A tantárgy neve: Matematika I. Heti óraszám: 3+3 (6 kredit)
Tantárgy kódja: GEMAN011B (anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) A tárgy lezárása: aláírás + kollokvium
Oktatók: Dr. Mészáros József , Dr. Varga Péter
ETF (előtan. feltétel): ---
Algebra, lineáris algebra: 1. Komplex számok. Műveletek algebrai és trigonometrikus alakban. 2. Műveletek síkbeli, térbeli és n-dimenziós vektorokkal. 3. Hajlásszög, vetületvektor, terület, térfogat számolása vektorműveletek segítségével. 4. Néhány térgörbe és felület leírása vektorokkal. 5. Determinánsok. Műveletek mátrixokkal, inverz mátrix. 6. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Cramer- szabállyal, eliminációval. Számsorozatok, egyváltozós valós függvények (f : R R): 7. Számsorozatok konvergenciája. Néhány nevezetes határérték. 8. Fogalmak egyváltozós valós függvény jellemzésére: ért. t. – ért. k., szimmetriák, monotonitás – szélsőérték, konvexitás – inflexiós pont, korlátosság, aszimptóták, folytonosság – szakadási helyek. Inverz függvény. 9. Hatvány, exponenciális, logaritmus és hiperbolikusz függvények. 10. Trigonometrikus és arkusz függvények. Differenciálszámítás (egyv. valós fgv.): 11. A differenciálhányados értelmezése, a derivált fogalma. Alapfüggvények deriváltja. Deriválási szabályok. 12. Sebesség, gyorsulás. Síkgörbe érintője. Taylor-polinom. 13. Függvényvizsgálat: monotonitás-lokális szélsőérték, konvexitás-inflexiós pont. Tantárgyi követelmények: 1. A félév elismerésének feltételei: a két félévközi zárthelyi legalább elégséges szintű teljesítése. 2. A félév során teljesítendő zárthelyik időtartama 50 perc, időpontja a 7. és 12. hétre tervezett, a hallgatók kérésére 1 héttel eltolható. Az értékelés módja: 1-9 pont: elégtelen, 10-14 pont: elégséges, 15-19 pont: közepes, 20-24 pont: jó, 25-30 pont: jeles. 3. A sikertelen vagy meg nem írt zárthelyik pótlása az utolsó héten, vagy az összes érintett hallgató által kért héten történik, egyéb feltétele a pótlásnak nincs. 4. A vizsga 100 perces írásbeli dolgozat megírásával teljesíthető. Az értékelés módja: 1-11 pont: elégtelen, 1216 pont: elégséges, 17-21 pont: közepes, 22-25 pont: jó, 26-30 pont: jeles. Ajánlott jegyzetek: (1) SZARKA ZOLTÁN – RAISZ PÉTERNÉ: Matematika I., II., Miskolci Egyetemi Kiadó, 1998. (2) KÁLOVICS FERENC: Matematikai analízis mérnökhallgatóknak, Miskolci Egyetemi Kiadó, 1997. Az (1) alatti két jegyzetet mindenkinek, a (2) alatti jegyzetet csak jó középiskolai háttérrel rendelkező hallgatóknak ajánljuk.
0
1. hét Komplex számok. Műveletek algebrai és trigonometrikus alakban. Ismétlés: N, Z, Q, R, … Műveletek algebrai alakban: Számolási szabály: mint többtagú kifejezésekkel, csak i i
i2
1.
Ábrázolás, elnevezések: Re z, Im z, z, z . Műveletek trigonometrikus alakban: Ábra, a bi r(cos i sin ) . Szorzás, osztás, hatványozás, gyökvonás trigonometrikus alakban (az első képlet levezetése).
Feladatok 1. Végezzük el algebrai alakban a következő műveleteket: 1 i 1 i
(3 5i)(1 i),
2 3i , 2 i
(2 3i) (2 i)
2
,
1 i 3 , 3 1.
2. Adja meg a következő kifejezések értékeit algebrai alakban: Re( 2 3i) Im(2 i)
i 2 i
,
3 i
4.
3. Számítsuk ki a következő értékeket algebrai vagy (és) trigonometrikus alakban : (1 i)16 ,
(1 i)(cos / 3 i sin / 3),
1 i,
4. Oldja meg a következő egyenleteket C-ben: z 2
3
8i .
2z 2
0, x 5
x3
x 2 1 0.
1
2. hét Műveletek vektorokkal Elnevezések: Síkbeli-térbeli vektorok, szabad vektor, a , a 0 egységvektor, nullvektor, hajlásszög. Műveletek geom.-i értelmezése térbeli vektorokra: Összeadás: 2 ábra, tulajdonságok: komm., asszoc., invert. Kivonás: a b a binv. , 2 ábra )a , a a Szorzás számmal: 1 ábra, tulajdonságok: ( a ) ( Skaláris szorzat: 1 ábra, tulajdonságok: komm., disztrib. Vektoriális szorzat: 1 ábra, tulajdonságok: a b ( b a ), disztrib. Vegyesszorzat:
ab c
(a b) c, tulajdonságok: ab c
b ca
(
c a b, a b c
)a , ...
bac
Műveletek koordinátákkal adott térbeli vektorokkal: Ábra, a b a
OA
a
a1i a 2 j a 3k
(a1, a 2 , a 3 ) (b1, b2 , b3 ) ...
(a1, a 2 , a 3 ) ;
a
... , a 0
...
(a1i a 2 j a 3k ) (b1i b2 j b3k )
(a1 b1)i ... (a1 a 2 ,...)
b a ... ab ... a b ... ab c ...
Műveletek n-dimenziós vektorokkal: Az első 4 művelet értelmezése.
Feladatok 1. Legyenek a , b, c egy térbeli háromszög csúcspontjaihoz mutató helyvektorok. Adja meg a súlyponthoz mutató helyvektort ezen vektorok segítségével! 2. Legyen v
(3, 2, 3 ). Ábrázolja v t és v 0
3. Legyen a
2i 2 j, b
(1, 1,3), c
3i
t ! Számítsa ki v
t és v 0
t!
j 2k. Számítsa ki a következőket: a b, b c, 5b,
a,
a b, c b , a b , b a , c a , ab c, b a c, c ab .
4. Legyen a
(2, 1,
1, 3), b
(1,
1, 3, 2) . Számítsa ki b(2a
b) értékét !
2
3. hét Vektorok alkalmazásai I. Erők eredője: Ábra, F F1 F2 . Munka kiszámítása: Ábra, W F s .
F s.
Ábra, W
Hajlásszög: a b
Ábrák, cos
, merőlegesség.
a b
Vetületvektor: Ábrák, v
a b0 b0 .
Paralelogramma, háromszög területe: Ábrák, Tpar.
a b , Thsz.
1 a b , párhuzamosság. 2
Paralelepipedon térfogata: Ábra, Vpl. A t m a b m Három vektor egy síkban …
a b c cos
abc , ahol
hegyesszög . Vpl.
ab c .
Feladatok 1. Legyen a a
2i
j 2k ,
b
j,
c
(2,0,2) . Mutassa meg a következő 3 tulajdonságot:
c, az a b és c vektorok párhuzamosak, továbbá az a , b, (4, 2, 4) vektorok egy síkban vannak !
2. Legyen a
i
j k,
b
2, 2, 1 . Számítsa ki a két vektor által meghatározott paralelogramma területét
és a -nak a b -re eső merőleges vetületvektorát! 3. Legyen a (3, 0, 3), b i merőleges vetületvektorát! 4. Legyen a
3i
j 2k , b
6 j k.
( 1,3,2), c
Számítsa ki a két vektor hajlásszögét és b -nek az a -ra eső
j k.
Számítsa ki: a és c hajlásszögét, az a és b által
meghatározott háromszög területét, az a , b és c által meghatározott paralelepipedon térfogatát !
3
4. hét Vektorok alkalmazásai II.
Egyenes egyenlete: Ábra, r ( t )
r0
Csavarvonal egyenlete: Ábra, pl.: r ( t )
tv,
paraméteres egyenletrendszer.
2 cos t, 2 sin t, t , t
0, 2
.
Viviani-görbe egyenlete: Ábra, pl.: r ( t )
1 cos t, sin t,
2 2 cos t
1 cos t, sin t, 2 sin
t , t 2
0, 2
.
Sík egyenlete: u v, paraméteres egyenletrendszer. Ábra, r ( , ) r0 Ábra, n (r r0 ) 0, Ax By Cz D . Hengerfelület egyenlete: Ábra, r ( , ) rvg ( )
a , ahol …
Feladatok 1. Adja meg a P1 (1,1,0) , P2 (2,2,3) pontokon átmenő egyenes és a Q1 (2,0,0) , Q2 (0,3,0), Q3 (0,0,4) pontokon átmenő sík döféspontját! 2. Adja meg a P1 (1,2, 1) és P2 (3,2,2) pontokon átmenő egyenes egyenletét! Adja meg az egyenes döféspontjait a koordinátasíkokkal, adja meg az egyenes origótól mért távolságát ! 3. Adja meg a (0, 3, 0) középpontú, 2 egység sugarú, az (x, z) síkkal párhuzamos körvonal pontjaihoz mutató helyvektort! Milyen paraméterértéknél kapja meg a (2, 3, 0), (0, 3, 2) ill. (0, 3, -2) pontokat? 4. Adja meg a (0, 3, 0) középpontú, 2 egység sugarú, az (x, z) síkkal párhuzamos körvonal és az a (0,1,0) vektor (alkotók irányvektora) által meghatározott végtelen hengerfelület pontjaihoz mutató helyvektort! Milyen paraméterértékeknél kapja meg a (2, 7, 0), (0, 9, 2) ill. (0, 1, 2) pontokat?
4
5. hét Determinánsok Definíció: A valós vagy komplex számokból (kifejezésekből) … (definíció első sor szerinti kifejtéssel). Tulajdonságok: (1) A definícióban szereplő kifejtést az első sor helyett végezhetjük másik sor vagy oszlop szerint is, ha figyelembe vesszük az előjelszabályt. (2) Ha két sort felcserélünk, akkor a determináns értéke (-1)-szeresre változik. (3) A determináns értéke nem változik, ha valamely sor (oszlop) számszorosát hozzáadjuk egy másik sorhoz (oszlophoz). Elimináció: A (2) és (3) tulajdonság felhasználásával elérjük, hogy a főátló alatt csupa 0 legyen. Ekkor a determináns értékét a főátlóban szereplő elemek szorzata adja meg. Mátrixok Definíció: A valós számokból (kifejezésekből) felépített … Összeadás: …, tul.: komm., asszoc., invert.; Kivonás: …, tul.: --( A), (A B) Szorzás számmal: …, tul.: ( )A Szorzás: …, tul.: asszoc., disztrib. Inverz mátrix: a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n A , det A 0 , A ... ... ... ... a n1 a n 2 ... a nn
1 det A
1
D11 D12 ... D1n
A
B;
D 21 ... D n1 D 22 ... D n 2 ... ... ... D2n
...
és Dij az a ij
hez ...
D nn
Feladatok 1. Számítsa ki az alábbi determinánsok értékét a definíció alapján (kifejtéssel) és eliminációval is: 1 1 2 1 i 2i 2i 2 x 1 1 3 5 3 14 , 2i i 2i , ahol i C, 1 2 x 1 . 7 4 1 19 2i 2i i 1 1 2 x 1 2 6 2
2. A
3. A
0 1 7 4
,
1 0 5 2 4 3
5 3
B
2
6
,
C
2A B A
?
2 4 0 3 ,
4. Számítsuk ki az A
B
0 1 5 2 ,
C
A B
?
1 9 6 0
2 4 3 5
3 ,
B
2 1
2 1 1
1 3
mátrixok inverzét, majd ellenőrizzük az eredményt !
1
5
6. hét Lineáris egyenletrendszerek Elnevezések, megoldhatóság: x y
5
x y 1
a11x1 a12 x 2 ... a1n x n b1 a 21x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n b 2 ; Ha b1 ............................................... a k1x1 a k 2 x 2
... a kn x n
b2
... b k
Pl.:
0, akkor ...
bk
x y
5
x y
6
x y 5 2 x 2 y 10
Cramer-szabály: Ha k
n és D
a 11 ... a 1n ... ... ...
0, akkor egyértelmű a megoldás és : x 1
a n1 ... a nn
D1 ; x2 D
D2 ; ... D
Elimináció (Gauss): a11 a12 ... a1n b1 a 21 a 22 ... a 2 n b 2 ... ... ... ... ...
… Megengedett átalakítások: …,
Cél: …
a k1 a k 2 ... a kn b k
Feladatok
x
2 y 3z
4
1. Oldja meg az 2 x y z 10 3x 2 y 5z 12 x 2 y 3u 3v 2x
2. Oldja meg az
lin. e. rsz.-t Cramer-szabállyal és eliminációval is !
4
y u 2 v 10
2 x 5 y 9u 6 v 3x 2 y 5u
6
lin. e. rsz.-t eliminációval !
v 12 x y 2z 1
3. A t paraméter ( t
R ) mely értékeire nem oldható meg az
2 x 3y 6z
3
x 2y t 2 z
t
egyenletrendszer? Milyen
t-re lesz egyértelmű a megoldás, milyen t-re kapunk végtelen sok megoldást?
6
7. hét Számsorozat határértéke Számsorozat fogalma, megadása: Számsorozatról akkor beszélünk, ha … 2n 2 4 6 200 , n N ; , , , ..., , ... (ábra), explicit megadás; Pl.: a n n 3 4 5 6 103 Pl.: b1 0, b 2 1, b n b n 1 2b n 2 , n N, n 3 ; 0, 1, 1, 3, 5, 11, 21,... (ábra), implicit m. Határérték: Az „a” számot az a n Nevezetes határértékek: 1 lim 0, q n n lim n n
1,
számsorozat határértékének … Konvergens, divergens számsorozat.
1 esetén lim q n
lim 1
n
0,
c
n
1 n
n
0 esetén lim
n
c
1,
n
n
létezik, irrac. szám, ezután „e” –vel jelöljük.
Műveletek számsorozatokkal, tétel: a n és bn adott számsorozatok ugyanolyan indexezéssel. A két sorozat összegén, különbségén, … Ha a n és b n konvergens számsorozatok, akkor lim (c a n ) c lim a n ; lim (a n b n ) lim a n n
n
lim n
n
lim b n ;
n
n
lim (a n b n )
n
lim a n lim b n ;
n
n
lim a n
an bn
n
lim b n
, felt . h. a nev. 0;
lim k a n
k
n
lim a n .
n
n
Feladatok 1. Vizsgálja meg a következő számsorozatokat konvergencia szempontjából: 2n 4 1 n an , n N ; ( 1)n , n N . 3n 1 n 1
2. Határozza meg a következő értékeket az ismert nevezetes határértékek felhasználásával: lim n
2n n2 1
,
3n 2 n lim , n 2n 2 1
0.2n 1 lim , n 0.5n
5 lim n n
1 n
,
1 lim 1 k k
2k
.
3. Milyen „határozatlan alakok” fordulnak elő az alábbi határértékek kiszámolásakor: 1 1 n n n 1 n n2 2 4 1 lim , lim , lim n 2 4n n , lim 1 ? 1 1 2n n n n n 3n 4 n n 1 n
7
8. hét Fogalmak egyváltozós valós függvények jellemzésére Ha olyan függvény (egyértelmű hozzárendelés) adott, amely valós számokhoz valós számokat rendel, akkor egyváltozós valós függvényről beszélünk. Jele: f : R R, f (x) ... Értelmezési tartomány, értékkészlet: Pl.: f : R Szimmetria:
R , f (x)
x
Venn-diagramm, ábrázolás,
2;
x2 ;
R, f (x) Pl.: f : R Monotonitás, szélsőérték:
f :R
R, f (x)
sin x ,
f :R
R, f (x)
sin x,
Dom f
[ 2, ), Ran f
[0, ).
... (Páros, páratlan, periodikus függvények.)
Pl.: f : R R , f ( x ) 4 x 2 … Konvexitás, inflexiós pont: Pl.: f : R Korlátosság: Pl.: f : R
R, f (x)
x3 …
R, f (x )
4 x2 ;
inf f (x )
?, sup f (x)
x R
?
x R
Aszimptóta: R , f (x ) 1/ x … Pl.: f : R Határérték, folytonosság, szakadási helyek: Pl.: f ( x )
x 1, x 1;
lim f ( x ) x
a
lim f ( x ) x
Inverz függvény: Pl.: f : R
f (x)
f (a ) ,
a
x2 1 , x 1; f ( x ) sgn x , x 0; x 1 lim f ( x ) lim f ( x ) f (a ) , lim f ( x )
x
R, f (x)
a
x
a
x
a
1 , x 0. x lim f ( x ) , … esetek. f (x)
x
a
2x 4 …
Feladatok 1. Vázolja az alábbi egyváltozós valós függvényeket és jellemezze őket a tanult fogalmak (ért. t. – ért. k., szimmetriák, monotonitás – szélsőérték, konvexitás – inflexiós pont, korlátosság, aszimptóták, folytonosság – szakadási helyek) segítségével: f : R
R, f (x)
x2 4 ,
g:R
R , g( x )
2. Vázolja az alábbi egyváltozós valós függvényeket és jellemezze őket az x szakadási tulajdonság szerint: f (x)
x2,
f (x)
x2 4 , x 2
f (x)
2 x sgn (2 x ) ,
f (x)
1 x 2
2
4 x2 .
helyen folytonosság,
.
3. Van-e inverze az f : R R , f ( x ) 4 2x ; g : R R, g(x) 1 x2 / 9 , Ha igen, akkor adja meg, majd ábrázolja az eredeti és inverz függvényt is.
x
0 függvényeknek?
8
9. hét Nevezetes függvénytípusok, I. Hatványfüggvények: f :R
R, f (x)
xk ,
0. A k=1, 2, 1/2, -1 esetekhez tartozó függvények ábrája …
ahol k
Azonosságok: (u v) 2
u2
2uv v 2 , u 2
v2
(u v)(u v),
(uv) k u k v k ,
u v
k
uk vk
, ...
Exponenciális függvények: f :R
R, f (x)
ax,
ahol a
Azonosságok: a u a v a u
v
Logaritmusfüggvények: f :R R , f ( x ) log a x, Azonosságok: log a (uv)
,
R, a
a
u
a
v
ahol a
log a u log a v,
log a
1. Az a=2, e, 10 esetekhez tartozó ábrák …
0, a
au v ,
au
R, a
0, a
u v
v
au v , …
1. Az a=2, e, 10 esetekhez tartozó ábrák …
log a u log a v,
log a u k
k log a u,
log a u
log b u , ... log b a
Hiperbolikus függvények: f :R
R, f (x)
f :R
R, f (x)
ex
e 2 ex e ex e
x
sh x; ábra …
f :R
R, f (x)
th x; ábra …
f :R
R, f (x)
shu chv chu shv,
ch(u v)
x x
ex
e x 2 ex e x ex e x
ch x; ábra … cth x; ábra …
Azonosságok: ch 2 u sh 2 u 1, sh(u v)
chu chv shu shu,
sh2 x
..., ch2 x
...
Feladatok 1. Számítsa ki az alábbi értékeket a definíciók alapján: 2 83 ,
2 3,
1 , log 4 8 log 9 3, e Némelyik értéket „ellenőrizze” zsebszámológép segítségével! 8
4
2 ,
log 2 64,
lg 0.01,
2. Vázolja az f : R R , f ( x ) 1 chx , tanult fogalmak (7 féle) segítségével!
3. Igazolja az
lg x
ln x , ln 10
ln
g:R
ch 2 x sh 2 x
R , g( x )
ch 2 x
sh(ln 2), ch(ln 3).
sgn(ln x ) függvényeket és jellemezze őket a
összefüggéseket a definíciók alapján!
9
10. hét Nevezetes függvénytípusok, II. Trigonometrikus függvények: Szögek mérése, szögfüggvény definíciók, nevezetes szögfüggvényértékek. f : R R , f ( x ) cos x; ábra … f : R R , f ( x ) sin x; ábra … f : R R , f ( x ) tg x; ábra … f : R R , f ( x ) ctg x; ábra … Azonosságok: sin 2 u cos 2 u 1, sin( u v) Arkusz-függvények:
f:
, 2 2 Ábrák, … f : 0, Ábrák, …
1,1 , f ( x )
1,1 , f ( x )
sin u cos v cos u sin v,
sin x;
g:
cos x;
, ( , ), f ( x) tg x; 2 2 Ábrák, … f : 0, ( , ), f ( x ) ctg x; Ábrák, … Azonosságok: arcsin u,
2
arcctg u
2
0, , g( x )
g:(
, )
g:(
, )
arctg u,
..., sin 2u
, , g( x ) 2 2
g : 1,1
f:
arccos u
1,1
cos(u v)
arcsin u
arctg
...
arcsin x, ahol sin(arcsin x)
arccos x, ahol cos(arccosx )
, , g( x ) 2 2 0, , g( x )
..., cos 2u
x.
arctg x, ahol tg(arctg x)
arcctg x, ahol ctg(arcctg x )
u
,
cos(arcsin u)
x.
x.
x.
1 u2 ,…
1 u2
Feladatok 1. Számítsa ki az alábbi értékeket a definíciók alapján: sin
3 , cos 2
arccos cos
6
6
, tg
3 2 5 , ctg , arcsin( 1) , arccos( 0.5) , arctg1, arcctg( 1) , arcsin sin , 4 3 6
.
(Némelyik értéket „ellenőrizze” zsebszámológép segítségével!)
/ 2), f : R 2. Vázolja az f : R R , f ( x ) 2 cos(x jellemezze őket a tanult fogalmak (7 féle) segítségével!
3. Igazolja a sin 2 x cos2 x 1 és arcsin x
arctg
R, f (x)
x 1 x2
, ha
arctg x
függvényeket és
1 x 1 azonosságokat! (Utóbbinál
elég igazolni, hogy a két oldal tangense megegyezik.)
10
11. hét Egyváltozós valós függvény differenciálhányadosa, deriváltja Definíció: Adott az f : R
R , f (x)
... függvény és az
x
a
f ( x ) f (a ) a x a
lim
hely. A
x
értéket …
Jele:
df df (a ). Azt a függvényt, amely ... Jele: f (részletesebben : f : R R , f ( x ) ...), . Az f dx dx függvény deriváltját második deriváltnak (jele f ), f derivátját harmadik deriváltnak (jele f ) … f (a ),
x2 , a
Pl.: f ( x )
1 .5 ;
' 1 .5
x2
f (a )
Alapfüggvények deriváltjai (a képletek a dom f (c) 0; xk
...
k 1, 2,
ax
...
a
?,
x2
f (x)
?
dom f halmazon érvényesek):
1, 1 / 2 esetén : ...
2, e, 10 esetén : ...
log a x ... a 2, e, 10 esetén : ... Hiperbolikus fgv.: … Trigonometrikus fgv.: … Arkusz fgv. :… Deriválási szabályok: cf ( x )
...,
f ( x ) g( x )
...,
f ( x )g ( x )
f (x) g( x )
...,
...,
f (g( x ))
f (g( x )) g ( x ) .
(Feltéve, hogy a deriváltak léteznek a kérdéses intervallumokon.) Pl.: …
Feladatok
1. f ( x )
3x 2
2. f ( x )
x sin x
x ln x,
x2 ex
f (x)
,
f (x)
?,
?,
f (1)
f (0)
?
?
f (x)
f (x)
?,
?,
f (5)
f (0)
?
?
3. Deriválási feladatok: (5 2x )10 ;
sh 6 x sh x 6 ;
ln( 3x 2
2x 6) ;
6x 6 cos x
3x
;
3
3x ;
arctg 6x ; ln 6x
5 sin 5x 4x e4 x
6x
x6
lg 3x x arcsin x 3 ;
; ( 6)
;
d ch( x 2 dx
a2) ;
ch4x
( 4)
;
d A sin( t dt
).
11
12. hét A differenciálhányados alkalmazásai, I. Sebesség, gyorsulás: s
s( t ) , t 0 adottak
Pl.: s
1 2 gt ; 2
v( t 0 )
s( t )
1 g 2t 2
lim t
gt
t0
v;
s t
lim t
t0
s( t )
g
s( t ) s( t 0 ) t t0
s( t 0 ),
a ( t 0 ) ... s( t 0 ) .
a.
Érintő meredeksége, egyenlete: Kövessük egy ábrán
x a,
Taylor - polinom: f :R R , f ( x ) ..., x
f ( x ) f (a ),
f ( x ) f (a ) , x a
f ( x ) f (a ) a x a
lim x
jelentését: …
a:
c1 ( x a ) ... c n ( x a ) n ;
f (x)
c0
f (x)
f (a )
f (a ) f (a ) f ( n ) (a ) (x a ) ( x a ) 2 ... (x a ) n 1! 2! n!
Tn ( x );
f (x)
f (a )
f (a ) f (a ) f ( n ) (a ) (x a ) ( x a ) 2 ... (x a ) n 1! 2! n!
f ( n 1) ( ) (x a ) n 1 (n 1)!
Tn ( x ) R n ( x ),
ahol ...
Feladatok
1. Ábrázolja az
x2 9
y2 4
1 , y 0 egyenletű görbét és adja meg az x
2 helyhez tartozó érintőegyenes
egyenletét !
x 2 y2 1 egyenletű görbét és keresse meg azokat a pontokat, ahol az érintőegyenes 9 4 párhuzamos a szögfelező egyenessel !
2. Ábrázolja az
3.
Taylor - polinom, hibakorlát: f ( x )
sin x, a
0, T5 ( x )
?, hibabecslés x
4.
Taylor - polinom, hibakorlát: f ( x )
cos x, a
0, T4 ( x )
?, hibabecslés x
4
4
,
,
4
4
re .
re .
12
13. hét A differenciálhányados alkalmazásai, II. Monotonitás – szélsőérték: Ábráról ill. f ( x ) f (a ) f ( )(x a ) -ból: f ( x ) 0 az (u, v) ben f ( x ) 0 az (u, v) ben (Feltesszük, hogy …) 1 Ábráról ill. f ( x ) f (a ) f (a )(x a ) f ( )(x a )2 -ből: 2 f (a ) 0 , f ( a ) 0 f f (a ) 0 , f ( a ) 0 f (Feltesszük, hogy …) Konvexitás – inflexiós pont: 1 Ábráról ill. f ( x ) f (a ) f (a )(x a ) f ( )(x a )2 -ből: 2 f ( x ) 0 az (u, v) ben f ( x ) 0 az (u, v) ben (Feltesszük, hogy …) 1 1 f (a )(x a ) 2 f ( )(x Ábráról ill. f ( x ) f (a ) f (a )(x a ) 2 6 f (a ) 0 , f (a ) 0 f (Feltesszük, hogy …)
f szig. mon. nő (u, v) ben ; f szig. mon. csökk. (u, v) ben .
nek " a" ban lok . min . van ; nek " a" ban lok . max . van .
f konvex (u, v) ben ; f konkáv (u, v) ben . a )3 -ből:
nek "a" ban infl. pontja van.
Feladatok
1. Keressen lokális szélsőértékeket és inflexiós pontokat az f : R deriváltak felhasználásával)! 2. Keressen lokális szélsőértékeket és inflexiós pontokat az deriváltak felhasználásával)!
f :R
R, f (x)
x4
R, f (x)
2x 2 függvény esetén (a
xe x függvény esetén
(a
3. Ábrázolja az f : R R , f ( x ) 2x 3 3x 2 függvényt néhány tulajdonság (zérushelyek, szélsőértékhelyek, inflexiós pontok, viselkedés -ben) felhasználásával! 4. Ábrázolja az f : R viselkedés 5. Ábrázolja az
R, f (x)
2
függvényt néhány tulajdonság (szélsőértékhelyek, inflexiós pontok,
1 x2 -ben) felhasználásával! 1
függvényt néhány tulajdonság (szakadási helyek, szélsőértékx2 helyek, inflexiós pontok, aszimptóták) felhasználásával! f :R
R, f (x)
2x
13
