

, plyne pro hodnotu parametru a (25)

značí-li n opět celé číslo, udávající počet vln křivky vybočení střednice prů­ 10 řezu ). Vzorec pro určení hodnoty kritického přetlaku odvodíme pak ze vzorce (15), v němž číslo n nahradíme hodnotou p a r a m e t r u a Eô*

2

2

a — 1

txb-*

12-r

аЧаг — I

•Ч

2(m + I) or-r"m

'2(Г

Přetlak p je zde tedy též závislý n a hodnotách dvou parametrů a a \ a jeho kritická hodnota je d á n a minimem výrazu (26). Jestliže hodnota parametru a podle vzorce (25) je celistvým násobkem čísla n, lze též snadno určit hodnotu kritického napětí podle diagramů 4 a — b .

IX. Závěr Vzorec (15) odvozený pro kritický přetlak válcové skořepiny s kružnícovou střednicí průřezu opatřené příčnými i podélnými výztuhami dává tedy podle t a b . I I I . ve speciálním případě trouby vyztužené pouze příčně hodnoty kritic­ kého přetlaku bližší výsledkům zkoušek než vzorec Misesův, který je dosud považován za theoreticky nejpřesnější řešení tohoto problému, a který se též dosud nejvíce blížil provedeným měřením. Autor však pokládá za závaž­ nější t u skutečnost, že podané odvození podle zjednodušené theorie je mnohem jednodušší a kratší než řešení Misesovo (v podaném odvození se řeší jediná parciální diferenciální rovnice (11), kdežto v odvození Misesově je třeba řešit soustavu tří simultánních parciálních diferenciálních rovnic), takže uvedenou theorit bude p a t r n ě možno řešit i lokální stabilitu složitějších obdob­ ných dosud neřešených problémů. Zhruba přibližně lze odvozeného vzorce (22) pro kritické napětí užít při posouzení stability stěny nádoby se ztúženým pláštěm i při jiném jejím zatížení [7]. Co se týče návrhu výztuh při podaném řešení, pokládá autor za správný postup zvolit nejprve jejich vzdálenosti, určit hodnotu kritického přetlaku pláště a výztuhy pak dimensovat na tento kritický přetlak s mírou bezpeč­ nosti /Í = 1, a to s ohledem na jejich stabilitu i pevnost. Tím je totiž zaručeno, že celá konstrukce, t. j . její plášť i soustava výztuh, m á stejnou míru bezpeč­ nosti. H o d n o t a kritického přetlaku pkr, resp. kritického normálného napětí okr, při použití příčných nebo příčných i podélných výztuh se snadno určí z uvede10 ) Pro troubu, její/, střednicí průřezu jo úplná kružnice, je středový Dosažením toto hodnoty do výrazu (25) ovšem plyne a n.

úhol q>n ----- 27T.

391

ných diagramů. P r o t o i v k r á t k é m čase lze provést několik n á v r h ů s různým rozmístěním v ý z t u h a vybrat řešení nejhospodárnější.

LITERATURA R. Lorenz: Physikalisehe Zeitschrift, sv. 13, 1911, 241—257. R. V. Southwell: Philosophical Magazíne, sv. 25, 1913, 6S7. 11. von Mises: Zeitschrift des Veroines deutseher Ingenicnre, sv. 58, 1914, 750. R. Mayer: Z. d. Ver. d. Ing., sv. 53, 1914, 649; Die Knickfcstigkeit, 1921, 128. W. Flúgge: Statik und Dynamik úov Schalen, 1934, 189. *S'. Tinioshenko: Theory of Elastie Stability, 1936, 445; ycTOiíMinsocTb ynpyrnx cncŤeM 1955, 455. [7] V, Pane: Řešení vodorovných válcových nádob zatížených hydrostatickým přetlakem Inženýrské stavby, roč. 3, 1955, čís. 8. [1] [2] [3] [4] [5J [6j

Роз ю м е УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ ТРУБОК и

сосудов

СО СТЕНКАМИ УКРЕПЛЕННЫМИ РЕБРАМИ ЖЕСТКОСТИ ПРИ РАВНОМЕРНОМ ВНЕШНЕМ РАДИАЛЬ ПОМ ДА ВЛЕ1 [ИИ ВЛАДИМИР ПЛИЦ (У1аВггпг Рапс) (Поступило в редакцию 2/1 [1 1950 г.) В статье решается но повой, основательно упрощенной теории проблема устойчивости стенки цилиндрических оболочек с кругообразной средин­ ной линией поперечного сечения, укрепленных ребрами жесткости вдоль и поперек. Основными гипотезами этой упрощенной теории является пред­ положение о напряженности изгиба в продольных сечениях, мембрановой (безмоментной) напряженности в поперечных сечениях, и предположение наличия нулевого относительного удлинения волокон в направлении касательном к срединной линии сечения. Упростив таким образом данную проблему, можно сравнительно легко вывести формулу (15), которая в частном случае трубки, укрепленной ребрами жесткости только поперек, дает значения критического давления более близкие результатам, достав­ ляемым опытами, чем все до сих пор известные формулы. Однако более значительным считает автор то обстоятельство, что приведенное решение упомянутой частной проблемы по приближенной теории гораздо проще и короче, чем классическое, теоретически точное решение Мизсса, так392

что этим упрощенным методом можно будет по всей вероятности восполь­ зоваться и при решении локальной устойчивости аналогичных, и более сложных, пока нерешенных проблем.

Zusammenfassung D I E S T A B I L I T Ä T D Ü N N W A N D I G E R R O H R E U N D GEFÄSSE MIT V E R S T E I F T E M MANTEL U N T E R GLEICHMÄSSIGEM RADIALEM AUSSENDRUC K VLADIMIR PANC (Eingegangen am 2. März 1956.)

Der vorliegende Beitrag lost nach einer wesentlich vereinfachten Theorie das Problem der Stabilität des Mantels der mit Quer- und Längsbewehrung versteiften kreiszylindrischen Schalen. Die Ausgangshypothesen dieser vereinfachten Theorie setzen einen Biegespannungszustand in den Längsschnitten, einen Membranzustand in den Querschnitten und eine dehnungslose Verformung der Fasern in der Tangentenrichtung zur Querschnittsmittellinie voraus. Mittels dieser Vereinfachungen lässt sich dann für das behandelte Problem verhältnismässig leicht die Formel (15) ableiten, nach der die berechnete Grösse des kritischen Aussendruckes im speziellen Falle eines nur in der Querrichtung versteiften Rohres den Versuchsergebnissen besser entspricht als jene, die sich aus allen anderen schon bekannten Formeln ergibt. Als besonders schwerwiegend betrachtet der Autor den Umstand, class die von ihm erbrachte Lösung des oben erwähnten speziellen Falles sich bedeutend einfacher und bequemer gestaltet als nach der klassischen, theoretisch exakten Lösung von R. v. Mises und dass man mittels dieser vereinfachten Theorie höchstwahrscheinlich auch die Lokalstabilität ähnlicher komplizierter, zurzeit noch nicht gelöster Probleme wird untersuchen können.

393